مدل تصادفی موقعیتی را توصیف می کند که عدم قطعیت وجود دارد. به عبارت دیگر، فرآیند با درجه ای از تصادفی مشخص می شود. خود صفت "استوکاستیک" از کلمه یونانی "حدس" گرفته شده است. از آنجایی که عدم قطعیت یک ویژگی کلیدی زندگی روزمره است، چنین مدلی می تواند هر چیزی را توصیف کند.
با این حال، هر بار که آن را اعمال می کنیم، نتیجه متفاوت خواهد بود. بنابراین، مدل های قطعی بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند. اگرچه آنها تا حد ممکن به وضعیت واقعی امور نزدیک نیستند، اما همیشه نتیجه یکسانی را ارائه می دهند و درک موقعیت را آسان تر می کنند، آن را با معرفی مجموعه ای از معادلات ریاضی ساده می کنند.
ویژگی های اصلی
یک مدل تصادفی همیشه شامل یک یا چند متغیر تصادفی است. او به دنبال بازتاب زندگی واقعی در تمام جلوه های آن است. برخلاف استوکاستیک، هدف آن ساده کردن همه چیز و کاهش آن به مقادیر شناخته شده نیست. بنابراین، عدم قطعیت ویژگی اصلی آن است. مدل های تصادفی برای توصیف هر چیزی مناسب هستند، اما همه آنها دارای ویژگی های مشترک زیر هستند:
- هر مدل تصادفی منعکس کننده تمام جنبه های مسئله ای است که برای آن ایجاد شده است.
- نتیجه هر یک از پدیده ها نامشخص است. بنابراین، مدل شامل احتمالات است. صحت نتایج کلی به دقت محاسبه آنها بستگی دارد.
- از این احتمالات می توان برای پیش بینی یا توصیف خود فرآیندها استفاده کرد.
مدل های قطعی و تصادفی
برای برخی، به نظر می رسد که زندگی برای دیگران یک جانشینی است - فرآیندهایی که در آن علت، تأثیر را تعیین می کند. در واقع، با عدم قطعیت مشخص می شود، اما نه همیشه و نه در همه چیز. بنابراین، گاهی اوقات یافتن تفاوت های واضح بین مدل های تصادفی و قطعی دشوار است. احتمالات کاملا ذهنی هستند.
به عنوان مثال، وضعیت پرتاب سکه را در نظر بگیرید. در نگاه اول به نظر می رسد که 50 درصد احتمال ابتلا به دم وجود دارد. بنابراین باید از یک مدل قطعی استفاده کرد. با این حال، در واقعیت، معلوم می شود که خیلی به مهارت دست بازیکنان و کمال تعادل سکه بستگی دارد. این بدان معناست که باید از یک مدل تصادفی استفاده شود. همیشه پارامترهایی وجود دارد که ما نمی دانیم. در زندگی واقعی، علت همیشه تأثیر را تعیین می کند، اما درجه خاصی از عدم قطعیت نیز وجود دارد. انتخاب بین استفاده از مدل‌های قطعی و تصادفی به آنچه که مایلیم از آن دست بکشیم بستگی دارد - سادگی تحلیل یا واقع‌گرایی.
در نظریه آشوب
اخیراً این مفهوم که کدام مدل استوکاستیک نامیده می شود حتی بیشتر مبهم شده است. این به دلیل توسعه نظریه به اصطلاح آشوب است. این مدل‌های قطعی را توصیف می‌کند که می‌توانند نتایج متفاوتی را با تغییر جزئی در پارامترهای اولیه ارائه دهند. این مانند مقدمه ای برای محاسبه عدم قطعیت است. بسیاری از دانشمندان حتی اعتراف کرده اند که این یک مدل تصادفی است.
لوتار بروئر با کمک تصاویر شاعرانه همه چیز را به زیبایی توضیح داد. او نوشت: "یک نهر کوهی، یک قلب تپنده، یک بیماری همه گیر آبله، یک ستون دود در حال افزایش - همه اینها نمونه ای از یک پدیده پویا است که، همانطور که به نظر می رسد، گاهی اوقات با شانس مشخص می شود. در واقعیت، چنین فرآیندهایی همیشه تابع نظم خاصی هستند که دانشمندان و مهندسان تازه شروع به درک آن می کنند. این به اصطلاح هرج و مرج جبرگرایانه است.» نظریه جدید بسیار قابل قبول به نظر می رسد، به همین دلیل است که بسیاری از دانشمندان مدرن از حامیان آن هستند. با این حال، هنوز کمی توسعه یافته است، و بکارگیری آن در محاسبات آماری نسبتاً دشوار است. بنابراین، اغلب از مدل های تصادفی یا قطعی استفاده می شود.
ساختمان
استوکاستیک با انتخاب فضای نتایج ابتدایی آغاز می شود. بنابراین در آمار لیستی از نتایج احتمالی فرآیند یا رویداد مورد مطالعه را می نامند. سپس محقق احتمال هر یک از نتایج اولیه را تعیین می کند. معمولاً این کار بر اساس یک تکنیک خاص انجام می شود.
با این حال، احتمالات هنوز یک پارامتر کاملاً ذهنی هستند. سپس محقق تعیین می کند که کدام رویدادها برای حل مسئله جالب تر هستند. پس از آن، به سادگی احتمال آنها را تعیین می کند.
مثال
فرآیند ساخت ساده ترین مدل تصادفی را در نظر بگیرید. فرض کنید ما یک قالب می اندازیم. اگر "شش" یا "یک" بیفتد، برنده ما ده دلار خواهد بود. روند ساخت یک مدل تصادفی در این مورد به صورت زیر خواهد بود:
- اجازه دهید فضای نتایج ابتدایی را تعریف کنیم. قالب شش ضلع دارد، بنابراین یک، دو، سه، چهار، پنج و شش می توانند بالا بیایند.
- مهم نیست که چقدر قالب را بچرخانیم، احتمال هر یک از نتایج برابر با 1/6 خواهد بود.
- اکنون باید نتایج مورد علاقه خود را مشخص کنیم. این از دست دادن چهره ای با عدد "شش" یا "یک" است.
- در نهایت، می توانیم احتمال رویداد مورد علاقه خود را تعیین کنیم. 1/3 است. ما احتمالات هر دو رویداد ابتدایی مورد علاقه خود را جمع بندی می کنیم: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
مفهوم و نتیجه
شبیه سازی تصادفی اغلب در قمار استفاده می شود. اما در پیش بینی اقتصادی نیز ضروری است، زیرا به شما امکان می دهد وضعیت را عمیق تر از موارد قطعی درک کنید. مدل های تصادفی در اقتصاد اغلب در تصمیم گیری های سرمایه گذاری استفاده می شود. آنها به شما این امکان را می دهند که در مورد سودآوری سرمایه گذاری در دارایی های خاص یا گروه های آنها مفروضاتی ایجاد کنید.
مدل سازی برنامه ریزی مالی را کارآمدتر می کند. با کمک آن، سرمایه گذاران و معامله گران توزیع دارایی های خود را بهینه می کنند. استفاده از مدل سازی تصادفی همیشه در بلندمدت مزایایی دارد. در برخی صنایع، امتناع یا ناتوانی از اعمال آن حتی می تواند منجر به ورشکستگی بنگاه اقتصادی شود. این به این دلیل است که در زندگی واقعی هر روز پارامترهای مهم جدیدی ظاهر می شوند و اگر اینطور نباشند، می تواند عواقب فاجعه باری داشته باشد.
معادله دیفرانسیل تصادفی(SDE) - یک معادله دیفرانسیل که در آن یک یا چند عبارت ماهیت تصادفی دارند، یعنی یک فرآیند تصادفی را نشان می دهند (نام دیگر یک فرآیند تصادفی است). بنابراین، جواب های معادله نیز فرآیندهای تصادفی هستند. معروف ترین و پرکاربردترین مثال یک SDE معادله ای با اصطلاحی است که نویز سفید را توصیف می کند (که می تواند به عنوان نمونه ای از مشتق از فرآیند وینر در نظر گرفته شود). با این حال، انواع دیگری از نوسانات تصادفی مانند فرآیند پرش وجود دارد.
داستان
در ادبیات، اولین استفاده از SDE به طور سنتی با کار بر روی توصیف حرکت براونی مرتبط است که به طور مستقل توسط ماریان اسمولوچوفسکی (g.) و آلبرت انیشتین (g.) انجام شده است. با این حال، SDE ها کمی زودتر (d.) توسط ریاضیدان فرانسوی لوئیس بوشلیه در پایان نامه دکترای خود "نظریه فرضیات" استفاده شد. بر اساس ایده های این کار، فیزیکدان فرانسوی پل لانژوین شروع به استفاده از SDE در کار خود در زمینه فیزیک کرد. بعدها، او و فیزیکدان روسی، روسلان استراتونوویچ، توجیه ریاضی دقیق تری برای SDE ارائه کردند.
واژه شناسی
در فیزیک، SDE ها به طور سنتی به شکل معادله لانگوین نوشته می شوند. و اغلب، نه کاملاً دقیق، خود معادله لانگوین نامیده می شود، اگرچه SDE را می توان به روش های بسیار دیگری نوشت. SDE به شکل معادله لانژوین شامل یک معادله دیفرانسیل غیر تصادفی معمولی و یک بخش اضافی است که نویز سفید را توصیف می کند. دومین شکل رایج معادله فوکر-پلانک است که یک معادله دیفرانسیل جزئی است و سیر تحول چگالی احتمال را در طول زمان توصیف می کند. شکل سوم SDE بیشتر در ریاضیات و ریاضیات مالی استفاده می شود، شبیه معادلات لانگوین است اما با استفاده از دیفرانسیل های تصادفی نوشته شده است (جزئیات را در زیر ببینید).
حساب تصادفی
اجازه دهید T > 0 (\displaystyle T>0)، رهایش کن
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m)؛) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}سپس معادله دیفرانسیل تصادفی برای شرایط اولیه داده شده
d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (د) t+\سیگما (X_(t)،t)\،\mathrm (d) B_(t))برای t ∈ [ 0 , T ] ; (\displaystyle t\in ;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)منحصر به فرد (به معنای «تقریباً احتمالاً») و t (\displaystyle t)-راه حل مستمر (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega))، به طوری که X (\displaystyle X)- فرآیند مناسب برای فیلتراسیون F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z))، تولید شده است Z (\displaystyle Z)و B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t)، و
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}کاربرد معادلات تصادفی
فیزیک
در فیزیک، SDE ها اغلب به شکل معادله لانژوین نوشته می شوند. به عنوان مثال، یک سیستم SDE مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( ت))جایی که x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- مجموعه ای از مجهولات، f i (\displaystyle f_(i))و توابع دلخواه هستند، و η m (\displaystyle \eta _(m))توابع تصادفی زمان هستند که اغلب اصطلاحات نویز نامیده می شوند. این نماد به این دلیل استفاده می شود که یک تکنیک استاندارد برای تبدیل یک معادله با مشتقات بالاتر به یک سیستم معادلات مرتبه اول با معرفی مجهولات جدید وجود دارد. اگر g i (\displaystyle g_(i))ثابت هستند، می گوییم که سیستم در معرض نویز افزایشی است. ما همچنین سیستم هایی با نویز ضربی را در نظر می گیریم g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). از دو مورد در نظر گرفته شده، نویز افزودنی ساده تر است. راه حل یک سیستم با نویز افزایشی را اغلب می توان تنها با استفاده از روش های حساب استاندارد پیدا کرد. به طور خاص، می توان از روش معمول ترکیب توابع ناشناخته استفاده کرد. با این حال، در مورد نویز ضربی، معادله لانژوین به معنای تحلیل ریاضی معمولی ضعیف است و باید بر اساس حساب Itô یا حساب استراتنوویچ تفسیر شود.
در فیزیک، روش اصلی برای حل SDE ها یافتن راه حلی به شکل چگالی احتمال و تبدیل معادله اصلی به معادله فوکر-پلانک است. معادله فوکر-پلانک یک معادله دیفرانسیل جزئی بدون عبارات تصادفی است. تکامل زمانی چگالی احتمال را تعیین می کند، همانطور که معادله شرودینگر وابستگی زمانی تابع موج یک سیستم را در مکانیک کوانتومی تعیین می کند، یا معادله انتشار، تکامل زمانی غلظت شیمیایی را تعیین می کند. راه حل ها را می توان به صورت عددی نیز جستجو کرد، برای مثال با استفاده از روش مونت کارلو. سایر تکنیک ها برای یافتن راه حل ها از انتگرال مسیر استفاده می کنند، این تکنیک مبتنی بر قیاس بین فیزیک آماری و مکانیک کوانتومی است (به عنوان مثال، معادله فوکر-پلانک را می توان با استفاده از تبدیل متغیرها به معادله شرودینگر تبدیل کرد)، یا حل معادلات دیفرانسیل معمولی برای گشتاورهای چگالی احتمال
پیوندها
- دنیای تصادفی - مقدمه ای ساده بر معادلات دیفرانسیل تصادفی
ادبیات
- آدومین، جورج.سیستم های تصادفی (نئوپر.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (ریاضیات در علوم و مهندسی (169)).
- آدومین، جورج.معادلات عملگر تصادفی غیرخطی (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- آدومین، جورج.نظریه سیستم های تصادفی غیرخطی و کاربردها در فیزیک - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group، 1989. - (ریاضیات و کاربردهای آن (46)). (انگلیسی)
یکی از ویژگی‌های اساسی فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی، عدم امکان پیش‌بینی بدون ابهام مسیر آنها بر اساس اطلاعات پیشینی موجود است. علیرغم این واقعیت که فرآیندهای اقتصادی-اجتماعی تابع قوانین عینی خاصی هستند، در هر فرآیند خاص این قوانین خود را از طریق عدم قطعیت های بسیاری نشان می دهند.
مدل ریاضی فرآیند می‌تواند شامل پارامترها و روابط قطعی یا موارد تصادفی باشد، اما نمی‌تواند (حداقل در وضعیت فعلی علم) شامل عدم قطعیت باشد.
انتخاب یک رویکرد قطعی یا تصادفی برای مدل‌سازی یک فرآیند اجتماعی-اقتصادی خاص به اهداف مدل‌سازی، دقت احتمالی تعیین داده‌های اولیه، دقت مورد نیاز نتایج بستگی دارد و اطلاعات محقق را در مورد ماهیت علت منعکس می‌کند. روابط -و-اثر فرآیند واقعی. در عین حال، عوامل نامشخصی که ممکن است در فرآیندهای واقعی رخ دهند باید تقریباً به صورت قطعی یا تصادفی نشان داده شوند. ماهیت پارامترهای گنجانده شده در مدل به آن دسته از مفروضات اولیه اشاره دارد که فقط به صورت تجربی قابل توجیه هستند. فرضیه مربوطه در مورد ماهیت قطعی یا تصادفی پارامترها و روابط مدل در صورتی پذیرفته می‌شود که با داده‌های تجربی در دقت مورد نیاز یا احتمالی تعیین این پارامترها مغایرت نداشته باشد.
اکثر مدل‌های مدرن فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی مبتنی بر ساختارهای احتمالی هستند. در این راستا، توصیه می‌شود که موضوع مفروضات اولیه کاربردی بودن چنین ساختارهایی در مدل‌سازی مورد توجه قرار گیرد.
تئوری احتمال مدل‌های ریاضی آزمایش‌ها (پدیده‌های واقعی) را مطالعه می‌کند که نتیجه آنها کاملاً به‌طور واضح توسط شرایط آزمایش تعیین نمی‌شود. بنابراین، ابهام فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی اغلب در انتخاب یک رویکرد تصادفی (احتمالی) برای مدل سازی آنها تعیین کننده است. در عین حال، همیشه در نظر گرفته نمی شود که دستگاه نظریه احتمال برای توصیف و مطالعه قابل استفاده است. نه هیچ آزمایشیبا نتایج نامشخص ، اما فقط آزمایش هایی که نتایج آنها از نظر آماری پایدار است. بنابراین، مهم‌ترین سؤال در مورد اثبات تجربی کاربرد روش‌های احتمالی برای ویژگی‌های خاص فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی مورد بررسی، گاهی کاملاً دور از چشم است.
کاربرد روش های تئوری احتمالات برای مطالعه برخی فرآیندها را تنها می توان به صورت تجربی بر اساس تحلیل ثبات آماری ویژگی های این فرآیندها اثبات کرد.
ثبات آماری ثبات میانگین تجربی، فراوانی یک رویداد یا هر ویژگی دیگر پروتکل اندازه گیری پارامتر مورد مطالعه یک فرآیند خاص است.
با این حال، باید توجه داشت که مسئله ثبات آماری فرآیند واقعی اجتماعی-اقتصادی به عنوان یک کل، و در نتیجه، کاربرد مفاهیم احتمالی در مدل‌سازی آن، در حال حاضر تنها در یک سطح شهودی قابل حل است. این به طور عینی به دلیل عدم وجود تعداد کافی آزمایش در مورد فرآیند به عنوان یک کل است. در عین حال، بیشتر فرآیندهای "ابتدایی" که این یا آن فرآیند اجتماعی-اقتصادی را تشکیل می دهند ماهیت تصادفی دارند (یعنی فرضیه ثبات آماری آنها با تجربه موجود در تضاد نیست). بنابراین، برای مثال، خرید یک یا مقدار دیگری از یک محصول خاص برای یک دوره زمانی مشخص، اغلب یک رویداد تصادفی است. تعداد فرزندان متولد شده تصادفی است. فرآیندهای مصرف در طبیعت تصادفی هستند. تصادفی خرابی تجهیزات، روحیه افراد درگیر در تولید کالا و خدمات و غیره است. تصادفی بودن این پدیده ها به طور تجربی توسط تعداد نسبتاً زیادی آزمایش تأیید شده است.
همه این فرآیندهای تصادفی "ابتدایی" با یکدیگر تعامل دارند و در یک فرآیند اجتماعی-اقتصادی واحد متحد می شوند. علیرغم اینکه مدیریت در حوزه اقتصادی-اجتماعی با هدف کاهش عنصر شانس و دادن خصلت هدفمند قطعی به این فرآیند انجام می شود، فرآیندهای واقعی به قدری پیچیده هستند که هرچقدر هم که تمرکز مدیریت بالا باشد، عوامل تصادفی همیشه وجود دارند. در آنها وجود دارد. بنابراین، ماهیت فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی به معنای وسیع تصادفی باقی می ماند. این به عنوان پایه ای برای استفاده از مدل های تصادفی در مطالعه آنها عمل می کند، اگرچه پایداری تصادفی کامل یک فرآیند خاص به عنوان یک کل به سختی می تواند به طور کامل تضمین شود.
در حال حاضر، دو رویکرد اصلی برای مدل‌سازی تصادفی فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی وجود دارد (شکل 4.8). جهت اول با ساخت مدل های تصادفی بر اساس روش آزمون های آماری (مونته کارلو) مرتبط است. جهت دوم ساخت مدل های تحلیلی است. هر دوی این حوزه ها به طور موازی در حال توسعه هستند و متقابلاً یکدیگر را تکمیل می کنند.
ویژگی اصلی مدل‌های مبتنی بر روش آزمون‌های آماری این است که به طور تقریبی فرآیند اجتماعی-اقتصادی را بر اساس تقلید از مؤلفه‌های اولیه و روابط آنها بازتولید می‌کنند. این اجازه می دهد تا فرآیندهای مدل سازی یک ساختار بسیار پیچیده، بسته به تعداد زیادی از عوامل مختلف، انجام شود. با این حال، مدل‌های آزمون آماری دست و پا گیر هستند. استفاده از آنها به مقدار زیادی حافظه کامپیوتری نیاز دارد و با صرف زمان زیادی از کامپیوتر همراه است. اشکال قابل توجه این مدل ها نیز عدم وجود روش های بهینه سازی سازنده است.
برخی از کاستی‌های مدل‌های آماری شبیه‌سازی فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی با استفاده از مدل‌های تحلیلی برطرف می‌شود.
برنج. 4.8. مدل سازی تصادفی فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی
در حال حاضر، دو رویکرد اصلی برای ساخت مدل‌های تحلیلی فرآیندهای تصادفی - میکروسکوپی و ماکروسکوپی استفاده می‌شود.
رویکرد میکروسکوپی شامل مطالعه دقیق رفتار هر یک از عناصر سیستم اجتماعی-اقتصادی است.
مدل‌های ماکروسکوپی فقط ویژگی‌های کلان سیستم را مطالعه می‌کنند و فقط میانگین ویژگی‌های وضعیت سیستم را در نظر می‌گیرند، به عنوان مثال، میانگین تعداد عناصر سیستم که در یک وضعیت خاص هستند. این امر منجر به از دست رفتن اطلاعات در مورد وضعیت هر یک از عناصر سیستم اجتماعی-اقتصادی می شود، زیرا همان دولت های کلان می تواند نتیجه ترکیب های مختلف دولت های خرد باشد. در عین حال، رویکرد ماکروسکوپی کاهش ابعاد مدل ریاضی، قابل مشاهده تر کردن آن و کاهش هزینه منابع کامپیوتری را در طول محاسبات ممکن می سازد. هنگامی که اطلاعات دقیق تری در مورد رفتار سیستم مورد نیاز است، رویکرد میکروسکوپی ترجیح داده می شود. روش ماکروسکوپی برای محاسبات تخمین نسبتاً سریع استفاده می شود.
ویژگی متمایز مدل قطعی این است که با توجه به پارامترها و شرایط اولیه، فرآیند برای هر زمان t> 0 به طور کامل تعیین می شود.
با یک تفسیر تصادفی، مدل پویایی ویژگی‌های احتمالی (به عنوان مثال، انتظارات ریاضی) فرآیند را توصیف می‌کند و بنابراین، فرآیند را به طور متوسط مشخص می‌کند و تنها تخمین‌هایی را برای هر پیاده‌سازی خاص ارائه می‌کند. مدل های تصادفی فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی این امکان را فراهم می کند که فقط نتایج متوسط (لحظه های توزیع نتایج فرآیند) یا احتمال نتایج معین را پیش بینی کرد.
هنگام ایجاد مدل‌هایی از عملیات و فرآیندهای تکنولوژیکی، باید با چنین مواردی برخورد کرد که پدیده مدل‌سازی شده را نمی‌توان در قالب روابط عملکردی قطعی توصیف کرد. دلیل این امر می تواند هم تأثیر شدید اغتشاشات تصادفی مختلف و هم ماهیت اساساً تصادفی خود پدیده باشد، به عنوان مثال، پدیده مورد علاقه ما با تداخل تحریف نمی شود، بلکه توسط عملکرد ترکیبی عوامل تصادفی مختلف ایجاد می شود.
معمولی ترین رویداد تصادفی، خرابی تجهیزات و عناصر اتوماسیون در طول عملیات عادی آنهاست.
استفاده از از یک سو، تجربه نشان می دهد که دیر یا زود، با
اکثر قطعات یا قطعات الکترونیکی کم و بیش به شدت از کار می افتند و از سوی دیگر، پیش بینی دقیق لحظه ای که خرابی رخ می دهد کاملاً غیرممکن است.
بدیهی است که ما فقط می توانیم در مورد احتمال وقوع یک یا چند خرابی در یک بازه زمانی خاص صحبت کنیم، یا
o که زمان کار (تعداد خرابی ها صفر است) نباشد
از مقدار معینی فراتر می رود.
فرمول مشابهی از سوال برای خطاهای اندازه گیری پارامتر معتبر است. به دلیل تعدادی تصادفی
عوامل، نمی توان پیش بینی کرد که چه زمانی خطا خواهد بود
یک اندازه گیری خاص، اگرچه واضح است که نمی تواند بیشتر از مقداری باشد و مفهوم خطای متوسط در مجموعه محدودی از اندازه گیری ها وجود دارد. تصادفی را می توان با انحراف پارامترهای قسمت های خالی و حتی قطعات تمام شده از موارد هنجاری نیز نشان داد. در عین حال، برای محصولات خوب، این انحرافات در محدوده تحمل است، برای محصولات معیوب بیش از تحمل است.
در موارد در نظر گرفته شده، به ویژه هنگامی که عوامل تصادفی مختلف با هم تعامل دارند و متقابلاً تأثیر می گذارند، رفتار پارامتر مورد علاقه ما و مقدار آن را نمی توان به عنوان تابعی از تعامل مقادیر متوسط عوامل تعیین کننده آن نشان داد. نتیجه نهایی باید در قالب یک متغیر تصادفی در نتیجه تعامل عوامل تصادفی در اجرای مکرر فرآیند به دست آید. تنها پس از پردازش آماری نتایج به‌دست‌آمده می‌توان از تخمینی از مقدار میانگین و اسپرد صحبت کرد. چنین مدل فرآیندی، بر خلاف مدل قطعی، تصادفی (تصادفی) نامیده می شود.
مدل‌های تصادفی نیز الگوهای عینی ذاتی این فرآیند را منعکس می‌کنند، اما بازنمایی آنها در آن
شکل توابع قطعی یا غیرممکن است یا غیرعملی
به صورت مجازی در این مرحله برای نمایش آنها، از دستگاه توابع تصادفی استفاده می شود، زمانی که پدیده ها و فرآیندهای تصادفی با متغیرهای تصادفی که از قوانین احتمالی تبعیت می کنند، مشخص می شوند.
نتایج آماری پایدار (قابل اعتماد) مدل‌سازی پدیده‌ها و فرآیندهای تصادفی را می‌توان تنها برای تعداد بسیار زیادی از تحقق‌ها (آزمایش‌ها) به‌دست آورد، و هرچه گسترش مقادیر یک متغیر تصادفی بیشتر باشد، تعداد تحقق‌های بیشتری مورد نیاز است. در واقع، چنین مدل‌سازی تنها با استفاده از رایانه‌های پرسرعت امکان‌پذیر است.
برای این منظور کامپیوتر باید بتواند:
دنباله ای از اعداد تصادفی با قانون توزیع داده شده و پارامترها (ریاضی-
انتظار تیک، واریانس، و غیره)؛
محاسبه احتمال یک رویداد تصادفی که از قانون خاصی پیروی می کند.
فاصله زمانی؛
بازتولید واقعیت وقوع یک رویداد تصادفی و غیره.
در تمام این موارد، دانستن قانون توزیع یک متغیر یا رویداد تصادفی و پارامترهای آن ضروری است. ضروری
برای این، داده ها با انجام یک آزمایش در مقیاس کامل در اجرای چنین پدیده ای به دست می آیند. پردازش آماری چنین آزمایشی نه تنها امکان شناسایی الگوهای آماری یک پدیده تصادفی، بلکه همچنین ارزیابی قابلیت اطمینان نتایج را بسته به دامنه آزمایش (تعداد اجرا) می دهد.
مرحله اولیه پردازش داده های تجربی ساخت یک سری متغیر و یک هیستوگرام است. برای انجام این کار، یک سری از مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته ثابت می شود ایکس(مثلا تعداد قطعات معیوب در هر شیفت) در طول پتغییر دادن مجموعه مقادیر را نمونه یا سری آماری می نامند.
با مرتب کردن مقادیر مختلف اندازه گیری شده به ترتیب صعودی، یک سری تغییرات بدست می آوریم. در مرحله بعد، جدولی از فرکانس ها را که در آن هر مقدار از سری تغییرات جمع آوری می شود xi،فرکانس آزمایشی پدیده مشاهده شده مطابقت دارد:
تعداد نوبت زمانی که xi, قطعات معیوب;
تعداد کل جابجایی ها هنگام مشاهدات انجام شد.
اگر متغیر تصادفی پیوسته باشد (خطای اندازه گیری)، مقادیر آزمایشی آن به صورت فواصل ارائه می شود.
جدول فرکانس که فواصل را نشان می دهد
ci− ciمقادیر +1
متغیر تصادفی، و همچنین، مانند یک متغیر گسسته، اغلب
تو اون فاصله بهش میزنی
- تعداد مقادیر متغیر تصادفی که بیرون نمی آیند
فراتر از مرزها من-مین فاصله؛
مقادیر.
تعداد کل مقادیر ثابت تصادفی
با توجه به جدول فاصله، یک هیستوگرام ساخته می شود که مجموعه ای از مستطیل های مزدوج است که روی محور افقی قرار گرفته اند که پایه آنها برابر با فاصله است.
ci− ci+1
مقادیر یک متغیر تصادفی و مساحت برابر است با
با ساختن نمودارها بر اساس داده های جدول فرکانس یا هیستوگرام، می توان با شکل آنها، فرضیه ای در مورد مطابقت داده های تجربی با این یا قانون دیگر ارائه داد. پس از آن، میزان توافق بین داده های تجربی و قانون پیشنهادی بررسی می شود. تأیید با استفاده از معیارهای تطابق مختلف انجام می شود. رایج ترین تست χ2 پیرسون (کی دو) است.
تاکنون مدل هایی با توپولوژی شبکه قطعی در نظر گرفته ایم. هنگام مدل‌سازی یک پروژه پیچیده، مدل‌های شبکه با ساختار تصادفی اغلب انعطاف‌پذیرترین و مفیدترین هستند. یک شبکه تصادفی به عنوان شبکه ای حاوی گره های جایگزین (حالت) تعریف می شود، در حالی که قوس ها (کارها) نه تنها با توزیع احتمال مدت زمان مشخص می شوند، بلکه با احتمال اجرای آنها نیز مشخص می شوند.
مدل شبکه تصادفی با بسیاری از نتایج ممکن، به عنوان توسعه بیشتر شبکه های سنتی، امکان انعکاس کاملتر فرآیند توسعه و ایجاد یک پروژه پیچیده را فراهم می کند. دستگاه ریاضی مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل مدل های شبکه تصادفی امکان محاسبه احتمالات پیامدهای جایگزین مختلف و تخمین زمان تحقق احتمالی آنها را فراهم می کند.
مدل شبکه تصادفی یک گراف محدود G=(W,A) است، که در آن W مجموعه ای از رئوس قطعی و جایگزین شناسایی شده با رویدادها است، و ماتریس تکنولوژیکی A=(p ij) مجموعه کمان های جهت دار شناسایی شده با کارها را تعریف می کند. یا اتصالات). برای شبکه های تصادفی 0 £ p ij £ 1، و p ij = 1 کار (i,j) را به طور مشابه با تعاریف پذیرفته شده در شبکه های سنتی تعریف می کند، و
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
فرض کنید j(t ij) چگالی توزیع زمان اجرای کار (i,j) باشد. M[x] انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی x است.
تابع مولد شرطی ممان های متغیر تصادفی t ij به صورت М ij (s)=М[е st ij ] معرفی می شود، یعنی.
M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (برای یک متغیر تصادفی پیوسته)،
е st ij j(t ij) (برای یک متغیر تصادفی گسسته).
به طور خاص، М ij (s)=М[е sа ] = e sа در t ij =а=const، М ij (0)=1.
برای هر قوس (i,j)، تابع Y به صورت تعریف شده است
Y ij (s) = p ij M ij (s).
شبکه اصلی با استفاده از سه تبدیل اساسی به شبکه معادل تبدیل می شود:
کمان های متوالی،
کمان های موازی
برای کمان های متوالی (شکل 7)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).
برای کمان های موازی (شکل 8)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).
برای مشاهده حلقه ها (شکل 9)
Y ij (s) = Y b (s)/.
با ترکیب تبدیلات اساسی، هر شبکه می تواند به یک شبکه معادل متشکل از یک قوس منفرد (E-arc) تبدیل شود.
هدف از تحلیل زمانی یک شبکه تصادفی محاسبه انتظارات ریاضی و واریانس زمان اجرای شبکه (یا هر یک از قطعات آن) و احتمال اجرای نهایی (یا هر رویداد دیگر) شبکه است.
در اینجا از تئوری نمودارهای جریان بسته استفاده می شود، که در آن تابع Y که در بالا معرفی شد به عنوان گذر قوس مربوطه تفسیر می شود. برای اعمال نتایج این نظریه در یک شبکه باز با پارامتر مورد نظر Y E (s)، یک قوس اضافی با پارامتر Y A (s) معرفی شده است که رویداد نهایی (سینک) را با اولیه (منبع) متصل می کند.
سپس از معادله توپولوژیک برای نمودارهای بسته که به قانون میسون معروف است به شکل زیر استفاده می شود:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0، (10)
که در آن åT(L m) مجموع انتقال‌های معادل برای همه حلقه‌های ممکن از مرتبه mth است.
انتقال معادل برای حلقه مرتبه mth برابر است با حاصلضرب انتقالات m غیر مرتبطحلقه های مرتبه اول، یعنی.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
مستقیماً از قانون میسون نتیجه می گیرد که 1–Y A (s)Y E (s)=0 یا Y A (s)=1/Y E (s). با استفاده از این نتیجه، در معادله توپولوژیکی (10) Y A (s) با 1/Y E (s) جایگزین می شود و سپس با توجه به Y E (s) حل می شود، در نتیجه یک تابع Y معادل برای شبکه تصادفی اصلی به دست می آید.
از آنجایی که Y E (s) \u003d p E M E (s) و M E (0) \u003d 1، سپس p E \u003d Y E (0) که به این معنی است که
M E (s) = Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (یازده)
پس از به دست آوردن یک عبارت تحلیلی برای M E (s)، مشتقات جزئی اول و دوم را با توجه به s تابع M E (s) در نقطه s=0 محاسبه کنید، یعنی.
m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)
اولین لحظه m 1E نسبت به مبدأ، انتظار ریاضی زمان اجرای شبکه است (تبدیل به معادل E-arc) و واریانس زمان اجرای شبکه برابر است با تفاوت بین لحظه دوم m 2E و مربع. از اولی، یعنی
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (14)
بنابراین، دستگاهی که در بالا توضیح داده شد، محاسبه پارامترهای زمانی هر رویداد یک شبکه تصادفی که مورد علاقه کاربر است و همچنین تعیین احتمال وقوع آنها را ممکن می سازد.
با استفاده از اطلاعات به دست آمده، با استفاده از نابرابری چبیشف، می توان احتمال هرگونه فاصله اطمینان برای تکمیل پروژه را برای قوانین توزیع دلخواه برای اجرای عملیات فردی تخمین زد. اگر زمان اجرای هر عملیات به طور عادی توزیع شود، زمان حاصل نیز به طور معمول توزیع می شود. در این حالت می توان تخمین های احتمالی زمان اجرای پروژه را با استفاده از قضیه انتگرال مویور-لاپلاس به دست آورد. علاوه بر این، با تعداد کافی مشاغل در شبکه و برآورده شدن شرایط خاص (به ویژه استقلال مشاغل)، می‌توانیم از قضیه حد لیاپانوف استفاده کنیم و زمان اجرای پروژه حاصل را به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در نظر بگیریم. ویژگی های محاسبه شده با روش توصیف شده در بالا.
بنابراین، مدل شبکه تصادفی شامل تمام انحرافات تصادفی و عدم قطعیت است که به طور مستقیم در طول اجرای هر کار منفرد ایجاد می شود.
3.4. رسمی سازی بیانیه کلی وظیفه برنامه ریزی کار در مدیریت پروژه و شرح مدل شبکه جهانی و وظایف تحلیل زمانی حل شده بر اساس آن
در نتیجه تجزیه و تحلیل و ترکیب مدل های فوق، یک مدل ریاضی جهانی پیشنهاد شده است، در حالی که مدل های شبکه کلاسیک، تعمیم یافته و تصادفی موارد خاص آن هستند.
این مدل (به نام مدل شبکه تصادفی چرخه ای - CSSM) ابزاری انعطاف پذیرتر و مناسب تر برای توصیف فرآیند مدیریت توسعه یک پروژه پیچیده است.
CSSM یک گراف چرخه‌ای محدود، جهت‌دار G(W,A)، متشکل از مجموعه‌ای از رویدادهای W و کمان‌ها (i,j) (رویدادهای i، jOW) است که توسط ماتریس مجاورت A=(p ij ) تعیین می‌شود. 0Ј p ij Ј1، و p ij =1 یک قوس قطعی (i,j) را تعریف می کند و 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
زمان تکمیل رویداد i را با T i نشان دهید، سپس نسبت بین زمان اتمام رویدادهایی که با قوس (i, j) متصل می شوند با نابرابری داده می شود:
Т j – Т i і y ij , (15)
که در آن y ij به طور کلی یک متغیر تصادفی است که طبق برخی قوانین در محدوده -Ґ تا 0 یا از 0 تا +Ґ توزیع شده است.
علاوه بر این، محدودیت های مطلق در زمان اجرای رویداد i امکان پذیر است:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
روابط (15)-(16) تعمیم نابرابری های مربوطه در توصیف مدل های شبکه تعمیم یافته است، که در آن پارامتر y ij و ماتریس مجاورت A قطعی هستند.
بار معنایی رابطه (15) را با ماهیت احتمالی پارامتر y ij در نظر بگیرید.
اگر (i,j) یک کار کمانی (یا بخشی از آن) باشد، یک متغیر تصادفی توزیع شده مثبت y ij توزیع حداقل مدت این کار را مشخص می کند (همراه با حداکثر اشباع آن با منبع تعیین کننده). این مقاله نشان می‌دهد که توزیع مقدار y ij یک‌وجهی و نامتقارن است و توزیع بتا این الزامات را برآورده می‌کند، بنابراین، حداقل زمان اجرایک متغیر تصادفی y ij =t min (i,j) است که بر اساس قانون توزیع بتا روی قطعه [a, b] با چگالی توزیع شده است.
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
که در آن C از شرط تعیین می شود
اگر متغیر تصادفی y ij در (15)، مربوط به کار کمانی (i,j)، در بازه ی –Ґ تا 0 توزیع شود، آنگاه –y ij =t max (j,i) توزیع را تنظیم می کند. طول حداکثر فاصله زمانی، که در طی آن کار (i، j) باید شروع و به پایان برسد، حتی اگر حداقل با منبع تعیین کننده اشباع شده باشد. برای این کمیت، توزیع آن را به شکلی مشابه به دست آوردیم (17). با دانستن توزیع متغیر تصادفی y ij برای هر شغل (i, j)، انتظارات ریاضی و واریانس آن با استفاده از فرمول های مناسب محاسبه می شود.
معرفی مقادیر منفی توزیع شده y ij برای کارهای قوس الکتریکی (i,j) در (15) به طور قابل توجهی امکانات توصیف ویژگی های زمانی مشاغل را گسترش می دهد و مدل احتمالی پرکاربرد را تنها یکی از موارد خاص می کند.
برای پیوندهای قوس (i,j)، مقدار y ij توزیع وابستگی زمانی بین رویدادهای i و j را مشخص می‌کند، و مقدار توزیع شده مثبت y ij رابطه نوع «نه زودتر» را تعیین می‌کند (رویداد j نمی‌تواند زودتر رخ دهد. بیش از y ij روز پس از اتمام رویداد i)، و مقدار منفی توزیع شده y ij، رابطه نوع "حداکثر از" را تعیین می کند (رویداد i می تواند حداکثر تا -y ij روز بعد از رویداد j رخ دهد). در مورد دوم، چنین پیوندهایی "معکوس" نامیده می شوند.
بنابراین، در اینجا ما با در نظر گرفتن ماهیت احتمالی آنها، به تعمیم این ارتباطات دست یافته ایم.
از آنجایی که زمان اتمام رویدادها T i با مجموع مدت زمان کارهایی که از نظر فنی مقدم بر آنها هستند تعیین می شود، پس با تعداد کافی از چنین آثاری، مطابق با قضیه حد مرکزی، توزیع متغیر تصادفی Т i با پارامترهای - انتظار MT i و پراکندگی DT i به حالت عادی تمایل دارد. توزیع نرمال همچنین دارای پارامتر y ij مربوط به کمان های "معکوس" است که با تجزیه و تحلیل آماری نیز تایید می شود.
محدودیت‌های مطلق در زمان‌بندی رویدادها، ارائه شده توسط (16)، منعکس‌کننده دستورالعمل مربوطه، محدودیت‌های سازمانی و فناوری در زمان‌بندی اجرای کار یا بخش‌هایی از آن است که در مقیاس زمانی «مطلق» (واقعی یا مشروط) ارائه شده است. محدودیت‌های مطلق نیز با نوع «نه زودتر» یا «نه دیرتر» مشخص می‌شوند و به شکل زیر مشخص می‌شوند: T i - T 0 і l i , T 0 - T i і -L i. بنابراین، محدودیت های مطلق شکل (16) یک مورد خاص از محدودیت های فرم (15) برای قوس-اتصال معین است.
معرفی یک ماتریس مجاورت تصادفی A در ترکیب با اتصالات تعمیم یافته فرصت های بیشتری را برای توصیف فرآیند ایجاد یک پروژه پیچیده فراهم می کند.
بگذارید L(i,j) مسیری باشد که رویدادهای i و j را به هم متصل می کند:
L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)
این مسیر قطعی، اگر pi k-1 i k =1 برای همه kO معتبر باشد و تصادفی، در غیر این صورت. بنابراین، مسیر تصادفی شامل حداقل یک قوس است که احتمال "اجرا" آن به شدت کمتر از 1 است.
به طور مشابه تعریف شده است مدار قطعی و تصادفیК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (به چنین رویدادهایی "کانتور" می گویند).
اگر رویدادهای i و j با یک مسیر L(i,j) به هم متصل شوند، احتمال وقوع رویداد j، مشروط بر اینکه رویداد i رخ داده باشد P(j/i)، حاصل ضرب ضرایب ماتریس مجاورت A است. مربوط به قوس های مسیر اتصال:
P(j/i)=X v k=1 p i k-1 i k . (19)
اگر رویدادهای i و j به چند طریق به هم متصل شوند، تبدیل GERT معادل این قطعه شبکه مطابق با فرمول های داده شده در کار انجام می شود، تابع تولید کننده Y ij (s) قطعه تبدیل شده محاسبه می شود و احتمال آن محاسبه می شود. از رویداد j، به شرطی که رویداد i رخ دهد P (j/i)= Y ij (0).
اولین مشتق تابع Y ij (s)/ Y ij (0) با توجه به s در نقطه s=0 (اولین لحظه m 1 (j/i)) انتظار M(j/i) را تعیین می کند. زمان وقوع j با توجه به زمان رویداد i. دومین مشتق تابع Y ij (s)/ Y ij (0) با توجه به s در نقطه s=0 (لمان دوم m 2 (j/i)) به ما امکان می دهد واریانس زمان را محاسبه کنیم. رویداد j با توجه به زمان رویداد i با فرمول
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (20)
طول مسیر L(i,j) یک متغیر تصادفی است که انتظار ریاضی آن ML(i,j) مجموع انتظارات ریاضی طول تمام کمان هایی که این مسیر را تشکیل می دهند و واریانس DL است. (i,j) برابر است با مجموع واریانس ها.
در این شرایط، طول مسیر (کانتور) می تواند طول بکشد منفیمقادیر، که به صورت زیر تفسیر می شود:
اگر L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться نه بعداز -y ji روز پس از وقوع رویداد i. پارامتر y ji ماهیتی احتمالی دارد، که این امکان را فراهم می‌کند که به‌طور انعطاف‌پذیرتر (در رابطه با مدل‌های شبکه چرخه‌ای) روابط منطقی-زمانی بین رویدادها را توصیف کنیم.
به عنوان یک پارامتر قوس y ij، می‌توان هر پارامتر مشخصه‌ای را که در امتداد قوس‌های هر مسیری دارای افزودنی است (مثلاً هزینه کار) در نظر گرفت، در حالی که با استفاده از تبدیل GERT معادل، انتظار ریاضی و واریانس هزینه را به دست می‌آوریم. از یک قطعه شبکه یا یک پروژه به عنوان یک کل.
وظایف تجزیه و تحلیل زمانی CSSM (و الگوریتم های حل آنها)همچنین تحلیل زمانی مدل‌های شبکه کلاسیک، تعمیم‌یافته یا تصادفی، زیربنای حل تمام مشکلات برنامه‌ریزی و مدیریت پروژه است. آنها در حل مشکلات مدیریت پروژه بدون در نظر گرفتن محدودیت های منابع اهمیت مستقلی دارند.
وظایف تجزیه و تحلیل زمانی نیز برای ایجاد گزینه های مختلف طرح برای مقادیر معینی از بردار در دسترس بودن منابع به منظور مقایسه بعدی آنها، ارزیابی کیفیت گزینه های طرح و انتخاب جهت برای بهبود بیشتر آن ضروری است.
هنگام حل مسائل برنامه ریزی کار بهینه در مدیریت پروژه، الگوریتم های تحلیل زمان CSSM به عنوان ابزاری برای محاسبه پارامترهای لازم مورد استفاده در الگوریتم های بهینه سازی مربوطه به منظور اطمینان از تحقق محدودیت های تکنولوژیکی استفاده می شود.
وظیفه تجزیه و تحلیل زمانی CSSM به یافتن یک بردار تصادفی T=(T 0 ,T 1 ,…,Tn) کاهش می یابد، که در آن T i زمان رویداد i است که مختصات آن نابرابری ها را برآورده می کند ( 15)،(16) و به یک تابع هدف f(T) اکستروم تبدیل می شود.
برجسته شده است سه دسته از مسائل تحلیل زمانی:
· کلاسیک، که در آن برای محاسبه (T i) از انتظارات ریاضی مدت زمان همه کمان ها استفاده می شود.
· احتمالیکه در آن، بر اساس قضیه حد لیاپانوف یا سایر ابزارهای تحلیلی، انتظارات ریاضی از زمان اتمام رویدادهای i - (MT i) که آرگومان های تابع هدف f(T) هستند، محاسبه می شود. ;
· آماری، که در آن برای سطح معینی از قابلیت اطمینان p، طبق روشی که در مقاله توضیح داده شده است، تخمین‌های کمیت p توزیع‌های تجربی هم برای زمان‌بندی رویدادهای i - (W p (T i)) و هم برای آنها تعیین می‌شوند. مشتقات، از جمله مقادیر تابع هدف f(W p (T))، که در آن W p (T)=(W p (T 0)، W p (T 1)،…، W p (Tn)) .
مفهوم سازگاری CSSM معرفی شده است.
مدل شبکه تصادفی چرخه ای نامیده می شود استواراگر حداقل یک طرح قابل قبول برای کلاس مربوطه از مسائل تحلیل زمانی (کلاسیک، احتمالی یا آماری) محاسبه شده باشد که سیستم نابرابری ها را برآورده کند (15)، (16).
بیایید نگاهی به این سه مفهوم بیندازیم.
سازگاری مدل کلاسیک
انتظارات ریاضی مدت زمان همه کمان ها محاسبه می شود و پس از آن شبکه ای با طول قوس ثابت تشکیل می شود. با در نظر گرفتن ماهیت تصادفی مدل مورد بررسی و وجود اتصالات تعمیم یافته، پس از محاسبات فوق، خطوط تصادفی و قطعی می توانند در CSSM قرار گیرند. قضیه زیر ثابت می شود:
قضیه 1 . برای اینکه مدل تصادفی چرخه‌ای، که در آن طول کمان‌ها بر اساس طرح کلاسیک محاسبه می‌شود، با یک احتمال معین a سازگار باشد، لازم و کافی است که طول تمام خطوط قطعی مثبت نباشد.
سازگاری مدل احتمالی.
انتظارات ریاضی MT i و پراکندگی s 2 Ti از زمان‌بندی رویدادها به صورت تحلیلی محاسبه می‌شوند. پارامترهای محاسبه شده به این روش 15-20٪ از نظر بزرگی با پارامترهای محاسبه شده به روش کلاسیک (با توجه به انتظارات ریاضی مدت زمان قوس) متفاوت است.
اجازه دهید در موردش صحبت کنیم سازگاری احتمالی مدل به طور متوسط، اگر مجموعه ای که بدین ترتیب به دست می آید نابرابری های (15)-(16) را برآورده کند، که در آن انتظار ریاضی آن به عنوان مقدار y ij در نظر گرفته می شود. صحت قضیه زیر ثابت می شود:
قضیه 2 . برای اینکه یک مدل تصادفی چرخه ای به طور میانگین به صورت احتمالی سازگار باشد، لازم و کافی است که انتظارات ریاضی طول تمام خطوط قطعی مثبت نباشد.
با فرض اینکه T i دارای توزیع نرمال با پارامترهای: انتظار ریاضی - МТ i و واریانس - s 2 Т i است، مفهوم گسترده تری از e- را معرفی می کنیم. سازگاری مدل احتمالی.
اگر e > 0 وجود داشته باشد به گونه ای که برای همه T i نابرابری را ارضا کند، خواهیم گفت که CSSM از نظر احتمالات الکترونیکی سازگار است.
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
قضیه 3 . برای اینکه مدل جایگزین چرخه ای از نظر احتمالات الکترونیکی سازگار باشد، لازم و کافی است که انتظارات ریاضی طول تمام خطوط قطعی رابطه МL(K(i)) Ј -4e را برآورده کند.
سازگاری احتمالی مدل، به طور متوسط، یک مورد خاص از ثبات احتمالی الکترونیکی در e=0 است.
سازگاری آماری مدل.
با روش آماری محاسبه پارامترهای مدل شبکه، با تخمین کمیت p آنها از مقادیر که آنالوگ های احتمالی شاخص های مربوطه هستند، سر و کار داریم. گفته می شود که مدل تصادفی چرخه ای از نظر آماری با احتمال p مطابقت دارد، اگر برای هر رویداد i تخمین‌های کمیت p از زمان اتمام رویدادها W p (T i) وجود داشته باشد که نابرابری‌ها را برآورده می‌کند:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i JW p (Т i)JL i . (22)
در اینجا روابط (21)-(22) آنالوگ های احتمالی (15)-(16) هستند، W p (y ij) تخمین کمیک p طول قوس (i,j) است. موارد زیر ثابت شده است:
قضیه 4 . برای اینکه مدل جایگزین چرخه ای از نظر آماری با احتمال p مطابقت داشته باشد، لازم و کافی است که تخمین چندک p طول تمام خطوط قطعی رابطه W p (L(K(i))) Ј 0 را برآورده کند.
الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای زمانی CSSM.
طرح های اولیه و دیررس.
برای محاسبه تاریخ های اولیه و دیررس برای اتمام رویدادها، یک الگوریتم اصلاح شده "آونگ" پیشنهاد شده است. ایده این اصلاح، ترکیب روش آماری برای محاسبه پارامترهای مورد استفاده برای شبکه‌های احتمالی و الگوریتم "Pendulum" مورد استفاده در شبکه‌های تعمیم‌یافته و سپس اعمال آن در CSSM است.
 |
|||
 |
|||
 |
شکل 10. بلوک نمودار شماتیک الگوریتم برای محاسبه
تخمین چندک p تاریخ های اولیهانجام رویدادها
بلوک 1. ورودی داده های اولیه (ضرایب ماتریس A، پارامترهای توزیع y ij، سطح اطمینان p).
بلوک 2. محاسبه تعداد مورد نیاز "تساوی" N برای اطمینان از صحت مشخص شده نتایج. محاسبات انجام شده نشان داد که در p=0.95، e=0.05 N»270 بدست می آید.
بلوک 3. v:=v+1 (v تعداد "قرعه کشی" است).
بلوک 4. ترسیم گونه v-ام متغیرهای تصادفی y ij، هر کدام مطابق با قانون توزیع خود، به دست آوردن ثابت y ij (v) - طول قوس (i، j) در ترسیم v.
بلوک 5. رسم برای هر راس جایگزین i از انتقال به یک راس مجاور j (یک متغیر تصادفی گسسته p ij پخش می شود که با ردیف i از ماتریس مجاورت A، 0 نشان داده می شود.< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе لم 1 همان کانتور تصادفی در سطح اطمینان معین p را نمی توان بیش از k بار تشکیل داد، جایی که k با فرمول مربوطه تخمین زده می شود. طول k برابر کانتور را به طول کمانی که در مرحله (k + 1) "بازی کردیم" اضافه می کنیم و به تجزیه و تحلیل یک کانتور تصادفی دیگر (در صورت وجود) ادامه می دهیم. در این مورد، ممکن است تضادهایی در شبکه ظاهر شود (محاسبات قطعی مثبت)، سپس، مطابق با فرمول های داده شده در کار، طول d برابر کانتور را اضافه می کنیم، در نتیجه میانگین زمان تکمیل " را تخمین می زنیم. خروجی» رویداد از کانتور.
بلوک 6. شبکه تعمیم یافته قطعی G (v) به دو شبکه G 1 (v) و G 2 (v) تقسیم می شود به طوری که نه G 1 (v) و نه G 2 (v) دارای خطوط هستند. رئوس در شبکه G 1 (v) بر اساس رتبه ها مرتب شده اند و مطابق با آنها، شماره گذاری "صحیح" را تنظیم می کنیم. این شماره گذاری را به شبکه G 2 (v) و به G (v) اصلی منتقل می کنیم.
بلوک 7. برای تمام رئوس i شبکه G 1 (v)، ما تاریخ های تکمیل اولیه را محاسبه می کنیم
T i 0(v) :=max j (T i 0(v) , Tj 0(v) + y ij (v)).
بلوک 8. ما رویه هایی مشابه بلوک 7 را برای رئوس شبکه G 2 (v) انجام می دهیم.
بلوک 9. اگر نتایج بلوک‌های 7 و 8 حداقل در یک نشانگر مطابقت نداشته باشند، به بلوک 7 باز می‌گردیم (هیچ بازدهی بیشتر از تعداد کمان‌های معکوس در G 2 (v) وجود ندارد)، در غیر این صورت بلوک 10.
بلوک 10. اگر عدد قرعه کشی vJN است، به بلوک 4 و در غیر این صورت به بلوک 11 بروید.
بلوک 11. از مجموعه حاصل (T i 0(v) ) برای هر راس i یک سری متغیر می سازیم. ما چنین مقدار Т i 0(x) را ثابت می کنیم که N x /N=р، که در آن N x تعداد اعضای سری تغییرات کمتر از Т i 0(x) است. مقدار Т i 0(x) p-quantile مورد نیاز ترم اولیه رویداد i - W p (T i 0) است. به طور مشابه، با استفاده از سری تغییرات (y ij (v) ) ما تخمین های p-p-quantile طول قوس - W p (y ij) را می سازیم.
ورودی بلوک 6 نسخه v ام از مدل شبکه تعمیم یافته G (v) را دریافت می کند و در واقع بلوک های 6 - 9 یک بلوک دیاگرام بزرگ شده از الگوریتم "Pendulum" برای محاسبه زمان بندی اولیه رویدادها در OSM. استفاده از الگوریتم مناسب برای محاسبه تاریخ های دیرهنگامبا تکمیل رویدادها در بلوک های 7 و 8، ما Ti 1(v) را دریافت می کنیم - تاریخ های دیرهنگام برای تکمیل رویدادها برای نسخه v-ام مدل شبکه تعمیم یافته، در حالی که بلوک 11 به ما W p (Ti 1) می دهد - تخمین چندک p تاریخ های دیرهنگامتکمیل رویدادها
برنامه های حداقل مدت.
مدت زمان L(T (v)) هر طرح عملی T (v) =(T i (v) ) نسخه v شبکه G (v) با فرمول تعیین می شود:
L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
جایگزینی در بلوک دیاگرام در شکل. 10 بلوک 6 - 9 در بلوک یافتن حداقل تابع (23)، طرح حداقل مدت زمان شبکه G (v) (یا طرح "فشرده") را دریافت می کنیم. ارزش
L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)
زمان بحرانی شبکه G (v) است.
با استفاده از روش یافتن یک طرح فشرده برای OCM در بلوک‌های 6-9 و عبور طرح‌های حاصل از بلوک 11، تخمین‌های احتمالی چندک p برنامه‌های فشرده را به دست می‌آوریم.
ذخایر زمانی برای کار (i، j) مطابق با همتایان p-quantile آنها است که با فرمول محاسبه می شود:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) برای ذخیره کامل, (25)
R با p (i، j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) برای رزرو رایگان. (26)
با توجه به فرمول های مربوطه، کمیت های p محاسبه می شود ضرایب کشش W p (k n (i، j))، سپس p-quantile را کار می کند منطقه بحرانی، p-quantile منطقه ذخیرهو p-quantile منطقه میانی.
به عنوان پارامتر قوس، زمان اجرای عملیات (کار) را در نظر گرفتیم. همچنین می‌توان هر پارامتر مشخصه‌ای را در نظر گرفت که در امتداد کمان‌های هر مسیری دارای قابلیت افزودن باشد. این ممکن است هزینه کار، مقدار منبع انباشته مورد نیاز و غیره باشد.
لازم به ذکر است که تاکنون تنها روش‌های مدل‌سازی شبکه قطعی، برخی روش‌های اکتشافی تخصیص بهینه منابع و روش‌های پارامتریک برای تخمین هزینه‌ها (عمدتاً در زمینه پروازهای هوایی و فضایی) کاربرد عملی گسترده‌ای یافته‌اند. اگرچه راه‌حل دقیق برای مشکلات هزینه برنامه‌ریزی بر اساس مدل‌های شبکه کلاسیک از نظر تئوری پیدا شده است (توضیح داده شده است)، استفاده عملی از آن با دشواری به دست آوردن داده‌های واقعی در مورد وابستگی‌های زمان-هزینه همراه است.
هر یک از مدل های مورد بحث در بالا دارای حوزه موضوعی خاص خود است، به روش خود (کم و بیش به طور کامل) عملکردهای اساسی مدیریت پروژه را اجرا می کند، و تنها ترکیب مدل ها و روش های تجزیه و تحلیل شده به شما امکان می دهد مدلی بسازید که به اندازه کافی منعکس کننده فرآیند اجرای یک پروژه پیچیده در شرایط عدم قطعیت و در عین حال به دست آوردن قابل قبول در حل مشکل فرموله شده.
مبحث 4. بهینه سازی مصرف منابع بر اساس مدل های شبکه
مفاهیم کلی
در بالا، مدل‌های شبکه بدون در نظر گرفتن منابع محدود، به عنوان مثال، در نظر گرفته شدند. مشکل بهترین توزیع منابع وجود نداشت. در روش‌های استفاده از مدل‌های شبکه در نظر گرفته شده توسط ما، توجه اصلی به زمان‌بندی اجرای تک تک کارها و شناسایی مهم‌ترین زنجیره‌های کار (بحرانی و زیربحرانی) بود که اتمام به موقع پروژه ( راه اندازی تاسیسات) بستگی دارد. بنابراین، یکی از ویژگی های این روش ها طبقه بندی اطلاعات با توجه به درجه اهمیت آن از نقطه نظر تکمیل کل محدوده کار در چارچوب زمانی تعیین شده است.
یک معیار کمی برای اهمیت اطلاعات، ذخیره زمان کار یا ضرایب کشش
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i، j))، (25)
که در آن R p ij ذخیره کل کار است (i, j)، T n 0 زمان بحرانی برای پروژه است، T kr (i, j) مدت زمان بخشی از حداکثر مسیر است که با مسیر بحرانی منطبق است. ، حاوی کار (i، j). 0 £ K ij £ 1، و هر چه K ij به 1 نزدیک تر باشد، ذخیره نسبتاً کمتری در انبار کار (i, j) است، بنابراین، خطر عدم تکمیل آن در زمان مشخص شده بیشتر می شود. به عنوان مثال، برای کار (2.5) (شکل 5) Tcr (2.5) = 5، R p 25 = 3، از آنجا K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0.82، و برای کار (5.8) T cr (5.8) \u003d 0، R p 58 \u003d 12، از آنجا K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0.45. آثار ممکن است ذخایر کامل یکسانی داشته باشند، اما میزان تنش در زمان اجرای آنها ممکن است متفاوت باشد. برعکس، کل ذخایر مختلف ممکن است با ضرایب کشش یکسان مطابقت داشته باشد. با اطلاعات طبقه‌بندی‌شده به این روش، مدیر پروژه در هر زمان معین می‌تواند تعیین کند که توجه (و منابع) در کدام ناحیه باید متمرکز شود تا انحرافات در حال ظهور از تاریخ تکمیل داده‌شده برای همه کارها حذف شود.
قبل از تشریح راه‌های بیشتر برای بهبود روش‌های برنامه‌ریزی و مدیریت شبکه، اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد برخی از کاستی‌های اصلی ذاتی روش‌های مورد بحث در بالا صحبت کنیم.
با ارائه یک تخمین زمانی از مدت زمان هر کار، استفاده از منابع خاصی را با شدت خاصی برای انجام این کار فرض کردیم (شدت مصرف منابع، میزان مصرف منابع در واحد زمان است).
در زمان تخصیص تخمین زمان، مشخص نیست که این کار چه زمانی باید انجام شود، چه فعالیت های پروژه دیگری که همان نوع منبع را مصرف می کنند، به طور همزمان انجام خواهند شد. علاوه بر این، به عنوان یک قاعده، منابع یکسان ممکن است به طور همزمان در پروژه های مختلف مورد نیاز باشد. بنابراین، ممکن است نیاز کل به یک منبع خاص در مقاطع زمانی معینی از سطح موجود آنها فراتر رود. در این موارد، یا کاهش شدت مصرف منابع در مشاغل فردی ضروری خواهد بود، یا اجرای تعدادی از مشاغل به تاریخ های بعدی، اغلب فراتر از ذخایر کامل این مشاغل، موکول می شود. این امر در طول پروژه منجر به تعدیل مکرر طرح اولیه و به عبارت دیگر ناپایداری طرح می شود.
بدیهی است که اگر محدودیت های منابع از قبل در برنامه ریزی فرآیند اجرای پروژه در نظر گرفته شود، می توان طرح بسیار قابل اعتمادتری را به دست آورد.
سطح منابع موجود و زمان احتمالی تکمیل پروژه به هم مرتبط هستند. زمان تکمیل کل پروژه به زمان و میزان تخصیص منابع به هر فعالیت بستگی دارد و این تا حد زیادی با در دسترس بودن مورد انتظار آنها در هر زمان مشخص تعیین می شود.
بنابراین، مشکل تخصیص منابع در یک تنظیمات شبکه به وجود می آید.
به طور کلی، هر فرآیند برنامه ریزی تولید چیزی بیش از راه حلی برای مشکل استفاده بهینه از منابع نیست.
معیارهای بهره وری می تواند متفاوت باشد، ما در هنگام در نظر گرفتن وظایف خاص، روی این نکته مهم برنامه ریزی (انتخاب و اثبات معیار) کمی کمتر می پردازیم.
اجازه دهید چند مفهوم و تعاریف را معرفی کنیم.
· برنامه کاریبیایید مجموعه خاصی از عملیات (کارها) را نام ببریم که برای رسیدن به یک یا چند هدف باید انجام شوند و اجرای کار برنامه تابع یک مرکز کارگردانی است. می توان در مورد برنامه کاری برای مجتمع راه اندازی، برنامه کاری برای یک سایت، یک سازمان ساختمانی، یک موسسه طراحی و غیره صحبت کرد.
· برنامه کاری تک موضوعیما برنامه ای را متشکل از مجموعه ای از کارهای مرتبط با تکنولوژی با هدف دستیابی به یک (موضوع تک منظوره) یا چندین هدف (موضوع چند منظوره) می نامیم.
· برنامه کاری چند موضوعیما برنامه ای را متشکل از چندین مجموعه کار می نامیم که از نظر فناوری در هر مجموعه به هم پیوسته اند. هر بسته کاری ممکن است یک یا چند هدف نهایی داشته باشد. آثار متعلق به مجتمع های مختلف از نظر فنی به یکدیگر مرتبط نیستند. وابستگی موضوعات به یک برنامه چند موضوعی با وحدت مرکز کنترل و مشترک بودن مخزن منابع تعیین می شود.
اجازه دهید ابتدا فرمول بندی های مختلف مسائل تخصیص منابع را در نظر بگیریم برنامه تک موضوعی تک هدفه.
بر اساس دو تنظیم هدف ممکن برای مدیریت پروژه که توسط مدل شبکه توضیح داده شده است، دو نوع اصلی تنظیم کار وجود دارد. نوع اول بر پایبندی دقیق به محدودیت های منابع متمرکز است، در حالی که نوع دوم شامل پایبندی دقیق به تاریخ های تکمیل پروژه است.
فرمول بندی اولین نوع بیان مسئله ("کالیبراسیون").
با محدودیت های داده شده در مصرف منابع، با در نظر گرفتن توالی فن آوری کار، تعیین شده توسط توپولوژی نمودار شبکه، چنین توزیعی از آنها را پیدا کنید، که تکمیل کل برنامه را در حداقل زمان تضمین می کند.
فرمول بندی نوع دوم بیان مسئله ("صاف کردن").
در صورت رعایت مدت زمان مشخص شده اجرای برنامه، لازم است منابع بین مشاغل فردی به گونه ای توزیع شود که مصرف آنها بهینه باشد. سوال انتخاب یک معیار بهینه برای این تنظیم توسط ما به طور جداگانه بررسی خواهد شد.
با توجه به مکانیسم متفاوت برای رفع نیاز به منابع، معمولاً به دو گروه انباشته (قابل ذخیره) و غیر انباشته (غیر قابل ذخیره سازی) تقسیم می شوند. از گروه دوم منابع اغلب به عنوان "منابع نوع ظرفیت" یاد می شود.
گروه اول شامل منابعی است که طبیعتاً امکان انباشت با امکان استفاده بعدی را فراهم می کند، به عنوان مثال، پول، مواد و سازه های مختلف و غیره. محدودیت‌های منبع در این مورد می‌تواند توسط یک تابع غیرکاهشی یکپارچه تنظیم شود، که در هر لحظه از زمان ارزش کل عرضه منبع را برای کل دوره قبل نشان می‌دهد.
گروه دوم شامل منابعی است که تجمع آنها برای استفاده بعدی غیرممکن است. به عنوان مثال، منابع زمان کار و ماشین. از کار افتادن کارگران و سازوکارها ضرری جبران ناپذیر است. محدودیت های منبع برای این گروه توسط تابع در دسترس بودن منبع در هر لحظه از زمان ارائه می شود.