確率モデルは、不確実性がある状況を説明します。 言い換えれば、プロセスはある程度のランダム性によって特徴付けられます。 形容詞の「ストキャスティクス」自体は、ギリシャ語の「推測」に由来します。 不確実性は日常生活の重要な特徴であるため、このようなモデルは何でも説明できます。
ただし、適用するたびに、結果は異なります。 したがって、決定論的モデルがより頻繁に使用されます。 それらは実際の状況に可能な限り近いわけではありませんが、常に同じ結果をもたらし、状況を理解しやすくし、一連の数式を導入して単純化します。
主な特徴
確率モデルには、常に 1 つ以上の確率変数が含まれます。 彼女は、そのすべての症状に実生活を反映しようとしています。 確率論とは異なり、すべてを単純化して既知の値に減らすことを目的としていません。 したがって、不確実性はその重要な特徴です。 確率モデルはあらゆるものを説明するのに適していますが、すべてに次の共通の特徴があります。
- 確率モデルは、それが作成された問題のすべての側面を反映しています。
- それぞれの現象の結果は不確かです。 したがって、モデルには確率が含まれます。 全体的な結果の正確さは、計算の正確さに依存します。
- これらの確率は、プロセス自体を予測または説明するために使用できます。
決定論的および確率論的モデル
ある人にとっては、人生は他の人にとって連続しているように見えます-原因が結果を決定するプロセス. 実際、それは不確実性によって特徴付けられますが、常にではなく、すべてではありません。 したがって、確率論的モデルと決定論的モデルの明確な違いを見つけるのが難しい場合があります。 確率はかなり主観的です。
たとえば、コイントスの状況を考えてみましょう。 一見、裏が出る確率は50%に見えます。 したがって、決定論的モデルを使用する必要があります。 しかし、実際には、プレーヤーの手の器用さとコインのバランスの完成度に大きく依存することがわかりました。 これは、確率モデルを使用する必要があることを意味します。 私たちが知らないパラメータは常にあります。 実生活では、常に原因が結果を決定しますが、ある程度の不確実性もあります。 決定論的モデルと確率論的モデルのどちらを使用するかの選択は、何を放棄しても構わないと思っているか、つまり分析の単純さか現実主義かによって決まります。
カオス理論では
最近、どのモデルがストキャスティクスと呼ばれるかという概念がさらに曖昧になってきました。 これは、いわゆるカオス理論の発展によるものです。 初期パラメータをわずかに変更するだけで異なる結果が得られる決定論的モデルについて説明します。 これは、不確実性の計算の入門書のようなものです。 多くの科学者は、これがすでに確率モデルであることを認めています。
ローター・ブロイヤーは、詩的なイメージの助けを借りて、すべてを優雅に説明しました。 彼は次のように書いています。 実際には、そのようなプロセスは常に特定の順序に従いますが、科学者やエンジニアはその順序を理解し始めたばかりです。 これがいわゆる決定論的カオスです。」 新しい理論は非常にもっともらしく聞こえるので、現代の多くの科学者がその理論を支持しています。 しかし、まだ発展途上にあり、統計計算に応用するのはかなり困難です。 したがって、確率的または決定論的なモデルがよく使用されます。
建物
確率論は、基本的な結果の空間の選択から始まります。 そのため、統計では、研究対象のプロセスまたはイベントの可能な結果のリストを呼び出します。 次に、研究者は、基本的な結果のそれぞれの確率を決定します。 通常、これは特定の手法に基づいて行われます。
ただし、確率は依然としてかなり主観的なパラメーターです。 次に研究者は、問題を解決するためにどのイベントが最も興味深いかを判断します。 その後、単純にその確率を決定します。
例
最も単純な確率モデルを構築するプロセスを考えてみましょう。 サイコロを振ったとします。 「6」または「1」が落ちた場合、賞金は 10 ドルになります。 この場合の確率モデルを構築するプロセスは次のようになります。
- 基本的な結果の空間を定義しましょう。 サイコロは6面あるので、1、2、3、4、5、6が出ます。
- どれだけサイコロを振っても、それぞれの結果の確率は 1/6 になります。
- 次に、関心のある結果を決定する必要があります。 これは、数字の「6」または「1」の顔の喪失です。
- 最後に、関心のあるイベントの確率を決定できます。 1/3です。 関心のある両方の基本イベントの確率を合計します: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
コンセプトと結果
確率的シミュレーションは、ギャンブルでよく使用されます。 しかし、確定的なものよりも状況を深く理解できるため、経済予測においても不可欠です。 経済学における確率モデルは、投資の意思決定によく使用されます。 これにより、特定の資産またはそのグループへの投資の収益性について推測することができます。
モデリングにより、財務計画がより効率的になります。 その助けを借りて、投資家とトレーダーは資産の分配を最適化します。 確率モデリングを使用すると、長期的には常に利点があります。 一部の業界では、適用を拒否または適用できないと、企業の倒産につながることさえあります。 これは、実際には新しい重要なパラメーターが毎日出現するという事実によるものであり、そうでない場合、悲惨な結果をもたらす可能性があります。
確率微分方程式(SDE) - 1 つまたは複数の項が確率的性質を持つ微分方程式。つまり、それらは確率過程を表します (別の名前はランダム過程です)。 したがって、方程式の解も確率過程であることがわかります。 SDE の最も有名で頻繁に使用される例は、ホワイト ノイズを表す項を含む方程式です (これは、ウィーナー過程の導関数の例と見なすことができます)。 ただし、ジャンププロセスなど、他のタイプのランダムな変動があります。
話
文献では、SDE の最初の使用は伝統的に、マリアン スモルコウスキー (g.) とアルバート アインシュタイン (g.) によって独立して行われたブラウン運動の記述に関する作業に関連付けられています。 ただし、SDE は少し前 (d.) にフランスの数学者 Louis Bouchelier の博士論文「Theory of Assumptions」で使用されていました。 この研究のアイデアに基づいて、フランスの物理学者 Paul Langevin は物理学の研究に SDE を適用し始めました。 その後、彼とロシアの物理学者ルスラン・ストラトノビッチは、SDE のより厳密な数学的正当化を開発しました。
用語
物理学では、SDE は伝統的にランジュバン方程式の形式で記述されます。 SDE は他の多くの方法で記述できますが、多くの場合、完全に正確ではありませんが、Langevin 方程式自体と呼ばれます。 Langevin 方程式の形式の SDE は、通常の非確率微分方程式と、ホワイト ノイズを記述する追加部分で構成されます。 2 番目の一般的な形式はフォッカー プランク方程式です。これは偏微分方程式であり、時間の経過に伴う確率密度の変化を表します。 SDE の 3 番目の形式は、数学や金融数学でより一般的に使用され、ランジュバン方程式に似ていますが、確率微分を使用して記述されます (詳細は以下を参照)。
確率計算
させて T > 0 (\displaystyle T>0)、 手放す
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}次に、与えられた初期条件に対する確率微分方程式
d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t))ために t ∈ [ 0 , T ] ; (\displaystyle t\in ;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)(「ほぼおそらく」という意味で) 一意であり、 t (\displaystyle t)-連続ソリューション (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega))、 そのような X (\displaystyle X)- ろ過に適したプロセス F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z))、生成 Z (\displaystyle Z)と B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t)、 と
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}確率方程式の応用
物理
物理学では、SDE はしばしばランジュバン方程式の形式で記述されます。 たとえば、一次 SDE システムは次のように記述できます。
x˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( t))どこ x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- 一連の未知数 f i (\displaystyle f_(i))と は任意の関数であり、 η m (\displaystyle \eta _(m))は時間のランダム関数であり、しばしばノイズ項と呼ばれます。 この表記法が使用されるのは、新しい未知数を導入することにより、高次導関数を含む方程式を一次方程式系に変換する標準的な手法があるためです。 もしも g i (\displaystyle g_(i))が定数である場合、システムは加法性ノイズの影響を受けると言います。 また、乗法性ノイズを伴うシステムも考慮します。 g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). 検討した 2 つのケースのうち、加法的ノイズの方が単純です。 加法的ノイズを含むシステムの解は、多くの場合、標準的な微積分の方法のみを使用して見つけることができます。 特に、未知の関数を構成する通常の方法を使用できます。 ただし、乗法性ノイズの場合、ランジュバン方程式は、通常の数学的分析の意味では不十分に定義されており、伊藤計算または Stratonovich 計算の観点から解釈する必要があります。
物理学では、SDE を解くための主な方法は、確率密度の形で解を見つけ、元の方程式をフォッカー プランク方程式に変換することです。 フォッカー・プランク方程式は、確率項を持たない偏微分方程式です。 シュレディンガー方程式が量子力学のシステムの波動関数の時間依存性を決定するか、拡散方程式が化学濃度の時間発展を決定するのと同じように、確率密度の時間発展を決定します。 解は、モンテカルロ法などを使用して数値的に求めることもできます。 解を見つけるための他の手法では、経路積分が使用されます。この手法は、統計物理学と量子力学の間の類推に基づいています (たとえば、フォッカー プランク方程式は、変数の変換を使用してシュレディンガー方程式に変換できます)。確率密度モーメントの常微分方程式。
リンク
- 確率の世界 - 確率微分方程式の簡単な紹介
文学
- アドミアン、ジョージ。確率システム (neopr.) . - フロリダ州オーランド: Academic Press Inc., 1983. - (科学と工学における数学 (169))。
- アドミアン、ジョージ。非線形確率演算子方程式 (neopr.) 。 - フロリダ州オーランド: Academic Press Inc.、1986 年。
- アドミアン、ジョージ。非線形確率システムの理論と物理学への応用。 - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group、1989 年。 - (数学とその応用 (46))。 （英語）
社会経済プロセスの本質的な特徴は、入手可能な先験的情報に基づいてその進路を明確に予測することが不可能であることです。 社会経済的プロセスは特定の客観的な法則に従うという事実にもかかわらず、それぞれの特定のプロセスにおいて、これらの法則は多くの不確実性を通じて現れます。
プロセスの数学的モデルには、決定論的なパラメーターと関係、または確率論的なパラメーターと関係のいずれかを含めることができますが、(少なくとも現在の科学の状態では) 不確実性を含めることはできません。
特定の社会経済的プロセスをモデル化するための決定論的アプローチまたは確率論的アプローチの選択は、モデル化の目標、初期データを決定する可能性のある精度、結果の必要な精度に依存し、原因の性質に関する研究者の情報を反映します。実際のプロセスの-and-effect関係。 同時に、実際のプロセスで発生する可能性のある不確実な要因は、決定論的または確率論的に近似的に表現する必要があります。 モデルに含まれるパラメーターの性質は、経験的にのみ正当化できる初期の仮定を指します。 パラメータの決定論的または確率論的性質およびモデルの関係に関する対応する仮説は、これらのパラメータを決定するために必要な精度または可能な精度の範囲内で実験データと矛盾しない場合に受け入れられます。
社会経済プロセスの最新モデルのほとんどは、確率論的構造に基づいています。 この点に関して、そのような構造のモデリングへの適用可能性に関する最初の仮定の問題を検討することをお勧めします。
確率論は、実験 (実際の現象) の数学的モデルを研究しますが、その結果は、実験の条件によって完全に明確に決定されるわけではありません。 したがって、社会経済プロセスのあいまいさは、モデル化への確率論的 (確率論的) アプローチを選択する際に決定的になることがよくあります。 同時に、確率論の装置が記述と研究に適用できることが常に考慮されているわけではありません。 実験ではありません不確実な結果で 、ただし結果が統計的に安定している実験のみ. したがって、検討中の社会経済プロセスの特定の特性に対する確率論的方法の適用可能性の経験的実証の最も重要な問題は、完全に見えない場合があります。
特定のプロセスの研究への確率論の方法の適用性は、これらのプロセスの特性の統計的安定性の分析に基づいて経験的に実証することができます。
統計的安定性は、経験的平均、イベントの頻度、または特定のプロセスの調査対象パラメーターの測定プロトコルのその他の特性の安定性です。
ただし、実際の社会経済プロセス全体の統計的安定性の問題、およびその結果、そのモデリングへの確率論的概念の適用可能性の問題は、現在、直感的なレベルでのみ解決できることに注意してください。 これは客観的には、プロセス全体に関する十分な数の実験が不足しているためです。 同時に、これまたはその社会経済的プロセスを構成する「基本的な」プロセスのほとんどはランダムな性質のものです（つまり、統計的安定性の仮説は既存の経験と矛盾しません）。 したがって、たとえば、特定の製品の特定の数量を一定期間購入するという事実は、ランダムなイベントであることがよくあります。 生まれる子供の数はランダムです。 消費のプロセスは本質的にランダムです。 ランダムには、機器の故障、商品やサービスの生産に携わる人々の士気などがあります。 これらの現象のランダム性は、かなり多くの実験によって経験的に確認されています。
これらの「基本的な」ランダムなプロセスはすべて相互に作用し、単一の社会経済プロセスに統合されます。 社会経済的領域での管理は、偶然の要素を減らし、このプロセスに決定論的な目的のある特徴を与えることを目的としているという事実にもかかわらず、実際のプロセスは非常に複雑であるため、管理の集中度がどれほど高くても、ランダム要因は常にそれらに存在します。 したがって、社会経済プロセスの性質は、広い意味でランダムなままです。 これは、研究で確率モデルを使用するための基礎として機能しますが、特定のプロセス全体の完全な確率的安定性を完全に保証することはほとんどできません。
現在、社会経済プロセスの確率的モデリングには主に 2 つのアプローチがあります (図 4.8)。 最初の方向は、統計的検定 (モンテカルロ) の方法に基づく確率モデルの構築に関連しています。 2 つ目の方向性は、分析モデルを構築することです。 これらの分野は両方とも並行して発展しており、相互に補完し合っています。
統計的検定の方法に基づくモデルの主な特徴は、基本構成要素とそれらの関係の模倣に基づいて、社会経済プロセスを近似的に再現することです。 これにより、多数のさまざまな要因に応じて、非常に複雑な構造のプロセスをモデル化できます。 ただし、統計テスト モデルは扱いにくい傾向があります。 それらを使用するには、大量のコンピューター メモリが必要であり、大量のコンピューター時間の消費に関連付けられています。 これらのモデルの重大な欠点は、建設的な最適化方法がないことです。
社会経済プロセスのシミュレーション統計モデルの欠点のいくつかは、分析モデルの使用によって克服されます。
米。 4.8. 社会経済プロセスの確率モデリング
現在、確率過程の分析モデルを構築するために、微視的および巨視的という 2 つの主要なアプローチが使用されています。
微視的アプローチは、社会経済システムの各要素の挙動を詳細に研究することにあります。
巨視的モデルは、システムのマクロ特性のみを研究し、特定の状態にあるシステムの要素の平均数など、システムの状態の平均的な特性のみを考慮します。 同じマクロ状態がミクロ状態の異なる組み合わせの結果である可能性があるため、これは社会経済システムの各要素の状態に関する情報の損失につながります。 同時に、巨視的なアプローチにより、数学的モデルの次元を削減し、より見やすくし、計算の過程でコンピューターリソースのコストを削減することができます。 システムの動作に関するより詳細な情報が必要な場合は、微視的アプローチが好まれます。 巨視的なアプローチは、かなり高速な推定計算に使用されます。
決定論的モデルの際立った特徴は、パラメータと初期条件が与えられると、t > 0 の任意の時間に対してプロセスが完全に決定されることです。
確率論的解釈では、モデルはプロセスの確率的特性 (たとえば、数学的期待値) のダイナミクスを記述し、したがってプロセスを平均的に特徴付け、特定の実装ごとの推定値のみを提示します。 社会経済プロセスの確率モデルは、平均的な結果 (プロセスの結果の分布の瞬間) または特定の結果の確率のみを予測することを可能にします。
技術的な操作とプロセスのモデルを作成する場合、モデル化されている現象が決定論的な関数関係の形で記述できない場合に対処する必要があります。 この理由は、さまざまなランダムな摂動の強い影響と、現象自体の基本的にランダムな性質の両方である可能性があります。 私たちが興味を持っている現象は、干渉によって歪められるのではなく、さまざまなランダムな要因の組み合わせによって引き起こされます。
最も典型的な偶発事象は、通常の動作中の機器および自動化要素の故障です。
ステーション。 一方で、経験は、遅かれ早かれ、
ほとんどの部品または電子部品は多かれ少なかれ集中的に故障しますが、一方で故障が発生する正確な瞬間を予測することは絶対に不可能です。
明らかに、特定の時間間隔で 1 つまたは複数の障害が発生する確率についてしか話せません。
o 稼働時間 (障害の数がゼロ) ではないこと
一定値を超えています。
質問の同様の定式化は、パラメーターの測定誤差にも有効です。 数がランダムなので
いつエラーが発生するかを予測することは不可能です。
ただし、特定の測定値よりも大きくすることはできず、測定値の有限セットに対する平均誤差の概念があることは明らかです。 ランダムは、ブランクや完成品のパラメーターの規範的なものからの偏差によっても表すことができます。 同時に、良品の場合、これらの偏差は許容範囲内にあり、不良品の場合は許容範囲を超えています。
考慮されるケースでは、特にさまざまなランダム要因が相互作用して相互に影響を与える場合、関心のあるパラメーターの動作とその値は、それを決定する要因の平均値の相互作用の関数として表すことはできません。 最終結果は、プロセスの繰り返しの実装における確率因子の相互作用の結果として、確率変数の形式で取得する必要があります。 得られた結果の統計処理の後でのみ、平均値と広がりの推定値について話すことができます。 このようなプロセス モデルは、決定論的なモデルとは対照的に、確率的 (ランダム) と呼ばれます。
確率モデルも、このプロセスに固有の客観的なパターンを反映していますが、
決定論的関数の形式は、不可能または非現実的です
この段階で比喩的に。 それらの表現のために、ランダムな現象とプロセスが確率論的法則に従うランダム変数によって特徴付けられる場合、ランダム関数の装置が使用されます。
ランダムな現象とプロセスをモデル化する統計的に安定した（信頼できる）結果は、十分に多数の実現（実験）に対してのみ取得でき、確率変数の値の広がりが大きいほど、より多くの実現が必要になります。 実際には、このようなモデル化は高速コンピューターを使用してのみ可能です。
この目的のために、コンピュータは次のことができる必要があります。
与えられた分布法則とパラメータで一連の乱数を生成します (math-
チック期待値、分散など);
特定の法則に従うランダムなイベントの確率を計算します。
時間間隔;
ランダムイベント等の発生事実を再現。
これらすべての場合において、確率変数またはイベントとそのパラメーターの分布の法則を知る必要があります。 必要
このために、そのような現象の実装に関する本格的な実験を行うことによってデータが得られます。 このような実験の統計処理により、ランダムな現象の統計的パターンを識別するだけでなく、実験の範囲 (実装数) に応じて結果の信頼性を評価することもできます。
実験データ処理の初期段階は、変分系列とヒストグラムの構築です。 これを行うために、離散確率変数の一連の値が固定されます バツ(たとえば、シフトごとの不良部品の数) P変化 値のセットは、サンプルまたは統計系列と呼ばれます。
異なる測定値を昇順に並べると、変動系列が得られます。 次に、頻度の表を作成します。この表では、変動系列の各値が xi、観察された現象の実験周波数は、対応して置かれます。
時のシフト数 xi、欠陥部品;
観測が行われたときのシフトの総数。
確率変数が連続 (測定誤差) の場合、その実験値は間隔として表示されます。
間隔を示す頻度表
シ− シ+1 値
ランダム変数、また、離散変数と同様に、多くの場合
あなたはその合間に彼女を殴っている
- 出てこない確率変数値の数
国境を越えて 私-番目の間隔;
量。
乱数の固定値の総数
間隔テーブルに従って、ヒストグラムが作成されます。これは、水平軸上に配置された一連の共役長方形であり、そのベースは間隔に等しくなります。
シ− シ+1
確率変数の値、および面積はに等しい
頻度表またはヒストグラムのデータに従ってグラフを作成することにより、それらの形式によって、実験データと1つまたは別の法則との対応についての仮説を提案することができます。 その後、実験データと提案された法則との間の一致度がチェックされます。 検証は、さまざまな一致基準を使用して実行されます。 最も一般的なのは、ピアソンの χ2 (カイ 2 乗) 検定です。
これまで、決定論的なネットワーク トポロジを持つモデルを検討してきました。 複雑なプロジェクトをモデル化する場合、多くの場合、確率的構造を持つネットワーク モデルが最も柔軟で便利です。 確率的ネットワークは、代替ノード (状態) を含むネットワークとして定義されますが、アーク (作業) は、持続時間の確率分布だけでなく、それらの実行確率によっても特徴付けられます。
多くの可能な結果を持つ確率的ネットワークモデルは、従来のネットワークのさらなる発展であり、複雑なプロジェクトの開発と作成のプロセスをより完全に反映することを可能にします。 確率ネットワークモデルの分析に使用される数学的装置により、さまざまな代替結果の確率を計算し、それらが実現する可能性のある時間を推定することができます。
確率的ネットワーク モデルは、有限グラフ G=(W,A) です。ここで、W は、イベントで識別される決定論的頂点と代替頂点のセットであり、技術マトリックス A=(p ij ) は、ジョブで識別される有向アークのセットを定義します (または接続)。 確率的ネットワーク 0 £ p ij £ 1 の場合、p ij =1 は、従来のネットワークで受け入れられている定義と同様に仕事 (i,j) を定義します。
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
j(t ij) を作業 (i,j) の実行時間の分布密度とする。 M[x] は確率変数 x の数学的な期待値です。
確率変数 t ij のモーメントの条件付き生成関数は、М ij (s)=М[е st ij ] として導入されます。
M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (連続確率変数の場合)、
е st ij j(t ij) (離散確率変数の場合)。
特に、М ij (s)=М[е sа ] = e sа at t ij =а=const, М ij (0)=1.
各アーク (i,j) について、Y 関数は次のように定義されます。
Y ij (s) = p ij M ij (s)。
元のネットワークは、次の 3 つの基本的な変換を使用して同等のネットワークに変換されます。
連続した弧、
平行円弧
連続する円弧の場合 (図 7)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s)。
平行アークの場合 (図 8)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s)。
ビュー ループの場合 (図 9)
Y ij (s) = Y b (s)/。
基本的な変換を組み合わせることで、任意のネットワークを単一のアーク (E アーク) で構成される同等のネットワークに変換できます。
確率的ネットワークの時間分析の目的は、ネットワーク (またはそのフラグメント) の実行時間の数学的期待値と分散、およびネットワークの最終 (またはその他のイベント) を実行する確率を計算することです。
ここでは、閉じたフロー グラフの理論が使用されます。ここで、上記で導入された Y 関数は、対応するアーク透過率として解釈されます。 この理論の結果を目的のパラメーター Y E (s) を持つオープン ネットワークに適用するには、パラメーター Y A (s) を持つ追加のアークを導入し、最終イベント (シンク) を最初のイベント (ソース) に接続します。
次に、メイソンの法則として知られる閉じたグラフのトポロジー方程式が使用され、次の形式になります。
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
ここで åT(L m) は、m 次のすべての可能なループの等価透過率の合計です。
m 次ループの等価透過率は、透過率 m の積に等しくなります。 無関係一次ループ、つまり
T(L m)=Õ m k=1 T k .
1–Y A (s)Y E (s)=0 または Y A (s)=1/Y E (s) というメイソンの規則から直接導かれます。 この結果を利用して、トポロジー方程式 (10) の Y A (s) を 1/Y E (s) に置き換え、Y E (s) について解くと、元の確率ネットワークの等価な Y 関数が得られます。
Y E (s) \u003d p E M E (s)、および M E (0) \u003d 1 であるため、p E \u003d Y E (0) であることを意味します。
M E (s)= Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0)。 （十一）
M E (s) の解析式を取得した後、点 s=0、つまり
m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)
原点に対する最初のモーメント m 1E は、ネットワーク実行時間の数学的期待値 (等価の E アークに変換) であり、ネットワーク実行時間の分散は、2 番目のモーメント m 2E と二乗の差に等しくなります。最初の、つまり
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (14)
したがって、上述の装置は、確率的ネットワークの、ユーザにとって関心のある任意のイベントの時間パラメータを計算すること、ならびにそれらの発生確率を決定することを可能にする。
得られた情報を使用して、チェビシェフの不等式を使用して、個々の操作を実行するための任意の分布法則のプロジェクトを完了するための信頼区間の確率を推定することができます。 各操作の実行時間が正規分布している場合、結果の時間も正規分布しています。 この場合、Moivre-Laplace の積分定理を使用して、プロジェクトの実行時間の確率論的見積もりを取得することができます。 さらに、ネットワーク内に十分な数のジョブがあり、特定の条件 (特にジョブの独立性) が満たされている場合、リアプノフ極限定理を使用して、結果として得られるプロジェクトの実行時間を次の正規分布確率変数と見なすことができます。上記の方法で計算された特性。
したがって、確率的ネットワークモデルには、個々のジョブの実行中に直接発生するすべてのランダム偏差と不確実性が含まれます。
3.4。 プロジェクト管理における計画作業のタスクの一般的なステートメントの形式化と、ユニバーサル ネットワーク モデルの説明とそれに基づいて解決される時間分析のタスク
上記のモデルの分析と統合の結果として、普遍的な数学的モデルが提案されますが、古典的で一般化された確率的ネットワークモデルはその特殊なケースです。
このモデル（名前は 循環確率ネットワーク モデル - CSSM) は、複雑なプロジェクトの開発を管理するプロセスを記述するための、より柔軟で適切なツールです。
CSSM は、隣接行列 A=(p ij ) によって決定される一連のイベント W とアーク (i,j)(イベント i, jOW) で構成される、有限で有向の巡回グラフ G(W,A) です。 0Ј p ij Ј1、および p ij =1 は決定論的アーク (i,j) を定義し、0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
i 番目のイベントの完了時刻を T i で表すと、アーク (i, j) で接続されたイベントの完了タイミングの比率は次の不等式で与えられます。
Т j – Т i y ij , (15)
ここで、y ij は一般に、ある法則に従って分布する確率変数で、範囲は -K から 0 または 0 から +K です。
さらに、イベント i の実装時に絶対的な制限が可能です。
l i Ј Т i ЈL i . (16)
関係 (15) ～ (16) は、一般化されたネットワーク モデルの記述における対応する不等式の一般化です。ここで、パラメーター y ij と隣接行列 A は決定論的です。
パラメータ y ij の確率的性質を伴う関係 (15) の意味負荷を考えてみましょう。
(i,j) がアーク作業 (またはその一部) である場合、正に分布する確率変数 y ij は、この作業の最小持続時間の分布を指定します (定義リソースの最大飽和に関連付けられます)。 この論文は、値 y ij の分布が単峰性で非対称であることを示しており、ベータ分布はこれらの要件を満たしているため、 最小実行時間確率変数 y ij =t min (i,j) は、密度のセグメント [a, b] 上のベータ分布法則に従って分布されます
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
ここで、C は条件から決定されます。
アークワーク (i,j) に対応する (15) の確率変数 y ij が、–ڐ から 0 までの区間に分布している場合、–y ij =t max (j,i) は次の分布を設定します。作業 (i, j) が開始されて終了しなければならない最大時間間隔の長さ (定義リソースで最小限に飽和している場合でも)。 この量について、同様の形式の分布を得ました (17)。 各ジョブ (i, j) の確率変数 y ij の分布がわかれば、適切な式を使用してその数学的期待値と分散が計算されます。
アークジョブ (i,j) の負の分布値 y ij を (15) に導入すると、ジョブの時間的特性を記述する可能性が大幅に拡大し、広く使用されている確率モデルは特殊なケースの 1 つにすぎません。
弧リンク (i,j) の場合、値 y ij はイベント i と j の間の時間依存性の分布を指定し、正に分布した値 y ij は「以前ではない」タイプの関係を決定します (イベント j は以前に発生することはありません)。負に分散された値 y ij は、「遅くとも」タイプの関係を決定します (イベント i は、イベント j から -y ij 日以内に発生する可能性があります)。 後者の場合、そのようなリンクは「リバース」と呼ばれます。
したがって、ここでは、可能性のある確率的性質を考慮して、これらの接続の一般化を取得しました。
イベントの完了のタイミング Т i は、技術的にそれらに先行する作業の期間の合計によって決定されるため、そのような作業が十分に多い場合、中心極限定理に従って、確率変数 Т の分布i は、パラメーター (期待値 МТ i および分散 DТ i ) で正常になる傾向があります。 正規分布には、「逆」弧に対応するパラメータ y ij もあり、これは統計分析によっても確認されています。
(16) によって与えられるイベントのタイミングに関する絶対的な制限は、「絶対的な」(実際のまたは条件付きの) 時間スケールで与えられる、作業またはその一部の実行のタイミングに関する対応する指令、組織的および技術的な制限を反映しています。 絶対制限は、「以前ではない」または「後ではない」というタイプによっても特徴付けられ、次の形式を取ります: T i - T 0 і l i , T 0 - T i і -L i . したがって、フォーム (16) の絶対制限は、特定のアーク接続に対するフォーム (15) の制限の特殊なケースです。
一般化された接続と組み合わせた確率的隣接行列 A の導入により、複雑なプロジェクトを作成するプロセスを説明するための追加の機会が提供されます。
L(i,j) をイベント i と j を接続するパスとします。
L(i,j)=(i=i 0 →i 1 →i 2 →… →i v =j)。 (18)
これ パス決定論的、 pi k-1 i k =1 がすべての kО に対して有効である場合、および 確率論的、 さもないと。 したがって、確率的パスには少なくとも 1 つのアークが含まれており、その「実行」の確率は厳密に 1 未満です。
同様に定義 決定論的および確率論的回路К(i)=(i=i 0 →i 1 →i 2 →…®i v =i)。 (そのようなイベント i は「輪郭」と呼ばれます)。
イベント i と j がパス L(i,j) で接続されている場合、イベント i が発生した場合、イベント j が発生する確率 P(j/i) は、隣接行列 A の係数の積です。接続パスの円弧に対応:
P(j/i)=X v k=1 p i k-1 i k . (19)
イベント i と j がいくつかの方法で接続されている場合、このネットワーク フラグメントの同等の GERT 変換が論文で与えられた式に従って実行され、変換されたフラグメントの生成関数 Y ij (s) が計算され、確率イベント i が発生した場合、イベント j の P (j/i) = Y ij (0)。
点 s=0 (最初のモーメント m 1 (j/i)) における s に関する関数 Y ij (s)/ Y ij (0) の 1 次導関数は、関数の期待値 M(j/i) を決定します。イベント i の時間に対するイベント j の時間。 点 s=0 における s に関する関数 Y ij (s)/ Y ij (0) の 2 次導関数 (2 次モーメント m 2 (j/i)) により、時間の分散を計算できます。式によるイベント i の時間に関するイベント j
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (20)
経路の長さ L(i,j) は確率変数であり、その数学的期待値 ML(i,j) は、この経路を構成するすべての弧の長さの数学的期待値の合計であり、分散 DL (i,j) は、分散の合計に等しくなります。
これらの条件下では、パス (輪郭) の長さは ネガティブ値は次のように解釈されます。
L(i,j) の場合<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться 後ではない事象 i の発生から -y ji 日後。 パラメータ y ji は確率論的な性質のものであり、イベント間の論理-時間関係を (循環ネットワーク モデルに関して) より柔軟に記述することができます。
円弧パラメーター y ij として、任意のパスの円弧に沿って加法性を持つ任意の特性パラメーター (たとえば、作業コスト) を考慮することもできますが、同等の GERT 変換を使用すると、数学的な期待値とコストの分散が得られます。ネットワークフラグメントまたはプロジェクト全体の。
CSSM (およびその解決のためのアルゴリズム) の時間分析のタスク古典的、一般化、または確率的ネットワーク モデルの時間分析と同様に、すべての計画およびプロジェクト管理の問題の解決の根底にあります。 これらは、リソースの制約を考慮せずにプロジェクト管理の問題を解決する上で、独立して重要です。
時間分析のタスクは、その後の比較、計画オプションの品質の評価、およびさらなる改善のための方向性の選択のために、リソース可用性ベクトルの特定の値に対してさまざまな計画オプションを生成するためにも必要です。
プロジェクト管理における最適な作業計画の問題を解決する場合、CSSM 時間分析アルゴリズムは、技術的な制約を確実に満たすために、対応する最適化アルゴリズムで使用される必要なパラメーターを計算するためのツールとして使用されます。
CSSM の時間分析のタスクは、ランダムなベクトル T=(T 0 ,T 1 ,…,T n) を見つけることに還元されます。ここで、T i は i 番目のイベントの時間であり、その座標は不等式 ( 15),(16) そして、ある目的関数 f(T) を極値に変換します。
ハイライト 時間分析問題の 3 つのクラス:
· クラシカル(T i ) を計算するために、すべてのアークの持続時間の数学的期待値が使用されます。
· 確率的リアプノフ極限定理または他の分析手段に基づいて、目的関数 f(T) の引数である i 番目のイベントの完了のタイミングの数学的期待値 - (MT i ) が計算されます。 ;
· 統計、ここで、所定のレベルの信頼性 p について、論文で説明されている方法に従って、経験的分布の p 分位推定値が、i 番目のイベントのタイミング - (W p (T i)) の両方について決定されます。目的関数 f(W p (T)) の値を含む導関数。ただし、W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)) .
CSSM 一貫性の概念が導入されました。
循環確率ネットワーク モデルは、 一貫性のある不等式 (15)、(16) のシステムを満たす時間分析問題 (古典的、確率的、または統計的) の対応するクラスに対して計算された許容可能な計画が少なくとも 1 つある場合。
この3つの概念を見てみましょう。
古典的なモデルの一貫性。
すべてのアークの長さの数学的期待値が計算され、その後、一定のアーク長を持つネットワークが形成されます。 検討中のモデルの確率的性質と一般化された接続の存在を考慮に入れると、上記の計算の後、CSSM で確率的および決定論的な輪郭を作成できます。 次の定理が証明されます。
定理 1 . 円弧の持続時間が古典的なスキームに従って計算される循環確率モデルが、与えられた確率 a と一致するためには、すべての決定論的等高線の長さが正でないことが必要かつ十分です。
確率モデルの一貫性.
MT i の数学的期待値とイベントのタイミングの分散 s 2 T i が分析的に計算されます。 この方法で計算されたパラメータは、従来の方法で計算されたものとは大きさが 15 ～ 20% 異なります (アーク持続時間の数学的期待によると)。
について話しましょう 平均的なモデルの確率的一貫性このようにして得られたセットが不等式 (15) ～ (16) を満たす場合、その数学的期待値は y ij の値と見なされます。 次の定理の妥当性が証明されます。
定理 2 . 循環確率モデルが平均して確率論的に一貫しているためには、すべての決定論的等高線の長さの数学的期待値が正でないことが必要かつ十分です。
Т i が次のパラメータを持つ正規分布を持っていると仮定すると、数学的な期待値 - МТ i と分散 - s 2 Т i を使用して、e- のより広い概念を導入します。 確率モデルの一貫性.
不等式を満たすすべての T i に対して e > 0 が存在する場合、CSSM は e 確率論的に一貫していると言えます。
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
定理 3 . 巡回代替モデルが e 確率論的に矛盾しないためには、すべての決定論的輪郭の長さの数学的期待値が関係 МL(K(i)) Ј –4e を満たすことが必要かつ十分です。
モデルの確率的一貫性は、平均して、e=0 での e 確率的一貫性の特殊なケースです。
モデルの統計的一貫性。
ネットワークモデルのパラメーターを計算する統計的方法を使用して、対応するインジケーターの確率的類似物である値の p 分位推定値を処理します。 循環確率モデルと言われています。 確率 p と統計的に一致、各イベント i について、イベント W p (T i) の完了のタイミングの p 分位推定値が存在し、次の不等式を満たす場合:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i JW p (Т i)JL i . (22)
ここで、関係 (21)-(22) は (15)-(16) の確率論的類似物であり、W p (y ij) はアーク長 (i,j) の p 分位推定値です。 次のことが証明されています。
定理 4 . 周期代替モデルが確率 p と統計的に一致するためには、すべての決定論的輪郭の長さの p 分位推定値が関係 W p (L(K(i))) Ј 0 を満たすことが必要かつ十分です。
CSSM の時間パラメータを計算するためのアルゴリズム。
早いプランと遅いプラン。
イベント完了の早い日と遅い日を計算するために、修正された「振り子」アルゴリズムが提案されています。 修正のアイデアは、確率的ネットワークで使用されるパラメータを計算するための統計的手法と、一般化されたネットワークで使用される「振り子」アルゴリズムを合成し、CSSM に適用することです。
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図10。 計算アルゴリズムの概略ブロック図
p 分位推定値 初期の日付イベントの達成
ブロック 1. 初期データの入力 (行列 A 係数、分布パラメーター y ij 、信頼水準 p)。
ブロック 2. 結果の指定された精度を確保するために必要な「描画」数 N の計算。 実行された計算では、p=0.95、e=0.05 で N»270 が得られることが示されました。
ブロック 3. v:=v+1 (v は「ドロー」の番号です)。
ブロック 4. 確率変数 y ij の v 番目のバリアントをそれぞれその分布法則に従って描画し、定数 y ij (v) - v 番目の描画でのアーク (i, j) の長さを取得します。
ブロック 5. 隣接頂点 j への遷移の代替頂点 i ごとに描画します (離散確率変数 p ij が再生され、隣接行列 A, 0 の i 番目の行で表されます)< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе レンマ 1 与えられた信頼レベル p で同じ確率的等高線を形成できる回数は k 回までです。ここで、k は対応する式によって推定されます。 等高線の k 倍の長さを (k + 1) 番目のステップで「再生」した円弧の長さに追加し、別の確率的等高線 (存在する場合) の分析に進みます。 この場合、ネットワークに矛盾が現れる可能性があります（正の決定論的輪郭）。次に、作業で与えられた式に従って、輪郭の d 倍の長さを追加し、それによって「輪郭からの出力」イベント。
ブロック 6. 得られた決定論的一般化ネットワーク G (v) は、G 1 (v) と G 2 (v) のどちらにも輪郭が含まれないように、2 つのネットワーク G 1 (v) と G 2 (v) に分割されます。 ネットワーク G 1 (v) の頂点はランク順に並べられ、それらに従って、「正しい」番号付けを設定します。 この番号付けをネットワーク G 2 (v) と元の G (v) に転送します。
ブロック7. ネットワーク G 1 (v) のすべての頂点 i について、早期完了日を計算します。
T i 0(v) :=max j (T i 0(v) , T j 0(v) + y ij (v) )。
ブロック8. ネットワーク G 2 (v) の頂点に対して、ブロック 7 と同様の手順を実行します。
ブロック9. ブロック 7 と 8 の結果が少なくとも 1 つの指標で一致しない場合は、ブロック 7 に戻ります (G 2 (v) の逆アークの数よりも多くのリターンはありません)。それ以外の場合はブロック 10 に戻ります。
ブロック 10. 抽選番号が vJN の場合はブロック 4 に進み、そうでない場合はブロック 11 に進みます。
ブロック11. 各頂点 i の結果セット (T i 0(v) ) から、変分シリーズを構築します。 N x /N=р となるような Т i 0(x) の値を修正します。ここで、N x は Т i 0(x) より小さい変分系列のメンバーの数です。 値 Т i 0(x) は、i 番目のイベントの初期項の必要な p 分位数 – W p (Т i 0) です。 同様に、変分級数 (y ij (v) ) を使用して、アーク長の p 分位推定値 – W p (y ij) を作成します。
ブロック 6 の入力は、一般化されたネットワーク モデル G (v) の v 番目のバージョンを受け取ります。実際、ブロック 6 ～ 9 は、ネットワーク内のイベントの早期タイミングを計算するための「振り子」アルゴリズムの拡大ブロック図です。 OSM。 適切なアルゴリズムを適用して計算する 遅い日付ブロック 7 と 8 でイベントが完了すると、T i 1(v) が得られます - 一般化ネットワーク モデルの v 番目のバージョンのイベントが完了するまでの日付が遅いのに対し、ブロック 11 では W p (T i 1) が得られます - p 分位推定値 遅い日付イベントの完了。
最短期間プラン.
ネットワーク G (v) の v 番目のバージョンの実行可能なプラン T (v) =(T i (v) ) の期間 L(T (v)) は、次の式によって決定されます。
L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
図のブロック図に置き換えます。 関数の最小値を見つけるブロックの 10 ブロック 6 ～ 9 (23) では、ネットワーク G (v) の最小期間の計画 (または「圧縮された」計画) が得られます。 価値
L(T* (v))=最小最大 ij |T i (v) – T j (v) | (24)
はネットワーク G (v) の臨界時間です。
ブロック 6 ～ 9 で OCM の圧縮された計画を見つけ、その結果の計画をブロック 11 に渡す方法を使用して、圧縮された計画の確率的な p 分位推定値を取得します。
仕事のための予約時間 (i, j) は、次の式で計算された対応する p 分位数に対応します。
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) for フルリザーブ, (25)
R with p (i, j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) for 無料予約. (26)
対応する式に従って、p分位数が計算されます 張力係数 W p (k n (i, j)) の場合、p 分位数 クリティカルゾーン、p分位数 リザーブゾーンおよびp分位数 中間ゾーン.
円弧のパラメータとして、操作（作業）の実行時間を考慮しました。 任意のパスの弧に沿って加法性を持つ任意の特性パラメーターを考慮することもできます。 これは、作業のコスト、必要な累積リソースの量などです。
これまでのところ、決定論的ネットワークモデリングの方法、最適なリソース割り当てのいくつかの発見的方法、およびコストを推定するためのパラメトリック方法（主に航空および宇宙飛行の分野）のみが広く実用化されていることに注意してください。 古典的なネットワーク モデルに基づくスケジューリングのコスト問題に対する正確な解決策は理論的に発見されていますが (で説明されています)、その実際の使用は、時間とコストの依存関係に関する実際のデータを取得することの難しさに関連しています。
上記で説明した各モデルには独自のサブジェクト領域があり、独自の方法で (多かれ少なかれ完全に) プロジェクト管理の基本機能を実装し、分析されたモデルとメソッドの統合によってのみ、適切に反映されたモデルを構築できます。不確実な状況下で複雑なプロジェクトを実施するプロセスであり、同時に定式化された問題を解決する際に許容できるものを取得します。
トピック 4. ネットワーク モデルに基づくリソース消費の最適化
一般的な概念。
上記では、限られたリソースを考慮せずにネットワーク モデルを検討しました。 そのようなリソースの最適な分配の問題は提起されませんでした。 私たちが検討したネットワークモデルの使用方法では、個々の作業の実施のタイミングと、プロジェクトのタイムリーな完了が行われる最も重要な（クリティカルおよびサブクリティカルな）作業チェーンの特定に主な注意が払われました（施設の試運転) によって異なります。 したがって、これらの方法の特徴は、設定された時間枠内ですべての作業を完了するという観点から、その重要度に応じて情報を分類することです。
情報の重要性の定量的尺度は、作業時間の確保または 張力係数
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j)), (25)
ここで、R p ij は総予備作業 (i, j)、T n 0 はプロジェクトのクリティカル タイム、T kr (i, j) はクリティカル パスと一致する最大パスのセグメントの期間です。 、作業 (i, j) を含みます。 0 £ K ij £ 1 であり、K ij が 1 に近づくほど、仕事の在庫 (i, j) の予備が相対的に少なくなるため、指定された時間内に仕事が完了しないリスクが高くなります。 たとえば、仕事 (2.5) (図 5) T cr (2.5) = 5、R p 25 = 3、ここで K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0.82、仕事 ( 5.8) T cr (5.8) \u003d 0、R p 58 \u003d 12、ここから K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0.45. 作品は同じ完全な埋蔵量を持っているかもしれませんが、それらの実装のタイミングにおける緊張の程度は異なるかもしれません。 逆に、異なる総埋蔵量が同じ張力係数に対応する場合があります。 このように情報を分類することで、プロジェクト マネージャはいつでも、すべての作業の所定の完了日からの逸脱を排除するために、どの領域 (およびリソース) に注意を向けるべきかを判断できます。
ネットワークの計画と管理の方法を改善する方法をさらに概説する前に、上記の方法に固有の主な欠点のいくつかについて詳しく説明しましょう。
任意の作業の所要時間の推定時間を与えるために、この作業を実行するために特定のリソースを特定の強度で使用すると仮定しました (リソース消費の強度は、単位時間あたりに消費されるリソースの量です)。
時間の見積もりを割り当てる時点では、この作業をいつ実行する必要があるか、同じタイプのリソースを消費する他のどのプロジェクト活動が同時に実行されるかはわかりません。 さらに、原則として、同じリソースが異なるプロジェクトで同時に必要になる場合があります。 したがって、特定の時点での特定のリソースの合計必要量が、使用可能なレベルを超える可能性があります。 このような場合、個々のジョブでのリソース消費の強度を下げるか、多くの場合、これらのジョブの完全な予約を超えて、多くのジョブの実行を後日に延期する必要があります。 これにより、プロジェクトの過程で元の計画が頻繁に調整される、つまり計画が不安定になります。
明らかに、プロジェクトの実施プロセスを計画する際にリソースの制約を事前に考慮に入れると、より信頼性の高い計画を得ることができます。
利用可能なリソースのレベルとプロジェクト完了の可能なタイミングは相互に関連しています。 プロジェクト全体の完了時間は、各アクティビティにいつ、どのくらいのリソースが割り当てられるかによって異なります。これは、その時点で予想されるリソースの利用可能性によって大きく決まります。
したがって、ネットワーク設定におけるリソース割り当ての問題が発生します。
一般的に言えば、生産計画プロセスは、リソースの効率的な使用の問題に対する解決策にすぎません。
効率の基準は異なる場合があります。特定のタスクを検討するときは、計画のこの重要なポイント (基準の選択と実証) について少し詳しく説明します。
いくつかの概念と定義を紹介しましょう。
· 作業プログラム 1つまたは複数の目標を達成するために実行する必要がある特定の一連の操作（作業）に名前を付けましょう。プログラムの作業の実行は、単一の指示センターに従属しています。 スタートアップコンプレックスの作業プログラム、サイト、建設組織、設計機関などの作業プログラムについて話すことができます。
· 単一テーマワークプログラム 1つ（単一目的テーマ）または複数の目標（多目的テーマ）を達成することを目的とした、技術的に相互に関連する作業の1つの複合体からなるプログラムと呼びます。
· マルチテーマワークプログラム各複合体内で技術的に相互接続された、いくつかの複合体からなるプログラムを呼び出します。 各作業パッケージには、1 つ以上の最終目標があります。 異なる複合体に属する作品は、技術的に互いに関連していません。 1 つのマルチテーマ プログラムへのトピックの所属は、コントロール センターの統一性とリソースの貯水池の共通性によって決まります。
まず、リソース割り当て問題のさまざまな定式化を考えてみましょう。 単一テーマの単一目的プログラム.
ネットワーク モデルによって記述されるプロジェクト管理の 2 つの可能なターゲット設定に基づいて、タスク設定には 2 つの主なタイプがあります。 最初のタイプはリソースの制約を厳守することに重点を置いていますが、2 番目のタイプはプロジェクトの完了日を厳守します。
第 1 のタイプの問題ステートメントの定式化 (「キャリブレーション」)。
リソース消費に一定の制限がある場合は、ネットワーク ダイアグラムのトポロジによって決定される作業の技術的な順序を考慮して、そのようなリソースの分布を見つけます。これにより、プログラム全体が最短時間で完了することが保証されます。
2 番目のタイプの問題ステートメントの定式化 (「スムージング」)。
指定されたプログラム実行期間が守られている場合、個々のジョブ間でリソースの消費が最適になるようにリソースを分配する必要があります。 この設定の最適基準を選択する問題については、別途検討します。
リソースの必要性を満たすためのメカニズムが異なるため、それらは通常、蓄積型 (保存可能) と非蓄積型 (保存不可) の 2 つのグループに分けられます。 リソースの 2 番目のグループは、「容量タイプのリソース」と呼ばれることがよくあります。
最初のグループには、その性質上、その後の使用の可能性を伴う蓄積を可能にするリソースが含まれます。たとえば、お金、さまざまな素材や構造などです。 この場合のリソースの制約は、前の期間全体のリソースの供給の合計値を各時点で示す、整数の非減少関数によって設定できます。
2番目のグループにはリソースが含まれており、後で使用するために蓄積することはできません。 たとえば、作業リソースとマシン時間です。 ワーカーとメカニズムのダウンタイムは取り返しのつかない損失です。 このグループの資源制約は、各時点での資源可用性関数によって与えられます。