В технических измерениях к систематическим погрешностям относят те погрешности, независимо от их природы и источника, величина которых может быть определена или спрогнозирована еще до проведения измерений.
Определение и исключение систематической погрешности является одной из главных задач на всех стадиях планирования и проведения измерений.
При проведении технических измерений возможны систематические погрешности, которые могут быть выявлены и учтены только при глубоком понимании сущности объекта измерений, методики и средств измерений. Особенно это свойственно измерениям, которые производятся на крупных технических агрегатах, в сложных технологических процессах, например, металлургических.
Применительно к задачам автоматизации это предполагает, что расчет ожидаемой систематической погрешности должен начинаться еще на этапе проектирования САУ. На этом этапе необходимо:
· выбрать методы и средства измерений, адекватные поставленной задаче, определить и, при необходимости, подтвердить метрологические характеристики средств измерений:
· выявить потенциальные источники погрешностей и принять меры по их устранению или минимизации воздействия на результат измерений,
· провести оценку ожидаемой систематической погрешности.
Эта предварительная работа выполняется методами теоретического анализа, математического, имитационного и физического моделирования процесса измерений. Однако, все эти действия не позволяют абсолютно уверенно оценить и (или) исключить систематическую погрешность. Поэтому особое значение приобретает этап наладки средств автоматизации, включая средства и методы измерений, в ходе которого реальные значения и источники погрешностей выявляются экспериментально.
Для исключения и (или) оценки систематических погрешностей в процессе подготовки измерений применяются самые различные способы. В том числе:
Способ замещения - измеряемый объект заменяется известной мерой. Такой мерой может служить образцовый объект, имеющим туже природу, что и измеряемый, но характеристики которого заранее известны с высокой точностью.
Способ последовательных наблюдений - последовательные измерения через равные промежутки времени, что позволяет определить и учесть скорость изменения прогрессирующих систематических погрешностей
Метод рандомизации - искусственная трансформация систематической погрешности в случайную. Например, для измерения физической величины одновременно используются несколько разнотипных приборов с последующим усреднением их показаний; применяют наложение известных периодических возмущений (изменение методики и условий измерений, параметров внешней среды и т.п.), которые не влияют на измеряемую величину, но могут изменить систематическую погрешность ее измерения.
Повторные и многократные измерения при измененяемых внешних условиях, при других методиках и технических средствах измерений. Сопоставление результатов, полученных в различных условиях измерений, позволяет минимизировать систематические ошибки, обусловленные неизвестными и (или) не формализуемыми причинами. В том числе:
· особенностями эксплуатации оборудования,
· влиянием окружающей среды;
· влиянием различных процессов, которые протекают в объекте измерений, но прямо не влияют на измеряемую величину.
В результате выполнения всех этих действий часть источников систематической погрешности вообще может быть устранена. Оставшаяся часть систематической погрешности должна быть выявлена, а ее величина должна учитываться в результатах измерений в виде поправок.
§ Поправкой называется величина, одноименная с измеряемой, добавление которой к результату измерений исключает систематическую погрешность.
§ Поправочный множитель (поправочный коэффициент) это число, на которое умножается результат измерений с целью исключения систематической погрешности.
Поправки и поправочные коэффициенты в виде графиков, таблиц или формул прилагаются к паспорту прибора, методике измерений, стандарту предприятия или другому документу, регламентирующую данную процедуру технических измерений.
Большинство поправок не может быть точно определено ни расчетным путем, ни экспериментально, т.е. тоже содержат погрешность.
Ø Все методы определения систематической погрешности в свою очередь содержат погрешность. Поэтому поправки также содержат погрешность и в принципе не могут полностью компенсировать систематическую составляющую погрешности.
Поэтому в результатах измерений всегда присутствует некоторая остаточная величина систематической погрешности, которая называется неисключенным остатком систематической погрешности илинеисключенной систематической погрешностью (НСП).
При небольшом числе источников погрешности (n £ 3) верхняя граница НСП результата измерений qопределяется по максимуму:
где q i – граница i -той составляющей НСП. Такая оценка величины НСП явно является завышенной, т.к. маловероятно, чтобы все компоненты НСП одновременно имели максимальное значение одного знака.
При значительном числе источников систематической погрешности, n³ 4, величину НСП оценивают с вероятностно-статистической точки зрения. При этом полагается, что величина НСП может равновероятно принимать любые значения в пределах своего максимального значения (нижней и верхней границ), Т.е. неустраненная систематическая погрешность рассматривается как случайная величина, подчиняющаюся нормальному закону распределения. Тогда при n ³ 4 граница НСП результата измерений с вероятностью 0,95 принимают равной:
(17)
а с вероятностью 0,99 равной:
(18)
При большом количестве поправок, каждая из которых имеет конечную погрешность, необходимо, чтобы значение поправок не увеличивало общей погрешности измерений.
Погрешность средства измерений - разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.
Погрешность меры - разность между номинальным значением меры и действительным значением воспроизводимой ею величины. Поскольку истинное значение физической величины неизвестно, то на практике пользуются ее действительным значением, которое воспроизводится образцовым средством измерений или мерой. Для самой меры показанием является ее номинальное значение.
На рисунке 3.1 показана классификация погрешностей средств измерений, в которой они условно разбиты на пять групп в зависимости от природы их происхождения.
Рисунок 3.1 - Классификация погрешностей средств измерений
Систематическая погрешность средства измерений - составляющая погрешности измерения, которая при повторении равноточных измерений остаётся постоянной или закономерно изменяется. Эту погрешность можно исключить или вносить соответствующие поправки.
Систематическая погрешность конкретного средства измерений, как правило, будет отличаться от систематической погрешности другого экземпляра средства измерений этого же типа, вследствие чего для группы однотипных средств измерений систематическая погрешность может иногда рассматриваться как случайная погрешность. Причины возникновения систематических погрешностей и их классификация будут рассмотрены отдельно.
Случайная погрешность средства измерений (случайная погрешность) - составляющая погрешности измерения, которая изменяется случайным образом. случайная погрешность может быть обнаружена при повторных измерениях одной и той же величины, когда получаются неодинаковые результаты. Её нельзя исключить, но их влияние на результата измерения может быть теоретически учтено методами теории вероятности и математической статистики.
Промах - погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Иногда вместо термина «промах» применяют термин грубая погрешность измерений.
Промахи связаны с резким нарушением условий испытаний при отдельном наблюдении: толчки, неисправности измерительной аппаратуры, неправильные действия наблюдателя. Результаты измерений, содержащие промахи, должны быть отброшены как недостоверные.
Основная погрешность средства измерений (основная погрешность) - погрешность средства измерений, применяемого в нормальных условиях.
Дополнительная погрешность средства измерений (дополнительная погрешность) - составляющая погрешности средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений.
Статическая погрешность средства измерений (статическая погрешность) - погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную.
Динамическая погрешность средства измерений (динамическая погрешность) - погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины.
Абсолютная погрешность средства измерений (абсолютная погрешность) - погрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины
D = х изм - х д, (3.1)
где х изм - измеренное значение, х д - действительное значение измеряемой величины.
Абсолютное значение погрешности - значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности). Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности.
Относительная погрешность средства измерений (относительная погрешность) - погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к результату измерений или к действительному значению измеренной физической величины
. (3.2*)
Приведенная погрешность средства измерения (приведенная погрешность) - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, по-
стоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона
, (3.3)
где - нормирующее значение.Часто за нормирующее значение принимают верхний предел измерений.
Аддитивная погрешность (по лат. - получаемая путем сложения ) - погрешность, не зависящая от измеряемой величины. По закономерности проявления аддитивные погрешности могут быть случайными или систематическими.
Случайная аддитивная погрешность, например, вызываемая трением в опорах измерительного механизма, контактными сопротивлениями, дрейфом нуля и др., при изменении измеряемой величины принимать произвольное, но не зависящее от измеряемой величины значения. Её предельные значения образуют на характеристике полосу постоянной величины (рисунок 3.2,а). Точно такая же картина будет, если погрешность представляется как приведенная, поскольку знаменатель в выражении (3.3) не изменяется на протяжении всей шкалы независимо от значения измеряемой величины.
Примером систематической аддитивной погрешности является смещение нуля характеристики аналогового средства измерения (рисунок 3.2,б).
1 - фактическая характеристика, смещенная влево на длину О-О ¢ ; 2 - номинальная характеристика прибора; D с - значение систематической погрешности;
D 0 пр - предельное значение случайной погрешности
Рисунок 3.2 - Смещение характеристик аналогового измерительного прибора под влиянием аддитивных систематической (а) и случайной (б) погрешностей
Мультипликативная погрешность (по лат. - получаемая путем умножения ) - погрешность, величина которой изменяется прямо пропорционально измеряемой величине.
Пример - Источники мультипликативной погрешности - действие влияющих величин на параметры элементов и узлов СИ, например, изменение собственного сопротивления амперметра и встроенного в него шунта при изменении температуры окружающей среды.
В этом случае результат измерения определяется по формуле:
Поскольку при изменении температуры окружающей среды сопротивления и изменяются неодинаково, т.к. сделаны из разных материалов, погрешность измерения будет изменяться пропорционально соотношению этих сопротивлений.
Погрешность нелинейности имеет нелинейную зависимость от измеряемой величины. Чаще всего возникает как систематическая погрешность, связанная с линеаризацией номинальной статической характеристики.
Вариация имеет нелинейную зависимость от измеряемой величины, появляется вследствие гистерезисных явлений, вариации, проявляющейся при подходе к измеряемой точке со стороны меньших и больших значений; проявляется как систематическая погрешность (рисунок 3.3).
Рисунок 3.3 - Графическое представление вариации
Учёт всех нормируемых метрологических характеристик средств измерений является сложной и трудоёмкой процедурой. На практике такая точность не нужна. Поэтому для средств измерений, используемых в повседневной практике, принято деление на классы точности.
Класс точности средств измерений (класс точности) - обобщенная характеристика данного типа средств измерений, как правило, отражающая уровень их точности, выражаемая нормируемыми метрологическими характеристиками.
Класс точности дает возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность средства измерений одного типа, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого из этих средств. Это важно при выборе средств измерений в зависимости от заданной точности измерений. Класс точности средств измерений конкретного типа устанавливают в стандартах технических требований (условий) или в других нормативных документах.
Нормируемые метрологические характеристики типа средства измерений (нормируемые метрологические характеристики) - совокупность метрологических характеристик данного типа средств измерений, устанавливаемая нормативными документами на средства измерений
Требования к нормируемым метрологическим характеристикам устанавливаются в стандартах на средства измерений конкретного типа.
Например, для электроизмерительных приборов нормируют:
Пределы допускаемых погрешностей и соответствующие рабочие области влияющих величин;
Пределы допускаемых дополнительных погрешностей и соответствующие рабочие области влияющих величин;
Пределы допускаемой вариации показаний;
Невозвращение указателей к нулевой отметке.
Предел допускаемой погрешности средства измерений (предел допускаемой погрешности, предел погрешности) - наибольшее значение погрешности средств измерений, устанавливаемое нормативным документом для данного типа средств измерений, при котором оно еще признается годным к применению.
Должны быть округлены до чисел из ряда (3.6).
Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств. Классы точности присваиваются средствам измерений с учётом результатов государственных приёмочных испытаний.
Общие положения о делении средств измерений на классы точности и способы нормирования метрологических характеристик регламентированы ГОСТ 8.401—80. Однако этот стандарт не устанавливает классы точности средств измерения, для которых предусмотрены нормы отдельно для систематической и случайной составляющих погрешности, а также если необходимо учитывать динамические характеристики.
Если класс точности прибора установлен по пределу допускаемой относительной основной погрешности, т.е по значению погрешности чувствительности [см. формулу (3.7)] и форма полосы погрешности принята чисто мультипликативной, обозначаемое на шкале значение класса точности обводится кружком.
Пример - обозначает, что = 1,5 %.
Если же полоса погрешности принята аддитивной и прибор нормируется по пределу допускаемой приведенной основной погрешности [см. формулу (3.5)], т.е. по значению погрешности нуля (таких приборов большинство), то класс точности указывается на шкале без каких-либо подчеркиваний.
Пример - 1,5 обозначает, что = 1,5 %.
Если шкала прибора неравномерная (например, у омметров), предел допускаемой основной приведенной погрешности выражается формулой (3.5), а нормирующее значение принято равным длине шкалы или ее части, класс точности обозначается на шкале одним числом, помещенным между двумя линиями, расположенными под углом.
Пример - обозначает, что = 0,5 %.
Если средство измерений обладает как аддитивной, так и мультипликативной полосой погрешности, а пределы допускаемой относительной погрешности в процентах устанавливаются формулой (3.8), классы точности обозначают числами с и d (в процентах), разделяя их косой чертой.
Пример
- Если установлено, что для средства измерения 
, где с = 0,02; d = 0,01, то обозначение в документации будет «класс точности 0,02/0,01», а на приборе 0,02/0,01.
Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей по формуле (3.4), классы точности обозначают прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами. Чем дальше буква от начала алфавита, тем больше погрешность. Расшифровка соответствия букв значению абсолютной погрешности осуществляется в технической документации на средство измерения.
Для всех рассмотренных случаев вместе с условным обозначением класса точности на шкале, щитке или корпусе средств измерений наносится номер стандарта или технических условий, устанавливающих технические требования на эти средства измерений. Таким образом, обозначение класса точности средства измерений дает достаточно полную информацию для вычисления приближенной оценки погрешностей результатов измерений.
Примеры обозначения классов точности на шкалах приборов приведены на рисунке 3.4.
а - вольтметр класса точности 0,5 с равномерной шкалой;
б - амперметр класса точности 1,5 с равномерной шкалой; в - амперметр класса точности 0,02/0,01 с равномерной шкалой; г - мегаомметр класса точности 2,5 с неравномерной шкалой.
Рисунок 3.4 - Лицевые панели приборов
Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями:
Устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключающие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устранить систематические погрешности не путем обработки экспериментальных данных, а применением СИ, реализующих соответствующие методы измерений;
Определением поправок и внесением их в результат измерения;
Оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.
Постоянная систематическая погрешность не может быть найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не искажает ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности. Действительно, результат одного измерения
где х и - истинное значение измеряемой величины; D i - i-я случайная погрешность; q i - i-я систематическая погрешность.
После усреднения результатов многократных измерений получаем среднее арифметическое значение измеряемой величины
Если систематическая погрешность постоянна во всех измерениях, т.е.
Таким образом, постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях.
Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.
Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.
Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы:
Метод замещения, представляющий собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное решение задачи. Для его реализации необходимо иметь регулируемую меру, величина которой однородна измеряемой. Например, взвешивание по методу Борда , измерение сопротивления посредством моста постоянного тока и мер сопротивления .
Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Например, способ взвешивания Гаусса .
Пример 5.1. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста методом противопоставления.
Сначала измеряемое сопротивление R x уравновешивают известным сопротивлением R 1 , включенным в плечо сравнения моста. При этом R x = R 1 R 3 /R 4 , где R 3 , R 4 - сопротивления плеч моста. Затем резисторы R x и R 1 меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопротивление резистора R 1 . В этом случае R x = R¢ 1 R 3 /R 4 .
Из двух последних уравнений исключается отношение R 3 /R 4 . Тогда
Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками.
При выполнении одного измерения получаем ЭДС E 1 . Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание - получаем значение Е 2 . Если термоЭДС дает погрешность DЕ и Е 1 =Е Х + DЕ, то Е 2 = Е Х - DЕ. Отсюда Е х = (Е 1 + Е 2)/2. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термоЭДС, устранена.
Метод рандомизации - наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.
Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы.
Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков "-" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков "+" и "-" у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность.
Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.
Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет вид y = kx + y 0 , где х, у - входная и выходная величины преобразователя; k - коэффициент, погрешность которого изменяется во времени по линейному закону; у 0 - постоянная.
Для устранения систематической погрешности трижды измеряется выходная величина у через равные промежутки времени Dt. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подается сигнал х 0 от образцовой меры. В результате измерений получается система уравнений:
Ее решение позволяет получить значение х, свободное от переменной систематической погрешности, обусловленной изменением коэффициента k:
Специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др. Рассмотрим подробнее некоторые из них.
Способ последовательных разностей (критерий Аббе). Применяется для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами: обычным
и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (х i +1 - x i) 2
Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то s 2 [х] дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на s 2 [х] влияют вариации х. В то же время изменения центра группирования х весьма мало сказываются на значениях последовательных разностей d i = (х i +1 - x i), поэтому смещения х̅ почти не отразятся на значении Q 2 [x].
Отношение v = Q 2 [x]/s 2 [x] является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как P(v < v q) = q, где q = 1- Р - уровень значимости, Р - доверительная вероятность. Значения v q для различных уровней значимости q и числа наблюдений п приведены в табл. 5.1. Если полученное значение критерия Аббе меньше v при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.
Таблица 5.1
Значения критерия Аббе v q
| n | V q при q, равном | n | V q при q, равном | ||||
| 0.001 | 0.01 | 0,05 | 0,001 | 0.01 | 0,05 | ||
| 0,295 | 0,313 | 0,390 | 0,295 | 0,431 | 0,578 | ||
| 0.208 | 0,269 | 0,410 | 0,311 | 0,447 | 0,591 | ||
| 0,182 | 0,281 | 0,445 | 0.327 | 0.461 | 0,603 | ||
| 0,185 | О.ЗОТ | 0,468 | 0,341 | 0.474 | 0,614 | ||
| 0,202 | 0,331 | 0.491 | 0,355 | 0,487 | 0,624 | ||
| 0,221 | 0,354 | 0,512 | 0,368 | 0,499 | 0.633 | ||
| 0,241 | 0,376 | 0,531 | 0,381 | 0.510 | 0,642 | ||
| 0.260 | 0,396 | 0,548 | 0,393 | 0,520 | 0,650 | ||
| 0,278 | 0,414 | 0,564 |
Пример 5.3. Испольая способ последовательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблюдений, приведенных во втором столбце табл. 5.2.
Таблица 5.2
Результаты наблюдений
| n | x i | d i = x i+1 - x i | d 2 i | v i = x i - x̅ | v 2 i |
| 13,4 | - | - | -0,6 | 0,36 | |
| 13,3 | -0,1 | 0,01 | -0,7 | 0,49 | |
| 14,5 | +1,2 | 1,44 | +0,5 | 0,25 | |
| 13,8 | -0,7 | 0,49 | -0,2 | 0,04 | |
| 14,5 | +0,7 | 0,49 | +0,5 | 0,25 | |
| 14,6 | +0,1 | 0,01 | +0,6 | 0,36 | |
| 14,1 | -0,5 | 0,25 | +0,1 | 0,01 | |
| 14,3 | +0,2 | 0,04 | +0,3 | 0,09 | |
| 14,0 | +0,3 | 0,09 | 0,0 | 0,0 | |
| 14,3 | +0,3 | 0,09 | +0,3 | 0,09 | |
| 13,2 | -1,1 | 1,21 | -0,8 | 0,64 | |
| å 1154,0 | -0,2 | 4,12 | 0,0 | 2,58 |
Для приведенного ряда результатов вычисляем: среднее арифметическое х̅ = 154,0/11 = 14; оценку дисперсии s 2 [х] = 2,58/10 = 0,258; значение Q 2 [x] = 4,12/(2×10) = 0,206; критерий Аббе v = 0,206/0,258 = 0,8.
Как видно из табл. 5.1, для всех уровней значимости (q = 0,001; 0,01 и 0,05) при n = 11 имеем v > v q , т.е. подтверждается нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования. Следовательно, условия измерений для приведенного ряда оставались неизменными и систематических расхождений между результатами наблюдений нет.
Дисперсионный анализ (критерий Фишера). В практике измерений часто бывает необходимо выяснить наличие систематической погрешности результатов наблюдений, обусловленной влиянием какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое смещение результатов измерений. В данном случае проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа еерий, каждая из которых соответствует определенным (пусть неизвестным, но различным) значениям влияющего фактора. Влияющими факторами, по которым производится объединение результатов наблюдений по сериям, могут быть внешние условия (температура, давление и т.д.), временная последовательность проведения измерений и т.п.
После проведения N измерений их разбивают на s серий (s > 3) по n j результатов наблюдений (sn j = N) в каждой серии и затем устанавливают, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в различных сериях. При этом должно быть установлено, что результаты в сериях распределены нормально. Рассеяние результатов наблюдений в пределах каждой серии отражает только случайные влияния, характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии.
Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий результатов наблюдений, вычисленных раздельно для каждой серии, т.е.
где - результат i-го измерения в j-й серии.
Внутрисерийнаядисперсия s 2 вс характеризует случайные погрешности измерений, так как только случайные влияния обусловливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на которых она основана. В то же время рассеяние Xj различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Следовательно, усредненная межсерийная дисперсия
где 
, выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.
Таким образом, 
характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а 
- долю дисперсии, обусловленную межсерийными различиями результатов наблюдений.
Первую из них называют коэффициентом ошибки, вторую - показателем дифференциации. Чем больше отношение показателя дифференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее действие фактора ло которому группировались серии, и тем больше систематическое различие между ними.
Критерием оценки наличия систематических погрешностей в данном случае является дисперсионный критерий Фишера 
. Критическая область для критерия Фишера соответствует P(F > F q) = q.
Значения F q для различных уровней значимости q, числа измерений N и числа серий s приведены в приложении 1, где k 2 = N-s, k 1 = s - 1. Если полученное значение критерия Фишера больше F q (при заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии систематических смещений результатов наблюдений по сериям отвергается, т.е. обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты наблюдений.
Пример 5.4. Было сделано 38 измерений диаметра детали восемью различными штангенциркулями. Каждым из них проводились по пять измерений. Внутрисерийная дисперсия равна 0,054 мм 2 , межсерийная - 0,2052 мм 2 . Оп-ределить наличие систематической погрешности измерения диаметра детали.
Расчетное значение критерия Фишера F = 0,2052/0,054 = 3,8. Для s-1 =
7, N-s = 30 по табл. П1.3 приложения 1 имеем при q = 0,05 F 0,05 = 2,3 и при q = 0,01 F 0,01 = 3,3. Полученное значение F больше, чем 2,2 и 2,9. Следовательно, в результатах наблюдений обнаруживается наличие систематических погрешностей.
Из всех рассмотренных способов обнаружения систематических погрешностей дисперсионный анализ является наиболее эффективным и достоверным, так как позволяет не только установить факт наличия погрешности, но и дает возможность проанализировать источники ее возникновения.
Критерий Вилкоксона. Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то для обнаружения систематической погрешности применяют статистический критерий Вилкоксона.
Из двух групп результатов измерений х 1 , х 2 ,..., х n и у 1, у 2 ,..., у m , где n ³ m ³ 5, составляется вариационный ряд, в котором все n+m значений х 1 , х 2 ,..., х n ; у 1 , у 2 ,…у m располагают в порядке их возрастания и приписывают им ранги - порядковые номера членов вариационного ряда. Различие средних значений каждого из рядов можно считать допустимым, если выполняется неравенство
где R ; - ранг (номер) члена x i , равный его номеру в вариационном ряду; T q - и Т q + - нижнее и верхнее критические значения для выбранного уровня значимости q. При m < 15 эти критические значения определяются по табл. 5.3. При m >15 они рассчитываются по формулам:
где z p - квантиль нормированной функции Лапласа.
Таблица 5.3
Критические значения T q - и Т q + при q = 0,005 и 0,01
| n | m | q = 0,05 | q = 0,01 | ||
| T q - | Т q + | T q - | Т q + | ||
| 9 15 | |||||
Более полная таблица значений критических значений T q - и Т q + приведена в рекомендации МИ 2091-90 "ГСИ. Измерения физических величин. Общие требования".
Исключение систематических погрешностей путем введения поправок. В ряде случаев систематические погрешности могут быть вычислены и исключены из результата измерения. Для этого используются поправки. Поправка С j -величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения х i = х¢ i + q j + C j с целью исключения составляющих систематической погрешности q j . При C j = - q j j-я составляющая систематической погрешности полностью устраняется из результата измерения. Поправки определяются экспериментально или в результате специальных теоретических исследований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул. Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих в результат измерения приходится вводить множество поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок случайные погрешности результата измерения накапливаются и его дисперсия увеличивается. Так как поправка известна с определенной точностью, то она характеризуется статистически - средним значением поправки С и СКО S c . При исправлении результата х¢ j путем введения поправок C j , где j=l, 2,..., m, по формуле
дисперсия исправленного результата
где S 2 н - оценка дисперсии неисправленного результата; S cj 2 - оценка дисперсии j-й поправки. Как видно, с одной стороны, уточняется результат измерения, а с другой - увеличивается разброс за счет роста дисперсии. Следовательно, необходимо найти оптимум.
Пусть при измерении постоянной величины Q получено (рис.5.1) значение Q =х̅" ± t p S , где х̅"- оценка среднего арифметического неисправленного результата измерений; t p - коэффициент Стьюдента.
Рис.5.1. Устранение систематической погрешности путем
введения поправки
После введения поправки С ± t p S c результат измерения
где 
Максимальные доверительные значения погрешности результата измерения до и после введения поправки равны соответственно
Поправку имеет смысл вводить до тех пор, пока D 1 < D 2 . Отсюда следует, что
Если S C /S << 1, то, раскладывая уравнение в степенной ряд, получим С > 0,5 S 2 c / S 2 . Из этого неравенства видно, что если оценка среднего квадратического отклонения поправки S c ® 0, то поправку имеет смысл вводить всегда.
В практических расчетах погрешность результата обычно выражается не более чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц младшего разряда, следующего за последним десятичным разрядом погрешности результата, все равно будет потеряна при округлении и вводить ее не имеет смысла.
Пример 5.5. Напряжение источника ЭДС U x с внутренним сопротивлением rj = 60±10 Ом измерено вольтметром класса точности 0,5. Сопротивление вольтметра R v =5 кОм и известно с погрешностью ±0,5% . Показание вольтметра U v = 12,35 В. Найти поправку, которую нужно внести в показание прибора для определения действительного значения напряжения источника ЭДС.
Показания вольтметра соответствуют падению напряжения на нем:
Относительная систематическая методическая погрешность, обусловленная ограниченным значением сопротивления R v ,
Поправка равна абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком:
D c = 0,012×12,35 = 0,146 В. Погрешность полученного значения поправки определяется погрешностью, с которой известно сопротивление R i . Ее предельное значение составит 10/60 = 0,167. Погрешностью из-за неточности оценки R v , равной 0,005, можно пренебречь. Следовательно, погрешность определения поправки D = ±0,167×0,146 » 0,03 В.
Таким образом, поправка, которую необходимо ввести в показания вольтметра с учетом округления DU = + 0,15 В. Тогда исправленное значение
U¢ x = 12,35 + 0,15 = 12,50 В. Этот результат имеет определенную погрешность, в том числе неисключенный остаток систематической погрешности D = ± 0,03 В или d = ± 0,24% из-за потребления некоторой мощности вольтметром.
Контрольные вопросы
1. Что такое систематическая погрешность? Приведите примеры.
2. Дайте определение исправленного результата измерений.
3. Каким образом классифицируются систематические погрешности?
4. Назовите способы выявления постоянных систематических погрешностей.
5. Назовите способы выявления переменных систематических погрешностей.
6. В чем состоит суть критерия Аббе?
7. Что такое дисперсионный анализ и как он применяется для устранения систематических погрешностей?
8. Как обнаружить систематическую погрешность при помощи критерия Вилкоксона?
9. Каким образом оценивается целесообразность введения поправки для устранения систематической погрешности?
Природа и происхождение систематических погрешностей обычно обусловлены спецификой конкретного эксперимента. Поэтому обнаружение и исключение систематических погрешностей во многом зависит от мастерства экспериментатора, от того, насколько глубоко он изучил конкретные условия проведения измерений и особенности применяемых им средств и методов. Вместе с тем существуют некоторые общие причины возникновения систематических погрешностей, в соответствии с которыми их подразделяют на методические, инструментальные и субъективные.
Методические погрешности происходят от несовершенства метода измерения, использования упрощающих предположений и допущений при выводе применяемых формул, влияния измерительного прибора на объект измерения. Например, измерение температуры с помощью термопары может содержать методическую погрешность, вызванную нарушением температурного режима исследуемого объекта (вследствие внесения термопары).
Инструментальные погрешности зависят от погрешностей применяемых средств измерений. Неточность градуировки, конструктивные несовершенства, изменения характеристик прибора в процессе эксплуатации и т. д. являются причинами инструментальных погрешностей. Эта погрешность в свою очередь подразделяется на основную и дополнительную.
Основная погрешность средства измерений - это погрешность в условиях, принятых за нормальные, т. е. при нормальных значениях всех величин, влияющих на результат измерения (температуры, влажности, напряжения питания и т. п.).
Дополнительная погрешность средства измерений - погрешность, дополнительно возникающая при отличии значений влияющих величин от нормальных. Обычно различают отдельные составляющие дополнительной погрешности, например температурную погрешность, погрешность из-за изменения напряжения питания и т. п.
Все эти погрешности отличают от инструментальных (ГОСТ 8.009-84), поскольку они связаны не столько с самими средствами измерений, сколько с условиями, при которых они работают. Их устранение производится иными способами, нежели устранение инструментальных погрешностей.
Субъективные погрешности вызываются неправильными отсчетами показаний прибора человеком (оператором). Это может случиться, например, из-за неправильного направления взгляда при наблюдении за показаниями стрелочного прибора (погрешность от параллакса). Использование цифровых приборов и автоматических методов измерения позволяет исключить такого рода погрешности.
Обнаружение причин и источников систематических погрешностей позволяет принять меры к их устранению или исключению посредством введения поправки.
Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое нужно прибавить к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности.
В некоторых случаях используют поправочный множитель - число, на которое умножают результат измерения для исключения систематической погрешности.
Поправка или поправочный множитель определяется при помощи поверки технических средства, составления и использования соответствующих таблиц и графиков. Применяются также расчетные способы нахождения поправочных значений.
Существуют специальные методы организации измерений, устраняющие систематические погрешности. К ним относятся, например, метод замещения и метод компенсации погрешности по знаку. Метод замещения заключается в том, что измеряемая величина замещается известной величиной, получаемой при помощи регулируемой меры. Если такое замещение производится без каких-либо других изменений в экспериментальной установке и после замещения установлены те же показания приборов, то измеряемая величина равняется известной величине, значение которой отсчитывается по указателю регулируемой меры. Этот прием позволяет исключить постоянные систематические погрешности. Погрешность измерения при использовании метода замещения определяется погрешностью меры и погрешностью, возникающей при отсчете значения величины, замещающей неизвестную.
Метод компенсации погрешности по знаку применяется для исключения систематических погрешностей, которые в зависимости от условий измерения могут входить в результат измерения с тем или иным знаком (погрешность от термо-ЭДС, от влияния напряженности постоянного электрического или магнитного поля и др.). В этом случае можно провести измерения дважды так, чтобы погрешность входила в результаты измерений один раз с одним знаком, а другой раз - с обратным. Среднее значение из двух полученных результатов является окончательным результатом измерения, свободным от указанных выше систематических погрешностей.
При проведении автоматических измерений широко используются схемные методы коррекции систематических погрешностей. Компенсационное включение преобразователей, различные цепи температурной и частотной коррекции являются примерами их реализации.
Новые возможности появились в результате внедрения в измерительную технику средств, содержащих микропроцессорные системы. С помощью последних удается производить исключение или коррекцию многих видов систематических погрешностей. Особенно это относится к инструментальным погрешностям. Автоматическое введение поправок, связанных с неточностями градуировки, расчет и исключение дополнительных погрешностей, исключение погрешностей, обусловленных смещением нуля - это и другие корректировки позволяют существенно повысить точность измерений.
Следует, однако, заметить, что какая-то часть систематической погрешности, несмотря на все усилия, остается неисключенной. Эта часть входит в результат измерения и искажает его. Она может быть оценена исходя из сведений о метрологических характеристиках использованных технических средств. Если таких сведений недостаточно, то может быть полезным сравнение измеренных значений с аналогичными результатами, полученными в других лабораториях другими лицами.
Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Совершенствование методов измерения, использование высококачественных материалов, прогрессивная технология – все это позволяет на практике устранить систематические погрешности настолько, что при обработке результатов наблюдений с их наличием зачастую не приходится считаться.
Систематические погрешности принято классифицировать в зависимости от причин их возникновения и по характеру их проявления при измерениях. В зависимости от причин возникновения рассматриваются четыре вида систематических погрешностей.
Погрешности метода – теоретические погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятой теории метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений.
Погрешности метода возникают также при экстраполяции свойства, измеренного на ограниченной части некоторого объекта, на весь объект, если последний не обладает однородностью измеряемого свойства. При определении плотности вещества по измерениям массы и объема некоторой пробы возникает систематическая погрешность, если проба содержала некоторое количество примесей, а результат измерения принимается за характеристику данного вещества вообще.
К погрешностям метода следует отнести также те погрешности, которые возникают вследствие влияния измерительной аппаратуры на измеряемые свойства объекта. Подобные явления возникают, например, при измерении длин, когда измерительное усилие используемых приборов достаточно велико, при регистрации быстропротекающих процессов недостаточно быстро действующей аппаратуры, при измерениях температур жидкостными или газовыми термометрами и т. д.
Инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений. Среди инструментальных погрешностей в отдельную группу выделяются погрешности схемы, не связанные с неточностью изготовления средств измерения и обязанные своим происхождением самой структурной схеме средств измерений. Исследование инструментальных погрешностей является предметом специальной дисциплины – теории точности измерительныхустройств.
Погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, являющихся частью единого комплекса, несогласованностью их характеристик, влиянием внешних температурных, гравитационных, радиационных и других полей, нестабильностью источников питания, несогласованностью входных и выходных параметров электрических цепей приборов и т. д.
Личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя. Такого рода погрешности вызываются, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы, асимметрией, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками.
По характеру своего поведения в процессе измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.