1. В системе координат xOt строим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ох и с шагом τ по оси Ot :
a) x i =ih , i = l, n , n=L/h ;
б) t k =k τ, k= l, m , m =T/τ;
в) и i , k = u (x i , t k ) = u (ih , k τ).
2. Вычисляем значения функции u (x i , t k ) в узлах, лежащих на прямых х= 0 и x=L :
3. Вычисляем u i ,0 =f (ih ), i= 1, n .
4. Используя (1.16) или (1.23), найдем решение для всех внутренних узлов: u i , k + n , i= l, n -l , k= 0, m -l .
1.3. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом сеток
1.3.1. Постановка задачи. Алгоритм метода
Рассмотрим смешанную задачу (т. е. заданы начальные и граничные условия) для волнового уравнения
в области D ={0≤x≤L , 0≤t≤T } с начальными условиями
и граничными условиями
Будем предполагать, что f (x ), g (x ) – достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области D (x =0, t =0), (x=L , t =0), обеспечивающие существованне и единственность решения u (x , t ).
Для дискретизации исходной задачи построим в области
прямоугольную сетку
где h – шаг сетки в направлении х , τ – шаг сетки в направлении t ,
Используя для аппроксимации частных производных центральные разности второго порядка (1.10), для каждого внутреннего узла сетки получим систему разностных уравнений
которые аппроксимируют волновое уравнение (1.24) в узле (х i , t k ) с погрешностью O (h 2 + τ 2).
Здесь u i , k – приближенное значение функции и (х , t ) в узле (x i , t k ).
Полагая λ = аτ/h , получим трехслойную разностнуюсхему:
Схема (1.28) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u i , k функции и (х , t ) на трех временных слоях с номерами (k -l), k , (k +1).
Разностной схеме (1.28) соответствует пятиточечный трехслойный шаблон типа «крест» (рис. 1.2).
Схема (1.28) связывает значения u i , k =u (ih , kτ ) на трех слоях по времени, и чтобы перейти на уровень (k +1), необходимо знать как u i , k , так и u i , k -1 , что является следствием того, что дифференциальное уравнение (1.24) содержит вторую производную по времени. Численное решение задачи (1.24) – (1.26) состоит в вычислении приближенных значений u i , k решения u (х , t ) в узлах (х i , t ) при i = 1, n , k =1, m . Схема вычислений по (1.28) является явной, она позволяет вычислить приближенно значения функции в узлах (k +1)-го слоя по известным ее значениям на двух предыдущих слоях. На первых двух слоях значения функции определяются из начальных условий (1.25). Полагаем
Для производной по времени применяем аппроксимацию (1.5)
Порядок аппроксимации (1.30) равен О (τ).
Заметим, что (1.29), (1.31) дают решения для первыхдвухстрок: k =0, k =1. Подставляя k= 1 в (1.28), получим:
Все слагаемые в правой части уравнения (1.32) включают значения и i , k только из первых двух строк сетки; но ведь все эти значения известны из начальных условий.
После этого, зная решения и i ,1 , и i ,2 , можно по (1.28) вычислить значения функции и i , k на третьем временном слое, четвертом и т. д.
Описанная выше схема вычислений (1.28) – (1.31) aппpoксимирует задачу (1.24) – (1.26) с точностью О (τ+h 2). Невысокий порядок аппроксимации по τ объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (1. 30).
Рассмотрим теперь вопросы сходимости и устойчивости. Не приводя здесь доказательств, ограничимся формулировкой окончательных результатов. Схема вычислений будет устойчивой, если выполняется условие Куранта
Это означает, что при выполнении (1.33) малые погрешности, возникающие, например, при вычислении на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условия Куранта разностная схема (1.28) обладает равномерной сходимостью, т. е. при h →0 и τ→0 решение разностной задачи (1.28) – (1.31) равномерно стремится к решению исходной задачи (1.24) – (1.26).
Условие (1.33) является достаточным для сходимости, но не является необходимым. Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, для которых (1.33) не выполняется, но все же получается правильный результат. Все дело в том, что тогда нельзя гарантировать сходимость. В общем случае, конечно, желательно обеспечить сходимость наверняка, и поэтому требование соблюдения условия (1.33) обязательно.
Таким образом, как только выбрана величина шага h в направлении х , то появляется ограничение на величину шага τ по времени. Отличительная особенность всех явных методов заключается в том, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (1.33), обеспечивающее сходимость и устойчивость метода.
конфигурация узлов, значения сеточной функции в которых определяют вид разностных уравнений во внутренних (не приграничных) точках сетки. Как правило, на рисунках с изображениями шаблонов точки, участвующие в вычислении производных, соединяются линиями.Схема Куранта - Изаксона - Риса
(КИР), которую иногда также связывают
с именем С.К. Годунова, получается при , 
. Ее порядок аппроксимации . Схема КИР условно устойчива, т.е. при выполнении условия Куранта 
. Приведем разностные уравнения для схемы Куранта - Изаксона - Риса во внутренних точках расчетной области:
Эти схемы, имеющие также название схемы с разностями против потока (в англоязычной литературе - upwind) могут быть записаны в виде
Их преимущество состоит в более точном учете области зависимости решения. Если ввести обозначения
то обе схемы можно записать в следующих формах:
(потоковая форма разностного уравнения);
(здесь явно выделен член со второй разностью, придающий устойчивость схеме);
(уравнение в конечных приращениях).
Рассмотрим также метод неопределенных коэффициентов для построения разностной схемы правый уголок первого порядка точности для уравнения переноса
Схему можно представить в виде
Схема Куранта - Изаксона - Риса тесно связана с численными методами характеристик . Дадим краткое описание идеи таких методов.
Две последние полученные схемы (при разных знаках скорости переноса) можно
интерпретировать следующим образом. Построим характеристику
, проходящую через узел (t n + 1 , x m
), значение
в котором необходимо определить, и пересекающую слой t n
в точке 
. Для определенности считаем, что скорость переноса c положительна.
Проведя линейную интерполяцию между узлами x m - 1 и x m на нижнем слое по времени, получим
Далее перенесем вдоль характеристики
значение
u n (x")
без
изменения на верхний слой t n + 1
, т.е. положим 
. Последнее значение
естественно считать приближенным решением однородного уравнения
переноса. В таком случае
или, переходя от числа Куранта снова к сеточным параметрам,
т.е. другим способом пришли к уже известной схеме "левый уголок", устойчивой при . При точка пересечения характеристики , выходящей из узла (t n + 1 , x m , с n - м слоем по времени расположена левее узла (t n , x m - 1 ). Таким образом, для отыскания решения используется уже не интерполяция , а экстраполяция, которая оказывается неустойчивой.
Неустойчивость схемы "правый уголок" при c > 0 также очевидна. Для доказательства этого можно использовать либо спектральный признак, либо условие Куранта, Фридрихса и Леви. Аналогичные рассуждения можно провести и для случая c < 0 и схемы "правый уголок".
Неустойчивая четырехточечная схема
получается при 
, ее порядок аппроксимации . Сеточные уравнения для разностной схемы будут иметь следующий вид:
Схема Лакса - Вендроффа
возникает при 
. Порядок аппроксимации схемы Лакса - Вендроффа есть 
. Схема устойчива при выполнении условия Куранта .
Эту схему можно получить либо методом неопределенных коэффициентов, либо путем более точного учета главного члена погрешности аппроксимации. Рассмотрим процесс вывода схемы Лакса - Вендроффа подробнее. Проводя исследование предыдущей четырехточечной схемы на аппроксимацию (а исследование это довольно элементарно и сводится к разложению функции проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи в ряд Тейлора), получим для главного члена погрешности
При выводе выражения для главного члена погрешности аппроксимации использовано следствие исходного дифференциального уравнения переноса
Которое получается путем дифференцирования исходного уравнения (3.3) сначала по времени t , затем по координате x и вычитанием одно из другого получившихся соотношений.
Далее, заменяя вторую производную
во втором слагаемом в правой части с
точностью до O(h 2)
, получим новую разностную схему, аппроксимирующую исходное дифференциальное уравнение
с точностью . Сеточные уравнения для схемы Лакса - Вендроффа во внутренних узлах расчетных сеток есть
Неявная шеститочечная схема
возникает при q = 0
; при ее порядок аппроксимации , при .
Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят общий характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.
ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории.
§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации
1. Порядок точности разностной схемы.
Этот параграф посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи
Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения
Разобьем отрезок на шаги длины h. Удобно выбрать где N - целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что . Значение и, полученное по разностной схеме в точке будем обозначать Зададим начальное значение. Положим . Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение
откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии :
Точное же решение задачи (1) имеет вид . Оно принимает в точке значение
Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке будет
Нас интересует, как убывает при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим в виде
Таким образом, равенство (3) примет вид
т. е. погрешность (5) стремится к нулю при и величина погрешности имеет порядок первой степени шага.
На этом основании говорят, что разностная схема имеет первый порядок точности (не путать с порядком разностного уравнения, определенным в § 1).
Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения
Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только . Естественно и в разностной схеме положить .
Не ясно, как задавать их. Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. § 3 формулы ):
Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для Проведем подробно вывод такого представления -
Так как , то
Не будем проводить совершенно аналогичной выкладки для , а выпишем сразу результат:
Подставив приближенные выражения для в формулу (8), получим
Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования этой формулы.
Заметим, что если коэффициент стремится при к конечному пределу b, то первое слагаемое правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).
Сетка и шаблон. Для большинства разностных схем узлы сетки лежат на пересечении некоторых прямых линий (в многомерных задачах – гиперплоскостей), проведенных либо в естественной системе координат, либо в специально подобранной по форме области G .
Если одна из переменных имеет физический смысл времени t , то сетку обычно строят так, чтобы среди ее линий (или гиперплоскостей) были линии t = t m . Совокупность узлов сетки, лежащих на такой линии или гиперплоскости, называют слоем.
На каждом слое выделяют направления, вдоль которых меняется только одна пространственная координата. Например, для переменных x , y , t есть направления x (t = const , y = const ) и направление y (t = const , х = const ).
Составляя разностные схемы (26.2) и (26.4), мы использовали во всех внутренних узлах области однотипную разностную аппроксимацию производных. Иными словами, при написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки бралось одно и то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию, которую мы назвали шаблоном данной разностной схемы (см. рис. 26.2).
Определение. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а остальные – нерегулярными.
Нерегулярными являются обычно граничные узлы, а иногда также лежащие вблизи границы узлы (такие, что взятый около этого узла шаблон выходит за границу области).
Составление разностной схемы начинается с выбора шаблона. Шаблон не всегда определяет разностную схему однозначно, но существенно влияет на ее свойства; например, далее мы увидим, что на шаблоне рис. 26.2b нельзя составить хорошей разностной схемы для задачи теплопроводности (26.1). Для каждого типа уравнений и краевых задач требуется свой шаблон.
Явные и неявные разностные схемы
Обсудим вопрос о фактическом вычислении разностного решения. Большая часть физических проблем приводит к уравнениям, содержащим время в качестве одной из переменных. Для таких уравнений ставится обычно смешанная краевая задача, типичным случаем которой является задача теплопроводности (26.1).
К подобным задачам применяют послойный алгоритм вычислений. Рассмотрим его на примере схем (26.2) и (26.4).
В схеме (26.4)
на исходном слоеm
= 0 решение известно в силу начального
условия. Положим m
= 0 в уравнениях (26.4). Тогда при каждом
значении индекса n
уравнение содержит одно неизвестное
;
отсюда можно определить
при
Значения
и
определяются по краевым условиям (26.3).
Таким образом, значения на первом слое
вычислены. По ним аналогичным образом
вычисляется решение на втором слое и
т.д.
Схема (26.4) в каждом уравнении содержит только одно значение функции на следующем слое; это значение нетрудно явно выразить через известные значения функции на исходном слое, поэтому такие схемы называются явными.
Схема (26.2) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными. Для фактического вычисления решения перепишем схему (26.2) с учетом краевого условия (26.3) в следующей форме
(26.5)
На каждом слое
схема (26.5) представляет собой систему
линейных уравнений для определения
величин
;
правые части этих уравнений известны,
поскольку содержат значения решения с
предыдущего слоя. Матрица линейной
системы трехдиагональная, и решение
можно вычислить алгебраической прогонкой.
Рассмотренный сейчас алгоритм достаточно типичен. Он используется во многих неявных разностных схемах для одномерных и многомерных задач. Дальше мы будем вместо индекса m часто применять сокращенные обозначения
В этих обозначениях явная и неявная разностные схемы принимают соответственно следующий вид
Невязка. Рассмотрим операторное дифференциальное уравнение общего вида (не обязательно линейное)
Au = f , или Au – f = 0.
Заменяя оператор
А
разностным оператором A
h
,
правую часть f
– некоторой сеточной функцией
,
а точное решениеu
– разностным решением y
,
запишем разностную схему
или
.
(26.6)
Если подставить
точное решение u
в соотношение (26.6), то решение, вообще
говоря, не будет удовлетворять этому
соотношению
.
Величину
называют невязкой.
Невязку обычно оценивают при помощи разложения в ряд Тейлора. Например, найдем невязку явной разностной схемы (26.4) для уравнения теплопроводности (26.1а). Запишем это уравнение в каноническом виде
Поскольку в данном
случае
то
Разложим решение по формуле Тейлора около узла (x n , t m ), предполагая существование непрерывных четвертых производных по х и вторых по t
(26.7)
где
Подставляя эти
разложения в выражение невязки и
пренебрегая, в силу непрерывности
производных, отличием величин
от
(x
n
,
t
m
)
найдем
(26.8)
Таким образом,
невязка (26.8) стремится к нулю при
и
Близость разностной схемы к исходной
задаче определяется по величине невязки.
Если невязка стремится к нулю приh
и
стремящихся к нулю, то говорят что такая
разностная схема аппроксимирует
дифференциальную задачу. Аппроксимация
имеетр
-й
порядок, если
.
Выражение (26.8) дает невязку только в регулярных узлах сетки. Сравнивая (26.3) и (26.1б), легко найдем невязку в нерегулярных узлах
Замечание 1.
Решение задачи теплопроводности с
постоянным коэффициентом (26.1) в области
непрерывно дифференцируемо бесконечное
число раз. Однако учет пятых и более
производных в разложении в ряд Тейлора
(26.7) прибавит к невязке (26.8) только члены
более высокого порядка малости по
иh
,
т.е. по существу, не изменит вида невязки.
Замечание 2.
Пусть по каким-либо причинам решение
исходной задачи дифференцируемо
небольшое число раз; например, в задачах
с переменным коэффициентом теплопроводности,
гладким, но не имеющим второй производной,
решение имеет лишь третьи непрерывные
производные. Тогда в разложении в ряд
Тейлора (26.7) последними будут члены
не точно компенсирующие друг друга. Это
приведет к появлению в невязке (26.8) члена
типа
т.е. невязка будет иметь меньший порядок
малости, чем для четырежды непрерывно
дифференцируемых решений.
Замечание 3. Преобразовав выражение невязки с учетом того, что входящая в него функция u (x ,t ) есть точное решение исходного уравнения и для нее выполняются соотношения
Подставляя это выражение в (26.8), получим
Если выбрать шаги
по пространству и времени так, чтобы
то главный член невязки обратится в
нуль и останутся только члены более
высокого порядка малости по
иh
(которые мы опускали). Этим приемом
пользуются при построении разностных
схем повышенной точности.
Разностная схема
Разностная схема - это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).
Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.
Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.
Аппроксимация
Говорят, что дифференциальный оператор , определённый на функциях , заданных в области , аппроксимируется на некотором классе функций конечно-разностным оператором , определённым на функциях , заданных на сетке, зависящей от шага , если
Говорят, что аппроксимация имеет порядок , если
где - константа, зависящая от конкретной функции , но не зависящая от шага . Норма , использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от её выбора. Часто используется дискретный аналог нормы равномерной непрерывности :
иногда используются дискретные аналоги интегральных норм .
Пример . Аппроксимация оператора конечно-разностным оператором
на ограниченном интервале имеет второй порядок на классе гладких функций .
Конечно-разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу, и аппроксимация имеет порядок , если и само дифференциальное уравнение, и граничные (и начальные) условия аппроксимируются соответствующими конечно-разностными операторами, и аппроксимации имеют порядок .
Условие Куранта
Условие Куранта (в англоязычной литературе англ. Courant-Friedrichs-Levy condition , CFL) - скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремиться к решению дифференциального уравнения. Другими словами, за один шаг по времени частица не должна «пробегать» более одной ячейки.
В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.
Схемы на смещенных сетках
В этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.
См. также
Ссылки
- «Разностные схемы» - Глава в wikibooks на тему «Разностные схемы для гиперболических уравнений»
- Демьянов А. Ю., Чижиков Д. В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности
- В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. Об устойчивости разностных уравнений. - М .: Гостехиздат, 1956.
- С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Введение в теорию разностных схем. - М .: Физматгиз, 1962.
- К. И. Бабенко. Основы численного анализа. - М .: Наука, 1986.
- Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, - Любое издание.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, - Любое издание.
- Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. - М .: Наука, 1977.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Разностная схема" в других словарях:
Система разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные и др.) условия. Аппроксимация исходной дифференциальной задачи Р. с. это один из способов приближенной дискретизации исходной задачи … Математическая энциклопедия
разностная схема конечных элементов - метод конечных элементов — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы метод конечных элементов EN finite volume difference schedule …
Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия
конечно-разностная схема расчёта на основе контрольных объёмов - (напр. тепломассобмена, теплопроводности) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN control volume based finite difference schedule … Справочник технического переводчика
Схема: графический документ ; изложение, изображение, представление чего либо в самых общих чертах, упрощённо (например, схема доклада); электронное устройство, содержащее множество компонентов (интегральная схема). Графический документ… … Википедия
Разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе… … Математическая энциклопедия
Численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… … Математическая энциклопедия
Раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и). Р. с. т. изучает способы построения разностных схем,… … Математическая энциклопедия
Численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких… … Математическая энциклопедия
Методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия электронная книга