righe funzionali. Serie di potenze.
Campo di convergenza della serie

Le risate senza motivo sono un segno di d'Alembert

Quindi è suonata l'ora delle file funzionali. Per padroneggiare con successo l'argomento e, in particolare, questa lezione, devi essere esperto nelle solite serie di numeri. Dovresti avere una buona comprensione di cosa sia una serie, essere in grado di applicare i segni di confronto per studiare la convergenza della serie. Quindi, se hai appena iniziato a studiare l'argomento o sei una teiera in matematica superiore, necessario lavorare attraverso tre lezioni in sequenza: Righe per teiere,Segno di d'Alembert. Segni di Cauchy E Righe alternate. Segno di Leibniz. Sicuramente tutti e tre! Se hai conoscenze e abilità di base nella risoluzione di problemi con le serie numeriche, sarà abbastanza facile gestire le serie funzionali, poiché non c'è molto materiale nuovo.

In questa lezione considereremo il concetto di serie funzionale (cos'è in generale), faremo conoscenza con le serie di potenze, che si trovano nel 90% delle attività pratiche, e impareremo come risolvere un problema tipico comune di trovare la convergenza raggio, intervallo di convergenza e regione di convergenza di una serie di potenze. Inoltre, consiglio di considerare il materiale su espansione delle funzioni in serie di potenze, e un'ambulanza sarà fornita al principiante. Dopo un po' di riposo, passiamo al livello successivo:

Anche nella sezione delle serie funzionali ce ne sono numerose applicazioni per calcoli approssimati, e la serie di Fourier, a cui, di regola, viene assegnato un capitolo a parte nella letteratura educativa, vanno un po' in disparte. Ho solo un articolo, ma è lungo e molti, molti altri esempi!

Quindi, i punti di riferimento sono fissati, andiamo:

Il concetto di serie funzionale e serie di potenze

Se l'infinito è ottenuto nel limite, quindi anche l'algoritmo di soluzione termina il suo lavoro e diamo la risposta finale al compito: "La serie converge in" (o in entrambi"). Vedi caso #3 del paragrafo precedente.

Se nel limite risulta non zero e non infinito, quindi abbiamo il caso più comune nella pratica n. 1: la serie converge su un certo intervallo.

In questo caso il limite è . Come trovare l'intervallo di convergenza di una serie? Facciamo una disuguaglianza:

IN QUALSIASI attività di questo tipo dovrebbe essere sul lato sinistro della disuguaglianza risultato del calcolo del limite, e sul lato destro della disuguaglianza rigorosamente unità. Non spiegherò perché esattamente questa disuguaglianza e perché ce n'è una a destra. Le lezioni sono pratiche, ed è già molto positivo che alcuni dei teoremi siano diventati più chiari dalle mie storie che il personale docente non si è impiccato.

La tecnica per lavorare con il modulo e risolvere le doppie disuguaglianze è stata considerata in dettaglio nel primo anno nell'articolo Ambito di funzione, ma per comodità cercherò di commentare tutte le azioni nel modo più dettagliato possibile. Riveliamo la disuguaglianza con il modulo secondo la regola della scuola . In questo caso:

A metà strada dietro.

Nella seconda fase, è necessario indagare la convergenza della serie agli estremi dell'intervallo trovato.

Innanzitutto, prendiamo l'estremità sinistra dell'intervallo e la sostituiamo nella nostra serie di potenze:

A

È stata ricevuta una serie numerica e dobbiamo esaminarla per verificarne la convergenza (un compito già familiare dalle lezioni precedenti).

1) La serie è a segno alternato.
2) – i termini della serie diminuiscono modulo. Inoltre, ogni termine successivo della serie è minore del precedente in modulo: , quindi la diminuzione è monotona.
Conclusione: la serie converge.

Con l'aiuto di una serie composta da moduli, scopriremo esattamente come:
– converge (serie di riferimento della famiglia delle serie armoniche generalizzate).

Pertanto, la serie di numeri risultante converge assolutamente.

A - converge.

! Io ricordo che ogni serie positiva convergente è anche assolutamente convergente.

Pertanto, la serie di potenze converge, e assolutamente, ad entrambe le estremità dell'intervallo trovato.

Risposta: regione di convergenza della serie di potenze studiata:

Ha il diritto alla vita e un altro disegno della risposta: la serie converge se

A volte nella condizione del problema è necessario specificare il raggio di convergenza. È ovvio che nell'esempio considerato .

Esempio 2

Trova la regione di convergenza di una serie di potenze

Soluzione: troviamo l'intervallo di convergenza della serie usando segno di d'Alembert (ma non secondo l'attributo! - non esiste un tale attributo per le serie funzionali):

La serie converge in

Sinistra dobbiamo partire soltanto, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per 3:

– La serie è a segno alternato.
– – i termini della serie diminuiscono modulo. Ogni termine successivo della serie è minore del precedente in valore assoluto: , quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Lo esaminiamo per la natura della convergenza:

Confronta questa serie con la serie divergente.
Usiamo il segno limite di confronto:

Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie diverge insieme alla serie.

Pertanto, la serie converge condizionatamente.

2) Quando – diverge (come dimostrato).

Risposta: L'area di convergenza delle serie di potenze studiate: . Per , la serie converge condizionalmente.

Nell'esempio considerato, la regione di convergenza della serie di potenze è un semiintervallo e in tutti i punti dell'intervallo la serie di potenze converge assolutamente, e al punto , come si è scoperto, condizionatamente.

Esempio 3

Trova l'intervallo di convergenza della serie di potenze e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Questo è un esempio fai da te.

Considera un paio di esempi che sono rari, ma si verificano.

Esempio 4

Trova l'area di convergenza della serie:

Soluzione: utilizzando il test d'Alembert, troviamo l'intervallo di convergenza di questa serie:

(1) Comporre il rapporto tra il membro successivo della serie e quello precedente.

(2) Sbarazzarsi della frazione di quattro piani.

(3) Cubi e, secondo la regola delle operazioni con poteri, sono riassunti sotto un unico grado. Nel numeratore scomponiamo abilmente il grado, cioè espandere in modo tale che al passaggio successivo riduciamo la frazione di . I fattoriali sono descritti in dettaglio.

(4) Sotto il cubo, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine, indicando che . In una frazione, riduciamo tutto ciò che può essere ridotto. Il moltiplicatore viene tolto dal segno limite, può essere tolto, poiché in esso non c'è nulla che dipenda dalla variabile "dinamica" "en". Si noti che il segno del modulo non viene disegnato, poiché assume valori non negativi per qualsiasi "x".

Al limite si ottiene zero, il che significa che possiamo dare la risposta finale:

Risposta: La serie converge in

E all'inizio sembrava che questa lite con un "terribile ripieno" sarebbe stata difficile da risolvere. Zero o infinito nel limite è quasi un regalo, perché la soluzione è notevolmente ridotta!

Esempio 5

Trova l'area di convergenza di una serie

Questo è un esempio fai da te. Fai attenzione ;-) La soluzione completa è la risposta alla fine della lezione.

Si considerino alcuni altri esempi che contengono un elemento di novità in termini di utilizzo delle tecniche.

Esempio 6

Trova l'intervallo di convergenza della serie e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Soluzione: Il termine comune della serie di potenze include il fattore , che assicura l'alternanza. L'algoritmo di soluzione è completamente preservato, ma durante la compilazione del limite ignoriamo (non scriviamo) questo fattore, poiché il modulo distrugge tutti gli "svantaggi".

Troviamo l'intervallo di convergenza della serie usando il test d'Alembert:

Componiamo la disuguaglianza standard:
La serie converge in
Sinistra dobbiamo partire solo modulo, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per 5:

Ora espandiamo il modulo in modo familiare:

Nel mezzo della doppia disuguaglianza, devi lasciare solo la "x", a tale scopo sottrai 2 da ciascuna parte della disuguaglianza:

è l'intervallo di convergenza delle serie di potenze studiate.

Indaghiamo la convergenza della serie agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Sostituisci il valore nella nostra serie di potenze :

Fai molta attenzione, il moltiplicatore non prevede alternanza, per nessun "en" naturale. Prendiamo il meno risultante dalla serie e ce ne dimentichiamo, poiché (come qualsiasi moltiplicatore costante) non influenza in alcun modo la convergenza o la divergenza della serie numerica.

Avviso di nuovo che nel corso della sostituzione del valore nel termine comune della serie di potenze, abbiamo ridotto il fattore . Se ciò non accade, ciò significherebbe che abbiamo calcolato in modo errato il limite o espanso in modo errato il modulo.

Quindi, è necessario studiare la convergenza delle serie numeriche. Qui è più semplice utilizzare il criterio di confronto limite e confrontare questa serie con una serie armonica divergente. Ma, ad essere onesti, ero terribilmente stanco dell'ultimo segno di confronto, quindi aggiungerò un po' di varietà alla soluzione.

Quindi la serie converge a

Moltiplica entrambi i lati della disuguaglianza per 9:

Estraiamo la radice da entrambe le parti, ricordando la battuta della vecchia scuola:


Espandere il modulo:

e aggiungine uno a tutte le parti:

è l'intervallo di convergenza delle serie di potenze studiate.

Indaghiamo la convergenza delle serie di potenze agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Se , si ottiene la seguente serie numerica:

Il moltiplicatore è scomparso senza lasciare traccia, perché per qualsiasi valore naturale di "en" .

Dominio di convergenza Una serie funzionale è una serie i cui membri sono funzioni / definite su un certo insieme E dell'asse reale. Ad esempio, i termini di una serie sono definiti su un intervallo ei termini di una serie sono definiti su un segmento Una serie funzionale (1) si dice convergere in un punto Xo € E se converge in ogni punto x della insieme D ⊂ E e diverge in ogni punto che non appartiene all'insieme D, allora si dice che la serie converge sull'insieme D, e D si dice regione di convergenza della serie. Una serie (1) si dice assolutamente convergente su un insieme D se la serie converge su questo insieme.Nel caso di convergenza della serie (1) su un insieme D, la sua somma S sarà una funzione definita su D. La regione di la convergenza di alcune serie funzionali può essere trovata utilizzando criteri sufficienti noti, stabiliti per serie con membri positivi, ad esempio il segno di Dapamber, il segno di Cauchy. Esempio 1. Trovare la regione di convergenza della serie M Poiché la serie numerica converge per p > 1 e diverge per p > 1, allora, assumendo p - Igx, otteniamo questa serie. che convergerà per Igx > T, cioè se x > 10, e divergere quando Igx ^ 1, cioè a 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 la serie diverge, poiché L =. La divergenza della serie in x = 0 è ovvia. Esempio 3. Trova l'area di convergenza della serie I termini di questa serie sono definiti e continui sull'insieme. Applicando il segno Kosh e, troviamo per qualsiasi. Pertanto, la serie diverge per tutti i valori di x. Indichiamo con Sn(x) l'ennesima somma parziale della serie funzionale (1). Se questa serie converge sull'insieme D e la sua somma è uguale a 5(g), allora può essere rappresentata come Per tutti i valori di x € D vale la relazione e quindi. cioè, il resto Rn(x) della serie convergente tende a zero come n oo, qualunque sia x 6 D. Convergenza uniforme Tra tutte le serie convergenti di funzioni, le cosiddette serie uniformemente convergenti giocano un ruolo importante. Sia data una serie funzionale convergente sull'insieme D, la cui somma sia uguale a S(x). Prendi la sua n-esima somma parziale Definizione. Serie funzionali SERIE FUNZIONALI Regione di convergenza Convergenza uniforme Criterio di Weierstrass La proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti si dice uniformemente convergente sull'insieme PS1) se per ogni numero ε > 0 esiste un numero λ > 0 tale che la disuguaglianza x dall'insieme fi. Commento. Qui il numero N è lo stesso per ogni x ∈ 10, cioè non dipende da z, ma dipende dalla scelta del numero e, quindi scriviamo N = N(e). La convergenza uniforme della serie funzionale £ /n(®) alla funzione S(x) sull'insieme ft è spesso indicata come segue: La definizione della convergenza uniforme della serie /n(x) sull'insieme ft può essere scritto più breve usando simboli logici: riga funzionale. Prendiamo il segmento [a, 6] come insieme ft e tracciamo i grafici delle funzioni. La disuguaglianza |, che vale per i numeri n > N e per ogni a; G [a, b] e y = 5(g) + e (Fig. 1). Esempio 1 converge uniformemente sul segmento Questa serie è alternata, soddisfa le condizioni del test di Leibniz per ogni x € [-1,1] e, quindi, converge sul segmento (-1,1]. Sia S(x) la sua somma, e Sn (x) è la sua n-esima somma parziale Il valore assoluto del resto della serie non supera il valore assoluto del suo primo termine: a poiché Prendi qualsiasi e. Allora la disuguaglianza | sarà soddisfatta se. Da qui troviamo che n > \. Se prendiamo un numero (qui [a] denota il numero intero più grande che non supera a), allora la disuguaglianza | e vale per tutti i numeri n > N e per tutti gli x € [-1,1). Ciò significa che questa serie converge uniformemente sul segmento [-1,1). I. Non tutte le serie funzionali che convergono sull'insieme D sono uniformemente convergenti nell'Esempio 2. Mostriamo che la serie converge sull'intervallo, ma non uniformemente. 4 Calcoliamo l'n-esima somma parziale £n(*) della serie. Abbiamo Da dove Questa serie converge sul segmento e la sua somma se Il valore assoluto della differenza S (x) - 5„ (x) (il resto della serie) è uguale a. Prendiamo un numero e tale che. Risolviamo la disuguaglianza rispetto a n Abbiamo, da dove (perché, e dividendo per Inx, il segno della disuguaglianza è invertito). La disuguaglianza vale per . Pertanto, un tale numero N(e) che non dipende da x, cosicché la disuguaglianza vale per ciascuno) immediatamente per tutti gli x del segmento. , non esiste. Se invece il segmento 0 è sostituito da un segmento più piccolo, dove, allora su quest'ultimo questa serie convergerà uniformemente alla funzione S0. Infatti, per, e quindi per tutti gli x in una volta §3. Il criterio di Weierstrass Un criterio sufficiente per la convergenza uniforme di una serie funzionale è dato dal teorema di Weierstrass. Teorema 1 (test di Weierstrass). Siano, per ogni x dell'insieme Q, i membri della serie funzionale in valore assoluto non superino i corrispondenti membri della serie numerica convergente П=1 a termini positivi, cioè per ogni x ∈ Q. Allora la serie funzionale ( 1) sull'insieme П converge assolutamente e uniformemente . E Tek, poiché, secondo la condizione del teorema, i termini della serie (1) soddisfano la condizione (3) sull'intero insieme Q, allora, per il criterio di confronto, la serie 2 \fn(x)\ converge per qualsiasi x ∈ H, e, di conseguenza, la serie (1) converge su P assolutamente. Dimostriamo la convergenza uniforme della serie (1). Indichiamo con Sn(x) e an le somme parziali delle serie (1) e (2), rispettivamente. Abbiamo Prendi un qualsiasi numero (arbitrariamente piccolo) e > 0. Allora la convergenza della serie numerica (2) implica l'esistenza di un numero N = N(e) tale