ردیف های کاربردی سری پاور.
محدوده همگرایی سری

خنده بی دلیل نشانه دالامبر است

بنابراین ساعت سطرهای کاربردی رسیده است. برای تسلط موفقیت آمیز به موضوع، و به ویژه در این درس، باید در سری اعداد معمولی به خوبی تسلط داشته باشید. شما باید درک خوبی از چیستی یک سری داشته باشید، بتوانید علائم مقایسه را برای مطالعه سری برای همگرایی اعمال کنید. بنابراین، اگر تازه شروع به مطالعه این موضوع کرده اید یا در ریاضیات عالی قوری هستید، لازم استسه درس را به ترتیب کار کنید: ردیف برای قوری,علامت دالامبر. نشانه های کوشیو ردیف های متناوب علامت لایب نیتس. قطعا هر سه! اگر دانش و مهارت های اساسی در حل مسائل با سری اعداد دارید، از آنجایی که مطالب جدید زیادی وجود ندارد، مقابله با سری های عملکردی بسیار آسان خواهد بود.

در این درس، مفهوم یک سری تابعی (به طور کلی چیست) را در نظر می گیریم، با سری های قدرتی که در 90 درصد کارهای عملی یافت می شوند آشنا می شویم و یاد می گیریم که چگونه یک مشکل معمولی رایج در یافتن همگرایی را حل کنیم. شعاع، فاصله همگرایی و ناحیه همگرایی یک سری توان. علاوه بر این، من توصیه می کنم که مطالب را در نظر بگیرید گسترش توابع به سری های توانی، و آمبولانس در اختیار مبتدی قرار می گیرد. پس از کمی استراحت به مرحله بعدی می رویم:

همچنین در بخش سری های کاربردی تعداد زیادی از آنها وجود دارد برنامه های کاربردی برای محاسبات تقریبیو سری فوریه که قاعدتاً فصل جداگانه ای در ادبیات آموزشی به خود اختصاص داده اند، کمی از هم دور می شوند. من فقط یک مقاله دارم، اما طولانی است و چندین و چند مثال اضافی!

بنابراین، نشانه ها تنظیم شده اند، بیایید برویم:

مفهوم سری عملکردی و سری توانی

اگر بی نهایت در حد حاصل شود، سپس الگوریتم حل نیز کار خود را به پایان می رساند و ما پاسخ نهایی را به این کار می دهیم: "سری ها در" (یا در هر کدام") همگرا می شوند. مورد شماره 3 پاراگراف قبل را ببینید.

اگر در حد معلوم شود نه صفر و نه بی نهایت، پس ما رایج ترین مورد را در عمل شماره 1 داریم - سری در یک بازه مشخص همگرا می شود.

در این مورد، حد است. چگونه فاصله همگرایی یک سری را پیدا کنیم؟ ما یک نابرابری ایجاد می کنیم:

که در هر کار از این نوعدر سمت چپ نابرابری باید باشد نتیجه محاسبه محدودو در سمت راست نابرابری موکدا واحد. من توضیح نمی دهم که چرا دقیقاً این نابرابری و چرا در سمت راست وجود دارد. درس‌ها عملی هستند و خیلی خوب است که برخی از قضایا از داستان‌های من واضح‌تر شده است که کادر آموزشی خود را حلق آویز نکردند.

تکنیک کار با ماژول و حل نابرابری های مضاعف در سال اول در مقاله به تفصیل در نظر گرفته شد. محدوده عملکرد، اما برای راحتی، سعی می کنم تا حد امکان در مورد تمام اقدامات با جزئیات توضیح دهم. ما نابرابری را با ماژول طبق قانون مدرسه آشکار می کنیم . در این مورد:

نصف راه عقب تر

در مرحله دوم، بررسی همگرایی سری در انتهای بازه یافت شده ضروری است.

ابتدا سمت چپ بازه را می گیریم و آن را با سری توان خود جایگزین می کنیم:

در

یک سری عددی دریافت شده است، و ما باید آن را برای همگرایی بررسی کنیم (وظیفه ای که قبلاً از درس های قبلی آشنا بودیم).

1) سریال متناوب است.
2) - شرایط سری کاهش مدول. علاوه بر این، هر ترم بعدی سری از نظر مدول کمتر از ترم قبلی است: ، بنابراین کاهش یکنواخت است.
نتیجه گیری: سری همگرا می شود.

با کمک مجموعه ای متشکل از ماژول ها، دقیقاً متوجه خواهیم شد که چگونه:
- همگرا می شود (سری "مرجع" از خانواده سری های هارمونیک تعمیم یافته).

بنابراین، سری عددی حاصل به طور مطلق همگرا می شود.

در - همگرا می شود.

! بخاطر می آورم که هر سری مثبت همگرا کاملاً همگرا است.

بنابراین، سری توان، و به طور مطلق، در هر دو انتهای بازه یافت شده همگرا می شود.

پاسخ:ناحیه همگرایی سری توان مورد مطالعه:

حق حیات دارد و طرح دیگری از پاسخ: سریال همگرا می شود اگر

گاهی در شرایط مسئله لازم است شعاع همگرایی مشخص شود. بدیهی است که در مثال مورد نظر .

مثال 2

ناحیه همگرایی یک سری توان را پیدا کنید

راه حل:فاصله همگرایی سری را پیدا می کنیم با استفاده ازعلامت دالامبر (اما نه بر اساس ویژگی! - چنین ویژگی برای سری های تابعی وجود ندارد):

مجموعه در همگرا می شود

ترک کردما باید ترک کنیم فقط، بنابراین هر دو طرف نامساوی را در 3 ضرب می کنیم:

- سریال متناوب است.
– - شرایط سری کاهش مدول. هر جمله بعدی سری از نظر قدر مطلق کمتر از عبارت قبلی است: ، بنابراین کاهش یکنواخت است.

نتیجه گیری: سری همگرا می شود.

ما آن را از نظر ماهیت همگرایی بررسی می کنیم:

این سریال را با سری واگرا مقایسه کنید.
ما از علامت حد مقایسه استفاده می کنیم:

یک عدد متناهی غیر از صفر به دست می آید، به این معنی که سری با سری واگرا می شود.

بنابراین، مجموعه به صورت مشروط همگرا می شود.

2) چه زمانی - واگرا می شود (همانطور که ثابت شد).

پاسخ:ناحیه همگرایی سری توان مورد مطالعه: . برای ، سری به صورت مشروط همگرا می شود.

در مثال در نظر گرفته شده، ناحیه همگرایی سری توان یک نیم بازه و در تمام نقاط بازه سری توان است. کاملاً همگرا می شودو در همان نقطه، همانطور که معلوم شد، مشروط.

مثال 3

بازه همگرایی سری توان را بیابید و همگرایی آن را در انتهای بازه پیدا شده بررسی کنید.

این یک مثال برای خودتان است.

چند نمونه را در نظر بگیرید که نادر هستند، اما رخ می دهند.

مثال 4

ناحیه همگرایی سری را پیدا کنید:

راه حل:با استفاده از آزمون دالامبر، فاصله همگرایی این سری را پیدا می کنیم:

(1) نسبت عضو بعدی سری به عضو قبلی را بنویسید.

(2) از کسری چهار طبقه خلاص شوید.

(3) مکعب ها و طبق قاعده عملیات با قدرت ها در یک درجه خلاصه می شوند. در صورتگر ما به طور هوشمندانه درجه را تجزیه می کنیم، یعنی. به گونه ای گسترش می یابد که در مرحله بعد کسر را کاهش می دهیم. فاکتوریل ها به تفصیل شرح داده شده اند.

(4) در زیر مکعب، صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم می کنیم، که نشان می دهد . در یک کسری، ما هر چیزی را که می توان کاهش داد کاهش می دهیم. ضریب از علامت حد خارج می شود، می توان آن را خارج کرد، زیرا چیزی در آن وجود ندارد که به متغیر "دینامیک" "en" وابسته باشد. لطفاً توجه داشته باشید که علامت ماژول ترسیم نشده است - به این دلیل که برای هر "x" مقادیر غیر منفی می گیرد.

در حد، صفر به دست می آید، یعنی می توانیم پاسخ نهایی را بدهیم:

پاسخ:مجموعه در همگرا می شود

و در ابتدا به نظر می رسید که حل این ردیف با "پر کردن وحشتناک" دشوار است. صفر یا بی نهایت در حد تقریبا یک هدیه است، زیرا راه حل به طور محسوسی کاهش می یابد!

مثال 5

ناحیه همگرایی یک سری را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. مراقب باشید ;-) راه حل کامل جواب آخر درس است.

چند مثال دیگر را در نظر بگیرید که حاوی یک عنصر تازگی از نظر استفاده از تکنیک ها هستند.

مثال 6

بازه همگرایی سری را بیابید و همگرایی آن را در انتهای بازه پیدا شده بررسی کنید.

راه حل:اصطلاح رایج سری توان شامل ضریب است که تناوب را تضمین می کند. الگوریتم راه حل کاملاً حفظ می شود ، اما هنگام کامپایل حد ، این عامل را نادیده می گیریم (ننویسیم) ، زیرا ماژول تمام "منافی ها" را از بین می برد.

فاصله همگرایی سری را با استفاده از آزمون دالامبر پیدا می کنیم:

ما نابرابری استاندارد را می سازیم:
مجموعه در همگرا می شود
ترک کردما باید ترک کنیم فقط ماژول، بنابراین هر دو طرف نابرابری را در 5 ضرب می کنیم:

اکنون ماژول را به روشی آشنا گسترش می دهیم:

در وسط نابرابری مضاعف، باید فقط "x" را رها کنید، برای این منظور از هر قسمت نابرابری 2 کم کنید:

بازه همگرایی سری توان مورد مطالعه است.

ما همگرایی سری را در انتهای بازه پیدا شده بررسی می کنیم:

1) مقدار را در سری قدرت خود جایگزین کنید :

بسیار مراقب باشید، ضریب تناوب را برای هیچ "en" طبیعی ارائه نمی دهد. منهای حاصل را از سری خارج می کنیم و آن را فراموش می کنیم، زیرا آن (مانند هر ضریب ثابت) به هیچ وجه بر همگرایی یا واگرایی سری عددی تأثیر نمی گذارد.

دوباره توجه کنیدکه در طول جایگزینی مقدار به عبارت رایج سری توان، ضریب را کاهش داده ایم. اگر این اتفاق نیفتاد، به این معنی است که ما یا حد را اشتباه محاسبه کرده ایم یا ماژول را به اشتباه گسترش داده ایم.

بنابراین، بررسی همگرایی سری های عددی الزامی است. در اینجا ساده ترین کار است که از معیار مقایسه حدی استفاده کنید و این سری را با یک سری هارمونیک واگرا مقایسه کنید. اما، صادقانه بگویم، من به شدت از نشانه نهایی مقایسه خسته شده بودم، بنابراین تنوعی به راه حل اضافه می کنم.

بنابراین سریال زمانی که

دو طرف نابرابری را در 9 ضرب کنید:

ما ریشه را از هر دو قسمت استخراج می کنیم، در حالی که لطیفه قدیمی مدرسه را به خاطر می آوریم:


گسترش ماژول:

و یکی را به همه قسمت ها اضافه کنید:

بازه همگرایی سری توان مورد مطالعه است.

ما همگرایی سری توان را در انتهای بازه پیدا شده بررسی می کنیم:

1) اگر، سری اعداد زیر به دست می آید:

ضریب بدون هیچ اثری ناپدید شد، زیرا برای هر مقدار طبیعی "en" .

Domain of Convergence یک سری تابعی مجموعه ای است که اعضای آن توابعی هستند / بر روی یک مجموعه معین E از محور واقعی تعریف می شوند. برای مثال، عبارات یک سری در یک بازه تعریف می‌شوند، و عبارت‌های یک سری بر روی یک بخش تعریف می‌شوند. سری تابعی (1) اگر در هر نقطه x از همگرا شود، گفته می‌شود که در یک نقطه Xo € E همگرا می‌شود. مجموعه D ⊂ E و در هر نقطه ای که به مجموعه D تعلق ندارد واگرا می شود، سپس گفته می شود سری روی مجموعه D همگرا می شود و D ناحیه همگرایی سری نامیده می شود. یک سری (1) در مجموعه D کاملا همگرا نامیده می شود اگر سری روی این مجموعه همگرا شود. همگرایی برخی از سری های عملکردی را می توان با استفاده از معیارهای کافی شناخته شده، برای سری هایی با اعضای مثبت، به عنوان مثال، علامت Dapamber، علامت کوشی پیدا کرد. مثال 1. ناحیه همگرایی سری M را بیابید چون سری عددی برای p > 1 همگرا و برای p > 1 واگرا می شود، پس با فرض p - Igx، این سری را به دست می آوریم. که برای Igx > T همگرا خواهد شد، i.e. اگر x> 10 باشد، و زمانی که Igx ^ 1 واگرا شود، یعنی. در 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 سری واگرا می شود، زیرا L =. واگرایی سری در x = 0 آشکار است. مثال 3. ناحیه همگرایی سری را بیابید اصطلاحات این سری بر روی مجموعه تعریف شده و پیوسته هستند. با استفاده از علامت Kosh و، ما برای هر پیدا می کنیم. بنابراین، سری برای تمام مقادیر x واگرا می شود. nامین مجموع جزئی سری تابعی (1) را با Sn(x) نشان دهید. اگر این سری روی مجموعه D همگرا شود و مجموع آن برابر با 5 (g) باشد، می توان آن را به صورت نشان داد برای تمام مقادیر x € D، این رابطه برقرار است و بنابراین. یعنی باقیمانده Rn(x) سری همگرا به صورت n oo به صفر میل می کند، هر چه x 6 D باشد. همگرایی یکنواخت در میان تمام سری های همگرا از توابع، سری به اصطلاح یکنواخت همگرا نقش مهمی ایفا می کنند. اجازه دهید یک سری تابعی همگرا بر روی مجموعه D داده شود که مجموع آن برابر با S(x) است. n-امین مجموع جزئی آن را بگیرید. سری تابعی سری تابعی منطقه همگرایی همگرایی یکنواخت معیار وایرشتراس به ویژگی سری تابعی همگرا یکنواخت در مجموعه PS1 گفته می شود که به طور یکنواخت همگرا باشد) اگر برای هر عدد ε > 0 عدد λ > 0 وجود داشته باشد به طوری که نابرابری x از مجموعه وجود داشته باشد. fI. اظهار نظر. در اینجا عدد N برای همه x ∈ 10 یکسان است، یعنی. به z بستگی ندارد، بلکه به انتخاب عدد e بستگی دارد، بنابراین N = N(e) می نویسیم. همگرایی یکنواخت سری تابعی £ /n(®) به تابع S(x) در مجموعه ft اغلب به صورت زیر نشان داده می شود: تعریف همگرایی یکنواخت سری /n(x) در مجموعه ft می تواند با استفاده از نمادهای منطقی کوتاهتر نوشته شده است: ردیف عملکردی. اجازه دهید قطعه [a, 6] را به عنوان مجموعه ft در نظر بگیریم و نمودارهای توابع را رسم کنیم. نابرابری | که برای اعداد n > N و برای همه a صادق است. G [a, b] و y = 5(g) + e (شکل 1). مثال 1 به طور یکنواخت در بخش همگرا می شود این سری متناوب است، شرایط آزمون لایب نیتس را برای هر x € [1,1] برآورده می کند و بنابراین، در بخش (1,1-] همگرا می شود. اجازه دهید S(x) باشد. مجموع آن، و Sn (x) n و امین مجموع جزئی آن است. از اینجا متوجه می شویم که n > \. اگر عددی را در نظر بگیریم (در اینجا [a] نشان دهنده بزرگترین عدد صحیح است که از a تجاوز نمی کند)، آنگاه نابرابری | e برای همه اعداد n > N و برای همه x € [-1،1) برقرار خواهد بود. این بدان معنی است که این سری به طور یکنواخت در بخش [-1،1) همگرا می شود. I. هر سری تابعی که در مجموعه D همگرا می شوند در مثال 2 به طور یکنواخت همگرا نیستند. اجازه دهید نشان دهیم که این سری در بازه همگرا می شود، اما نه به طور یکنواخت. 4 اجازه دهید n-امین مجموع جزئی £n(*) سری را محاسبه کنیم. اگر قدر مطلق تفاوت S (x) - 5℃ (x) (باقیمانده سری) برابر باشد، از جایی که این سری بر روی قطعه و مجموع آن همگرا می شود، داریم. بیایید یک عدد e را طوری در نظر بگیریم که. بیایید نابرابری را با توجه به n حل کنیم. از کجا داریم (زیرا و هنگام تقسیم بر Inx، علامت نابرابری معکوس می شود). نابرابری برای . بنابراین، چنین عددی N(e) که به x بستگی ندارد، به طوری که نابرابری برای هر یک) بلافاصله برای همه x از بخش برقرار است. ، وجود ندارد. با این حال، اگر قطعه 0 با یک قطعه کوچکتر جایگزین شود، در آن قسمت، این سری به طور یکنواخت به تابع S0 همگرا می شود. در واقع، برای، و بنابراین برای همه x به طور همزمان §3. معیار وایرشتراس یک معیار کافی برای همگرایی یکنواخت یک سری تابعی توسط قضیه وایرشتراس ارائه شده است. قضیه 1 (آزمون وایرشتراس). اجازه دهید، برای تمام x از مجموعه Q، اعضای سری تابعی در مقدار مطلق از اعضای متناظر سری عددی همگرا П=1 با جملات مثبت تجاوز نکنند، یعنی برای همه x ∈ Q. سپس سری تابعی ( 1) در مجموعه П به طور مطلق و یکنواخت همگرا می شود. و تک، از آنجایی که، طبق شرط قضیه، شرایط سری (1) شرط (3) را در کل مجموعه Q برآورده می کند، پس با معیار مقایسه، سری 2 \fn(x)\ برای همگرا می شود. هر x ∈ H، و در نتیجه، سری (1) به طور مطلق روی P همگرا می شود. اجازه دهید همگرایی یکنواخت سری (1) را ثابت کنیم. اجازه دهید به ترتیب با Sn(x) و an مجموع جزئی سری (1) و (2) را نشان دهیم. هر عدد (به طور خودسرانه کوچک) e > 0 را داریم. سپس همگرایی سری عددی (2) دلالت بر وجود یک عدد N = N(e) دارد به طوری که، در نتیجه، -e برای همه اعداد n> N(e) ) و برای همه x6n، یعنی. سری (1) به طور یکنواخت روی مجموعه P. Remark همگرا می شود. سری اعداد (2) را اغلب برای سری تابعی (1) می گویند عمده، یا ماژورانت. مثال 1. سری را برای همگرایی یکنواخت بررسی کنید. نابرابری برای همه صادق است. و برای همه سری اعداد همگرا می شوند. به موجب آزمون وایرشتراس، سری تابعی در نظر گرفته شده به طور مطلق و یکنواخت در کل محور همگرا می شود. مثال 2. بررسی یک سری برای همگرایی یکنواخت شرایط سری تعریف شده و پیوسته در بخش [-2،2|. از آنجایی که در بخش [-2،2) برای هر n طبیعی، بنابراین، نابرابری برای آن برقرار است. از آنجایی که سری اعداد همگرا می شوند، بنابراین، طبق آزمون وایرشتراس، سری تابعی اصلی به طور مطلق و یکنواخت روی قطعه همگرا می شود. اظهار نظر. سری تابعی (1) می تواند به طور یکنواخت بر روی مجموعه Piv همگرا شود در صورتی که سری بزرگ عددی (2) وجود نداشته باشد، یعنی معیار وایرشتراس تنها یک معیار کافی برای همگرایی یکنواخت است، اما ضروری نیست. مثال. همانطور که در بالا نشان داده شده است (مثال)، این سری به طور یکنواخت در بخش 1-1،1 همگرا می شود. با این حال، هیچ سری اعداد همگرا اصلی (2) برای آن وجود ندارد. در واقع، برای همه اعداد طبیعی n و برای همه x ∈ [-1,1) نابرابری برقرار است، و برابری در آن حاصل می شود. بنابراین، عبارات سری اصلی مورد نظر (2) باید الزاماً شرط را برآورده کند، اما سری عددی سری تابعی منطقه همگرایی همگرایی یکنواخت آزمون وایرشتراس ویژگی‌های سری تابعی همگرا یکنواخت واگرا می‌شوند. این بدان معنی است که سری £ عملیات نیز واگرا خواهد شد. ویژگی های سری توابع همگرا یکنواخت سری توابع همگرا یکنواخت تعدادی ویژگی مهم دارند. قضیه 2. اگر تمام عبارات یک سری که به طور یکنواخت روی پاره [a, b] همگرا هستند در همان تابع q(x) که در [a, 6] محدود شده ضرب شوند، آنگاه سری تابعی حاصل به طور یکنواخت در همگرا خواهند شد. اجازه دهید سری £ fn(x) به طور یکنواخت به تابع S(x) در بازه [a, b\] همگرا شود، و اجازه دهید تابع g(x) محدود شود، یعنی یک ثابت C > 0 وجود دارد به طوری که توسط تعریف همگرایی یکنواخت سری برای هر عدد e > 0 یک عدد N وجود دارد به طوری که برای همه n > N و برای همه x ∈ [a, b] در جایی که 5n(ar) جمع جزئی باشد نابرابری برقرار خواهد بود. از سری مورد بررسی بنابراین، ما برای هر کسی خواهیم داشت. سری به طور یکنواخت روی [a, b|] همگرا می شود به یک تابع قضیه 3. اجازه دهید تمام عبارات fn(x) یک سری تابعی پیوسته باشند و سری به طور یکنواخت روی قطعه [a, b\ همگرا شوند. سپس مجموع S(x) سری در این بازه پیوسته است. M اجازه دهید فاصله [o, b] دو نقطه دلخواه zr + Ax را در نظر بگیریم. از آنجایی که این سری به طور یکنواخت در بخش [a, b] همگرا می شود، پس برای هر عدد e > 0 یک عدد N = N(e) وجود دارد به طوری که برای همه n > N نابرابری ها برقرار است که در آن 5n(x) مجموع جزئی از سری fn (x). این مجموع جزئی Sn(x) در بازه [a, 6] به عنوان مجموع تعداد محدودی از توابع fn(x) که در [a, 6 پیوسته هستند، پیوسته هستند. بنابراین، برای یک عدد ثابت no > N(e) و یک عدد معین e، یک عدد 6 = 6(e) > 0 وجود دارد، به طوری که نابرابری Ax که شرط را برآورده می کند، شکل می گیرد: از کجا. با در نظر گرفتن نابرابری های (1) و (2)، برای افزایش های Ax که شرط | را برآورده می کند، به دست می آوریم که به این معنی است که مجموع شش) در نقطه x پیوسته است. از آنجایی که x یک نقطه دلخواه از بخش [a, 6] است، نتیجه می شود که 5(x) در |a, 6| پیوسته است. اظهار نظر. یک سری تابعی که اعضای آن در بازه [a, 6] پیوسته هستند، اما به طور غیریکنواخت روی (a, 6] همگرا می شوند، ممکن است یک تابع ناپیوسته به عنوان مجموع داشته باشند. مثال 1. یک سری تابعی را در بازه |0،1 در نظر بگیرید. ). بیایید n-امین مجموع جزئی آن را محاسبه کنیم، بنابراین، در قطعه ناپیوسته است، اگرچه اعضای سری روی آن پیوسته هستند. به موجب قضیه اثبات شده، این سری به طور یکنواخت بر روی بازه همگرا نیست. مثال 2. یک سری را در نظر بگیرید همانطور که در بالا نشان داده شد، این سری در همگرا می شوند، سری طبق معیار وایرشتراس به طور یکنواخت همگرا می شوند، زیرا 1 و سری عددی همگرا می شوند. بنابراین، برای هر x > 1، مجموع این سری پیوسته است. اظهار نظر. این تابع تابع ریمان روی نامیده می شود (این تابع نقش زیادی در نظریه اعداد دارد). قضیه 4 (در مورد ادغام مدت به ترم یک سری تابعی). بگذارید تمام عبارات fn(x) سری پیوسته باشند و اجازه دهید سری به طور یکنواخت در قطعه [a, b] به تابع S(x) همگرا شود. با توجه به پیوستگی توابع fn(x) و همگرایی یکنواخت سری داده شده در بازه [a, 6]، مجموع 5(x) آن پیوسته است و در نتیجه قابل ادغام در . تفاوت را در نظر بگیرید از همگرایی یکنواخت سری در [o, b] نتیجه می شود که برای هر e > 0 عدد N(e) > 0 وجود دارد به طوری که برای همه اعداد n > N(e) و برای همه x € وجود دارد. [a، 6] نابرابری برقرار خواهد بود اگر سری fn(0 به طور یکنواخت همگرا نباشد، به طور کلی، نمی توان آن را ترم به ترم ادغام کرد، به عنوان مثال، قضیه 5 (در مورد تمایز ترم به ترم سری تابعی) اجازه دهید همه عبارت‌های سری همگرا 00 مشتقات پیوسته داشته باشند و سری متشکل از این مشتق‌ها به طور یکنواخت در بازه [a, b] همگرا شود. سپس در هر نقطه، برابری درست است، یعنی سری داده شده می‌تواند باشد. هر دو نقطه را در نظر بگیریم، سپس، به موجب قضیه 4، تابع o-(x) به عنوان مجموع یک سری همگرای یکنواخت از توابع پیوسته پیوسته است.بنابراین، با تفکیک برابری ما به دست آوردن

محدوده عملکردی عبارت رسمی نوشته شده نامیده می شود

تو1 (ایکس) + تو 2 (ایکس) + تو 3 (ایکس) + ... + تو n ( ایکس) + ... , (1)

جایی که تو1 (ایکس), تو 2 (ایکس), تو 3 (ایکس), ..., تو n ( ایکس), ... - دنباله ای از توابع از یک متغیر مستقل ایکس.

نماد اختصاری یک سری عملکردی با سیگما:.

نمونه هایی از سری های تابعی هستند :

(2)

(3)

دادن متغیر مستقل ایکسمقداری ارزش ایکس0 و با جایگزینی آن به سری تابعی (1)، یک سری عددی بدست می آوریم

تو1 (ایکس 0 ) + تو 2 (ایکس 0 ) + تو 3 (ایکس 0 ) + ... + تو n ( ایکس 0 ) + ...

اگر سری عددی به دست آمده همگرا شود، سری تابعی (1) گفته می شود که برای همگرا هستند. ایکس = ایکس0 ; اگر واگرا شود، که گفته می شود سری (1) واگرا می شود ایکس = ایکس0 .

مثال 1. همگرایی یک سری تابعی را بررسی کنید(2) برای مقادیر ایکس= 1 و ایکس = - 1 .
راه حل. در ایکس= 1 یک سری اعداد بدست می آوریم

که طبق آزمون لایب نیتس همگرا می شود. در ایکس= - 1 یک سری اعداد بدست می آوریم

,

که به عنوان حاصلضرب یک سری هارمونیک واگرا با - 1 واگرا می شود. بنابراین، سری (2) در همگرا می شود ایکس= 1 و در واگرایی است ایکس = - 1 .

اگر چنین آزمایشی برای همگرایی سری تابعی (1) با توجه به تمام مقادیر متغیر مستقل از دامنه تعریف اعضای آن انجام شود، نقاط این دامنه به دو مجموعه تقسیم می شوند: با ارزش ها ایکسدر یکی از آنها، سری (1) همگرا می شود و در دیگری واگرا می شود.

مجموعه مقادیر یک متغیر مستقل که سری تابعی برای آن همگرا می شود آن نامیده می شود منطقه همگرایی .

مثال 2. ناحیه همگرایی یک سری تابعی را پیدا کنید

راه حل. اعضای سری بر روی کل خط اعداد تعریف می شوند و یک پیشروی هندسی با مخرج تشکیل می دهند. q= گناه ایکس. بنابراین سریال همگرا می شود اگر

و واگرا می شود اگر

(ارزش ها ممکن نیست). اما برای ارزش ها و برای ارزش های دیگر ایکس. بنابراین، سری برای همه مقادیر همگرا می شود ایکس، بجز . منطقه همگرایی آن به استثنای این نقاط، کل خط اعداد است.

مثال 3. ناحیه همگرایی یک سری تابعی را بیابید

راه حل. عبارات سری یک تصاعد هندسی با مخرج تشکیل می دهند q=ln ایکس. بنابراین، سری همگرا می شود اگر، یا، از کجا. این منطقه همگرایی این سری است.

مثال 4. همگرایی یک سری تابعی را بررسی کنید

راه حل. بیایید یک مقدار دلخواه در نظر بگیریم. با این مقدار یک سری عددی بدست می آوریم

(*)

حد اصطلاح رایج آن را بیابید

در نتیجه، سری (*) برای یک انتخاب خودسرانه، یعنی. برای هر ارزشی ایکس. دامنه همگرایی آن مجموعه خالی است.

همگرایی یکنواخت یک سری تابعی و خصوصیات آن

بیایید به مفهوم حرکت کنیم همگرایی یکنواخت سری عملکردی . اجازه دهید س(ایکس) مجموع این سری است و سn ( ایکس) - مجموع nاولین اعضای این مجموعه محدوده عملکردی تو1 (ایکس) + تو 2 (ایکس) + تو 3 (ایکس) + ... + تو n ( ایکس) + ... به طور یکنواخت همگرا در بازه [ آ, ب]، اگر برای هر تعداد دلخواه کوچک باشد ε > 0 چنین عددی وجود دارد ن، که برای همه n ≥ ننابرابری ارضا خواهد شد

|س(ایکس) − س n ( ایکس)| < ε

برای هرکس ایکساز بخش [ آ, ب] .

ویژگی فوق را می توان به صورت هندسی به صورت زیر نشان داد.

نمودار تابع را در نظر بگیرید y = س(ایکس) . دور این منحنی نواری به عرض 2 می سازیم. ε n، یعنی منحنی ها را می سازیم y = س(ایکس) + ε nو y = س(ایکس) − ε n(در تصویر زیر سبز رنگ هستند).

سپس برای هر ε nنمودار تابع سn ( ایکس) به طور کامل در گروه مورد بررسی قرار خواهد گرفت. همان باند شامل نمودارهای تمام مجموع جزئی بعدی خواهد بود.

هر سری تابعی همگرا که ویژگی توصیف شده در بالا را نداشته باشد به طور غیریکنواخت همگرا است.

یک ویژگی دیگر از سری تابعی همگرا یکنواخت را در نظر بگیرید:

مجموع یک سری توابع پیوسته که به طور یکنواخت در یک بازه [ آ, ب]، تابعی وجود دارد که در این بخش پیوسته است.

مثال 5مشخص کنید که مجموع یک سری تابعی پیوسته است یا خیر

راه حل. بیایید جمع را پیدا کنیم nاولین اعضای این مجموعه:

اگر ایکس> 0، سپس

,

اگر ایکس < 0 , то

اگر ایکس= 0، سپس

و بنابراین .

مطالعه ما نشان داد که مجموع این سری یک تابع ناپیوسته است. نمودار آن در شکل زیر نشان داده شده است.

آزمون وایرشتراس برای همگرایی یکنواخت سری های تابعی

اجازه دهید از طریق مفهوم به معیار وایرشتراس نزدیک شویم اکثر سری های عملکردی . محدوده عملکردی

تو1 (ایکس) + تو 2 (ایکس) + تو 3 (ایکس) + ... + تو n ( ایکس) + ...

4.1. سری تابع: مفاهیم اساسی، حوزه همگرایی

تعریف 1. مجموعه ای که اعضای آن توابع یک یا هستند
چندین متغیر مستقل تعریف شده در برخی از مجموعه ها نامیده می شود محدوده عملکردی.

یک سری تابعی را در نظر بگیرید که اعضای آن توابعی از یک متغیر مستقل هستند ایکس. مجموع اولی nاعضای سری مجموع جزئی سری تابعی داده شده است. عضو مشترک یک تابع از وجود دارد ایکسدر برخی مناطق تعریف شده است. یک سری عملکردی را در یک نقطه در نظر بگیرید . اگر سری اعداد مربوطه همگرا می شود، یعنی محدودیت مبالغ جزئی این سری وجود دارد
(جایی که − مجموع سری اعداد)، سپس نقطه فراخوانی می شود نقطه همگراییمحدوده عملکردی . اگر خط اعداد واگرا می شود، سپس نقطه فراخوانی می شود نقطه واگراییردیف عملکردی

تعریف 2. منطقه همگراییمحدوده عملکردی مجموعه همه این مقادیر نامیده می شود ایکس، که برای آن سری عملکردی همگرا می شود. منطقه همگرایی که از تمام نقاط همگرایی تشکیل شده است نشان داده می شود . توجه داشته باشید که آر.

سری عملکردی در منطقه همگرا می شود ، در صورت وجود به عنوان یک سری اعداد همگرا می شود، در حالی که مجموع آن تابعی خواهد بود . این به اصطلاح تابع محدوددنباله ها : .

چگونه ناحیه همگرایی یک سری تابعی را پیدا کنیم ? می توانید از علامتی مشابه علامت دالامبر استفاده کنید. برای یک عدد ساختن و حد را ثابت در نظر بگیرید ایکس:
. سپس راه حلی برای نابرابری است و حل معادله (ما فقط آن راه حل های معادله را در نظر می گیریم
که سری های عددی مربوطه همگرا می شوند).

مثال 1. ناحیه همگرایی سری را بیابید.

راه حل. مشخص کن , . اجازه دهید حد را بسازیم و محاسبه کنیم، سپس ناحیه همگرایی سری توسط نابرابری تعیین می شود. و معادله . اجازه دهید علاوه بر این، همگرایی سری اصلی را در نقاطی که ریشه معادله هستند بررسی کنیم:

و اگر , ، سپس یک سری واگرا دریافت می کنیم ;

ب) اگر , ، سپس ردیف به صورت مشروط همگرا می شود (با

آزمون لایب نیتس، مثال 1، سخنرانی 3، بخش. 3.1).

بنابراین، منطقه همگرایی ردیف به نظر می رسد: .

4.2. سری توان: مفاهیم اساسی، قضیه هابیل

یک مورد خاص از یک سری عملکردی، به اصطلاح را در نظر بگیرید سری پاور ، جایی که
.

تعریف 3. قدرت بعدییک سری تابعی از فرم نامیده می شود،

جایی که - اعداد ثابت، فراخوانی شده است ضرایب سری.

سری توان یک "چند جمله ای بی نهایت" است که در توان های افزایشی مرتب شده است . هر خط عددی است
یک مورد ویژه از یک سری قدرت برای .

یک مورد خاص از یک سری قدرت برای را در نظر بگیرید :
. دریابید چه نوع
منطقه همگرایی یک سری معین .

قضیه 1 (قضیه هابیل). 1) اگر سری قدرت در یک نقطه همگرا می شود ، سپس برای هر کدام کاملاً همگرا می شود ایکس، که برای آن نابرابری است .

2) اگر سری توان در واگرا باشد ، سپس برای هر کدام واگرا می شود ایکس، برای کدام .

اثبات. 1) طبق شرط، سری توان در نقطه همگرا می شود ,

یعنی سری اعداد همگرا می شوند

(1)

و با توجه به معیار لازم همگرایی، عبارت رایج آن به 0 متمایل می شود، یعنی. . بنابراین، یک عدد وجود دارد که همه اعضای سریال به این تعداد محدود می شوند:
.

اکنون هر کدام را در نظر بگیرید ایکس، برای کدام ، و یک سری از مقادیر مطلق بسازید: .
اجازه دهید این مجموعه را به شکل دیگری بنویسیم: از آنجا که ، سپس (2).

از نابرابری
می گیریم، یعنی ردیف

شامل اعضایی است که بزرگتر از اعضای متناظر سری (2) هستند. ردیف یک سری همگرا از یک تصاعد هندسی با مخرج است ، علاوه بر این ، زیرا . بنابراین، سری (2) برای همگرا می شود . بنابراین سری قدرت کاملاً همگرا می شود.

2) اجازه دهید ردیف واگرا می شود در ، به عبارت دیگر،

خط عددی واگرا می شود . اجازه دهید این را برای هر کسی ثابت کنیم ایکس () سریال از هم جدا می شود. اثبات با تناقض است. اجازه دهید برای برخی

درست شد ( ) سری همگرا می شود، سپس برای همه همگرا می شود (نگاه کنید به بخش اول این قضیه)، به ویژه، برای، که با شرط 2 در تضاد است) از قضیه 1. قضیه ثابت شده است.

نتیجه. قضیه آبل قضاوت در مورد محل نقطه همگرایی یک سری توانی را ممکن می سازد. اگر نقطه نقطه همگرایی سری توان و سپس بازه است پر از نقاط همگرایی؛ اگر نقطه واگرایی یک نقطه باشد ، آن
فواصل بی نهایت پر از نقاط واگرایی (شکل 1).

برنج. 1. فواصل همگرایی و واگرایی سری

می توان نشان داد که چنین عددی وجود دارد ، که برای همه
سری پاور کاملاً همگرا می شود و - واگرا می شود. فرض می کنیم که اگر سری فقط در یک نقطه 0 همگرا شود، پس ، و اگر سریال برای همه همگرا باشد ، آن .

تعریف 4. فاصله همگراییسری پاور این فاصله نامیده می شود ، که برای همه این مجموعه کاملاً و برای همه همگرا است ایکسدر خارج از این فاصله، سریال از هم جدا می شود. عدد آرتماس گرفت شعاع همگراییسری پاور

اظهار نظر. در انتهای فاصله مسئله همگرایی یا واگرایی یک سری توان به طور جداگانه برای هر سری خاص حل می شود.

اجازه دهید یکی از روش های تعیین بازه و شعاع همگرایی یک سری توان را نشان دهیم.

سری پاور را در نظر بگیرید و نشان دهند .

بیایید یک سری از مقادیر مطلق اعضای آن را بسازیم:

و آزمون d'Alembert را بر آن اعمال کنید.

بگذار وجود داشته باشد

.

با توجه به آزمون d'Alembert، سری همگرا می شود اگر ، و واگرا می شود اگر . از اینجا، سری در همگرا می شود، سپس بازه همگرایی: . در ، سریال به دلیل واگرایی .
با استفاده از نماد ، فرمولی برای تعیین شعاع همگرایی یک سری توان به دست می آوریم:

,

جایی که ضرایب سری توان هستند.

اگر معلوم شد که حد ، سپس فرض می کنیم .

برای تعیین فاصله و شعاع همگرایی یک سری توانی می توان از معیار کوشی رادیکال نیز استفاده کرد، شعاع همگرایی سری از رابطه تعیین می شود. .

تعریف 5. سری قدرت تعمیم یافتهسریال نامیده می شود

. بعد با درجه نیز نامیده می شود .
برای چنین سری، فاصله همگرایی به شکل زیر است: ، جایی که - شعاع همگرایی.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه شعاع همگرایی برای یک سری توان تعمیم یافته پیدا می شود.

آن ها ، جایی که .

اگر ، آن ، و منطقه همگرایی R; اگر ، آن و منطقه همگرایی .

مثال 2. ناحیه همگرایی یک سری را پیدا کنید .

راه حل. مشخص کن . بیایید یک محدودیت ایجاد کنیم

نابرابری را حل می کنیم: , ، از این رو فاصله

همگرایی به شکل زیر است: ، علاوه بر این آر= 5. علاوه بر این، ما انتهای بازه همگرایی را مطالعه می کنیم:
آ) , ، سریال را دریافت می کنیم ، که واگرا می شود؛
ب) , ، سریال را دریافت می کنیم ، که همگرا می شود
مشروط بنابراین، منطقه همگرایی: , .

پاسخ:منطقه همگرایی .

مثال 3ردیف برای همه متفاوت است ، زیرا در ، شعاع همگرایی .

مثال 4این سری برای همه R، شعاع همگرایی همگرا می شود .

- شاید پیچیده به نظر نرسد که پیچیده باشد؛) و عنوان این مقاله نیز حیله گر است - مجموعه هایی که امروز مورد بحث قرار خواهند گرفت نه پیچیده، بلکه "زمین کمیاب" هستند. با این حال، حتی دانش آموزان پاره وقت نیز از آنها مصون نیستند و بنابراین این درس به ظاهر اضافی باید با جدیت تمام گرفته شود. از این گذشته، پس از کار کردن با آن، می توانید تقریباً با هر "جانور" مقابله کنید!

بیایید با کلاسیک های این ژانر شروع کنیم:

مثال 1

ابتدا توجه داشته باشید که این یک سری پاور نیست (یاد آوری می کنم که فرم دارد). و ثانیاً در اینجا مقدار فوراً قابل توجه است که بدیهی است که نمی تواند وارد منطقه همگرایی سری شود. و این در حال حاضر یک موفقیت کوچک از مطالعه است!

اما هنوز چگونه می توان به موفقیت بزرگ دست یافت؟ من عجله دارم که شما را خوشحال کنم - چنین سریال هایی را می توان به همان روش حل کرد قدرت– تکیه بر علامت دالامبر یا نشان رادیکال کوشی!

راه حل: مقدار در محدوده همگرایی سری نیست. این یک واقعیت قابل توجه است و باید توجه داشت!

اساس الگوریتم به صورت استاندارد کار می کند. با استفاده از آزمون دالامبر، فاصله همگرایی سری را پیدا می کنیم:

مجموعه در همگرا می شود. بیایید ماژول را به بالا منتقل کنیم:

بیایید بلافاصله نقطه "بد" را بررسی کنیم: مقدار وارد منطقه همگرایی سری نشده است.

ما همگرایی سری را در انتهای "داخلی" فواصل بررسی می کنیم:
اگر پس از آن
اگر پس از آن

هر دو سری عددی واگرا هستند، زیرا برآورده نشده است نشانه ضروری همگرایی.

پاسخ: منطقه همگرایی:

بیایید کمی تحلیل کنیم. بیایید مقداری از بازه سمت راست را به سری تابعی جایگزین کنیم، به عنوان مثال:
- همگرا می شود علامت دالامبر.

در صورت جایگزینی مقادیر از بازه سمت چپ، سری های همگرا نیز به دست می آیند:
اگر پس از آن .

و در نهایت، اگر، سپس سریال - واقعاً متفاوت است.

چند مثال ساده برای گرم کردن:

مثال 2

ناحیه همگرایی یک سری تابعی را پیدا کنید

مثال 3

ناحیه همگرایی یک سری تابعی را پیدا کنید

به خصوص با "جدید" خوب باشید مدول- او امروز 100500 بار ملاقات خواهد کرد!

راه حل ها و پاسخ های مختصر در پایان درس.

به نظر می رسد الگوریتم های استفاده شده جهانی و بدون مشکل هستند، اما در واقع اینطور نیست - برای بسیاری از سری های کاربردی اغلب "لغزش" می کنند، یا حتی منجر به نتیجه گیری های اشتباه می شوند. (و من هم چنین نمونه هایی را در نظر خواهم گرفت).

زبری از قبل در سطح تفسیر نتایج شروع می شود: به عنوان مثال، سری را در نظر بگیرید. در اینجا، در حد، ما دریافت می کنیم (خودت چک کن)، و از نظر تئوری باید پاسخ داد که سریال در یک نقطه واحد همگرا می شود. با این حال، نکته "بیش از حد بازی" است، یعنی "بیمار" ما همه جا از هم جدا می شود!

و برای سریال، راه حل "بدیهی" "به گفته کوشی" به هیچ وجه چیزی نمی دهد:
- برای هر مقدار "x".

و این سوال پیش می آید که چه باید کرد؟ ما از روشی استفاده می کنیم که قسمت اصلی درس به آن اختصاص خواهد یافت! می توان آن را به صورت زیر فرموله کرد:

تجزیه و تحلیل مستقیم سری های اعداد برای مقادیر مختلف

در واقع، ما قبلاً در مثال 1 شروع به انجام این کار کرده ایم. ابتدا تعدادی "x" خاص و سری اعداد مربوطه را بررسی می کنیم. برای گرفتن مقدار درخواست می کند:
- سری عددی حاصل از هم واگرا می شود.

و این بلافاصله این فکر را القا می کند: اگر همین اتفاق در نقاط دیگر رخ دهد چه؟
بیایید بررسی کنیم یک معیار ضروری برای همگرایی سریبرای دلخواهارزش ها:

نکته در نظر گرفته شده در بالا برای تمام "x" های دیگرما با پذیرش استاندارد سازماندهی می کنیم دومین محدودیت فوق العاده:

نتیجه: سری در کل خط اعداد واگرا می شود

و این راه حل کارآمدترین گزینه است!

در عمل، سری عملکردی اغلب باید با آن مقایسه شود سری هارمونیک تعمیم یافته :

مثال 4

راه حل: اول از همه به آن بپردازیم حوزه تعریف: در این مورد، بیان رادیکال باید کاملاً مثبت باشد، و علاوه بر این، همه اعضای سریال باید از اول وجود داشته باشند. از این مطلب چنین بر می آید که:
. با این مقادیر، سری های همگرا مشروط به دست می آیند:
و غیره.

"x" های دیگر مناسب نیستند، به عنوان مثال، زمانی که ما یک پرونده غیرقانونی دریافت می کنیم که در آن دو نفر اول سریال وجود ندارند.

همه اینها خوب است، همه اینها واضح است، اما یک سوال مهم دیگر وجود دارد - چگونه می توان با صلاحیت تصمیم گیری کرد؟ من طرحی را پیشنهاد می‌کنم که می‌توان آن را به‌عنوان «انتقال فلش‌ها» به سری‌های اعداد نامید:

در نظر گرفتن دلخواهمعنی و همگرایی سری های عددی را بررسی کنید. روال نشانه لایب نیتس:

1) این سری متناوب است.

2) - شرایط سری کاهش مدول. هر عبارت بعدی از مجموعه از نظر قدر مطلق کمتر از عبارت قبلی است: ، بنابراین کاهش یکنواخت است.

نتیجه گیری: سری بر اساس آزمون لایب نیتس همگرا می شوند. همانطور که قبلاً اشاره شد ، همگرایی در اینجا مشروط است - به این دلیل که سریال - واگرا می شود

بنابراین اینجاست - شسته و رفته و درست! برای پشت "آلفا" ما هوشمندانه تمام سری های عددی معتبر را پنهان کردیم.

پاسخ: سری تابعی وجود دارد و به صورت مشروط برای همگرا می شود.

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 5

بررسی همگرایی یک سری تابعی

نمونه ای از تکلیف پایانی در پایان درس.

این "فرضیه کاری" شماست! - سری عملکردی در فاصله زمانی همگرا می شود!

2) همه چیز شفاف با فاصله متقارن است، ما در نظر می گیریم دلخواهمقادیر و دریافت می کنیم: - سری عددی کاملاً همگرا.

3) و در نهایت «وسط». در اینجا نیز تشخیص دو بازه راحت است.

در حال بررسی هستیم دلخواهاز بازه مقدار داده و یک سری اعداد بدست آورید:

! بازم اگه سخته ، برای مثال یک عدد خاص را جایگزین کنید. با این حال، ... شما سختی می خواستید =)

برای همه مقادیر "en" ، به معنای:
- بنابراین، توسط نشانه مقایسهاین سری با یک پیشرفت بی نهایت رو به کاهش همگرا می شود.

برای تمام مقادیر "x" از بازه ای که دریافت می کنیم سری های کاملا همگرا هستند.

تمام X ها تحقیق شده اند، X ها دیگر وجود ندارند!

پاسخ: ناحیه همگرایی سری:

باید بگویم، یک نتیجه غیر منتظره! و این را هم باید اضافه کرد که استفاده از علائم دالامبر یا کوشی در اینجا قطعا گمراه کننده خواهد بود!

ارزیابی مستقیم "بالاترین آکروباتیک" تحلیل ریاضی است، اما این، البته، به تجربه، و حتی در جایی شهود نیاز دارد.

یا شاید کسی راه آسان تری پیدا کند؟ نوشتن! به هر حال، سوابق وجود دارد - چندین بار خوانندگان راه حل های منطقی تری را پیشنهاد کردند و من آنها را با کمال میل منتشر کردم.

موفق باشید فرود بیایید :)

مثال 11

ناحیه همگرایی یک سری تابعی را پیدا کنید

نسخه من از راه حل بسیار نزدیک است.

هاردکور اضافی را می توان در یافت بخش VI (ردیف‌ها)مجموعه کوزنتسوف (مسائل 11-13).راه حل های آماده ای در اینترنت وجود دارد، اما در اینجا به شما نیاز دارم هشدار دادن- بسیاری از آنها ناقص، نادرست و حتی اشتباه هستند. و اتفاقاً این یکی از دلایلی بود که این مقاله متولد شد.

بیایید سه درس را جمع بندی کنیم و ابزارهای خود را نظام مند کنیم. بنابراین:

برای یافتن بازه(های) همگرایی یک سری تابعی می توان از:

1) علامت دالامبر یا نشان کوشی. و اگر ردیف نباشد قدرت- هنگام تجزیه و تحلیل نتیجه به دست آمده با جایگزینی مستقیم مقادیر مختلف، احتیاط بیشتری نشان می دهیم.

2) معیار همگرایی یکنواخت وایرشتراس. فراموش نکنیم!

3) مقایسه با سری های عددی معمولی- درایوها در حالت کلی.

سپس انتهای فواصل یافت شده را بررسی کنید (در صورت نیاز)و منطقه همگرایی سری را بدست می آوریم.

اکنون یک زرادخانه نسبتاً جدی در اختیار دارید که به شما امکان می دهد تقریباً با هر کار موضوعی کنار بیایید.

آرزو می کنم موفق شوی!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل: مقدار در محدوده همگرایی سری نیست.
ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:


این مجموعه در موارد زیر همگرا می شود:

بنابراین، فواصل همگرایی سری عملکردی: .
ما همگرایی سری را در نقاط پایانی بررسی می کنیم:
اگر پس از آن ;
اگر پس از آن .
هر دو سری اعداد واگرا هستند، زیرا. معیار لازم همگرایی برآورده نمی شود.

پاسخ : منطقه همگرایی: