صفوف وظيفية. سلسلة الطاقة.
مدى تقارب السلسلة

الضحك بلا سبب هو علامة على دالمبرت

إذن فقد ضربت ساعة الصفوف الوظيفية. لإتقان الموضوع بنجاح ، وخاصة هذا الدرس ، يجب أن تكون على دراية جيدة بسلسلة الأرقام المعتادة. يجب أن يكون لديك فهم جيد لماهية السلسلة ، وأن تكون قادرًا على تطبيق علامات المقارنة لدراسة السلسلة من أجل التقارب. وبالتالي ، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الموضوع أو كنت إبريق شاي في الرياضيات العليا ، ضروريالعمل من خلال ثلاثة دروس متتالية: صفوف لأقداح الشاي,علامة دالمبرت. علامات كوشيو صفوف متناوبة. علامة لايبنيز. بالتأكيد الثلاثة! إذا كانت لديك معرفة ومهارات أساسية في حل المشكلات المتعلقة بالسلسلة الرقمية ، فسيكون من السهل جدًا التعامل مع السلاسل الوظيفية ، نظرًا لعدم وجود الكثير من المواد الجديدة.

في هذا الدرس ، سننظر في مفهوم المتسلسلة الوظيفية (ما هي عليه بشكل عام) ، ونتعرف على سلسلة القوى الموجودة في 90٪ من المهام العملية ، ونتعلم كيفية حل مشكلة نموذجية مشتركة لإيجاد التقارب. نصف القطر وفاصل التقارب ومنطقة التقارب لسلسلة القدرة. علاوة على ذلك ، أوصي بالنظر في المواد الموجودة على توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة، وسيتم توفير سيارة إسعاف للمبتدئين. بعد قليل من الراحة ننتقل إلى المستوى التالي:

يوجد أيضًا في قسم السلسلة الوظيفية العديد منها تطبيقات لتقريب الحسابات، وسلسلة فورييه ، والتي ، كقاعدة عامة ، يتم تخصيص فصل منفصل لها في الأدبيات التربوية ، تفصل بينهما قليلاً. لدي مقال واحد فقط ، لكنه طويل والعديد والعديد من الأمثلة الإضافية!

لذلك ، تم تعيين المعالم ، دعنا نذهب:

مفهوم السلاسل الوظيفية وسلسلة الطاقة

إذا تم الحصول على اللانهاية في الحد، ثم تنتهي خوارزمية الحل أيضًا من عملها ، ونعطي الإجابة النهائية للمهمة: "السلسلة تتقارب عند" (أو في أيٍّ منهما "). انظر الحالة رقم 3 من الفقرة السابقة.

إذا كان في الحد لا يتحول إلى الصفر وليس اللانهاية، إذن لدينا الحالة الأكثر شيوعًا في الممارسة العملية رقم 1 - تتقارب السلسلة في فترة زمنية معينة.

في هذه الحالة ، الحد هو. كيف تجد الفاصل الزمني لتقارب سلسلة؟ نحن نصنع عدم المساواة:

في أي مهمة من هذا النوععلى الجانب الأيسر من المتباينة يجب أن تكون نتيجة حساب الحد، وعلى الجانب الأيمن من عدم المساواة بشكل صارم وحدة. لن أشرح سبب عدم المساواة بالضبط ولماذا يوجد واحد على اليمين. الدروس عملية ، ومن الجيد جدًا بالفعل أن بعض النظريات قد أصبحت أوضح من قصصي أن أعضاء هيئة التدريس لم يشنقوا أنفسهم.

تم النظر بالتفصيل في تقنية العمل بالوحدة النمطية وحل عدم المساواة المزدوجة في السنة الأولى من المقالة نطاق الوظيفة، ولكن للراحة ، سأحاول التعليق على جميع الإجراءات بأكبر قدر ممكن من التفاصيل. نكشف عدم المساواة مع الوحدة وفقًا لقواعد المدرسة . في هذه الحالة:

في منتصف الطريق.

في المرحلة الثانية ، من الضروري التحقق من تقارب السلسلة في نهايات الفترة الزمنية التي تم العثور عليها.

أولًا ، نأخذ الطرف الأيسر من الفترة ونعوض به في متسلسلة الأس:

في

تم استلام سلسلة عددية ، ونحتاج إلى فحصها من أجل التقارب (مهمة مألوفة بالفعل من الدروس السابقة).

1) السلسلة هي علامة بالتناوب.
2) - شروط السلسلة تنقص modulo. علاوة على ذلك ، فإن كل حد تالٍ من السلسلة أقل من السابق في المعامل: لذا فإن الانخفاض رتيب.
الخلاصة: المسلسل يتقارب.

بمساعدة سلسلة مكونة من وحدات ، سنكتشف بالضبط كيف:
- متقارب (سلسلة "مرجعية" من عائلة المتسلسلة التوافقية المعممة).

وبالتالي ، فإن سلسلة الأرقام الناتجة تتقارب تمامًا.

في - يتقارب.

! أذكر أن أي سلسلة موجبة متقاربة هي أيضًا متقاربة تمامًا.

وهكذا ، تتقارب سلسلة القوة ، وبشكل مطلق ، عند طرفي الفترة التي تم العثور عليها.

إجابة:منطقة تقارب سلسلة القوى المدروسة:

لها الحق في الحياة وتصميم آخر للإجابة: إن السلسلة تتقارب إذا

في بعض الأحيان في حالة المشكلة ، يلزم تحديد نصف قطر التقارب. من الواضح أن في المثال المدروس.

مثال 2

أوجد منطقة تقارب سلسلة قوى

حل:نجد الفاصل الزمني لتقارب المتسلسلة باستخدامعلامة دالمبرت (لكن ليس وفقًا للسمة! - لا توجد مثل هذه السمة للسلسلة الوظيفية):

تتلاقى السلسلة في

غادرنحن بحاجة للمغادرة فقط، لذلك نضرب طرفي المتباينة في 3:

- المسلسل هو علامة بالتناوب.
– - شروط السلسلة تنقص modulo. كل مصطلح تالٍ من السلسلة أقل من السابق بالقيمة المطلقة: لذا فإن الانخفاض رتيب.

الخلاصة: المسلسل يتقارب.

نحن نفحصه لطبيعة التقارب:

قارن هذه السلسلة بالسلسلة المتباعدة.
نستخدم علامة الحد للمقارنة:

يتم الحصول على رقم محدد بخلاف الصفر ، مما يعني أن السلسلة تتباعد مع السلسلة.

وبالتالي ، فإن السلسلة تتقارب بشكل مشروط.