che, di conseguenza, -e per tutti i numeri n > N(e ) e per tutti x6n , cioè la serie (1) converge uniformemente sull'insieme P. Osservazione. La serie numerica (2) è spesso chiamata majorizing, o majorant, per la serie funzionale (1). Esempio 1. Indagare la serie per la convergenza uniforme La disuguaglianza vale per tutti. e per tutti. La serie numerica converge. In virtù del test di Weierstrass, la serie funzionale considerata converge assolutamente ed uniformemente sull'intero asse. Esempio 2. Studio di una serie per convergenza uniforme I termini della serie sono definiti e continui sul segmento [-2,2|. Dal momento che sul segmento [-2,2) per ogni n naturale, quindi, la disuguaglianza vale per. Poiché la serie numerica converge, allora, secondo il test di Weierstrass, la serie funzionale originaria converge assolutamente e uniformemente sul segmento. Commento. La serie funzionale (1) può convergere uniformemente sull'insieme Piv nel caso in cui non ci siano serie maggioritarie numeriche (2), cioè il criterio di Weierstrass è solo un criterio sufficiente per la convergenza uniforme, ma non è necessario. Esempio. Come mostrato sopra (esempio), la serie converge uniformemente sul segmento 1-1,1]. Tuttavia, non esiste una serie di numeri convergenti maggiori (2) per esso. Infatti, per tutti i numeri naturali n e per ogni x ∈ [-1,1) la disuguaglianza vale, e l'uguaglianza si ottiene a. Pertanto, i termini della serie maggiorante desiderata (2) devono necessariamente soddisfare la condizione ma la serie numerica SERIE FUNZIONALE Regione di convergenza Convergenza uniforme Test di Weierstrass Le proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti divergono. Ciò significa che anche la serie £ op divergerà. Proprietà di serie di funzioni uniformemente convergenti Le serie di funzioni uniformemente convergenti hanno una serie di importanti proprietà. Teorema 2. Se tutti i termini di una serie convergenti uniformemente sul segmento [a, b] vengono moltiplicati per la stessa funzione q(x) limitata su [a, 6], allora la serie funzionale risultante convergerà uniformemente su. Sia la serie £ fn(x) convergere uniformemente alla funzione S(x) sull'intervallo [a, b\], e sia limitata la funzione g(x), cioè esista una costante C > 0 tale che per la definizione della convergenza uniforme della serie per ogni numero e > 0 esiste un numero N tale che per ogni n > N e per ogni x ∈ [a, b] vale la disuguaglianza dove 5n(ar) è una somma parziale della serie in esame. Pertanto, avremo per chiunque. la serie converge uniformemente su [a, b| ad una funzione Teorema 3. Siano tutti i termini fn(x) di una serie funzionale continui e la serie converga uniformemente sul segmento [a, b\. Allora la somma S(x) della serie è continua su questo intervallo. M Prendiamo nell'intervallo [o, b] due punti arbitrari zr + Ax. Poiché questa serie converge uniformemente sul segmento [a, b], allora per ogni numero e > 0 esiste un numero N = N(e) tale che per ogni n > N valgono le disuguaglianze dove5n(x) sono somme parziali di la serie fn (x). Queste somme parziali Sn(x) sono continue sull'intervallo [a, 6] come somma di un numero finito di funzioni fn(x) continue su [a, 6). Quindi, per un dato numero no > N(e) e un dato numero e, esiste un numero 6 = 6(e) > 0 tale che la disuguaglianza Ax che soddisfa la condizione | forma: from where. Tenendo conto delle disuguaglianze (1) e (2), per incrementi Ax che soddisfano la condizione |, si ottiene Ciò significa che la somma Six) è continua nel punto x. Poiché x è un punto arbitrario del segmento [a, 6], ne consegue che 5(x) è continuo su |a, 6|. Commento. Una serie funzionale i cui membri sono continui sull'intervallo [a, 6), ma che converge in modo non uniforme su (a, 6], può avere una funzione discontinua come somma Esempio 1. Si consideri una serie funzionale sull'intervallo |0,1 ). Calcoliamo la sua n-esima somma parziale Pertanto, è discontinua sul segmento , sebbene su di esso gli elementi della serie siano continui. In virtù del teorema dimostrato, questa serie non converge uniformemente sull'intervallo . Esempio 2. Considera una serie Come mostrato sopra, questa serie converge a, la serie convergerà uniformemente secondo il criterio di Weierstrass, poiché 1 e la serie numerica convergono. Pertanto, per ogni x > 1, la somma di questa serie è continua. Commento. La funzione è chiamata funzione di Riemann su (questa funzione gioca un ruolo importante nella teoria dei numeri). Teorema 4 (sull'integrazione termine per termine di una serie funzionale). Siano continui tutti i termini fn(x) della serie, e la serie converga uniformemente sul segmento [a, b] alla funzione S(x). Allora vale la seguente uguaglianza: per la continuità delle funzioni fn(x) e per la convergenza uniforme della serie data sull'intervallo [a, 6], la sua somma 5(x) è continua e quindi integrabile su . Considera la differenza Segue dalla convergenza uniforme della serie su [o, b] che per ogni e > 0 esiste un numero N(e) > 0 tale che per tutti i numeri n > N(e) e per ogni x € [a, 6] la disuguaglianza vale Se la serie fn(0 non è uniformemente convergente, allora, in generale, non può essere integrata termine per termine, cioè Teorema 5 (sulla differenziazione termine per termine della serie funzionale) Sia che tutti i termini della serie convergente 00 abbiano derivate continue e la serie composta da queste derivate converge uniformemente sull'intervallo [a, b] Allora, in ogni punto, l'uguaglianza è vera, cioè la serie data può essere differenziato termine per termine M Prendiamo due punti qualsiasi, allora, in virtù del Teorema 4, abbiamo La funzione o-(x) è continua come somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue. ottenere

Gamma funzionale è chiamata espressione formalmente scritta

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu N ( X) + ... , (1)

Dove tu1 (X), tu 2 (X), tu 3 (X), ..., tu N ( X), ... - sequenza di funzioni da una variabile indipendente X.

Una notazione abbreviata di una serie funzionale con sigma:.

Esempi di serie funzionali sono :

(2)

(3)

Dare la variabile indipendente X un certo valore X0 e sostituendolo nella serie funzionale (1), otteniamo una serie numerica

tu1 (X 0 ) + tu 2 (X 0 ) + tu 3 (X 0 ) + ... + tu N ( X 0 ) + ...

Se la serie numerica ottenuta converge, si dice che la serie funzionale (1) converge per X = X0 ; se diverge, che si dice essere la serie (1) diverge a X = X0 .

Esempio 1. Analizzare la convergenza di una serie funzionale(2) per i valori X= 1 e X = - 1 .
Soluzione. A X= 1 otteniamo una serie di numeri

che converge secondo il test di Leibniz. A X= - 1 otteniamo una serie di numeri

,

che diverge come prodotto di una serie armonica divergente per – 1. Pertanto, la serie (2) converge a X= 1 e diverge a X = - 1 .

Se tale test per la convergenza delle serie funzionali (1) viene eseguito rispetto a tutti i valori della variabile indipendente dal dominio di definizione dei suoi membri, i punti di questo dominio saranno divisi in due insiemi: con valori X presa in una di esse, la serie (1) converge e nell'altra diverge.

L'insieme dei valori di una variabile indipendente per cui converge la serie funzionale è chiamato suo regione di convergenza .

Esempio 2. Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I membri della serie sono definiti sull'intera linea numerica e formano una progressione geometrica con un denominatore Q= peccato X. Quindi la serie converge se

e diverge se

(i valori non sono possibili). Ma per valori e per altri valori X. Pertanto, la serie converge per tutti i valori X, tranne . La regione della sua convergenza è l'intera linea numerica, ad eccezione di questi punti.

Esempio 3. Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I termini della serie formano una progressione geometrica con un denominatore Q= ln X. Pertanto, la serie converge se , o , donde . Questa è la regione di convergenza di questa serie.

Esempio 4. Analizzare la convergenza di una serie funzionale

Soluzione. Prendiamo un valore arbitrario. Con questo valore, otteniamo una serie di numeri

(*)

Trova il limite del suo termine comune

Di conseguenza, la serie (*) diverge per una scelta arbitraria, i.e. per qualsiasi valore X. Il dominio della sua convergenza è l'insieme vuoto.

Convergenza uniforme di una serie funzionale e sue proprietà

Passiamo al concetto convergenza uniforme delle serie funzionali . Permettere S(X) è la somma di questa serie, e SN ( X) - somma N i primi membri di questa serie. Gamma funzionale tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu N ( X) + ... si dice uniformemente convergente sull'intervallo [ UN, B] , se per qualsiasi numero arbitrariamente piccolo ε > 0 esiste un tale numero N, quello per tutti N ≥ N la disuguaglianza sarà soddisfatta

|S(X) − S N ( X)| < ε

per chiunque X dal segmento [ UN, B] .

La proprietà di cui sopra può essere illustrata geometricamente come segue.

Considera il grafico della funzione si = S(X) . Costruiamo una striscia di larghezza 2 attorno a questa curva. ε N, cioè costruiamo curve si = S(X) + ε N E si = S(X) − ε N(sono verdi nella foto qui sotto).

Quindi per qualsiasi ε N grafico delle funzioni SN ( X) risiederà interamente nella band in esame. La stessa banda conterrà i grafici di tutte le successive somme parziali.

Qualsiasi serie funzionale convergente che non ha la caratteristica sopra descritta è non uniformemente convergente.

Considera un'altra proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti:

la somma di una serie di funzioni continue che converge uniformemente su un certo intervallo [ UN, B] , esiste una funzione continua su questo segmento.

Esempio 5 Determina se la somma di una serie funzionale è continua

Soluzione. Troviamo la somma N i primi membri di questa serie:

Se X> 0, quindi

,

Se X < 0 , то

Se X= 0, quindi

E quindi .

Il nostro studio ha dimostrato che la somma di questa serie è una funzione discontinua. Il suo grafico è mostrato nella figura sottostante.

Test di Weierstrass per la convergenza uniforme di serie funzionali

Affrontiamo il criterio di Weierstrass attraverso il concetto maggioranze di serie funzionali . Gamma funzionale

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu N ( X) + ...

4.1. Serie di funzioni: concetti base, area di convergenza

Definizione 1. Una serie i cui membri sono funzioni di uno o
vengono chiamate diverse variabili indipendenti definite su un insieme gamma funzionale.

Considera una serie funzionale i cui membri sono funzioni di una variabile indipendente X. La somma del primo N i membri della serie è una somma parziale della serie funzionale data. Membro comune c'è una funzione da X definita in qualche area. Considera una serie funzionale in un punto . Se la serie di numeri corrispondente converge, cioè c'è un limite di somme parziali di questa serie
(Dove − la somma della serie numerica), quindi viene chiamato il punto punto di convergenza gamma funzionale . Se la linea dei numeri diverge, allora il punto è chiamato punto di divergenza riga funzionale.

Definizione 2. Zona di convergenza gamma funzionale è chiamato l'insieme di tutti questi valori X, per cui converge la serie funzionale. La regione di convergenza, costituita da tutti i punti di convergenza, è indicata . Notare che R.

La serie funzionale converge nella regione , se per qualsiasi converge come una serie di numeri, mentre la sua somma sarà una funzione . Questo cosiddetto funzione limite sequenze : .

Come trovare l'area di convergenza di una serie funzionale ? Puoi usare un segno simile al segno di d'Alembert. Per un numero comporre e considera il limite in un punto fisso X:
. Poi è una soluzione della disuguaglianza e risolvendo l'equazione (prendiamo solo quelle soluzioni dell'equazione, in
cui convergono le corrispondenti serie numeriche).

Esempio 1. Trova l'area di convergenza della serie .

Soluzione. Denota , . Componiamo e calcoliamo il limite , quindi la regione di convergenza della serie è determinata dalla disuguaglianza ed equazione . Cerchiamo inoltre di esaminare la convergenza della serie originale nei punti che sono le radici dell'equazione:

e se , , quindi otteniamo una serie divergente ;

b) se , , quindi la riga converge condizionalmente (per

Test di Leibniz, esempio 1, lezione 3, sez. 3.1).

Quindi, la regione di convergenza la riga è simile a: .

4.2. Serie di potenze: concetti base, teorema di Abel

Considera un caso speciale di una serie funzionale, la cosiddetta serie di potenze , Dove
.

Definizione 3. potere successivoè detta una serie funzionale della forma ,

Dove − numeri costanti, chiamati coefficienti di serie.

La serie di potenze è un "polinomio infinito" disposto in potenze crescenti . Qualsiasi linea di numeri È
un caso particolare di una serie di potenze per .

Consideriamo un caso particolare di una serie di potenze per :
. Scopri di che tipo
regione di convergenza di una data serie .

Teorema 1 (teorema di Abele). 1) Se la serie di potenze converge in un punto , allora converge assolutamente per qualsiasi X, per cui la disuguaglianza .

2) Se la serie di potenze diverge a , allora diverge per qualsiasi X, per cui .

Prova. 1) Per condizione, la serie di potenze converge nel punto ,

cioè la serie di numeri converge

(1)

e, secondo il necessario criterio di convergenza, il suo termine comune tende a 0, cioè . Pertanto, c'è un numero che tutti i membri della serie sono limitati a questo numero:
.

Considera ora qualsiasi X, per cui , e comporre una serie di valori assoluti: .
Scriviamo questa serie in una forma diversa: poiché , quindi (2).

Dalla disuguaglianza
otteniamo, cioè riga

consiste di membri che sono maggiori dei corrispondenti membri della serie (2). Riga è una serie convergente di una progressione geometrica con un denominatore , Inoltre , Perché . Pertanto, la serie (2) converge per . Quindi la serie di potenze converge assolutamente.

2) Facciamo la fila diverge a , in altre parole,

la linea dei numeri diverge . Dimostriamolo per qualsiasi X () la serie diverge. La dimostrazione è per assurdo. Lascia per alcuni

fisso ( ) la serie converge, allora converge per tutti (vedi la prima parte di questo teorema), in particolare, per , che contraddice la condizione 2) del Teorema 1. Il teorema è dimostrato.

Conseguenza. Il teorema di Abel rende possibile giudicare la posizione del punto di convergenza di una serie di potenze. Se punto è un punto di convergenza della serie di potenze, quindi l'intervallo pieno di punti di convergenza; se il punto di divergenza è un punto , Quello
intervalli infiniti pieno di punti di divergenza (Fig. 1).

Riso. 1. Intervalli di convergenza e divergenza della serie

Si può dimostrare che esiste un tale numero , quello per tutti
serie di potenze converge assolutamente, e − diverge. Supponiamo che se la serie converge solo in un punto 0, allora , e se la serie converge per tutti , Quello .

Definizione 4. Intervallo di convergenza serie di potenze questo intervallo è chiamato , quello per tutti questa serie converge assolutamente e per tutti X trovandosi al di fuori di questo intervallo, la serie diverge. Numero R chiamato raggio di convergenza serie di potenze.

Commento. Al termine dell'intervallo la questione della convergenza o della divergenza di una serie di potenze viene risolta separatamente per ciascuna serie specifica.

Mostriamo uno dei metodi per determinare l'intervallo e il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Considera la serie di potenze e denotare .

Facciamo una serie di valori assoluti dei suoi membri:

e vi applico il test di d'Alembert.

Lascia che esista

.

Secondo il test di d'Alembert, la serie converge se , e diverge se . Da qui, la serie converge in , quindi l'intervallo di convergenza: . A , la serie diverge perché .
Usando la notazione , otteniamo una formula per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze:

,

Dove sono i coefficienti della serie di potenze.

Se si scopre che il limite , allora assumiamo .

Per determinare l'intervallo e il raggio di convergenza di una serie di potenze si può utilizzare anche il criterio radicale di Cauchy, il raggio di convergenza della serie è determinato dalla relazione .

Definizione 5. Serie di potenze generalizzate si chiama serie

. È anche chiamato successivo per gradi .
Per una tale serie, l'intervallo di convergenza ha la forma: , Dove − raggio di convergenza.

Mostriamo come si trova il raggio di convergenza per una serie di potenze generalizzata.

quelli. , Dove .

Se , Quello , e l'area di convergenza R; Se , Quello e area di convergenza .

Esempio 2. Trova l'area di convergenza di una serie .

Soluzione. Denota . Facciamo un limite

Risolviamo la disequazione: , , da qui l'intervallo

convergenza ha la forma: , Inoltre R= 5. Inoltre, studiamo le estremità dell'intervallo di convergenza:
UN) , , otteniamo la serie , che diverge;
B) , , otteniamo la serie , che converge
condizionatamente. La regione di convergenza è quindi: , .

Risposta: regione di convergenza .

Esempio 3 Riga divergente per tutti , Perché A , raggio di convergenza .

Esempio 4 La serie converge per ogni R, il raggio di convergenza .

- forse il complesso non si rivelerà così complicato;) E anche il titolo di questo articolo è astuto - le serie di cui parleremo oggi non sono piuttosto complesse, ma "terre rare". Tuttavia, anche gli studenti part-time non ne sono immuni, e quindi questa lezione apparentemente aggiuntiva dovrebbe essere presa con la massima serietà. Dopotutto, dopo averci lavorato, puoi affrontare quasi tutte le "bestie"!

Cominciamo con i classici del genere:

Esempio 1

Innanzitutto, nota che questa NON è una serie di potenze (vi ricordo che ha la forma). E, in secondo luogo, qui colpisce subito il valore, che ovviamente non può entrare nella regione di convergenza della serie. E questo è già un piccolo successo dello studio!

Ma ancora, come ottenere un grande successo? Mi affretto a farti piacere: tali serie possono essere risolte allo stesso modo di energia– basandosi sul segno di d'Alembert o sul segno radicale di Cauchy!

Soluzione: il valore non rientra nell'intervallo di convergenza della serie. Questo è un fatto significativo, e va notato!

La base dell'algoritmo funziona come standard. Usando il test d'Alembert, troviamo l'intervallo di convergenza della serie:

La serie converge in . Spostiamo il modulo verso l'alto:

Controlliamo subito il punto "cattivo": il valore non è entrato nella regione di convergenza della serie.

Indaghiamo la convergenza della serie alle estremità "interne" degli intervalli:
se poi
se poi

Entrambe le serie numeriche divergono, poiché non è soddisfatta necessario segno di convergenza.

Risposta: regione di convergenza:

Facciamo una piccola analisi. Sostituiamo un valore dall'intervallo giusto nella serie funzionale, ad esempio:
- converge su segno di d'Alembert.

Nel caso di sostituzione di valori dall'intervallo sinistro si ottengono anche serie convergenti:
se poi .

E infine, se , allora la serie - diverge davvero.

Un paio di semplici esempi per riscaldarsi:

Esempio 2

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

Esempio 3

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

Sii particolarmente bravo con "nuovo" modulo- si incontrerà 100500 volte oggi!

Brevi soluzioni e risposte alla fine della lezione.

Gli algoritmi utilizzati sembrano essere universali e privi di problemi, ma in realtà non è così: per molte serie funzionali spesso "scivolano" o addirittura portano a conclusioni errate (e considererò anche tali esempi).

La rugosità inizia già a livello di interpretazione dei risultati: si consideri, ad esempio, la serie . Qui, al limite, otteniamo (controlla tu stesso), e in teoria è necessario dare una risposta che la serie converge in un unico punto. Tuttavia, il punto è "esagerato", il che significa che il nostro "paziente" diverge ovunque!

E per la serie, la soluzione “ovvia” “secondo Cauchy” non regala proprio niente:
- per QUALSIASI valore di "x".

E sorge la domanda, cosa fare? Usiamo il metodo a cui sarà dedicata la parte principale della lezione! Può essere formulato come segue:

Analisi diretta di serie di numeri per vari valori

In effetti, abbiamo già iniziato a farlo nell'Esempio 1. Innanzitutto, esaminiamo alcune "x" specifiche e la corrispondente serie numerica. Chiede di prendere il valore:
- la serie numerica risultante diverge.

E questo suggerisce subito il pensiero: e se succede la stessa cosa in altri punti?
Controlliamo un criterio necessario per la convergenza della serie Per arbitrario valori:

Punto considerato sopra per tutte le altre "x" organizziamo per reception standard secondo meraviglioso limite:

Conclusione: la serie diverge su tutta la retta dei numeri

E questa soluzione è l'opzione più funzionante!

In pratica, le serie funzionali devono spesso essere confrontate serie armonica generalizzata :

Esempio 4

Soluzione: Prima di tutto, affrontiamo dominio di definizione: in questo caso l'espressione radicale deve essere strettamente positiva, e, inoltre, devono esistere tutti i membri della serie, a partire dal 1°. Da ciò segue che:
. Con questi valori si ottengono serie condizionalmente convergenti:
eccetera.

Altre "x" non sono adatte, quindi, ad esempio, quando otteniamo un caso illegale in cui i primi due membri della serie non esistono.

Va tutto bene, è tutto chiaro, ma c'è un'altra domanda importante: come elaborare con competenza una decisione? Propongo uno schema che può essere gergalizzato come "trasferimento di frecce" a serie di numeri:

Prendere in considerazione arbitrario Senso ed esaminare la convergenza della serie numerica . Routine segno di Leibniz:

1) Questa serie è alternata.

2) – i termini della serie diminuiscono modulo. Ogni termine successivo della serie è minore in valore assoluto del precedente: , quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge secondo il test di Leibniz. Come già notato, la convergenza qui è condizionata, per il motivo che la serie - diverge.

Quindi eccolo qui: pulito e corretto! Perché dietro l'"alfa" abbiamo abilmente nascosto tutte le serie numeriche valide.

Risposta: la serie funzionale esiste e converge condizionalmente per .

Un esempio simile per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Studiare la convergenza di una serie funzionale

Un esempio di compito finale alla fine della lezione.

Ecco la tua "ipotesi di lavoro"! – la serie funzionale converge sull'intervallo!

2) Tutto è trasparente con un intervallo simmetrico, consideriamo arbitrario valori e otteniamo: – serie numeriche assolutamente convergenti.

3) E infine, il "mezzo". Anche qui è conveniente distinguere due intervalli.

Stiamo valutando arbitrario valore dall'intervallo e ottieni una serie di numeri:

! Di nuovo, se è difficile , sostituire un numero specifico, ad esempio . Tuttavia, ... volevi difficoltà =)

Per tutti i valori di "en" , Significa:
- quindi, di segno di confronto la serie converge insieme con una progressione infinitamente decrescente.

Per tutti i valori di "x" dall'intervallo che otteniamo sono serie assolutamente convergenti.

Tutte le X sono state ricercate, le X non esistono più!

Risposta: area di convergenza della serie:

Devo dire, un risultato inaspettato! E va anche aggiunto che l'uso di segni di d'Alembert o di Cauchy qui sicuramente fuorvia!

La valutazione diretta è la "più alta acrobazia" dell'analisi matematica, ma questo, ovviamente, richiede esperienza, e da qualche parte anche intuizione.

O forse qualcuno troverà un modo più semplice? Scrivere! A proposito, ci sono precedenti: più volte i lettori hanno suggerito soluzioni più razionali e le ho pubblicate con piacere.

Buona fortuna per l'atterraggio :)

Esempio 11

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

La mia versione della soluzione è molto vicina.

Ulteriori hardcore possono essere trovati su Sezione VI (Righe) raccolta di Kuznetsov (Problemi 11-13). Ci sono soluzioni già pronte su Internet, ma qui ho bisogno di te avvisare- molti di loro sono incompleti, errati e persino errati. E, a proposito, questo è stato uno dei motivi per cui è nato questo articolo.

Riassumiamo le tre lezioni e sistemiamo i nostri strumenti. COSÌ:

Per trovare l'intervallo o gli intervalli di convergenza di una serie funzionale, si può usare:

1) Segno di d'Alembert o segno di Cauchy. E se la riga non lo è energia– mostriamo maggiore cautela nell'analizzare il risultato ottenuto dalla sostituzione diretta di vari valori.

2) Criterio di convergenza uniforme di Weierstrass. Non dimentichiamo!

3) Confronto con serie numeriche tipiche- unità nel caso generale.

Poi esaminare le estremità degli intervalli trovati (se necessario) e si ottiene la regione di convergenza della serie.

Ora hai a tua disposizione un arsenale piuttosto serio che ti permetterà di far fronte a quasi tutti i compiti tematici.

Vi auguro il successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione: il valore non rientra nell'intervallo di convergenza della serie.
Usiamo il segno d'Alembert:


La serie converge in:

Pertanto, gli intervalli di convergenza delle serie funzionali: .
Studiamo la convergenza della serie agli estremi:
se poi ;
se poi .
Entrambe le serie di numeri divergono, perché. il necessario criterio di convergenza non è soddisfatto.

Risposta : regione di convergenza: