Stohhastiline mudel kirjeldab olukorda, kui on ebakindlus. Teisisõnu, protsessi iseloomustab teatud määral juhuslikkus. Omadussõna "stohhastiline" ise pärineb kreeka sõnast "arva". Kuna ebakindlus on igapäevaelu põhiomadus, võib selline mudel kirjeldada kõike.
Kuid iga kord, kui seda rakendame, on tulemus erinev. Seetõttu kasutatakse sagedamini deterministlikke mudeleid. Kuigi need ei ole asjade tegelikule seisule võimalikult lähedased, annavad nad alati sama tulemuse ja hõlbustavad olukorra mõistmist, lihtsustavad seda matemaatiliste võrrandite kogumi kasutuselevõtuga.
Põhijooned
Stohhastiline mudel sisaldab alati ühte või mitut juhuslikku muutujat. Ta püüab peegeldada tegelikku elu kõigis selle ilmingutes. Erinevalt stohhastilisest ei ole selle eesmärk kõike lihtsustada ja taandada teadaolevatele väärtustele. Seetõttu on selle peamine omadus ebakindlus. Stohhastilised mudelid sobivad kirjeldamaks kõike, kuid neil kõigil on järgmised ühised tunnused:
- Iga stohhastiline mudel peegeldab selle probleemi kõiki aspekte, mille jaoks see loodi.
- Iga nähtuse tulemus on ebakindel. Seetõttu sisaldab mudel tõenäosusi. Üldtulemuste õigsus sõltub nende arvutuse täpsusest.
- Neid tõenäosusi saab kasutada protsesside endi ennustamiseks või kirjeldamiseks.
Deterministlikud ja stohhastilised mudelid
Mõne jaoks tundub elu olevat järgnevus teiste jaoks – protsessid, milles põhjus määrab tagajärje. Tegelikult iseloomustab seda ebakindlus, kuid mitte alati ja mitte kõiges. Seetõttu on mõnikord raske leida selgeid erinevusi stohhastiliste ja deterministlike mudelite vahel. Tõenäosused on üsna subjektiivsed.
Mõelge näiteks mündiviske olukorrale. Esmapilgul tundub, et sabade saamise tõenäosus on 50%. Seetõttu tuleb kasutada deterministlikku mudelit. Tegelikkuses aga selgub, et palju sõltub mängijate käte osavusest ja mündi tasakaalu täiuslikkusest. See tähendab, et tuleb kasutada stohhastilist mudelit. Alati on parameetreid, mida me ei tea. Tegelikus elus määrab põhjus alati tagajärje, kuid on ka teatud määramatust. Valik deterministlike ja stohhastiliste mudelite kasutamise vahel sõltub sellest, millest oleme nõus loobuma – analüüsi lihtsusest või realism.
Kaose teoorias
Viimasel ajal on kontseptsioon, millist mudelit nimetatakse stohhastiliseks, muutunud veelgi hägusemaks. See on tingitud nn kaoseteooria arengust. See kirjeldab deterministlikke mudeleid, mis võivad esialgsete parameetrite väikese muutusega anda erinevaid tulemusi. See on nagu sissejuhatus määramatuse arvutamisse. Paljud teadlased on isegi tunnistanud, et see on juba stohhastiline mudel.
Lothar Breuer selgitas kõike elegantselt poeetiliste kujundite abil. Ta kirjutas: "Mägioja, peksev süda, rõugete epideemia, tõusev suitsusammas - kõik see on näide dünaamilisest nähtusest, mida, nagu näib, iseloomustab mõnikord juhus. Tegelikkuses alluvad sellised protsessid alati teatud järjekorrale, millest teadlased ja insenerid alles hakkavad aru saama. See on niinimetatud deterministlik kaos. Uus teooria kõlab väga usutavalt, mistõttu on paljud kaasaegsed teadlased selle pooldajad. Siiski on see endiselt vähe arenenud ja seda on üsna raske statistilistes arvutustes rakendada. Seetõttu kasutatakse sageli stohhastilisi või deterministlikke mudeleid.
Hoone
Stohhastiline algab elementaarsete tulemuste ruumi valikuga. Nii nimetavad nad statistikas uuritava protsessi või sündmuse võimalike tulemuste loendit. Seejärel määrab uurija iga elementaarse tulemuse tõenäosuse. Tavaliselt tehakse seda teatud tehnika alusel.
Tõenäosused on siiski üsna subjektiivne parameeter. Seejärel määrab uurija, millised sündmused on probleemi lahendamiseks kõige huvitavamad. Pärast seda määrab see lihtsalt nende tõenäosuse.
Näide
Mõelge kõige lihtsama stohhastilise mudeli loomise protsessile. Oletame, et viskame täringut. Kui "kuus" või "üks" kukub välja, on meie võidud kümme dollarit. Stohhastilise mudeli loomise protsess näeb sel juhul välja järgmine:
- Määratleme elementaarsete tulemuste ruumi. Matriitsil on kuus külge, nii et üks, kaks, kolm, neli, viis ja kuus külge võivad tulla.
- Iga tulemuse tõenäosus on 1/6, olenemata sellest, kui palju me täringut viskame.
- Nüüd peame kindlaks määrama meid huvitavad tulemused. See on näo kadumine numbriga "kuus" või "üks".
- Lõpuks saame määrata meid huvitava sündmuse tõenäosuse. See on 1/3. Summeerime mõlema meid huvitava elementaarsündmuse tõenäosused: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Kontseptsioon ja tulemus
Hasartmängudes kasutatakse sageli stohhastilist simulatsiooni. Kuid see on asendamatu ka majandusprognoosides, kuna võimaldab mõista olukorda sügavamalt kui deterministlikud. Investeerimisotsuste tegemisel kasutatakse sageli majandusteaduses stohhastilisi mudeleid. Need võimaldavad teha oletusi teatud varadesse või nende gruppidesse tehtud investeeringute tasuvuse kohta.
Modelleerimine muudab finantsplaneerimise tõhusamaks. Selle abiga optimeerivad investorid ja kauplejad oma varade jaotust. Stohhastilise modelleerimise kasutamisel on pikas perspektiivis alati eeliseid. Mõnes tööstusharus võib selle rakendamisest keeldumine või suutmatus viia isegi ettevõtte pankrotini. See on tingitud asjaolust, et päriselus ilmuvad iga päev uued olulised parameetrid ja kui nad seda ei tee, võivad sellel olla katastroofilised tagajärjed.
Stohhastiline diferentsiaalvõrrand(SDE) - diferentsiaalvõrrand, milles üks või mitu terminit on stohhastilise iseloomuga, see tähendab, et nad esindavad stohhastilist protsessi (teine nimi on juhuslik protsess). Seega osutuvad võrrandi lahendid ka stohhastilisteks protsessideks. Kõige kuulsam ja sagedamini kasutatav SDE näide on valget müra kirjeldava terminiga võrrand (mida võib pidada Wieneri protsessi tuletise näiteks). Siiski on ka teist tüüpi juhuslikke kõikumisi, näiteks hüppeprotsess.
Lugu
Kirjanduses seostatakse SDE esmakordset kasutamist traditsiooniliselt Marian Smoluchowski (g.) ja Albert Einsteini (g.) iseseisvalt tehtud tööga Browni liikumise kirjelduse kohta. SDE-sid kasutas aga veidi varem ( d.) prantsuse matemaatik Louis Bouchelier oma doktoritöös "Eelduste teooria". Selle töö ideede põhjal hakkas prantsuse füüsik Paul Langevin SDE-d rakendama oma füüsikaalases töös. Hiljem töötas ta koos vene füüsiku Ruslan Stratonovitšiga välja SDE rangema matemaatilise põhjenduse.
Terminoloogia
Füüsikas kirjutatakse SDE-d traditsiooniliselt Langevini võrrandi kujul. Ja sageli, mitte täiesti täpselt, nimetatakse seda Langevini võrrandiks endaks, kuigi SDE-d saab kirjutada mitmel muul viisil. Langevini võrrandi kujul olev SDE koosneb tavalisest mittestohhastilisest diferentsiaalvõrrandist ja lisaosast, mis kirjeldab valget müra. Teine levinud vorm on Fokker-Plancki võrrand, mis on osaline diferentsiaalvõrrand ja kirjeldab tõenäosustiheduse muutumist ajas. SDE kolmandat vormi kasutatakse sagedamini matemaatikas ja finantsmatemaatikas, see sarnaneb Langevini võrranditega, kuid on kirjutatud stohhastilisi diferentsiaale kasutades (vt üksikasju allpool).
Stohhastiline arvutus
Lase T > 0 (\displaystyle T>0), lase sel minna
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ: Rn × [0, T] → Rn × m; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Seejärel stohhastiline diferentsiaalvõrrand antud algtingimuste jaoks
d X t = μ (X t, t) d t + σ (X t, t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t)) jaoks t ∈ [ 0, T]; (\displaystyle t\in ;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)on unikaalne (tähenduses "peaaegu tõenäoliselt") ja t (\displaystyle t)- pidev lahendus (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), selline, et X (\displaystyle X)- kohandatud protsess filtreerimiseks F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z)), loodud Z (\displaystyle Z) ja B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t) ja
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Stohhastiliste võrrandite rakendamine
Füüsika
Füüsikas kirjutatakse SDE-d sageli Langevini võrrandi kujul. Näiteks võib esimest järku SDE-süsteemi kirjutada järgmiselt:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , (\displaystyle (\punkt (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( t))kus x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- hulk tundmatuid, f i (\displaystyle f_(i)) ja on suvalised funktsioonid ja η m (\displaystyle \eta _(m)) on aja juhuslikud funktsioonid, mida sageli nimetatakse müraterminiteks. Seda tähistust kasutatakse, kuna on olemas standardtehnika kõrgemate tuletistega võrrandi teisendamiseks esimest järku võrrandite süsteemiks, sisestades uusi tundmatuid. Kui a g i (\displaystyle g_(i)) on konstandid, siis me ütleme, et süsteem on allutatud aditiivsele mürale. Samuti käsitleme multiplikatiivse müraga süsteeme millal g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). Kahest vaadeldud juhtumist on liitmüra lihtsam. Lisamüraga süsteemile saab sageli lahenduse leida ainult standardarvutuse meetodeid kasutades. Eelkõige saab kasutada tavalist tundmatute funktsioonide koostamise meetodit. Multiplikatiivse müra puhul on Langevini võrrand aga tavapärase matemaatilise analüüsi mõttes halvasti defineeritud ja seda tuleb tõlgendada Itô arvutuse või Stratonovichi arvutuse kaudu.
Füüsikas on SDE-de lahendamise peamiseks meetodiks lahenduse leidmine tõenäosustiheduse kujul ja algvõrrandi teisendamine Fokker-Plancki võrrandiks. Fokker-Plancki võrrand on osaline diferentsiaalvõrrand, millel puuduvad stohhastilised terminid. See määrab tõenäosustiheduse ajalise arengu, nii nagu Schrödingeri võrrand määrab kvantmehaanikas süsteemi lainefunktsiooni sõltuvuse ajast, või difusioonivõrrand määrab keemilise kontsentratsiooni ajalise arengu. Lahendusi saab otsida ka numbriliselt, näiteks Monte Carlo meetodi abil. Teised lahenduste leidmise tehnikad kasutavad teeintegraali, see tehnika põhineb statistilise füüsika ja kvantmehaanika vahelisel analoogial (näiteks Fokker-Plancki võrrandit saab muuta Schrödingeri võrrandiks, kasutades muutujate mõnda teisendust) või tavalised diferentsiaalvõrrandid tõenäosustihedusmomentide jaoks.
Lingid
- Stohhastiline maailm – lihtne sissejuhatus stohhastilistele diferentsiaalvõrranditele
Kirjandus
- Adomian, George. Stohhastilised süsteemid (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
- Adomian, George. Mittelineaarsed stohhastilised operaatorivõrrandid (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- Adomian, George. Mittelineaarsete stohhastiliste süsteemide teooria ja rakendused füüsikas. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (Matemaatika ja selle rakendused (46)). (Inglise)
Sotsiaal-majanduslike protsesside oluliseks tunnuseks on võimatus olemasoleva a priori teabe põhjal üheselt ennustada nende kulgu. Vaatamata sellele, et sotsiaalmajanduslikud protsessid alluvad teatud objektiivsetele seaduspärasustele, avalduvad need seadused igas konkreetses protsessis läbi paljude ebakindluste.
Protsessi matemaatiline mudel võib sisaldada kas deterministlikke parameetreid ja seoseid või stohhastilisi, kuid ei saa (vähemalt teaduse praeguses seisus) sisaldada määramatust.
Konkreetse sotsiaal-majandusliku protsessi modelleerimisel deterministliku või stohhastilise lähenemise valik sõltub modelleerimise eesmärkidest, lähteandmete määramise võimalikust täpsusest, tulemuste nõutavast täpsusest ning peegeldab uurija infot põhjuse olemuse kohta. reaalse protsessi -ja-mõju seosed. Samal ajal tuleks reaalsetes protsessides esineda võivaid ebakindlaid tegureid esitada ligikaudu deterministlike või stohhastilistena. Mudelis sisalduvate parameetrite olemus viitab neile esialgsetele eeldustele, mida saab põhjendada vaid empiiriliselt. Vastav hüpotees mudeli parameetrite ja seoste deterministlikust või stohhastilisest olemusest on aktsepteeritud, kui see ei ole vastuolus katseandmetega nende parameetrite määramise nõutava või võimaliku täpsuse piires.
Enamik tänapäevaseid sotsiaal-majanduslike protsesside mudeleid põhinevad tõenäosuslikel konstruktsioonidel. Sellega seoses on soovitatav kaaluda selliste struktuuride modelleerimisel kasutatavate esialgsete eelduste küsimust.
Tõenäosusteooria uurib katsete (reaalsete nähtuste) matemaatilisi mudeleid, mille tulemust ei ole eksperimendi tingimustega täiesti üheselt määratud. Seetõttu on nende modelleerimisel stohhastilise (tõenäosusliku) lähenemise valikul sageli määravaks sotsiaalmajanduslike protsesside ebaselgus. Samas ei võeta alati arvesse, et tõenäosusteooria aparaat on kirjeldamiseks ja uurimiseks rakendatav. mitte mingeid katseid ebakindlate tulemustega , kuid ainult katsed, mille tulemused on statistiliselt stabiilsed. Seega jääb mõnikord täiesti silma alt ära ka kõige olulisem küsimus tõenäosuslike meetodite rakendatavuse empiirilisest põhjendatusest vaadeldavate sotsiaalmajanduslike protsesside spetsiifilistele tunnustele.
Tõenäosusteooria meetodite rakendatavust teatud protsesside uurimisel saab põhjendada vaid empiiriliselt, tuginedes nende protsesside tunnuste statistilise stabiilsuse analüüsile.
Statistiline stabiilsus on konkreetse protsessi uuritava parameetri empiirilise keskmise, sündmuse sageduse või muude mõõtmisprotokolli karakteristikute stabiilsus.
Siiski tuleb märkida, et reaalse sotsiaal-majandusliku protsessi kui terviku statistilise stabiilsuse ja sellest tulenevalt ka tõenäosusmõistete rakendatavuse küsimust selle modelleerimisel saab praegu lahendada ainult intuitiivsel tasandil. See on objektiivselt tingitud piisava arvu katsete puudumisest protsessi kui terviku kohta. Samal ajal on enamik “elementaarprotsesse”, mis moodustavad selle või teise sotsiaalmajandusliku protsessi, juhuslikku laadi (st nende statistilise stabiilsuse hüpotees ei ole vastuolus olemasoleva kogemusega). Nii on näiteks konkreetse toote ühe või teise koguse teatud perioodiks ostmine üsna sageli juhuslik sündmus. Sündinud laste arv on juhuslik. Tarbimisprotsessid on oma olemuselt juhuslikud. Juhuslikud on seadmete rikked, kaupade ja teenuste tootmisega seotud inimeste moraal jne. Nende nähtuste juhuslikkust on empiiriliselt kinnitanud küllaltki suur hulk katseid.
Kõik need "elementaarsed" juhuslikud protsessid interakteeruvad üksteisega, ühinedes ühtseks sotsiaal-majanduslikuks protsessiks. Hoolimata asjaolust, et sotsiaal-majandusliku sfääri juhtimine on suunatud juhuse elemendi vähendamisele ja sellele protsessile deterministliku eesmärgipärasuse andmisele, on tegelikud protsessid nii keerulised, et hoolimata sellest, kui kõrge on juhtimise tsentraliseeritus, on juhuslikud tegurid alati olemas. neis esinevad. Seetõttu jääb sotsiaal-majanduslike protsesside olemus laiemas mõttes juhuslikuks. See on aluseks stohhastiliste mudelite kasutamisele nende uuringus, kuigi konkreetse protsessi kui terviku täielikku stohhastilist stabiilsust on vaevalt võimalik täielikult tagada.
Praegu on sotsiaal-majanduslike protsesside stohhastilisel modelleerimisel kaks peamist lähenemist (joonis 4.8). Esimene suund on seotud stohhastiliste mudelite konstrueerimisega statistiliste testide meetodil (Monte Carlo). Teine suund on analüütiliste mudelite ehitamine. Mõlemad valdkonnad arenevad paralleelselt ja täiendavad üksteist.
Statistiliste testide meetodil põhinevate mudelite peamine omadus on see, et nad reprodutseerivad ligikaudselt sotsiaal-majanduslikku protsessi selle elementaarsete komponentide ja nende seoste jäljendamise põhjal. See võimaldab modelleerida väga keerulise struktuuriga protsesse, mis sõltuvad paljudest erinevatest teguritest. Statistilised testimudelid kipuvad aga olema tülikad. Nende kasutamine nõuab palju arvutimälu ja on seotud suurte arvutiaja kuludega. Nende mudelite oluliseks puuduseks on ka konstruktiivsete optimeerimismeetodite puudumine.
Mõned sotsiaal-majanduslike protsesside statistiliste simulatsioonimudelite puudused kõrvaldatakse analüütiliste mudelite kasutamisega.
Riis. 4.8. Sotsiaal-majanduslike protsesside stohhastiline modelleerimine
Praegu kasutatakse stohhastiliste protsesside analüütiliste mudelite koostamiseks kahte peamist lähenemisviisi - mikroskoopilisi ja makroskoopilisi.
Mikroskoopiline lähenemine seisneb sotsiaal-majandusliku süsteemi iga elemendi käitumise üksikasjalikus uurimises.
Makroskoopilised mudelid uurivad ainult süsteemi makroomadusi ja võtavad arvesse ainult süsteemi oleku keskmisi omadusi, näiteks süsteemi mõnes kindlas olekus olevate elementide keskmist arvu. See toob kaasa teabe kadumise sotsiaal-majandusliku süsteemi iga elemendi seisundi kohta, kuna samad makroseisundid võivad olla mikroolekute erinevate kombinatsioonide tulemus. Samas võimaldab makroskoopiline lähenemine vähendada matemaatilise mudeli dimensiooni, muuta see nähtavamaks ning vähendada arvutuste käigus arvutiressursside kulu. Mikroskoopilist lähenemist eelistatakse juhul, kui on vaja üksikasjalikumat teavet süsteemi käitumise kohta. Makroskoopilist lähenemist kasutatakse üsna kiirete hinnanguliste arvutuste tegemiseks.
Deterministliku mudeli eripäraks on see, et parameetreid ja algtingimusi arvestades on protsess täielikult määratud mis tahes ajal t > 0.
Stohhastilise tõlgenduse korral kirjeldab mudel protsessi tõenäosuslike karakteristikute (näiteks matemaatiliste ootuste) dünaamikat ja seetõttu iseloomustab protsessi keskmiselt, esitades iga konkreetse teostuse kohta ainult hinnanguid. Sotsiaal-majanduslike protsesside stohhastilised mudelid võimaldavad ennustada ainult keskmisi tulemusi (protsessi tulemuste jaotuse momente) või teatud tulemuste tõenäosust.
Tehnoloogiliste toimingute ja protsesside mudelite loomisel tuleb tegeleda selliste juhtumitega, kui modelleeritavat nähtust ei ole võimalik kirjeldada deterministlike funktsionaalsete seoste kujul. Selle põhjuseks võib olla nii erinevate juhuslike häirete tugev mõju kui ka nähtuse enda põhimõtteliselt juhuslikkus, s.t. meid huvitavat nähtust ei moonuta häired, vaid see on põhjustatud erinevate juhuslike tegurite koosmõjust.
Kõige tüüpilisem juhuslik sündmus on seadmete ja automaatikaelementide rike nende normaalse töö käigus.
tatsioonid. Ühest küljest näitab kogemus, et varem või hiljem, koos
Enamik detaile või elektroonikakomponente rikuvad rohkem või vähem intensiivselt ja teisalt on täiesti võimatu täpselt ennustada hetke, millal rike ilmneb.
Ilmselgelt saame rääkida ainult ühe või mitme rikke esinemise tõenäosusest teatud ajaintervalli jooksul või
o et tööaeg (tõrgete arv on null) ei ole
ületab teatud väärtuse.
Sarnane küsimuse sõnastus kehtib ka parameetri mõõtmisvigade puhul. Mitme juhusliku tõttu
on võimatu ennustada, millal viga ilmneb
konkreetne mõõtmine, kuigi on selge, et see ei saa olla suurem kui mõni väärtus ja et on olemas keskmise vea mõiste lõpliku mõõtmiste hulga kohta. Juhuslikku võib esitada ka toorikute ja isegi valmisosade parameetrite kõrvalekaldumisena normatiivsetest. Samas on heade toodete puhul need hälbed lubatud hälvete piires, defektsete toodete puhul ületavad tolerantsi.
Vaadeldavatel juhtudel, eriti kui erinevad juhuslikud tegurid interakteeruvad ja vastastikku mõjutavad, ei saa meid huvitava parameetri käitumist ja selle väärtust esitada seda määravate tegurite keskmiste väärtuste koostoime funktsioonina. Lõpptulemus tuleks saada juhusliku suuruse kujul juhuslike tegurite koosmõju tulemusena protsessi korduvates rakendustes. Alles pärast saadud tulemuste statistilist töötlemist saab rääkida keskmise väärtuse ja leviku hinnangust. Sellist protsessimudelit, erinevalt deterministlikust, nimetatakse stohhastiliseks (juhuslikuks).
Stohhastilised mudelid peegeldavad ka sellele protsessile omaseid objektiivseid mustreid, kuid nende esindatust
deterministlike funktsioonide vorm on kas võimatu või ebapraktiline
piltlikult öeldes selles etapis. Nende esitamiseks kasutatakse juhuslike funktsioonide aparaati, kui juhuslikke nähtusi ja protsesse iseloomustavad tõenäosusseadustele alluvad juhuslikud muutujad.
Statistiliselt stabiilseid (usaldusväärseid) tulemusi juhuslike nähtuste ja protsesside modelleerimisel on võimalik saada ainult piisavalt suure arvu teostuste (katsete) korral ja mida suurem on juhusliku suuruse väärtuste levik, seda suurem on realisatsioonide arv. Tegelikkuses on selline modelleerimine võimalik ainult kiirete arvutite kasutamisega.
Selleks peab arvuti suutma:
Looge juhuslike arvude jada antud jaotusseaduse ja parameetritega (matemaatika
tic ootus, dispersioon jne);
Arvutage juhusliku sündmuse tõenäosus, mis järgib teatud seadust antud in-
ajavahemik;
Reprodutseerida juhusliku sündmuse toimumise fakti vms.
Kõigil neil juhtudel on vaja teada juhusliku suuruse või sündmuse jaotuse seadust ja selle parameetreid. Nõutud
selleks saadakse andmeid sellise nähtuse rakendamise täiemahulise eksperimendi läbiviimisel. Sellise katse statistiline töötlemine võimaldab mitte ainult tuvastada juhusliku nähtuse statistilisi mustreid, vaid ka hinnata tulemuste usaldusväärsust sõltuvalt katse ulatusest (rakenduste arvust).
Eksperimentaalse andmetöötluse algetapp on variatsioonirea ja histogrammi koostamine. Selleks fikseeritakse diskreetse juhusliku muutuja väärtuste jada X(näiteks defektsete osade arv vahetuses) ajal P muuta Väärtuste kogumit nimetatakse valimiks või statistiliseks seeriaks.
Järjestades erinevad mõõdetud väärtused kasvavas järjekorras, saame variatsiooniseeria. Järgmiseks koostame sageduste tabeli, milles on iga väärtus variatsioonireast xi, vaadeldava nähtuse katsesagedus pannakse vastavusse:
Vahetuste arv millal xi, defektsed osad;
Vahetuste koguarv vaatluste tegemisel.
Kui juhuslik suurus on pidev (mõõtmisviga), siis esitatakse selle eksperimentaalsed väärtused intervallidena.
sagedustabel, mis näitab intervalle
ci− ci+1 väärtused
juhuslik muutuja ja samuti, nagu diskreetse muutuja puhul, sageli
sa tabad teda selle intervalliga
- juhuslike muutujate väärtuste arv, mis ei tule välja
üle piiride i-th intervall;
kogused.
Juhusliku fikseeritud väärtuste koguarv
Intervallide tabeli järgi konstrueeritakse histogramm, mis kujutab endast horisontaalteljel paiknevate konjugeeritud ristkülikute jada, mille alus on võrdne intervalliga
ci− ci+1
juhusliku suuruse väärtused ja pindala on võrdne
Konstrueerides graafikuid sagedustabeli või histogrammi andmete järgi, on nende kuju järgi võimalik püstitada hüpotees katseandmete vastavuse kohta ühele või teisele seadusele. Pärast seda kontrollitakse katseandmete ja kavandatava seaduse vastavust. Kontrollimine toimub erinevate vastavuskriteeriumide abil. Kõige tavalisem on Pearsoni χ2 (hii-ruut) test.
Siiani oleme kaalunud deterministliku võrgutopoloogiaga mudeleid. Keerulise projekti modelleerimisel on stohhastilise struktuuriga võrgumudelid sageli kõige paindlikumad ja kasulikumad. Stohhastiline võrk on defineeritud kui võrk, mis sisaldab alternatiivseid sõlme (olekuid), samas kui kaare (töid) iseloomustab mitte ainult kestuse tõenäosusjaotus, vaid ka nende teostamise tõenäosus.
Paljude võimalike tulemustega stohhastiline võrgumudel, mis on traditsiooniliste võrkude edasiarendus, võimaldab terviklikumalt kajastada keeruka projekti arendamise ja loomise protsessi. Stohhastiliste võrgumudelite analüüsiks kasutatav matemaatiline aparaat võimaldab arvutada erinevate alternatiivsete tulemuste tõenäosusi ja hinnata nende võimaliku realiseerumise aega.
Stohhastiline võrgumudel on lõplik graaf G=(W,A), kus W on sündmustega identifitseeritud deterministlike ja alternatiivsete tippude hulk ning tehnoloogiline maatriks A=(p ij ) defineerib töökohtadega tuvastatud orienteeritud kaare komplekti ( või ühendused). Stohhastiliste võrkude puhul 0 £ p ij £ 1 ja p ij =1 defineerib töö (i, j) sarnaselt traditsioonilistes võrkudes aktsepteeritud määratlustega ja
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
Olgu j(t ij) töö sooritamise aja (i,j) jaotustihedus. M[x] on juhusliku suuruse x matemaatiline ootus.
Juhusliku suuruse t ij momentide tingimuslik genereeriv funktsioon tuuakse sisse kujul М ij (s)=М[е st ij ], st.
M ij (s) = ò e st ij j(t ij) dt ij (pideva juhusliku suuruse korral),
е st ij j(t ij) (diskreetse juhusliku suuruse korral).
Eelkõige М ij (s)=М[е sа ] = e sа t ij =а=const, М ij (0)=1.
Iga kaare (i,j) jaoks on Y-funktsioon defineeritud kui
Y ij (s) = p ij М ij (s).
Algne võrk teisendatakse samaväärseks võrguks, kasutades kolme põhiteisendust:
järjestikused kaared,
Paralleelsed kaared
Järjestikuste kaare jaoks (joonis 7)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).
Paralleelkaarte jaoks (joonis 8)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).
Vaatesilmuste jaoks (joonis 9)
Y ij (s) = Y b (s)/.
Põhiteisendusi kombineerides saab mis tahes võrgu muuta samaväärseks ühest kaarest koosnevaks võrguks (E-arc).
Stohhastilise võrgu ajaanalüüsi eesmärk on arvutada võrgu (või mõne selle fragmendi) teostusaja matemaatiline ootus ja dispersioon ning võrgu lõpu (või mõne muu sündmuse) teostamise tõenäosus.
Siin kasutatakse suletud voo graafikute teooriat, kus ülaltoodud Y-funktsiooni tõlgendatakse vastava kaare läbilaskvusena. Selle teooria tulemuste rakendamiseks avatud võrgule soovitud parameetriga Y E (s) võetakse kasutusele täiendav kaar parameetriga Y A (s), mis ühendab lõppsündmuse (valamu) esialgsega (allikas).
Seejärel kasutatakse Masoni reeglina tuntud suletud graafikute topoloogilist võrrandit järgmisel kujul:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
kus åT(L m) on kõigi võimalike m-ndat järku ahelate ekvivalentsete läbilaskvuste summa.
M-ndat järku ahela ekvivalentne läbilaskvus on võrdne läbilaskvuste m korrutisega mitteseotud esimest järku silmused, s.o.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
Masoni reeglist tuleneb otseselt, et 1–Y A (s)Y E (s)=0 või Y A (s)=1/Y E (s). Seda tulemust kasutades asendatakse topoloogilises võrrandis (10) Y A (s) 1/Y E (s) ja seejärel lahendatakse see Y E (s) suhtes, saades seeläbi algse stohhastilise võrgu jaoks samaväärse Y-funktsiooni.
Kuna Y E (s) \u003d p E M E (s) ja M E (0) \u003d 1, siis p E \u003d Y E (0), mis tähendab, et
M E (s) = Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (üksteist)
Pärast M E (s) analüütilise avaldise saamist arvutage funktsiooni M E (s) esimene ja teine osatuletis punktis s=0, s.o.
m 1E = ¶/¶s [M E (s)] s = 0 (12)
m 2E = ¶ 2 / ¶ s 2 [M E (s)] s = 0 (13)
Esimene hetk m 1E lähtepunkti suhtes on võrgu täitmisaja matemaatiline ootus (teisendatud selle ekvivalentseks E-kaareks) ja võrgu täitmisaja dispersioon on võrdne teise momendi m 2E ja ruudu vahega. esimesest, s.o.
s 2 \u003d m 2E – (m 1E) 2. (neliteist)
Seega võimaldab ülalkirjeldatud aparaat arvutada stohhastilise võrgu mis tahes kasutajale huvipakkuvate sündmuste ajaparameetreid, samuti määrata nende toimumise tõenäosust.
Saadud teavet kasutades on Tšebõševi ebavõrdsust kasutades võimalik hinnata suvaliste jaotusseaduste projekti lõpuleviimise tõenäosust üksikute toimingute teostamiseks. Kui iga toimingu täitmisaeg on normaaljaotusega, siis on ka saadud aeg normaaljaotusega. Sel juhul on Moivre-Laplace'i integraaliteoreemi abil võimalik saada tõenäosuslikke hinnanguid projekti täitmisaja kohta. Lisaks, kui võrgus on piisavalt palju töid ja on täidetud teatud tingimused (eelkõige töökohtade sõltumatus), saame kasutada Ljapunovi piirteoreemi ja lugeda saadud projekti täitmisaega normaalselt jaotatud juhuslikuks muutujaks. ülalkirjeldatud meetodil arvutatud karakteristikud.
Seega hõlmab stohhastiline võrgumudel kõiki juhuslikke kõrvalekaldeid ja määramatust, mis tekivad vahetult iga üksiku töö teostamisel.
3.4. Projektijuhtimise planeerimistöö ülesande üldlause vormistamine ja universaalse võrgumudeli ning selle alusel lahendatud ajaanalüüsi ülesannete kirjeldamine
Eeltoodud mudelite analüüsi ja sünteesi tulemusena pakutakse välja universaalne matemaatiline mudel, mille erijuhtudeks on aga klassikalised, üldistatud ja stohhastilised võrgumudelid.
See mudel (nimega tsükliline stohhastiline võrgumudel – CSSM) on paindlikum ja adekvaatsem tööriist keeruka projekti arenduse juhtimise protsessi kirjeldamiseks.
CSSM on lõplik, orienteeritud tsükliline graaf G(W,A), mis koosneb sündmuste hulgast W ja kaaredest (i,j)(sündmused i, jOW), mis on määratud naabrusmaatriksiga A=(p ij ). 0Ј p ij Ј1 ja p ij =1 määratlevad deterministliku kaare (i,j) ja 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
Tähistage T i-ga i-nda sündmuse lõppemise aeg, siis kaarega (i, j) ühendatud sündmuste lõpetamise aja suhe on antud võrratusega:
Т j – Т i і y ij , (15)
kus y ij on üldiselt mingisuguse seaduse järgi jaotatud juhuslik suurus vahemikus –Ґ kuni 0 või 0 kuni +Ґ.
Lisaks on sündmuse toimumise ajal võimalikud absoluutsed piirangud:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
Seosed (15)-(16) on üldistatud võrgumudelite kirjeldamisel vastavate ebavõrdsuste üldistus, kus parameeter y ij ja naabrusmaatriks A on deterministlikud.
Vaatleme seose (15) semantilist koormust parameetri y ij tõenäosusliku olemusega.
Kui (i,j) on kaaretöö (või selle osa), siis positiivselt jaotatud juhuslik suurus y ij määrab selle töö minimaalse kestuse jaotuse (seotud selle maksimaalse küllastumisega defineeriva ressursiga). Töö näitab, et väärtuse y ij jaotus on unimodaalne ja asümmeetriline ning beeta jaotus vastab neile nõuetele, seega minimaalne tööaeg on juhuslik suurus y ij =t min (i,j), mis on jaotatud vastavalt beeta jaotuse seadusele tihedusega lõigul [a, b]
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1, (17)
kus C määratakse tingimusest
Kui (15) kaaretööle (i,j) vastav juhuslik suurus y ij jaotub vahemikus –Ґ kuni 0, siis määrab –y ij =t max (j,i) jaotuse maksimaalse ajaintervalli pikkus, mille jooksul tuleb tööd (i, j) alustada ja lõpetada ka siis, kui see on minimaalselt defineeriva ressursiga küllastunud. Selle koguse jaoks saime selle jaotuse sarnasel kujul (17). Teades iga töö (i, j) juhusliku suuruse y ij jaotust, arvutatakse vastavate valemite abil selle matemaatiline ootus ja dispersioon.
Kaartööde (i,j) negatiivselt jaotatud väärtuste y ij lisamine punkti (15) avardab oluliselt tööde ajaliste omaduste kirjeldamise võimalusi, muutes laialdaselt kasutatava tõenäosusmudeli vaid üheks erijuhtumiks.
Kaarlülide (i,j) puhul määrab väärtus y ij sündmuste i ja j vahelise ajasõltuvuse jaotuse ning positiivselt jaotatud väärtus y ij määrab "mitte varem" tüübi seose (sündmus j ei saa toimuda mitte varem kui y ij päeva pärast sündmuse i lõppemist) ja negatiivselt jaotatud väärtus y ij määrab tüübi "hiljem kui" seose (sündmus i võib toimuda hiljemalt –y ij päeva pärast sündmust j). Viimasel juhul nimetatakse selliseid linke "tagurpidi".
Seega oleme siin saanud nende seoste üldistuse, võttes arvesse nende võimalikku tõenäosuslikku olemust.
Kuna sündmuste Т i lõpuleviimise aja määrab neile tehnoloogiliselt eelnevate tööde kestuste summa, siis piisavalt suure hulga selliste tööde korral vastavalt kesksele piiriteoreemile juhusliku suuruse Т jaotus. i kaldub normaalseks parameetritega - ootus МТ i ja dispersioon DТ i . Normaaljaotuses on ka "tagurpidi" kaaretele vastav parameeter y ij, mida kinnitab ka statistiline analüüs.
Absoluutsed piirangud sündmuste ajastamisele, mis on antud punktiga (16), kajastavad vastavat käskkirja, organisatsioonilisi ja tehnoloogilisi piiranguid tööde või nende osade teostamise ajastusele, mis on antud "absoluutsel" (reaalsel või tingimuslikul) ajaskaalal. Absoluutseid piiranguid iseloomustab ka tüüp "mitte varem" või "mitte hiljem" ja see on kujul: T i - T 0 і l i , T 0 - T i і -L i . Seega on vormi (16) absoluutsed piirangud vormi (15) piirangute erijuht teatud kaareühenduste puhul.
Stohhastilise naabrusmaatriksi A kasutuselevõtt koos üldistatud seostega annab täiendavaid võimalusi keeruka projekti loomise protsessi kirjeldamiseks.
Olgu L(i,j) mingi tee, mis ühendab sündmusi i ja j:
L(i,j)=(i=i 0®i 1®i 2®…®i v =j). (kaheksateist)
See tee deterministlik, kui pi k-1 i k =1 kehtib kõigi kО, ja stohhastiline, muidu. Seega sisaldab stohhastiline tee vähemalt ühte kaare, mille "täitmise" tõenäosus on rangelt väiksem kui 1.
Sarnaselt määratletud deterministlik ja stohhastiline ahelК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (Selliseid sündmusi nimetatakse "kontuuriks").
Kui sündmused i ja j on ühendatud teega L(i,j), on sündmuse j toimumise tõenäosus eeldusel, et sündmus i on toimunud P(j/i) naabrusmaatriksi A kordajate korrutis. mis vastab ühendustee kaaredele:
P(j/i)=X v k=1 p i k-1 i k . (19)
Kui sündmused i ja j on seotud mitmel viisil, siis teostatakse selle võrgufragmendi ekvivalentne GERT-teisendus vastavalt töös toodud valemitele, arvutatakse teisendatud fragmendi genereeriv funktsioon Y ij (s) ja tõenäosus. sündmusest j eeldusel, et sündmus i toimus P (j/i)= Y ij (0).
Funktsiooni Y ij (s)/ Y ij (0) esimene tuletis s-i suhtes punktis s=0 (esimene hetk m 1 (j/i)) määrab funktsiooni ootuse M(j/i). sündmuse aeg j sündmuse toimumisaja i suhtes. Funktsiooni Y ij (s)/ Y ij (0) teine tuletis s suhtes punktis s=0 (teine hetk m 2 (j/i)) võimaldab arvutada funktsiooni aja dispersiooni. sündmus j sündmuse i aja suhtes valemiga
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (kakskümmend)
Tee pikkus L(i,j) on juhuslik suurus, mille matemaatiline ootus ML(i,j) on kõigi selle tee moodustavate kaare pikkuste matemaatiliste ootuste ja dispersiooni DL summa. (i,j) on võrdne dispersioonide summaga.
Nendel tingimustel võib tee (kontuuri) pikkus võtta negatiivne väärtused, mida tõlgendatakse järgmiselt:
kui L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться mitte hiljem kui -y ji päeva pärast sündmuse i toimumist. Parameeter y ji on tõenäosuslikku laadi, mis võimaldab paindlikumalt (tsükliliste võrgumudelite suhtes) kirjeldada sündmuste vahelisi loogilis-ajalisi seoseid.
Kaareparameetrina y ij võib vaadelda ka mis tahes iseloomulikku parameetrit, millel on suvalise tee kaare aditiivsus (näiteks töö maksumus), kusjuures samaväärset GERT-teisendust kasutades saame maksumuse matemaatilise ootuse ja dispersiooni. võrgufragmendi või projekti kui terviku kohta.
CSSM-i ajalise analüüsi ülesanded (ja nende lahendamise algoritmid) samuti klassikaliste, üldistatud või stohhastiliste võrgumudelite ajaline analüüs on kõigi planeerimis- ja projektijuhtimise probleemide lahendamise aluseks. Need on iseseisva tähtsusega projektijuhtimise probleemide lahendamisel, arvestamata ressursipiiranguid.
Ajalise analüüsi ülesanded on vajalikud ka ressursi kättesaadavuse vektori teatud väärtuste jaoks erinevate plaanivalikute genereerimiseks, et neid hiljem võrrelda, hinnata planeeringu valikute kvaliteeti ja valida selle edasiseks täiustamiseks.
Projektijuhtimise optimaalse tööplaneerimise probleemide lahendamisel kasutatakse tehnoloogiliste piirangute täitmise tagamiseks vastavates optimeerimisalgoritmides kasutatavate vajalike parameetrite arvutamise vahendina CSSM ajaanalüüsi algoritme.
CSSM-i ajalise analüüsi ülesanne on taandatud juhusliku vektori T=(T 0 ,T 1 ,…,T n) leidmisele, kus T i on i-nda sündmuse aeg, mille koordinaadid rahuldavad ebavõrdsusi ( 15),(16) ja muuta ekstreemumiks mingi sihtfunktsioon f(T).
Esile tõstetud kolme klassi ajalise analüüsi probleeme:
· klassikaline, milles (T i ) arvutamiseks kasutatakse kõigi kaare pikkuste matemaatilisi ootusi;
· tõenäosuslik milles Ljapunovi piirteoreemi või muude analüütiliste vahendite alusel arvutatakse i-nda sündmuste - (MT i ) - lõpuleviimise ajastuse matemaatilised ootused, mis on sihtfunktsiooni f(T) argumendid. ;
· statistiline, milles etteantud usaldusväärsuse taseme p korral määratakse vastavalt töös kirjeldatud meetodile empiiriliste jaotuste p-kvantiilhinnangud nii i-nda sündmuste ajastusele - (W p (T i)) kui ka nendele. tuletised, sealhulgas sihtfunktsiooni f(W p (T)) väärtused, kus W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)) .
Tutvustatakse CSSM-i järjepidevuse mõistet.
Tsüklilist stohhastilist võrgumudelit nimetatakse järjekindel kui vastava ajaanalüüsi ülesannete klassi jaoks (klassikaline, tõenäosuslik või statistiline) on arvutatud vähemalt üks lubatav plaan, mis rahuldab võrratuste süsteemi (15), (16).
Vaatame neid kolme mõistet.
Klassikaline mudeli järjepidevus.
Arvutatakse kõigi kaare pikkuste matemaatilised ootused, mille järel moodustub konstantsete kaarepikkustega võrk. Võttes arvesse vaadeldava mudeli stohhastilisust ja üldistatud seoste olemasolu, võivad pärast ülaltoodud arvutusi CSSM-is aset leida stohhastilised ja deterministlikud kontuurid. Tõestatakse järgmine teoreem:
1. teoreem . Selleks, et tsükliline stohhastiline mudel, milles kaare pikkusi arvutatakse klassikalise skeemi järgi, oleks kooskõlas etteantud tõenäosusega a, on vajalik ja piisav, et kõigi deterministlike kontuuride pikkused ei oleks positiivsed.
Tõenäosusliku mudeli järjepidevus.
MT i matemaatiline ootus ja sündmuste ajastuse dispersioon s 2 T i arvutatakse analüütiliselt. Sel viisil arvutatud parameetrid erinevad 15-20% suurusjärgus klassikalisel viisil arvutatutest (vastavalt kaare kestuste matemaatilistele ootustele).
Räägime mudeli tõenäosuslik järjepidevus keskmiselt, kui nii saadud hulk rahuldab võrratused (15)-(16), kus y ij väärtuseks võetakse selle matemaatiline ootus. Järgmise teoreemi kehtivus on tõestatud:
2. teoreem . Selleks, et tsükliline stohhastiline mudel oleks keskmiselt tõenäosuslikult järjepidev, on vajalik ja piisav, et kõigi deterministlike kontuuride pikkuste matemaatilised ootused ei oleks positiivsed.
Eeldades, et Т i on normaaljaotus parameetritega: matemaatiline ootus - МТ i ja dispersioon - s 2 Т i , võtame kasutusele laiema mõiste e- tõenäosusmudeli järjepidevus.
Ütleme, et CSSM on e-tõenäosuslikult järjekindel, kui on olemas e > 0 nii et kõigi T i puhul, mis rahuldavad ebavõrdsust
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
3. teoreem . Selleks, et tsükliline alternatiivmudel oleks e-tõenäosuslikult järjepidev, on vajalik ja piisav, et kõigi deterministlike kontuuride pikkuste matemaatilised ootused rahuldaksid seost МL(K(i)) Ј –4e.
Mudeli tõenäosuslik konsistents on keskmiselt e-tõenäosusliku konsistentsi erijuhtum e=0 juures.
Mudeli statistiline järjepidevus.
Võrgumudeli parameetrite arvutamise statistilise meetodiga tegeleme nende väärtuste p-kvantiilhinnangutega, mis on vastavate näitajate tõenäosuslikud analoogid. Öeldakse, et tsükliline stohhastiline mudel statistiliselt kooskõlas tõenäosusega p, kui iga sündmuse i jaoks on p-kvantiilhinnangud sündmuste W p (T i) lõpuleviimise ajastuse kohta, mis rahuldavad ebavõrdsust:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i JW p (Т i)JL i . (22)
Siin on seosed (21)-(22) (15)-(16) tõenäosuslikud analoogid, W p (y ij) on kaare pikkuse (i,j) p-kvantiilhinnang. Järgnev on tõestatud:
4. teoreem . Selleks, et tsükliline alternatiivmudel oleks statistiliselt kooskõlas tõenäosusega p, on vajalik ja piisav, et kõigi deterministlike kontuuride pikkuste p-kvantiilhinnangud rahuldaksid seost W p (L(K(i))) Ј 0.
Algoritmid CSSM-i ajaparameetrite arvutamiseks.
Varased ja hilised plaanid.
Sündmuste lõppemise varase ja hilise kuupäeva arvutamiseks pakutakse välja muudetud "Pendli" algoritm. Modifikatsiooni idee on sünteesida tõenäosuslike võrkude jaoks kasutatavate parameetrite arvutamise statistiline meetod ja üldistes võrkudes kasutatav "pendli" algoritm ning seejärel rakendada see CSSM-ile.
 |
|||
 |
|||
 |
Joonis 10. Arvutamise algoritmi skemaatiline plokkskeem
p-kvantiili hinnangud varajased kuupäevad sündmuste elluviimine
Plokk 1. Algandmete sisestamine (maatriksi A koefitsiendid, jaotusparameetrid y ij , usaldusnivoo p).
Plokk 2. Nõutava arvu "joonistuste" N arvutamine, et tagada tulemuste kindlaksmääratud täpsus. Teostatud arvutused näitasid, et p=0,95, e=0,05 juures saame N»270.
3. plokk. v:=v+1 (v on loosi number).
Plokk 4. Juhuslike suuruste y ij v-nda variandi joonistamine, igaüks vastavalt oma jaotusseadusele, saades konstandid y ij (v) - kaare pikkus (i, j) v-ndal joonisel.
Plokk 5. Joonistage külgnevale tipule j ülemineku iga alternatiivne tipp i (mängitakse diskreetset juhuslikku muutujat p ij, mida esindab külgnemismaatriksi A i-s rida, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lemma 1 sama stohhastilist kontuuri antud usaldusnivoo p juures saab moodustada mitte rohkem kui k korda, kus k on hinnatud vastava valemiga. Lisame kontuuri k-kordse pikkuse (k + 1)-ndal sammul “välja mängitud” kaare pikkusele ja jätkame teise stohhastilise kontuuri (kui see on olemas) analüüsi. Sel juhul võivad võrgus ilmneda vastuolud (positiivsed deterministlikud kontuurid), seejärel liidame vastavalt töös toodud valemitele kontuuri d-kordse pikkuse, hinnates seeläbi keskmist aega " väljund” sündmus kontuurist.
Plokk 6. Saadud deterministlik üldistatud võrk G (v) jagatakse kaheks võrguks G 1 (v) ja G 2 (v), nii et ei G 1 (v) ega G 2 (v) ei sisalda kontuure. Võrgustiku G 1 (v) tipud on järjestatud auastmete järgi ja vastavalt neile määrame “õige” nummerduse. Kanname selle numeratsiooni üle võrku G 2 (v) ja algsesse G (v) .
Plokk 7. Võrgu G 1 (v) kõigi tippude i jaoks arvutame välja varase valmimise kuupäevad
T i 0 (v) : = max j (T i 0 (v) , T j 0 (v) + y ij (v) ).
Plokk 8. Võrgu G 2 (v) tippude jaoks teostame sarnaseid protseduure nagu plokk 7.
Plokk 9. Kui plokkide 7 ja 8 tulemused ei ühti vähemalt ühel indikaatoril, siis naaseme plokki 7 (sellist tagastamist pole rohkem kui G 2 (v) pöördkaarte arv), vastasel juhul plokki 10.
Plokk 10. Kui loosinumber on vJN, siis minge plokki 4, muul juhul minge plokki 11.
Plokk 11. Saadud hulgast (T i 0(v) ) iga tipu i jaoks koostame variatsioonirea. Fikseerime Т i 0(x) sellise väärtuse, et N x /N=р, kus N x on variatsioonirea liikmete arv, mis on väiksem kui Т i 0(x) . Väärtus Т i 0(x) on i-nda sündmuse varase liikme nõutav p-kvantiil – W p (Т i 0). Samamoodi koostame variatsioonirea (y ij (v) ) abil kaarepikkuste p-kvantiilhinnangud – W p (y ij).
Ploki 6 sisend võtab vastu üldistatud võrgumudeli G (v) viienda versiooni ja tegelikult on plokid 6–9 suurendatud plokkskeem "Pendli" algoritmist sündmuste varajase ajastuse arvutamiseks. OSM. Arvutamiseks sobiva algoritmi rakendamine hilised kuupäevad sündmuste lõpetamine plokkides 7 ja 8, saame T i 1(v) - üldistatud võrgumudeli V-nda versiooni sündmuste lõpetamise hilinenud kuupäevad, samas kui plokk 11 annab meile W p (T i 1) - p-kvantiili hinnangud hilised kuupäevad sündmuste lõpetamine.
Minimaalse kestuse plaanid.
Võrgu G (v) v-nda versiooni mis tahes teostatava plaani T (v) =(T i (v) ) kestus L(T (v)) määratakse valemiga:
L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
Asendamine joonisel fig. Funktsiooni miinimumi leidmise plokil (23) 10 plokki 6 - 9 saame võrgu G minimaalse kestuse plaani (v) (või "tihendatud" plaani). Väärtus
L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)
on võrgu kriitiline aeg G (v) .
Kasutades plokkides 6–9 OCM-i tihendatud plaani leidmise meetodit ja saadud plaanide edastamist läbi ploki 11, saame tihendatud plaanide tõenäosuslikud p-kvantiili hinnangud.
Töö ajavarud (i, j) vastavad nende p-kvantiili vastetele, mis on arvutatud valemitega:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) jaoks täielik reserv, (25)
R koos p (i, j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) jaoks vaba reserv. (26)
Vastavate valemite järgi arvutatakse p-kvantiilid pingekoefitsiendid töötab W p (k n (i, j)), siis p-kvantiil kriitiline tsoon, p-kvantiil reservtsoon ja p-kvantiil vahepealne tsoon.
Kaare parameetrina võtsime arvesse operatsiooni (töö) sooritamise aega. Arvestada võib ka mis tahes iseloomulikku parameetrit, millel on mis tahes tee kaaretel liitmine. See võib olla töö maksumus, vajaliku akumuleeritud ressursi maht jne.
Tuleb märkida, et seni on laialdast praktilist rakendust leidnud vaid deterministliku võrgumodelleerimise meetodid, mõned optimaalse ressursside jaotamise heuristilised meetodid ja parameetrilised kulude hindamise meetodid (peamiselt õhu- ja kosmoselendude valdkonnas). Kuigi teoreetiliselt on klassikalistel võrgumudelitel põhineva ajastamise kuluprobleemidele täpne lahendus leitud (kirjeldatud), on selle praktiline kasutamine seotud ajakulu sõltuvuste tegelike andmete hankimise raskusega.
Igal ülalkirjeldatud mudelil on oma teemavaldkond, see rakendab omal moel (enam-vähem täielikult) projektijuhtimise põhifunktsioone ning ainult analüüsitud mudelite ja meetodite süntees võimaldab luua mudeli, mis peegeldab adekvaatselt projektijuhtimise põhifunktsioone. keeruka projekti elluviimise protsessi ebakindluse tingimustes ja samal ajal saada vastuvõetav sõnastatud probleemi lahendamisel.
Teema 4. RESSURSSI TARBIMISE OPTIMISEERIMINE VÕRGUMUDELI ALUSEL
Üldmõisted.
Eespool käsitleti võrgumudeleid, arvestamata piiratud ressursse, s.o. ressursside parima jaotamise probleemi kui sellist ei püstitatud. Meie poolt vaadeldud võrgumudelite kasutamise meetodite puhul pöörati põhitähelepanu üksikute tööde teostamise ajastusele ning olulisemate (kriitiliste ja alakriitiliste) tööahelate väljaselgitamisele, mille alusel projekti õigeaegne valmimine ( rajatise kasutuselevõtt) oleneb. Seega on nende meetodite iseloomulik tunnus teabe klassifitseerimine selle tähtsuse astme järgi kogu töö teostamise seisukohalt kindlaksmääratud aja jooksul.
Info olulisuse kvantitatiivseks mõõdupuuks on tööaja reservid või pingekoefitsiendid
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j)), (25)
kus R p ij on töö kogureserv (i, j), T n 0 on projekti kriitiline aeg, T kr (i, j) on maksimaalse tee lõigu kestus, mis langeb kokku kriitilise teega , mis sisaldab tööd (i, j). 0 £ K ij £ 1 ja mida lähemal on K ij väärtusele 1, seda suhteliselt väiksem on töövaru (i, j) reserv, mistõttu seda suurem on risk, et seda ei tehta määratud aja jooksul valmis. Näiteks töö puhul (2,5) (joonis 5) T cr (2,5) = 5, R p 25 = 3, kust K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0,82 ja töö puhul ( 5,8) T cr (5,8) \u003d 0, R p 58 \u003d 12, kust K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0,45. Töödel võivad olla samad täisreservid, kuid pingeaste nende teostamise ajastuses võib olla erinev. Ja vastupidi, erinevad koguvarud võivad vastata samadele pingekoefitsientidele. Sel viisil salastatud teabe abil saab projektijuht igal ajahetkel kindlaks teha, millisele valdkonnale tuleks tähelepanu (ja ressursid) koondada, et kõrvaldada kõik tööd etteantud lõpetamiskuupäevast ilmnevad kõrvalekalded.
Enne võrgu planeerimise ja haldamise meetodite täiustamise edasiste võimaluste väljatoomist peatugem üksikasjalikumalt mõnel peamisel puudusel, mis on omane ülalpool käsitletud meetoditele.
Andes ajalise hinnangu mis tahes töö kestvuse kohta, eeldasime selle töö tegemiseks teatud intensiivsusega teatud ressursside kasutamist (ressursitarbimise intensiivsus on ajaühikus kulutatud ressursi hulk).
Ajakalkulatsiooni määramise hetkel ei ole teada, millal seda tööd teha tuleb, milliseid muid sama tüüpi ressurssi tarbivaid projektitegevusi samal ajal teostatakse. Lisaks võib reeglina erinevate projektide jaoks samaaegselt vaja minna samu ressursse. Seetõttu on võimalik, et teatud ressursi koguvajadus teatud ajahetkedel võib ületada nende saadaoleva taseme. Sellistel juhtudel on vaja kas vähendada üksikute töökohtade ressursside tarbimise intensiivsust või lükata mitmete tööde teostamine hilisemasse aega, sageli üle nende töökohtade täieliku reservi. See toob projekti käigus kaasa esialgse plaani sagedase korrigeerimise ehk teisisõnu planeeringu ebastabiilsuse.
Ilmselgelt, kui projekti elluviimise protsessi planeerimisel ressursipiiranguid eelnevalt arvesse võtta, saab palju usaldusväärsema plaani.
Olemasolevate ressursside tase ja projekti lõpuleviimise võimalik ajastus on omavahel seotud. Kogu projekti valmimise aeg sõltub sellest, millal ja kui palju ressursse igale tegevusele eraldatakse ning selle määrab suuresti nende eeldatav saadavus igal ajahetkel.
Seega tekib võrguseades ressursside jaotamise probleem.
Üldiselt võib öelda, et iga tootmise planeerimise protsess pole midagi muud kui lahendus ressursside tõhusa kasutamise probleemile.
Efektiivsuse kriteeriumid võivad olla erinevad, sellel olulisel planeerimiskohal (kriteeriumi valikul ja põhjendamisel) peatume konkreetsete ülesannete kaalumisel veidi madalamal.
Tutvustame mõningaid mõisteid ja määratlusi.
· tööprogramm nimetagem teatud toimingute (tööde) kogum, mida ühe või mitme eesmärgi saavutamiseks tuleb teha ja programmi töö täitmine on allutatud ühele suunamiskeskusele. Võime rääkida käivituskompleksi tööprogrammist, objekti tööprogrammist, ehitusorganisatsioonist, projekteerimisinstituudist jne.
· Üheteemaline tööprogramm nimetame programmi, mis koosneb ühest tehnoloogiliselt omavahel seotud tööde kompleksist, mis on suunatud ühe (üheotstarbeline teema) või mitme eesmärgi saavutamisele (mitmeotstarbeline teema).
· Mitmeteemaline tööprogramm nimetame programmi, mis koosneb mitmest teoste kompleksist, mis on iga kompleksi sees tehnoloogiliselt omavahel seotud. Igal tööpaketil võib olla üks või mitu lõppeesmärki. Erinevatesse kompleksidesse kuuluvad teosed ei ole omavahel tehnoloogiliselt seotud. Teemade seotuse ühe mitmeteemalise programmiga määrab juhtimiskeskuse ühtsus ja ressursside reservuaari ühtsus.
Vaatleme esmalt ressursside jaotamise probleemide erinevaid sõnastusi ühe teema ühe eesmärgi programm.
Võrgumudelis kirjeldatud projektijuhtimise kahe võimaliku sihtsätte alusel on kaks peamist ülesannete seadistustüüpi. Esimene tüüp on keskendunud ressursipiirangute rangele järgimisele, samas kui teine tüüp hõlmab projekti lõpetamise kuupäevade ranget järgimist.
Esimest tüüpi probleemipüstituse formuleerimine (“kalibreerimine”).
Antud ressursside tarbimise piirangute korral leidke nende selline jaotus, võttes arvesse võrguskeemi topoloogiaga määratud tööde tehnoloogilist järjestust, mis tagab kogu programmi valmimise minimaalse ajaga.
Teist tüüpi probleemipüstituse formuleerimine (“silumine”).
Kui järgitakse programmi täitmise määratud kestust, tuleb ressursid üksikute tööde vahel jaotada nii, et nende tarbimine oleks optimaalne. Selle sätte optimaalsuse kriteeriumi valimise küsimust käsitleme eraldi.
Ressursivajaduse rahuldamise erineva mehhanismi tõttu jagatakse need tavaliselt kahte rühma: akumuleeruvad (salvestatavad) ja mitteakumulatiivsed (mittesalvestavad). Teist ressursside rühma nimetatakse sageli "võimsuse tüüpi ressurssideks".
Esimesse rühma kuuluvad ressursid, mis oma olemuselt võimaldavad akumuleerimist koos hilisema kasutamise võimalusega, näiteks raha, erinevad materjalid ja struktuurid jne. Ressursipiiranguid saab sel juhul määrata integraalse mittekahaneva funktsiooniga, mis näitab igal ajahetkel kogu eelneva perioodi ressursi pakkumise koguväärtust.
Teise rühma kuuluvad ressursid, mille kogumine hilisemaks kasutamiseks on võimatu. Näiteks töö- ja masinaaja ressursid. Töötajate ja mehhanismide seisakud on pöördumatu kahju. Selle rühma ressursipiirangud annab igal ajahetkel ressursi saadavuse funktsioon.