فرمول‌های کاهش روابطی هستند که به شما امکان می‌دهند از سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت با زوایای «\frac (\pi)2 \pm \alpha», «\pi \pm \alpha»، «\frac (3\pi) بروید. 2 \pm \alpha, `2\pi \pm \alpha` به همان توابع زاویه \\alpha که در ربع اول دایره واحد قرار دارد. بنابراین، فرمول های کاهش ما را به کار با زوایای در محدوده 0 تا 90 درجه هدایت می کند که بسیار راحت است.
همه با هم 32 فرمول کاهش وجود دارد. آنها بدون شک در طول آزمون یکپارچه دولتی، امتحانات و آزمون ها مفید خواهند بود. اما اجازه دهید بلافاصله به شما هشدار دهیم که نیازی به حفظ آنها نیست! شما باید کمی وقت بگذارید و الگوریتم کاربرد آنها را درک کنید، در این صورت استخراج برابری لازم در زمان مناسب برای شما دشوار نخواهد بود.
ابتدا بیایید تمام فرمول های کاهش را بنویسیم:
برای زاویه (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) یا (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \\alpha;`` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \\alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \\alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
برای زاویه (`\pi \pm \alpha`) یا (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
برای زاویه (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) یا (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;`` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;`` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \\alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
برای زاویه ('2\pi \pm \alpha') یا ('360^\circ \pm \alpha"):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
شما اغلب می توانید فرمول های کاهش را به شکل جدولی پیدا کنید که در آن زوایا بر حسب رادیان نوشته می شوند:
برای استفاده از آن باید سطر را با تابع مورد نیاز و ستونی را با آرگومان مورد نظر انتخاب کنیم. به عنوان مثال، برای اینکه با استفاده از جدول بفهمید «sin(\pi + \alpha)» برابر با چه چیزی خواهد بود، کافی است پاسخ را در تقاطع ردیف «sin \beta» و ستون «\pi + پیدا کنید. \alpha`. ما 'sin(\pi + \alpha)=-sin \\alpha' را دریافت می کنیم.
و دومین جدول مشابه که در آن زوایا بر حسب درجه نوشته می شوند:
قانون یادگاری برای فرمول های کاهش یا نحوه به خاطر سپردن آنها
همانطور که قبلاً نیز اشاره کردیم، نیازی به حفظ تمام روابط بالا نیست. اگر با دقت به آنها نگاه کنید، احتمالاً متوجه برخی از الگوها شده اید. آنها به ما امکان می دهند یک قانون یادگاری (مانمونیک - به یاد داشته باشید) را تدوین کنیم، که با کمک آن می توانیم به راحتی هر فرمول کاهشی را به دست آوریم.
اجازه دهید فوراً توجه کنیم که برای اعمال این قانون باید در شناسایی (یا به خاطر سپردن) علائم توابع مثلثاتی در ربع‌های مختلف دایره واحد مهارت داشته باشید. 
خود واکسن شامل 3 مرحله است:
- آرگومان تابع باید به صورت `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ نمایش داده شود pm \alpha` و `\alpha` لزوماً یک زاویه حاد است (از 0 تا 90 درجه).
- برای آرگومان های `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` تابع مثلثاتیعبارتی که تبدیل می شود به یک هم تابع، یعنی برعکس (سینوس به کسینوس، مماس به کوتانژانت و بالعکس) تغییر می کند. برای آرگومان های `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` تابع تغییر نمی کند.
- علامت تابع اصلی مشخص می شود. تابع حاصل در سمت راست همان علامت را خواهد داشت.
برای اینکه ببینیم این قانون چگونه می تواند در عمل اعمال شود، اجازه دهید چندین عبارت را تبدیل کنیم:
1. "cos(\pi + \alpha)".
عملکرد معکوس نمی شود. زاویه \pi + \alpha در ربع سوم است، کسینوس در این ربع علامت "-" دارد، بنابراین تابع تبدیل شده نیز علامت "-" خواهد داشت.
پاسخ: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
طبق قانون یادگاری، تابع معکوس خواهد شد. زاویه '\frac (3\pi)2 - \alpha' در ربع سوم است، سینوس در اینجا علامت "-" دارد، بنابراین نتیجه نیز علامت "-" خواهد داشت.
پاسخ: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\آلفا))`. بیایید «3\pi» را به عنوان «2\pi+\pi» نشان دهیم. '2\pi' دوره تابع است.
مهم: توابع «cos \alpha» و «sin \alpha» دارای یک دوره «2\pi» یا «360^\circ» هستند، اگر آرگومان با این مقادیر کم یا زیاد شود، مقادیر آنها تغییر نخواهد کرد.
بر این اساس، عبارت ما را می توان به صورت زیر نوشت: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. با اعمال قانون یادگاری دوبار، به دست می آید: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
پاسخ: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
قانون اسب
دومین نکته از قاعده یادگاری که در بالا توضیح داده شد، قانون اسب از فرمول های کاهش نیز نامیده می شود. تعجب می کنم که چرا اسب؟
بنابراین، ما توابعی داریم با آرگومان‌های `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`، نقاط `\frac (\pi)2`، `\pi`، `\frac (3\pi)2`، `2\pi` کلید هستند، آنها روی محورهای مختصات قرار دارند. «\pi» و «2\pi» روی محور افقی x قرار دارند و «\frac (\pi)2» و «\frac (3\pi)2» روی مختصات عمودی هستند.
ما این سوال را از خود می پرسیم: "آیا یک تابع به یک تابع تبدیل می شود؟" برای پاسخ به این سوال باید سر خود را در امتداد محوری که نقطه کلید روی آن قرار دارد حرکت دهید.
یعنی برای آرگومان هایی با نقاط کلیدی که در محور افقی قرار دارند، با تکان دادن سر به طرفین به "نه" پاسخ می دهیم. و برای گوشه هایی با نقاط کلیدی که در محور عمودی قرار دارند، با تکان دادن سر از بالا به پایین، مانند اسب، پاسخ "بله" را می دهیم :)
توصیه می کنیم یک فیلم آموزشی را تماشا کنید که در آن نویسنده به طور کامل توضیح می دهد که چگونه فرمول های کاهش را بدون به خاطر سپردن آنها به خاطر بسپارید.
مثال های عملی استفاده از فرمول های کاهش
استفاده از فرمول های کاهش از کلاس های 9 و 10 شروع می شود. بسیاری از مشکلات استفاده از آنها به آزمون یکپارچه دولتی ارسال شد. در اینجا برخی از مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید این فرمول ها را اعمال کنید:
- مشکلات حل مثلث قائم الزاویه؛
- تبدیل عبارات مثلثاتی عددی و الفبایی، محاسبه مقادیر آنها.
- وظایف کلیشه ای
مثال 1. با استفاده از فرمول‌های کاهش محاسبه کنید: الف) `sin 600^\circ`، ب) `tg 480^\circ`، ج) `cos 330^\circ`، د) `sin 240^\circ`.
راه حل: الف) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
ب) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
ج) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
د) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
مثال 2. پس از بیان کسینوس از طریق سینوس با استفاده از فرمول های کاهش، اعداد را با هم مقایسه کنید: 1) `sin \frac (9\pi)8` و `cos \frac (9\pi)8`. 2) `sin \frac (\pi)8` و `cos \frac (3\pi)10`.
راه حل: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 اجازه دهید ابتدا دو فرمول برای سینوس و کسینوس آرگومان `\frac (\pi)2 + \alpha` اثبات کنیم: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` و ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. بقیه از آنها گرفته شده است. بیایید یک دایره واحد را برداریم و روی آن نقطه A با مختصات (1,0) قرار دهیم. اجازه دهید پس از تبدیل به از تعریف مماس و کتانژانت به دست می‌آید: tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` and ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`، که ثابت می کند فرمول‌های کاهش برای مماس و هم‌تانژانت زاویه «\frac (\pi)2 + \alpha». برای اثبات فرمول ها با آرگومان `\frac (\pi)2 - \alpha` کافی است آن را به صورت `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` نشان دهید و همان مسیر بالا را دنبال کنید. به عنوان مثال، `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. زوایای `\pi + \alpha` و `\pi - \alpha` را می توان به صورت `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` و `\frac (\pi) نشان داد. ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` به ترتیب. و `\frac (3\pi)2 + \alpha` و `\frac (3\pi)2 - \alpha` به صورت `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` و `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. در این مقاله نگاهی جامع خواهیم داشت. هویت‌های مثلثاتی پایه برابری‌هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه ارتباط برقرار می‌کنند و به فرد اجازه می‌دهند هر یک از این توابع مثلثاتی را از طریق دیگری شناخته شده پیدا کنند. بیایید فوراً هویت های مثلثاتی اصلی را که در این مقاله تحلیل خواهیم کرد، فهرست کنیم. بیایید آنها را در یک جدول یادداشت کنیم و در زیر خروجی این فرمول ها را می دهیم و توضیحات لازم را ارائه می دهیم. پیمایش صفحه. گاهی اوقات آنها در مورد هویت های مثلثاتی اصلی ذکر شده در جدول بالا صحبت نمی کنند، بلکه در مورد یک تک صحبت می کنند هویت مثلثاتی اولیهنوع یعنی این برابری است که مورد توجه خاص است که نام هویت مثلثاتی اصلی به آن داده شد. قبل از اثبات هویت مثلثاتی اصلی، فرمول آن را می‌دهیم: مجموع مجذورات سینوس و کسینوس یک زاویه به طور یکسان برابر با یک است. حالا بیایید ثابت کنیم. هویت مثلثاتی اساسی اغلب زمانی استفاده می شود که تبدیل عبارات مثلثاتی. این اجازه می دهد تا مجموع مربع های سینوس و کسینوس یک زاویه با یک جایگزین شود. نه کمتر، از هویت مثلثاتی اصلی به ترتیب معکوس استفاده می شود: واحد با مجموع مربع های سینوس و کسینوس هر زاویه جایگزین می شود. هویت های اتصال مماس و کتانژانت با سینوس و کسینوس از یک زاویه دید و به لطف چنین آشکار بودن هویت ها و در خاتمه این بند لازم به ذکر است که هویت و یک هویت مثلثاتی آشکارتر از دو مورد قبلی، هویتی است که مماس و کتانژانت یک زاویه از فرم را به هم متصل می کند. اثبات فرمول بنابراین، مماس و کتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، هستند. روابط بین توابع مثلثاتی اصلی - سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت - داده شده است. فرمول های مثلثاتی. و از آنجایی که ارتباطات بسیار زیادی بین توابع مثلثاتی وجود دارد، این فراوانی فرمول های مثلثاتی را توضیح می دهد. برخی از فرمول ها توابع مثلثاتی یک زاویه را به هم متصل می کنند، برخی دیگر - توابع یک زاویه چندگانه، برخی دیگر - به شما امکان می دهند درجه را کاهش دهید، چهارم - تمام توابع را از طریق مماس نیم زاویه و غیره بیان کنید. در این مقاله تمام فرمول های مثلثاتی را که برای حل اکثریت قریب به اتفاق مسائل مثلثاتی کافی هستند، به ترتیب فهرست می کنیم. برای سهولت در حفظ و استفاده، آنها را بر اساس هدف گروه بندی کرده و در جداول وارد می کنیم. پیمایش صفحه. هویت های مثلثاتی پایهرابطه بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه را تعریف کنید. آنها از تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت و همچنین مفهوم دایره واحد پیروی می کنند. آنها به شما اجازه می دهند یک تابع مثلثاتی را بر حسب هر تابع دیگر بیان کنید. برای توضیح دقیق این فرمول‌های مثلثاتی، مشتقات و مثال‌هایی از کاربرد آنها، به مقاله مراجعه کنید. فرمول های کاهشاز خواص سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی می کنند، یعنی آنها خاصیت تناوب توابع مثلثاتی، خاصیت تقارن و همچنین خاصیت جابجایی را با یک زاویه معین منعکس می کنند. این فرمول های مثلثاتی به شما این امکان را می دهد که از کار با زوایای دلخواه به کار با زوایای بین صفر تا 90 درجه بروید. منطق این فرمول ها، قانون یادگاری برای به خاطر سپردن آنها و نمونه هایی از کاربرد آنها را می توان در مقاله مطالعه کرد. فرمول های جمع مثلثاتینشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی مجموع یا تفاضل دو زاویه بر حسب توابع مثلثاتی آن زوایا بیان می شود. این فرمول ها به عنوان مبنایی برای استخراج فرمول های مثلثاتی زیر عمل می کنند. فرمول های دوتایی، سه گانه و غیره زاویه (به آنها فرمول های چند زاویه ای نیز گفته می شود) نشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی دو، سه و غیره وجود دارد. زوایای () بر حسب توابع مثلثاتی یک زاویه بیان می شوند. اشتقاق آنها بر اساس فرمول های جمع است. اطلاعات دقیق تر در فرمول های مقاله برای دو، سه و غیره جمع آوری شده است. زاویه فرمول های نیم زاویهنشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی یک نیم زاویه بر حسب کسینوس یک زاویه کامل بیان می شود. این فرمول های مثلثاتی از فرمول های زاویه دوتایی پیروی می کنند. نتیجه گیری و نمونه هایی از کاربرد آنها را می توان در مقاله یافت. فرمول های مثلثاتی برای کاهش درجهبرای تسهیل انتقال از توان طبیعی توابع مثلثاتی به سینوس ها و کسینوس ها در درجه اول، اما زوایای متعدد طراحی شده اند. به عبارت دیگر، آنها به شما اجازه می دهند تا قدرت توابع مثلثاتی را به اول کاهش دهید. هدف اصلی فرمول های مجموع و تفاضل توابع مثلثاتیرفتن به حاصل ضرب توابع است که در ساده سازی عبارات مثلثاتی بسیار مفید است. این فرمول ها همچنین به طور گسترده ای در حل معادلات مثلثاتی استفاده می شوند، زیرا به شما امکان می دهند مجموع و اختلاف سینوس ها و کسینوس ها را فاکتور بگیرید. انتقال از حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع یا تفاوت با استفاده از فرمول های حاصل ضرب سینوس ها، کسینوس ها و سینوس به کسینوس انجام می شود. حق چاپ توسط دانش آموزان باهوش تمامی حقوق محفوظ است. هویت های مثلثاتی- اینها برابری هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه رابطه برقرار می کنند، که به شما امکان می دهد هر یک از این توابع را پیدا کنید، مشروط بر اینکه هر یک از آنها شناخته شده باشد. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 این هویت می گوید که مجموع مجذور سینوس یک زاویه و مجذور کسینوس یک زاویه برابر با یک است که در عمل محاسبه سینوس یک زاویه را زمانی ممکن می سازد که کسینوس آن مشخص باشد و بالعکس. . هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی، اغلب از این هویت استفاده می شود که به شما امکان می دهد مجموع مجذورهای کسینوس و سینوس یک زاویه را با یک جایگزین کنید و همچنین عملیات جایگزینی را به ترتیب معکوس انجام دهید. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)،\enspace این هویت ها از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت شکل می گیرند. به هر حال، اگر به آن نگاه کنید، بنا به تعریف، مختص y یک سینوس است، و آبسیسا x یک کسینوس است. سپس مماس برابر با نسبت خواهد بود \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، و نسبت \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- یک کوتانژانت خواهد بود. بیایید اضافه کنیم که فقط برای چنین زوایایی \آلفا که توابع مثلثاتی موجود در آنها معنی دارند، هویت ها پابرجا خواهند بود. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). مثلا: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)برای زوایای \alpha که متفاوت از \frac(\pi)(2)+\pi z، آ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- برای یک زاویه \alpha غیر از \pi z، z یک عدد صحیح است. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 این هویت فقط برای زوایای \alpha معتبر است که متفاوت از \frac(\pi)(2) z. در غیر این صورت کوتانژانت یا مماس مشخص نمی شود. با توجه به نکات فوق به این نتیجه می رسیم tg \alpha = \frac(y)(x)، آ ctg \alpha=\frac(x)(y). نتیجه می شود که tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. بنابراین، مماس و کوتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، اعداد متقابل معکوس هستند. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مجذور مماس زاویه \آلفا و 1 برابر است با مجذور معکوس کسینوس این زاویه. این هویت برای همه \alpha غیر از \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 و مجذور کتانژانت زاویه \آلفا برابر است با مجذور معکوس سینوس زاویه داده شده. این هویت برای هر \alpha متفاوت از \pi z معتبر است. \sin \alpha و tg \alpha if را پیدا کنید \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; نشان دادن راه حل راه حل توابع \sin \alpha و \cos \alpha با فرمول مرتبط هستند \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. جایگزینی در این فرمول \cos \alpha = -\frac12، ما گرفتیم: \sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \راست)^2 = 1 این معادله 2 راه حل دارد: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. در سه ماهه دوم سینوس مثبت است، بنابراین \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). برای پیدا کردن tan \alpha از فرمول استفاده می کنیم tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3 \cos \alpha و ctg \alpha if and را پیدا کنید \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. نشان دادن راه حل راه حل جایگزین کردن در فرمول \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1شماره داده شده \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، ما گرفتیم \ چپ (\frac(\sqrt3)(2)\راست)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. این معادله دو راه حل دارد \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. در سه ماهه دوم کسینوس منفی است، بنابراین \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. برای پیدا کردن ctg \alpha از فرمول استفاده می کنیم ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ما مقادیر مربوطه را می دانیم. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
زاویه "\alpha" به نقطه "A_1(x, y)" می رود و پس از چرخش با زاویه "\frac (\pi)2 + \alpha" به نقطه "A_2(-y, x)". با انداختن عمودها از این نقاط به خط OX، می بینیم که مثلث های 'OA_1H_1' و 'OA_2H_2' با هم برابر هستند، زیرا زیرپوتنوس و زوایای مجاور آنها برابر است. سپس، بر اساس تعاریف سینوس و کسینوس، می‌توان «sin \alpha=y»، «cos \alpha=x»، «sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x»، «cos» را نوشت. (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. کجا می توانیم بنویسیم که `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` و `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` که کاهش را ثابت می کند فرمول های زوایای سینوسی و کسینوس `\frac (\pi)2 + \alpha`.رابطه بین سینوس و کسینوس یک زاویه
. توضیح این واقعیت بسیار ساده است: تساوی ها از هویت مثلثاتی اصلی پس از تقسیم هر دو قسمت آن بر و به ترتیب و و تساوی ها به دست می آیند. 
و 
از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در پاراگراف های بعدی در این مورد با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.مماس و کتانژانت از طریق سینوس و کسینوس
بلافاصله از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در واقع، طبق تعریف، سینوس مختص y است، کسینوس ابسیسا x، مماس نسبت مصداق به ابسیسا است، یعنی 
و کوتانژانت نسبت ابسیسا به مجمل است، یعنی 
.مماس و کوتانژانت اغلب نه از طریق نسبت ابسیسا و مختصات، بلکه از طریق نسبت سینوس و کسینوس تعریف می شوند. بنابراین مماس یک زاویه نسبت سینوس به کسینوس این زاویه است و کوتانژانت نسبت کسینوس به سینوس است.برای تمام زوایایی که توابع مثلثاتی گنجانده شده در آنها معنا پیدا می کنند، اتفاق می افتد. بنابراین فرمول برای هر , غیر از ( در غیر این صورت مخرج صفر خواهد بود و ما تقسیم بر صفر را تعریف نکردیم ) و فرمول معتبر است - برای همه، متفاوت از، جایی که z هر کدام است.رابطه مماس و کوتانژانت
. واضح است که برای هر زاویه ای غیر از .بسیار ساده. با تعریف و از کجا 
. اثبات می توانست کمی متفاوت انجام شود. از آنجا که ، آن 
.هویت های مثلثاتی پایه
فرمول های کاهش
فرمول های اضافه
فرمول های دوتایی، سه گانه و غیره زاویه
فرمول های نیم زاویه
فرمول های کاهش مدرک تحصیلی
فرمول های مجموع و تفاضل توابع مثلثاتی
فرمول حاصل ضرب سینوس، کسینوس و سینوس به کسینوس
توسط قانون کپی رایت محافظت می شود. هیچ بخشی از www.site، از جمله مطالب داخلی و ظاهر، را نمی توان به هر شکلی تکثیر کرد یا بدون اجازه کتبی قبلی صاحب حق چاپ استفاده کرد.یافتن مماس و کتانژانت با استفاده از سینوس و کسینوس
رابطه مماس و کوتانژانت
روابط بین مماس و کسینوس، کوتانژانت و سینوس
مثال هایی با راه حل مسائل با استفاده از هویت های مثلثاتی
مثال 1
مثال 2