1. 座標系で xOtステップで長方形のグリッドを構築する 時間軸に沿って おお軸に沿って τ のステップで から:
a) バツ 私 =い, 私= 私、 n , n=L/h;
b) t k =kτ, k= 私、メートル , メートル=T/τ;
Ⅴ） と 私 , k = あなた(バツ 私 ,t k) = あなた(ああ,kτ).
2.関数値を計算する あなた(バツ 私 , t k) ライン上にあるノードで x= 0 と x=L:
3. 計算する あなた 私 ,0 =f(ああ),私= 1, n .
4. (1.16) または (1.23) を使用して、すべての内部ノードの解を見つけます。 あなた 私 , k + n , 私= 私、n -l, k= 0, メートル -l.
1.3。 グリッド法による波動方程式の混合問題の解法
1.3.1. 問題の定式化。 メソッドアルゴリズム
波動方程式の混合問題 (つまり、与えられた初期条件と境界条件) を考えます。
エリア内 D=(0≤x≤ L, 0≤t≦T) 初期条件付き
および境界条件
と仮定します。 へ(バツ),g(バツ) は十分に滑らかな関数であり、ドメインの 2 つのコーナーで一致条件が満たされます。 D(バツ=0, t=0), (x=L, t=0)、これにより解の存在と一意性が保証されます あなた(バツ, t).
元の問題を離散化するために、ドメインで構築します
長方形グリッド
どこ 時間 – 方向のグリッド間隔 バツ, τ は方向のグリッド ステップです。 t,
二次中心差分 (1.10) を使用して偏導関数を近似すると、内部グリッド ノードごとに差分方程式系が得られます。
これは節点での波動方程式 (1.24) を近似します ( バツ 私 , t k) エラーあり 〇(時間 2 + τ2)。
ここ あなた 私 , kは関数の近似値です と(バツ,t) ノード ( バツ 私 ,t k).
λ = τ/ 時間、3 層差分スキームを取得します。
スキーム（1.28）は、値を接続するため、3層と呼ばれます あなた 私 , k機能 と(バツ,t) 数字を含む 3 つの時間レイヤー ( k-l)、 k, (k+1).
差分スキーム（1.28）は、「クロス」タイプの5点3層パターンに対応しています（図1.2）。
スキーム（1.28）は値を関連付けます あなた 私 , k =あなた(ああ, kτ) 時間内に 3 つのレイヤーで、レベル ( k+1)、方法を知る必要がある あなた 私 , k、 と あなた 私 , k-1 です。これは、微分方程式 (1.24) が 2 番目の時間導関数を含むという事実の結果です。 問題 (1.24) - (1.26) の数値解は、近似値を計算することにあります。 あなた 私 , k ソリューション あなた(バツ, t) ノード ( バツ 私 ,t） で 私 = 1, n , k=1, メートル . (1.28) による計算スキームは明示的であり、ノードで関数の値を近似的に計算することができます ( k+1) 前の 2 つのレイヤーの既知の値に基づく 1 番目のレイヤー。 最初の 2 つの層では、関数の値は初期条件 (1.25) から決定されます。 我々は信じている
時間導関数については、近似 (1.5) を使用します。
近似次数 (1.30) は だいたい(τ).
(1.29)、(1.31) は最初の 2 行の解を与えることに注意してください。 k=0, k=1。 代用 k= 1 を (1.28) にすると、次のようになります。
式 (1.32) の右辺のすべての項には値が含まれます。 と 私 , kグリッドの最初の 2 行のみ。 しかし、これらの値はすべて初期条件からわかっています。
その後、解決策を知る と 私 ,1 ,と 私,2 、(1.28) を使用して関数の値を計算できます と 私 , k 3番目の時間レイヤー、4番目など
上記の計算スキーム (1.28) – (1.31) は、問題 (1.24) – (1.26) を正確に近似します。 だいたい(τ+ 時間 2)。 τ に関する近似の次数が低いことは、 t 式（1.30）で。
ここで、収束と安定性の問題を考えてみましょう。 ここでは証明を提示せずに、最終的な結果を定式化することに限定します。 Courant 条件が満たされる場合、計算スキームは安定します。
これは、(1.33) が満たされる場合、たとえば最初のレイヤーでの計算で発生する小さなエラーが、新しい各時間レイヤーに渡されるときに無限に増加しないことを意味します。 Courant 条件が満たされる場合、差分スキーム (1.28) は一様に収束します。 時間→0 τ→0 差分問題 (1.28) – (1.31) の解は、元の問題 (1.24) – (1.26) の解に一様に向かう傾向があります。
条件 (1.33) は収束には十分ですが、必須ではありません。 つまり、(1.33) が成り立たない方程式や区間の値がありますが、それでも正しい結果が得られます。 問題は、収束が保証されないということです。 もちろん、一般的には確実に収束することが望ましいので、条件 (1.33) を満たす必要があります。
したがって、ステップ サイズが選択されるとすぐに 時間方向 バツの場合、時間のステップ サイズ τ には制限があります。 すべての明示的なメソッドの特徴は、それらを使用するときに、メソッドの収束と安定性を保証するタイプ (1.33) の特定の条件を観察する必要があることです。
ノードの構成、グリッドの内部（境界線ではない）ポイントでの差分方程式の形式を決定するグリッド関数の値。 原則として、テンプレートの画像を含む図では、導関数の計算に関係する点が線で結ばれています。Courant-Isakson-Ries スキーム(KIR) は、S.K. の名前にも関連付けられることがあります。 ゴドゥノフ、それはで判明しました、 
. 近似の順序。 KIR スキームは条件付きで安定しています。 クーラント条件で 
. 計算領域の内部点における Courant-Isakson-Ries スキームの差分方程式を提示しましょう。
これらのスキームは、風上差分スキーム (英文学では - 風上) とも呼ばれます。次のように記述できます。
それらの利点は、ソリューションの依存ドメインをより正確に考慮することにあります。 表記を導入すると
次に、両方のスキームを次の形式で記述できます。
(差分方程式の流れ形);
(ここでは、2 番目の違いを持つ用語が明示的に区別され、スキームに安定性が与えられます)。
(有限増分の方程式)。
も考慮してください 不定係数法差分スキームを構築するため、輸送方程式の最初の精度の右隅
スキームは次のように表すことができます。
Courant-Isakson-Ries スキームは、特性の数値的手法と密接に関連しています。 そのような方法のアイデアについて簡単に説明します。
(転送速度の異なる符号に対して) 得られた最後の 2 つのスキームは、次のように解釈できます。 ノード (t n + 1 , x m ) を通過する特性を作成しましょう。値は決定する必要があり、その点でレイヤー t n と交差します。 
. 明確にするために、転送レート c は正であると仮定します。
下位時間層のノード x m - 1 と x m の間で線形補間を実行すると、次のようになります。
次に、特性に沿って値 u n (x") を変更せずに上位レイヤー t n + 1 に転送します。つまり、次のように設定します。 
. 最後の値を近似解と考えるのが自然です 同次方程式移行。 この場合
または、クーラン数から再びグリッド パラメータに渡します。
それらの。 別の方法で、よく知られている「左コーナー」方式にたどり着きました。これは で安定しています。 ノード (t n + 1, x m) から出てくる特性と時間的に n 番目の層との交点がノード (t n, x m - 1) の左側にある場合。したがって、解を見つけるには、補間は使用されませんが、不安定であることが判明した外挿が使用されます。
c > 0 の場合の「右隅」スキームの不安定性も明らかです。 これを証明するには、スペクトル基準または Courant、Friedrichs、および Levi 条件のいずれかを使用できます。 c の場合も同様の推論が可能である.< 0 и схемы "правый уголок".
不安定 四点式いつ得た 
、その近似の次数は です。 差分スキームのグリッド方程式は、次の形式になります。
Lax-Wendroffスキーム次の場合に発生します 
. Lax-Wendroff スキームの近似の次数は次のとおりです。 
. 方式はCourant条件下で安定です .
このスキームは、不定係数の方法によって、または近似誤差の先頭の項をより正確に考慮することによって取得できます。 Lax-Wendroff スキームを導出するプロセスをより詳細に考えてみましょう。 近似のための以前の 4 点方式の研究を実行すると (この研究は非常に初歩的なものであり、テイラー級数の微分問題の正確な解のグリッドへの射影関数の分解に還元されます)、エラーの主な用語
近似誤差の主項の式を導き出すとき、元の微分輸送方程式の結果が使用されました。
これは、最初に時間 t に関して、次に x 座標に関して元の方程式 (3.3) を微分し、結果の比率の一方を他方から差し引くことによって得られます。
次に、交換 二次導関数 O(h 2) までの右辺の第 2 項では、元のスキームを近似する新しい差分スキームを取得します。 微分方程式正確に . 計算グリッドの内部ノードにおける Lax-Wendroff スキームのグリッド方程式は次のとおりです。
暗黙の 6 ポイント スキーム q = 0 で発生します。 近似の順序で 、 で 。
本の第 2 部は、常微分方程式の差分スキームの構築と研究に専念しています。 同時に、一般的な性質を持つ差分スキームの理論における収束、近似、および安定性の基本概念を紹介します。 常微分方程式に関連して得られるこれらの概念に精通していれば、将来、偏微分方程式の差分スキームを研究する際に、この非常に多様なクラスの問題に特徴的な多数の機能と困難に焦点を当てることができます。
第4章 差分スキームの初歩的な例
この章では、理論の基本的な概念を予備的に知っていることのみを目的とした差分スキームの導入例を検討します。
§ 8. 精度と近似の順序の概念
1.差分スキームの精度の順序。
このセクションでは、グリッドが微分方程式の解に近似するように微分されたときの微分方程式の解の収束の問題に専念します。 ここでは、問題の数値解法のための 2 つの差分スキームの研究に限定します。
差分方程式の使用に基づく最も単純な差分スキームから始めましょう
セグメントを長さ h のステップに分割してみましょう。 N が整数の場所を選択すると便利です。 分割点は左から右に番号が付けられているため、. その時点で差分法で求めた値を で表します 初期値を設定しましょう。 させて 。 差分方程式 (2) は次の関係を意味します。
そこから、初期条件 の下で方程式 (2) の解を見つけます。
問題 (1) の正確な解は の形をしています。 その時点で値をとります
ここで、近似解 (3) の誤差の推定値を見つけてみましょう。 このポイントエラーは
分割点の数が増えると、または同じことですが、差分グリッドのステップが減少すると、それがどのように減少するかに興味があります。 これを見つけるために、それをフォームに入れてみましょう
したがって、等式 (3) は次の形式になります。
すなわち、エラー (5) は でゼロになる傾向があり、エラー値はステップの 1 乗のオーダーです。
これに基づいて、差分スキームは一次精度を持つと言います (§ 1 で定義された差分方程式の次数と混同しないでください)。
差分方程式を使用して問題 (1) を解きます。
これは、一見したように単純ではありません。 実際のところ、検討中のスキームは 2 次差分方程式です。つまり、2 つの初期条件を指定する必要がありますが、可積分方程式 (1) は 1 次方程式であり、そのために のみを指定します。 差分スキームを入れるのも当然です。
彼らにどのように尋ねるかは明らかではありません。 これを理解するために、式 (7) を解く明示的な形式を使用します (§ 3 式を参照)。
特性方程式の根のテイラー式による展開 (9) により、近似表現を与えることができます。そのような表現の導出を詳細に実行しましょう。
それ以来
について完全に同様の計算を行うわけではありませんが、すぐに結果を書き出します。
の近似式を式 (8) に代入すると、
この式を研究することで、すべてのさらなる結論を得ることができます。
係数が有限極限 b に向かう傾向がある場合、等式 (12) の右辺の最初の項は、問題 (1) の望ましい解に向かう傾向があることに注意してください。
グリッドとパターン。 ほとんどの差分スキームでは、グリッド ノードは、自然座標系または特別に選択された領域に描かれたいくつかの直線 (多次元問題では超平面) の交点にあります。 G.
変数の 1 つが時間の物理的な意味を持つ場合 tの場合、グリッドは通常、その線 (または超平面) の間に線が存在するように構築されます。 t = t メートル. このような線または超平面上にあるグリッド ノードのセットは、レイヤーと呼ばれます。
各レイヤーでは、1 つの空間座標のみが変化する方向が区別されます。 たとえば、変数の場合 バツ, y, t方向があります バツ (t = 定数, y = 定数) と方向 y (t = 定数, バツ = 定数).
差分スキーム (26.2) と (26.4) をコンパイルして、領域のすべての内部ノードで導関数の同じタイプの差分近似を使用しました。 言い換えれば、各差分方程式を書くとき、同じ数のノードが特定のグリッドノードの近くに取られ、厳密に定義された構成を形成し、これをこの差分スキームのテンプレートと呼びました (図 26.2 を参照)。
意味。 テンプレートに差分スキームが書かれているノードをレギュラー、それ以外をイレギュラーと呼びます。
不規則なのは通常境界ノードであり、境界の近くにあるノードもある場合があります (このノードの近くで取得されたテンプレートが領域の境界を超えるように)。
差分スキームのコンパイルは、テンプレートの選択から始まります。 テンプレートは、差分スキームを常に一意に定義するとは限りませんが、そのプロパティに大きな影響を与えます。 たとえば、後で図のテンプレートでそれを確認します。 26.2 b熱伝導問題 (26.1) の適切な差分スキームを構成することは不可能です。 方程式と境界値問題の各タイプには、独自のテンプレートが必要です。
明示的および暗黙的な差分スキーム
差分解の実際の計算の問題を議論しましょう。 ほとんどの物理的な問題は、変数の 1 つとして時間を含む方程式につながります。 このような方程式では、通常、混合境界値問題が提起されます。その典型的なケースは、熱伝導の問題です (26.1)。
このような問題には、階層化された計算アルゴリズムが使用されます。 スキーム (26.2) と (26.4) の例で考えてみましょう。
初期層のスキーム（26.4）で メートル= 0 初期条件により、解は既知です。 入れましょう メートル= 0 で式 (26.4)。 次に、インデックスの各値について n式には未知数が 1 つ含まれています 
; ここから判断できます 
で 
値 
と 
境界条件（26.3）によって決定されます。 したがって、最初のレイヤーの値が計算されます。 それらに基づいて、2 番目のレイヤーの解が同様の方法で計算されます。
各方程式のスキーム (26.4) には、次の層の関数の値が 1 つだけ含まれています。 この値は、初期層の関数の既知の値に関して明示的に簡単に表現できます; したがって、そのようなスキームは明示的と呼ばれます。
スキーム（26.2）には、各方程式に新しいレイヤーの関数のいくつかの未知の値が含まれています。 そのようなスキームは暗黙的と呼ばれます。 実際に解を計算するには、境界条件 (26.3) を考慮してスキーム (26.2) を次の形式に書き直します。
(26.5)
各層で、スキーム (26.5) は、量を決定するための線形方程式のシステムです。 
; これらの方程式の右辺は、前のレイヤーからの解の値が含まれているため、既知です。 線形システムの行列は三重対角行列であり、解は代数スイープによって計算できます。
ここで検討するアルゴリズムはかなり典型的なものです。 これは、1 次元および多次元の問題の多くの暗黙的な差分スキームで使用されます。 次に、インデックスの代わりに メートル略語をよく使う
これらの表記法では、明示的および暗黙的な差分スキームはそれぞれ次の形式を取ります。
不一致。 一般的な演算子の微分方程式を考えてみましょう (必ずしも線形である必要はありません)。
オー = へ、 また オー – へ = 0.
オペレーターの交代 あ差分演算子 あ 時間、 右側 へ– いくつかのグリッド機能 
、および正確な解 あなた– 差分ソリューション y、差分スキームを書きます
また 
.
(26.6)
厳密解を代入すると あなた関係 (26.6) になると、一般的に言えば、解はこの関係を満たさない 
. 値
残差といいます。
残差は通常、テイラー級数展開を使用して推定されます。 たとえば、熱方程式 (26.1a) に対する明示的な差分スキーム (26.4) の不一致を見つけましょう。 この方程式を正準形で書きます。
なぜなら、この場合は 
それか
ノードの近くのテイラーの式で解を展開しましょう ( バツ n , t メートル) に関して、連続する 4 次導関数が存在すると仮定します。 バツそして2番目に t
(26.7)
どこ 
これらの展開を残差式に代入し、導関数の連続性のために、量間の差を無視します。 
から （ バツ n ,
t メートル)
探す
(26.8)
したがって、残差 (26.8) は次のようにゼロになる傾向があります。 
と 
元の問題に対する差分スキームの近さは、残差の大きさによって決まります。 残差がゼロになる傾向がある場合 時間と 
ゼロになる傾向がある場合、そのような差分スキームは微分問題を近似していると言えます。 近似は R-次の場合 
.
式 (26.8) は、通常のグリッド ノードでのみ不一致を与えます。 (26.3) と (26.1b) を比較すると、不規則な結び目での不一致を簡単に見つけることができます。
備考 1.領域内の定数係数 (26.1) を持つ熱伝導問題の解は、無限回連続微分可能です。 ただし、テイラー級数展開 (26.7) の 5 番目以降の微分を考慮に入れると、不一致 (26.8) に追加されるのは、 
と 時間、つまり 基本的に、残留物の外観は変わりません。
備考 2.何らかの理由で、元の問題の解が微分可能であるとしましょう。 たとえば、滑らかであるが 2 次導関数を持たない可変熱伝導率の問題では、解には 3 次連続導関数のみが含まれます。 次に、テイラー級数展開 (26.7) では、最後の項は次のとおりです。 
互いに正確に相殺するわけではありません。 これにより、型のメンバーの残差 (26.8) が表示されます。 
それらの。 不一致は、4 回連続微分可能な解よりも小さい次数になります。
備考 3.関数が含まれていることを考慮して、残差式を変換することにより、 あなた(バツ,t) は、元の方程式と関係の正確な解です。
この式を (26.8) に代入すると、
空間と時間のステップを選択すると、 
その場合、不一致の先頭の項は消滅し、 
と 時間（省略しました）。 この手法は、精度を高めた差分スキームの構築に使用されます。
差分スキーム
差分スキーム微分方程式と追加の条件 (境界条件や初期分布など) を含む微分問題に関連付けられた代数方程式の有限系です。 このように、差分スキームは、連続体の性質を持つ微分問題を有限の連立方程式に還元するために使用され、その数値解法は基本的にコンピュータ上で可能です。 微分方程式に関連付けられた代数方程式は、差分法を使用して取得されます。差分法は、微分問題を解くための他の数値法 (たとえば、Galerkin 法などの射影法) と差分スキームの理論を区別します。
差分スキームの解は、微分問題の近似解と呼ばれます。
正式な定義は代数方程式の形式に大きな制限を課していませんが、実際には微分問題に何らかの形で対応するスキームのみを考慮することが理にかなっています。 差分スキームの理論の重要な概念は、収束、近似、安定性、保守性の概念です。
近似
ドメインで定義された関数で定義された微分演算子は、次の場合にステップに応じて、グリッドで定義された関数で定義された有限差分演算子によって特定のクラスの関数で近似されると言われています。
次の場合、近似は順序を持つと言われます。
ここで、 は特定の関数に依存する定数ですが、ステップには依存しません。 上で使用したノルムは異なる場合があり、近似の概念はその選択によって異なります。 一様連続のノルムの離散類似物がよく使用されます。
積分ノルムの個別の類似物が使用されることがあります。
例. 有限差分演算子による演算子の近似
有界区間では、平滑関数のクラスで 2 次です。
微分方程式自体と境界 (および初期) 条件の両方が対応する有限差分演算子によって近似され、近似が の次数である場合、有限差分問題は微分問題を近似し、近似は次数 です。
クーラント条件
Courant 条件 (英文学、Eng. Courant-Friedrichs-Levy 条件 、CFL) - 差分問題における摂動の伝搬速度は、微分問題よりも小さくてはなりません。 この条件が満たされない場合、差分スキームの結果は微分方程式を解く傾向にない可能性があります。 つまり、1 つのタイム ステップで、粒子は複数のセルを「通り抜ける」べきではありません。
係数が微分方程式の解に依存しない回路の場合、Courant 条件は安定性から成り立ちます。
偏ったグリッド上のスキーム
これらのグリッド スキームでは、結果が設定され、データが互いにオフセットされます。 たとえば、結果ポイントはデータ ポイントの中間にあります。 場合によっては、これにより、より単純な境界条件を使用できます。
こちらもご覧ください
リンク
- 「差分スキーム」 - 「双曲線方程式の差分スキーム」に関するウィキブックスの章
- Demyanov A. Yu.、チジコフ D. V.二次精度の陰的混成単調差分スキーム
- V. S. リャベンキイ、A. F. フィリッポフ。微分方程式の安定性について。 - M .: Gostekhizdat、1956 年。
- S. K. ゴドゥノフ、V. S. リャベンキー。差分スキームの理論の紹介。 -M：フィズマギズ、1962年。
- K. I. バベンコ。数値解析の基礎。 - M .:ナウカ、1986年。
- Berezin I.S.、Zhidkov N.P.計算方法 - 任意のエディション。
- Bakhvalov N.S.、Zhidkov N.P.、Kobelkov G.M.数値法、 - 任意のエディション。
- G. I. マルクク。計算数学の方法。 - M .:ナウカ、1977年。
ノート
ウィキメディア財団。 2010 .
他の辞書にある「差分スキーム」を参照してください。
微分方程式と追加の (初期、境界などの) 条件を近似する微分方程式のシステム。 元の微分問題 R. s の近似。 これは、元の問題を近似的に離散化する 1 つの方法です... 数学百科事典
有限要素差分スキーム- 有限要素法 - [A.S. Goldberg. 英語ロシア語エネルギー辞書。 2006] トピックス エネルギー一般 同義語 有限要素法 EN 有限体積差分スケジュール …
差分スキームは代数方程式の有限系であり、微分方程式と追加の条件 (たとえば、境界条件および/または初期 ... ... ウィキペディアを含む微分問題に関連付けられています。
コントロールボリュームに基づく有限差分計算スキーム- (例: 熱および物質移動、熱伝導率) [A.S. Goldberg. 英語ロシア語エネルギー辞書。 2006] 一般的なエネルギーのトピック EN コントロール ボリューム ベースの有限差分スケジュール … 技術翻訳者ハンドブック
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