Лекция №4.

Геометрически функция комплексного переменного w=f (z ) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка w ÎG называется образом точки z при отображении w=f (z ), точка z ÎD – прообразом точки w .

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f (z ), то функция называется однозначной (w=|z| , w= , w= Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w , функция называется многозначной (w= Argz ).

Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w =f (z ) называется однолистной в области D .

Другими словами, однолистная функция w =f (z ) взаимно однозначно отображает область D на G . При однолистном отображении w =f (z ) прообраз любой точки w ÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w , определенную на G . Она обозначается и называется обратной функцией .

Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f (z ) называют многолистной в области D .

Если отображение w =f (z ) является многолистным на D (например, w =z n ), то в этом случае некоторым значениям w ÎG соответствует более, чем одна точка z ÎD : f (z )=w . Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Однозначная на области D функция w =f (z ) называется ветвью многозначной функции F , если значение f в любой точке z ÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w =f (z ) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка z ÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w =f (z ). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Понятие о конформном отображении

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z =2i при отображении .

■ Находим производную и ее значение в данной точке .

Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .

Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■

Пример 3.5. Определить, какая часть плоскости при отображении w =z 2 растягивается, а какая – сжимается.

■ Находим производную w ¢=2z . Коэффициент растяжения в любой точке z равен k =|w ¢(z )|=2|z |. Множество точек комплексной плоскости, для которых k >1, то есть 2|z |>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w =z 2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть - сжимается. ■

Отображение w =f (z ) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f (z ) является конформным во всех точках, где .

Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке этой области.

Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода . Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.

Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача .

Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача .

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z 0 при отображении w =f (z ) является точка w 0 , такая, что w 0 =f (z 0), то есть результат подстановки z 0 в f (z ). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w =f (z ), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.

Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F (x ,y )=0 (или в явном виде y =j (x )), при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Выделить действительную и мнимую части функции f (z ): u =Ref (z ), v =Imf (z ).

2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z =z (t ) или в комплексной форме .

2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:

Если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z (t ) в w =f (z );

Если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w =f (z ), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

Первый способ.

1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.

2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Второй способ.

1. Выразить z из соотношения w =f (z ).

2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение - искомый образ.

Пример. Найти образ окружности |z |=1 при отображении с помощью функции w =z 2 .

■ 1 способ (по правилу 3.3).

1. Пусть z=x+iy , w=u+iv . Тогда u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy . Получаем:

2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 = x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Учитывая третье уравнение системы, получаем: u 2 +v 2 =1 или |w | 2 =1, то есть |w |=1. Итак, образом окружности |z |=1 является окружность |w |=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w =z 2 , то Argw =2Argz +2pk . Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z |=1, то ее образ описывает окружность |w |=1 дважды.

2 способ (по правилу 3.4).

1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z =e it (0£t £2p ).

2. Подставим z =e it в соотношение w =z 2: w=e i 2 t =cos2t +i sin2t . Следовательно, |w | 2 =cos 2 2t +sin 2 2t =1, то есть |w |=1 – уравнение образа. ■

Пример. Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w =z 3 .

■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.

1. w =z 3 =(x +iy ) 3 =x 3 +3x 2 iy +3x (iy ) 2 +(iy ) 3 =x 3 - 3xy 2 +i (3x 2 y-y 3).

Значит,

2. В полученную систему подставим у=х : Исключая х из этих уравнений, получим v=-u .

Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv . ■

1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

w =az +b , (4.1)

где а , b - комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga , а растяжение во всех точках равно . Если a= 1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b . Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

w 1 =rz - подобие с коэффициентом r =|a |;

w 2 =e i j w 1 =rze i j - поворот на угол j =arga вокруг точки О ;

w =w 2 +b =re i j z +b - параллельный перенос на вектор .

Следовательно, отображение w =az +b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a | раз, поворачивает эту фигуру на угол j =arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.

Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z -плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Пример. Найти образ оси Оу при отображении w =2iz-3i .

■ 1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy : x =0, -¥<y <+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy , -¥<y <+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран у .

2. Подставим z=iy в выражение w =2iz-3i : w =-2y -3i , -¥<y <+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (у – параметр). Выделив действительную и мнимую часть, получим уравнение образа в действительной форме: u =-2y , v =-3 или v =-3, -¥<u <+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv , параллельной действительной оси.

2 способ . Используем круговое свойство линейного преобразования – образом прямой является прямая. Так как прямая определяется заданием двух точек, то достаточно на оси Оу выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z 1 =0, z 2 =i , их образы w 1 =-3i , w 2 =-2-3i при отображении лежат на прямой Imw =-3.Следовательно, образом оси Оу является прямая v =-3.

3 способ (геометрический). Из соотношения w =2iz-3i следует, что a =2i , b =-3i , |a |=2, . Значит, заданную прямую (ось Оу ) надо повернуть на угол относительно начала координат, а затем сместить на 3 единицы вниз. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии, так как она проходит через начало координат. ■

Пример. Найти какую-нибудь линейную функцию, отображающую окружность |z-i |=1 на окружность |w- 3|=2.

■ Поставленная задача есть обратная задача теории отображений – по заданному образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Приведем геометрический способ решения.

1. Переместим центр окружности в начало координат. Для этого применим отображение w 1 =z-i .

2. В плоскости w 1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, то есть w 2 =2w 1 .

3. Смещаем окружность на 3 единицы вправо: w =w 2 +3. Окончательно получаем: w =2(z-i )+3, w= 2z +3-2i – искомая функция.

Можно выбрать другой порядок выполнения геометрических операций – сделать сначала не смещение, а поворот или растяжение. ■

2. Дробно-линейная функция

Дробно-линейной называется функция вида

, (4.2)

где a , b , c , d - комплексные числа, такие что , .

Свойства дробно-линейного преобразования

1° Конформность

Отображение w =L (z ) является конформным во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме .

2° Круговое свойство

Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w =L (z ) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность). Несложно установить, что при отображении w =L (z ) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w ), а все прямые или окружности, не проходящие через точку d , - в окружности плоскости (w ).

3° Инвариантность двойного отношения

Отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек . Таким образом, дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех точек и их образов: . По этим парам можно найти дробно-линейную функцию по формуле:

. (4.3)

Эту формулу можно применять и в случае, когда некоторые из чисел z k и w k обращаются в ¥, если воспользоваться правилом: разность, в которой встречается символ ¥, следует заменить на 1.

4° Сохранение симметрии

Если точки z 1 и z 2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности g , то при любом дробно-линейном отображении w =L (z ) их образы w 1 и w 2 будут симметричны относительно образа g : .

Симметрия относительно прямой понимается в обычном смысле.

Точки z и z* называются симметричными относительно окружности |z-z 0 |=R , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, то есть

|z-z 0 |×|z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Точкой, симметричной точке z 0 – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

5° Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность g¢ ,то область D , которую ограничивает g , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает g¢ . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии g¢ область D¢ тоже должна оказаться слева (справа).

Пример. Найти дробно-линейную функцию w =L (z ), такую, что w (i )=2i , w (¥)=1, w (-1)=¥.

■ Обозначим z 1 =i , z 2 =¥, z 3 =-1 и w 1 =2i , w 2 =1, w 3 =¥. Применим формулу (4.3), заменяя разности, содержащие z 2 и w 3 на ¥:

или .

Преобразуем: -w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w (z +1)=z -2+i Û - искомая функция. ■

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный

Электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Теория функций комплексной переменной

Методические указания

к практическим занятиям

по высшей математике

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

УДК 512.64(07)

ТФКП: Методические указания к решению задач / сост.: В.Г.Дюмин, А.М.Коточигов, Н.Н.Сосновский.СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. 32с.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010

Функции комплексного переменного ,, в общем случае отличаются от отображений вещественной плоскости
в себятолько формой записи. Важным и чрезвычайно полезным объектом оказывается класс функции комплексного переменного,

имеющих производную такую же, как и функции одной переменной. Известно, что функции нескольких переменных могут иметь частные производные и производные по направлению, но, как правило, производные по разным направлениям не совпадают, и говорить о производной в точке не возможно. Однако для функций комплексной переменной удается описать условия, при которых они допускают дифференцирование. Изучение свойств дифференцируемых функций комплексного переменного составляет содержании методических указаний. Указания ориентированны на демонстрацию того, как свойства таких функций могут быть использованы для решения разнообразных задач. Успешное освоение, излагаемого материала невозможно без элементарных навыков вычислений с комплексными числами и знакомства с простейшими геометрическими объектами, определяемыми в терминах неравенств, связывающих вещественную и мнимую часть комплексного числа, а так же его модуль и аргумент. Краткое изложение всех необходимых для этого сведений можно найти в методических указаниях .

Стандартный аппарат математического анализа: пределы, производные, интегралы, ряды широко используется в тексте методических указаний. Там, где эти понятия имеют свою специфику, по сравнению с функциями одной переменной, приведены соответствующие пояснения, но в большинстве случаев достаточно разделить вещественную и мнимую часть и применить к ним стандартный аппарат вещественного анализа.

1. Элементарные функции комплексного переменного

Обсуждение условий дифференцируемости функций комплексного переменного, естественно начать с выяснения того, какие элементарные функции обладают этим свойством. Из очевидного соотношения

Вытекает дифференцируемость любого многочлена. И, поскольку, степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри круга его сходимости,

то любая функция дифференцируема в точках, в окрестности которых ее можно разложить в ряд Тейлора. Это достаточное условие, но, как вскоре выясниться, оно является и необходимым. Исследование функций одной переменной по производной удобно поддерживать, контролируя поведение графика функции. Для функций комплексного переменного такой возможности нет. Точки графика лежат в пространстве размерности 4, .

Тем не менее, некоторое графическое представление о функции можно получить, рассматривая образы достаточно простых множеств комплексной плоскости
, возникающие под воздействием заданной функции. Для примера, рассмотрим, с этой точки зрения несколько простых функций.

Линейная функция

Эта простая функции очень важна, тек как любая дифференцируемая функция локально похожа на линейную. Рассмотрим действие функции с максимальной подробностью

здесь
-- модуль комплексного числаи-- его аргумент. Таким образом, линейная функция осуществляет растяжение, поворот и сдвиг. Следовательно, линейное отображение переводит любое множество в подобное множество. В частности, под воздействием линейного отображения прямые переходят в прямые, а окружности в окружности.

Функция

Эта функция -- следующая по сложности за линейной. Трудно ожидать, что она переведет любую прямую в прямую, а окружность в окружность, простые примеры показывают, что этого не происходит, тем не менее, можно показать, что эта функция переводит множество всех прямых и окружностей в себя. Чтобы убедится в этом, удобно перейти к вещественному (координатному) описанию отображения

Для доказательства потребуется описание обратного отображения

Рассмотрим уравнение если
, то получится общее уравнение прямой. Если
, то

Следовательно, при
получается уравнение произвольной окружности.

Отметим, что если
и
, то окружность проходит через начало координат. Если же
и
, то получится прямая, проходящая через начало координат.

Под действие инверсии рассматриваемое уравнение перепишется в виде

, (
)

или . Видно, что это тоже уравнение, описывающие либо окружности, либо прямые. То, что в уравнении коэффициентыи
поменялись местами, означает, что при инверсии прямые, проходящие через 0, перейдут в окружности, а окружности, проходящие через 0, перейдут в прямые.

Степенные функции

Главное отличие этих функцией от рассмотренных ранее состоит в том, что они не являются взаимно однозначными (
). Можно сказать, что функция
переводит комплексную плоскость в два экземпляра той же плоскости. Аккуратное рассмотрение этой темы требует использования громоздкого аппарата римановых поверхностей и выходит за рамки рассматриваемых здесь вопросов. Важно понимать, что комплексную плоскость можно разделить на секторы, каждый из которых взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость. Это разбиение для функции
выглядит так,Например, верхняя полуплоскость взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость функцией
. Искажения геометрии для таких изображений описать сложнее, чем в случае инверсии. В качестве упражнения можно проследить, во что переходит сетка прямоугольных координат верхней полуплоскости при отображении

Видно, что сетка прямоугольных координат переходит в семейство парабол, образующих систему криволинейных координат в плоскости
. Описанное выше разбиение плоскости таково, что функция
отображает каждый изсекторов на всю плоскость. Описание прямого и обратного отображения выглядит так

Таким образом, функция
имеетразличных обратных функций,

заданных в различных секторах плоскости

В таких случаях говорят, что отображение многолистно.

Функция Жуковского

Функция имеет собственное названия, поскольку она составила основу теории крыла летательного аппарата, созданную Жуковским (описание этой конструкции можно найти в книге ). Функция обладает рядом интересных свойств, остановимся на одном из них – выясним, на каких множествах эта функция действует взаимнооднозначно. Рассмотрим равенство

, откуда
.

Следовательно, функция Жуковского взаимнооднозначна в любой области, в которой для любых иих произведение не равно единице. Таковыми являются, например, открытый единичный круг
и дополнение замкнутого единичного круга
.

Рассмотрим действие функции Жуковского на окружности , тогда

Разделяя вещественную и мнимую части, получим параметрическое уравнение эллипса

,
.

Если
, то эти эллипсы заполняют всю плоскость. Аналогично проверяется, что образами отрезковявляются гиперболы

.

Показательная функция

Функция допускает разложение в степенной ряд, абсолютно сходящийся во всей комплексной плоскости, следовательно, она всюду дифференцируема. Опишем множества, на которых функция взаимнооднозначна. Очевидное равенство
показывает, что плоскость можно разбить на семейство полос, каждую из которых функция взаимнооднозначно отображает на всю комплексную плоскость. Это разбиение существенно для того, что бы понять, как устроена обратная функция, точнее обратные функции. На каждой из полос естественным образом определено обратное отображение

Обратная функция и в этом случае многолистна, причем количество обратных функций бесконечно.

Геометрическое описание отображения довольно простое: прямые
переходят в лучи
, отрезки

переходят в окружности
.

где
- действительные числа, а- специальный символ, который называетсямнимой единицей . Для мнимой единицы по определению считается, что
.

(4.1) – алгебраическая форма комплексного числа, причем
называетсядействительной частью комплексного числа, а
-мнимой частью .

Число
называетсякомплексно сопряженным к числу
.

Пусть даны два комплексных числа
,
.

1. Суммой
комплексных чиселиназывается комплексное число

2. Разностью
комплексных чиселиназывается комплексное число

3. Произведением
комплексных чиселиназывается комплексное число

4. Частным от деления комплексного числана комплексное число
называется комплексное число

.

Замечание 4.1. То есть операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 4.1. Даны комплексные числа . Найти

.

Решение. 1) .

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

Тригонометрическая форма комплексного числа:

где
- модуль комплексного числа,
- аргумент комплексного числа. Уголопределен неоднозначно, с точностью до слагаемого
:

,
.

- главное значение аргумента, определяемое условием

, (или
).

Показательная форма комплексного числа:

.

Корень
й степени числа имеет различных значений, которые находятся по формуле

,

где
.

Точки, соответствующие значениям
, являются вершинами правильного
угольника, вписанного в окружность радиуса
с центром в начале координат.

Пример 4.2. Найти все значения корня
.

Решение. Представим комплексное число
в тригонометрической форме:

,

, откуда
.

Тогда
. Следовательно, по формуле (4.2)
имеет четыре значения:

,
.

Полагая
, находим

,
,

, .

Здесь мы преобразовывали значения аргумента к его главному значению.

Множества на комплексной плоскости

Комплексное число
изображается на плоскости
точкой
с координатами
. Модуль
и аргумент
соответствуют полярным координатам точки
.

Полезно помнить, что неравенство
задает круг с центром в точкерадиуса. Неравенство
задает полуплоскость, расположенную правее прямой
, а неравенство
- полуплоскость, расположенную выше прямой
. Кроме того, система неравенств
задает угол между лучами
и
, выходящими из начала координат.

Пример 4.3. Нарисовать область, заданную неравенствами:
.

Решение. Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке
и двумя радиусами 1 и 2, окружности в область не входят (рис. 4.1).

Второму неравенству соответствует угол между лучами
(биссектриса 4 координатного угла) и
(положительное направление оси
). Сами лучи в область не входят (рис. 4.2).

Искомая область является пересечением двух полученных областей (рис. 4.3)

4.2. Функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция
определена и непрерывна в области
, а- кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в
. Пусть, как обычно,
,, где
,
- действительные функции переменныхи.

Вычисление интеграла от функции
комплексного переменногосводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно

.

Если функция
аналитична в односвязной области
, содержащей точкии, то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

,

где
- какая-либо первообразная для функции
, то есть
в области
.

В интегралах от функций комплексного переменного можно производить замену переменной, и интегрирование по частям аналогично тому, как это делается при вычислении интегралов от функций действительного переменного.

Заметим также, что если путь интегрирования является частью прямой, выходящей из точки , или частью окружности с центром в точке, то полезно делать замену переменной вида
. В первом случае
, а- действительная переменная интегрирования; во втором случае
, а- действительная переменная интегрирования.

Пример 4.4. Вычислить
по параболе
от точки
до точки
(рис 4.4).

Решение. Перепишем подынтегральную функцию в виде Тогда , . Применим формулу (4.3): Так как , то , . Поэтому

Пример 4.5. Вычислить интеграл
, где- дуга окружности
,
(рис. 4.5) .

Решение. Положим, , тогда , , . Получаем:

Функция
, однозначная и аналитическая в кольце
, разлагается в этом кольце вряд Лорана

В формуле (4.5) ряд
называетсяглавной частью ряда Лорана, а ряд
называетсяправильной частью ряда Лорана.

Определение 4.1. Точка называется изолированной особой точкой функции
, если существует окрестность этой точки, в которой функция
аналитична всюду, кроме самой точки.

Функцию
в окрестности точки можно разложить в ряд Лорана. При этом возможны три различных случая, когда ряд Лорана:

1) не содержит членов с отрицательными степенями разности
, то есть

(ряд Лорана не содержит главной части). В этом случае называется устранимой особой точкой функции
;

2) содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности
, то есть

,

причем
. В этом случае точка называется полюсом порядка функции
;

3) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями:

.

В этом случае точка называется существенно особой точкой функции
.

При определении характера изолированной особой точки не обязательно искать разложение в ряд Лорана. Можно использовать различные свойства изолированных особых точек.

1) является устранимой особой точкой функции
, если существует конечный предел функции
в точке:

.

2) является полюсом функции
, если

.

3) является существенно особой точкой функции
, если при
функция не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.

Определение 4.2. Точка называется нулем
го порядка (или кратности ) функции
, если выполняются условия:

…,

.

Замечание 4.2. Точка тогда и только тогда является нулем
го порядка функции
, когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

,

где функция
аналитична в точкеи

4) точка является полюсом порядка (
) функции
, если эта точка является нулем порядкадля функции
.

5) пусть - изолированная особая точка функции
, где
- функции аналитические в точке . И пусть точка является нулем порядка функции
и нулем порядкафункции
.

При
точка является полюсом порядка
функции
.

При
точка является устранимой особой точкой функции
.

Пример 4.6. Найти изолированные точки и определить их тип для функции
.

Решение. Функции
и
- аналитические во всей комплексной плоскости. Значит, особыми точками функции
являются нули знаменателя, то есть точки, где
. Таких точек бесконечно много. Во-первых, это точка
, а также точки, удовлетворяющие уравнению
. Отсюда
и
.

Рассмотрим точку
. В этой точке получим:

,
,

,
.

Порядок нуля равен
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Значит, точка
является полюсом второго порядка (
).

. Тогда

,
.

Порядок нуля числителя равен
.

,
,
.

Порядок нуля знаменателя равен
. Следовательно, точки
при
являются полюсами первого порядка (простыми полюсами ).

Теорема 4.1. (Теорема Коши о вычетах ). Если функция
является аналитической на границеобласти
и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек
, то

.

При вычислении интегралов стоит аккуратно найти все особые точки функции
, затем нарисовать контур и особые точки, и после этого выбрать только те точки, которые попали внутрь контура интегрирования. Сделать правильный выбор без рисунка часто бывает затруднительно.

Способ вычисления вычета
зависит от типа особой точки. Поэтому, прежде чем вычислять вычет, нужно определить тип особой точки.

1) вычет функции в точке равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении
в окрестности точки:

.

Это утверждение справедливо для всех типов изолированных точек, и поэтому в данном случае определять тип особой точки не обязательно.

2) вычет в устранимой особой точке равен нулю.

3) если - простой полюс (полюс первого порядка), а функцию
можно представить в виде
, где
,
(заметим, что в этом случае
), тогда вычет в точкеравен

.

В частности, если
, то
.

4) если - простой полюс, то

5) если - полюс
го порядка функции
, то

Пример 4.7. Вычислить интеграл
.

Решение. Находим особые точки подынтегральной функции . Функция имеет две особые точки и Внутрь контура попадает только точка (рис. 4.6). Точка - полюс второго порядка, так как является нулем кратности 2 для функции .

Тогда по формуле (4.7) находим вычет в этой точке:

В силу теоремы 4.1 находим