Funzioni di variabile complessa.
Differenziazione di funzioni di variabile complessa.

Questo articolo apre una serie di lezioni in cui prenderò in considerazione problemi tipici legati alla teoria delle funzioni di variabile complessa. Per padroneggiare con successo gli esempi, devi avere una conoscenza di base dei numeri complessi. Per consolidare e ripetere il materiale è sufficiente visitare la pagina. Avrai anche bisogno delle competenze per trovarlo Derivate parziali del secondo ordine. Eccole, queste derivate parziali... anche adesso sono rimasto un po' sorpreso dalla frequenza con cui si verificano...

L'argomento che stiamo iniziando ad esaminare non presenta particolari difficoltà e nelle funzioni di variabile complessa, in linea di principio, tutto è chiaro e accessibile. La cosa principale è aderire alla regola di base, che ho derivato sperimentalmente. Continuare a leggere!

Concetto di funzione di variabile complessa

Per prima cosa, aggiorniamo le nostre conoscenze sulla funzione scolastica di una variabile:

Funzione a variabile singolaè una regola secondo la quale ogni valore della variabile indipendente (del dominio di definizione) corrisponde a uno e un solo valore della funzione. Naturalmente “x” e “y” sono numeri reali.

Nel caso complesso, la dipendenza funzionale è specificata in modo simile:

Funzione a valore singolo di variabile complessa- questa è la regola secondo la quale tutti completo il valore della variabile indipendente (del dominio di definizione) corrisponde a uno e uno solo completo valore della funzione. La teoria considera anche funzioni multivalore e alcuni altri tipi di funzioni, ma per semplicità mi concentrerò su una definizione.

Qual è la differenza tra una funzione di variabile complessa?

La differenza principale: i numeri complessi. Non sono ironico. Domande del genere spesso lasciano le persone in uno stato di torpore; alla fine dell’articolo vi racconterò una storia divertente. Alla lezione Numeri complessi per i manichini abbiamo considerato un numero complesso nella forma . Da ora la lettera “z” è diventata variabile, allora lo denoteremo come segue: , mentre “x” e “y” possono assumere significati diversi valido significati. In parole povere, la funzione di una variabile complessa dipende dalle variabili e , che assumono valori “ordinari”. Da questo fatto segue logicamente il seguente punto:

La funzione di una variabile complessa può essere scritta come:
, dove e sono due funzioni di due valido variabili.

La funzione viene chiamata parte reale funzioni
La funzione viene chiamata parte immaginaria funzioni

Cioè, la funzione di una variabile complessa dipende da due funzioni reali e . Per chiarire finalmente il tutto, vediamo degli esempi pratici:

Esempio 1

Soluzione: La variabile indipendente “zet”, come ricorderete, si scrive nella forma, quindi:

(1) Abbiamo sostituito .

(2) Per il primo termine è stata utilizzata la formula di moltiplicazione abbreviata. Nel termine le parentesi sono state aperte.

(3) Accuratamente squadrato, senza dimenticarlo

(4) Riorganizzazione dei termini: prima riscriviamo i termini , in cui non esiste alcuna unità immaginaria(primo gruppo), poi i termini dove sono presenti (secondo gruppo). Va notato che non è necessario mescolare i termini e questo passaggio può essere saltato (facendolo effettivamente oralmente).

(5) Per il secondo gruppo lo togliamo tra parentesi.

Di conseguenza, la nostra funzione si è rivelata rappresentata nel modulo

Risposta:
– parte reale della funzione.
– parte immaginaria della funzione.

Che tipo di funzioni si sono rivelate? Le funzioni più ordinarie di due variabili da cui puoi trovare così popolare derivate parziali. Senza pietà, lo troveremo. Ma un po' più tardi.

In breve, l'algoritmo per il problema risolto può essere scritto come segue: sostituiamo , nella funzione originale, effettuiamo semplificazioni e dividiamo tutti i termini in due gruppi - senza un'unità immaginaria (parte reale) e con un'unità immaginaria (parte immaginaria) .

Esempio 2

Trova la parte reale e immaginaria della funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Prima di precipitarti in battaglia sul piano complesso con le tue pedine pescate, lascia che ti dia il massimo consiglio importante su questo argomento:

STAI ATTENTO! Ovviamente devi stare attento ovunque, ma nei numeri complessi dovresti stare più attento che mai! Ricordatevi che, aprendo con attenzione le staffe, non perdete nulla. Secondo le mie osservazioni, l'errore più comune è la perdita di un segno. Non affrettarti!

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Ora il cubo. Usando la formula di moltiplicazione abbreviata, ricaviamo:
.

Le formule sono molto comode da usare nella pratica, poiché accelerano notevolmente il processo di soluzione.

Differenziazione di funzioni di variabile complessa.

Ho due notizie: una buona e una cattiva. Inizierò con quello buono. Per una funzione di variabile complessa valgono le regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari. Pertanto, la derivata viene calcolata esattamente come nel caso di una funzione di variabile reale.

La cattiva notizia è che per molte funzioni variabili complesse non esiste alcuna derivata e bisogna scoprirla è differenziabile una funzione o l'altra. E “capire” come si sente il tuo cuore è associato a ulteriori problemi.

Consideriamo la funzione di una variabile complessa. Affinché questa funzione sia differenziabile è necessario e sufficiente:

1) Quindi esistono derivate parziali del primo ordine. Dimentica subito queste notazioni, poiché nella teoria delle funzioni di una variabile complessa viene tradizionalmente utilizzata una notazione diversa: .

2) Per effettuare il cosiddetto Condizioni di Cauchy-Riemann:

Solo in questo caso esisterà la derivata!

Esempio 3

Soluzione si articola in tre fasi successive:

1) Troviamo le parti reale e immaginaria della funzione. Questa attività è stata discussa negli esempi precedenti, quindi la scriverò senza commenti:

Da allora:

Così:

– parte immaginaria della funzione.

Vorrei toccare un altro punto tecnico: in quale ordine scrivere i termini nelle parti reale e immaginaria? Sì, in linea di principio, non importa. Ad esempio, la parte reale può essere scritta in questo modo: , e quello immaginario – così: .

2) Verifichiamo l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann. Ce ne sono due.

Iniziamo verificando le condizioni. Noi troviamo derivate parziali:

Pertanto la condizione è soddisfatta.

Naturalmente, la buona notizia è che le derivate parziali sono quasi sempre molto semplici.

Verifichiamo il soddisfacimento della seconda condizione:

Il risultato è lo stesso, ma con segni opposti, cioè anche la condizione è soddisfatta.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, quindi la funzione è differenziabile.

3) Troviamo la derivata della funzione. Anche la derivata è molto semplice e si trova secondo le consuete regole:

L'unità immaginaria è considerata una costante durante la differenziazione.

Risposta: – parte reale, – parte immaginaria.
Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, .

Esistono altri due modi per trovare la derivata, ovviamente vengono utilizzati meno frequentemente, ma le informazioni saranno utili per comprendere la seconda lezione: Come trovare una funzione di una variabile complessa?

La derivata può essere trovata utilizzando la formula:

In questo caso:

Così

Dobbiamo risolvere il problema inverso: nell'espressione risultante dobbiamo isolare . Per fare ciò è necessario nei termini e fuori parentesi:

L'azione inversa, come molti hanno notato, è un po' più difficile da eseguire; per verificare, è sempre meglio riprendere l'espressione su una bozza o riaprire oralmente le parentesi, assicurandosi che il risultato sia esattamente

Formula speculare per trovare la derivata:

In questo caso: , Ecco perché:

Esempio 4

Determinare la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann. Se le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, trova la derivata della funzione.

Una breve soluzione e un esempio approssimativo del progetto finale alla fine della lezione.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono sempre soddisfatte? In teoria, non si realizzano più spesso di quanto lo siano. Ma negli esempi pratici, non ricordo un caso in cui non sono stati soddisfatti =) Quindi, se le tue derivate parziali "non convergono", allora con una probabilità molto alta puoi dire che hai commesso un errore da qualche parte.

Complichiamo le nostre funzioni:

Esempio 5

Determinare la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann. Calcolare

Soluzione: L'algoritmo risolutivo è completamente conservato, ma alla fine verrà aggiunto un nuovo punto: trovare la derivata in un punto. Per il cubo è già stata derivata la formula richiesta:

Definiamo le parti reale e immaginaria di questa funzione:

Attenzione e ancora attenzione!

Da allora:


Così:
– parte reale della funzione;
– parte immaginaria della funzione.

Verifica della seconda condizione:

Il risultato è lo stesso, ma con segni opposti, cioè anche la condizione è soddisfatta.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, quindi la funzione è differenziabile:

Calcoliamo il valore della derivata nel punto richiesto:

Risposta:, , le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte,

Le funzioni con i cubi sono comuni, quindi ecco un esempio da rinforzare:

Esempio 6

Determinare la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann. Calcolare.

Soluzione ed esempio di finitura alla fine della lezione.

In teoria analisi esaustiva Vengono definite anche altre funzioni di un argomento complesso: esponente, seno, coseno, ecc. Queste funzioni hanno proprietà insolite e persino bizzarre - e questo è davvero interessante! Voglio davvero dirtelo, ma qui, guarda caso, non è un libro di consultazione o un libro di testo, ma un libro di soluzioni, quindi considererò lo stesso problema con alcune funzioni comuni.

Innanzitutto sul cosiddetto Le formule di Eulero:

Per chiunque valido numeri, valgono le seguenti formule:

Puoi anche copiarlo sul tuo quaderno come materiale di riferimento.

A rigor di termini, esiste una sola formula, ma di solito per comodità scrivono anche un caso speciale con un segno meno nell'esponente. Il parametro non deve essere una sola lettera; può essere un'espressione o una funzione complessa, l'importante è solo che accettino solo valido significati. In realtà, lo vedremo proprio ora:

Esempio 7

Trova la derivata.

Soluzione: La linea generale del partito rimane incrollabile: è necessario distinguere la parte reale da quella immaginaria della funzione. Fornirò una soluzione dettagliata e commenterò ogni passaggio di seguito:

Da allora:

(1) Sostituire invece “z”.

(2) Dopo la sostituzione, è necessario selezionare la parte reale e quella immaginaria prima nell'indicatore espositori. Per fare ciò, aprire le parentesi.

(3) Raggruppiamo la parte immaginaria dell'indicatore, ponendo l'unità immaginaria tra parentesi.

(4) Utilizziamo l'azione scolastica con i titoli di studio.

(5) Per il moltiplicatore utilizziamo la formula di Eulero, e .

(6) Aprire le parentesi, ottenendo:

– parte reale della funzione;
– parte immaginaria della funzione.

Ulteriori azioni sono standard; controlliamo l’adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann:

Esempio 9

Determinare la parte reale e quella immaginaria di una funzione . Verificare l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann. Così sia, non troveremo la derivata.

Soluzione: L'algoritmo di soluzione è molto simile ai due esempi precedenti, ma ce ne sono molti punti importanti, Ecco perché Primo stadio Commenterò di nuovo passo dopo passo:

Da allora:

1) Sostituisci invece "z".

(2) Per prima cosa selezioniamo la parte reale e quella immaginaria all'interno del seno. Per questi scopi, apriamo le parentesi.

(3) Usiamo la formula, e .

(4) Utilizzo parità del coseno iperbolico: E stranezza del seno iperbolico: . Le iperboliche, sebbene fuori dal mondo, ricordano per molti versi funzioni trigonometriche simili.

Infine:
– parte reale della funzione;
– parte immaginaria della funzione.

Attenzione! Il segno meno si riferisce alla parte immaginaria, e in nessun caso dovremmo perderla! Per una chiara illustrazione, il risultato ottenuto sopra può essere riscritto come segue:

Verifichiamo l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann:

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Risposta:, , le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Signore e signori, scopriamolo da soli:

Esempio 10

Determinare la parte reale e quella immaginaria della funzione. Verificare l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Ho scelto deliberatamente esempi più difficili, perché tutti sembrano essere in grado di far fronte a qualcosa, come le arachidi sgusciate. Allo stesso tempo, allenerai la tua attenzione! Schiaccianoci alla fine della lezione.

Bene, in conclusione, ne prenderò in considerazione un altro esempio interessante, quando l'argomento complesso è al denominatore. È successo un paio di volte nella pratica, diamo un’occhiata a qualcosa di semplice. Eh, sto invecchiando...

Esempio 11

Determinare la parte reale e quella immaginaria della funzione. Verificare l'adempimento delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Soluzione: Anche in questo caso è necessario distinguere la parte reale da quella immaginaria della funzione.
Se poi

Sorge la domanda: cosa fare quando "Z" è al denominatore?

Tutto è semplice: quello standard aiuterà metodo di moltiplicazione del numeratore e del denominatore per l'espressione coniugata, è già stato utilizzato negli esempi della lezione Numeri complessi per i manichini. Ricordiamo la formula scolastica. Abbiamo già nel denominatore, il che significa che l'espressione coniugata sarà . Pertanto, è necessario moltiplicare numeratore e denominatore per: