1. Nel sistema di coordinate xOt costruire una griglia rettangolare con un gradino H lungo l'asse OH e con un passo τ lungo l'asse Da:
UN) X io = eh, io= io, N , n=l/ora;
B) T K =Kτ, k= io,M , M=T/τ;
V) E io , K = tu(X io ,T K) = tu(ih,Kτ).
2. Calcolare i valori della funzione tu(X io , T K) nei nodi che giacciono sulle linee x= 0 e x=l:
3. Calcola tu io ,0 =f(ih),io= 1, N .
4. Usando (1.16) o (1.23), troviamo una soluzione per tutti i nodi interni: tu io , K + N , io= io,N -l, k= 0, M -l.
1.3. Soluzione del problema misto per l'equazione delle onde con il metodo della griglia
1.3.1. Formulazione del problema. Algoritmo del metodo
Considera un problema misto (cioè, date le condizioni iniziali e al contorno) per l'equazione delle onde
in zona D=(0≤x≤ l, 0≤t≤T) con condizioni iniziali
e condizioni al contorno
Lo assumeremo F(X),G(X) sono funzioni sufficientemente regolari e le condizioni di corrispondenza sono soddisfatte ai due angoli del dominio D(X=0, T=0), (x=l, T=0), che assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione tu(X, T).
Per discretizzare il problema originale, costruiamo nel dominio
griglia rettangolare
Dove H – spaziatura della griglia in direzione X, τ è il passo della griglia nella direzione T,
Utilizzando le differenze centrali di secondo ordine (1.10) per approssimare le derivate parziali, per ogni nodo interno della griglia otteniamo un sistema di equazioni alle differenze
che approssimano l'equazione d'onda (1.24) al nodo ( X io , T K) con un errore O(H 2 + t2).
Qui tu io , Kè il valore approssimato della funzione E(X,T) al nodo ( X io ,T K).
Lasciare λ = aτ/ H, otteniamo uno schema di differenza a tre strati:
Lo schema (1.28) è chiamato a tre livelli perché collega i valori tu io , K funzioni E(X,T) su tre strati temporali con numeri ( K-l), K, (K+1).
Lo schema di differenza (1.28) corrisponde a un modello a tre strati a cinque punti del tipo "croce" (Fig. 1.2).
Lo schema (1.28) mette in relazione i valori tu io , K =tu(ih, kτ) su tre strati nel tempo, e per andare al livello ( K+1), devi sapere come tu io , K, E tu io , K-1 , che è una conseguenza del fatto che l'equazione differenziale (1.24) contiene la seconda derivata temporale. La soluzione numerica del problema (1.24) - (1.26) consiste nel calcolare i valori approssimati tu io , K soluzioni tu(X, T) ai nodi ( X io ,T) A io = 1, N , K=1, M . Lo schema di calcolo secondo la (1.28) è esplicito; permette di calcolare approssimativamente i valori della funzione ai nodi ( K+1)-esimo strato secondo i suoi valori noti sui due strati precedenti. Sui primi due strati, i valori della funzione sono determinati dalle condizioni iniziali (1.25). Noi crediamo
Per la derivata temporale, usiamo l'approssimazione (1.5)
L'ordine di approssimazione (1.30) è DI(τ).
Si noti che (1.29), (1.31) danno soluzioni per le prime due righe: K=0, K=1. Sostituzione k= 1 in (1.28), otteniamo:
Tutti i termini sul lato destro dell'equazione (1.32) includono i valori E io , K solo dalle prime due file della griglia; ma tutti questi valori sono noti dalle condizioni iniziali.
Dopodiché, conoscendo le soluzioni E io ,1 ,E io,2 , possiamo usare (1.28) per calcolare i valori della funzione E io , K sul terzo strato temporale, il quarto, ecc.
Lo schema di calcolo (1.28) – (1.31) sopra descritto approssima con precisione il problema (1.24) – (1.26) DI(τ+ H 2). Il basso ordine di approssimazione rispetto a τ è spiegato dall'uso di un'approssimazione troppo approssimativa per la derivata rispetto a T nella formula (1. 30).
Consideriamo ora le questioni della convergenza e della stabilità. Senza presentare qui le dimostrazioni, ci limitiamo a formulare i risultati finali. Lo schema di calcolo sarà stabile se la condizione di Courant è soddisfatta
Ciò significa che quando la (1.33) è soddisfatta, i piccoli errori che sorgono, ad esempio, nel calcolo sul primo strato, non aumenteranno all'infinito passando a ogni nuovo strato temporale. Se la condizione di Courant è soddisfatta, lo schema delle differenze (1.28) converge uniformemente, cioè per H→0 e τ→0 la soluzione del problema alla differenza (1.28) – (1.31) tende uniformemente alla soluzione del problema originario (1.24) – (1.26).
La condizione (1.33) è sufficiente per la convergenza, ma non è necessaria. In altre parole, ci sono equazioni e valori di intervalli per i quali (1.33) non vale, ma si ottiene comunque il risultato corretto. Il fatto è che allora la convergenza non può essere garantita. Nel caso generale, ovviamente, è desiderabile assicurare la convergenza con certezza, e quindi la condizione (1.33) deve essere soddisfatta.
Pertanto, non appena viene scelta la dimensione del passo H nella direzione X, allora c'è una limitazione sulla dimensione del passo τ nel tempo. Una caratteristica distintiva di tutti i metodi espliciti è che quando li si utilizza deve essere osservata una certa condizione del tipo (1.33), che garantisce la convergenza e la stabilità del metodo.
configurazione dei nodi, i valori della funzione griglia in cui determinare la forma delle equazioni alle differenze nei punti interni (non borderline) della griglia. Di norma, nelle figure con immagini di modelli, i punti coinvolti nel calcolo delle derivate sono collegati da linee.Schema Courant-Isakson-Ries(KIR), che a volte è anche associato al nome di S.K. Godunov, risulta a , 
. Il suo ordine di approssimazione. Lo schema KIR è condizionatamente stabile, cioè sotto la condizione di Courant 
. Presentiamo le equazioni alle differenze per lo schema di Courant-Isakson-Ries nei punti interni del dominio computazionale:
Questi schemi, che hanno anche il nome upwind difference scheme (nella letteratura inglese - upwind) possono essere scritti come
Il loro vantaggio risiede nella considerazione più accurata del dominio di dipendenza della soluzione. Se introduciamo la notazione
allora entrambi gli schemi possono essere scritti nelle seguenti forme:
(forma di flusso dell'equazione differenziale);
(qui si distingue esplicitamente il termine con la seconda differenza, che dà stabilità allo schema);
(equazione in incrementi finiti).
Considera anche metodo dei coefficienti indeterminati per costruire uno schema alle differenze, l'angolo destro del primo ordine di accuratezza per l'equazione di trasporto
Lo schema può essere rappresentato come
Lo schema di Courant-Isakson-Ries è strettamente correlato ai metodi numerici delle caratteristiche. Diamo una breve descrizione dell'idea di tali metodi.
Gli ultimi due schemi ottenuti (per segni diversi della velocità di trasferimento) possono essere interpretati come segue. Costruiamo una caratteristica passante per il nodo (t n + 1 , x m ), il cui valore deve essere determinato, e che interseca lo strato t n nel punto 
. Per chiarezza, assumiamo che la velocità di trasferimento c sia positiva.
Effettuata un'interpolazione lineare tra i nodi x m - 1 e x m sullo strato temporale inferiore, si ottiene
Successivamente, trasferiamo il valore u n (x") lungo la caratteristica senza modifiche allo strato superiore t n + 1, cioè impostiamo 
. È naturale considerare l'ultimo valore come una soluzione approssimata equazione omogenea trasferimento. In questo caso
oppure, passando ancora dal numero Courant ai parametri di rete,
quelli. In un altro modo, siamo arrivati al noto schema "angolo sinistro", che è stabile a . Quando il punto di intersezione della caratteristica uscente dal nodo (t n + 1, x m, con l'n -esimo strato nel tempo si trova a sinistra del nodo (t n, x m - 1). Quindi, per trovare una soluzione , non viene utilizzata l'interpolazione, ma l'estrapolazione, che risulta essere instabile .
Anche l'instabilità dello schema dell'"angolo destro" per c > 0 è evidente. Per dimostrarlo si può usare il criterio spettrale o la condizione di Courant, Friedrichs e Levi. Analogo ragionamento può essere svolto per il caso c< 0 и схемы "правый уголок".
instabile schema a quattro punti ottenuto quando 
, il suo ordine di approssimazione è . Le equazioni della griglia per lo schema delle differenze avranno la seguente forma:
Schema di Lax-Wendroff avviene quando 
. L'ordine di approssimazione dello schema di Lax-Wendroff è 
. Lo schema è stabile nella condizione di Courant .
Questo schema può essere ottenuto con il metodo dei coefficienti indeterminati o tenendo conto più accuratamente del termine principale dell'errore di approssimazione. Consideriamo più in dettaglio il processo di derivazione dello schema di Lax-Wendroff. Effettuando lo studio del precedente schema a quattro punti per l'approssimazione (e questo studio è abbastanza elementare e si riduce alla scomposizione della funzione di proiezione sulla griglia della soluzione esatta del problema differenziale in una serie di Taylor), otteniamo per la termine principale dell'errore
Quando si deriva l'espressione per il termine principale dell'errore di approssimazione, è stata utilizzata una conseguenza dell'equazione di trasporto differenziale originale
Che si ottiene derivando l'equazione originaria (3.3) prima rispetto al tempo t, poi rispetto alla coordinata x e sottraendo uno dei rapporti risultanti dall'altro.
Quindi, sostituzione derivata seconda nel secondo termine a destra fino a O(h 2) , otteniamo un nuovo schema alle differenze che approssima l'originale equazione differenziale con precisione . Le equazioni della griglia per lo schema di Lax-Wendroff ai nodi interni delle griglie computazionali sono
Schema implicito in sei punti si verifica a q = 0; con il suo ordine di approssimazione , A .
La seconda parte del libro è dedicata alla costruzione e allo studio di schemi alle differenze per equazioni differenziali ordinarie. Allo stesso tempo, introduciamo i concetti fondamentali di convergenza, approssimazione e stabilità nella teoria degli schemi alle differenze, che sono di carattere generale. La familiarità con questi concetti, acquisita in relazione alle equazioni differenziali ordinarie, consentirà in futuro, nello studio degli schemi alle differenze per equazioni alle derivate parziali, di concentrarsi sulle numerose caratteristiche e difficoltà caratteristiche di questa classe di problemi molto diversificata.
CAPITOLO 4. ESEMPI ELEMENTARI DI SCHEMI DI DIFFERENZA
In questo capitolo considereremo esempi introduttivi di schemi alle differenze, intesi solo per una conoscenza preliminare dei concetti di base della teoria.
§ 8. Il concetto di ordine di esattezza e di approssimazione
1. Ordine di accuratezza dello schema delle differenze.
Questa sezione è dedicata alla questione della convergenza delle soluzioni delle equazioni alle differenze quando la griglia è affinata alle soluzioni delle equazioni differenziali che esse approssimano. Ci limitiamo qui allo studio di due schemi alle differenze per la soluzione numerica del problema
Cominciamo con lo schema di differenza più semplice basato sull'uso dell'equazione di differenza
Dividiamo il segmento in passi di lunghezza h. È conveniente scegliere dove N è un numero intero. I punti di divisione sono numerati da sinistra a destra, in modo che . Il valore e ottenuto dallo schema di differenza al punto sarà denotato da Impostiamo il valore iniziale. Permettere . L'equazione differenziale (2) implica la relazione
da cui troviamo la soluzione dell'equazione (2) nella condizione iniziale :
La soluzione esatta del problema (1) ha la forma . Prende il valore al punto
Troviamo ora una stima dell'errore nella soluzione approssimata (3). Questo punto di errore sarà
Siamo interessati a come diminuisce con un aumento del numero di punti di partizione o, che è lo stesso, con una diminuzione del passo della griglia di differenza. Per scoprirlo, inseriamolo nel modulo
Pertanto, l'uguaglianza (3) assume la forma
cioè, l'errore (5) tende a zero in e il valore dell'errore è dell'ordine della prima potenza del gradino.
Su questa base, diciamo che lo schema alle differenze ha il primo ordine di accuratezza (da non confondere con l'ordine dell'equazione alle differenze definito nel § 1).
Risolviamo ora il problema (1) utilizzando l'equazione alle differenze
Non è così semplice come potrebbe sembrare a prima vista. Il fatto è che lo schema in esame è un'equazione alle differenze del secondo ordine, cioè richiede che siano specificate due condizioni iniziali, mentre l'equazione integrabile (1) è un'equazione del primo ordine e per essa specifichiamo solo . È naturale inserire anche lo schema delle differenze.
Non è chiaro come chiedere loro. Per capirlo, usiamo la forma esplicita di risoluzione dell'equazione (7) (vedi § 3 formule):
Gli sviluppi (9) secondo la formula di Taylor delle radici dell'equazione caratteristica ci permettono di dare rappresentazioni approssimate di Eseguiamo in dettaglio la derivazione di tale rappresentazione -
Da allora
Non eseguiremo un calcolo del tutto simile per , ma scriveremo immediatamente il risultato:
Sostituendo le espressioni approssimative per nella formula (8), otteniamo
Otterremo tutte le ulteriori conclusioni studiando questa formula.
Si noti che se il coefficiente tende al limite finito b, allora il primo termine a destra dell'uguaglianza (12) tende alla soluzione desiderata del problema (1).
Griglia e modello. Per la maggior parte degli schemi di differenza, i nodi della griglia si trovano all'intersezione di alcune linee rette (nei problemi multidimensionali, iperpiani) disegnate in un sistema di coordinate naturali o in un'area appositamente selezionata G.
Se una delle variabili ha il significato fisico del tempo T, allora la griglia è solitamente costruita in modo che tra le sue linee (o iperpiani) vi siano delle linee T = T M. L'insieme dei nodi della griglia che giacciono su tale linea o iperpiano è chiamato strato.
Su ogni strato si distinguono le direzioni lungo le quali cambia solo una coordinata spaziale. Ad esempio, per le variabili X, si, T ci sono indicazioni X (T = cost, si = cost) e direzione si (T = cost, X = cost).
Compilando gli schemi delle differenze (26.2) e (26.4), abbiamo utilizzato lo stesso tipo di approssimazione delle differenze delle derivate in tutti i nodi interni della regione. In altre parole, durante la scrittura di ciascuna equazione alle differenze, lo stesso numero di nodi è stato preso vicino a un certo nodo della griglia, formando una configurazione strettamente definita, che abbiamo chiamato il modello di questo schema alle differenze (vedi Fig. 26.2).
Definizione. I nodi in cui è scritto lo schema di differenza sul modello sono chiamati regolari e il resto è chiamato irregolare.
Irregolari sono solitamente nodi di confine, e talvolta anche nodi che si trovano vicino al confine (in modo tale che il modello preso vicino a questo nodo vada oltre il confine della regione).
La compilazione di uno schema differenziale inizia con la scelta di un modello. Il modello non definisce sempre in modo univoco lo schema delle differenze, ma ne influenza in modo significativo le proprietà; Ad esempio, vedremo in seguito che nel template di Fig. 26.2 Bè impossibile comporre un buon schema alle differenze per il problema della conduzione del calore (26.1). Ogni tipo di equazioni e problemi ai limiti richiede il proprio modello.
Schemi di differenze esplicite e implicite
Discutiamo la questione del calcolo effettivo della soluzione della differenza. La maggior parte dei problemi fisici porta a equazioni che includono il tempo come una delle variabili. Per tali equazioni si pone solitamente un problema ai valori al contorno misti, un caso tipico del quale è il problema della conduzione del calore (26.1).
Per tali problemi, viene utilizzato un algoritmo di calcolo a strati. Consideriamolo sull'esempio di schemi (26.2) e (26.4).
Nello schema (26.4) sullo strato iniziale M= 0 la soluzione è nota per la condizione iniziale. Mettiamo M= 0 nelle equazioni (26.4). Quindi per ogni valore dell'indice N l'equazione contiene un'incognita 
; da qui puoi determinare 
A 
Valori 
E 
sono determinate dalle condizioni al contorno (26.3). Pertanto, vengono calcolati i valori sul primo livello. Sulla base di essi, la soluzione sul secondo strato viene calcolata in modo simile e così via.
Lo schema (26.4) in ogni equazione contiene un solo valore della funzione sullo strato successivo; questo valore può essere facilmente espresso in modo esplicito in termini di valori noti della funzione sullo strato iniziale, pertanto tali schemi sono chiamati espliciti.
Lo schema (26.2) contiene in ciascuna equazione diversi valori sconosciuti della funzione su un nuovo livello; tali schemi sono chiamati impliciti. Per calcolare effettivamente la soluzione, riscriviamo lo schema (26.2) tenendo conto della condizione al contorno (26.3) nella seguente forma
(26.5)
Su ogni strato, lo schema (26.5) è un sistema di equazioni lineari per la determinazione delle quantità 
; i membri di destra di queste equazioni sono noti perché contengono i valori della soluzione del livello precedente. La matrice di un sistema lineare è tridiagonale e la soluzione può essere calcolata mediante sweep algebrico.
L'algoritmo considerato ora è piuttosto tipico. Viene utilizzato in molti schemi di differenze implicite per problemi unidimensionali e multidimensionali. Successivamente, invece di index M usano spesso abbreviazioni
In queste notazioni, gli schemi di differenza espliciti e impliciti assumono rispettivamente la seguente forma:
Discrepanza. Considera un'equazione differenziale dell'operatore generale (non necessariamente lineare)
Au = F, O Au – F = 0.
Sostituzione dell'operatore UN operatore differenza UN H, lato destro F– alcune funzioni di griglia 
, e la soluzione esatta tu– soluzione per differenza si, scriviamo lo schema delle differenze
O 
.
(26.6)
Se sostituiamo la soluzione esatta tu nella relazione (26.6), allora la soluzione, in generale, non soddisferà questa relazione 
. il valore
si chiama residuo.
Il residuo viene solitamente stimato utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor. Ad esempio, troviamo la discrepanza dello schema di differenza esplicita (26.4) per l'equazione del calore (26.1a). Scriviamo questa equazione nella forma canonica
Perché in questo caso 
Quello
Espandiamo la soluzione con la formula di Taylor vicino al nodo ( X N , T M), assumendo l'esistenza di derivate quarte continue rispetto a X e secondo dentro T
(26.7)
Dove 
Sostituendo queste espansioni nell'espressione residua e trascurando, per la continuità delle derivate, la differenza tra le quantità 
da ( X N ,
T M)
Trovare
(26.8)
Pertanto, il residuo (26.8) tende a zero come 
E 
La vicinanza dello schema di differenza al problema originale è determinata dalla grandezza del residuo. Se il residuo tende a zero a H E 
tendente a zero, allora diciamo che un tale schema alle differenze approssima un problema differenziale. L'approssimazione ha R-esimo ordine se 
.
L'espressione (26.8) fornisce la discrepanza solo in corrispondenza dei nodi regolari della griglia. Confrontando (26.3) e (26.1b), possiamo facilmente trovare la discrepanza a nodi irregolari
Osservazione 1. La soluzione del problema di conduzione del calore con un coefficiente costante (26.1) nel dominio è continuamente differenziabile un numero infinito di volte. Tuttavia, tenendo conto della quinta e più derivate nello sviluppo in serie di Taylor (26.7) si aggiungeranno alla discrepanza (26.8) solo termini di un ordine superiore di piccolezza in 
E H, cioè. sostanzialmente non modifica l'aspetto del residuo.
Osservazione 2. Lascia che, per qualche ragione, la soluzione del problema originale sia differenziabile un piccolo numero di volte; per esempio, in problemi con una conducibilità termica variabile che è liscia ma non ha una seconda derivata, la soluzione ha solo terze derivate continue. Quindi nello sviluppo in serie di Taylor (26.7) gli ultimi termini sono 
non esattamente compensando l'un l'altro. Questo porterà alla comparsa nel residuo (26.8) di un membro del tipo 
quelli. la discrepanza avrà un ordine di piccolezza minore rispetto a quattro volte soluzioni continuamente differenziabili.
Osservazione 3. Trasformando l'espressione residua, tenendo conto del fatto che la funzione inclusa in essa tu(X,T) è una soluzione esatta dell'equazione originale e delle relazioni
Sostituendo questa espressione nella (26.8), otteniamo
Se scegliamo passaggi nello spazio e nel tempo in modo che 
allora il termine principale della discrepanza svanisce e solo i termini di un ordine superiore di piccolezza in termini di 
E H(che abbiamo omesso). Questa tecnica viene utilizzata nella costruzione di schemi di differenza di maggiore precisione.
schema delle differenze
schema delle differenzeè un sistema finito di equazioni algebriche associato a qualche problema differenziale contenente un'equazione differenziale e condizioni aggiuntive (per esempio, condizioni al contorno e/o distribuzione iniziale). Pertanto, gli schemi alle differenze vengono utilizzati per ridurre un problema differenziale, che ha un carattere continuo, a un sistema finito di equazioni, la cui soluzione numerica è fondamentalmente possibile sui computer. Le equazioni algebriche associate a un'equazione differenziale sono ottenute utilizzando il metodo della differenza, che distingue la teoria degli schemi delle differenze da altri metodi numerici per risolvere problemi differenziali (ad esempio, metodi di proiezione, come il metodo Galerkin).
La soluzione dello schema alle differenze è detta soluzione approssimata del problema differenziale.
Sebbene la definizione formale non imponga restrizioni significative sulla forma delle equazioni algebriche, in pratica ha senso considerare solo quegli schemi che in qualche modo corrispondono a un problema differenziale. Concetti importanti della teoria degli schemi alle differenze sono i concetti di convergenza, approssimazione, stabilità e conservatorismo.
Approssimazione
Si dice che un operatore differenziale definito su funzioni definite nel dominio viene approssimato su una certa classe di funzioni da un operatore alle differenze finite definito su funzioni definite su una griglia a seconda del passo se
Si dice che un'approssimazione ha ordine if
dove è una costante che dipende dalla funzione specifica, ma non dipende dal passo. La norma utilizzata sopra può essere diversa e il concetto di approssimazione dipende dalla sua scelta. Viene spesso utilizzato un analogo discreto della norma di continuità uniforme:
a volte vengono utilizzati analoghi discreti di norme integrali.
Esempio. Approssimazione di un operatore mediante un operatore alle differenze finite
su un intervallo limitato è di secondo ordine sulla classe delle funzioni lisce.
Un problema alle differenze finite approssima un problema differenziale e l'approssimazione è di ordine , se sia l'equazione differenziale stessa che le condizioni al contorno (e iniziali) sono approssimate dai corrispondenti operatori alle differenze finite e le approssimazioni sono di ordine .
Condizione di coraggio
La condizione Courant (nella letteratura anglosassone, Ing. Condizione di Courant-Friedrichs-Levy , CFL) - la velocità di propagazione delle perturbazioni nel problema differenziale non dovrebbe essere inferiore a quella del problema differenziale. Se questa condizione non è soddisfatta, il risultato dello schema delle differenze potrebbe non tendere a risolvere l'equazione differenziale. In altre parole, in un passo temporale la particella non dovrebbe “attraversare” più di una cellula.
Nel caso di circuiti i cui coefficienti non dipendono dalla soluzione dell'equazione differenziale, la condizione di Courant segue dalla stabilità.
Schemi su griglie polarizzate
In questi schemi a griglia, dove il risultato è impostato ei dati sono sfalsati l'uno dall'altro. Ad esempio, i punti dei risultati si trovano nel mezzo tra i punti dati. In alcuni casi, ciò consente l'uso di condizioni al contorno più semplici.
Guarda anche
Collegamenti
- "Schemi di differenza" - Capitolo di Wikibooks su "Schemi di differenza per equazioni iperboliche"
- Demyanov A.Yu., Chizhikov D.V. Schema di differenza monotona ibrida implicita del secondo ordine di accuratezza
- V. S. Ryaben'kii, A. F. Filippov. Sulla stabilità delle equazioni alle differenze. - M.: Gostekhizdat, 1956.
- S. K. Godunov, V. S. Ryabenky. Introduzione alla teoria degli schemi alle differenze. - M.: Fizmatgiz, 1962.
- KI Babenko. Fondamenti di analisi numerica. - M.: Nauka, 1986.
- Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metodi di calcolo, - Qualsiasi edizione.
- Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Metodi numerici, - Qualsiasi edizione.
- GI Marchuk. Metodi di matematica computazionale. - M.: Nauka, 1977.
Appunti
Fondazione Wikimedia. 2010 .
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