Reprezentovať v trigonometrickej forme online. Trigonometrický tvar komplexných čísel. Komplexné čísla v trigonometrickom tvare

2.3. Trigonometrický tvar komplexných čísel

Nech je vektor daný v komplexnej rovine číslom .

Označte φ uhol medzi kladnou poloosou Ox a vektorom (uhol φ sa považuje za kladný, ak sa počíta proti smeru hodinových ručičiek, a za záporný v opačnom prípade).

Označte dĺžku vektora r. Potom . Označujeme tiež

Zápis nenulového komplexného čísla z ako

sa nazýva trigonometrický tvar komplexného čísla z. Číslo r sa nazýva modul komplexného čísla z a číslo φ sa nazýva argument tohto komplexného čísla a označuje sa Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla - (Eulerov vzorec) - exponenciálna forma zápisu komplexného čísla:

Komplexné číslo z má nekonečne veľa argumentov: ak φ0 je ľubovoľný argument čísla z, potom všetky ostatné možno nájsť pomocou vzorca

Pre komplexné číslo nie je definovaný argument ani goniometrický tvar.

Argumentom nenulového komplexného čísla je teda akékoľvek riešenie systému rovníc:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexného čísla z, ktorá spĺňa nerovnice, sa nazýva hlavná hodnota a označuje sa arg z.

Argumenty Arg z a arg z súvisia rovnosťou

, (4)

Vzorec (5) je dôsledkom systému (3), takže všetky argumenty komplexného čísla spĺňajú rovnosť (5), ale nie všetky riešenia φ rovnice (5) sú argumentmi čísla z.

Hlavná hodnota argumentu nenulového komplexného čísla sa nachádza vo vzorcoch:

Vzorce na násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare sú nasledovné:

. (7)

Pri zvýšení komplexného čísla na prirodzenú mocninu sa používa de Moivreov vzorec:

Pri extrakcii koreňa z komplexného čísla sa používa vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítajte , kde .

Znázornime riešenie tohto výrazu v exponenciálnom tvare zápisu komplexného čísla: .

Ak potom .

potom , . Preto teda a , kde .

odpoveď: , o .

Úloha 55. Napíšte komplexné čísla v goniometrickom tvare:

a) ; b) ; v) ; G); e) ; e) ; a).

Keďže trigonometrický tvar komplexného čísla je , potom:

a) V komplexnom čísle: .

Preto

b) , kde ,

G) , kde ,

e) .

a) , a , potom .

Preto

odpoveď: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla

nechaj, .

potom , , .

Pretože a , , potom , a

Preto teda

odpoveď: , kde .

Úloha 57. Pomocou goniometrickej formy komplexného čísla vykonajte nasledujúce akcie: .

Predstavte si čísla a v trigonometrickej forme.

1), kde potom

Nájdenie hodnoty hlavného argumentu:

Dosaďte hodnoty a do výrazu dostaneme

2) kde potom

Potom

3) Nájdite kvocient

Za predpokladu, že k=0, 1, 2, dostaneme tri rôzne hodnoty požadovaného koreňa:

Ak potom

Ak potom .

odpoveď: :

: .

Úloha 58. Nech sú , , , rôzne komplexné čísla a . Dokáž to

číslo je skutočné kladné číslo;

b) platí rovnosť:

a) Predstavme si tieto komplexné čísla v trigonometrickom tvare:

Pretože .

Predstierajme to. Potom

Posledný výraz je kladné číslo, pretože pod sínusovými znamienkami sú čísla z intervalu.

pretože číslo skutočné a pozitívne. Ak sú a a b komplexné čísla a sú reálne a väčšie ako nula, potom .

okrem toho

tým je dokázaná požadovaná rovnosť.

Úloha 59. Zapíšte číslo v algebraickom tvare .

Číslo reprezentujeme v goniometrickom tvare a potom nájdeme jeho algebraický tvar. Máme . Pre dostaneme systém:

Z toho vyplýva rovnosť: .

Použitie De Moivreovho vzorca:

dostaneme

Nájde sa trigonometrický tvar daného čísla.

Teraz zapíšeme toto číslo v algebraickom tvare:

odpoveď: .

Úloha 60. Nájdite súčet , ,

Zvážte sumu

Aplikovaním De Moivreovho vzorca zistíme

Tento súčet je súčtom n členov geometrickej postupnosti s menovateľom a prvý člen .

Aplikovaním vzorca pre súčet členov takejto progresie máme

Oddelením imaginárnej časti v poslednom výraze nájdeme

Oddelením reálnej časti získame aj nasledujúci vzorec: , , .

Úloha 61. Nájdite súčet:

a) ; b) .

Podľa Newtonovho vzorca pre zvýšenie na moc máme

Podľa De Moivreovho vzorca zistíme:

Porovnaním skutočných a imaginárnych častí získaných výrazov pre , máme:

a .

Tieto vzorce môžu byť napísané v kompaktnej forme takto:

, kde je celá časť čísla a.

Úloha 62. Nájdite všetky, pre ktoré .

Pretože a potom použitím vzorca

, Ak chcete extrahovať korene, dostaneme ,

v dôsledku toho , ,

, .

Body zodpovedajúce číslam sú umiestnené vo vrcholoch štvorca vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode (0;0) (obr. 30).

odpoveď: , ,

, .

Úloha 63. Vyriešte rovnicu , .

Podľa podmienok; preto táto rovnica nemá koreň, a preto je ekvivalentná rovnici.

Aby číslo z bolo koreňom tejto rovnice, číslo musí byť n-tou odmocninou čísla 1.

Dospeli sme teda k záveru, že pôvodná rovnica má korene určené z rovnosti

Touto cestou,

t.j. ,

odpoveď: .

Úloha 64. Vyriešte rovnicu v množine komplexných čísel.

Keďže číslo nie je koreňom tejto rovnice, potom je táto rovnica ekvivalentná rovnici

Teda rovnica.

Všetky korene tejto rovnice sú získané zo vzorca (pozri úlohu 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslite na komplexnú rovinu množinu bodov, ktoré spĺňajú nerovnosti: . (2. spôsob riešenia problému 45)

Nechaj .

Komplexné čísla s rovnakými modulmi zodpovedajú bodom roviny ležiacim na kružnici so stredom v počiatku, takže nerovnosť spĺňajú všetky body otvoreného prstenca ohraničeného kružnicami so spoločným stredom v počiatku a polomermi a (obr. 31). Nech nejaký bod komplexnej roviny zodpovedá číslu w0. číslo , má modul krát menší ako modul w0, argument, ktorý je väčší ako argument w0. Z geometrického hľadiska možno bod zodpovedajúci w1 získať pomocou homotetity so stredom v počiatku a koeficientu , ako aj rotácie proti smeru hodinových ručičiek vzhľadom na počiatok. Aplikáciou týchto dvoch transformácií na body prstenca (obr. 31) sa prstenec zmení na prstenec ohraničený kružnicami s rovnakým stredom a polomermi 1 a 2 (obr. 32).

transformácia je implementovaný pomocou paralelného prekladu na vektore . Prenesením prstenca so stredom v bode do naznačeného vektora získame krúžok rovnakej veľkosti so stredom v bode (obr. 22).

Navrhovaná metóda, ktorá využíva myšlienku geometrických transformácií roviny, je pravdepodobne menej vhodná na popis, ale je veľmi elegantná a efektívna.

Úloha 66. Zistite, či .

Nechajte , potom a . Pôvodná rovnosť bude mať formu . Z podmienky rovnosti dvoch komplexných čísel dostaneme , , odkiaľ , . Touto cestou, .

Napíšme číslo z v trigonometrickom tvare:

, kde , . Podľa De Moivreovho vzorca nájdeme .

odpoveď: - 64.

Úloha 67. Pre komplexné číslo nájdite všetky komplexné čísla také, že , a .

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare:

. Preto, . Pre číslo, ktoré dostaneme, sa môže rovnať buď .

V prvom prípade , v druhom

odpoveď: , .

Úloha 68. Nájdite súčet čísel taký, že . Zadajte jedno z týchto čísel.

Všimnite si, že už zo samotnej formulácie problému je možné pochopiť, že súčet koreňov rovnice možno nájsť bez výpočtu samotných koreňov. Skutočne, súčet koreňov rovnice je koeficient , braný s opačným znamienkom (zovšeobecnená Vieta veta), t.j.

Študenti, školská dokumentácia, vyvodzujú závery o stupni asimilácie tohto konceptu. Zhrňte štúdium znakov matematického myslenia a procesu vytvárania pojmu komplexného čísla. Popis metód. Diagnostika: I štádium. Rozhovor bol realizovaný s učiteľkou matematiky, ktorá v 10. ročníku vyučuje algebru a geometriu. Rozhovor prebehol po nejakom čase...

Rezonancia "(!)), ktorá zahŕňa aj posúdenie vlastného správania. 4. Kritické posúdenie vlastného chápania situácie (pochybnosti). 5. Napokon využitie odporúčaní právnej psychológie (zohľadňujúc psychologické aspekty odborné úkony advokáta - odborná psychologická pripravenosť). Uvažujme teraz o psychologickom rozbore právnych skutočností. ...

Matematika trigonometrickej substitúcie a overenie účinnosti vypracovanej metodiky vyučovania. Etapy práce: 1. Vypracovanie voliteľného predmetu na tému: "Aplikácia goniometrickej substitúcie pri riešení algebraických úloh" so študentmi v triedach s prehĺbeným štúdiom matematiky. 2. Vedenie vypracovaného voliteľného kurzu. 3. Vykonanie diagnostickej kontroly...

Kognitívne úlohy sú určené len na doplnenie existujúcich učebných pomôcok a mali by byť vo vhodnej kombinácii so všetkými tradičnými prostriedkami a prvkami výchovno-vzdelávacieho procesu. Rozdiel medzi výchovnými problémami vo vyučovaní humanitných vied od exaktných, matematických úloh je len v tom, že v historických problémoch neexistujú vzorce, rigidné algoritmy a pod., čo komplikuje ich riešenie. ...

3.1. Polárne súradnice

Často používané v lietadle polárny súradnicový systém . Definuje sa, ak je daný bod O, tzv pól a lúč vychádzajúci z pólu (pre nás je to os Ox) je polárna os. Poloha bodu M je určená dvoma číslami: polomer (alebo rádiusový vektor) a uhol φ medzi polárnou osou a vektorom . Uhol φ sa nazýva polárny uhol; Meria sa v radiánoch a počíta sa proti smeru hodinových ručičiek od polárnej osi.

Poloha bodu v polárnom súradnicovom systéme je daná usporiadanou dvojicou čísel (r; φ). Na póle r = 0 a φ nie je definované. Pre všetky ostatné body r > 0 a φ je definované až do násobku 2π. V tomto prípade majú dvojice čísel (r; φ) a (r 1 ; φ 1) rovnaký bod, ak .

Pre pravouhlý súradnicový systém xOy karteziánske súradnice bodu sa dajú ľahko vyjadriť pomocou jeho polárnych súradníc takto:

3.2. Geometrická interpretácia komplexného čísla

Uvažujme v rovine karteziánsky pravouhlý súradnicový systém xOy.

Každému komplexnému číslu z=(a,b) je priradený bod roviny so súradnicami ( x, y), kde súradnica x = a, t.j. reálna časť komplexného čísla a súradnica y = bi je imaginárna časť.

Rovina, ktorej body sú komplexné čísla, je komplexná rovina.

Na obrázku je komplexné číslo z = (a, b) bod za zápas M(x, y).

Cvičenie.Nakreslite komplexné čísla v rovine súradníc:

3.3. Trigonometrický tvar komplexného čísla

Komplexné číslo v rovine má súradnice bodu M(x; y). kde:

Zápis komplexného čísla - trigonometrický tvar komplexného čísla.

Volá sa číslo r modul komplexné číslo z a je označený. Modul je nezáporné reálne číslo. Pre .

Modul je nulový vtedy a len vtedy z = 0, t.j. a=b=0.

Volá sa číslo φ argument z a označené. Argument z je definovaný nejednoznačne, ako polárny uhol v polárnom súradnicovom systéme, a to až do násobku 2π.

Potom akceptujeme: , kde φ je najmenšia hodnota argumentu. To je zrejmé

Pri hlbšom štúdiu témy sa zavádza pomocný argument φ*, taký, že

Príklad 1. Nájdite goniometrický tvar komplexného čísla.

Riešenie. 1) uvažujeme modul: ;

2) hľadám φ: ;

3) trigonometrický tvar:

Príklad 2 Nájdite algebraický tvar komplexného čísla .

Tu stačí nahradiť hodnoty goniometrických funkcií a transformovať výraz:

Príklad 3 Nájdite modul a argument komplexného čísla;

1) ;

2); φ - za 4 štvrťroky:

3.4. Operácie s komplexnými číslami v goniometrickom tvare

· Sčítanie a odčítanie je pohodlnejšie vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme:

· Násobenie– pomocou jednoduchých goniometrických transformácií sa dá ukázať, že pri násobení sa moduly čísel vynásobia a pridajú sa argumenty: ;

V tejto časti sa zameriame viac na goniometrický tvar komplexného čísla. Exponenciálna forma v praktických úlohách je oveľa menej bežná. Ak je to možné, stiahnite si a vytlačte. trigonometrické tabuľky, metodický materiál nájdete na stránke Matematické vzorce a tabuľky. Bez stolov sa ďaleko nedostanete.

Akékoľvek komplexné číslo (okrem nuly) je možné zapísať v trigonometrickom tvare:

Kde to je modul komplexného čísla, a - argument komplexného čísla.

Nakreslite číslo v komplexnej rovine. Pre jednoznačnosť a jednoduchosť vysvetlení ho zaradíme do prvej súradnicovej štvrtiny, t.j. veríme, že:

Modul komplexného čísla je vzdialenosť od začiatku súradníc k príslušnému bodu komplexnej roviny. Jednoducho povedané, modul je dĺžka rádiusový vektor, ktorý je na výkrese vyznačený červenou farbou.

Modul komplexného čísla sa zvyčajne označuje: alebo

Pomocou Pytagorovej vety je ľahké odvodiť vzorec na nájdenie modulu komplexného čísla: . Tento vzorec je platný pre akékoľvek významy „a“ a „byť“.

Poznámka : modul komplexného čísla je zovšeobecnením pojmu modul reálneho čísla, ako vzdialenosť od bodu k počiatku.

Argument komplexného čísla volal rohu medzi kladná os reálna os a vektor polomeru nakreslený z počiatku do zodpovedajúceho bodu. Argument nie je definovaný pre jednotné číslo:.

Uvažovaný princíp je v skutočnosti podobný polárnym súradniciam, kde polárny polomer a polárny uhol jednoznačne definujú bod.

Argument komplexného čísla sa zvyčajne označuje: alebo

Z geometrických úvah sa získa nasledujúci vzorec na nájdenie argumentu:

. Pozor! Tento vzorec funguje len v pravej polrovine! Ak sa komplexné číslo nenachádza v 1. alebo 4. súradnicovom kvadrante, vzorec sa bude mierne líšiť. Budeme brať do úvahy aj tieto prípady.

Najprv však zvážte najjednoduchšie príklady, keď sú komplexné čísla umiestnené na súradnicových osiach.

Príklad 7

Vyjadrite komplexné čísla v goniometrickom tvare: ,,,. Vykonajte kreslenie:

V skutočnosti je úloha ústna. Pre prehľadnosť prepíšem trigonometrickú formu komplexného čísla:

Pamätajme si pozorne, modul - dĺžka(čo je vždy nezáporné), argument znie rohu

1) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument. To je zrejmé. Formálny výpočet podľa vzorca:. Je zrejmé, že (číslo leží priamo na skutočnej kladnej poloosi). Takže číslo v trigonometrickom tvare je:

Jasné ako deň, spätná kontrola:

2) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument. To je zrejmé. Formálny výpočet podľa vzorca:. Samozrejme (alebo 90 stupňov). Na výkrese je roh označený červenou farbou. Takže číslo v trigonometrickom tvare je: .

Použitím , je ľahké získať späť algebraický tvar čísla (súčasne zaškrtnutím):

3) Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a

argument. Je zrejmé, že. Formálny výpočet podľa vzorca:

Samozrejme (alebo 180 stupňov). Na výkrese je uhol označený modrou farbou. Takže číslo v trigonometrickom tvare je:

Vyšetrenie:

4) A štvrtý zaujímavý prípad. To je zrejmé. Formálny výpočet podľa vzorca:.

Argument možno zapísať dvoma spôsobmi: Prvým spôsobom: (270 stupňov) a podľa toho: . Vyšetrenie:

Nasledujúce pravidlo je však štandardnejšie: Ak je uhol väčší ako 180 stupňov, potom sa píše so znamienkom mínus a opačnou orientáciou („rolovanie“) uhla: (mínus 90 stupňov), na výkrese je uhol označený zelenou farbou. Je to jednoducho vidieť

čo je rovnaký uhol.

Záznam sa teda stáva:

Pozor! V žiadnom prípade by ste nemali používať rovnomernosť kosínusu, nepárnosť sínusu a vykonávať ďalšie „zjednodušenie“ záznamu:

Mimochodom, je užitočné zapamätať si vzhľad a vlastnosti goniometrických a inverzných goniometrických funkcií, referenčné materiály sú v posledných odsekoch stránky Grafy a vlastnosti základných elementárnych funkcií. A komplexné čísla sa učia oveľa ľahšie!

Pri návrhu najjednoduchších príkladov by to malo byť napísané : "Očividne modul je... samozrejme argument je...". To je naozaj zrejmé a ľahko ústne riešiteľné.

Prejdime k bežnejším prípadom. S modulom nie sú žiadne problémy, vždy by ste mali použiť vzorec . Ale vzorce na nájdenie argumentu budú rôzne, záleží na tom, v ktorej súradnicovej štvrtine číslo leží. V tomto prípade sú možné tri možnosti (je užitočné ich prepísať):

1) Ak (1. a 4. súradnicová štvrť, alebo pravá polrovina), potom argument treba nájsť podľa vzorca.

2) Ak (2. súradnicová štvrtina), potom treba argument nájsť podľa vzorca .

3) Ak (3. súradnicová štvrtina), potom treba argument nájsť podľa vzorca .

Príklad 8

Vyjadrite komplexné čísla v goniometrickom tvare: ,,,.

Akonáhle existujú hotové vzorce, kresba nie je potrebná. Ale je tu jeden bod: keď budete požiadaní, aby ste predložili číslo v trigonometrickej forme, potom kresliť je aj tak lepšie. Faktom je, že učitelia často odmietajú riešenie bez kresby, absencia kresby je vážny dôvod na mínus a neúspech.

Znázorňujeme čísla a v zložitom tvare bude prvé a tretie číslo pre nezávislé riešenie.

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument.

Keďže (prípad 2), teda

- tu musíte použiť zvláštnosť arkus tangens. Žiaľ, tabuľka nemá žiadnu hodnotu, takže v takýchto prípadoch treba argument ponechať v ťažkopádnej forme: - čísla v trigonometrickom tvare.

Predstavme si číslo v trigonometrickom tvare. Nájdite jeho modul a argument.

Od (prípad 1), potom (mínus 60 stupňov).

Touto cestou:

je číslo v trigonometrickom tvare.

A tu, ako už bolo uvedené, nevýhody nedotýkaj sa.

Okrem vtipnej grafickej verifikačnej metódy existuje aj analytická verifikácia, ktorá už bola vykonaná v príklade 7. tabuľka hodnôt goniometrických funkcií, pričom sa berie do úvahy, že uhol je presne tabuľkový uhol (alebo 300 stupňov): - čísla v pôvodnom algebraickom tvare.

Čísla a reprezentovať v trigonometrickej forme sami. Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci časti stručne o exponenciálnom tvare komplexného čísla.

Akékoľvek komplexné číslo (okrem nuly) možno zapísať v exponenciálnom tvare:

Kde je modul komplexného čísla a je argumentom komplexného čísla.

Čo je potrebné urobiť na reprezentáciu komplexného čísla v exponenciálnom tvare? Takmer to isté: vykonajte výkres, nájdite modul a argument. A napíšte číslo ako .

Napríklad pre číslo z predchádzajúceho príkladu sme našli modul a argument:,. Potom sa toto číslo v exponenciálnom tvare zapíše takto:

Číslo v exponenciálnom tvare by vyzeralo takto:

číslo - Takže:

Jediná rada je nedotýkajte sa indikátora exponenty, nie je potrebné preusporiadať faktory, otvárať zátvorky atď. Zapisuje sa komplexné číslo v exponenciálnom tvare prísne informovať.

Akcie na komplexných číslach zapísané v algebraickej forme

Algebraický tvar komplexného čísla z =(a,b sa nazýva algebraické vyjadrenie tvaru

z = a + bi.

Aritmetické operácie s komplexnými číslami z 1 = a 1 +b 1 i a z 2 = a 2 +b 2 i, napísané v algebraickej forme, sa vykonávajú nasledovne.

1. Súčet (rozdiel) komplexných čísel

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tie. sčítanie (odčítanie) sa uskutočňuje podľa pravidla sčítania polynómov s redukciou podobných členov.

2. Súčin komplexných čísel

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

tie. násobenie sa vykonáva podľa zaužívaného pravidla pre násobenie polynómov s prihliadnutím na skutočnosť, že i 2 = 1.

3. Delenie dvoch komplexných čísel sa vykonáva podľa nasledujúceho pravidla:

, (z 2 ≠ 0),

tie. delenie sa vykonáva vynásobením dividendy a deliteľa konjugátom deliteľa.

Umocňovanie komplexných čísel je definované takto:

Je ľahké to ukázať

Príklady.

1. Nájdite súčet komplexných čísel z 1 = 2 – i a z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Nájdite súčin komplexných čísel z 1 = 2 – 3i a z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ja∙ 5i = 7+22i.

3. Nájdite súkromné z z divízie z 1 \u003d 3 – 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Vyriešte rovnicu:, X a r Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Vďaka rovnosti komplexných čísel máme:

kde x=–1 , r= 4.

5. Vypočítajte: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Vypočítajte, ak .

7. Vypočítajte prevrátenú hodnotu čísla z=3-i.

Komplexné čísla v trigonometrickom tvare

komplexná rovina sa nazýva rovina s karteziánskymi súradnicami ( x, y), ak každý bod so súradnicami ( a, b) má priradené komplexné číslo z = a + bi. V tomto prípade sa nazýva os x reálna os a os y je imaginárny. Potom každé komplexné číslo a+bi geometricky znázornené na rovine ako bod A (a, b) alebo vektor .

Preto poloha bodu ALE(a teda komplexné číslo z) možno nastaviť podľa dĺžky vektora | | = r a uhol j tvorený vektorom | | s kladným smerom reálnej osi. Dĺžka vektora sa nazýva modul komplexného čísla a označuje sa | z|=r a uhol j volal argument komplexného čísla a označené j = argz.

Je jasné, že | z| ³ 0 a | z | = 0 Û z= 0.

Z obr. 2 to ukazuje.

Argument komplexného čísla je definovaný nejednoznačne a do 2 pk,kÎ Z.

Z obr. 2 tiež vyplýva, že ak z=a+bi a j=argz, potom

cos j =, hriech j =, tg j = .

Ak zОR a z > 0 potom argz = 0 +2pk;

ak z ОR a z< 0 potom argz = p + 2pk;

ak z= 0,argz neurčené.

Hlavná hodnota argumentu je určená na intervale 0 £argz 2 £ p,

alebo -p£ arg z £ p.

Príklady:

1. Nájdite modul komplexných čísel z 1 = 4 – 3i a z 2 = –2–2i.