2) متى - يتباعد (كما ثبت).

إجابة:مجال تقارب سلسلة القوى المدروسة:. ل ، السلسلة تتقارب بشروط.

في المثال المدروس ، تكون منطقة تقارب سلسلة الطاقة عبارة عن نصف فاصل زمني ، وفي جميع نقاط الفاصل تكون سلسلة الطاقة يتقارب على الاطلاق، وعند هذه النقطة ، كما اتضح ، بشروط.

مثال 3

أوجد الفاصل الزمني لتقارب المتسلسلة الأسرية وتحقق من تقاربها في نهايات الفترة التي تم العثور عليها

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

ضع في اعتبارك بعض الأمثلة النادرة ، ولكنها تحدث بالفعل.

مثال 4

أوجد منطقة التقاء المتسلسلة:

حل:باستخدام اختبار DAlembert ، نجد الفاصل الزمني لتقارب هذه السلسلة:

(1) قم بتكوين نسبة العضو التالي في السلسلة إلى العضو السابق.

(2) تخلص من الجزء المكون من أربعة طوابق.

(3) المكعبات ، ووفقًا لقاعدة العمليات ذات القوى ، يتم تلخيصها تحت درجة واحدة. في البسط نحلل الدرجة بذكاء ، أي توسع بطريقة يمكننا في الخطوة التالية تقليل الكسر بمقدار. العوامل موصوفة بالتفصيل.

(4) تحت المكعب ، نقسم البسط على حد المقام على حد ، مما يشير إلى ذلك. في صورة كسر ، نختصر كل شيء يمكن اختزاله. يتم إخراج المضاعف من علامة الحد ، ويمكن إزالته ، حيث لا يوجد فيه أي شيء يعتمد على المتغير "الديناميكي" "en". يرجى ملاحظة أن علامة الوحدة النمطية لم يتم رسمها - لأنها تأخذ قيمًا غير سالبة لأي علامة "x".

في النهاية ، يتم الحصول على الصفر ، مما يعني أنه يمكننا إعطاء الإجابة النهائية:

إجابة:تتلاقى السلسلة في

وفي البداية بدا أنه من الصعب حل هذا الخلاف مع "حشو رهيب". الصفر أو اللانهاية في الحد يكاد يكون هدية ، لأن الحل يتم تقليله بشكل ملحوظ!

مثال 5

أوجد منطقة تلاقي سلسلة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". كن حذرًا ؛-) الحل الكامل هو الإجابة في نهاية الدرس.

ضع في اعتبارك بعض الأمثلة الأخرى التي تحتوي على عنصر الجدة من حيث استخدام التقنيات.

مثال 6

أوجد الفاصل الزمني لتقارب السلسلة وتحقق من تقاربها في نهايات الفترة التي تم العثور عليها

حل:يشمل المصطلح الشائع لسلسلة الطاقة العامل ، الذي يضمن التناوب. يتم الاحتفاظ بخوارزمية الحل تمامًا ، ولكن عند تجميع الحد ، نتجاهل (لا نكتب) هذا العامل ، لأن الوحدة تدمر جميع "السلبيات".

نجد فاصل التقارب للسلسلة باستخدام اختبار DAlembert:

نحن نؤلف عدم المساواة القياسي:
تتلاقى السلسلة في
غادرنحن بحاجة للمغادرة وحدة فقط، لذلك نضرب طرفي المتباينة في 5:

نقوم الآن بتوسيع الوحدة بطريقة مألوفة:

في منتصف المتباينة المزدوجة ، عليك ترك "x" فقط ، ولهذا الغرض ، اطرح 2 من كل جزء من المتباينة:

هي فترة التقارب لسلسلة القدرة المدروسة.

نحن نحقق في تقارب السلسلة في نهايات الفترة الزمنية التي تم العثور عليها:

1) استبدل القيمة في متسلسلة القوة الخاصة بنا :

كن حذرًا للغاية ، لا يوفر المضاعف تناوبًا لأي "en" طبيعي. نخرج الناقص الناتج من السلسلة وننسى الأمر ، لأنه (مثل أي مضاعف ثابت) لا يؤثر على تقارب أو تباعد السلسلة العددية بأي شكل من الأشكال.

لاحظ مرة أخرىأنه أثناء استبدال القيمة في المصطلح المشترك لسلسلة الأس ، قمنا بتقليل العامل. إذا لم يحدث هذا ، فهذا يعني أننا إما قمنا بحساب الحد بشكل غير صحيح ، أو قمنا بتوسيع الوحدة بشكل غير صحيح.

لذلك ، من الضروري التحقيق في تقارب المتسلسلة العددية. من الأسهل هنا استخدام معيار المقارنة الحدية ومقارنة هذه السلسلة بسلسلة توافقية متباعدة. ولكن ، لأكون صادقًا ، لقد سئمت بشدة من العلامة النهائية للمقارنة ، لذلك سأضيف بعض التنوع إلى الحل.

لذا فإن المتسلسلة تتقارب عند

اضرب طرفي المتباينة في 9:

نستخرج الجذر من كلا الجزأين ، بينما نتذكر نكتة المدرسة القديمة:


توسيع الوحدة:

وأضف واحدًا إلى جميع الأجزاء:

هي فترة التقارب لسلسلة القدرة المدروسة.

نحن نحقق في تقارب سلسلة الطاقة في نهايات الفترة الزمنية التي تم العثور عليها:

1) إذا تم الحصول على سلسلة الأرقام التالية:

اختفى المضاعف دون أن يترك أثرا ، لأنه لأي قيمة طبيعية لـ "en".

مجال التقارب السلسلة الوظيفية هي سلسلة أعضاؤها وظائف / محددة على مجموعة معينة E من المحور الحقيقي. على سبيل المثال ، يتم تحديد شروط سلسلة على فاصل زمني ، ويتم تحديد شروط سلسلة في مقطع A ويقال أن السلسلة الوظيفية (1) تتقارب عند نقطة Xo € E إذا كانت تتقارب عند كل نقطة x من قم بتعيين D ⊂ E وتباعد عند كل نقطة لا تنتمي إلى المجموعة D ، ثم يُقال أن السلسلة تتقارب في المجموعة D ، وتسمى D منطقة تقارب السلسلة. تسمى السلسلة (1) متقاربة تمامًا على المجموعة D إذا كانت السلسلة تتقارب على هذه المجموعة. في حالة تقارب السلسلة (1) على مجموعة D ، سيكون مجموعها S دالة محددة في D. منطقة يمكن العثور على تقارب بعض السلاسل الوظيفية باستخدام معايير كافية معروفة ، تم إنشاؤها للسلسلة ذات الأعضاء الموجبة ، على سبيل المثال ، علامة دابامبر ، علامة كوشي. مثال 1. أوجد منطقة التقارب للسلسلة M نظرًا لأن السلسلة العددية تتقارب لـ p> 1 وتتباعد لـ p> 1 ، إذن ، بافتراض p - Igx ، نحصل على هذه السلسلة. والتي ستتقارب من أجل Igx> T ، أي إذا كانت x> 10 ، وتباعد عند Igx ^ 1 ، أي عند 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 تتباعد السلسلة ، لأن L =. تباعد السلسلة عند x = 0 واضح. مثال 3. أوجد منطقة التقاء المتسلسلة. شروط هذه السلسلة معرّفة ومستمرة على المجموعة. نضع علامة كوش ونجدها لأي. لذلك ، فإن المتسلسلة تتباعد بالنسبة لجميع قيم x. يشار إليها بواسطة Sn (x) المجموع الجزئي التاسع للسلسلة الوظيفية (1). إذا تقاربت هذه السلسلة على المجموعة D وكان مجموعها يساوي 5 (ز) ، فيمكن تمثيلها على أنها بالنسبة لجميع قيم x € D ، فإن العلاقة صحيحة وبالتالي. على سبيل المثال ، تميل بقية Rn (x) من السلسلة المتقاربة إلى الصفر مثل n oo ، مهما كانت x 6 D. التقارب المنتظم من بين جميع سلاسل الوظائف المتقاربة ، تلعب ما يسمى بالسلسلة المتقاربة بشكل موحد دورًا مهمًا. دع سلسلة وظيفية تتقارب على المجموعة D ، ومجموعها يساوي S (x). خذ مجموعها الجزئي رقم. التعريف. السلسلة الوظيفية FUNCTIONAL SERIES منطقة التقارب التقارب الموحد معيار Weierstrass يُقال أن خاصية السلاسل الوظيفية المتقاربة بشكل موحد متقاربة بشكل موحد في المجموعة PS1) إذا كان لأي رقم ε> 0 يوجد رقم λ> 0 بحيث يكون عدم المساواة x من المجموعة fI. تعليق. هنا الرقم N هو نفسه لكل x ∈ 10 ، أي لا تعتمد على z ، ولكنها تعتمد على اختيار الرقم e ، لذلك نكتب N = N (e). غالبًا ما يُشار إلى التقارب المنتظم للسلسلة الوظيفية £ / n (®) إلى الوظيفة S (x) على قدم المجموعة على النحو التالي: يمكن أن يكون تعريف التقارب المنتظم للسلسلة / n (x) على قدم المجموعة مكتوب أقصر باستخدام الرموز المنطقية: الصف الوظيفي. لنأخذ المقطع [أ ، 6] على أنه قدم مجموعة ونرسم الرسوم البيانية للوظائف. المتباينة | ، التي تنطبق على الأعداد n> N وللجميع a ؛ G [a ، b] و y = 5 (g) + e (الشكل 1). المثال 1 يتقارب بشكل موحد على المقطع هذه السلسلة متناوبة ، تفي بشروط اختبار Leibniz لأي x € [-1،1] ، وبالتالي ، تتقارب على المقطع (-1،1]. لنفترض أن S (x) تكون مجموعها ، و Sn (x) هو مجموعها الجزئي رقم n. لا تتجاوز القيمة المطلقة لبقية السلسلة القيمة المطلقة لمصطلحها الأول: a منذ خذ أي e. ثم سيتم استيفاء المتباينة | إذا. من هنا نجد أن n> \. إذا أخذنا رقمًا (هنا [أ] يشير إلى أكبر عدد صحيح لا يتجاوز أ) ، فإن المتباينة | سيستمر e لجميع الأرقام n> N ولكل x € [-1،1). هذا يعني أن هذه السلسلة تتقارب بشكل موحد على المقطع [-1،1). 1. ليست كل متسلسلة وظيفية تتقارب في المجموعة D متقاربة بشكل موحد في المثال 2. دعنا نظهر أن السلسلة تتقارب على الفترة ، ولكن ليس بشكل موحد. 4 دعونا نحسب المجموع الجزئي من الرتبة n (*) للسلسلة. لدينا من حيث تتقارب هذه السلسلة على المقطع ومجموعها إذا كانت القيمة المطلقة للفرق S (x) - 5 „(x) (باقي السلسلة) تساوي. لنأخذ رقمًا e مثل هذا. دعونا نحل المتباينة بالنسبة إلى n. لدينا ، من أين (لأنه ، عند القسمة على Inx ، تنعكس علامة عدم المساواة). سوف يستمر عدم المساواة ل. لذلك ، مثل هذا الرقم N (e) الذي لا يعتمد على x ، بحيث تظل المتباينة ثابتة لكل منهما) على الفور لكل x من المقطع. ، غير موجود. ومع ذلك ، إذا تم استبدال الجزء 0 بقطعة أصغر ، حيث ، في الأخير ، سوف تتقارب هذه السلسلة بشكل موحد مع الوظيفة S0. في الواقع ، من أجل ، وبالتالي للجميع x مرة واحدة §3. معيار Weierstrass يتم إعطاء معيار كافٍ للتقارب المنتظم لسلسلة وظيفية بواسطة نظرية Weierstrass. النظرية 1 (اختبار Weierstrass). دعنا ، بالنسبة لجميع x من المجموعة Q ، لا يتجاوز أعضاء السلسلة الوظيفية في القيمة المطلقة الأعضاء المقابلين للسلسلة العددية المتقاربة П = 1 بشروط موجبة ، أي بالنسبة لجميع x ∈ Q. ثم السلسلة الوظيفية ( 1) في المجموعة П تتقارب بشكل مطلق وموحد. و Tek ، لأنه وفقًا لشرط النظرية ، فإن شروط السلسلة (1) تفي بالشرط (3) على المجموعة بأكملها Q ، ثم ، وفقًا لمعيار المقارنة ، فإن السلسلة 2 \ fn (x) \ تتقارب من أجل أي x ∈ H ، وبالتالي ، فإن السلسلة (1) تتقارب على P تمامًا. دعونا نثبت التقارب المنتظم للسلسلة (1). دعنا يدل على Sn (x) والمجموع الجزئية للسلسلة (1) و (2) ، على التوالي. لدينا أي رقم (صغير بشكل تعسفي) e> 0. ثم تقارب السلسلة العددية (2) يعني وجود رقم N = N (e) ، وبالتالي ، -e لجميع الأرقام n> N (e) ) ولكل x6n ، أي السلسلة (1) تتقارب بشكل موحد على المجموعة P. ملاحظة. غالبًا ما تسمى السلسلة الرقمية (2) التخصص أو الرئيسي للسلسلة الوظيفية (1). مثال 1. تحقق من المتسلسلة من أجل التقارب المنتظم. تصح المتباينة للجميع. وللجميع. تتقارب سلسلة الأرقام. بموجب اختبار Weierstrass ، تتقارب السلسلة الوظيفية المدروسة بشكل مطلق وموحد على المحور بأكمله. مثال 2. تحقق من سلسلة من أجل التقارب المنتظم. تم تعريف شروط السلسلة واستمرارها على المقطع [-2،2 |. بما أنه في المقطع [-2،2) لأي n طبيعي ، إذن ، فإن المتباينة تنطبق على. نظرًا لتقارب سلسلة الأرقام ، وفقًا لاختبار Weierstrass ، فإن السلسلة الوظيفية الأصلية تتقارب بشكل مطلق وموحد على القطعة. تعليق. يمكن أن تتقارب السلسلة الوظيفية (1) بشكل موحد في المجموعة Piv في حالة عدم وجود سلسلة رئيسية عددية (2) ، أي أن معيار Weierstrass ليس سوى معيار كافٍ للتقارب المنتظم ، ولكنه ليس ضروريًا. مثال. كما هو موضح أعلاه (مثال) ، تتقارب السلسلة بشكل موحد في المقطع 1-1،1]. ومع ذلك ، لا توجد سلسلة أرقام متقاربة كبيرة (2) لها. في الواقع ، بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ولجميع الأعداد x ∈ [-1،1) ، فإن عدم المساواة تصمد ، ويتم تحقيق المساواة عند. لذلك ، يجب أن تفي شروط السلسلة الرئيسية المرغوبة (2) بالضرورة بشرط ولكن السلسلة العددية السلسلة الوظيفية منطقة التقارب التقارب الموحد اختبار Weierstrass خصائص المتسلسلة الوظيفية المتقاربة بشكل موحد تتباعد. هذا يعني أن السلسلة £ op سوف تتباعد أيضًا. خصائص سلسلة الوظائف المتقاربة بشكل موحد تحتوي سلسلة الوظائف المتقاربة بشكل موحد على عدد من الخصائص المهمة. النظرية 2. إذا تم ضرب جميع حدود سلسلة متقاربة بشكل موحد على المقطع [أ ، ب] في نفس الوظيفة q (x) المحددة في [أ ، 6] ، فإن المتسلسلة الوظيفية الناتجة سوف تتقارب بشكل موحد. دع السلسلة £ fn (x) تتقارب بشكل موحد مع الدالة S (x) في الفاصل الزمني [a ، b \] ، ودع الدالة g (x) محدودة ، أي يوجد ثابت C> 0 بحيث يكون By تعريف التقارب المنتظم للسلسلة لأي عدد e> 0 يوجد رقم N مثل كل n> N ولكل x ∈ [a، b] المتباينة ستثبت حيث 5n (ar) مجموع جزئي من السلسلة قيد النظر. لذلك ، سيكون لدينا لأي شخص. تتقارب السلسلة بشكل موحد على [أ ، ب | لنظرية دالة 3. اجعل كل مصطلحات fn (x) من سلسلة وظيفية مستمرة وتتقارب السلسلة بشكل موحد على المقطع [a ، b \. ثم يكون مجموع S (x) من المتسلسلة مستمرًا على هذا الفاصل الزمني. M لنأخذ الفاصل الزمني [o، b] نقطتين عشوائيتين zr + Ax. نظرًا لأن هذه السلسلة تتقارب بشكل موحد على المقطع [أ ، ب] ، فعند أي رقم e> 0 ، يوجد رقم N = N (e) بحيث تظل المتباينات لكل n> N حيث تكون 5n (x) مجاميع جزئية من السلسلة fn (x). هذه المجاميع الجزئية Sn (x) متصلة على الفترة [أ ، 6] كمجموع عدد محدود من الوظائف fn (x) المستمرة في [أ ، 6). لذلك ، بالنسبة لرقم ثابت لا> N (e) ورقم معين e ، يوجد رقم 6 = 6 (e)> 0 بحيث أن المتباينة Ax تفي بالشرط | شكل: من أين. مع الأخذ في الاعتبار التفاوتات (1) و (2) ، بالنسبة للزيادات Ax التي تفي بالشرط | ، نحصل على هذا يعني أن المجموع ستة) مستمر عند النقطة x. نظرًا لأن x نقطة عشوائية من المقطع [أ ، 6] ، فإن ذلك يتبع أن 5 (س) متصلة على | أ ، 6 |. تعليق. قد يكون للسلسلة الوظيفية التي تكون أعضائها متصلة على الفاصل الزمني [أ ، 6) ، ولكنها تتقارب بشكل غير منتظم على (أ ، 6] ، دالة غير متصلة كمجموع. مثال 1. ضع في اعتبارك سلسلة وظيفية في الفترة | 0،1 ). دعنا نحسب مجموعها الجزئي من الرتبة رقم لذلك ، فهي غير متصلة في المقطع ، على الرغم من أن أعضاء السلسلة مستمرون عليها. بحكم النظرية المثبتة ، هذه السلسلة ليست متقاربة بشكل موحد في الفترة. مثال 2. ضع في اعتبارك سلسلة كما هو موضح أعلاه ، تتقارب هذه السلسلة عند ، وسوف تتقارب السلسلة بشكل موحد وفقًا لمعيار Weierstrass ، حيث يتقارب 1 والسلسلة العددية. لذلك ، بالنسبة لأي x> 1 ، يكون مجموع هذه السلسلة مستمرًا. تعليق. تسمى الوظيفة وظيفة Riemann on (تلعب هذه الوظيفة دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد). النظرية 4 (حول تكامل سلسلة وظيفية مصطلحًا بمصطلح). اجعل كل مصطلحات المتسلسلة fn (x) متصلة ، واجعل السلسلة تتقارب بشكل موحد في المقطع [أ ، ب] للدالة S (x). ثم يتم الحفاظ على المساواة التالية: نظرًا لاستمرارية الدوال fn (x) والتقارب المنتظم للسلسلة المعطاة على الفترة [a ، 6] ، فإن مجموعها 5 (x) مستمر ، وبالتالي ، قابل للتكامل. ضع في اعتبارك الاختلاف ، ويترتب على التقارب المنتظم للسلسلة في [o ، b] أنه لأي e> 0 يوجد رقم N (e)> 0 بحيث يكون لجميع الأرقام n> N (e) ولكل x € [أ ، 6] ستظل المتباينة ثابتة إذا كانت السلسلة fn (0 ليست متقاربة بشكل موحد ، إذن ، بشكل عام ، لا يمكن دمجها مصطلحًا بمصطلح ، أي النظرية 5 (عند تمايز المتسلسلة الوظيفية لكل مصطلح على حدة) . دع جميع شروط المتسلسلة المتقاربة 00 لها مشتقات مستمرة والسلسلة المكونة من هذه المشتقات ، تتقارب بشكل موحد على الفترة [أ ، ب]. ثم ، في أي نقطة ، تكون المساواة صحيحة ، أي يمكن أن تكون السلسلة المعطاة متمايز مصطلح بمصطلح. M لنأخذ أي نقطتين. ثم ، بموجب النظرية 4 ، لدينا الدالة o- (x) متصلة كمجموع لسلسلة متقاربة بشكل موحد من الوظائف المستمرة. لذلك ، من خلال التفريق بين المساواة نحن يحصل على

النطاق الوظيفي يسمى التعبير المكتوب رسميا

ش1 (x) + ش 2 (x) + ش 3 (x) + ... + شن ( x) + ... , (1)

أين ش1 (x), ش 2 (x), ش 3 (x), ..., شن ( x), ... - تسلسل الوظائف من متغير مستقل x.

تدوين مختصر لسلسلة وظيفية مع سيجما :.

أمثلة على السلاسل الوظيفية :

(2)

(3)

إعطاء المتغير المستقل xبعض القيمة x0 واستبدالها بالسلسلة الوظيفية (1) ، نحصل على سلسلة عددية

ش1 (x 0 ) + ش 2 (x 0 ) + ش 3 (x 0 ) + ... + شن ( x 0 ) + ...

إذا تقاربت السلسلة العددية التي تم الحصول عليها ، يُقال أن السلسلة الوظيفية (1) تتقارب من أجلها x = x0 ؛ إذا تباعدت ، والتي يقال إنها سلسلة (1) تتباعد عند x = x0 .

مثال 1. تحقق من تقارب سلسلة وظيفية(2) للقيم x= 1 و x = - 1 .
حل. في x= 1 نحصل على سلسلة رقمية

الذي يتقارب وفقًا لاختبار لايبنيز. في x= - 1 نحصل على سلسلة رقمية

,

التي تتباعد كمنتج لسلسلة توافقية متباعدة بواسطة - 1. وبالتالي ، تتقارب السلسلة (2) عند x= 1 ويتباعد عند x = - 1 .

إذا تم إجراء مثل هذا الاختبار لتقارب السلسلة الوظيفية (1) فيما يتعلق بجميع قيم المتغير المستقل من مجال تعريف أعضائها ، فسيتم تقسيم نقاط هذا المجال إلى مجموعتين: مع القيم xإذا أخذنا في أحدهما ، فإن السلسلة (1) تتقارب ، وفي الأخرى تتباعد.

تسمى مجموعة قيم المتغير المستقل التي تتقارب من أجلها السلسلة الوظيفية منطقة التقارب .

مثال 2. أوجد منطقة التقاء سلسلة وظيفية

حل. يتم تحديد أعضاء السلسلة على خط الأعداد بالكامل ويشكلون تقدمًا هندسيًا بمقام ف= الخطيئة x. لذا فإن السلسلة تتقارب إذا

ويتباعد إذا

(القيم غير ممكنة). ولكن من أجل القيم والقيم الأخرى x. لذلك ، تتقارب المتسلسلة لجميع القيم x، يستثني . منطقة التقارب هي خط الأعداد بالكامل ، باستثناء هذه النقاط.

مثال 3. أوجد منطقة التقاء سلسلة وظيفية

حل. تشكل شروط المتسلسلة تقدمًا هندسيًا بمقام ف= ln x. لذلك ، فإن المتسلسلة تتقارب إذا أو من أين. هذه هي منطقة التقاء هذه السلسلة.

مثال 4. تحقق من تقارب سلسلة وظيفية

حل. لنأخذ قيمة عشوائية. بهذه القيمة ، نحصل على سلسلة رقمية

(*)

أوجد نهاية المصطلح المشترك

وبالتالي ، فإن السلسلة (*) تتباعد عن اختيار تعسفي ، أي لأي قيمة x. مجال تقاربها هو المجموعة الفارغة.

التقارب المنتظم لسلسلة وظيفية وخصائصها

دعنا ننتقل إلى المفهوم التقارب المنتظم للسلسلة الوظيفية . يترك س(x) هو مجموع هذه السلسلة ، و سن ( x) - مجموع نأول أعضاء هذه السلسلة. النطاق الوظيفي ش1 (x) + ش 2 (x) + ش 3 (x) + ... + شن ( x) + ... يسمى متقارب بشكل موحد على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، إذا كان لأي عدد صغير بشكل تعسفي ε > 0 يوجد مثل هذا الرقم نهذا للجميع ن ≥ نسيتم استيفاء عدم المساواة

|س(x) − سن ( x)| < ε

لأي احد xمن المقطع [ أ, ب] .

يمكن توضيح الخاصية المذكورة أعلاه هندسيًا على النحو التالي.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للدالة ذ = س(x) . نقوم ببناء شريط بعرض 2 حول هذا المنحنى. ε ن، أي أننا نبني المنحنيات ذ = س(x) + ε نو ذ = س(x) − ε ن(هم أخضر في الصورة أدناه).

ثم لأي ε نالرسم البياني للوظيفة سن ( x) سوف تقع بالكامل في النطاق قيد النظر. سيحتوي النطاق نفسه على رسوم بيانية لجميع المجاميع الجزئية اللاحقة.

أي سلسلة وظيفية متقاربة لا تحتوي على الميزة الموضحة أعلاه هي غير متقاربة بشكل موحد.

ضع في اعتبارك خاصية أخرى لسلسلة وظيفية متقاربة بشكل موحد:

مجموع سلسلة من الدوال المستمرة التي تتقارب بشكل موحد في فترة ما [ أ, ب] ، هناك دالة متصلة في هذا المقطع.

مثال 5حدد ما إذا كان مجموع المتسلسلة الوظيفية مستمرًا

حل. لنجد المجموع نأول أعضاء هذه السلسلة:

لو x> 0 ، إذن

,

لو x < 0 , то

لو x= 0 إذن

وبالتالي.

أظهرت دراستنا أن مجموع هذه السلسلة هو دالة غير متصلة. يظهر الرسم البياني الخاص بها في الشكل أدناه.

اختبار Weierstrass للتقارب المنتظم للسلسلة الوظيفية

دعونا نقترب من معيار Weierstrass من خلال المفهوم أغلبيات السلاسل الوظيفية . النطاق الوظيفي

ش1 (x) + ش 2 (x) + ش 3 (x) + ... + شن ( x) + ...

4.1 سلسلة الوظائف: المفاهيم الأساسية ، مجال التقارب

التعريف 1. سلسلة أعضائها وظائف واحد أو
العديد من المتغيرات المستقلة المحددة في مجموعة ما يسمى نطاق وظيفي.

ضع في اعتبارك سلسلة وظيفية يكون أعضاؤها وظائف متغير مستقل واحد X. مجموع الأول نأعضاء السلسلة عبارة عن مجموع جزئي للسلسلة الوظيفية المحددة. عضو مشترك هناك وظيفة من Xمحددة في بعض المجالات. ضع في اعتبارك سلسلة وظيفية عند نقطة ما . إذا كانت سلسلة الأرقام المقابلة تتقارب ، أي هناك حد للمبالغ الجزئية لهذه السلسلة
(أين - مجموع سلسلة الأرقام) ، ثم يتم استدعاء النقطة نقطة التقاءنطاق وظيفي . إذا كان خط الأعداد يتباعد ، ثم يتم استدعاء النقطة نقطة الاختلافصف وظيفي.

التعريف 2. منطقة التقاربنطاق وظيفي تسمى مجموعة كل هذه القيم X، والتي تتقارب من أجلها السلسلة الوظيفية. يشار إلى منطقة التقارب ، التي تتكون من جميع نقاط الالتقاء . لاحظ أن تم العثور على R.

تتقارب السلسلة الوظيفية في المنطقة ، إن وجد يتقارب كسلسلة أرقام ، في حين أن مجموعها سيكون بعض الوظائف . هذا ما يسمى وظيفة محدودةالتسلسلات : .

كيفية إيجاد مجال التقارب لسلسلة وظيفية ؟ يمكنك استخدام علامة مشابهة لعلامة دالمبرت. لعدد مؤلف موسيقى والنظر في الحد عند ثابت X:
. ثم هو حل لعدم المساواة وحل المعادلة (نأخذ فقط تلك الحلول من المعادلة ، في
التي تتلاقى فيها السلاسل العددية المقابلة).

مثال 1. أوجد منطقة التقاء المتسلسلة.

حل. دل , . دعونا نؤلف ونحسب الحد ، ثم يتم تحديد منطقة تقارب السلسلة من خلال عدم المساواة والمعادلة . دعونا نتحقق أيضًا من تقارب السلسلة الأصلية عند النقاط التي تمثل جذور المعادلة:

و إذا , ، ثم نحصل على سلسلة متباينة ;

ب) إذا , ثم الصف يتقارب بشكل مشروط (بواسطة

اختبار Leibniz ، مثال 1 ، محاضرة 3 ، ثانية. 3.1).

وهكذا فإن منطقة الالتقاء الصف يشبه: .

4.2 سلسلة القوة: المفاهيم الأساسية ، نظرية هابيل

خذ بعين الاعتبار حالة خاصة من سلسلة وظيفية ، ما يسمى ب سلسلة الطاقة ، أين
.

التعريف 3. القوة التاليةيسمى سلسلة وظيفية من النموذج ،

أين - أرقام ثابتة تسمى معاملات السلسلة.

سلسلة القوة هي "كثيرة حدود لانهائية" مرتبة في قوى متزايدة . أي خط رقم يكون
حالة خاصة لسلسلة الطاقة لـ .

ضع في اعتبارك حالة خاصة لسلسلة الطاقة لـ :
. اكتشف أي نوع
منطقة تقارب سلسلة معينة .

نظرية 1 (نظرية هابيل). 1) إذا كانت سلسلة الطاقة يتقارب عند نقطة ، ثم يتقارب تمامًا لأي X، والتي من أجلها عدم المساواة .

2) إذا تباعدت سلسلة الطاقة عند ، ثم يتباعد عن أي X، لأي منهم .

دليل. 1) حسب الشرط ، تتقارب سلسلة الطاقة عند النقطة ,

أي أن سلسلة الأرقام تتقارب

(1)

ووفقًا لمعيار التقارب الضروري ، فإن المصطلح المشترك يميل إلى الصفر ، أي . لذلك ، هناك رقم أن جميع أعضاء السلسلة يقتصرون على هذا الرقم:
.

النظر الآن في أي X، لأي منهم ، وقم بتكوين سلسلة من القيم المطلقة:.
دعونا نكتب هذه السلسلة في شكل مختلف: منذ ذلك الحين ثم (2).

من عدم المساواة
نحصل ، أي صف

يتكون من أعضاء أكبر من الأعضاء المناظرين في السلسلة (2). صف هي سلسلة متقاربة من التقدم الهندسي ذي المقام ، علاوة على ذلك ، لأن . لذلك ، تتقارب السلسلة (2) من أجل . لذا فإن سلسلة القوة يتقارب على الاطلاق.

2) دع الصف يتباعد في ، بعبارة أخرى،

يتباعد خط الأعداد . دعونا نثبت ذلك لأي X () تتباعد السلسلة. الدليل بالتناقض. دعونا لبعض

مُثَبَّت ( ) تتقارب السلسلة ، ثم تتقارب للجميع (انظر الجزء الأول من هذه النظرية) ، على وجه الخصوص ، الذي يتعارض مع الشرط 2) من النظرية 1. تم إثبات النظرية.

عاقبة. تجعل نظرية هابيل من الممكن الحكم على موقع نقطة تلاقي سلسلة قوى. إذا كانت النقطة هي نقطة التقاء لسلسلة الأس ، ثم الفاصل مليئة بنقاط الالتقاء. إذا كانت نقطة الاختلاف هي نقطة ، الذي - التي
فترات لانهائية مليئة بنقاط الاختلاف (الشكل 1).

أرز. 1. فترات التقارب والتباعد في السلسلة

يمكن إثبات وجود مثل هذا الرقم هذا للجميع
سلسلة الطاقة يتقارب بشكل مطلق ، و - يتباعد. سنفترض أنه إذا تقاربت السلسلة عند نقطة واحدة فقط 0 ، إذن ، وإذا كانت السلسلة تتقارب للجميع ، الذي - التي .

التعريف 4. فاصل التقاربسلسلة الطاقة هذا الفاصل الزمني يسمى هذا للجميع هذه السلسلة تتلاقى تمامًا وللجميع Xالكذب خارج هذه الفترة ، يتباعد المسلسل. رقم صمُسَمًّى نصف قطر التقاربسلسلة الطاقة.

تعليق. في نهاية الفترة يتم حل مسألة تقارب أو تباعد سلسلة القدرة بشكل منفصل لكل سلسلة محددة.

دعنا نعرض إحدى الطرق لتحديد الفاصل ونصف قطر التقارب لسلسلة القدرة.

ضع في اعتبارك سلسلة الطاقة والدلالة .

دعونا نجعل سلسلة من القيم المطلقة لأعضائها:

وتطبيق اختبار دالمبرت عليه.

دعها موجودة

.

وفقًا لاختبار d'Alembert ، تتقارب السلسلة إذا ، ويتباعد إذا . من هنا تتقارب السلسلة عند فاصل التقارب: . في المسلسل يتباعد بسبب .
باستخدام الترميز ، نحصل على صيغة لتحديد نصف قطر تقارب سلسلة أس:

,

أين هي معاملات سلسلة الأس.

إذا اتضح أن الحد ، ثم نفترض .

لتحديد الفاصل الزمني ونصف قطر التقارب لسلسلة القدرة ، يمكن للمرء أيضًا استخدام معيار Cauchy الجذري ، ويتم تحديد نصف قطر تقارب السلسلة من العلاقة .

التعريف 5. سلسلة الطاقة المعممةيسمى سلسلة

. ويسمى أيضًا التالي بالدرجات .
لمثل هذه السلسلة ، يكون لفاصل التقارب الشكل: ، أين - نصف قطر التقارب.

دعونا نوضح كيف تم العثور على نصف قطر التقارب لسلسلة القدرة المعممة.

أولئك. ، أين .

لو ، الذي - التي ، ومنطقة الالتقاء ص ؛ لو ، الذي - التي ومنطقة التقارب .

مثال 2. أوجد منطقة تلاقي سلسلة .

حل. دل . لنضع حدًا

نحل عدم المساواة: , ، ومن هنا الفاصل الزمني

التقارب له الشكل: ، علاوة على ذلك ص= 5. بالإضافة إلى ذلك ، ندرس نهايات فاصل التقارب:
أ) , ، نحصل على السلسلة التي تتباعد
ب) , ، نحصل على السلسلة الذي يتقارب
بشروط. وبالتالي فإن منطقة الالتقاء هي: , .

إجابة:منطقة التقارب .

مثال 3صف متباينة للجميع ، لأن في نصف قطر التقارب .

مثال 4تتقارب السلسلة لكل R ، نصف قطر التقارب .

- ربما لن يتحول المجمع إلى مثل هذا التعقيد ؛) وعنوان هذه المقالة ماكر أيضًا - السلسلة التي ستتم مناقشتها اليوم ليست معقدة إلى حد ما ، ولكنها "أرض نادرة". ومع ذلك ، حتى الطلاب غير المتفرغين ليسوا محصنين ضدهم ، وبالتالي يجب أخذ هذا الدرس الإضافي على ما يبدو بمنتهى الجدية. بعد كل شيء ، بعد العمل عليها ، يمكنك التعامل مع أي "وحش" ​​تقريبًا!

لنبدأ مع كلاسيكيات هذا النوع:

مثال 1

أولاً ، لاحظ أن هذه ليست سلسلة قوى (أذكرك أنه يحتوي على الشكل). وثانياً ، هنا القيمة ملفتة للنظر على الفور ، والتي من الواضح أنها لا يمكن أن تدخل منطقة تقارب السلسلة. وهذا بالفعل نجاح بسيط للدراسة!

لكن مع ذلك ، كيف تحقق نجاحًا كبيرًا؟ أسارع إلى إرضائك - يمكن حل هذه السلسلة بنفس الطريقة مثل قوة- الاعتماد على علامة دالمبرت أو علامة كوشي المتطرفة!

حل: القيمة ليست ضمن نطاق تقارب المتسلسلة. هذه حقيقة مهمة ، ويجب التنويه عنها!

أساس الخوارزمية يعمل كمعيار. باستخدام اختبار دالمبرت نجد فاصل تقارب المتسلسلة:

تتلاقى السلسلة في. دعنا ننقل الوحدة لأعلى:

دعنا نتحقق على الفور من النقطة "السيئة": القيمة لم تدخل منطقة التقارب في السلسلة.

نتحرى عن تقارب السلسلة عند النهايات "الداخلية" للفترات الزمنية:
اذا ثم
اذا ثم

تتباعد كلتا السلسلتين العدديتين ، لأنها لم تتحقق علامة ضرورية على التقارب.

إجابةمنطقة التقارب:

لنقم بتحليل بسيط. دعنا نستبدل بعض القيمة من الفترة الصحيحة في المتسلسلة الوظيفية ، على سبيل المثال:
- يتقارب على علامة دالمبرت.

في حالة استبدال القيم من الفاصل الأيسر ، يتم أيضًا الحصول على سلسلة متقاربة:
اذا ثم .

وأخيرًا ، إذا ، فإن السلسلة - حقا يتباعد.

زوجان من الأمثلة البسيطة للإحماء:

مثال 2

أوجد منطقة تقارب سلسلة وظيفية

مثال 3

أوجد منطقة تقارب سلسلة وظيفية

كن جيدًا بشكل خاص مع "جديد" وحدة- سيجتمع 100500 مرة اليوم!

حلول وإجابات موجزة في نهاية الدرس.

يبدو أن الخوارزميات المستخدمة عالمية وخالية من المتاعب ، ولكن في الحقيقة هذا ليس كذلك - بالنسبة للعديد من السلاسل الوظيفية ، غالبًا ما "تنزلق" ، أو تؤدي إلى استنتاجات خاطئة (وسأنظر أيضًا في مثل هذه الأمثلة).

تبدأ الخشونة بالفعل على مستوى تفسير النتائج: ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، السلسلة. هنا ، في الحد ، نحصل عليه (تحقق من ذلك بنفسك)، ومن الناحية النظرية ، من الضروري إعطاء إجابة مفادها أن السلسلة تتقارب عند نقطة واحدة. ومع ذلك ، فإن النقطة "مبالغ فيها" ، مما يعني أن "صبورنا" يتباعد في كل مكان!

وبالنسبة للمسلسل ، فإن الحل "الواضح" "وفقًا لكوشي" لا يعطي شيئًا على الإطلاق:
- لأي قيمة من "x".

والسؤال الذي يطرح نفسه ، ماذا تفعل؟ نحن نستخدم الطريقة التي سيخصص لها الجزء الرئيسي من الدرس! يمكن صياغتها على النحو التالي:

التحليل المباشر لسلسلة الأرقام لقيم مختلفة

في الواقع ، لقد بدأنا بالفعل في القيام بذلك في المثال 1. أولاً ، نقوم بفحص بعض "x" المحددة وسلسلة الأرقام المقابلة. يجب أن تأخذ القيمة:
- سلسلة الأرقام الناتجة تتباعد.

وهذا يوحي على الفور بالفكرة: ماذا لو حدث نفس الشيء في نقاط أخرى؟
دعونا تحقق معيار ضروري لتقارب السلسلةل اِعتِباطِيّالقيم:

النقطة المذكورة أعلاه لجميع "س" الأخرىننظم عن طريق الاستقبال القياسي الحد الثاني الرائع:

خاتمة: تتباعد السلسلة على خط الأعداد بالكامل

وهذا الحل هو الخيار الأكثر فاعلية!

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يجب مقارنة السلسلة الوظيفية بـ سلسلة متناسقة معممة :

مثال 4

حل: بادئ ذي بدء ، دعونا نتعامل مع مجال التعريف: في هذه الحالة ، يجب أن يكون التعبير الراديكالي موجبًا تمامًا ، وبالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون جميع أعضاء السلسلة موجودين ، بدءًا من الأول. من هذا يتبع ما يلي:
. بهذه القيم ، يتم الحصول على سلسلة متقاربة مشروطًا:
إلخ.

"x" الأخرى ليست مناسبة ، لذلك ، على سبيل المثال ، عندما نحصل على قضية غير قانونية حيث لا يوجد أول عضوين من السلسلة.

كل هذا جيد ، كل هذا واضح ، لكن هناك سؤال واحد أكثر أهمية - كيف يمكن اتخاذ قرار بكفاءة؟ أقترح مخططًا يمكن أن يكون عاميًا كـ "نقل الأسهم" إلى سلسلة الأرقام:

يعتبر اِعتِباطِيّمعنى وفحص تقارب المتسلسلة العددية. نمط علامة لايبنيز:

1) هذه السلسلة بالتناوب.

2) - شروط السلسلة تنقص modulo. كل مصطلح تالي من السلسلة أقل في القيمة المطلقة من السابق: لذا فإن الانخفاض رتيب.

الخلاصة: المسلسل يتقارب حسب اختبار لايبنيز. كما لوحظ بالفعل ، فإن التقارب هنا مشروط - لسبب أن المسلسل - يتباعد.

إذن ها هو - أنيق وصحيح! وراء "ألفا" أخفينا بذكاء جميع المتسلسلات العددية الصالحة.

إجابة: السلسلة الوظيفية موجودة وتتقارب بشكل مشروط من أجل.

مثال مشابه لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 5

تحقق من تقارب سلسلة وظيفية

مثال على واجب نهائي في نهاية الدرس.

ها هي "فرضية العمل"! - تتقارب السلسلة الوظيفية على الفاصل!

2) كل شيء يتسم بالشفافية مع وجود فاصل زمني متماثل ، كما نعتبره اِعتِباطِيّالقيم ونحصل على: - متسلسلة عددية متقاربة تمامًا.

3) وأخيراً ، "الوسط". هنا ، أيضًا ، من الملائم التمييز بين فترتين.

نحن نفكر في ذلك اِعتِباطِيّالقيمة من الفاصل الزمني والحصول على سلسلة رقمية:

! مرة أخرى ، إذا كان الأمر صعبًا ، استبدل بعض الأرقام المحددة ، على سبيل المثال. ومع ذلك ، ... أردت الصعوبات =)

لجميع قيم "en" ، وسائل:
- هكذا بواسطة علامة المقارنةتتقارب السلسلة مع تقدم متناقص بشكل لا نهائي.

لجميع قيم "x" من الفترة التي نحصل عليها هي سلسلة متقاربة تماما.

تم البحث عن كل X's ، ولم تعد X's أكثر!

إجابة: مجال تقارب السلسلة:

يجب أن أقول ، نتيجة غير متوقعة! وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن استخدام علامات دالمبرت أو كوشي هنا سيضلل بالتأكيد!

التقييم المباشر هو "أعلى أنواع الأكروبات" في التحليل الرياضي ، ولكن هذا بالطبع يتطلب الخبرة ، وحتى الحدس في مكان ما.

أو ربما سيجد شخص ما طريقة أسهل؟ يكتب! بالمناسبة ، هناك سوابق - اقترح القراء عدة مرات حلولًا أكثر عقلانية ، وقمت بنشرها بسرور.

حظا سعيدا في الهبوط :)

المثال 11

أوجد منطقة تقارب سلسلة وظيفية

روايتي من الحل قريبة جدًا.

يمكن العثور على المتشددين إضافية في القسم السادس (الصفوف)جمع كوزنتسوف (مشاكل 11-13).هناك حلول جاهزة على الإنترنت ، لكن هنا أحتاجك تحذير- العديد منها غير مكتمل وغير صحيح وحتى خاطئ. وبالمناسبة ، كان هذا أحد أسباب ولادة هذا المقال.

دعونا نلخص الدروس الثلاثة وننظم أدواتنا. لذا:

لإيجاد الفاصل الزمني لتقارب سلسلة وظيفية ، يمكن للمرء أن يستخدم:

1) علامة دالمبرت أو علامة كوشي. وإذا لم يكن الصف كذلك قوة- نظهر مزيدًا من الحذر عند تحليل النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستبدال المباشر للقيم المختلفة.

2) معيار التقارب الموحد Weierstrass. دعونا لا ننسى!

3) مقارنة مع سلاسل عددية نموذجية- يقود في الحالة العامة.

ثم فحص نهايات الفترات التي تم العثور عليها (إذا لزم الأمر)ونحصل على منطقة التقاء السلسلة.

الآن لديك ترسانة خطيرة إلى حد ما تسمح لك بالتعامل مع أي مهمة موضوعية تقريبًا.

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

المثال الثاني: حل: القيمة ليست ضمن نطاق تقارب المتسلسلة.
نستخدم اختبار دالمبرت:


تتلاقى السلسلة في:

وهكذا ، فإن فترات تقارب السلسلة الوظيفية: .
نتحرى عن تقارب السلسلة في نقاط النهاية:
اذا ثم ;
اذا ثم .
كلا المتسلسلة الرقمية تتباعد ، لأن. لم يتم استيفاء معيار التقارب الضروري.

إجابة منطقة التقارب: