機能的な行。 パワーシリーズ。
級数の収束範囲

理由のない笑いはダランベールのしるし

したがって、機能的な行の時間は打たれました。 トピック、特にこのレッスンをうまく習得するには、通常の数列に精通している必要があります。 級数とは何かをよく理解し、比較記号を適用して級数の収束を調べることができる必要があります。 したがって、あなたがトピックを勉強し始めたばかりであるか、高等数学のティーポットである場合は、 必要 3 つのレッスンを順番に実行します。 ティーポットの列,ダランベールのサイン。 コーシーの兆候と 交互の行。 ライプニッツ記号. 3つとも間違いない！ 数級数の問題を解決するための基本的な知識とスキルがあれば、関数級数を扱うのは非常に簡単です。新しい資料はあまりないからです。

このレッスンでは、汎関数級数の概念 (一般的なもの) を検討し、実用的なタスクの 90% に見られるベキ級数に精通し、収束を見つけるという一般的な典型的な問題を解決する方法を学びます。べき級数の半径、収束区間、収束領域。 さらに、私は上の材料を考慮することをお勧めします 関数のベキ級数への展開、救急車が初心者に提供されます。 少し休んだ後、次のレベルに進みます。

機能シリーズのセクションにも多数あります 近似計算への適用、およびフーリエ級数は、原則として教育文献の別の章に割り当てられており、少し離れています。 記事は 1 つしかありませんが、長くて多くの例があります。

これで、ランドマークが設定されました。

関数級数とベキ級数の概念

極限で無限大を得るなら、その後、解アルゴリズムもその作業を終了し、タスクに対する最終的な答えを与えます:「シリーズは収束します」(またはどちらか)。 前の段落のケース #3 を参照してください。

極限でゼロでも無限でもないことが判明した場合、次に、実際に最も一般的なケースNo. 1があります-シリーズは特定の間隔で収束します。

この場合、制限は です。 系列の収束間隔を見つける方法は? 不等式を作ります：

の このタイプの任意のタスク不等式の左側は リミット計算結果、および不等式の右側 厳密に ユニット. なぜこの不等式なのか、なぜ右側に不等式があるのか​​については説明しません。 授業は実践的で、教職員が首を吊ったわけではないという私の話からいくつかの定理が明らかになったことはすでに非常に良いことです。

モジュールを操作して二重不等式を解決する手法は、記事の最初の年に詳細に検討されました 機能範囲、しかし便宜上、すべてのアクションについてできるだけ詳しくコメントします。 校則に従ってモジュールで不等式を明らかにする . この場合：

中途半端。

第 2 段階では、見つかった間隔の端での系列の収束を調査する必要があります。

まず、区間の左端を取り、べき級数に代入します。

で

数値級数が受信されました。収束を調べる必要があります (前のレッスンで既におなじみの作業です)。

1) シリーズは信号交互です。
2) – 級数の項はモジュロで減少します。 さらに、級数の次の各項は前の項よりモジュラスが小さくなっています。 であるため、減少は単調です。
結論: 級数は収束します。

モジュールで構成されたシリーズの助けを借りて、次の方法を正確に見つけます。
– 収束する (一般化された調和級数のファミリーからの「基準」級数)。

したがって、結果の数列は絶対に収束します。

で - 収束します。

! 忘れない 収束する正の級数も絶対収束すること。

したがって、べき級数は、検出された間隔の両端で絶対的に収束します。

答え：調査されたベキ級数の収束領域:

それは生きる権利と答えの別のデザインを持っています: 級数は次の場合に収束します

問題の状況では、収束半径を指定する必要がある場合があります。 考慮された例では明らかです。

例 2

べき級数の収束領域を見つける

解決：級数の収束区間を見つけます を使用してダランベールのサイン (ただし、属性によるわけではありません! - 機能シリーズにはそのような属性はありません):

級数は に収束します。

左私たちは去る必要があります それだけ、したがって、不等式の両辺に 3 を掛けます。

– シリーズは信号交替です。
– – 級数の項はモジュロで減少します。 級数の次の各項は、前の項よりも絶対値​​が小さい： であるため、減少は単調です。

結論: 級数は収束します。

収束の性質について調べます。

このシリーズを発散シリーズと比較してください。
比較の極限記号を使用します。

ゼロ以外の有限数が得られます。これは、級数が級数とともに発散することを意味します。

したがって、級数は条件付きで収束します。

2) いつ – 発散する (証明されているように)。

答え：調査したベキ級数の収束領域: . の場合、級数は条件付きで収束します。

考えられる例では、べき級数の収束領域は半分の間隔であり、間隔のすべての点でべき級数 絶対収束する、そしてその時点で、判明したように、 条件付きで.

例 3

ベキ級数の収束区間を見つけ、見つかった区間の終わりでの収束を調べる

これは自作の例です。

まれではあるが実際に発生する例をいくつか考えてみましょう。

例 4

級数の収束領域を見つける：

解決：ダランベール検定を使用して、このシリーズの収束間隔を見つけます。

(1) シリーズの次のメンバーと前のメンバーの比率を構成します。

(2) 四階建て部分をなくす。

(3) 立方体 および は、べき乗の演算規則に従って、1 次数で合計されます。 分子では、次数を巧みに分解します。 次のステップで分数を で減らすように拡張します。 階乗について詳しく説明されています。

(4) 立方体の下で、分子を分母の項で割って、 であることを示します。 削減できるものはすべて削減します。 乗数は制限記号から取り出されます。「動的」変数「en」に依存するものは何もないため、取り出せます。 モジュール記号は描かれていないことに注意してください - 「x」に対して負でない値を取るためです。

極限では、ゼロが得られます。これは、最終的な答えを与えることができることを意味します。

答え：級数は に収束します。

そして最初は、「ひどい詰め物」を伴うこの列を解決するのは難しいように見えました。 解が著しく減少するため、極限のゼロまたは無限大はほとんど贈り物です!

例 5

シリーズの収束領域を見つける

これは自作の例です。 注意してください ;-) 完全な解決策は、レッスンの最後の答えです。

テクニックの使用に関して新規性の要素を含むいくつかの例を考えてみましょう。

例 6

シリーズの収束間隔を見つけ、見つかった間隔の終わりでの収束を調査します

解決：ベキ級数の共通項には、交替を保証する係数 が含まれます。 ソリューション アルゴリズムは完全に保持されますが、モジュールがすべての「マイナス」を破棄するため、制限をコンパイルするときはこの要素を無視します (書き込まないでください)。

ダランベール検定を使用して、シリーズの収束間隔を見つけます。

標準的な不等式を構成します。
級数は に収束します。
左私たちは去る必要があります モジュールのみ、したがって、不等式の両辺に 5 を掛けます。

次に、おなじみの方法でモジュールを展開します。

二重不等式の真ん中では、「x」だけを残す必要があります。この目的のために、不等式の各部分から 2 を引きます。

調査されたベキ級数の収束間隔です。

見つかった間隔の終わりでのシリーズの収束を調査します。

1) ベキ級数の値を代入します :

乗数は自然な「en」に対して代替を提供しないので、非常に注意してください。 結果のマイナスをシリーズから取り出して忘れます。これは、（定数乗数のように）数値シリーズの収束または発散にまったく影響を与えないためです。

改めてお知らせべき級数の共通項に値を代入する過程で、係数 を減らしたこと。 これが起こらなかった場合は、制限の計算が間違っているか、モジュールの拡張が間違っていることを意味します。

そのため、数値級数の収束を調べる必要があります。 ここでは、極限比較基準を使用して、この級数を発散調和級数と比較するのが最も簡単です。 しかし、正直なところ、比較の究極の兆候にひどくうんざりしていたので、ソリューションにいくつかのバリエーションを追加します.

したがって、級数は次の場合に収束します。

不等式の両辺に 9 を掛けます。

古い学校のジョークを思い出しながら、両方の部分からルートを抽出します。


モジュールの拡張:

すべてのパーツに 1 を追加します。

調査されたベキ級数の収束間隔です。

検出された間隔の終わりでべき級数の収束を調べます。

1) の場合、次の数列が取得されます。

"en" の自然値のため、乗数は跡形もなく消えました。

収束のドメイン 関数級数は、メンバーが関数である/実軸のある集合 E で定義された級数です。 たとえば、級数の項は区間で定義され、級数の項は線分で定義されます。汎関数級数 (1) は、関数級数の各点 x で収束する場合、点 Xo € E で収束すると言われます。集合 D ⊂ E であり、集合 D に属さない各点で発散する場合、級数は集合 D に収束すると言われ、D は級数の収束領域と呼ばれます。 級数 (1) が集合 D に収束するとき, 級数 (1) は集合 D に絶対的に収束する.いくつかの関数級数の収束は、既知の十分な基準を使用して見つけることができます。これは、正のメンバーを持つ級数に対して確立されています。たとえば、Dapamber の兆候、Cauchy の兆候です。 例 1. 級数 M の収束領域を求める 数値級数は p > 1 で収束し、p > 1 で発散するため、p - Igx を仮定すると、この級数が得られます。 これは Igx > T で収束します。 x > 10 の場合、Igx ^ 1 の場合は発散します。 0時< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 L = であるため、級数は発散します。 x = 0 での級数の発散は明らかです。 例 3. 級数の収束領域を見つける この級数の項は定義されており、セット上で連続しています。 Kosh 記号を適用すると、いずれかが見つかります。 したがって、級数は x のすべての値に対して発散します。 汎関数級数 (1) の n 番目の部分和を Sn(x) で表します。 この級数が集合 D に収束し、その合計が 5(g) に等しい場合、次のように表すことができます。 したがって、x € D のすべての値について、関係が成立します。 つまり、収束級数の剰余 Rn(x) は、x 6 D が何であれ、n oo としてゼロになる傾向があります。 集合 D に収束する汎関数級数が与えられ、その和が S(x) に等しいとします。 n 番目の部分和を取る 定義。 汎関数級数 FUNCTIONAL SERIES 収束領域 一様収束 Weierstrass 基準 一様収束汎関数級数の性質は、任意の数 ε > 0 に対して集合から不等式 xフィ． コメント。 ここで、数 N はすべての x ∈ 10 に対して同じです。つまり、 は z には依存しませんが、数 e の選択に依存するため、N = N(e) と書きます。 集合 ft 上の関数 S(x) への汎関数級数 £ /n(®) の一様収束は、しばしば次のように表されます。 集合 ft 上の級数 /n(x) の一様収束の定義は、論理記号を使用して短く書きます: 機能行。 セグメント [a, 6] を集合 ft として取り、関数のグラフをプロットします。 数 n > N およびすべての a に対して成立する不等式 |。 G [a、b] および y = 5(g) + e (図 1)。 例 1 セグメントで一様に収束する この級数は交互であり、任意の x € [-1,1] についてライプニッツ検定の条件を満たすため、セグメント (-1,1] で収束します。S(x) を次のようにします。その合計、および Sn (x) はその n 番目の部分合計 級数の残りの絶対値は、その最初の項の絶対値を超えません: a 以降 e を取る. 次に、不等式 | が満たされる場合. ここから、n > \ であることがわかります。 数値を取る場合 (ここで [a] は a を超えない最大の整数を示します)、不等式 | e はすべての数 n > N とすべての x € [-1,1) に対して成り立ちます。 これは、この系列がセグメント [-1,1) に一様に収束することを意味します。 I. 集合 D に収束する関数級数のすべてが、例 2 に一様に収束するわけではありません。級数が区間に収束するが、一様ではないことを示しましょう。 4 級数の n 番目の部分和 £n(*) を計算してみましょう。 差の絶対値 S (x) - 5n (x) (シリーズの残り) が等しい場合、このシリーズがセグメントとその合計に収束する From があります。 そのような数 e を考えてみましょう。 n について不等式を解いてみましょう. wherece が成り立ちます (Inx で割ると不等号が逆になるからです)。 不等式は に対して成り立ちます。 したがって、セグメントからのすべての x に対して直ちに不等式が成立するように、x に依存しないような数 N(e)。 、 存在しない。 しかし、セグメント 0 をより小さなセグメントに置き換えると、後者では、この級数は関数 S0 に一様に収束します。 確かに、したがって、一度にすべての x について §3. ワイエルシュトラス基準 関数級数の一様収束の十分な基準は、ワイエルシュトラスの定理によって与えられます。 定理 1 (ワイエルシュトラス検定)。 集合 Q からのすべての x について、関数級数の要素の絶対値は、正の項を持つ収束数値級数 П=1 の対応する要素を超えないものとします。つまり、すべての x ∈ Q について、関数級数 ( 1) 集合上で П は絶対的かつ一様に収束する. そして Tek、定理の条件によれば、級数 (1) の項は集合 Q 全体で条件 (3) を満たすため、比較基準により、級数 2 \fn(x)\ は次のように収束します。任意の x ∈ H であり、その結果、級数 (1) は P に絶対収束します。 級数 (1) の一様収束を証明しましょう。 を Sn(x) で表し、系列 (1) と (2) の部分和をそれぞれ表すことにします。 任意の (任意に小さい) 数 e > 0 をとります。その場合、数値級数 (2) の収束は、数 N = N(e) の存在を意味し、その結果、すべての数 n > N(e に対して -e ) およびすべての x6n 、つまり 級数 (1) は集合 P に一様に収束します。 数列 (2) は、関数列 (1) のメジャーライジングまたはメジャーラントと呼ばれることがよくあります。 例 1. 一様収束の級数を調べる 不等式はすべての場合に成り立ちます。 そしてみんなのために。 数列が収束します。 ワイエルシュトラス検定のおかげで、考慮された汎関数級数は、軸全体で絶対的かつ均一に収束します。 例 2. 一様収束のための級数の調査 級数の項は定義されており、セグメント [-2,2|] で連続しています。 任意の自然な n のセグメント [-2,2) では、したがって、不等式が成り立ちます。 数級数は収束するので、ワイエルシュトラス検定によれば、元の汎関数級数はセグメント上で絶対的かつ一様に収束します。 コメント。 汎関数級数 (1) は、数値主要級数 (2) がない場合、集合 Piv 上で一様に収束できます。つまり、ワイエルシュトラス基準は一様収束の十分な基準にすぎませんが、必須ではありません。 例。 上の例 (例) に示すように、系列は線分 1-1,1] に一様に収束します。 しかし、それに対する主要な収束数列 (2) はありません。 実際、すべての自然数 n とすべての x ∈ [-1,1) に対して不等式が成立し、で等式が達成されます。 したがって、希望する主要級数 (2) の項は必ず条件を満たす必要がありますが、数値級数 FUNCTIONAL SERIES 収束領域 一様収束 ワイエルシュトラス検定 一様収束汎関数級数の性質は発散します。 これは、級数£ op も発散することを意味します。 一様収束関数列の性質 一様収束関数列には多くの重要な性質があります。 定理 2. 線分 [a, b] に一様に収束する級数のすべての項が [a, 6] に制限された同じ関数 q(x) で乗算される場合、結果の汎関数級数は一様に収束します。 級数 £ fn(x) が区間 [a, b\] で関数 S(x) に一様に収束し、関数 g(x) が有界であるとします。つまり、次のような定数 C > 0 が存在します。任意の数 e > 0 に対する級数の一様収束の定義 5n(ar) が部分和である場合、すべての n > N およびすべての x ∈ [a, b] に対して不等式が成立するような数 N があります。検討中のシリーズ。 したがって、私たちは誰にでも持っています。 級数は [a, b| で一様に収束する] 定理 3. 汎関数級数のすべての項 fn(x) が連続であり、級数が線分 [a, b\. 次に、シリーズの合計 S(x) は、この間隔で連続しています。 M 区間 [o, b] の任意の 2 点 zr + Ax を取ります。 この級数は線分 [a, b] に一様に収束するので、任意の数 e > 0 に対して数 N = N(e) が存在し、すべての n > N に対して不等式が成立します。ここで、5n(x) は次の部分和です。シリーズ fn (x)。 これらの部分和 Sn(x) は、[a, 6) で連続する有限数の関数 fn(x) の和として、区間 [a, 6] で連続です。 したがって、固定数 no > N(e) と特定の数 e に対して、不等式 Ax が条件 | フォーム: を満たすような数 6 = 6(e) > 0 が存在します。 不等式 (1) と (2) を考慮すると、条件 | を満たす増分 Ax について、次の式が得られます。これは、合計 (Six) が点 x で連続であることを意味します。 x は線分 [a, 6] の任意の点であるから、5(x) は |a, 6| 上で連続している。 コメント。 メンバが区間 [a, 6) で連続であるが、(a, 6] で一様に収束しない汎関数級数は、合計として不連続関数を持つことができます. 例 1. 区間 |0,1 の汎関数級数を考えます）。 その n 番目の部分和を計算してみましょう。したがって、系列のメンバーは連続していますが、セグメント では不連続です。 証明された定理により、この級数は区間 に一様に収束しません。 例 2. 級数を考える 上に示したように、この級数は で収束します。1 と数値級数が収束するため、級数はワイエルシュトラス基準に従って一様に収束します。 したがって、x > 1 の場合、この級数の合計は連続です。 コメント。 この関数はリーマン関数と呼ばれます (この関数は数論で大きな役割を果たします)。 定理 4 (汎関数級数の項ごとの積分について)。 級数のすべての項 fn(x) を連続とし、級数を線分 [a, b] 上で関数 S(x) に一様に収束させる。 関数 fn(x) の連続性と区間 [a, 6] での与えられた級数の一様収束により、その合計 5(x) は連続であり、したがって で可積分です。 [o, b] 上の級数の一様収束から、任意の e > 0 に対して数 N(e) > 0 が存在し、すべての数 n > N(e) およびすべての x € [a, 6] 不等式が成り立つ 級数 fn(0 が一様に収束しない場合、一般的に言えば、項ごとに積分することはできません。つまり、定理 5 (汎関数級数の項ごとの微分について) . 収束級数 00 のすべての項が連続導関数を持ち、これらの導関数で構成される級数が区間 [a, b] で一様に収束するとします. このとき、任意の点で等式は真です. つまり、与えられた級数は項ごとに微分. M 任意の 2 点を取りましょう. 次に, 定理 4 により, 関数 o-(x) は連続関数の一様収束系列の和として連続です. したがって, 等式を微分することにより入手

機能範囲 正式な書き言葉と呼ばれる

あなた1 (バツ) + あなた 2 (バツ) + あなた 3 (バツ) + ... + あなた n ( バツ) + ... , (1)

どこ あなた1 (バツ), あなた 2 (バツ), あなた 3 (バツ), ..., あなた n ( バツ), ... - 独立変数からの一連の関数 バツ.

sigma: を使用した機能系列の省略表記。

機能シリーズの例は次のとおりです。 :

(2)

(3)

独立変数を与える バツいくつかの値 バツ0 それを機能級数（1）に代入すると、数値級数が得られます

あなた1 (バツ 0 ) + あなた 2 (バツ 0 ) + あなた 3 (バツ 0 ) + ... + あなた n ( バツ 0 ) + ...

得られた数値級数が収束する場合、汎関数級数 (1) は収束すると言われます。 バツ = バツ0 ; 発散する場合、系列 (1) で発散すると言われています。 バツ = バツ0 .

例 1. 関数級数の収束を調べる(2) 値の場合 バツ= 1 および バツ = - 1 .
解決。 で バツ= 1 数列を取得します

これは、ライプニッツ テストに従って収束します。 で バツ= - 1 数列を取得します

,

これは発散調和級数の積として – 1 で発散します。したがって、級数 (2) は次の点で収束します。 バツ= 1 で発散 バツ = - 1 .

関数級数 (1) の収束のこのようなテストが、そのメンバーの定義のドメインからの独立変数のすべての値に対して実行される場合、このドメインのポイントは 2 つのセットに分割されます。値付き バツそのうちの 1 つで、級数 (1) は収束し、もう 1 つで発散します。

関数級数が収束する独立変数の値のセットは、その 収束領域 .

例 2. 関数級数の収束領域を見つける

解決。 級数のメンバーは数直線全体で定義され、分母を持つ等比数列を形成します q=罪 バツ. したがって、級数は次の場合に収束します

発散する場合

(値は不可)。 しかし、価値と他の価値のために バツ. したがって、級数はすべての値について収束します。 バツ、 を除外する 。 その収束領域は、これらの点を除いて数直線全体です。

例 3. 関数級数の収束領域を見つける

解決。 級数の項は、分母を持つ等比数列を形成します q=ln バツ. したがって、級数は 、または 、 whence の場合に収束します。 これは、このシリーズの収束領域です。

例 4. 関数級数の収束を調べる

解決。 任意の値を取りましょう。 この値を使用して、数値シリーズを取得します

(*)

その共通項の極限を見つける

その結果、系列 (*) は、任意に選択された、つまり 任意の値 バツ. その収束領域は空集合です。

汎関数級数の一様収束とその性質

コンセプトに移りましょう 汎関数級数の一様収束 . させて s(バツ) はこの系列の合計であり、 sn ( バツ) - 合計 nこのシリーズの最初のメンバー。 機能範囲 あなた1 (バツ) + あなた 2 (バツ) + あなた 3 (バツ) + ... + あなた n ( バツ) + ... 区間 [ a, b] 、任意の小さい数の場合 ε > 0 そのような数があります N、それはすべてのために n ≥ N不等式は満たされる

|s(バツ) − s n ( バツ)| < ε

誰にも バツセグメントから[ a, b] .

上記の性質を幾何学的に表すと次のようになります。

関数のグラフを考えてみましょう y = s(バツ) . この曲線の周りに幅 2 のストリップを作成します。 ε n、つまり、曲線を作成します y = s(バツ) + ε nと y = s(バツ) − ε n（下の写真では緑色です）。

その後、任意の ε n関数グラフ sn ( バツ) 検討中のバンドに完全に含まれます。 同じバンドには、後続のすべての部分和のグラフが含まれます。

上記の機能を持たない収束汎関数級数は、非一様収束です。

一様収束汎関数級数のもう 1 つの特性を考えてみましょう。

ある間隔で一様に収束する一連の連続関数の和 [ a, b] 、このセグメントで連続している機能があります.

例 5関数級数の合計が連続かどうかを判断する

解決。 和を求めよう nこのシリーズの最初のメンバー:

もしも バツ> 0 の場合

,

もしも バツ < 0 , то

もしも バツ= 0 の場合

したがって 。

私たちの研究は、このシリーズの合計が不連続関数であることを示しました。 そのグラフを下図に示します。

汎関数級数の一様収束のワイエルシュトラス検定

概念を通してワイエルシュトラス基準に近づきましょう 機能系列の過半数 . 機能範囲

あなた1 (バツ) + あなた 2 (バツ) + あなた 3 (バツ) + ... + あなた n ( バツ) + ...

4.1. 機能シリーズ：基本概念、収束領域

定義 1. メンバーが 1 または 2 の関数である級数
あるセットで定義されたいくつかの独立変数が呼び出されます 機能範囲.

メンバーが 1 つの独立変数の関数である関数級数を考えてみましょう バツ. 最初の合計 n系列メンバーは、指定された関数系列の部分和です。 共通会員 からの機能があります バツある地域で定義されています。 ある時点で関数シリーズを検討する . 対応する数系列の場合 収束する、つまり この級数の部分和には限界があります
（どこ − 数列の合計)、ポイントが呼び出されます 収束点機能範囲 . 数直線なら 発散すると、その点が呼び出されます 分岐点機能列。

定義 2. 収束エリア機能範囲 そのようなすべての値の集合と呼ばれます バツ、汎関数級数が収束します。 すべての収束点からなる収束領域は、次のように示されます。 . ご了承ください R.

関数シリーズは領域に収束します 、もしあれば 数列として収束しますが、その合計は何らかの関数になります . このいわゆる リミット機能シーケンス : .

関数級数の収束領域を見つける方法 ? ダランベールの記号に似た記号を使用できます。 数の場合 作成する そして、固定での制限を考慮してください バツ:
. それから 不等式の解です そして方程式を解く (これらの方程式の解のみを使用します。
対応する数値級数が収束する）。

例 1. 級数の収束領域を見つけます。

解決. 示す , . 極限 を構成して計算すると、級数の収束領域は不等式によって決定されます。 と方程式 . さらに、方程式の根である点での元の級数の収束を調べてみましょう。

で、もし , 、その後、発散級数を取得します ;

b) もし , 、次に行 条件付きで収束します（

ライプニッツ検定、例 1、講義 3、秒。 3.1)。

したがって、収束領域 行は次のようになります。 .

4.2. ベキ級数：基本概念、アーベルの定理

関数シリーズの特殊なケース、いわゆる パワーシリーズ 、 どこ
.

定義 3. パワーネクストの形の関数級数と呼ばれ、

どこ − と呼ばれる定数 級数係数.

ベキ級数は、ベキが増えるように配置された「無限多項式」です。 . 任意の数直線 は
ベキ級数の特殊なケース .

べき級数の特殊なケースを考えてみましょう :
. どんな種類か調べる
与えられた系列の収束領域 .

定理 1 (アーベルの定理). 1) ベキ級数の場合 一点に収束する 、それからそれは絶対に収束します バツ、不等式 .

2) ベキ級数が発散する場合 、それからそれは発散します バツ、そのために .

証拠. 1) 条件により、ベキ級数が点に収束する ,

つまり、数列が収束します

(1)

そして、必要な収束基準に従って、その共通項は 0 になる傾向があります。 . したがって、数があります シリーズのすべてのメンバーがこの数に制限されていること:
.

今考えてみてください バツ、そのために 、および一連の絶対値を構成します: 。
このシリーズを別の形式で書きましょう。 、次に (2)。

不平等から
つまり、 行

シリーズ (2) の対応するメンバーより大きいメンバーで構成されます。 行 分母を持つ等比数列の収束級数 、 さらに 、 なぜなら . したがって、級数 (2) は次のように収束します。 . だからパワーシリーズ 絶対収束します。

2）行をしましょう で発散する 、 言い換えると、

数直線が発散する . 証明してみましょう バツ () 級数は発散します。 証明は矛盾による。 いくつかしましょう

修理済み （ ) 級数が収束し、その後すべてについて収束する (この定理の最初の部分を参照)、特に for は、定理 1 の条件 2) と矛盾します。定理は証明されています。

結果. アーベルの定理により、ベキ級数の収束点の位置を判断することができます。 イフポイント はべき級数の収束点であり、間隔は 収束点で満たされています。 分岐点が点の場合 、 それか
無限間隔 分岐点でいっぱいです（図1）。

米。 1. 系列の収束と発散の区間

そのような数があることを示すことができます 、それはすべてのために
パワーシリーズ 絶対収束し、 −発散する。 級数が 1 つの点 0 でのみ収束する場合、次のようになります。 、およびすべてのシリーズが収束する場合 、 それか .

定義 4. 収束間隔パワーシリーズ この間隔は呼ばれます 、それはすべてのために この級数は絶対収束し、すべてについて収束する バツこの間隔の外にある場合、系列は発散します。 番号 Rと呼ばれる 収束半径パワーシリーズ。

コメント. 間隔の終わりに べき級数の収束または発散の問題は、特定の級数ごとに個別に解決されます。

べき級数の収束の間隔と半径を決定する方法の 1 つを示しましょう。

ベキ級数を考える と .

そのメンバーの一連の絶対値を作成しましょう。

それにダランベールの検定を適用します。

存在させて

.

ダランベール検定によると、級数は次の場合に収束します。 、および発散する場合 . ここから、系列は に収束し、次に収束間隔: . で、級数は発散します。 .
表記の使用 、ベキ級数の収束半径を決定する式を取得します。

,

どこ べき級数の係数です。

限界だとわかったら 、次に仮定します .

ベキ級数の収束の間隔と半径を決定するために、ラジカル コーシー基準を使用することもできます。級数の収束半径は次の関係から決定されます。 .

定義 5. 一般化ベキ級数シリーズと呼ばれる

. 次から次へと呼ばれることもあります .
このような系列の場合、収束間隔は次の形式になります。 、 どこ − 収束半径。

一般化されたベキ級数の収束半径を求める方法を示しましょう。

それらの。 、 どこ .

もしも 、 それか 、および収束の領域 R; もしも 、 それか と収束領域 .

例 2. シリーズの収束領域を見つける .

解決. 示す . 限界を作ろう

不等式を解決します。 , 、したがって間隔

収束は次の形式をとります。 、 さらに R= 5. さらに、収束間隔の終わりを調べます。
A) , 、シリーズを取得します 、発散します。
b) , 、シリーズを取得します 、収束する
条件付きで。 したがって、収束領域は次のようになります。 , .

答え：収束領域 .

例 3行 誰にとっても異なる 、 なぜなら で 、収束半径 .

例 4級数は、収束半径 R のすべてについて収束します。 .

-おそらく、複合体はそれほど複雑ではないでしょう;）そして、この記事のタイトルも狡猾です-今日議論されるシリーズは、むしろ複雑ではなく、「希土類」です。 ただし、パートタイムの学生でさえ、それらから免れることはできないため、この一見追加のレッスンは最大限に真剣に受け止める必要があります。 結局のところ、それを処理した後は、ほとんどすべての「獣」に対処できます。

ジャンルの古典から始めましょう：

例 1

まず、これはベキ級数ではないことに注意してください （形があることを思い出します）. そして第二に、ここでは値がすぐに際立っており、明らかにシリーズの収束領域に入ることができません。 そして、これはすでに研究の小さな成功です！

それでも、どうすれば大きな成功を収めることができるでしょうか。 急いであなたを喜ばせます-そのようなシリーズは次のように解決できます 力– ダランベール徴候またはコーシーラジカル徴候に頼る!

解決×：級数収束範囲外。 これは重大な事実であり、注意する必要があります。

アルゴリズムの基礎は標準として機能します。 ダランベール検定を使用して、シリーズの収束間隔を見つけます。

級数は に収束します。 モジュールを上に移動しましょう。

「悪い」点をすぐに確認しましょう: 値が系列の収束領域に入っていません。

区間の「内側」の端での級数の収束を調べます。
もし、その後
もし、その後

満たされていないため、両方の数列が発散します 収束の必要な兆候.

答え: 収束領域:

少し分析してみましょう。 適切な間隔の値を機能系列に代入してみましょう。たとえば、次のようになります。
- 収束する ダランベール徴候.

左の間隔から値を代入する場合、収束系列も得られます。
もし、その後。

そして最後に、 の場合、シリーズ -本当に発散します。

ウォーミングアップのためのいくつかの簡単な例:

例 2

関数級数の収束領域を見つける

例 3

関数級数の収束領域を見つける

「新しい」を特に得意とする モジュール- 今日は100500回会える！

レッスンの最後に簡単な解決策と答え。

使用されているアルゴリズムは普遍的で問題がないように見えますが、実際にはそうではありません。多くの関数シリーズでは、しばしば「スリップ」したり、誤った結論につながることさえあります （そして、そのような例も検討します）.

粗さは、結果の解釈のレベルですでに始まっています。たとえば、シリーズを考えてみましょう。 ここで、極限では、 （自分で調べてください）となり、理論的には級数が一点に収束するという答えを出す必要があります。 ただし、ポイントは「大げさ」です。つまり、私たちの「患者」はいたるところに発散しています。

そしてシリーズでは、「コーシーによれば」「明白な」解決策はまったく何も与えません：
- 「x」の任意の値。

そして、何をすべきかという疑問が生じます。 レッスンの主要部分が専念される方法を使用します！ 次のように定式化できます。

さまざまな値の数系列の直接分析

実際、すでに例 1 でこれを開始しています。まず、特定の "x" と対応する数列を調べます。 値を取るように頼みます：
- 結果の数列は発散します。

そして、これはすぐに考えを示唆します: 同じことが他のポイントで起こったらどうなるでしょうか?
確認しよう 級数の収束に必要な基準ために 任意値 :

上記検討事項 他のすべての「x」私たちは標準的なレセプションで組織します セカンドワンダフルリミット:

結論: 級数は数直線全体で発散します

そして、このソリューションは最も効果的なオプションです!

実際には、関数シリーズはしばしば比較する必要があります 一般化調和級数 :

例 4

解決：まず、対処しましょう 定義域: この場合、部首式は厳密に正である必要があり、さらに、シリーズのすべてのメンバーが最初から存在する必要があります。 このことから、次のことがわかります。
. これらの値を使用すると、条件付きで収束するシリーズが得られます。
等

他の "x" は適切ではありません。たとえば、シリーズの最初の 2 つのメンバーが存在しないという不正なケースが発生した場合などです。

これはすべて良いことです、これはすべて明らかですが、もう1つの重要な質問があります-決定を適切に作成するにはどうすればよいですか？ 数列に「矢印を転送する」と俗語化できるスキームを提案します。

検討 任意意味 そして、数値級数の収束を調べます。 ルーティーン ライプニッツの徴候:

1) このシリーズは交互です。

2) – 級数の項はモジュロで減少します。 級数の次の各項は、前の項よりも絶対値​​が小さくなっています。 であるため、減少は単調です。

結論: 級数はライプニッツ検定に従って収束します。 すでに述べたように、ここでの収束は条件付きです。 - 発散します。

だからここにあります-きちんとしていて正しいです！ 「アルファ」の背後には、すべての有効な数値シリーズを巧みに隠しました。

答え: 関数級数が存在し、 に対して条件付きで収束します。

日曜大工ソリューションの同様の例:

例 5

関数級数の収束を調べる

レッスンの最後の課題の例。

これがあなたの「作業仮説」です！ – 機能シリーズはインターバルに収束します!

2) すべてが対称的な間隔で透過的であると考える 任意値と私たちは得る: – 絶対収束数値級数.

3) そして最後に「真ん中」。 ここでも、2 つの間隔を区別すると便利です。

検討中です 任意間隔から値を取得し、数値シリーズを取得します。

! 難しいならまた のように、特定の番号に置き換えます。 しかし、... あなたは困難を望んでいました =)

「en」のすべての値について 、 意味：
- したがって、 比較記号シリーズは、無限に減少する進行とともに収束します。

取得した間隔からの「x」のすべての値について 絶対収束級数です。

すべての X は調査済みです。X はもうありません。

答え: シリーズの収束領域:

私は言わなければならない、予想外の結果です！ また、ここでダランベールやコーシーの記号を使用すると、間違いなく誤解を招くことも付け加えておく必要があります。

直接評価は数学的分析の「最高の曲技飛行」ですが、これにはもちろん経験が必要で、どこかで直感さえ必要です。

それとも、誰かがもっと簡単な方法を見つけるでしょうか？ 書く！ ところで、前例があります - 読者がより合理的な解決策を提案したことが何度かあり、私は喜んでそれらを公開しました.

着陸頑張ってください:)

例 11

関数級数の収束領域を見つける

私のバージョンのソリューションは非常に近いです。

追加のハードコアは次の場所にあります。 セクション VI (行)クズネツォフのコレクション (問題 11-13)。インターネットには既製のソリューションがありますが、ここであなたが必要です 警告する- それらの多くは不完全で、正しくなく、さらには誤りです。 ところで、これがこの記事が生まれた理由の 1 つです。

3 つの教訓をまとめて、ツールを体系化しましょう。 それで：

関数級数の収束間隔を見つけるには、次を使用できます。:

1) ダランベール徴候またはコーシー徴候. 行がそうでない場合 力– さまざまな値を直接代入して得られた結果を分析するときは、注意が必要です。

2) ワイエルシュトラス一様収束検定. 忘れないようにしましょう！

3) 典型的な数値系列との比較- 一般的なケースでドライブします。

それから 見つかった間隔の端を調べます （必要に応じて）そして、シリーズの収束領域を取得します。

これで、ほとんどすべてのテーマタスクに対処できるかなり深刻な武器を自由に使用できます。

私はあなたの成功を祈って！

解決策と答え:

例 2: 解決×：級数収束範囲外。
ダランベール検定を使用します。


級数は次の点に収束します。

したがって、汎関数級数の収束間隔は次のようになります。 .
終点での級数の収束を調べます。
もし、その後 ;
もし、その後 .
両方の数列が発散するためです。 収束に必要な基準が満たされていません。

答え : 収束領域: