funktsionaalsed read. Võimsusseeria.
Seeriate konvergentsi ulatus

Põhjuseta naer on d'Alemberti märk

Nii et funktsionaalsete ridade tund on tabanud. Teema ja eriti selle õppetunni edukaks valdamiseks peate olema tavaliste numbrite seeriatega hästi kursis. Peaksite hästi mõistma, mis seeria on, suutma rakendada võrdlusmärke, et uurida seeriaid lähenemise eesmärgil. Seega, kui olete just alustanud teema uurimist või olete teekann kõrgemas matemaatikas, vajalik töötage järjestikku läbi kolm õppetundi: Teekannu read,d'Alemberti märk. Cauchy märgid ja Vahelduvad read. Leibnizi märk. Kindlasti kõik kolm! Kui teil on põhiteadmised ja -oskused numbriseeriate probleemide lahendamiseks, on funktsionaalsete seeriatega üsna lihtne tegeleda, kuna uut materjali pole eriti palju.

Selles õppetükis käsitleme funktsionaalrea kontseptsiooni (mis see üldiselt on), tutvume astmeridadega, mida leidub 90% praktilistes ülesannetes, ja õpime, kuidas lahendada ühine tüüpiline konvergentsi leidmise probleem. raadius, lähenemisvahemik ja astmerea lähenemispiirkond. Lisaks soovitan kaaluda materjali funktsioonide laiendamine astmeridadesse, ja algajale antakse kiirabi. Pärast väikest puhkust liigume järgmisele tasemele:

Ka funktsionaalsete seeriate jaotises on neid palju rakendusi ligikaudsete arvutuste tegemiseks, ja Fourier' seeriad, millele õppekirjanduses reeglina eraldatakse eraldi peatükk, lähevad veidi lahku. Mul on ainult üks artikkel, kuid see on pikk ja palju-palju lisanäiteid!

Niisiis, maamärgid on seatud, lähme:

Funktsionaalseeria ja võimsusseeria mõiste

Kui piiris saadakse lõpmatus, siis lõpetab oma töö ka lahendusalgoritm ja me anname ülesandele lõpliku vastuse: “Seeria koondub at” (või kell kumbki). Vt eelmise lõigu juhtum nr 3.

Kui piirides selgub, et see pole null ega lõpmatus, siis on meil praktikas kõige levinum juhtum nr 1 - jada koondub teatud intervallile.

Sel juhul on piirmäär. Kuidas leida rea ​​konvergentsi intervalli? Teeme ebavõrdsuse:

AT KÕIK seda tüüpi ülesanded vasakul pool ebavõrdsus peaks olema piirarvutuse tulemus, ja ebavõrdsuse paremal poolel rangelt üksus. Ma ei hakka selgitama, miks just selline ebavõrdsus ja miks on üks paremal pool. Tunnid on asjalikud ja juba väga hea on, et minu juttudest on nii mõnigi teoreem selgemaks saanud, et õpetajaskond end üles ei poonud.

Artiklis käsitleti esimesel aastal üksikasjalikult mooduliga töötamise ja topeltvõrratuste lahendamise tehnikat Funktsiooni ulatus, kuid mugavuse huvides püüan kõiki toiminguid võimalikult üksikasjalikult kommenteerida. Avaldame ebavõrdsuse mooduliga koolireegli järgi . Sel juhul:

Poolel teel maha.

Teises etapis on vaja uurida ridade konvergentsi leitud intervalli otstes.

Esiteks võtame intervalli vasakpoolse otsa ja asendame selle oma astmeridadega:

Kell

Saadud on numbriline jada ja me peame seda konvergentsi jaoks uurima (ülesanne, mis on juba tuttav eelmistest tundidest).

1) Seeria on märgi-vahelduv.
2) – seeria tingimused vähenevad modulo. Lisaks on seeria iga järgmine liige moodulis väiksem kui eelmine: , seega on langus monotoonne.
Järeldus: seeria läheneb.

Moodulitest koosneva seeria abil saame täpselt teada, kuidas:
– koondub ("referents" jada üldiste harmooniliste ridade perekonnast).

Seega koondub saadud arvurida absoluutselt.

juures - koondub.

! tuletan meelde et iga koonduv positiivne jada on ka absoluutselt konvergentne.

Seega astmerida koondub ja absoluutselt leitud intervalli mõlemas otsas.

Vastus: uuritud astmeridade lähenemispiirkond:

Sellel on õigus elule ja vastuse teine ​​kujundus: Sari läheneb, kui

Mõnikord on probleemi olukorras vaja täpsustada lähenemisraadius. On ilmne, et vaadeldavas näites.

Näide 2

Leidke astmerea lähenemispiirkond

Lahendus: leiame jada konvergentsi intervalli kasutades d'Alemberti märk (aga mitte atribuudi järgi! - funktsionaalsete seeriate puhul sellist atribuuti pole):

Seeria koondub kell

Vasakule me peame lahkuma ainult, seega korrutame ebavõrdsuse mõlemad pooled 3-ga:

– Sari on märkide vahelduv.
– – seeria tingimused vähenevad modulo. Iga järgmine seeria liige on absoluutväärtuses väiksem kui eelmine: , seega on langus monotoonne.

Järeldus: seeria läheneb.

Uurime seda lähenemise olemuse osas:

Võrrelge seda seeriat lahknevate seeriatega.
Kasutame võrdluse piirmärki:

Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et seeria lahkneb koos seeriaga.

Seega koondub seeria tinglikult.

2) Millal – lahkneb (nagu tõestatud).

Vastus: Uuritud astmeridade konvergentsi pindala: . Kui , seeria läheneb tingimuslikult.

Vaadeldavas näites on astmeridade konvergentsipiirkond poolintervall ja intervalli kõikides punktides on astmerida ühtlustub absoluutselt, ja nagu selgus, tinglikult.

Näide 3

Leidke astmerea konvergentsi intervall ja uurige selle konvergentsi leitud intervalli otstes

See on tee-seda-ise näide.

Mõelge paarile näitele, mis on haruldased, kuid siiski esinevad.

Näide 4

Leidke seeria konvergentsi piirkond:

Lahendus: d'Alemberti testi abil leiame selle seeria konvergentsi intervalli:

(1) Koostage seeria järgmise liikme ja eelmise liikme suhe.

(2) Vabane neljakorruselisest murrust.

(3) Kuubikud ja volitustega tehte reegli kohaselt summeeritakse ühe astme alla. Lugejas lagundame osavalt astme, s.t. laiendada nii, et järgmises etapis vähendame murdosa võrra. Faktoreid kirjeldatakse üksikasjalikult.

(4) Kuubi all jagame lugeja nimetajaga termini kaupa, näidates, et . Murdosaga vähendame kõike, mida saab vähendada. Kordaja võetakse piirmärgist välja, selle saab välja võtta, kuna selles pole midagi, mis sõltuks "dünaamilisest" muutujast "en". Pange tähele, et mooduli märki ei joonistata - põhjusel, et see võtab mis tahes "x" jaoks mittenegatiivseid väärtusi.

Limiidis saadakse null, mis tähendab, et saame anda lõpliku vastuse:

Vastus: Seeria koondub kell

Ja alguses tundus, et seda "hirmsa täidisega" rida on raske lahendada. Null või lõpmatus limiidis on peaaegu kingitus, sest lahendus väheneb märgatavalt!

Näide 5

Leidke seeria konvergentsi ala

See on tee-seda-ise näide. Olge ettevaatlik ;-) Täislahendus on vastus õppetunni lõpus.

Mõelge veel mõnele näitele, mis sisaldavad tehnikate kasutamise osas uudsust.

Näide 6

Leidke jada konvergentsi intervall ja uurige selle lähenemist leitud intervalli otstes

Lahendus: Astmete ridade üldmõiste sisaldab tegurit , mis tagab vaheldumise. Lahendusalgoritm on täielikult säilinud, kuid limiidi koostamisel ignoreerime (ei kirjuta) seda tegurit, kuna moodul hävitab kõik "miinused".

Seeria konvergentsi intervalli leiame d'Alemberti testi abil:

Koostame standardse ebavõrdsuse:
Seeria koondub kell
Vasakule me peame lahkuma ainult moodul, seega korrutame ebavõrdsuse mõlemad pooled 5-ga:

Nüüd laiendame moodulit tuttaval viisil:

Topeltvõrratuse keskele peate jätma ainult "x", selleks lahutage igast ebavõrdsuse osast 2:

on uuritud astmeridade konvergentsi intervall.

Uurime ridade konvergentsi leitud intervalli otstes:

1) Asendage väärtus meie astmereas :

Olge äärmiselt ettevaatlik, kordaja ei paku vaheldust ühegi loomuliku "en" puhul. Saadud miinuse võtame reast välja ja unustame selle ära, kuna see (nagu iga konstantne kordaja) ei mõjuta kuidagi arvridade lähenemist ega lahknemist.

Märka uuesti et väärtuse asendamise käigus astmerea ühise liikmega oleme vähendanud tegurit . Kui seda ei juhtuks, tähendaks see, et me kas arvutasime limiidi valesti või laiendasime moodulit valesti.

Seega on vaja uurida arvridade konvergentsi. Siin on kõige lihtsam kasutada piirväärtuste võrdluskriteeriumi ja võrrelda seda jada lahkneva harmoonilise jadaga. Aga ausalt öeldes olin ülimast võrdlusmärgist kohutavalt väsinud, nii et lisan lahendusele veidi vaheldust.

Nii et seeria läheneb, kui

Korrutage ebavõrdsuse mõlemad pooled 9-ga:

Eraldame juure mõlemast osast, meenutades samal ajal vana kooli nalja:


Mooduli laiendamine:

ja lisage kõigile osadele üks:

on uuritud astmeridade konvergentsi intervall.

Uurime astmeridade konvergentsi leitud intervalli otstes:

1) Kui , siis saadakse järgmine arvuseeria:

Kordaja kadus jäljetult, sest iga loodusväärtuse puhul "en" .

Konvergentsi valdkond Funktsionaalne jada on jada, mille liikmed on funktsioonid / määratletud reaaltelje teatud hulgal E. Näiteks seeria tingimused on määratletud intervalliga ja seeria tingimused on määratletud lõigul. Funktsionaalne seeria (1) koondub punktis Xo € E, kui see koondub igas punktis x. hulk D ⊂ E ja lahkneb igas punktis, mis ei kuulu hulka D, siis öeldakse, et seeria koondub hulgale D ja D nimetatakse jada konvergentsipiirkonnaks. Seeriat (1) nimetatakse komplektis D absoluutselt koonduvaks, kui seeria koondub sellele hulgale. Kui seeria (1) koondub hulgale D, on selle summaks S funktsioon, mis on defineeritud arvus D. Mõne funktsionaalrea konvergentsi saab leida, kasutades teadaolevaid piisavaid kriteeriume, mis on kehtestatud positiivsete liikmetega seeriate jaoks, näiteks Dapamberi märk, Cauchy märk. Näide 1. Leidke rea M konvergentsipiirkond Kuna arvulised jadad koonduvad p > 1 korral ja lahknevad p > 1 korral, siis, eeldades p - Igx, saame selle jada. mis koondub Igx > T korral, st. kui x > 10, ja lahknevad, kui Igx ^ 1, st. kell 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 seeria lahkneb, kuna L =. Seeria lahknemine x = 0 juures on ilmne. Näide 3. Leidke seeria konvergentsi ala Selle seeria tingimused on hulgal defineeritud ja pidevad. Rakendades märki Kosh ja, leiame mis tahes. Seetõttu lahkneb seeria kõigi x väärtuste korral. Tähistame Sn(x) funktsioonirea (1) n-ndat osasummat. Kui see jada koondub hulgale D ja selle summa on 5(g), saab seda esitada järgmiselt Kõigi x € D väärtuste puhul kehtib seos ja seega. st koonduva jada jääk Rn(x) kipub olema null kui n oo, olenemata x 6 D. Ühtlane konvergents Kõigi koonduvate funktsioonide ridade hulgas on oluline roll nn ühtlaselt koonduvatel ridadel. Olgu antud hulgal D koonduv funktsionaalrida, mille summa on võrdne S(x). Võtame selle n-nda osasumma Definitsioon. Funktsionaalrida FUNCTIONAL SERIES Konvergentsipiirkond Ühtlase konvergentsi Weierstrassi kriteerium Ühtlaselt koonduvate funktsionaalridade omadus on ühtlaselt koonduv hulgal PS1), kui mis tahes arvu ε > 0 korral on olemas arv λ > 0, nii et ebavõrdsus x hulgast fI. Kommenteeri. Siin on arv N kõigi x ∈ 10 puhul sama, s.t. ei sõltu z-st, vaid sõltub arvu e valikust, seega kirjutame N = N(e). Funktsionaalrea £ /n(®) ühtlast lähenemist funktsioonile S(x) hulgal ft tähistatakse sageli järgmiselt: Rea /n(x) ühtse konvergentsi määratlus hulgal ft võib olla lühemalt kirjutatud loogilisi sümboleid kasutades: funktsionaalne rida. Võtame lõigu [a, 6] hulgaks ft ja joonistame funktsioonide graafikud. Võrratus |, mis kehtib arvude n > N ja kõigi a kohta; G [a, b] ja y = 5(g) + e (joonis 1). Näide 1 koondub lõigul ühtlaselt See seeria on vahelduv, vastab Leibnizi testi tingimustele mis tahes x € [-1,1] korral ja seetõttu koondub lõigule (-1,1]). Olgu S(x) selle summa ja Sn (x) on selle n-s osasumma Rea ülejäänud osa absoluutväärtus ei ületa selle esimese liikme absoluutväärtust: a kuna Võtke ükskõik milline e. Siis on ebavõrdsus | täidetud, kui. Siit leiame, et n > \. Kui võtta arv (siin [a] tähistab suurimat täisarvu, mis ei ületa a), siis ebavõrdsus | e kehtib kõigi arvude n > N ja kõigi x € kohta [-1,1). See tähendab, et see jada koondub ühtlaselt lõigule [-1,1). I. Mitte iga funktsionaalne jada, mis koondub hulgale D, ei ole näites 2 ühtlaselt koonduv. Näitame, et seeria koondub intervallile, kuid mitte ühtlaselt. 4 Arvutame rea n-nda osasumma £n(*). Meil on Kust See jada koondub lõigule ja selle summale, kui Erinevuse absoluutväärtus S (x) - 5„ (x) (rea ülejäänud osa) on võrdne. Võtame sellise arvu e. Lahendame ebavõrdsuse n suhtes. Meil ​​on, kust (sest ja Inxiga jagades on ebavõrdsuse märk vastupidine). Ebavõrdsus jääb kehtima. Seetõttu selline arv N(e), mis ei sõltu x-st, nii et ebavõrdsus kehtiks iga) jaoks kohe kõigi x lõigust. , ei eksisteeri. Kui aga segment 0 asendada väiksema segmendiga, kus, siis viimasel koondub see jada ühtlaselt funktsioonile S0. Tõepoolest, ja seega kõigile x-ile korraga §3. Weierstrassi kriteerium Funktsionaalrea ühtlaseks konvergentsiks piisava kriteeriumi annab Weierstrassi teoreem. Teoreem 1 (Weierstrassi test). Olgu kõigi x hulgast Q, et funktsionaalrea liikmed absoluutväärtuses ei ületa koonduva arvrea П=1 vastavaid positiivsete liikmetega liikmeid, st kõigi x ∈ Q korral. 1) hulgal П koondub absoluutselt ja ühtlaselt . Ja Tek, kuna vastavalt teoreemi tingimusele vastavad seeria (1) liikmed tingimusele (3) kogu hulga Q kohta, siis võrdluskriteeriumi järgi koondub seeria 2 \fn(x)\ mis tahes x ∈ H ja järelikult jada (1) koondub absoluutselt P-le. Tõestame ridade (1) ühtlast konvergentsi. Tähistagu Sn(x) ja an vastavalt ridade (1) ja (2) osasummasid. Võtame suvalise (suvaliselt väikese) arvu e > 0. Siis eeldab arvrea (2) konvergents sellise arvu N = N(e) olemasolu, et järelikult -e kõigi arvude puhul n > N(e) ) ja kõigile x6n , st. seeria (1) koondub ühtlaselt hulgale P. Märkus. Numbriseeriat (2) nimetatakse funktsionaalseeria (1) puhul sageli majoreerimiseks või majorantiks. Näide 1. Uurige ühtlast konvergentsi rida Ebavõrdsus kehtib kõigi kohta. ja kõigile. Numbriseeria koondub. Weierstrassi testi kohaselt koondub vaadeldav funktsionaalne seeria absoluutselt ja ühtlaselt kogu teljel. Näide 2. Ühtlase konvergentsi jada uurimine Seeria liikmed on defineeritud ja pidevad lõigul [-2,2|. Kuna lõigul [-2,2) mis tahes naturaalse n korral, siis seega kehtib ebavõrdsus. Kuna arvurida koondub, siis Weierstrassi testi järgi koondub algne funktsionaalne jada segmendile absoluutselt ja ühtlaselt. Kommenteeri. Funktsionaalrida (1) võib ühtlane koonduda hulgale Piv juhul, kui numbriline majorantrea (2) puudub, st Weierstrassi kriteerium on ühtlase konvergentsi jaoks vaid piisav, kuid mitte vajalik. Näide. Nagu ülal näidatud (näide), koondub seeria ühtlaselt lõigul 1-1,1]. Siiski ei ole selle jaoks ühtegi majorantset koonduvat arvurida (2). Tõepoolest, kõikide naturaalarvude n ja kõigi x ∈ [-1,1) puhul kehtib ebavõrdsus ja võrdsus saavutatakse juures. Seetõttu peavad soovitud majorantrea (2) tingimused tingimata täitma tingimust, kuid arvrida FUNKTSIONAALNE SERIA Konvergentsipiirkond Ühtlane konvergents Weierstrassi test Ühtlaselt koonduvate funktsionaalridade omadused lahknevad. See tähendab, et ka seeria £ op läheb lahku. Ühtlaselt koonduvate funktsiooniridade omadused Ühtlaselt koonduvatel funktsiooniridadel on mitmeid olulisi omadusi. Teoreem 2. Kui kõik lõigul [a, b] ühtlaselt koonduvad jada liikmed korrutada sama funktsiooniga q(x), mis on piiratud punktiga [a, 6], siis saadud funktsionaalrida koondub ühtlaselt sellele. Olgu seeria £ fn(x) ühtlane funktsiooniga S(x) intervallil [a, b\] ja funktsioon g(x) on piiratud, st eksisteerib konstant C > 0, et By ridade ühtlase konvergentsi definitsioon mis tahes arvu e > 0 korral on olemas arv N, nii et kõigi n > N ja kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib ebavõrdsus, kus 5n(ar) on osasumma vaadeldavast seeriast. Seetõttu on meil igaühele. jada koondub ühtlaselt [a, b| funktsioonile Teoreem 3. Olgu kõik funktsionaalrea liikmed fn(x) pidevad ja jada koondub ühtlaselt lõigule [a, b\. Siis on seeria summa S(x) sellel intervallil pidev. M Võtame intervalli [o, b] kaks suvalist punkti zr + Ax. Kuna see jada koondub ühtlaselt lõigul [a, b], siis iga arvu e > 0 korral on arv N = N(e), nii et kõigi n > N korral kehtivad võrratused, kus 5n(x) on lõigu osasummad. seeria fn (x). Need osasummad Sn(x) on pidevad intervallil [a, 6] kui piiratud arvu funktsioonide fn(x) summa, mis on pidevad punktis [a, 6). Seetõttu on fikseeritud arvu nr > N(e) ja antud arvu e korral arv 6 = 6(e) > 0 nii, et tingimust | rahuldav võrratus Ax moodustub: kust. Võttes arvesse võrratusi (1) ja (2), saame tingimusele | vastavate juurdekasvude jaoks Ax. See tähendab, et summa Six) on pidev punktis x. Kuna x on lõigu [a, 6] suvaline punkt, järeldub, et 5(x) on pidev punktidel |a, 6|. Kommenteeri. Funktsionaalne jada, mille liikmed on pidevad intervallil [a, 6, kuid mis koondub ebaühtlaselt punktile (a, 6]), võib olla summana katkendlik funktsioon Näide 1. Vaatleme funktsionaalset seeriat intervallil |0,1 ). Arvutame selle n-nda osasumma Seetõttu on see segmendil katkendlik, kuigi seeria liikmed on sellel pidevad. Tõestatud teoreemi tõttu ei ole see jada intervalliga ühtlaselt konvergentne. Näide 2. Vaatleme jada Nagu ülal näidatud, see jada koondub punktis, seeria koondub ühtlaselt vastavalt Weierstrassi kriteeriumile, kuna 1 ja arvjada koonduvad. Seetõttu on iga x > 1 korral selle jada summa pidev. Kommenteeri. Funktsiooni nimetatakse Riemanni funktsiooniks on (see funktsioon mängib arvuteoorias suurt rolli). Teoreem 4 (funktsionaalse jada terminite kaupa integreerimise kohta). Olgu kõik rea liikmed fn(x) pidevad ja jada koonduvad ühtlaselt lõigul [a, b] funktsioonile S(x). Siis kehtib järgmine võrdsus: Funktsioonide fn(x) pidevuse ja antud jada ühtlase konvergentsi tõttu intervallil [a, 6] on selle summa 5(x) pidev ja seetõttu integreeritav . Vaatleme erinevust [o, b] ridade ühtsest lähenemisest järeldub, et iga e > 0 korral on arv N(e) > 0, nii et kõigi arvude n > N(e) ja kõigi x € korral [a, 6] ebavõrdsus kehtib Kui jada fn(0 ei ole ühtlaselt koonduv, siis üldiselt ei saa seda termini kaupa integreerida, st teoreem 5 (funktsionaalse jada terminite kaupa diferentseerimise kohta) Olgu kõigil koonduva rea ​​00 liikmetel pidevad tuletised ja nendest tuletistest koosnev jada koondub ühtlaselt intervallile [a, b]. Siis on võrdsus igas punktis tõene, st antud jada võib olla diferentseeritud termini kaupa. M Võtame suvalised kaks punkti. Siis saame teoreemi 4 alusel Funktsioon o-(x) on pidev pidevate funktsioonide ühtlaselt koonduva jada summana.Seetõttu diferentseerides võrdsust saame saada

Funktsionaalne vahemik nimetatakse formaalselt kirjutatud väljendiks

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

kus u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - funktsioonide jada sõltumatust muutujast x.

Funktsionaalse seeria lühendatud märge sigmaga:.

Funktsionaalsete seeriate näited on :

(2)

(3)

Sõltumatu muutuja andmine x mingi väärtus x0 ja asendades selle funktsionaalse seeriaga (1), saame arvulise jada

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Kui saadud arvrida koondub, siis öeldakse, et funktsionaalrida (1) koondub jaoks x = x0 ; kui see lahkneb, mis on väidetavalt seeria (1) lahkneb at x = x0 .

Näide 1. Uurige funktsionaalrea konvergentsi(2) väärtuste jaoks x= 1 ja x = - 1 .
Lahendus. Kell x= 1 saame arvuseeria

mis Leibnizi testi järgi koondub. Kell x= - 1 saame arvuseeria

,

mis lahkneb lahkneva harmoonilise jada korrutisena – 1 võrra. Seega koondub jada (2) x= 1 ja lahkneb juures x = - 1 .

Kui selline funktsionaalrea (1) konvergentsi test viiakse läbi sõltumatu muutuja kõigi väärtuste suhtes selle liikmete määratluspiirkonnast, jagatakse selle domeeni punktid kaheks: väärtustega xühes neist võttes seeria (1) läheneb ja teises lahkneb.

Sõltumatu muutuja väärtuste kogumit, mille jaoks funktsionaalne seeria koondub, nimetatakse selleks lähenemispiirkond .

Näide 2. Leia funktsionaalrea lähenemisala

Lahendus. Seeria liikmed on määratletud tervel arvujoonel ja moodustavad nimetajaga geomeetrilise progressiooni q= patt x. Nii et seeria läheneb, kui

ja lahkneb, kui

(väärtused pole võimalikud). Aga väärtuste ja muude väärtuste pärast x. Seetõttu koondub seeria kõigi väärtuste puhul x, Pealegi . Selle koondumispiirkond on terve arvjoon, välja arvatud need punktid.

Näide 3. Leia funktsionaalrea konvergentsipiirkond

Lahendus. Seeria liikmed moodustavad nimetajaga geomeetrilise progressiooni q=ln x. Seetõttu koondub seeria, kui , või , kust . See on selle seeria lähenemispiirkond.

Näide 4. Uurige funktsionaalrea konvergentsi

Lahendus. Võtame suvalise väärtuse. Selle väärtusega saame arvuseeria

(*)

Leidke selle ühise liikme piir

Järelikult lahkneb seeria (*) suvaliselt valitud, s.o. mis tahes väärtuse eest x. Selle konvergentsi valdkond on tühi hulk.

Funktsionaalrea ja selle omaduste ühtlane konvergents

Liigume edasi kontseptsiooni juurde funktsionaalrea ühtlane konvergents . Lase s(x) on selle seeria summa ja sn ( x) - summa n selle sarja esimesed liikmed. Funktsionaalne vahemik u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... nimetatakse ühtlaselt koonduvaks intervallil [ a, b] , kui suvaliselt väikese arvu puhul ε > 0 on selline arv N, seda kõigile n ≥ N ebavõrdsus rahuldatakse

|s(x) − s n ( x)| < ε

kellelegi x segmendist [ a, b] .

Ülaltoodud omadust saab geomeetriliselt illustreerida järgmiselt.

Vaatleme funktsiooni graafikut y = s(x) . Selle kõvera ümber ehitame riba laiusega 2. ε n, see tähendab, et me konstrueerime kõverad y = s(x) + ε n ja y = s(x) − ε n(alloleval pildil on need rohelised).

Siis mis tahes ε n funktsiooni graafik sn ( x) jääb täielikult vaadeldavale bändile. Sama riba sisaldab kõigi järgnevate osasummade graafikuid.

Kõik koonduvad funktsionaalseeriad, millel pole ülalkirjeldatud tunnust, on ebaühtlaselt koonduvad.

Mõelge veel ühele ühtlaselt koonduva funktsionaalrea omadusele:

pidevate funktsioonide jada summa, mis koondub ühtlaselt mingil intervallil [ a, b] , sellel lõigul on pidev funktsioon.

Näide 5 Määrake, kas funktsionaalrea summa on pidev

Lahendus. Leiame summa n selle sarja esimesed liikmed:

Kui a x> 0, siis

,

kui x < 0 , то

kui x= 0, siis

Ning seetõttu .

Meie uuring näitas, et selle seeria summa on katkendlik funktsioon. Selle graafik on näidatud alloleval joonisel.

Weierstrassi test funktsionaalsete ridade ühtlase konvergentsi jaoks

Lähenegem Weierstrassi kriteeriumile kontseptsiooni kaudu enamus funktsionaalsetest seeriatest . Funktsionaalne vahemik

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...

4.1. Funktsiooniseeria: põhimõisted, lähenemisala

Definitsioon 1. Sari, mille liikmed on funktsioonid ühe või
kutsutakse välja mitu sõltumatut muutujat, mis on defineeritud mõnel hulgal funktsionaalne vahemik.

Vaatleme funktsionaalrea, mille liikmed on ühe sõltumatu muutuja funktsioonid X. Esimese summa n seeria liikmed on antud funktsionaalrea osaline summa. Ühine liige on funktsioon alates X määratletud mõnes piirkonnas. Vaatleme funktsionaalset seeriat punktis . Kui vastav numbriseeria koondub, s.t. selle seeria osasummade piirang
(kus − arvurea summa), siis nimetatakse punkti lähenemispunkt funktsionaalne vahemik . Kui numbririda lahkneb, siis nimetatakse punkti lahknemispunkt funktsionaalne rida.

2. definitsioon. Lähenemispiirkond funktsionaalne vahemik nimetatakse kõigi selliste väärtuste hulgaks X, mille puhul funktsionaalne seeria läheneb. Tähistatakse konvergentsi piirkonda, mis koosneb kõigist lähenemispunktidest . Pange tähele, et R.

Funktsionaalne seeria koondub piirkonnas , kui üldse see koondub arvureana, samas kui selle summa on mingi funktsioon . See nn piirfunktsioon järjestused : .

Kuidas leida funktsionaalrea lähenemisala ? Võite kasutada d'Alemberti märgiga sarnast silti. Numbri jaoks koostada ja arvestage piiranguga fikseeritud tasemel X:
. Siis on lahendus ebavõrdsusele ja võrrandi lahendamine (võtame ainult need võrrandi lahendid, sisse
mille vastavad arvread koonduvad).

Näide 1. Leidke seeria lähenemisala.

Lahendus. Tähistage , . Koostame ja arvutame piirväärtuse, siis jada konvergentsipiirkond määratakse ebavõrdsusega ja võrrand . Uurime lisaks algseeria konvergentsi võrrandi juurteks olevates punktides:

mis siis kui , , siis saame lahkneva seeria ;

b) kui , , siis rida koondub tinglikult (poolt

Leibnizi test, näide 1, loeng 3, sek. 3.1).

Seega lähenemispiirkond rida näeb välja selline: .

4.2. Jõurida: põhimõisted, Abeli ​​teoreem

Vaatleme funktsionaalse seeria erijuhtu, nn jõuseeria , kus
.

3. määratlus. võimsus järgmine nimetatakse vormi funktsionaalseks seeriaks,

kus − konstantsed numbrid, nn seeria koefitsiendid.

Astmete jada on "lõpmatu polünoom", mis on järjestatud kasvavates astmetes . Mis tahes numbririda on
võimsusseeria erijuhtum .

Mõelge võimsusseeria erijuhtudele :
. Uuri välja, millist
antud seeria konvergentsipiirkond .

1. teoreem (Abeli ​​teoreem). 1) Kui võimsusseeria koondub ühes punktis , siis ühtlustub see absoluutselt mis tahes X, mille puhul ebavõrdsus .

2) Kui võimsusseeria lahkneb kell , siis see erineb mis tahes X, milleks .

Tõestus. 1) Tingimuse järgi astmerida koondub punktis ,

st arvurida koondub

(1)

ja vastavalt vajalikule konvergentsikriteeriumile kipub selle ühine liige olema 0, s.o. . Seetõttu on number olemas et kõik sarja liikmed on piiratud selle arvuga:
.

Kaaluge nüüd ükskõik millist X, milleks ja koostage absoluutväärtuste jada: .
Kirjutagem see seeria teisel kujul: alates , seejärel (2).

Ebavõrdsusest
saame , st. rida

koosneb osadest, mis on suuremad kui seeria (2) vastavad liikmed. Rida on nimetajaga geomeetrilise progressiooni koonduv jada , enamgi veel , sest . Seetõttu koondub seeria (2) jaoks . Nii et jõuseeria ühtlustub absoluutselt.

2) Lase rida lahkneb juures , teisisõnu,

arvurida lahkneb . Tõestame seda ükskõik millise jaoks X () seeria lahkneb. Tõestus on vastuoluline. Las mõnele

fikseeritud ( ) seeria koondub, siis koondub see kõigi jaoks (vt selle teoreemi esimest osa), eelkõige puhul , mis on vastuolus teoreemi 1 tingimusega 2. Teoreem on tõestatud.

Tagajärg. Abeli ​​teoreem võimaldab hinnata astmerea lähenemispunkti asukohta. Kui punkt on astmerea lähenemispunkt, seejärel intervall täidetud lähenemispunktidega; kui lahknemispunkt on punkt , siis
lõpmatud intervallid täidetud lahknemispunktidega (joon. 1).

Riis. 1. Rea konvergentsi ja lahknemise intervallid

Saab näidata, et selline number on olemas , seda kõigile
jõuseeria ühtlustub absoluutselt ja − lahkneb. Eeldame, et kui seeria koondub ainult ühes punktis 0, siis ja kui seeria ühtib kõigi jaoks , siis .

4. määratlus. Konvergentsi intervall jõuseeria seda intervalli nimetatakse , seda kõigile see seeria läheneb absoluutselt ja kõigi jaoks X väljaspool seda intervalli seeria lahkneb. Number R helistas lähenemisraadius jõuseeria.

Kommenteeri. Intervalli lõpus astmerea konvergentsi või lahknemise küsimus lahendatakse iga konkreetse rea puhul eraldi.

Näitame üht astmerea lähenemisvahemiku ja raadiuse määramise meetodit.

Mõelge võimsusseeriatele ja tähistada .

Teeme selle liikmete absoluutväärtuste seeria:

ja rakendage sellele d'Alemberti testi.

Las see eksisteerib

.

D'Alemberti testi järgi koondub seeria, kui , ja lahkneb, kui . Siit järgneb seeria koondumine , seejärel lähenemisintervall: . Kell , seeria erineb, sest .
Märke kasutamine , saame astmerea lähenemisraadiuse määramise valemi:

,

kus on astmeridade koefitsiendid.

Kui selgub, et piir , siis eeldame .

Astumusrea intervalli ja lähenemisraadiuse määramiseks võib kasutada ka radikaalset Cauchy kriteeriumit, rea lähenemisraadius määratakse seosest .

Definitsioon 5. Üldistatud võimsusjada nimetatakse sarjaks

. Seda nimetatakse ka kraadide järgi järgmiseks .
Sellise seeria puhul on lähenemisintervall järgmine: , kus − lähenemisraadius.

Näitame, kuidas leitakse üldistatud astmerea lähenemisraadius.

need. , kus .

Kui a , siis , ja lähenemisala R; kui , siis ja lähenemisala .

Näide 2. Leidke seeria konvergentsi ala .

Lahendus. Tähistage . Teeme piiri

Lahendame ebavõrdsuse: , , sellest ka intervall

konvergentsil on vorm: , enamgi veel R= 5. Lisaks uurime konvergentsi intervalli lõppu:
a) , , saame sarja , mis lahkneb;
b) , , saame sarja , mis koondub
tinglikult. Seega on lähenemispiirkond: , .

Vastus: lähenemise piirkond .

Näide 3 Rida kõigi jaoks erinevad , sest juures , lähenemisraadius .

Näide 4 Seeria koondub kogu R, lähenemisraadiuse jaoks .

- ehk kompleks nii keeruliseks ei osutu;) Ja ka selle artikli pealkiri on kaval - need sarjad, millest täna juttu tuleb, pole pigem mitte keerulised, vaid "haruldased muldmetallid". Kuid ka osakoormusega õppijad pole nende eest kaitstud ja seetõttu tuleks seda näiliselt lisatundi võtta ülima tõsidusega. Lõppude lõpuks saate pärast selle läbi töötamist hakkama peaaegu iga "metsalisega"!

Alustame žanri klassikaga:

Näide 1

Esiteks pange tähele, et see EI OLE võimsusseeria (Tuletan teile meelde, et sellel on vorm). Ja teiseks, siin torkab kohe silma väärtus, mis ilmselgelt ei saa siseneda seeria konvergentsi piirkonda. Ja see on juba uuringu väike edu!

Aga ikkagi, kuidas saavutada suurt edu? Kiirustan teile meeldima - selliseid sarju saab lahendada samamoodi nagu võimsus– toetudes d'Alemberti märgile või Cauchy radikaalsele märgile!

Lahendus: väärtus ei ole seeria konvergentsi vahemikus. See on märkimisväärne fakt ja seda tuleb tähele panna!

Algoritmi alus töötab standardselt. D'Alemberti testi abil leiame seeria konvergentsi intervalli:

Seeria koondub kell . Liigume mooduli üles:

Kontrollime kohe "halba" punkti: väärtus ei sisenenud seeria konvergentsipiirkonda.

Uurime seeria konvergentsi intervallide "sisemistes" otstes:
kui siis
kui siis

Mõlemad arvread erinevad, kuna see ei ole täidetud vajalik lähenemise märk.

Vastus: lähenemispiirkond:

Teeme väikese analüüsi. Asendame mõne väärtuse õigest intervallist funktsionaalsesse seeriasse, näiteks:
- koondub edasi d'Alemberti märk.

Väärtuste asendamisel vasakpoolsest intervallist saadakse ka koonduvad seeriad:
kui siis .

Ja lõpuks, kui , siis sari - tõesti lahkneb.

Soojenduseks paar lihtsat näidet:

Näide 2

Leia funktsionaalrea lähenemisala

Näide 3

Leia funktsionaalrea lähenemisala

Olge "uue" puhul eriti hea moodul- ta kohtub täna 100500 korda!

Lühilahendused ja vastused tunni lõpus.

Kasutatavad algoritmid tunduvad olevat universaalsed ja tõrgeteta, kuid tegelikult see nii pole - paljude funktsionaalsete seeriate puhul „libisevad” need sageli või viivad isegi ekslike järeldusteni. (ja ma kaalun ka selliseid näiteid).

Karedus algab juba tulemuste tõlgendamise tasandilt: vaatleme näiteks seeriat . Siin, limiidiga, saame (kontrollige ise), ja teoreetiliselt on vaja anda vastus, et jada koondub ühte punkti. Asi on aga "ülemängitud", mis tähendab, et meie "patsient" läheb igal pool lahku!

Ja sarja jaoks ei anna "ilmne" lahendus "Cauchy järgi" üldse midagi:
- MIS TAHES "x" väärtuse korral.

Ja tekib küsimus, mida teha? Kasutame meetodit, millele pühendatakse tunni põhiosa! Seda saab sõnastada järgmiselt:

Arvuridade otseanalüüs erinevate väärtuste jaoks

Tegelikult oleme seda juba alustanud näites 1. Esiteks uurime mõnda konkreetset "x"-i ja vastavat arvuseeriat. Tuleb võtta väärtus:
- saadud arvuseeria lahkneb.

Ja see viitab kohe mõttele: mis siis, kui sama juhtub teistes punktides?
Kontrollime ridade konvergentsi vajalik kriteerium jaoks meelevaldne väärtused:

Eespool vaadeldud punkt kõigi teiste "x" jaoks korraldame tavapärase vastuvõtu järgi teine ​​imeline piir:

Järeldus: seeria lahkneb tervel arvureal

Ja see lahendus on kõige toimivam variant!

Praktikas tuleb funktsionaalseid seeriaid sageli võrrelda üldistatud harmooniliste jada :

Näide 4

Lahendus: Kõigepealt tegeleme määratluspiirkond: sel juhul peab radikaalne avaldis olema rangelt positiivne ja lisaks peavad olemas olema kõik seeria liikmed, alates 1. Sellest järeldub, et:
. Nende väärtustega saadakse tingimuslikult koonduvad seeriad:
jne.

Teised "x" ei sobi, nii et näiteks kui saame ebaseadusliku juhtumi, kus sarja kahte esimest liiget pole olemas.

See kõik on hea, kõik on selge, kuid on veel üks oluline küsimus - kuidas otsust pädevalt koostada? Pakun välja skeemi, mida saab nimetada "noolte ülekandmiseks" numbriseeriatesse:

Kaaluge meelevaldne tähenduses ja uurige arvridade konvergentsi . Rutiinne Leibnizi märk:

1) See seeria on vahelduv.

2) – seeria tingimused vähenevad modulo. Iga järgmine seeria liige on absoluutväärtuses väiksem kui eelmine: , seega on langus monotoonne.

Järeldus: seeria läheneb Leibnizi testi järgi. Nagu juba märgitud, on lähenemine siin tingimuslik - põhjusel, et seeria - lahkneb.

Siin see siis on – korralik ja korrektne! Sest "alfa" taha peitsime osavalt kõik kehtivad numbrilised seeriad.

Vastus: funktsionaalseeria on olemas ja koondub tingimuslikult .

Sarnane näide tee-seda-ise lahenduse kohta:

Näide 5

Uurige funktsionaalrea konvergentsi

Näide lõputööst tunni lõpus.

Siin on teie "tööhüpotees"! – funktsionaalne jada koondub intervallile!

2) Kõik on sümmeetrilise intervalliga läbipaistev, arvestame meelevaldne väärtused ja saame: – absoluutselt koonduvad arvridad.

3) Ja lõpuks, "keskmine". Ka siin on mugav eristada kahte intervalli.

Me kaalume meelevaldne väärtus intervallist ja saada numbriseeria:

! Jällegi, kui see on raske , asendage mõni konkreetne arv, näiteks . Kuid ... sa tahtsid raskusi =)

Kõigi "en" väärtuste jaoks , tähendab:
- seega poolt võrdluse märk seeria koondub kokku lõpmatult kahaneva edenemisega.

Kõigi saadud intervalli "x" väärtuste jaoks on absoluutselt koonduvad seeriad.

Kõik X-id on uuritud, X-i enam pole!

Vastus: seeria lähenemisala:

Pean ütlema, et ootamatu tulemus! Ja tuleb veel lisada, et d'Alemberti või Cauchy märkide kasutamine siin kindlasti eksitab!

Otsene hindamine on matemaatilise analüüsi "kõrgeim vigurlend", kuid see nõuab muidugi kogemust ja kuskil isegi intuitsiooni.

Või äkki leiab keegi lihtsama tee? Kirjutage! Muide, pretsedente on - mitu korda pakkusid lugejad välja ratsionaalsemaid lahendusi ja ma avaldasin need hea meelega.

Edu maandumisel :)

Näide 11

Leia funktsionaalrea lähenemisala

Minu versioon lahendusest on väga lähedane.

Täiendavat hardcore'i leiate aadressilt VI jaotis (read) Kuznetsovi kollektsioon (Probleemid 11-13). Internetis on valmislahendusi, aga siin ma vajan sind hoiatama- paljud neist on puudulikud, valed ja isegi ekslikud. Ja muide, see oli üks põhjusi, miks see artikkel sündis.

Võtame kolm õppetundi kokku ja süstematiseerime oma töövahendid. Niisiis:

Funktsionaalrea konvergentsi intervalli(de) leidmiseks võib kasutada:

1) d'Alemberti märk või Cauchy märk. Ja kui rida ei ole võimsus– oleme erinevate väärtuste otsesel asendamisel saadud tulemuse analüüsimisel suurema ettevaatusega.

2) Weierstrassi ühtlane konvergentsi test. Ärgem unustagem!

3) Võrdlus tüüpiliste arvridadega- sõidab üldjuhul.

Siis uurige leitud intervallide otsad (vajadusel) ja saame seeria konvergentsi piirkonna.

Nüüd on teie käsutuses üsna tõsine arsenal, mis võimaldab teil toime tulla peaaegu iga temaatilise ülesandega.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus: väärtus ei ole seeria konvergentsi vahemikus.
Kasutame d'Alemberti testi:


Seeria koondub järgmisele:

Seega funktsionaalsete ridade lähenemise intervallid: .
Uurime seeriate lähenemist lõpp-punktides:
kui siis ;
kui siis .
Mõlemad numbrisarjad lahknevad, sest. vajalik lähenemise kriteerium ei ole täidetud.

Vastus : lähenemispiirkond: