Il modello stocastico descrive la situazione in cui vi è incertezza. In altre parole, il processo è caratterizzato da un certo grado di casualità. Lo stesso aggettivo "stocastico" deriva dalla parola greca "indovinare". Poiché l'incertezza è una caratteristica chiave della vita quotidiana, un tale modello può descrivere qualsiasi cosa.
Tuttavia, ogni volta che lo applichiamo, il risultato sarà diverso. Pertanto, i modelli deterministici sono più spesso utilizzati. Sebbene non siano il più vicino possibile allo stato reale delle cose, danno sempre lo stesso risultato e facilitano la comprensione della situazione, la semplificano introducendo una serie di equazioni matematiche.
Caratteristiche principali
Un modello stocastico include sempre una o più variabili casuali. Cerca di riflettere la vita reale in tutte le sue manifestazioni. A differenza dello stocastico, non mira a semplificare tutto e ridurlo a valori noti. Pertanto, l'incertezza è la sua caratteristica chiave. I modelli stocastici sono adatti a descrivere qualsiasi cosa, ma hanno tutti le seguenti caratteristiche comuni:
- Qualsiasi modello stocastico riflette tutti gli aspetti del problema per cui è stato creato.
- L'esito di ciascuno dei fenomeni è incerto. Pertanto, il modello include le probabilità. La correttezza dei risultati complessivi dipende dall'accuratezza del loro calcolo.
- Queste probabilità possono essere utilizzate per prevedere o descrivere i processi stessi.
Modelli deterministici e stocastici
Per alcuni, la vita sembra essere una successione per altri - processi in cui la causa determina l'effetto. Infatti, è caratterizzato dall'incertezza, ma non sempre e non in tutto. Pertanto, a volte è difficile trovare chiare differenze tra modelli stocastici e deterministici. Le probabilità sono abbastanza soggettive.
Ad esempio, considera una situazione di lancio di una moneta. A prima vista, sembra che ci sia una probabilità del 50% di ottenere croce. Pertanto, è necessario utilizzare un modello deterministico. Tuttavia, in realtà, si scopre che molto dipende dalla destrezza delle mani dei giocatori e dalla perfezione del bilanciamento della moneta. Ciò significa che deve essere utilizzato un modello stocastico. Ci sono sempre parametri che non conosciamo. Nella vita reale, la causa determina sempre l'effetto, ma c'è anche un certo grado di incertezza. La scelta tra l'utilizzo di modelli deterministici e stocastici dipende da ciò a cui siamo disposti a rinunciare: semplicità di analisi o realismo.
Nella teoria del caos
Recentemente, il concetto di quale modello sia chiamato stocastico è diventato ancora più sfocato. Ciò è dovuto allo sviluppo della cosiddetta teoria del caos. Descrive modelli deterministici che possono dare risultati diversi con un leggero cambiamento nei parametri iniziali. Questa è come un'introduzione al calcolo dell'incertezza. Molti scienziati hanno persino ammesso che questo è già un modello stocastico.
Lothar Breuer ha spiegato tutto con eleganza con l'aiuto di immagini poetiche. Ha scritto: “Un ruscello di montagna, un cuore che batte, un'epidemia di vaiolo, una colonna di fumo che si alza: tutto questo è un esempio di un fenomeno dinamico, che, a quanto pare, a volte è caratterizzato dal caso. In realtà, tali processi sono sempre soggetti a un certo ordine, che scienziati e ingegneri stanno appena iniziando a capire. Questo è il cosiddetto caos deterministico”. La nuova teoria sembra molto plausibile, motivo per cui molti scienziati moderni sono i suoi sostenitori. Tuttavia, rimane ancora poco sviluppato ed è piuttosto difficile applicarlo nei calcoli statistici. Pertanto, vengono spesso utilizzati modelli stocastici o deterministici.
Edificio
Stocastico inizia con la scelta dello spazio dei risultati elementari. Quindi nelle statistiche chiamano l'elenco dei possibili risultati del processo o dell'evento studiato. Il ricercatore determina quindi la probabilità di ciascuno dei risultati elementari. Di solito questo viene fatto sulla base di una certa tecnica.
Tuttavia, le probabilità sono ancora un parametro abbastanza soggettivo. Il ricercatore determina quindi quali eventi sono più interessanti per risolvere il problema. Dopodiché, determina semplicemente la loro probabilità.
Esempio
Considera il processo di costruzione del modello stocastico più semplice. Supponiamo di tirare un dado. Se "sei" o "uno" cadono, la nostra vincita sarà di dieci dollari. Il processo di costruzione di un modello stocastico in questo caso sarà simile al seguente:
- Definiamo lo spazio dei risultati elementari. Il dado ha sei lati, quindi uno, due, tre, quattro, cinque e sei possono uscire.
- La probabilità di ciascuno dei risultati sarà pari a 1/6, indipendentemente da quanto tiriamo il dado.
- Ora dobbiamo determinare i risultati che ci interessano. Questa è la perdita di una faccia con il numero "sei" o "uno".
- Infine, possiamo determinare la probabilità dell'evento di nostro interesse. È 1/3. Riassumiamo le probabilità di entrambi gli eventi elementari che ci interessano: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Concetto e risultato
La simulazione stocastica è spesso usata nel gioco d'azzardo. Ma è indispensabile anche nelle previsioni economiche, in quanto permette di comprendere la situazione più in profondità rispetto a quelle deterministiche. I modelli stocastici in economia sono spesso usati per prendere decisioni di investimento. Consentono di fare ipotesi sulla redditività degli investimenti in determinate attività o nei loro gruppi.
La modellazione rende la pianificazione finanziaria più efficiente. Con il suo aiuto, investitori e trader ottimizzano la distribuzione dei loro asset. L'uso della modellazione stocastica ha sempre dei vantaggi a lungo termine. In alcuni settori, il rifiuto o l'impossibilità di applicarlo può persino portare al fallimento dell'impresa. Ciò è dovuto al fatto che nella vita reale compaiono quotidianamente nuovi parametri importanti e, in caso contrario, possono avere conseguenze disastrose.
Equazione differenziale stocastica(SDE) - un'equazione differenziale in cui uno o più termini sono di natura stocastica, cioè rappresentano un processo stocastico (un altro nome è un processo casuale). Pertanto, anche le soluzioni dell'equazione risultano essere processi stocastici. L'esempio più famoso e utilizzato di frequente di un SDE è un'equazione con un termine che descrive il rumore bianco (che può essere considerato un esempio di un derivato di un processo di Wiener). Tuttavia, esistono altri tipi di fluttuazioni casuali, come un processo di salto.
Storia
In letteratura, il primo utilizzo dell'SDE è tradizionalmente associato al lavoro sulla descrizione del moto browniano, svolto indipendentemente da Marian Smoluchowski (g.) e Albert Einstein (g.). Tuttavia, gli SDE sono stati usati poco prima ( d.) dal matematico francese Louis Bouchelier nella sua tesi di dottorato "Teoria delle ipotesi". Sulla base delle idee di questo lavoro, il fisico francese Paul Langevin iniziò ad applicare l'SDE nel suo lavoro sulla fisica. Successivamente, lui e il fisico russo Ruslan Stratonovich hanno sviluppato una giustificazione matematica più rigorosa per l'SDE.
Terminologia
In fisica, gli SDE sono tradizionalmente scritti nella forma dell'equazione di Langevin. E spesso, non del tutto accuratamente, chiamava la stessa equazione di Langevin, sebbene l'SDE possa essere scritto in molti altri modi. L'SDE nella forma dell'equazione di Langevin è costituita da un'equazione differenziale ordinaria non stocastica e da una parte aggiuntiva che descrive il rumore bianco. La seconda forma comune è l'equazione di Fokker-Planck, che è un'equazione alle derivate parziali e descrive l'evoluzione della densità di probabilità nel tempo. La terza forma dell'SDE è più comunemente usata in matematica e matematica finanziaria, assomiglia alle equazioni di Langevin ma è scritta usando differenziali stocastici (vedi dettagli sotto).
Calcolo stocastico
Permettere T > 0 (\displaystyle T>0), lasciarlo andare
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Quindi l'equazione differenziale stocastica per date condizioni iniziali
d X t = μ (X t, t) d t + σ (X t, t) d B t (\ displaystyle \ mathrm (d) X_ (t) = \ mu (X_ (t), t) \, \ mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t)) Per t ∈ [ 0 , T ] ; (\ displaystyle t \ in;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)ha un unico (nel senso di "quasi probabilmente") e t (\displaystyle t)-soluzione continua (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), tale che X (\displaystyle X)- processo adattato per la filtrazione F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z)), generato Z (\displaystyle Z) E B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t), E
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Applicazione di equazioni stocastiche
Fisica
In fisica, gli SDE sono spesso scritti nella forma dell'equazione di Langevin. Ad esempio, un sistema SDE del primo ordine può essere scritto come:
X ˙ io = d X io d t = f io (x) + ∑ m = 1 n g io m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( T))Dove x = ( x io | 1 ≤ io ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- un insieme di incognite, f io (\ displaystyle f_ (i)) e sono funzioni arbitrarie, e η m (\ displaystyle \ eta _ (m)) sono funzioni casuali del tempo, che sono spesso chiamate termini di rumore. Questa notazione viene utilizzata perché esiste una tecnica standard per convertire un'equazione con derivate superiori in un sistema di equazioni del primo ordine introducendo nuove incognite. Se g io (\ displaystyle g_ (i)) sono costanti, diciamo che il sistema è soggetto a rumore additivo. Consideriamo anche i sistemi con rumore moltiplicativo quando g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). Dei due casi considerati, il rumore additivo è il più semplice. La soluzione a un sistema con rumore additivo può spesso essere trovata utilizzando solo i metodi del calcolo standard. In particolare, può essere utilizzato il solito metodo di composizione di funzioni sconosciute. Tuttavia, nel caso del rumore moltiplicativo, l'equazione di Langevin è mal definita nel senso dell'analisi matematica ordinaria e deve essere interpretata in termini del calcolo di Itô o del calcolo di Stratonovich.
In fisica, il metodo principale per risolvere gli SDE è trovare una soluzione sotto forma di densità di probabilità e trasformare l'equazione originale nell'equazione di Fokker-Planck. L'equazione di Fokker-Planck è un'equazione alle derivate parziali senza termini stocastici. Determina l'evoluzione nel tempo della densità di probabilità, proprio come l'equazione di Schrödinger determina la dipendenza dal tempo della funzione d'onda di un sistema nella meccanica quantistica, o l'equazione della diffusione determina l'evoluzione nel tempo della concentrazione chimica. Le soluzioni possono anche essere ricercate numericamente, ad esempio utilizzando il metodo Monte Carlo. Altre tecniche per trovare soluzioni utilizzano l'integrale di percorso, questa tecnica si basa sull'analogia tra fisica statistica e meccanica quantistica (ad esempio, l'equazione di Fokker-Planck può essere trasformata nell'equazione di Schrödinger utilizzando alcune trasformazioni di variabili), o la soluzione di equazioni differenziali ordinarie per i momenti di densità di probabilità.
Collegamenti
- Mondo stocastico - una semplice introduzione alle equazioni differenziali stocastiche
Letteratura
- Adomiano, Giorgio. Sistemi stocastici (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Matematica in Scienze e Ingegneria (169)).
- Adomiano, Giorgio. Equazioni di operatori stocastici non lineari (neopr.) . -Orlando, Florida: Academic Press Inc., 1986.
- Adomiano, Giorgio. Teoria dei sistemi stocastici non lineari e applicazioni alla fisica. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (Matematica e sue applicazioni (46)). (Inglese)
Una caratteristica essenziale dei processi socio-economici è l'impossibilità di prevedere in modo univoco il loro corso sulla base delle informazioni a priori disponibili. Nonostante il fatto che i processi socio-economici siano soggetti a determinate leggi oggettive, in ogni processo specifico queste leggi si manifestano attraverso molte incertezze.
Il modello matematico del processo può contenere parametri e relazioni deterministici o stocastici, ma non può (almeno allo stato attuale della scienza) contenere incertezze.
La scelta di un approccio deterministico o stocastico alla modellazione di un particolare processo socio-economico dipende dagli obiettivi della modellazione, dalla possibile accuratezza della determinazione dei dati iniziali, dall'accuratezza richiesta dei risultati e riflette le informazioni del ricercatore sulla natura della causa relazioni -ed-effetto del processo reale. Allo stesso tempo, i fattori incerti che possono verificarsi nei processi reali dovrebbero essere approssimativamente rappresentati come deterministici o stocastici. La natura dei parametri inclusi nel modello si riferisce a quelle assunzioni iniziali che possono essere giustificate solo empiricamente. L'ipotesi corrispondente sulla natura deterministica o stocastica dei parametri e delle relazioni del modello è accettata se non contraddice i dati sperimentali nell'ambito della richiesta o possibile accuratezza della determinazione di tali parametri.
La maggior parte dei modelli moderni dei processi socio-economici si basa su costruzioni probabilistiche. A questo proposito, è opportuno considerare la questione delle assunzioni iniziali dell'applicabilità di tali strutture alla modellazione.
La teoria della probabilità studia modelli matematici di esperimenti (fenomeni reali), il cui esito non è determinato in modo completamente inequivocabile dalle condizioni dell'esperimento. Pertanto, l'ambiguità dei processi socio-economici è spesso decisiva nella scelta di un approccio stocastico (probabilistico) alla loro modellazione. Allo stesso tempo, non sempre si tiene conto del fatto che l'apparato della teoria della probabilità è applicabile per descrivere e studiare nessun esperimento con esiti incerti , ma solo esperimenti i cui risultati sono statisticamente stabili. Pertanto, la questione più importante della fondatezza empirica dell'applicabilità dei metodi probabilistici alle caratteristiche specifiche dei processi socio-economici in esame è talvolta completamente nascosta.
L'applicabilità dei metodi della teoria della probabilità allo studio di determinati processi può essere sostanziata solo empiricamente sulla base di un'analisi della stabilità statistica delle caratteristiche di tali processi.
La stabilità statistica è la stabilità della media empirica, la frequenza di un evento o qualsiasi altra caratteristica del protocollo di misurazione del parametro studiato di un particolare processo.
Tuttavia, va notato che la questione della stabilità statistica del reale processo socio-economico nel suo complesso, e, di conseguenza, dell'applicabilità dei concetti probabilistici alla sua modellazione, può attualmente essere risolta solo a livello intuitivo. Ciò è oggettivamente dovuto alla mancanza di un numero sufficiente di esperimenti riguardanti il processo nel suo complesso. Allo stesso tempo, la maggior parte dei processi "elementari" che compongono questo o quel processo socio-economico sono di natura casuale (vale a dire, l'ipotesi della loro stabilità statistica non contraddice l'esperienza esistente). Così, ad esempio, il fatto di acquistare l'una o l'altra quantità di un determinato prodotto per un determinato periodo di tempo è molto spesso un evento casuale. Il numero di bambini nati è casuale. I processi di consumo sono di natura casuale. Casuali sono i guasti delle attrezzature, il morale delle persone coinvolte nella produzione di beni e servizi, ecc. La casualità di questi fenomeni è stata confermata empiricamente da un numero piuttosto elevato di esperimenti.
Tutti questi processi casuali "elementari" interagiscono tra loro, unendosi in un unico processo socio-economico. Nonostante il fatto che la gestione nella sfera socio-economica miri a ridurre l'elemento del caso e conferire a questo processo un carattere deterministico intenzionale, i processi reali sono così complessi che non importa quanto sia alto il grado di centralizzazione della gestione, i fattori casuali sono sempre presenti in essi. Pertanto, la natura dei processi socio-economici rimane casuale in senso lato. Questo serve come base per l'uso di modelli stocastici nel loro studio, sebbene la completa stabilità stocastica di un particolare processo nel suo insieme difficilmente possa essere pienamente garantita.
Attualmente, ci sono due approcci principali alla modellazione stocastica dei processi socio-economici (Fig. 4.8). La prima direzione è legata alla costruzione di modelli stocastici basati sul metodo dei test statistici (Monte Carlo). La seconda direzione è costruire modelli analitici. Entrambe queste aree si stanno sviluppando in parallelo e si completano a vicenda.
La caratteristica principale dei modelli basati sul metodo dei test statistici è che riproducono approssimativamente il processo socio-economico basato sull'imitazione delle sue componenti elementari e delle loro relazioni. Ciò consente processi di modellazione di una struttura molto complessa, che dipendono da un gran numero di fattori diversi. Tuttavia, i modelli di test statistici tendono ad essere ingombranti. Il loro utilizzo richiede una grande quantità di memoria del computer ed è associato a grandi spese di tempo del computer. Uno svantaggio significativo di questi modelli è anche la mancanza di metodi di ottimizzazione costruttiva.
Alcune delle carenze dei modelli statistici di simulazione dei processi socio-economici sono superate dall'uso di modelli analitici.
Riso. 4.8. Modellazione stocastica dei processi socio-economici
Attualmente, vengono utilizzati due approcci principali per costruire modelli analitici di processi stocastici: microscopico e macroscopico.
L'approccio microscopico consiste in uno studio dettagliato del comportamento di ciascun elemento del sistema socio-economico.
I modelli macroscopici studiano solo le macroproprietà del sistema e tengono conto solo delle caratteristiche medie dello stato del sistema, ad esempio il numero medio di elementi del sistema che si trovano in uno stato particolare. Ciò porta alla perdita di informazioni sullo stato di ogni elemento del sistema socio-economico, poiché gli stessi macro-stati possono essere il risultato di diverse combinazioni di micro-stati. Allo stesso tempo, l'approccio macroscopico consente di ridurre la dimensione del modello matematico, renderlo più visibile e ridurre il costo delle risorse informatiche nel corso dei calcoli. L'approccio microscopico è preferito quando sono richieste informazioni più dettagliate sul comportamento del sistema. L'approccio macroscopico viene utilizzato per calcoli di stima abbastanza veloci.
Una caratteristica distintiva del modello deterministico è che, dati i parametri e le condizioni iniziali, il processo è completamente determinato per ogni tempo t > 0.
Con un'interpretazione stocastica, il modello descrive la dinamica delle caratteristiche probabilistiche (ad esempio, le aspettative matematiche) del processo e, quindi, caratterizza mediamente il processo, presentando solo stime per ogni specifica implementazione. I modelli stocastici dei processi socio-economici consentono di prevedere solo i risultati medi (momenti della distribuzione dei risultati del processo) o la probabilità di determinati risultati.
Quando si creano modelli di operazioni e processi tecnologici, è necessario affrontare tali casi in cui il fenomeno modellato non può essere descritto sotto forma di relazioni funzionali deterministiche. La ragione di ciò può essere sia la forte influenza di varie perturbazioni casuali sia la natura fondamentalmente casuale del fenomeno stesso, cioè, il fenomeno che ci interessa non è distorto da interferenze, ma è causato dall'azione combinata di vari fattori casuali.
L'evento casuale più tipico è il guasto delle apparecchiature e degli elementi di automazione durante il loro normale funzionamento.
zioni. Da un lato, l'esperienza dimostra che prima o poi, con
La maggior parte delle parti o dei componenti elettronici si guasta più o meno intensamente e, d'altra parte, è assolutamente impossibile prevedere esattamente il momento in cui si verificherà un guasto.
Ovviamente si può parlare solo della probabilità che uno o più guasti si verifichino in un certo intervallo di tempo, oppure
o che il tempo di attività (il numero di guasti è pari a zero) non lo è
supera un certo valore.
Analoga formulazione della domanda vale per gli errori di misura del parametro. A causa di un numero casuale
fattori, è impossibile prevedere quale sarà l'errore quando
una misura particolare, anche se è chiaro che non può essere maggiore di un certo valore e che esiste il concetto di errore medio su un insieme finito di misure. Il casuale può anche essere rappresentato dalla deviazione dei parametri dei pezzi grezzi e persino delle parti finite da quelli normativi. Allo stesso tempo, per i prodotti buoni, queste deviazioni rientrano nelle tolleranze, per i prodotti difettosi superano la tolleranza.
Nei casi considerati, soprattutto quando vari fattori casuali interagiscono e si influenzano reciprocamente, il comportamento del parametro di nostro interesse e il suo valore non possono essere rappresentati in funzione dell'interazione dei valori medi dei fattori che lo determinano. Il risultato finale dovrebbe essere ottenuto sotto forma di una variabile casuale come risultato dell'interazione di fattori casuali in ripetute implementazioni del processo. Solo dopo l'elaborazione statistica dei risultati ottenuti si può parlare di una stima del valor medio e dello spread. Tale modello di processo, a differenza di quello deterministico, è chiamato stocastico (casuale).
I modelli stocastici riflettono anche i modelli oggettivi inerenti a questo processo, ma la loro rappresentazione in
la forma delle funzioni deterministiche è impossibile o impraticabile
figurativamente in questa fase. Per la loro rappresentazione si utilizza l'apparato delle funzioni aleatorie, quando fenomeni e processi aleatori sono caratterizzati da variabili aleatorie che obbediscono a leggi probabilistiche.
Risultati statisticamente stabili (affidabili) della modellazione di fenomeni e processi casuali possono essere ottenuti solo per un numero sufficientemente elevato di realizzazioni (esperimenti) e maggiore è la diffusione dei valori di una variabile casuale, maggiore è il numero di realizzazioni richieste. In realtà, tale modellazione è possibile solo con l'uso di computer ad alta velocità.
A tal fine, il computer deve essere in grado di:
Genera una sequenza di numeri casuali con la legge di distribuzione e i parametri dati (matematica
tic aspettativa, varianza, ecc.);
Calcolare la probabilità di un evento casuale che obbedisce a una certa legge in un dato in-
Intervallo di tempo;
Riprodurre il fatto del verificarsi di un evento casuale, ecc.
In tutti questi casi è necessario conoscere la legge di distribuzione di una variabile o evento casuale ei suoi parametri. Necessario
per questo, i dati vengono ottenuti conducendo un esperimento su vasta scala sull'implementazione di tale fenomeno. L'elaborazione statistica di un tale esperimento consente non solo di identificare i modelli statistici di un fenomeno casuale, ma anche di valutare l'affidabilità dei risultati in base alla portata dell'esperimento (numero di implementazioni).
La fase iniziale dell'elaborazione dei dati sperimentali è la costruzione di una serie variazionale e di un istogramma. Per fare ciò, viene fissata una serie di valori di una variabile casuale discreta X(ad esempio, il numero di parti difettose per turno) durante P modifica L'insieme di valori è chiamato campione o serie statistica.
Disponendo i diversi valori misurati in ordine crescente, otteniamo una serie di variazioni. Successivamente, compiliamo una tabella di frequenze, in cui ogni valore della serie di variazione xi, la frequenza sperimentale del fenomeno osservato è posta in corrispondenza:
Numero di turni quando xi, parti difettose;
Il numero totale di turni quando sono state effettuate le osservazioni.
Se la variabile casuale è continua (errore di misurazione), i suoi valori sperimentali vengono presentati come intervalli.
tabella delle frequenze, che indica gli intervalli
ci− ci+1 valori
variabile casuale e anche, come per una variabile discreta, spesso
la stai colpendo in quell'intervallo
- il numero di valori di variabili casuali che non escono
oltre i confini io-esimo intervallo;
le quantità.
Il numero totale di valori fissi del casuale
Secondo la tabella degli intervalli, viene costruito un istogramma, che è una serie di rettangoli coniugati situati sull'asse orizzontale, la cui base è uguale all'intervallo
ci− ci+1
valori di una variabile casuale e l'area è uguale a
Costruendo grafici secondo i dati di una tabella di frequenza o di un istogramma, è possibile, dalla loro forma, proporre un'ipotesi sulla corrispondenza dei dati sperimentali con l'una o l'altra legge. Successivamente, viene verificato il grado di concordanza tra i dati sperimentali e la proposta di legge. La verifica viene eseguita utilizzando vari criteri di concordanza. Il più comune è il test χ2 (chi-quadrato) di Pearson.
Finora abbiamo considerato modelli con una topologia di rete deterministica. Quando si modella un progetto complesso, i modelli di rete con una struttura stocastica sono spesso i più flessibili e utili. Una rete stocastica è definita come una rete contenente nodi (stati) alternativi, mentre gli archi (opere) sono caratterizzati, oltre che dalla distribuzione di probabilità di durata, anche dalla probabilità della loro esecuzione.
Il modello di rete stocastico con molti risultati possibili, essendo un ulteriore sviluppo delle reti tradizionali, consente di riflettere più pienamente il processo di sviluppo e creazione di un progetto complesso. L'apparato matematico utilizzato per l'analisi dei modelli di reti stocastiche consente di calcolare le probabilità di vari esiti alternativi e di stimare il tempo della loro possibile realizzazione.
Il modello di rete stocastico è un grafo finito G=(W,A), dove W è l'insieme dei vertici deterministici e alternativi identificati con gli eventi, e la matrice tecnologica A=(p ij ) definisce l'insieme degli archi orientati identificati con i job ( o collegamenti). Per reti stocastiche 0 £ p ij £ 1, e p ij =1 definisce il lavoro (i,j) analogamente alle definizioni accettate nelle reti tradizionali, e
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
Sia j(t ij) la densità di distribuzione del tempo di esecuzione del lavoro (i,j). M[x] è l'aspettativa matematica di una variabile casuale x.
La funzione generatrice condizionale dei momenti della variabile aleatoria t ij è introdotta come M ij (s)=M[å st ij ], cioè
M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (per una variabile aleatoria continua),
å st ij j(t ij) (per una variabile casuale discreta).
In particolare, М ij (s)=М[е sа ] = e sа at t ij =а=cost, М ij (0)=1.
Per ogni arco (i,j), la funzione Y è definita come
Y ij (s) = p ij Ì ij (s).
La rete originale viene convertita nella rete equivalente utilizzando tre trasformazioni di base:
archi consecutivi,
Archi paralleli
Per archi consecutivi (Fig. 7)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).
Per archi paralleli (Fig. 8)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).
Per i loop di visualizzazione (Fig. 9)
Y ij (s) = Y b (s)/.
Combinando le trasformazioni di base, qualsiasi rete può essere trasformata in una rete equivalente costituita da un singolo arco (E-arc).
Lo scopo dell'analisi temporale di una rete stocastica è calcolare l'aspettativa matematica e la varianza del tempo di esecuzione della rete (o di uno qualsiasi dei suoi frammenti) e la probabilità di eseguire il finale (o qualsiasi altro evento) della rete.
Qui viene utilizzata la teoria dei grafici di flusso chiusi, in cui la funzione Y introdotta sopra viene interpretata come la corrispondente trasmittanza dell'arco. Per applicare i risultati di questa teoria ad una rete aperta con il parametro desiderato Y E (s), si introduce un ulteriore arco con il parametro Y A (s), collegando l'evento finale (pozzo) con quello iniziale (sorgente).
Quindi viene utilizzata l'equazione topologica per grafi chiusi, nota come regola di Mason, della seguente forma:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
dove åT(L m) è la somma delle trasmittanze equivalenti per tutti i possibili loop dell'ordine m-esimo.
La trasmittanza equivalente per il loop di ordine m-esimo è uguale al prodotto delle trasmittanze m non correlato loop del primo ordine, ad es.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
Segue direttamente dalla regola di Mason che 1–Y A (s)Y E (s)=0 o Y A (s)=1/Y E (s). Usando questo risultato, nell'equazione topologica (10) Y A (s) è sostituito da 1/Y E (s) e poi è risolto rispetto a Y E (s), ottenendo così una funzione Y equivalente per la rete stocastica originale.
Poiché Y E (s) \u003d p E M E (s) e M E (0) \u003d 1, quindi p E \u003d Y E (0), il che implica che
M E (s)= Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (undici)
Dopo aver ottenuto un'espressione analitica per M E (s), calcolare le derivate parziali prima e seconda rispetto a s della funzione M E (s) nel punto s=0, cioè
m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)
Il primo momento m 1E relativo all'origine è l'aspettativa matematica del tempo di esecuzione della rete (trasformato nel suo equivalente E-arc), e la varianza del tempo di esecuzione della rete è uguale alla differenza tra il secondo momento m 2E e il quadrato del primo, cioè
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (14)
Pertanto, l'apparato sopra descritto consente di calcolare i parametri temporali di eventuali eventi di una rete stocastica che interessano l'utente, nonché di determinare la probabilità del loro verificarsi.
Utilizzando le informazioni ottenute, utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev, è possibile stimare la probabilità di eventuali intervalli di confidenza per il completamento del progetto per leggi di distribuzione arbitrarie per l'esecuzione di singole operazioni. Se il tempo di esecuzione di ciascuna operazione è distribuito normalmente, anche il tempo risultante è distribuito normalmente. In questo caso è possibile ottenere stime probabilistiche del tempo di esecuzione del progetto utilizzando il teorema integrale di Moivre-Laplace. Inoltre, con un numero sufficientemente elevato di lavori nella rete e il rispetto di determinate condizioni (in particolare, l'indipendenza dei lavori), possiamo utilizzare il teorema del limite di Lyapunov e considerare il tempo di esecuzione del progetto risultante come una variabile casuale normalmente distribuita con caratteristiche calcolate con il metodo sopra descritto.
Pertanto, il modello di rete stocastico include tutte le deviazioni casuali e l'incertezza che sorgono direttamente durante l'esecuzione di ogni singolo lavoro.
3.4. Formalizzazione della dichiarazione generale del compito di pianificare il lavoro nella gestione del progetto e descrizione del modello di rete universale e dei compiti di analisi temporale risolti sulla sua base
Come risultato dell'analisi e della sintesi dei modelli di cui sopra, viene proposto un modello matematico universale, mentre i modelli di rete classici, generalizzati e stocastici ne sono i casi speciali.
Questo modello (denominato modello di rete stocastico ciclico - CSSM) è uno strumento più flessibile e adeguato per descrivere il processo di gestione dello sviluppo di un progetto complesso.
CSSM è un grafo finito, orientato, ciclico G(W,A), costituito da un insieme di eventi W e archi (i,j)(eventi i, jOW) determinati dalla matrice di adiacenza A=(p ij ). 0Ј p ij Ј1, e p ij =1 definisce un arco deterministico (i,j), e 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
Indichiamo con T i il tempo di completamento dell'evento i-esimo, quindi il rapporto tra i tempi di completamento degli eventi collegati dall'arco (i, j) è dato dalla disuguaglianza:
Т j – Т i і y ij , (15)
dove y ij è generalmente una variabile casuale distribuita secondo qualche legge nell'intervallo da –Ґ a 0 o da 0 a +Ґ.
Inoltre, sono possibili restrizioni assolute al momento dell'attuazione dell'evento i:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
Le relazioni (15)-(16) sono una generalizzazione delle corrispondenti disuguaglianze nella descrizione di modelli di rete generalizzati, dove il parametro y ij e la matrice di adiacenza A sono deterministici.
Si consideri il carico semantico della relazione (15) con la natura probabilistica del parametro y ij .
Se (i,j) è un'opera ad arco (o parte di essa), allora una variabile casuale distribuita positivamente y ij specifica la distribuzione della durata minima di quest'opera (associata alla sua massima saturazione con la risorsa che la definisce). Il documento mostra che la distribuzione del valore y ij è unimodale e asimmetrica, e la distribuzione beta soddisfa questi requisiti, quindi, tempo di esecuzione minimoè una variabile aleatoria y ij =t min (i,j) distribuita secondo la legge di distribuzione beta sul segmento [a, b] con densità
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
dove C è determinato dalla condizione
Se la variabile aleatoria y ij in (15), corrispondente all'arco (i,j), è distribuita nell'intervallo da –Ґ a 0, allora –y ij =t max (j,i) imposta la distribuzione di la lunghezza dell'intervallo di tempo massimo, durante il quale il lavoro (i, j) deve essere iniziato e terminato anche se è minimamente saturo della risorsa definente. Per questa quantità, abbiamo ottenuto la sua distribuzione di una forma simile (17). Conoscendo la distribuzione della variabile casuale y ij per ogni lavoro (i, j), la sua aspettativa matematica e la sua varianza vengono calcolate utilizzando le formule appropriate.
L'introduzione di valori distribuiti negativamente y ij per gli arc-jobs (i,j) nella (15) amplia notevolmente le possibilità di descrivere le caratteristiche temporali dei job, rendendo il modello probabilistico ampiamente utilizzato solo uno dei casi speciali.
Per i collegamenti ad arco (i,j), il valore y ij specifica la distribuzione della dipendenza temporale tra gli eventi i e j, e il valore distribuito positivamente y ij determina la relazione del tipo "non precedente" (l'evento j può verificarsi non precedente di y ij giorni dopo il completamento dell'evento i), e il valore distribuito negativamente y ij determina la relazione del tipo “non più tardi di” (l'evento i può verificarsi non più tardi di –y ij giorni dopo l'evento j). In quest'ultimo caso, tali collegamenti sono chiamati "reverse".
Quindi, qui abbiamo ottenuto una generalizzazione di queste connessioni, tenendo conto della loro possibile natura probabilistica.
Poiché la tempistica del completamento degli eventi Т i è determinata dalla somma delle durate delle opere che tecnologicamente le precedono, allora con un numero sufficientemente elevato di tali opere, in accordo con il teorema del limite centrale, la distribuzione della variabile casuale Т i tende alla normalità con i parametri - aspettativa МТ i e dispersione DТ i . La distribuzione normale ha anche il parametro y ij corrispondente agli archi "inversi", il che è confermato anche dall'analisi statistica.
Le restrizioni assolute sulla tempistica degli eventi, date da (16), riflettono le corrispondenti restrizioni direttive, organizzative e tecnologiche sulla tempistica dell'esecuzione del lavoro o di parti di essa, date nella scala temporale "assoluta" (reale o condizionale). Le restrizioni assolute sono anche caratterizzate dal tipo "non prima" o "non dopo" e assumono la forma: T i - T 0 і l i , T 0 - T i і -L i . Pertanto, le restrizioni assolute della forma (16) sono un caso speciale di restrizioni della forma (15) per determinate connessioni ad arco.
L'introduzione di una matrice di adiacenza stocastica A in combinazione con connessioni generalizzate offre ulteriori opportunità per descrivere il processo di creazione di un progetto complesso.
Sia L(i,j) un cammino che collega gli eventi i e j:
L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)
Questo percorso deterministico, se pi k-1 i k =1 vale per tutti i kО, e Stocastico, Altrimenti. Pertanto, il percorso stocastico contiene almeno un arco, la cui probabilità di "esecuzione" è strettamente inferiore a 1.
Allo stesso modo definito circuito deterministico e stocasticoÊ(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (tali eventi sono chiamati "contorno").
Se gli eventi i e j sono collegati da un cammino L(i,j), allora la probabilità che si verifichi l'evento j, ammesso che l'evento i si sia verificato P(j/i), è il prodotto dei coefficienti della matrice di adiacenza A corrispondenti agli archi del percorso di collegamento:
P(j/i)=X v k=1 p io k-1 io k . (19)
Se gli eventi i e j sono collegati in diversi modi, viene eseguita la trasformazione GERT equivalente di questo frammento di rete secondo le formule fornite nel lavoro, viene calcolata la funzione generatrice Y ij (s) del frammento trasformato e la probabilità dell'evento j, a condizione che l'evento i si sia verificato P (j/i)= Y ij (0).
La derivata prima della funzione Y ij (s)/ Y ij (0) rispetto a s nel punto s=0 (il primo momento m 1 (j/i)) determina l'aspettativa M(j/i) della tempo dell'evento j rispetto al tempo dell'evento i . La derivata seconda della funzione Y ij (s)/ Y ij (0) rispetto a s nel punto s=0 (istante secondo m 2 (j/i)) permette di calcolare la varianza del tempo della evento j rispetto al tempo dell'evento i mediante la formula
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (20)
La lunghezza del percorso L(i,j) è una variabile casuale, la cui aspettativa matematica ML(i,j) è la somma delle aspettative matematiche delle lunghezze di tutti gli archi che compongono questo percorso, e la varianza DL (i,j) è uguale alla somma delle varianze.
In queste condizioni, la lunghezza del percorso (contorno) può assumere negativo valori, che viene interpretato come segue:
se L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться non più tardi di -y ji giorni dopo il verificarsi dell'evento i. Il parametro y ji è di natura probabilistica, il che consente di descrivere in modo più flessibile (rispetto ai modelli di rete ciclica) le relazioni logico-temporali tra gli eventi.
Come parametro dell'arco y ij, si può anche considerare qualsiasi parametro caratteristico che abbia additività lungo gli archi di qualsiasi percorso (ad esempio, il costo del lavoro), mentre utilizzando la trasformazione GERT equivalente, otteniamo l'aspettativa matematica e la varianza del costo di un frammento di rete o di un progetto nel suo insieme.
Compiti di analisi temporale dei CSSM (e algoritmi per la loro soluzione) così come l'analisi temporale di modelli di rete classici, generalizzati o stocastici, sono alla base della soluzione di tutti i problemi di pianificazione e project management. Sono di importanza indipendente nella risoluzione dei problemi di gestione del progetto senza tener conto dei vincoli delle risorse.
Sono inoltre necessari compiti di analisi temporale per generare diverse opzioni di piano per determinati valori del vettore di disponibilità delle risorse ai fini del loro successivo confronto, valutazione della qualità delle opzioni di piano e selezione della direzione per il suo ulteriore miglioramento.
Quando si risolvono problemi di pianificazione ottimale del lavoro nella gestione del progetto, gli algoritmi di analisi del tempo CSSM vengono utilizzati come strumento per calcolare i parametri necessari utilizzati nei corrispondenti algoritmi di ottimizzazione al fine di garantire il rispetto dei vincoli tecnologici.
Il compito dell'analisi temporale del CSSM si riduce a trovare un vettore casuale T=(T 0 ,T 1 ,…,T n), dove T i è il tempo dell'i-esimo evento, le cui coordinate soddisfano le disuguaglianze ( 15),(16) e trasformano in estremo una funzione obiettivo f(T).
Evidenziato tre classi di problemi di analisi temporale:
· classico, in cui per calcolare (T i ) si utilizzano le aspettative matematiche delle durate di tutti gli archi;
· probabilistico in cui, sulla base del teorema del limite di Lyapunov o di altri mezzi analitici, vengono calcolate le aspettative matematiche della tempistica del completamento degli eventi i-esimi - (MT i ), che sono argomenti della funzione obiettivo f(T), ;
· statistico, in cui per un dato livello di attendibilità p, secondo il metodo descritto nel lavoro, si determinano stime p-quantili di distribuzioni empiriche sia per la temporizzazione degli eventi i-esimi - (W p (T i)) che per la loro derivati, compresi i valori della funzione obiettivo f(W p (T)), dove W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)) .
Viene introdotto il concetto di consistenza CSSM.
Viene chiamato il modello di rete stocastico ciclico coerente se esiste almeno un piano ammissibile calcolato per la corrispondente classe di problemi di analisi temporale (classica, probabilistica o statistica) che soddisfi il sistema di disequazioni (15),(16).
Diamo un'occhiata a questi tre concetti.
Consistenza del modello classico.
Vengono calcolate le aspettative matematiche delle durate di tutti gli archi, dopodiché si forma una rete con lunghezze d'arco costanti. Tenuto conto della natura stocastica del modello in esame e della presenza di connessioni generalizzate, dopo i suddetti calcoli, nel CSSM possono verificarsi contorni stocastici e deterministici. Si dimostra il seguente teorema:
Teorema 1 . Affinché il modello ciclico stocastico, in cui le durate degli archi sono calcolate secondo lo schema classico, sia consistente con una data probabilità a, è necessario e sufficiente che le lunghezze di tutti i contorni deterministici non siano positive.
Consistenza del modello probabilistico.
L'aspettativa matematica di MT i e la dispersione s 2 T i della tempistica degli eventi sono calcolate analiticamente. I parametri così calcolati differiscono del 15-20% in grandezza da quelli calcolati in modo classico (secondo le aspettative matematiche delle durate d'arco).
Parliamone consistenza probabilistica del modello in media, se l'insieme così ottenuto soddisfa le disuguaglianze (15)-(16), dove la sua aspettativa matematica è assunta come valore di y ij. Si dimostra la validità del seguente teorema:
Teorema 2 . Affinché un modello ciclico stocastico sia mediamente probabilisticamente consistente, è necessario e sufficiente che le aspettative matematiche delle lunghezze di tutti i contorni deterministici non siano positive.
Assumendo che Т i abbia una distribuzione normale con parametri: aspettativa matematica - МТ i e varianza - s 2 Т i , introduciamo un concetto più ampio di e- consistenza probabilistica del modello.
Diremo che il CSSM è e-probabilisticamente consistente se esiste e > 0 tale che per ogni T i che soddisfa la disuguaglianza
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
Teorema 3 . Affinché il modello ciclico alternativo sia e-probabilisticamente consistente, è necessario e sufficiente che le aspettative matematiche delle lunghezze di tutti i contorni deterministici soddisfino la relazione МL(K(i)) Ј –4e.
La consistenza probabilistica del modello, in media, è un caso speciale di consistenza e-probabilistica a e=0.
Consistenza statistica del modello.
Con il metodo statistico di calcolo dei parametri del modello di rete, abbiamo a che fare con le loro stime p-quantile dei valori, che sono analoghi probabilistici degli indicatori corrispondenti. Si dice che il modello stocastico ciclico statisticamente coerente con la probabilità p, se per ogni evento i esistono stime p-quantili dei tempi di completamento degli eventi W p (T i), soddisfacendo le disuguaglianze:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i JW p (Т i)JL i . (22)
Qui le relazioni (21)-(22) sono analoghi probabilistici di (15)-(16), W p (y ij) è la stima p-quantile della lunghezza d'arco (i,j). È stato dimostrato quanto segue:
Teorema 4 . Affinché il modello alternativo ciclico sia statisticamente coerente con la probabilità p, è necessario e sufficiente che le stime p-quantile delle lunghezze di tutti i contorni deterministici soddisfino la relazione W p (L(K(i))) Ј 0.
Algoritmi per il calcolo dei parametri temporali del CSSM.
Piani in anticipo e in ritardo.
Per calcolare le date anticipate e tardive per il completamento degli eventi, viene proposto un algoritmo "Pendulum" modificato. L'idea della modifica è quella di sintetizzare il metodo statistico per il calcolo dei parametri utilizzato per le reti probabilistiche e l'algoritmo "Pendulum" utilizzato nelle reti generalizzate, per poi applicarlo ai CSSM.
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Fig.10. Schema schematico a blocchi dell'algoritmo per il calcolo
stime p-quantile prime date realizzazione degli eventi
Blocco 1. Input dei dati iniziali (coefficienti della matrice A, parametri della distribuzione y ij , livello di confidenza p).
Blocco 2. Calcolo del numero richiesto di "estrazioni" N per garantire l'accuratezza specificata dei risultati. I calcoli eseguiti hanno mostrato che a p=0.95, e=0.05 otteniamo N»270.
Blocco 3. v:=v+1 (v è il numero della "estrazione").
Blocco 4. Disegnando la v-esima variante delle variabili casuali y ij , ciascuna secondo la sua legge di distribuzione, ottenendo le costanti y ij (v) - la lunghezza dell'arco (i, j) al v-esimo disegno.
Blocco 5. Disegna per ogni vertice alternativo i della transizione ad un vertice adiacente j (viene riprodotta una variabile aleatoria discreta p ij, rappresentata dalla riga i-esima della matrice di adiacenza A, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lemma 1 lo stesso contorno stocastico a un dato livello di confidenza p può essere formato non più di k volte, dove k è stimato dalla formula corrispondente. Aggiungiamo la lunghezza k-fold del contorno alla lunghezza dell'arco che abbiamo "giocato" al (k + 1)esimo passo e procediamo all'analisi di un altro contorno stocastico (se presente). In questo caso, nella rete possono apparire contraddizioni (contorni deterministici positivi), quindi, secondo le formule fornite nel lavoro, aggiungiamo la lunghezza d-fold del contorno, stimando così il tempo medio per il completamento del " output” dal contorno.
Blocco 6. La risultante rete deterministica generalizzata G (v) è divisa in due reti G 1 (v) e G 2 (v) in modo che né G 1 (v) né G 2 (v) contengano contorni. I vertici nella rete G 1 (v) sono ordinati per ranghi e, in accordo con essi, impostiamo la numerazione "corretta". Trasferiamo questa numerazione alla rete G 2 (v) e all'originale G (v) .
Blocco 7. Per tutti i vertici i della rete G 1 (v), calcoliamo le date di completamento anticipato
T io 0(v) :=max j (T io 0(v) , T j 0(v) + y ij (v) ).
Blocco 8. Eseguiamo procedure simili al blocco 7 per i vertici della rete G 2 (v) .
Blocco 9. Se i risultati dei blocchi 7 e 8 non corrispondono almeno su un indicatore, torniamo al blocco 7 (non ci sono più tali ritorni del numero di archi inversi in G 2 (v)), altrimenti blocco 10.
Blocco 10. Se il numero dell'estrazione è vJN, vai al blocco 4, altrimenti vai al blocco 11.
Blocco 11. Dall'insieme risultante (T i 0(v) ) per ogni vertice i costruiamo una serie variazionale. Fissiamo un valore di Т i 0(x) tale che N x /N=ð, dove N x è il numero di membri della serie di variazione minore di Т i 0(x) . Il valore Т i 0(x) è il p-quantile richiesto del primo termine dell'i-esimo evento – W p (Т i 0). Analogamente, utilizzando la serie variazionale (y ij (v) ) costruiamo stime p-quantili delle lunghezze d'arco – W p (y ij).
L'ingresso del blocco 6 riceve la v-esima versione del modello di rete generalizzato G (v), e, infatti, i blocchi 6 - 9 sono uno schema a blocchi ingrandito dell'algoritmo "Pendulum" per il calcolo della temporizzazione anticipata degli eventi nel OSM. Applicazione di un algoritmo appropriato per il calcolo date tardive completamento degli eventi nei blocchi 7 e 8, otteniamo T i 1(v) - date tardive per il completamento degli eventi per la v-esima versione del modello di rete generalizzato, mentre il blocco 11 ci dà W p (T i 1) - stime p-quantile date tardive completamento degli eventi.
Piani di durata minima.
La durata L(T (v)) di ogni piano fattibile T (v) =(T i (v) ) della v-esima versione della rete G (v) è determinata dalla formula:
L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
Sostituendo nello schema a blocchi di Fig. 10 blocchi 6 - 9 sul blocco di ricerca del minimo della funzione (23), si ottiene il piano della durata minima per la rete G (v) (o piano "compresso"). Valore
L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)
è il tempo critico della rete G (v) .
Utilizzando nei blocchi 6-9 il metodo per trovare un piano compresso per OCM e passando i piani risultanti attraverso il blocco 11, otteniamo stime probabilistiche p-quantile dei piani compressi.
Le riserve di tempo per il lavoro (i, j) corrispondono alle loro controparti p-quantile, calcolate dalle formule:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) per riserva piena, (25)
R con p (i, j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) per riserva gratuita. (26)
Secondo le formule corrispondenti, vengono calcolati i p-quantili coefficienti di tensione funziona W p (k n (i, j)), quindi il p-quantile zona critica, p-quantile zona di riserva e p-quantile zona intermedia.
Come parametro dell'arco, abbiamo considerato il tempo di esecuzione dell'operazione (lavoro). Si può anche considerare qualsiasi parametro caratteristico che abbia additività lungo gli archi di qualsiasi percorso. Questo può essere il costo del lavoro, la quantità della risorsa accumulata richiesta, ecc.
Va notato che finora hanno trovato ampia applicazione pratica solo i metodi di modellazione deterministica della rete, alcuni metodi euristici di allocazione ottimale delle risorse e metodi parametrici per la stima dei costi (principalmente nel campo dei voli aerei e spaziali). Sebbene la soluzione esatta ai problemi di costo della schedulazione basata sui classici modelli di rete sia stata teoricamente trovata (descritta in), il suo uso pratico è associato alla difficoltà di ottenere dati effettivi sulle dipendenze tempo-costo.
Ciascuno dei modelli sopra discussi ha una propria area tematica, a suo modo (più o meno pienamente) implementa le funzioni di base del project management, e solo la sintesi dei modelli e dei metodi analizzati consente di costruire un modello che rifletta adeguatamente il processo di attuazione di un progetto complesso in condizioni di incertezza, e allo stesso tempo ottenere un accettabile nella risoluzione del problema formulato.
Tema 4. OTTIMIZZAZIONE DEL CONSUMO DI RISORSE BASATA SU MODELLI DI RETE
Concetti generali.
Sopra, i modelli di rete sono stati considerati senza tener conto delle risorse limitate, vale a dire non si poneva il problema della migliore distribuzione delle risorse in quanto tale. Nelle modalità di utilizzo dei modelli di rete da noi considerati, l'attenzione principale è stata rivolta ai tempi di realizzazione delle singole opere e all'individuazione delle catene di lavoro (critiche e subcritiche) più importanti, sulle quali il tempestivo completamento del progetto ( messa in servizio dell'impianto) dipende. Pertanto, una caratteristica di questi metodi è la classificazione delle informazioni in base al grado della loro importanza dal punto di vista del completamento dell'intera gamma di lavoro entro il periodo di tempo stabilito.
Una misura quantitativa dell'importanza delle informazioni sono le riserve di tempo di lavoro o coefficienti di tensione
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j)), (25)
dove R p ij è la riserva totale di lavoro (i, j), T n 0 è il tempo critico per il progetto, T kr (i, j) è la durata del segmento del percorso massimo che coincide con il percorso critico , contenente il lavoro (i, j). 0 £ K ij £ 1, e più K ij si avvicina a 1, minore è la riserva nello stock di lavoro (i, j), quindi maggiore è il rischio che non venga completato entro il tempo specificato. Ad esempio, per lavoro (2.5) (Fig. 5) T cr (2.5) = 5, R p 25 = 3, da cui K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0.82, e per lavoro ( 5.8) T cr (5.8) \u003d 0, R p 58 \u003d 12, da dove K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0.45. Le opere possono avere le stesse riserve complete, ma il grado di tensione nei tempi della loro attuazione potrebbe essere diverso. Al contrario, riserve totali diverse possono corrispondere agli stessi coefficienti di tensione. Con le informazioni classificate in questo modo, il project manager in qualsiasi momento può determinare in quale area l'attenzione (e le risorse) dovrebbero essere focalizzate per eliminare le deviazioni emergenti dalla data di completamento data per tutto il lavoro.
Prima di delineare ulteriori modi per migliorare i metodi di pianificazione e gestione della rete, soffermiamoci più in dettaglio su alcune delle principali carenze inerenti ai metodi sopra discussi.
Dando una stima temporale della durata di qualsiasi lavoro, abbiamo ipotizzato l'uso di determinate risorse con una certa intensità per eseguire questo lavoro (l'intensità del consumo di risorse è la quantità di risorse consumate per unità di tempo).
Al momento dell'assegnazione di una stima temporale, non è noto quando questo lavoro dovrà essere eseguito, quali altre attività del progetto che consumano lo stesso tipo di risorsa verranno eseguite contemporaneamente. Inoltre, di norma, le stesse risorse possono essere richieste contemporaneamente su diversi progetti. Pertanto, è possibile che il fabbisogno totale di una particolare risorsa in determinati momenti possa superare il livello disponibile. In questi casi, sarà necessario ridurre l'intensità del consumo di risorse nei singoli lavori o posticipare l'esecuzione di un certo numero di lavori a una data successiva, spesso oltre le piene riserve di questi lavori. Ciò porta nel corso del progetto a frequenti adeguamenti al piano originario, in altre parole, all'instabilità del piano.
Ovviamente, se i vincoli di risorse vengono presi in considerazione in anticipo durante la pianificazione del processo di implementazione del progetto, è possibile ottenere un piano molto più affidabile.
Il livello delle risorse disponibili e la possibile tempistica di completamento del progetto sono correlati. Il tempo di completamento dell'intero progetto dipenderà da quando e quante risorse saranno assegnate a ciascuna attività, e questo è in gran parte determinato dalla loro disponibilità prevista in un dato momento.
Pertanto, si pone il problema dell'allocazione delle risorse in un ambiente di rete.
In generale, qualsiasi processo di pianificazione della produzione non è altro che una soluzione al problema dell'uso efficiente delle risorse.
I criteri di efficienza possono essere diversi, ci soffermeremo su questo importante punto di pianificazione (scelta e convalida del criterio) un po 'più in basso quando si considerano compiti specifici.
Introduciamo alcune nozioni e definizioni.
· programma di lavoro chiamiamo un certo insieme di operazioni (lavori) che devono essere eseguite per raggiungere uno o più obiettivi, e l'esecuzione del lavoro del programma è subordinata a un unico centro di regia. Possiamo parlare del programma di lavoro per il complesso di avviamento, del programma di lavoro per un sito, un'organizzazione di costruzione, un istituto di progettazione, ecc.
· Programma di lavoro a tema unico chiameremo un programma costituito da un complesso di opere tecnologicamente correlate finalizzate al raggiungimento di uno (tema monoscopo) o di più obiettivi (tema polivalente).
· Programma di lavoro multitematico chiameremo un programma costituito da diversi complessi di opere, tecnologicamente interconnessi all'interno di ciascun complesso. Ogni pacchetto di lavoro può avere uno o più obiettivi finali. Opere appartenenti a complessi diversi non sono tecnologicamente correlate tra loro. L'affiliazione degli argomenti a un programma multitematico è determinata dall'unità del centro di controllo e dalla comunanza del serbatoio di risorse.
Consideriamo dapprima varie formulazioni di problemi di allocazione delle risorse per programma monouso a tema singolo.
Sulla base delle due possibili impostazioni degli obiettivi per la gestione del progetto descritte dal modello di rete, esistono due tipi principali di impostazione delle attività. Il primo tipo si concentra sulla stretta aderenza ai vincoli delle risorse, mentre il secondo tipo prevede la stretta aderenza alle date di completamento del progetto.
Formulazione del primo tipo di enunciato del problema (“calibrazione”).
Con determinate restrizioni sul consumo di risorse, trova una tale distribuzione di esse, tenendo conto della sequenza tecnologica del lavoro, determinata dalla topologia del diagramma di rete, che garantisce il completamento dell'intero programma nel minor tempo possibile.
Formulazione del secondo tipo di enunciato del problema (“smoothing”).
Se viene rispettata la durata specificata dell'esecuzione del programma, è necessario distribuire le risorse tra i singoli lavori in modo tale che il loro consumo sia ottimale. La questione della scelta di un criterio di ottimalità per questa impostazione sarà considerata da noi separatamente.
A causa del diverso meccanismo per soddisfare il fabbisogno di risorse, esse vengono solitamente suddivise in due gruppi: accumulate (memorizzabili) e non accumulabili (non immagazzinabili). Il secondo gruppo di risorse viene spesso definito "risorse di tipo capacità".
Il primo gruppo comprende risorse che, per loro natura, consentono l'accumulo con possibilità di un loro successivo utilizzo, ad esempio denaro, materiali e strutture varie, ecc. I vincoli di risorsa in questo caso possono essere impostati da una funzione integrale non decrescente, che mostra in ogni momento il valore totale dell'offerta della risorsa per l'intero periodo precedente.
Il secondo gruppo comprende risorse il cui accumulo per un successivo utilizzo è impossibile. Ad esempio, risorse di lavoro e tempo macchina. I tempi di inattività dei lavoratori e dei meccanismi sono una perdita irrecuperabile. I vincoli di risorse per questo gruppo sono dati dalla funzione di disponibilità delle risorse in ogni momento.