طرح های تفاوت صریح و ضمنی. طرح تفاوت حل مسئله مخلوط برای معادله موج به روش شبکه

1. در سیستم مختصات xOtیک شبکه مستطیلی با یک پله بسازید ساعتدر امتداد محور اوهو با گام τ در امتداد محور از جانب:

آ) ایکس من =ih, من= ل n , n=L/h;

ب) تی ک =کτ, k= لمتر , متر=T/τ;

V) و من , ک = تو(ایکس من ,تی ک) = تو(آه,کτ).

2. مقادیر تابع را محاسبه کنید تو(ایکس من , تی ک) در گره هایی که روی خطوط قرار دارند x= 0 و x=L:

3. محاسبه کنید تو من ,0 =f(آه),i= 1, n .

4. با استفاده از (1.16) یا (1.23)، ما یک راه حل برای تمام گره های داخلی پیدا می کنیم: تو من , ک + n , i= لn -l, k= 0, متر -l.

1.3. حل مسئله مخلوط برای معادله موج به روش شبکه

1.3.1. فرمول بندی مسئله. الگوریتم روش

یک مسئله مختلط (یعنی شرایط اولیه و مرزی داده شده) را برای معادله موج در نظر بگیرید.

در منطقه D=(0≤x≤ L, 0≤t≤T) با شرایط اولیه

و شرایط مرزی

آن را فرض خواهیم کرد f(ایکس),g(ایکس) به اندازه کافی توابع صاف هستند و شرایط تطبیق در دو گوشه دامنه برآورده می شود D(ایکس=0, تی=0), (x=L, تی=0)، که وجود و منحصر به فرد بودن راه حل را تضمین می کند تو(ایکس, تی).

برای گسسته کردن مشکل اصلی، در دامنه ایجاد می کنیم

شبکه مستطیلی

جایی که ساعت – فاصله شبکه در جهت ایکس, τ گام شبکه در جهت است تی,

با استفاده از تفاوت های مرکزی مرتبه دوم (1.10) برای تقریب مشتقات جزئی، برای هر گره شبکه داخلی، ما یک سیستم معادلات تفاوت به دست می آوریم.

که معادله موج (1.24) در گره ( ایکس من , تی ک) با یک خطا O(ساعت 2 + τ2).

اینجا تو من , کمقدار تقریبی تابع است و(ایکس,تی) در گره ( ایکس من ,تی ک).

اجازه دادن λ = aτ/ ساعت، ما یک طرح تفاوت سه لایه به دست می آوریم:

طرح (1.28) سه لایه نامیده می شود زیرا مقادیر را به هم متصل می کند تو من , ککارکرد و(ایکس,تی) در سه لایه زمانی با اعداد ( ک-l) ک, (ک+1).

طرح تفاوت (1.28) مربوط به یک الگوی سه لایه پنج نقطه ای از نوع "صلیب" است (شکل 1.2).

طرح (1.28) مقادیر را به هم مرتبط می کند تو من , ک =تو(آه, kτ) در سه لایه به موقع و برای رفتن به سطح ( ک+1)، باید بدانیم چگونه تو من , ک، و تو من , ک-1، که نتیجه این واقعیت است که معادله دیفرانسیل (1.24) مشتق زمان دوم را دارد. حل عددی مسئله (1.24) - (1.26) شامل محاسبه مقادیر تقریبی است. تو من , ک راه حل ها تو(ایکس, تی) در گره ها ( ایکس من ,تی) در من = 1, n , ک=1, متر . طرح محاسبه مطابق با (1.28) صریح است؛ این امکان را به فرد می دهد که تقریباً مقادیر تابع را در گره ها محاسبه کند. ک+1)-مین لایه با توجه به مقادیر شناخته شده آن در دو لایه قبلی. در دو لایه اول، مقادیر تابع از شرایط اولیه (1.25) تعیین می شود. ما معتقدیم

برای مشتق زمانی، از تقریب (1.5) استفاده می کنیم.

ترتیب تقریب (1.30) است در باره(τ).

توجه داشته باشید که (1.29)، (1.31) برای دو ردیف اول راه حل ارائه کنید: ک=0, ک=1. جایگزین کردن k= 1 در (1.28)، دریافت می کنیم:

تمام عبارت های سمت راست معادله (1.32) شامل مقادیر هستند و من , کفقط از دو ردیف اول شبکه؛ اما همه این مقادیر از شرایط اولیه مشخص است.

پس از آن، دانستن راه حل ها و من ,1 ,و من,2 می توانیم از (1.28) برای محاسبه مقادیر تابع استفاده کنیم و من , کدر لایه زمانی سوم، چهارم و غیره.

طرح محاسبه (1.28) - (1.31) که در بالا توضیح داده شد، مشکل (1.24) - (1.26) را با دقت تقریبی می کند. در باره(τ+ ساعت 2). مرتبه پایین تقریب با توجه به τ با استفاده از تقریب بسیار خشن برای مشتق با توجه به تی در فرمول (1. 30).

اکنون به بحث همگرایی و ثبات می پردازیم. بدون ارائه شواهد در اینجا، خود را به فرمول بندی نتایج نهایی محدود می کنیم. اگر شرط کورانت برآورده شود، طرح محاسبه پایدار خواهد بود

این بدان معنی است که هنگامی که (1.33) ارضا شود، خطاهای کوچکی که مثلاً در محاسبه روی لایه اول ایجاد می شود، هنگام عبور به هر لایه زمانی جدید، به طور نامحدود افزایش نمی یابد. اگر شرط کورانت برآورده شود، طرح تفاوت (1.28) به طور یکنواخت همگرا می شود، به عنوان مثال، برای ساعت→0 و τ→ 0 حل مسئله تفاوت (1.28) - (1.31) به طور یکنواخت به حل مسئله اصلی (1.24) - (1.26) تمایل دارد.

شرط (1.33) برای همگرایی کافی است، اما ضروری نیست. به عبارت دیگر، معادلات و مقادیری از فواصل وجود دارد که (1.33) برای آنها برقرار نیست، اما باز هم نتیجه صحیح به دست می آید. مسئله این است که در این صورت نمی توان همگرایی را تضمین کرد. البته در حالت کلی، اطمینان از همگرایی به طور قطعی مطلوب است و بنابراین شرط (1.33) باید رعایت شود.

بنابراین، به محض انتخاب اندازه گام ساعتدر جهت ایکس، سپس محدودیتی در اندازه گام τ در زمان وجود دارد. ویژگی بارز همه روش های صریح این است که هنگام استفاده از آنها باید شرایط خاصی از نوع (1.33) رعایت شود که همگرایی و پایداری روش را تضمین می کند.

پیکربندی گره ها، مقادیر تابع شبکه که در آن شکل معادلات اختلاف را در نقاط داخلی (نه مرزی) شبکه تعیین می کند. به عنوان یک قاعده، در اشکال با تصاویر الگوها، نقاط درگیر در محاسبه مشتقات با خطوط به هم متصل می شوند.

طرح کورانت-ایزاکسون-ریس(KIR) که گاهی با نام S.K. گودونوف، معلوم شد در . ترتیب تقریب آن طرح KIR به طور مشروط پایدار است، یعنی. تحت شرایط کورانت . اجازه دهید معادلات تفاوت طرح کورانت-ایزاکسون-ریس را در نقاط داخلی حوزه محاسباتی ارائه کنیم:

این طرح‌ها که نام طرح‌واره اختلاف مخالف (در ادبیات انگلیسی - upwind) را نیز دارند، می‌توان به صورت

مزیت آنها در در نظر گرفتن دقیق تر حوزه وابستگی راه حل نهفته است. اگر نماد را معرفی کنیم

سپس هر دو طرح را می توان به شکل های زیر نوشت:

(شکل جریان معادله تفاضل)؛

(در اینجا اصطلاح با تفاوت دوم به صراحت متمایز می شود که به طرح ثبات می بخشد).

(معادله در افزایش محدود).

را نیز در نظر بگیرید روش ضرایب نامشخصبرای ساختن یک طرح تفاوت، گوشه سمت راست مرتبه اول دقت برای معادله انتقال

این طرح را می توان به صورت نمایش داد

طرح کورانت-ایزاکسون-ریس ارتباط نزدیکی با روش های عددی مشخصه ها دارد. ما شرح مختصری از ایده چنین روش هایی ارائه می دهیم.

دو طرح آخر به دست آمده (برای علائم مختلف نرخ انتقال) را می توان به صورت زیر تفسیر کرد. بیایید یک مشخصه بسازیم که از گره عبور می کند (t n + 1 , x m )، مقداری که باید در آن تعیین شود، و لایه t n را در نقطه قطع می کند. . برای قطعیت، فرض می کنیم که نرخ انتقال c مثبت است.

با انجام یک درون یابی خطی بین گره های x m - 1 و x m در لایه زمانی پایین، به دست می آوریم

بعد، مقدار u n (x") را در امتداد مشخصه بدون تغییر به لایه بالایی t n + 1 منتقل می کنیم، یعنی تنظیم می کنیم . طبیعی است که آخرین مقدار را به عنوان یک راه حل تقریبی در نظر بگیریم معادله همگنانتقال. در این مورد

یا با عبور مجدد از شماره Courant به پارامترهای شبکه،

آن ها به روشی دیگر، به طرح معروف "گوشه چپ" رسیدیم که در . هنگامی که نقطه تلاقی مشخصه از گره خارج می شود (t n + 1، x m، با لایه n-ام در زمان، در سمت چپ گره قرار دارد (t n، x m - 1). بنابراین، برای یافتن راه حل ، از درون یابی استفاده نمی شود، بلکه از برون یابی استفاده می شود که ناپایدار است.

ناپایداری طرح "گوشه سمت راست" برای c > 0 نیز آشکار است. برای اثبات این موضوع می توان از معیار طیفی یا شرط کورانت، فردریش و لوی استفاده کرد. استدلال مشابهی را می توان برای مورد ج نیز انجام داد< 0 и схемы "правый уголок".

ناپایدار طرح چهار نقطه ایزمانی بدست می آید که ، ترتیب تقریب آن است. معادلات شبکه ای برای طرح تفاوت به شکل زیر خواهد بود:

طرح لاکس وندروفزمانی رخ می دهد که . ترتیب تقریب طرح Lax-Wendroff است . این طرح تحت شرایط کورانت پایدار است .

این طرح را می توان با روش ضرایب نامشخص یا با در نظر گرفتن عبارت اصلی خطای تقریب به دست آورد. اجازه دهید روند استخراج طرح Lax-Wendroff را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. با انجام مطالعه طرح چهار نقطه ای قبلی برای تقریب (و این مطالعه کاملاً ابتدایی است و به تجزیه تابع طرح ریزی بر روی شبکه حل دقیق مسئله دیفرانسیل در یک سری تیلور کاهش می یابد)، برای اصطلاح اصلی خطا

هنگام استخراج عبارت اصلی خطای تقریب، از نتیجه معادله انتقال دیفرانسیل اصلی استفاده شد.

که با متمایز کردن معادله اصلی (3.3) ابتدا نسبت به زمان t و سپس نسبت به مختصات x و کم کردن یکی از نسبت های حاصل از دیگری به دست می آید.

بعد، جایگزین کردن مشتق دومدر عبارت دوم در سمت راست تا O(h 2)، یک طرح تفاوت جدید به دست می آوریم که تقریبی اصل است. معادله دیفرانسیلبا دقت . معادلات شبکه برای طرح Lax-Wendroff در گره های داخلی شبکه های محاسباتی عبارتند از

طرح شش نقطه ای ضمنیدر q = 0 رخ می دهد. با ترتیب تقریب آن ، در .

بخش دوم کتاب به ساخت و مطالعه طرح‌های تفاوت برای معادلات دیفرانسیل معمولی اختصاص دارد. در عین حال، مفاهیم اساسی همگرایی، تقریب و پایداری را در نظریه طرح‌های تفاوت معرفی می‌کنیم که ماهیتی کلی دارند. آشنایی با این مفاهیم، ​​که در ارتباط با معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده است، در آینده، هنگام مطالعه طرح‌های تفاوت برای معادلات دیفرانسیل جزئی، این امکان را فراهم می‌کند تا بر ویژگی‌ها و مشکلات متعدد مشخصه این دسته از مسائل بسیار متنوع تمرکز کنیم.

فصل 4. نمونه های کلی طرح های تفاوت

در این فصل، نمونه‌های مقدماتی طرح‌های تفاوت را بررسی خواهیم کرد که فقط برای آشنایی اولیه با مفاهیم اساسی نظریه در نظر گرفته شده است.

§ 8. مفهوم ترتیب دقت و تقریب

1. ترتیب دقت طرح تفاوت.

این بخش به مسئله همگرایی حل معادلات اختلاف زمانی که شبکه به حل معادلات دیفرانسیل تقریبی آنها پالایش می شود اختصاص دارد. ما در اینجا خود را به مطالعه دو طرح تفاوت برای حل عددی مسئله محدود می کنیم

بیایید با ساده ترین طرح تفاوت بر اساس استفاده از معادله تفاوت شروع کنیم

اجازه دهید قطعه را به گام هایی به طول h تقسیم کنیم. انتخاب جایی که N یک عدد صحیح است راحت است. نقاط تقسیم از چپ به راست شماره گذاری می شوند، به طوری که . مقدار و به دست آمده توسط طرح تفاوت در نقطه با اجازه دهید مقدار اولیه را تعیین کنیم نشان داده می شود. اجازه دهید . معادله تفاوت (2) دلالت بر رابطه دارد

از آنجا جواب معادله (2) را در شرایط اولیه پیدا می کنیم:

راه حل دقیق مسئله (1) به شکل . این مقدار را در نقطه می گیرد

اجازه دهید اکنون تخمینی برای خطا در راه حل تقریبی (3) پیدا کنیم. این خطای نقطه خواهد بود

ما علاقه مندیم که چگونه با افزایش تعداد نقاط پارتیشن کاهش می یابد یا همان چیزی است که با کاهش مرحله شبکه تفاوت کاهش می یابد. برای فهمیدن این موضوع، اجازه دهید آن را در فرم قرار دهیم

بنابراین، برابری (3) شکل می گیرد

یعنی خطای (5) به صفر میل می کند و مقدار خطا از مرتبه توان اول مرحله است.

بر این اساس، می گوییم که طرح تفاوت دارای مرتبه اول دقت است (با ترتیب معادله تفاوت تعریف شده در § 1 اشتباه گرفته نشود).

اکنون مسئله (1) را با استفاده از معادله تفاضل حل می کنیم

این به آن سادگی که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد نیست. واقعیت این است که طرح مورد بررسی یک معادله اختلاف مرتبه دوم است، یعنی نیاز به تعیین دو شرط اولیه دارد، در حالی که معادله انتگرال پذیر (1) یک معادله مرتبه اول است و فقط برای آن مشخص می کنیم. طبیعی است که در طرح تفاوت نیز قرار گیرد.

معلوم نیست چطور از آنها بپرسیم. برای درک این موضوع، از شکل صریح حل معادله (7) استفاده می کنیم (به فرمول بند 3 مراجعه کنید):

بسط (9) با توجه به فرمول تیلور از ریشه های معادله مشخصه به ما اجازه می دهد تا نمایش های تقریبی را برای اجازه دهید به طور مفصل مشتق چنین نمایشی را انجام دهیم -

از آن به بعد

ما یک محاسبه کاملاً مشابه برای را انجام نمی دهیم، اما بلافاصله نتیجه را می نویسیم:

با جایگزینی عبارات تقریبی در فرمول (8)، به دست می آوریم

ما با مطالعه این فرمول به تمام نتایج بعدی خواهیم رسید.

توجه داشته باشید که اگر ضریب به حد محدود b گرایش پیدا کند، اولین جمله در سمت راست برابری (12) به حل مورد نظر مسئله (1) تمایل دارد.

شبکه و الگو. برای اکثر طرح‌های متفاوت، گره‌های شبکه در تقاطع برخی از خطوط مستقیم (در مسائل چند بعدی، ابرصفحه‌ها) قرار می‌گیرند که در یک سیستم مختصات طبیعی یا در یک ناحیه انتخاب شده خاص ترسیم شده‌اند. جی.

اگر یکی از متغیرها معنای فیزیکی زمان را داشته باشد تی، سپس شبکه معمولاً به گونه ای ساخته می شود که در بین خطوط آن (یا ابرصفحه ها) خطوطی وجود داشته باشد تی = تی متر. به مجموعه گره های شبکه ای که روی چنین خطی یا ابر صفحه ای قرار دارند، لایه می گویند.

در هر لایه، جهت هایی متمایز می شوند که در امتداد آنها فقط یک مختصات فضایی تغییر می کند. مثلاً برای متغیرها ایکس, y, تیجهت ها وجود دارد ایکس (تی = پایان, y = پایان) و جهت y (تی = پایان, ایکس = پایان).

با گردآوری طرح‌های تفاوت (26.2) و (26.4)، از تقریب تفاوت نوع مشابه مشتقات در تمام گره‌های داخلی منطقه استفاده کردیم. به عبارت دیگر، هنگام نوشتن هر معادله تفاوت، همان تعداد گره در نزدیکی یک گره شبکه خاص گرفته می‌شود، که یک پیکربندی کاملاً تعریف شده را تشکیل می‌دهد که ما آن را الگوی این طرح تفاوت نامیدیم (شکل 26.2 را ببینید).

تعریف. گره هایی که در آنها طرح تفاوت روی الگو نوشته شده است منظم و بقیه نامنظم نامیده می شوند.

نامنظم معمولاً گره های مرزی هستند و گاهی اوقات نیز گره هایی که در نزدیکی مرز قرار دارند (به طوری که الگوی گرفته شده در نزدیکی این گره فراتر از مرز منطقه می رود).

تدوین یک طرح تفاوت با انتخاب یک الگو آغاز می شود. الگو همیشه به طور منحصر به فرد طرح تفاوت را تعریف نمی کند، اما به طور قابل توجهی بر ویژگی های آن تأثیر می گذارد. به عنوان مثال، بعداً خواهیم دید که در قالب شکل. 26.2 بنمی توان یک طرح تفاضل خوب برای مسئله هدایت حرارتی (26.1) ایجاد کرد. هر نوع معادله و مسائل ارزش مرزی به الگوی خاص خود نیاز دارد.

طرح های تفاوت صریح و ضمنی

اجازه دهید در مورد مسئله محاسبه واقعی راه حل تفاوت بحث کنیم. بیشتر مشکلات فیزیکی منجر به معادلاتی می شود که زمان را به عنوان یکی از متغیرها در بر می گیرد. برای چنین معادلاتی، معمولاً یک مسئله مقدار مرزی مختلط مطرح می شود که یک مورد معمولی آن مسئله هدایت گرما است (26.1).

برای چنین مسائلی از الگوریتم لایه ای محاسبات استفاده می شود. بیایید آن را در مثال طرح های (26.2) و (26.4) در نظر بگیریم.

در طرح (26.4) در لایه اولیه متر= 0 راه حل به دلیل شرایط اولیه شناخته شده است. بگذاریم متر= 0 در معادلات (26.4). سپس برای هر مقدار شاخص nمعادله شامل یک مجهول است ; از اینجا می توانید تعیین کنید در
ارزش های و توسط شرایط مرزی (26.3) تعیین می شوند. بنابراین، مقادیر در لایه اول محاسبه می شود. بر اساس آنها، راه حل در لایه دوم به روش مشابه محاسبه می شود و غیره.

طرح (26.4) در هر معادله فقط حاوی یک مقدار از تابع در لایه بعدی است. این مقدار را می توان به راحتی به صورت صریح بر حسب مقادیر شناخته شده تابع در لایه اولیه بیان کرد؛ بنابراین، چنین طرح هایی را صریح می نامند.

طرح (26.2) در هر معادله حاوی چندین مقدار مجهول تابع در یک لایه جدید است. چنین طرح هایی را ضمنی می نامند. برای محاسبه واقعی جواب، طرح (26.2) را با در نظر گرفتن شرایط مرزی (26.3) به شکل زیر بازنویسی می کنیم.

(26.5)

در هر لایه، طرح (26.5) سیستمی از معادلات خطی برای تعیین مقادیر است.
; سمت راست این معادلات شناخته شده است زیرا حاوی مقادیر حل لایه قبلی است. ماتریس یک سیستم خطی سه قطری است و جواب را می توان با جاروی جبری محاسبه کرد.

الگوریتم در نظر گرفته شده در حال حاضر نسبتا معمولی است. در بسیاری از طرح های تفاوت ضمنی برای مسائل یک بعدی و چند بعدی استفاده می شود. بعد ما به جای شاخص متراغلب از اختصارات استفاده می کنند

در این نمادها، طرح‌های تفاوت صریح و ضمنی به ترتیب به شکل زیر هستند:

اختلاف. یک معادله دیفرانسیل عملگر کلی (نه لزوما خطی) را در نظر بگیرید.

طلا = f، یا طلا – f = 0.

تعویض اپراتور آاپراتور تفاوت آ ساعت، سمت راست f- برخی از عملکرد شبکه و راه حل دقیق تو- راه حل اختلاف y، طرح تفاوت را می نویسیم

یا
. (26.6)

اگر راه حل دقیق را جایگزین کنیم توبه رابطه (26.6)، سپس راه حل، به طور کلی، این رابطه را برآورده نمی کند
. ارزش

باقیمانده نامیده می شود.

باقیمانده معمولاً با استفاده از بسط سری تیلور تخمین زده می شود. برای مثال، اجازه دهید اختلاف طرح تفاوت صریح (26.4) را برای معادله گرما (26.1a) پیدا کنیم. این معادله را به صورت متعارف می نویسیم

زیرا در این مورد
که

اجازه دهید حل را با فرمول تیلور در نزدیکی گره گسترش دهیم ( ایکس n , تی متر) با فرض وجود مشتقات چهارم پیوسته نسبت به ایکسو دوم در تی

(26.7)

جایی که

جایگزینی این بسط ها به بیان باقیمانده و بی توجهی به دلیل تداوم مشتقات، تفاوت بین کمیت ها
از جانب ( ایکس n , تی متر) پیدا کردن

(26.8)

بنابراین، باقیمانده (26.8) به سمت صفر تمایل دارد
و
نزدیکی طرح تفاوت به مسئله اصلی با بزرگی باقیمانده تعیین می شود. اگر باقیمانده به صفر در ساعتو با گرایش به صفر، می گوییم که چنین طرح تفاوتی یک مشکل دیفرانسیل را تقریب می زند. تقریب دارد آر-ام سفارش اگر
.

عبارت (26.8) اختلاف را فقط در گره های شبکه معمولی نشان می دهد. با مقایسه (26.3) و (26.1b)، به راحتی می توانیم اختلاف را در گره های نامنظم پیدا کنیم.

تبصره 1.حل مسئله رسانش گرما با ضریب ثابت (26.1) در حوزه به طور پیوسته بی نهایت بار قابل تمایز است. با این حال، با در نظر گرفتن مشتقات پنجم و بیشتر در بسط سری تیلور (26.7) تنها شرایط یک مرتبه بالاتر کوچکی را به اختلاف (26.8) اضافه می کند. و ساعت، یعنی اساساً ظاهر باقیمانده را تغییر نمی دهد.

تبصره 2.اجازه دهید، به دلایلی، راه حل مسئله اصلی چند بار قابل تمایز باشد. برای مثال، در مسائلی با هدایت حرارتی متغیر که صاف است اما مشتق دوم ندارد، راه حل فقط مشتقات پیوسته سوم دارد. سپس در بسط سری تیلور (26.7) آخرین شرایط هستند
دقیقاً همدیگر را خنثی نمی کنند. این منجر به ظاهر شدن در باقیمانده (26.8) یک عضو از نوع خواهد شد
آن ها اختلاف مرتبه کوچکی کمتری نسبت به راه‌حل‌های متمایز پیوسته چهار برابر خواهد داشت.

تبصره 3.با تبدیل عبارت باقیمانده، با در نظر گرفتن این واقعیت که تابع در آن گنجانده شده است تو(ایکس,تی) حل دقیق معادله اصلی و روابط است

با جایگزینی این عبارت به (26.8)، به دست می آوریم

اگر مراحل مکان و زمان را طوری انتخاب کنیم که
سپس عبارت اصلی اختلاف ناپدید می شود و فقط شرایط درجه بالاتری از کوچکی از نظر و ساعت(که ما آن را حذف کردیم). این تکنیک در ساخت طرح های تفاوت با دقت افزایش یافته استفاده می شود.

طرح تفاوت

طرح تفاوتیک سیستم متناهی از معادلات جبری است که با برخی مسائل دیفرانسیل حاوی یک معادله دیفرانسیل و شرایط اضافی (به عنوان مثال، شرایط مرزی و/یا توزیع اولیه) مرتبط است. بنابراین، طرح‌های تفاوت برای کاهش یک مسئله دیفرانسیل، که دارای یک کاراکتر پیوسته است، به یک سیستم متناهی از معادلات، که حل عددی آن اساساً در رایانه‌ها امکان‌پذیر است، استفاده می‌شود. معادلات جبری مرتبط با یک معادله دیفرانسیل با استفاده از روش تفاضل به دست می‌آیند که نظریه طرح‌های تفاوت را از سایر روش‌های عددی برای حل مسائل دیفرانسیل متمایز می‌کند (مثلاً روش‌های طرح ریزی، مانند روش گالرکین).

حل طرح اختلاف را حل تقریبی مسئله دیفرانسیل می گویند.

اگرچه تعریف رسمی محدودیت های قابل توجهی بر شکل معادلات جبری اعمال نمی کند، در عمل منطقی است که فقط طرح هایی را در نظر بگیریم که به نوعی با یک مسئله دیفرانسیل مطابقت دارند. مفاهیم مهم نظریه طرح‌های تفاوت، مفاهیم همگرایی، تقریب، ثبات و محافظه‌کاری است.

تقریب

گفته می شود که یک عملگر دیفرانسیل تعریف شده بر روی توابع تعریف شده در دامنه، بر روی یک کلاس معین از توابع توسط یک عملگر تفاضل محدود تعریف شده بر روی توابع تعریف شده در یک شبکه، بسته به مرحله، تقریب می شود.

به یک تقریبی گفته می شود که اگر مرتب باشد

کجا یک ثابت است که به تابع خاص بستگی دارد، اما به مرحله بستگی ندارد. هنجار استفاده شده در بالا می تواند متفاوت باشد و مفهوم تقریب به انتخاب آن بستگی دارد. یک آنالوگ گسسته از هنجار تداوم یکنواخت اغلب استفاده می شود:

گاهی اوقات از آنالوگ های گسسته هنجارهای انتگرال استفاده می شود.

مثال. تقریب یک عملگر توسط یک عملگر تفاضل محدود

در یک بازه محدود مرتبه دوم در کلاس توابع صاف است.

اگر هم خود معادله دیفرانسیل و هم شرایط مرزی (و اولیه) توسط عملگرهای اختلاف محدود مربوطه تقریب شوند و تقریب ها مرتب باشند، یک مسئله تفاضل محدود یک مسئله دیفرانسیل را تقریب می زند، و تقریب مرتب است.

شرط کورانت

شرط کورانت (در ادبیات انگلیسی زبان، Eng. شرایط کورانت-فریدریش-لوی ، CFL) - سرعت انتشار اغتشاشات در مسئله اختلاف نباید کمتر از دیفرانسیل باشد. اگر این شرط برآورده نشود، نتیجه طرح تفاوت ممکن است به حل معادله دیفرانسیل تمایل نداشته باشد. به عبارت دیگر، در یک مرحله زمانی، ذره نباید از بیش از یک سلول عبور کند.

در مورد مدارهایی که ضرایب آنها به حل معادله دیفرانسیل بستگی ندارد، شرط کورانت از پایداری ناشی می شود.

طرح ها در شبکه های مغرضانه

در این طرح های شبکه ای، که در آن نتیجه تنظیم می شود و داده ها از یکدیگر افست می شوند. به عنوان مثال، نقاط نتیجه در وسط بین نقاط داده قرار دارند. در برخی موارد، این امکان استفاده از شرایط مرزی ساده‌تر را فراهم می‌کند.

همچنین ببینید

پیوندها

• "طرح‌های تفاوت" - فصل ویکی‌کتاب در مورد "طرح‌های تفاوت برای معادلات هذلولی"
• دمیانوف A. Yu.، Chizhikov D. V.طرح اختلاف یکنواخت ترکیبی ضمنی درجه دوم دقت
• V. S. Ryaben'kii، A. F. Filippov.در مورد پایداری معادلات اختلاف. - م .: گستاخیزدات، 1956.
• S. K. Godunov، V. S. Ryabenky.مقدمه ای بر نظریه طرح های تفاوت. - م .: فیزمتگیز، 1962.
• K. I. Babenko.مبانی تحلیل عددی. - M.: ناوکا، 1986.
• Berezin I.S., Zhidkov N.P.روش های محاسبه، - هر نسخه.
• باخوالوف N.S.، Zhidkov N.P.، Kobelkov G.M.روش های عددی، - هر نسخه.
• G. I. Marchuk.روش های ریاضیات محاسباتی. - M.: ناوکا، 1977.

یادداشت

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید «طرح تفاوت» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

سیستمی از معادلات تفاوت که یک معادله دیفرانسیل و شرایط اضافی (اولیه، مرزی و غیره) را تقریب می‌کند. تقریب مسئله دیفرانسیل اصلی R. s. این یکی از راه های گسسته سازی تقریبی مشکل اصلی است... دایره المعارف ریاضی

طرح اختلاف المان محدود- روش اجزاء محدود - [A.S. Goldberg. فرهنگ لغت انرژی انگلیسی روسی. 2006] موضوعات انرژی به طور کلی مترادف روش اجزای محدود EN برنامه زمانبندی اختلاف حجم محدود…

طرح تفاوت یک سیستم متناهی از معادلات جبری است که با هر مسئله دیفرانسیل حاوی یک معادله دیفرانسیل و شرایط اضافی مرتبط است (به عنوان مثال، شرایط مرزی و / یا اولیه ... ... ویکی پدیا

طرح محاسبه تفاضل محدود بر اساس حجم های کنترلی- (مثلاً انتقال گرما و جرم، هدایت حرارتی) [A.S. Goldberg. فرهنگ لغت انرژی انگلیسی روسی. 2006] مباحث انرژی به طور کلی EN کنترل حجم بر اساس برنامه تفاضل محدود… کتابچه راهنمای مترجم فنی

طرح: سند گرافیکی. ارائه، تصویر، ارائه چیزی به کلی ترین شرایط، ساده شده (به عنوان مثال، یک طرح گزارش). یک دستگاه الکترونیکی حاوی اجزای بسیاری (مدار مجتمع). سند گرافیکی ... ... ویکی پدیا

طرح تفاضل مبتنی بر یک مسئله متغیر مربوط به یک مسئله مقدار مرزی برای یک معادله دیفرانسیل. ایده اصلی ساخت R. in. با. این است که با انتخاب خاص توابع مختصات در روش ریتز ... ... دایره المعارف ریاضی

روشهای عددی برای حل روشهای حل معادلات گیربولپچ. نوع بر اساس الگوریتم های محاسباتی. ریاضی مختلف مدل ها در بسیاری از موارد منجر به معادلات دیفرانسیل هذلولی می شوند. نوع چنین معادلاتی دارای آیالیتیک دقیق هستند. دایره المعارف ریاضی

شاخه ای از ریاضیات محاسباتی که روش هایی را برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل با جایگزینی معادلات تفاضل محدود (طرح های دیفرانسیل) مطالعه می کند. ر.س. روش های ساخت طرح های تفاوت را مطالعه می کند، ...... دایره المعارف ریاضی

روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی روش های تقریبی حل هستند که در نتیجه حل مسئله با جدول اعداد نشان داده می شود. دقیقاً راه حل ها (به صورت فرمول های صریح، سری و غیره) فقط در موارد کمیاب می توان ساخت ...... دایره المعارف ریاضی

روش‌هایی برای حل مسائل دینامیک گاز بر اساس الگوریتم‌های محاسباتی. اجازه دهید جنبه های اصلی نظریه روش های عددی را برای حل مسائل دینامیک گاز، نوشتن معادلات دینامیک گاز در قالب قوانین بقا در اینرسی ... ... در نظر بگیریم. دایره المعارف ریاضی کتاب الکترونیکی