Движение тела, брошенного вертикально вверх
I уровень. Прочитайте текст
Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение, причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.
Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.
Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.
Все формулы для равноускоренного движения применимы для движения тела, брошенного вверх. V0 всегда > 0
Движение тела, брошенного вертикально вверх является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли, то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу https://pandia.ru/text/78/086/images/image002_13.gif" width="151" height="57 src=">
Вблизи поверхности Земли, при условии отсутствия заметного влияния атмосферы скорость тела, брошенного вертикально вверх, изменяется во времени по линейному закону: https://pandia.ru/text/78/086/images/image004_7.gif" width="55" height="28">.
Скорость тела на некоторой высоте h, можно найти по формуле:
https://pandia.ru/text/78/086/images/image006_6.gif" width="65" height="58 src=">
Высота подъема тела за некоторое время, зная конечную скорость
https://pandia.ru/text/78/086/images/image008_5.gif" width="676" height="302 src=">
II I уровень. Решите задачи. Для 9 б. 9а решает из задачника!
1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 18 м/с. Какое перемещение совершит он за 3 с?
2. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх со скоростью 25 м/с, поражает цель через 2 с. Какую скорость имела стрела к моменту достижения цели?
3. Из пружинного пистолета выстрелили вертикально вверх шариком, который поднялся на высоту 4,9 м. С какой скоростью вылетел шарик из пистолета?
4. Мальчик бросил вертикально вверх мячик и поймал его через 2 с. На какую высоту поднялся мячик и какова его начальная скорость?
5. С какой начальной скоростью нужно бросить тело вертикально вверх, чтобы через 10 с оно двигалось со скоростью 20 м/с вниз?
6. «Шалтай-Болтай сидел на стене (высотой 20 м),
Шалтай-Болтай свалился во сне.
Нужна ли вся королевская конница, вся королевская рать,
чтобы Шалтая, чтобы Болтая, Шалтая-Болтая,
Болтая-Шалтая собрать»
(если он разбивается только при скорости 23 м/с?)
Так нужна ли вся королевская конница?
7. Теперь гром сабель, шпор, султан,
И камер-юнкерский кафтан
Узорчатый - красавицам прельщенье,
Не то ли ж было искушенье,
Когда из гвардии, иные от двора
Сюда на время приезжали!
Кричали женщины: ура!
И в воздух чепчики бросали.
«Горе от ума» .
Девица Екатерина кидала свой чепчик вверх со скоростью 10 м/с. При этом она стояла на балконе 2 этажа (на высоте 5 метров). Сколько времени чепчик будет находиться в полете, если упадет он под ноги храброму гусару Никите Петровичу (естественно стоящему под балконом на улице).
Закономерности падения тел открыл Галилео Галилей.
Знаменитый опыт с бросанием шаров с наклонной Пизанской башни (рис. 7.1, а) подтвердил его предположение, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то все тела падают одинаково. Когда с этой башни бросили одновременно пулю и пушечное ядро, они упали практически одновременно (рис. 7.1, б).
Падение тел в условиях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, называют свободным падением.
Поставим опыт
Свободное падение тел можно наблюдать с помощью так называемой трубки Ньютона. Положим в стеклянную трубку металлический шарик и перышко. Перевернув трубку, мы увидим, что перышко падает медленнее, чем шарик (рис. 7.2, а). Но если откачать из трубки воздух, то шарик и перышко будут падать с одинаковой скоростью (рис. 7.2, б).
Значит, различие в их падении в трубке с воздухом обусловлено только тем, что сопротивление воздуха для перышка играет большую роль.
Галилей установил, что при свободном падении тело движется с постоянным ускорением, Его называют ускорением свободного падения и обозначают . Оно направлено вниз и, как показывают измерения, равно по модулю примерно 9,8 м/с 2 . (В разных точках земной поверхности значения g немного различаются (в пределах 0,5%).)
Из курса физики основной школы вы уже знаете, что ускорение тел при падении обусловлено действием силы тяжести.
При решении задач школьного курса физики (в том числе заданий ЕГЭ) для упрощения принимают g = 10 м/с 2 . Далее мы тоже будем поступать так же, не оговаривая этого особо.
Рассмотрим сначала свободное падение тела без начальной скорости.
В этом и следующих параграфах мы будем рассматривать также движение тела, брошенного вертикально вверх и под углом к горизонту. Поэтому введем сразу систему координат, подходящую для всех этих случаев.
Направим ось x по горизонтали вправо (в этом параграфе она нам пока не понадобится), а ось y – вертикально вверх (рис. 7.3). Начало координат выберем на поверхности земли. Обозначим h начальную высоту тела.
Свободно падающее тело движется с ускорением , и поэтому при равной нулю начальной скорости скорость тела в момент времени t выражается формулой
1. Докажите, что зависимость модуля скорости от времени выражается формулой
Из этой формулы следует, что скорость свободно падающего тела ежесекундно увеличивается примерно на 10 м/с.
2. Начертите графики зависимости v y (t) и v(t) для первых четырех секунд падения тела.
3. Свободно падающее без начальной скорости тело упало на землю со скоростью 40 м/с. Сколько времени длилось падение?
Из формул для равноускоренного движения без начальной скорости следует, что
s y = g y t 2 /2. (3)
Отсюда для модуля перемещения получаем:
s = gt 2 /2. (4)
4. Как связан пройденный телом путь с модулем перемещения, если тело свободно падает без начальной скорости?
5. Найдите, чему равен путь, пройденный свободно падающим без начальной скорости телом за 1 с, 2 с, 3 с, 4 с. Запомните эти значения пути: они помогут вам устно решать многие задачи.
6. Используя результаты предыдущего задания, найдите пути, проходимые свободно падающим телом за первую, вторую, третью и четвертую секунды падения. Разделите значения найденных путей на пять. Заметите ли вы простую закономерность?
7. Докажите, что зависимость координаты y тела от времени выражается формулой
y = h – gt 2 /2. (5)
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении и тем, что начальная координата тела равна h, а начальная скорость тела равна нулю.
На рисунке 7.4 изображен пример графика зависимости y(t) для свободно падающего тела до момента его падения на землю.
8. С помощью рисунка 7.4 проверьте полученные вами ответы на задания 5 и 6.
9. Докажите, что время падения тела выражается формулой
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела равна нулю.
10. Докажите, что модуль конечной скорости тела vк (непосредственно перед падением на землю)
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (2) и (6).
11. Чему была бы равна скорость капель, падающих с высоты 2 км, если бы сопротивлением воздуха для них можно было бы пренебречь, то есть они падали бы свободно?
Ответ на этот вопрос удивит вас. Дождь из таких «капелек» был бы губительным, а не живительным. К счастью, атмосфера спасает нас всех: вследствие сопротивления воздуха скорость дождевых капель у поверхности земли не превышает 7–8 м/с.
2. Движение тела, брошенного вертикально вверх
Пусть тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 0 (рис. 7.5).
Скорость v_vec тела в момент времени t в векторном виде выражается формулой
В проекциях на ось y:
v y = v 0 – gt. (9)
На рисунке 7.6 изображен пример графика зависимости v y (t) до момента падения тела на землю.
12. Определите по графику 7.6, в какой момент времени тело находилось в верхней точке траектории. Какую еще информацию можно извлечь из этого графика?
13. Докажите, что время подъема тела до верхней точки траектории можно выразить формулой
t под = v 0 /g. (10)
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю.
14. Докажите, что зависимость координаты у тела от времени выражается формулой
y = v 0 t – gt 2 /2. (11)
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.
15.На рисунке 7.7 изображен график зависимости y(t). Найдите два разных момента времени, когда тело находилось на одной и той же высоте, и момент времени, когда тело находилось в верхней точке траектории. Заметили ли вы какую-то закономерность?
16. Докажите, что максимальная высота подъема h выражается формулой
h = v 0 2 /2g (12)
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (10) и (11) или формулой (9) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.
17. Докажите, что конечная скорость тела, брошенного вертикально вверх (то есть скорость тела непосредственно перед падением на землю), равна но модулю его начальной скорости:
v к = v 0 . (13)
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (7) и (12).
18. Докажите, что время всего полета
t пол = 2v 0 /g. (14)
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела становится равной нулю.
19. Докажите, что
t пол = 2t под. (15)
Подсказка. Сравните формулы (10) и (14).
Следовательно, подъем тела до верхней точки траектории занимает такое же время, какое занимает последующее падение.
Итак, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, то полет тела, брошенного вертикально вверх, естественно разбивается на два этапа, занимающие одинаковое время, – движение вверх и последующее падение вниз в начальную точку.
Каждый из этих этапов представляет собой как бы «обращенный во времени» другой этап. Поэтому если мы снимем на видеокамеру подъем брошенного вверх тела до верхней точки, а потом будем показывать кадры этой видеосъемки в обратном порядке, то зрители будут уверены, что они наблюдают падение тела. И наоборот: показанное в обратном порядке падение тела будет выглядеть в точности как подъем тела, брошенного вертикально вверх.
Этот прием используют в кино: снимают, например, артиста, который спрыгивает с высоты 2–3 м, а потом показывают эту съемку в обратном порядке. И мы восхищаемся героем, легко взлетающим на высоту, недостижимую для рекордсменов.
Используя описанную симметрию между подъемом и спуском тела, брошенного вертикально вверх, вы сможете выполнить следующие задания устно. Полезно также вспомнить, чему равны пути, проходимые свободно падающим телом (задание 4).
20. Чему равен путь, который проходит брошенное вертикально вверх тело за последнюю секунду подъема?
21. Брошенное вертикально вверх тело побывало на высоте 40 м дважды с интервалом 2 с.
а) Чему равна максимальная высота подъема тела?
б) Чему равна начальная скорость тела?
Дополнительные вопросы и задания
(Во всех заданиях этого параграфа предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.)
22. Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м.
а) Сколько времени длится падение?
б) Какое расстояние пролетает тело за вторую секунду?
в) Какое расстояние пролетает тело за последнюю секунду движения?
г) Чему равна конечная скорость тела?
23. Тело падает без начальной скорости с некоторой высоты в течение 2,5 с.
а) Чему равна конечная скорость тела?
б) С какой высоты падало тело?
в) Какое расстояние пролетело тело за последнюю секунду движения?
24. С крыши высокого дома с интервалом 1 с упали две капли.
а) Чему равна скорость первой капли в момент, когда оторвалась вторая капля?
б) Чему равно в этот момент расстояние между каплями?
в) Чему равно расстояние между каплями через 2 с после начала падения второй капли?
25. За последние τ секунд падения без начальной скорости тело пролетело расстояние l. Обозначим начальную высоту тела h, время падения t.
а) Выразите h через g и t.
б) Выразите h – l через g и t – τ.
в) Из полученной системы уравнений выразите h через l, g и τ.
г) Найдите значение h при l = 30 м, τ = 1 с.
26. Синий шарик бросили вертикально вверх с начальной скоростью v0. В момент, когда он достиг высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью бросили красный шарик.
а) Сколько времени продолжался подъем синего шарика?
б) Чему равна максимальная высота подъема синего шарика?
в) Через какое время после бросания красного шарика он столкнулся с движущимся синим?
г) На какой высоте шарики столкнулись?
27. С потолка лифта, поднимающегося равномерно со скоростью vл, оторвался болт. Высота кабины лифта h.
а) В какой системе отсчета удобнее рассматривать движение болта?
б) Сколько времени будет падать болт?
в) Чему равна скорость болта непосредственно перед касанием пола: относительно лифта? относительно земли?
Вопросы.
1. Действует ли сила тяжести на подброшенное вверх тело во время его подъема?
Сила тяжести действует на все тела, независимо от того, подброшено оно вверх или находится в состоянии покоя.
2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело при отсутствии трения? Как меняется при этом скорость движения тела?
3. От чего зависит наибольшая высота подъема брошенного вверх тела в том случае, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь?
Высота подъема зависит от начальной скорости. (Вычисления см. предыдущий вопрос).
4. Что можно сказать о знаках проекций векторов мгновенной скорости тела и ускорения свободного падения при свободном движении этого тела вверх?
При свободном движении тела вверх знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны.
5. Как ставились опыты, изображенные на рисунке 30, и какой вывод из них следует?
Описание опытов см. стр. 58-59. Вывод: Если на тело действует только сила тяжести, то его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.
Упражнения.
1. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля? Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч?
Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его движению применимы формулы равноускоренного движения без начальной скорости с ускорением. Обозначим начальную высоту тела над землей через, время его свободного падения с этой высоты до земли - через и скорость, достигнутую телом в момент падения на землю, - через . Согласно формулам § 22 эти величины будут связаны соотношениями
(54.1)
(54.2)
В зависимости от характера задачи удобно пользоваться тем или другим из этих соотношений.
Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена некоторая начальная скорость , направленная вертикально вверх. В этой задаче удобно считать положительным направление кверху. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с отрицательным ускорением и с положительной начальной скоростью. Скорость этого движения в момент временивыразится формулой
а высота подъема в этот момент над исходной точкой - формулой
(54.5)
Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет высшей точки подъема; это произойдет в момент, для которого
После этого момента скорость станет отрицательной и тело начнет падать вниз. Значит, время подъема тела
Подставляя в формулу (54.5) время подъема, найдем высоту подъема тела:
(54.8)
Дальнейшее движение тела можно рассматривать как падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в начале этого параграфа) с высоты. Подставляя эту высоту в формулу (54.3), найдем, что скорость, которой тело достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна начальной скорости тела (но, конечно, будет направлена противоположно - вниз). Наконец, из формулы (54.2) заключим, что время падения тела с высшей точки равно времени поднятия тела в эту точку.
5 4.1. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 20 м. На какой высоте оно достигнет скорости, равной половине скорости в момент падения на землю?
54.2. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и тон же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз.
54.3. Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с башни высоты : а) без начальной скорости; б) с начальной скоростью , направленной вертикально вверх; в) с начальной скоростью , направленной вертикально вниз.
54.4. Камень, брошенный вертикально вверх, пролетел мимо окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и начальную скорость камня.
54.5. При вертикальной стрельбе по воздушным целям снаряд, выпущенный из зенитного орудия, достиг только половины расстояния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг цели. Во сколько раз начальная скорость снаряда второго орудия больше, чем скорость первого?
54.6. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 с его скорость уменьшилась вдвое?
Вы знаете, что при падении любого тела на Землю его скорость увеличивается. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это.
Но только Галилею удалось опытным путем доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы. Для проверки своего предположения Галилей, по преданию, наблюдал падение со знаменитой наклонной Пизанской башни различных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д.). Все эти тела достигали поверхности Земли практически одновременно.
Особенно прост и убедителен опыт с так называемой трубкой Ньютона. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если теперь перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего промелькнет дробинка, за ней кусочки пробки и, наконец, плавно опустится пушинка (рис. 1, а). Но если выкачать из трубки воздух, то все произойдет совершенно иначе: пушинка будет падать, не отставая от дробинки и пробки (рис. 1, б). Значит, ее движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением.
Рис. 1
- Свободным падением называется движение тела только под влиянием притяжения к Земле (без сопротивления воздуха).
Ускорение, сообщаемое всем телам земным шаром, называют ускорением свободного падения . Его модуль мы будем обозначать буквой g . Свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнет падать вниз.
Движение тела по вертикали
- Уравнение проекции скорости на ось 0Y : $\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,$
уравнение движения вдоль оси 0Y : $y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,$
где y 0 - начальная координата тела; υ y - проекция конечной скорости на ось 0Y ; υ 0y - проекция начальной скорости на ось 0Y ; t - время, в течение которого изменяется скорость (с); g y - проекция ускорения свободного падения на ось 0Y .
- Если ось 0Y направить вверх (рис. 2), то g y = –g , и уравнения примут вид
Рис. 2 Скрытые данные При движении тела вниз
- «тело падает» или «тело упало» - υ 0у = 0.
поверхность Земли , то:
- «тело упало на землю» - h = 0.
- «тело достигло максимальной высоты» - υ у = 0.
Если за начало отсчета принять поверхность Земли , то:
- «тело упало на землю» - h = 0;
- «тело бросили с земли» - h 0 = 0.
- Время подъема тела до максимальной высоты t под равно времени падения с этой высоты в исходную точку t пад, а общее время полета t = 2t под.
- Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх c нулевой высоты (на максимальной высоте υ y = 0)
Движение тела, брошенного горизонтально
Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально. Траекторией является парабола с вершиной в точке бросания (рис. 3).
Рис. 3
Такое движение можно разложить на два:
1) равномерное движение по горизонтали со скоростью υ 0х (a x = 0)
- уравнение проекции скорости : $\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} =\upsilon _{0} $;
- уравнение движения : $x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t$;
Для описания движения вдоль оси 0Y применяются формулы равноускоренного движения по вертикали:
- уравнение проекции скорости : $\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t$;
- уравнение движения : $y=y_{0} +\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g_{y} } $.
- Если ось 0Y направить вверх, то g y = –g , и уравнения примут вид:
- Дальность полета определяется по формуле: $l=\upsilon _{0} \cdot t_{nad} .$
- Скорость тела в любой момент времени t будет равна (рис. 4):
где υ х = υ 0x , υ y = g y t или υ х = υ∙cos α, υ y = υ∙sin α.
Рис. 4
При решении задач на свободное падение
1. Выберите тело отсчета, укажите начальное и конечное положения тела, выберите направление осей 0Y и 0Х .
2. Изобразите тело, укажите направление начальной скорости (если она равна нулю, то направление мгновенной скорости) и направление ускорения свободного падения.
3. Запишите исходные уравнения в проекциях на ось 0Y (и, при необходимости, на ось 0X )
$\begin{array}{c} {0Y:\; \; \; \; \; \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,\; \; \; (1)} \\ {} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,\; \; \; \; (2)} \\ {} \\ {0X:\; \; \; \; \; \upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +g_{x} \cdot t,\; \; \; (3)} \\ {} \\ {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\dfrac{g_{x} \cdot t^{2} }{2} .\; \; \; (4)} \end{array}$
4. Найдите значения проекций каждой величины
x 0 = …, υ x = …, υ 0x = …, g x = …, y 0 = …, υ y = …, υ 0y = …, g y = ….Примечание . Если ось 0Х направлена горизонтально, то g x = 0.
5. Подставьте полученные значения в уравнения (1) - (4).
6. Решите полученную систему уравнений.
Примечание . По мере наработки навыка решения таких задач, пункт 4 можно будет делать в уме, без записи в тетрадь.