Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x - переменная. Причем число а=0.
Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а - называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.
Решение квадратных уравнений
Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни либо же установить тот факт, что квадратное уравнение корней не имеет. Корнем квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x^2 +b*x+c обращается в нуль. Иногда такого значение х называют корнем квадратного трехчлена.
Существует несколько способов решения квадратных уравнений. Рассмотри один из них - самый универсальный. С его помощью можно решить любое квадратное уравнение.
Формулы решения квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0.
x=(-b±√D)/(2*a), где D =b^2-4*a*c.
Данная формула получается, если решить уравнение a*x^2 +b*x+c=0 в общем виде, с помощью выделения квадрата двучлена.
В формуле корней квадратного уравнения выражение D (b^2-4*a*c) называется дискриминантом квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0. Такое название пришло из латинского языка, в переводе «различитель». В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень, либо не иметь корней вообще.
Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два корня. (x=(-b±√D)/(2*a))
Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один корень. (x=(-b/(2*a))
Если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет корней.
Общий алгоритм решения квадратного уравнения
Исходя из вышесказанного, сформулируем общий алгоритм решения квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 по формуле:
1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b^2-4*a*c.
2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
D<0, корней нет.
D=0, x=(-b/(2*a)
D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.
Слайд 2
Квадратные уравненияцикл уроков алгебры в 8 классепо учебнику А.Г. Мордковича
Учитель МБОУ Грушевской ООШ Киреева Т.А.
Слайд 3
Цели: ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать умение решать квадратные уравнения; показать способ решения полных квадратных уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения.
Слайд 4
Слайд 5
Немного из истории Квадратные уравнения в ДревнемВавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.
Слайд 6
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Слайд 7
Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида где коэффициенты а, в, с – любые действительные числа, причем Многочлен называют квадратным трехчленом. а – первый, или старший коэффициент в – второй коэффициент с – свободный член
Слайд 8
Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример. 2 - 5 + 3 = 0 - неприведенное квадратное уравнение - приведенное квадратное уравнение
Слайд 9
Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых. а + вх + с = 0 Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов в, с равен нулю.
Слайд 10
Способы решения неполных квадратных уравнений.
Слайд 11
Решить задания № 24.16 (a,б) Решите уравнение: или Ответ. или Ответ.
Слайд 12
Определение 4 Корнем квадратного уравнения Называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен Обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Слайд 13
Дискриминант квадратного уравнения D 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения
Слайд 14
D>0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3
Слайд 15
Алгоритм решения квадратного уравнения 1. Вычислить дискриминант D по формуле D= 2. Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня.
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
1.Найти дискриминант D по формуле D= -4ac .
2.Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
3.Если D=0, то уравнение имеет один корень:
4.Если D>0, то уравнение имеет два корня:
Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 -10х+3=0,
где =3, b=-10 а с=3.
Находим дискриминант:
D= -4*3*3=64
Поскольку D>0, то у данного уравнения два корня. Находим их:
;
.
Таким образом, корнями многочлена f(x)=3 -10+3 будут являться числа 3 и .
Схема Горнера
Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) - алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы полиномов (одночленов), при заданном значении переменной. Она, в свою очередь, и помогает нам выяснить, является ли число корнем данного многочлена или нет.
Для начала рассмотрим как делится многочлен f(x )на двучлен g(x) .
Это можно записать следующим образом: f(x):g(x)=n(x), где f(x)- делимое, g(x)- делитель а n(x)- частное.
Но в случае, когда f(x) не делится нацело на g(x) имеет место общая запись выражения
При это степень r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .
Рассмотрим деление многочлена на двучлен. Пусть
, 
Получаем
Где r- число т.к. степень r должна быть меньше степени (x-c).
Умножим s(x) на и получим
Таким образом, при делении на двучлен можно определять коэффициенты частного по полученным формулам. Подобный способ определения коэффициентов и называется схемой Горнера.
| ... | |||||
| + | ... | ||||
| c | ... | r |
Теперь рассмотрим несколько примеров применения схемы Горнера.
Пример . Выполнить деление многочлена f(x)= на x+3.
Решение. В начале необходимо записать (x+3) в виде (x- (-3)), поскольку в самой схеме будет участвовать именно -3.В верхней строке мы будем записывать коэффициенты, в нижней- результат действий.
f(x )=(x-2)(1 )+16.
Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней
По схеме Горнера можно находить целочисленные корни многочлена f(x ). Рассмотрим это на примере.
Пример . Найти все целочисленные корни многочлена f(x )= , при помощи схемы Горнера.
Решение. Коэффициенты данного многочлена- целые числа. Коэффициент перед старшей степенью(в нашем случае перед ) равен одному. Поэтому, целочисленные корни многочлена мы будем искать среди делителей свободного члена (у нас это 15), это числа:
Начнем проверку с числа 1.
Таблица №1
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 |
Из полученной таблицы видно, что при =1 многочлен многочлена f(x )= , мы получили остаток r=192, а не 0, из этого следует, что единица не является корнем. Поэтому продолжим проверку при =-1. Для этого мы не будем создавать новую таблицу, а продолжим в старой, а уже не нужные данные зачеркнем.
Таблица №2
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 |
Как мы видим из таблицы, в последней ячейке получился нуль, а это значит, что r=0. Следовательно? число -1 является корнем данного многочлена. Поделив наш многочлен многочлена f(x )= на ()=x+1 мы получили многочлен
f(x )=(x+1)(),
коэффициенты для которого мы взяли из третей стоки таблицы № 2.
Также мы можем сделать равносильную запись
(x+1)(). Пометим его (1)
Теперь необходимо продолжить поиск целочисленных корней, но только сейчас мы уже будем искать корни многочлена . Искать эти корни мы будем среди свободного члена многочлена, числа 45.
Еще раз проверим число -1.
Таблица №3
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 |
Таким образом, число -1 является корнем многочлена , его можно записать в виде
С учетом равенства (2) мы можем записать равенство (1) в следующем виде
Теперь ищем корни для многочлена , опять же среди делителей свободного члена. Вновь проверим число -1.
Таблица №4
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 |
По таблице мы видим, что число -1 является корнем многочлена .
С учетом (3*) мы можем переписать равенство (2*) как:
Теперь будем искать корень для . Вновь смотрим делители свободного члена. Начнем проверку вновь с числа -1.
Таблица №5
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 |
У нас получился остаток не равный нулю, а это значит, что число -1 не является корнем для многочлена . Проверим следующее число 1.
Таблица №6
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 |
И мы видим, что опять не подходит, остаток r(x)= 24.Берем новое число.
Проверим число 3.
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 |
Таблица №7
r(x)= 0, это значит, что число 3 является корнем многочлена , этот многочлен мы можем записать как:
=(x-3)(
)
Учитывая получившееся выражение, мы можем записать равенство (5) в следующем виде:
(x-3)() (6)
Проверим теперь для многочлена
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
Таблица №8
Исходя из таблицы, мы видим, что число 3 это корень многочлена . Теперь запишем следующее:
Запишем равенство (5*), с учетом получившегося выражения, следующим образом:
(x-3)()= 
= .
Найдем корень для двучлена среди делителей свободного члена.
Возьмем число 5
Таблица №9
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
| + | -5 | ||||||
| -5 |
r(x)=0, следовательно, 5 является корнем двучлена .
Таким образом, мы можем записать
Решением данного примера будет являться таблица№8.
Как видно из таблицы, числа -1;3;5 – корни многочлена.
Теперь перейдем непосредственно к видам корней .
1- корень третьей степени, поскольку скобка (x+1) находится в третьей степени;
3- корень второй степени, скобка(x-3) во второй степени;
5- корень первой степени или, другими словами, простой.