Stochastický model popisuje situáciu, keď existuje neistota. Inými slovami, proces je charakterizovaný určitým stupňom náhodnosti. Samotné prídavné meno „stochastický“ pochádza z gréckeho slova „hádať“. Keďže neistota je kľúčovou charakteristikou každodenného života, takýto model môže opísať čokoľvek.
Vždy, keď ho však nanesieme, výsledok bude iný. Preto sa častejšie používajú deterministické modely. Aj keď sa čo najviac nepribližujú skutočnému stavu vecí, vždy dávajú rovnaký výsledok a uľahčujú pochopenie situácie, zjednodušujú ju zavedením súboru matematických rovníc.
Hlavné rysy
Stochastický model vždy obsahuje jednu alebo viac náhodných premenných. Snaží sa odrážať skutočný život vo všetkých jeho prejavoch. Na rozdiel od stochastickej si nekladie za cieľ všetko zjednodušiť a zredukovať na známe hodnoty. Preto je neistota jej kľúčovou charakteristikou. Stochastické modely sú vhodné na popis čohokoľvek, ale všetky majú tieto spoločné črty:
- Každý stochastický model odráža všetky aspekty problému, pre ktorý bol vytvorený.
- Výsledok každého z javov je neistý. Preto model zahŕňa pravdepodobnosti. Správnosť celkových výsledkov závisí od presnosti ich výpočtu.
- Tieto pravdepodobnosti možno použiť na predpovedanie alebo popis samotných procesov.
Deterministické a stochastické modely
Pre niektorých sa zdá, že život je pre iných následnosťou – procesmi, v ktorých príčina určuje následok. V skutočnosti sa vyznačuje neistotou, ale nie vždy a nie vo všetkom. Preto je niekedy ťažké nájsť jasné rozdiely medzi stochastickými a deterministickými modelmi. Pravdepodobnosti sú dosť subjektívne.
Predstavte si napríklad situáciu hodu mincou. Na prvý pohľad to vyzerá, že je 50% šanca dostať chvosty. Preto je potrebné použiť deterministický model. V skutočnosti sa však ukazuje, že veľa závisí od šikovnosti rúk hráčov a dokonalosti vyváženia mince. To znamená, že sa musí použiť stochastický model. Vždy sú parametre, ktoré nepoznáme. V reálnom živote príčina vždy určuje následok, no je tu aj určitá miera neistoty. Voľba medzi použitím deterministických a stochastických modelov závisí od toho, čoho sme ochotní sa vzdať – jednoduchosti analýzy alebo realizmu.
V teórii chaosu
V poslednej dobe sa pojem, ktorý model sa nazýva stochastický, ešte viac zahmlil. Je to spôsobené vývojom takzvanej teórie chaosu. Popisuje deterministické modely, ktoré môžu poskytnúť rôzne výsledky s miernou zmenou počiatočných parametrov. Je to ako úvod do výpočtu neistoty. Mnohí vedci dokonca priznali, že ide už o stochastický model.
Lothar Breuer všetko elegantne vysvetlil pomocou poetických obrazov. Napísal: „Horský potok, tlčúce srdce, epidémia kiahní, stĺp stúpajúceho dymu – to všetko je príkladom dynamického javu, ktorý, ako sa zdá, niekedy charakterizuje náhoda. V skutočnosti takéto procesy vždy podliehajú určitému poriadku, ktorému vedci a inžinieri ešte len začínajú rozumieť. Toto je takzvaný deterministický chaos." Nová teória znie veľmi vierohodne, a preto sú jej zástancami mnohí moderní vedci. Stále však zostáva málo rozvinutý a je dosť ťažké ho aplikovať v štatistických výpočtoch. Preto sa často používajú stochastické alebo deterministické modely.
Budovanie
Stochastic začína výberom priestoru elementárnych výsledkov. Takže v štatistike nazývajú zoznam možných výsledkov skúmaného procesu alebo udalosti. Výskumník potom určí pravdepodobnosť každého zo základných výsledkov. Zvyčajne sa to robí na základe určitej techniky.
Pravdepodobnosti sú však stále dosť subjektívnym parametrom. Výskumník potom určí, ktoré udalosti sú pre riešenie problému najzaujímavejšie. Potom už len určí ich pravdepodobnosť.
Príklad
Zvážte proces vytvárania najjednoduchšieho stochastického modelu. Predpokladajme, že hodíme kockou. Ak vypadne „šesť“ alebo „jedna“, naša výhra bude desať dolárov. Proces vytvárania stochastického modelu v tomto prípade bude vyzerať takto:
- Definujme priestor elementárnych výsledkov. Kocka má šesť strán, takže môže prísť jedna, dve, tri, štyri, päť a šesť.
- Pravdepodobnosť každého z výsledkov sa bude rovnať 1/6, bez ohľadu na to, koľko hodíme kockou.
- Teraz musíme určiť výsledky, ktoré nás zaujímajú. Ide o stratu tváre s číslom „šesť“ alebo „jedna“.
- Nakoniec môžeme určiť pravdepodobnosť udalosti, ktorá nás zaujíma. Je to 1/3. Zhrnieme pravdepodobnosti oboch elementárnych udalostí, ktoré nás zaujímajú: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Koncept a výsledok
V hazardných hrách sa často používa stochastická simulácia. Ale je tiež nevyhnutný v ekonomických prognózach, pretože umožňuje pochopiť situáciu hlbšie ako deterministické. Stochastické modely v ekonómii sa často používajú pri rozhodovaní o investíciách. Umožňujú vám robiť predpoklady o ziskovosti investícií do určitých aktív alebo ich skupín.
Modelovanie zefektívňuje finančné plánovanie. S jeho pomocou investori a obchodníci optimalizujú rozloženie svojich aktív. Používanie stochastického modelovania má z dlhodobého hľadiska vždy výhody. V niektorých odvetviach môže odmietnutie alebo neschopnosť uplatniť ho dokonca viesť k bankrotu podniku. Je to spôsobené tým, že v reálnom živote sa denne objavujú nové dôležité parametre a ak nie, môže to mať katastrofálne následky.
Stochastická diferenciálna rovnica(SDE) - diferenciálna rovnica, v ktorej jeden alebo viac členov má stochastickú povahu, to znamená, že predstavuje stochastický proces (iný názov je náhodný proces). Riešenia rovnice sa teda tiež ukážu ako stochastické procesy. Najznámejším a najčastejšie používaným príkladom SDE je rovnica s pojmom popisujúcim biely šum (ktorý možno považovať za príklad derivátu Wienerovho procesu). Existujú však aj iné typy náhodných výkyvov, ako napríklad proces skoku.
Príbeh
V literatúre sa prvé použitie SDE tradične spája s prácou na popise Brownovho pohybu, ktorú nezávisle vypracovali Marian Smoluchowski (g.) a Albert Einstein (g.). SDE však použil o niečo skôr ( d.) francúzsky matematik Louis Bouchelier vo svojej doktorandskej práci „Teória predpokladov“. Na základe myšlienok tejto práce začal francúzsky fyzik Paul Langevin aplikovať SDE vo svojej práci o fyzike. Neskôr spolu s ruským fyzikom Ruslanom Stratonovičom vyvinuli presnejšie matematické zdôvodnenie SDE.
Terminológia
Vo fyzike sa SDE tradične píšu vo forme Langevinovej rovnice. A často, nie úplne presne, nazývaná samotná Langevinova rovnica, hoci SDE možno zapísať mnohými inými spôsobmi. SDE vo forme Langevinovej rovnice pozostáva z obyčajnej nestochastickej diferenciálnej rovnice a ďalšej časti popisujúcej biely šum. Druhou bežnou formou je Fokker-Planckova rovnica, ktorá je parciálnou diferenciálnou rovnicou a opisuje vývoj hustoty pravdepodobnosti v čase. Tretia forma SDE je bežnejšie používaná v matematike a finančnej matematike, podobá sa Langevinovým rovniciam, ale je napísaná pomocou stochastických diferenciálov (pozri podrobnosti nižšie).
Stochastický kalkul
Nechaj T > 0 (\displaystyle T>0), nechaj to tak
u: Rn x [0, T] -» Rn; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) a: Rn x [0, T] → Rn x m; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\krát \to \mathbb (R) ^(n\krát m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Potom stochastická diferenciálna rovnica pre dané počiatočné podmienky
d X t = μ (X t, t) d t + σ (X t, t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t)) pre t° [0, T]; (\displaystyle t\in ;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)má jedinečný (v zmysle „takmer pravdepodobne“) a t (\displaystyle t)- kontinuálne riešenie (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), také že X (\displaystyle X)- prispôsobený proces na filtráciu F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z)), vygenerované Z (\displaystyle Z) a B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t), a
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Aplikácia stochastických rovníc
fyzika
Vo fyzike sa SDE často píšu vo forme Langevinovej rovnice. Napríklad systém SDE prvého rádu môže byť napísaný ako:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\súčet _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( t))kde x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- súbor neznámych, f i (\displaystyle f_(i)) a sú ľubovoľné funkcie a η m (\displaystyle \eta _(m)) sú náhodné funkcie času, ktoré sa často nazývajú šumové pojmy. Tento zápis sa používa, pretože existuje štandardná technika na prevod rovnice s vyššími deriváciami na systém rovníc prvého rádu zavedením nových neznámych. Ak g i (\displaystyle g_(i)) sú konštanty, hovoríme, že systém podlieha aditívnemu šumu. Zvažujeme aj systémy s multiplikačným šumom, keď g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). Z dvoch uvažovaných prípadov je aditívny hluk jednoduchší. Riešenie systému s aditívnym šumom možno často nájsť iba pomocou metód štandardného počtu. Dá sa použiť najmä zaužívaný spôsob skladania neznámych funkcií. V prípade multiplikatívneho šumu je však Langevinova rovnica zle definovaná v zmysle bežnej matematickej analýzy a musí sa interpretovať v zmysle Itôovho počtu alebo Stratonovičovho počtu.
Vo fyzike je hlavnou metódou riešenia SDE nájsť riešenie vo forme hustoty pravdepodobnosti a transformovať pôvodnú rovnicu na Fokker-Planckovu rovnicu. Fokker-Planckova rovnica je parciálna diferenciálna rovnica bez stochastických členov. Určuje časový vývoj hustoty pravdepodobnosti, rovnako ako Schrödingerova rovnica určuje časovú závislosť vlnovej funkcie systému v kvantovej mechanike, alebo difúzna rovnica určuje časový vývoj chemickej koncentrácie. Riešenia možno hľadať aj numericky, napríklad pomocou metódy Monte Carlo. Iné techniky na hľadanie riešení využívajú dráhový integrál, táto technika je založená na analógii medzi štatistickou fyzikou a kvantovou mechanikou (napríklad Fokker-Planckovu rovnicu možno transformovať na Schrödingerovu rovnicu pomocou nejakej transformácie premenných), resp. obyčajné diferenciálne rovnice pre momenty hustoty pravdepodobnosti.
Odkazy
- Stochastický svet – jednoduchý úvod do stochastických diferenciálnych rovníc
Literatúra
- Adomian, George. Stochastické systémy (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Matematika vo vede a technike (169)).
- Adomian, George. Nelineárne stochastické operátorové rovnice (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- Adomian, George. Teória nelineárnych stochastických systémov a aplikácie vo fyzike. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (Matematika a jej aplikácie (46)). (Angličtina)
Podstatnou črtou sociálno-ekonomických procesov je nemožnosť jednoznačne predpovedať ich priebeh na základe apriórne dostupných informácií. Napriek tomu, že sociálno-ekonomické procesy podliehajú určitým objektívnym zákonitostiam, v každom konkrétnom procese sa tieto zákonitosti prejavujú mnohými neistotami.
Matematický model procesu môže obsahovať buď deterministické parametre a vzťahy, alebo stochastické, nemôže však (aspoň pri súčasnom stave vedy) obsahovať neistoty.
Voľba deterministického alebo stochastického prístupu k modelovaniu konkrétneho sociálno-ekonomického procesu závisí od cieľov modelovania, možnej presnosti určenia počiatočných údajov, požadovanej presnosti výsledkov a odzrkadľuje informácie výskumníka o povahe príčiny. -a-účinkové vzťahy skutočného procesu. Neisté faktory, ktoré sa môžu vyskytovať v reálnych procesoch, by mali byť približne reprezentované ako deterministické alebo stochastické. Povaha parametrov zahrnutých v modeli sa vzťahuje na tie počiatočné predpoklady, ktoré možno zdôvodniť iba empiricky. Zodpovedajúca hypotéza o deterministickom alebo stochastickom charaktere parametrov a vzťahov modelu je prijatá, ak nie je v rozpore s experimentálnymi údajmi v rámci požadovanej alebo možnej presnosti určenia týchto parametrov.
Väčšina moderných modelov sociálno-ekonomických procesov je založená na pravdepodobnostných konštrukciách. V tejto súvislosti je vhodné zvážiť otázku počiatočných predpokladov použiteľnosti takýchto štruktúr na modelovanie.
Teória pravdepodobnosti študuje matematické modely experimentov (reálnych javov), ktorých výsledok nie je úplne jednoznačne určený podmienkami experimentu. Preto je nejednoznačnosť sociálno-ekonomických procesov často rozhodujúca pri voľbe stochastického (pravdepodobnostného) prístupu k ich modelovaniu. Zároveň sa nie vždy berie do úvahy, že aparát teórie pravdepodobnosti je použiteľný na opis a štúdium nie ziadne experimenty s neistými výsledkami , ale iba experimenty, ktorých výsledky sú štatisticky stabilné. Najdôležitejšia otázka empirického zdôvodnenia aplikovateľnosti pravdepodobnostných metód na špecifické charakteristiky posudzovaných sociálno-ekonomických procesov je tak niekedy úplne v nedohľadne.
Použiteľnosť metód teórie pravdepodobnosti na štúdium určitých procesov je možné doložiť len empiricky na základe analýzy štatistickej stability charakteristík týchto procesov.
Štatistická stabilita je stabilita empirického priemeru, frekvencie udalosti alebo akýchkoľvek iných charakteristík protokolu merania študovaného parametra konkrétneho procesu.
Treba však poznamenať, že otázku štatistickej stability reálneho sociálno-ekonomického procesu ako celku, a teda aj použiteľnosti pravdepodobnostných konceptov na jeho modelovanie, je v súčasnosti možné vyriešiť len na intuitívnej úrovni. Je to objektívne spôsobené nedostatkom dostatočného počtu experimentov týkajúcich sa procesu ako celku. Zároveň väčšina „elementárnych“ procesov, ktoré tvoria ten či onen sociálno-ekonomický proces, má náhodný charakter (t. j. hypotéza ich štatistickej stability nie je v rozpore s existujúcou skúsenosťou). Takže napríklad skutočnosť, že si kúpite jedno alebo druhé množstvo konkrétneho produktu na určité časové obdobie, je dosť často náhodná udalosť. Počet narodených detí je náhodný. Procesy spotreby sú svojou povahou náhodné. Náhodné sú poruchy zariadení, morálky ľudí podieľajúcich sa na výrobe tovarov a služieb atď. Náhodnosť týchto javov bola empiricky potvrdená pomerne veľkým počtom experimentov.
Všetky tieto „elementárne“ náhodné procesy sa navzájom ovplyvňujú a spájajú sa v jedinom sociálno-ekonomickom procese. Napriek tomu, že riadenie v sociálno-ekonomickej sfére je zamerané na redukciu prvku náhody a dávajú tomuto procesu deterministický cieľavedomý charakter, reálne procesy sú natoľko zložité, že bez ohľadu na to, aký vysoký je stupeň centralizácie riadenia, vždy ide o náhodné faktory. prítomný v nich. Preto povaha sociálno-ekonomických procesov zostáva v širšom zmysle náhodná. To slúži ako základ pre použitie stochastických modelov pri ich štúdiu, hoci úplnú stochastickú stabilitu konkrétneho procesu ako celku možno len ťažko plne zaručiť.
V súčasnosti existujú dva hlavné prístupy k stochastickému modelovaniu sociálno-ekonomických procesov (obr. 4.8). Prvý smer súvisí s konštrukciou stochastických modelov založených na metóde štatistických testov (Monte Carlo). Druhým smerom je vytváranie analytických modelov. Obe tieto oblasti sa vyvíjajú paralelne a vzájomne sa dopĺňajú.
Hlavnou črtou modelov založených na metóde štatistických testov je, že približne reprodukujú sociálno-ekonomický proces na základe napodobňovania jeho elementárnych komponentov a ich vzťahov. To umožňuje modelovanie procesov veľmi zložitej štruktúry, v závislosti od veľkého množstva rôznych faktorov. Štatistické testovacie modely však bývajú ťažkopádne. Ich použitie si vyžaduje veľké množstvo počítačovej pamäte a je spojené s veľkými výdavkami počítačového času. Významnou nevýhodou týchto modelov je tiež nedostatok konštruktívnych optimalizačných metód.
Niektoré nedostatky simulačných štatistických modelov sociálno-ekonomických procesov sú prekonané použitím analytických modelov.
Ryža. 4.8. Stochastické modelovanie sociálno-ekonomických procesov
V súčasnosti sa na zostavovanie analytických modelov stochastických procesov používajú dva hlavné prístupy – mikroskopický a makroskopický.
Mikroskopický prístup spočíva v podrobnom štúdiu správania každého prvku sociálno-ekonomického systému.
Makroskopické modely študujú iba makrovlastnosti systému a berú do úvahy iba priemerné charakteristiky stavu systému, napríklad priemerný počet prvkov systému, ktoré sú v nejakom konkrétnom stave. To vedie k strate informácií o stave každého prvku sociálno-ekonomického systému, keďže tie isté makrostavy môžu byť výsledkom rôznych kombinácií mikrostavov. Makroskopický prístup zároveň umožňuje zmenšiť rozmer matematického modelu, zviditeľniť ho a znížiť náklady na počítačové zdroje pri výpočtoch. Mikroskopický prístup sa uprednostňuje, keď sú potrebné podrobnejšie informácie o správaní systému. Makroskopický prístup sa používa na pomerne rýchle výpočty odhadov.
Charakteristickým znakom deterministického modelu je, že vzhľadom na parametre a počiatočné podmienky je proces úplne určený pre akýkoľvek čas t > 0.
Pri stochastickej interpretácii model opisuje dynamiku pravdepodobnostných charakteristík (napríklad matematických očakávaní) procesu, a preto charakterizuje proces v priemere, pričom pre každú konkrétnu implementáciu uvádza len odhady. Stochastické modely sociálno-ekonomických procesov umožňujú predpovedať len priemerné výsledky (momenty rozloženia výsledkov procesu) alebo pravdepodobnosť určitých výsledkov.
Pri tvorbe modelov technologických operácií a procesov sa treba vysporiadať s takými prípadmi, keď modelovaný jav nemožno opísať vo forme deterministických funkčných vzťahov. Dôvodom môže byť tak silný vplyv rôznych náhodných porúch, ako aj zásadne náhodný charakter samotného javu, t. fenomén, ktorý nás zaujíma, nie je skreslený interferenciou, ale je spôsobený kombinovaným pôsobením rôznych náhodných faktorov.
Najtypickejšou náhodnou udalosťou je porucha zariadení a automatizačných prvkov počas ich bežnej prevádzky.
staníc. Na jednej strane skúsenosti ukazujú, že skôr či neskôr s
Väčšina dielov či elektronických súčiastok zlyháva viac či menej intenzívne a na druhej strane je absolútne nemožné presne predpovedať moment, kedy k poruche dôjde.
Je zrejmé, že sa môžeme baviť len o pravdepodobnosti výskytu jednej alebo viacerých porúch v určitom časovom intervale, príp
o že doba prevádzkyschopnosti (počet porúch je nula) nie je
presahuje určitú hodnotu.
Podobná formulácia otázky platí aj pre chyby merania parametra. Kvôli množstvu náhodných
faktorov, nie je možné predpovedať, kedy dôjde k chybe
konkrétne meranie, aj keď je jasné, že nemôže byť väčšie ako určitá hodnota a že existuje koncepcia priemernej chyby v rámci konečného súboru meraní. Náhodné môže byť reprezentované aj odchýlkou parametrov polotovarov a dokonca aj hotových dielov od normatívnych. Zároveň pri dobrých produktoch sú tieto odchýlky v rámci tolerancií, pri chybných produktoch toleranciu prekračujú.
V uvažovaných prípadoch, najmä pri interakcii a vzájomnom ovplyvňovaní rôznych náhodných faktorov, nemožno správanie parametra, ktorý nás zaujíma, a jeho hodnotu reprezentovať ako funkciu interakcie priemerných hodnôt faktorov, ktoré ho určujú. Konečný výsledok by mal byť získaný vo forme náhodnej premennej ako výsledok interakcie náhodných faktorov pri opakovaných implementáciách procesu. Až po štatistickom spracovaní získaných výsledkov možno hovoriť o odhade strednej hodnoty a rozptylu. Takýto procesný model sa na rozdiel od deterministického nazýva stochastický (náhodný).
Stochastické modely tiež odrážajú objektívne vzorce obsiahnuté v tomto procese, ale ich reprezentáciu v
forma deterministických funkcií je buď nemožná, alebo nepraktická
obrazne v tejto fáze. Na ich reprezentáciu sa využíva aparát náhodných funkcií, kedy náhodné javy a procesy sú charakterizované náhodnými premennými podľa pravdepodobnostných zákonov.
Štatisticky stabilné (spoľahlivé) výsledky modelovania náhodných javov a procesov je možné získať len pre dostatočne veľký počet realizácií (experimentov) a čím väčšie je rozptyl hodnôt náhodnej premennej, tým väčší počet realizácií je potrebný. V skutočnosti je takéto modelovanie možné len s použitím vysokorýchlostných počítačov.
Na tento účel musí byť počítač schopný:
Vygenerujte postupnosť náhodných čísel s daným distribučným zákonom a parametrami (matematické
tické očakávanie, rozptyl atď.);
Vypočítajte pravdepodobnosť náhodnej udalosti, ktorá sa riadi určitým zákonom v danom intervale
časový interval;
Reprodukovať skutočnosť výskytu náhodnej udalosti atď.
Vo všetkých týchto prípadoch je potrebné poznať zákon rozdelenia náhodnej veličiny alebo udalosti a jej parametre. Požadovaný
na tento účel sa údaje získavajú vykonaním experimentu v plnom rozsahu o implementácii takéhoto javu. Štatistické spracovanie takéhoto experimentu umožňuje nielen identifikovať štatistické vzorce náhodného javu, ale aj vyhodnotiť spoľahlivosť výsledkov v závislosti od rozsahu experimentu (počet implementácií).
Počiatočným štádiom experimentálneho spracovania údajov je konštrukcia variačného radu a histogramu. Na tento účel je pevne stanovená séria hodnôt diskrétnej náhodnej premennej X(napríklad počet chybných dielov za zmenu) počas P zmeniť Súbor hodnôt sa nazýva vzorka alebo štatistická séria.
Usporiadaním rôznych nameraných hodnôt vo vzostupnom poradí získame sériu variácií. Ďalej zostavíme tabuľku frekvencií, v ktorej bude každá hodnota z variačného radu xi, experimentálna frekvencia pozorovaného javu je v súlade:
Počet zmien kedy xi, chybné diely;
Celkový počet zmien, keď boli vykonané pozorovania.
Ak je náhodná premenná spojitá (chyba merania), jej experimentálne hodnoty sú prezentované ako intervaly.
frekvenčná tabuľka, ktorá udáva intervaly
ci− ci+1 hodnoty
náhodná premenná a tiež, pokiaľ ide o diskrétnu premennú, často
v tomto intervale ju zasiahneš
- počet hodnôt náhodných premenných, ktoré nevychádzajú
za hranicami i-tý interval;
množstvá.
Celkový počet pevných hodnôt náhody
Podľa intervalovej tabuľky sa zostrojí histogram, čo je séria združených obdĺžnikov umiestnených na vodorovnej osi, ktorých základňa sa rovná intervalu
ci− ci+1
hodnoty náhodnej premennej a plocha sa rovná
Zostrojením grafov podľa údajov frekvenčnej tabuľky alebo histogramu je možné ich formou navrhnúť hypotézu o zhode experimentálnych údajov s jedným alebo druhým zákonom. Potom sa skontroluje miera zhody medzi experimentálnymi údajmi a navrhovaným zákonom. Overenie sa vykonáva pomocou rôznych kritérií zhody. Najbežnejší je Pearsonov χ2 (chí-kvadrát) test.
Doteraz sme uvažovali o modeloch s deterministickou topológiou siete. Pri modelovaní komplexného projektu sú často najflexibilnejšie a najužitočnejšie sieťové modely so stochastickou štruktúrou. Stochastická sieť je definovaná ako sieť obsahujúca alternatívne uzly (stavy), pričom oblúky (práce) sa vyznačujú nielen pravdepodobnostným rozdelením trvania, ale aj pravdepodobnosťou ich vykonania.
Stochastický sieťový model s mnohými možnými výstupmi, ktorý je ďalším vývojom tradičných sietí, umožňuje lepšie reflektovať proces vývoja a tvorby komplexného projektu. Matematický aparát používaný na analýzu stochastických sieťových modelov umožňuje vypočítať pravdepodobnosti rôznych alternatívnych výsledkov a odhadnúť čas ich možnej realizácie.
Stochastický sieťový model je konečný graf G=(W,A), kde W je množina deterministických a alternatívnych vrcholov identifikovaných udalosťami a technologická matica A=(p ij ) definuje množinu orientovaných oblúkov identifikovaných s úlohami ( alebo pripojenia). Pre stochastické siete 0 £ p ij £ 1 a p ij = 1 definuje prácu (i,j) podobne ako definície akceptované v tradičných sieťach a
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
Nech j(t ij) je hustota rozdelenia času vykonania práce (i,j). M[x] je matematické očakávanie náhodnej premennej x.
Podmienená generujúca funkcia momentov náhodnej premennej t ij je zavedená ako М ij (s)=М[е st ij ], t.j.
M ij (s) = ò e st ij j (t ij) dt ij (pre spojitú náhodnú premennú),
е st ij j(t ij) (pre diskrétnu náhodnú premennú).
Najmä М ij (s)=М[е sa ] = e sa at t ij =а=const, М ij (0)=1.
Pre každý oblúk (i,j) je funkcia Y definovaná ako
Y ij (s) = p ij М ij (s).
Pôvodná sieť sa prevedie na ekvivalentnú sieť pomocou troch základných transformácií:
po sebe idúce oblúky,
Paralelné oblúky
Pre po sebe idúce oblúky (obr. 7)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).
Pre rovnobežné oblúky (obr. 8)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).
Pre pohľadové slučky (obr. 9)
Yij(s) = Yb(s)/.
Kombináciou základných transformácií možno ľubovoľnú sieť premeniť na ekvivalentnú sieť pozostávajúcu z jedného oblúka (E-arc).
Účelom časovej analýzy stochastickej siete je vypočítať matematické očakávanie a rozptyl času vykonávania siete (alebo ktoréhokoľvek z jej fragmentov) a pravdepodobnosti vykonania poslednej (alebo akejkoľvek inej udalosti) siete.
Tu sa používa teória uzavretých prietokových grafov, kde sa vyššie uvedená funkcia Y interpretuje ako zodpovedajúca priepustnosť oblúka. Na aplikáciu výsledkov tejto teórie na otvorenú sieť s požadovaným parametrom Y E (s) sa zavedie dodatočný oblúk s parametrom Y A (s), ktorý spája konečnú udalosť (sink) s počiatočnou (zdroj).
Potom sa použije topologická rovnica pre uzavreté grafy, známa ako Masonovo pravidlo, v nasledujúcom tvare:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
kde åT(L m) je súčet ekvivalentných priepustností pre všetky možné slučky m-tého rádu.
Ekvivalentná priepustnosť pre slučku m-tého rádu sa rovná súčinu priepustnosti m nesúvisiace slučky prvého rádu, t.j.
T(Lm)=Õmk=1Tk.
Z Masonovho pravidla priamo vyplýva, že 1–Y A (s)Y E (s)=0 alebo Y A (s)=1/Y E (s). Pomocou tohto výsledku sa v topologickej rovnici (10) Y A (s) nahradí 1/Y E (s) a potom sa rieši vzhľadom na Y E (s), čím sa získa ekvivalentná funkcia Y pre pôvodnú stochastickú sieť.
Pretože Y E (s) \u003d p E M E (s) a M E (0) \u003d 1, potom p E \u003d Y E (0), čo znamená, že
ME (s) = YE (s)/pE = YE (s) / YE (0). (jedenásť)
Po získaní analytického výrazu pre ME (s) vypočítajte prvú a druhú parciálnu deriváciu vzhľadom na s funkcie ME (s) v bode s=0, t.j.
m1E =¶/¶s[ME (s)] s=0 (12)
m2E =¶2 /¶s2 [ME (s)] s=0 (13)
Prvý moment m 1E vzhľadom na počiatok je matematickým očakávaným časom vykonávania siete (premenený na ekvivalentný E-oblúk) a rozptyl času vykonávania siete sa rovná rozdielu medzi druhým momentom m 2E a druhou mocninou z prvého, t.j.
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (štrnásť)
Vyššie opísaný prístroj teda umožňuje vypočítať časové parametre akýchkoľvek udalostí stochastickej siete, ktoré sú zaujímavé pre používateľa, ako aj určiť pravdepodobnosť ich výskytu.
Pomocou získaných informácií pomocou Čebyševovej nerovnosti je možné odhadnúť pravdepodobnosť akýchkoľvek intervalov spoľahlivosti dokončenia projektu pre ľubovoľné distribučné zákony pre vykonávanie jednotlivých operácií. Ak je čas vykonania každej operácie normálne rozdelený, výsledný čas je tiež normálne rozdelený. V tomto prípade je možné získať pravdepodobnostné odhady času realizácie projektu pomocou Moivre-Laplaceovej integrálnej vety. Navyše, pri dostatočne veľkom počte úloh v sieti a splnení určitých podmienok (najmä nezávislosti úloh) môžeme použiť Ljapunovovu limitnú vetu a výsledný čas realizácie projektu považovať za normálne rozloženú náhodnú premennú s charakteristiky vypočítané vyššie opísanou metódou.
Stochastický sieťový model teda zahŕňa všetky náhodné odchýlky a neistoty, ktoré vznikajú priamo pri vykonávaní každej jednotlivej úlohy.
3.4. Formalizácia všeobecného vyjadrenia úlohy plánovania práce v projektovom riadení a popis modelu univerzálnej siete a úloh časovej analýzy riešených na jeho základe
Ako výsledok analýzy a syntézy vyššie uvedených modelov je navrhnutý univerzálny matematický model, pričom jeho špeciálnymi prípadmi sú klasické, zovšeobecnené a stochastické sieťové modely.
Tento model (tzv cyklický stochastický sieťový model - CSSM) je flexibilnejší a adekvátnejší nástroj na popis procesu riadenia vývoja komplexného projektu.
CSSM je konečný, orientovaný, cyklický graf G(W,A), pozostávajúci z množiny udalostí W a oblúkov (i,j)(udalostí i, jOW) určených maticou susednosti A=(p ij ). 0Ј p ij Ј1 a p ij =1 definuje deterministický oblúk (i,j) a 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
Označme T i čas dokončenia i-tej udalosti, potom pomer medzi načasovaním dokončenia udalostí spojených oblúkom (i, j) je daný nerovnosťou:
Т j – Т i і y ij , (15)
kde y ij je vo všeobecnosti náhodná premenná rozdelená podľa nejakého zákona v rozsahu od –Ґ do 0 alebo od 0 do +Ґ.
Okrem toho sú v čase realizácie podujatia možné absolútne obmedzenia:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
Vzťahy (15)-(16) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich nerovníc v popise zovšeobecnených sieťových modelov, kde parameter y ij a matica susednosti A sú deterministické.
Uvažujme sémantickú záťaž vzťahu (15) s pravdepodobnostným charakterom parametra y ij .
Ak (i,j) je oblúkové dielo (alebo jeho časť), potom pozitívne rozdelená náhodná premenná y ij udáva rozdelenie minimálneho trvania tohto diela (spojené s jeho maximálnym nasýtením definujúcim zdrojom). Článok ukazuje, že rozdelenie hodnoty y ij je unimodálne a asymetrické a beta rozdelenie spĺňa tieto požiadavky, teda, minimálny čas chodu je náhodná premenná y ij = t min (i,j) rozdelená podľa zákona o rozdelení beta na segmente [a, b] s hustotou
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1, (17)
kde C je určené z podmienky
Ak je náhodná premenná y ij v (15), zodpovedajúca oblúkovej práci (i,j), rozdelená v intervale od –Ґ do 0, potom –y ij =t max (j,i) určuje rozdelenie dĺžka maximálneho časového intervalu, počas ktorého musí byť práca (i, j) začatá a ukončená, aj keď je minimálne nasýtená definujúcim zdrojom. Pre túto veličinu sme získali jej distribúciu podobného tvaru (17). Pri znalosti rozdelenia náhodnej premennej y ij pre každú prácu (i, j) sa pomocou príslušných vzorcov vypočíta jej matematické očakávanie a rozptyl.
Zavedenie negatívne rozdelených hodnôt y ij pre oblúkové úlohy (i,j) do (15) výrazne rozširuje možnosti popisu časových charakteristík úloh, čím sa široko používaný pravdepodobnostný model stáva len jedným zo špeciálnych prípadov.
Pre oblúkové väzby (i,j) hodnota y ij špecifikuje rozdelenie časovej závislosti medzi udalosťami i a j a pozitívne rozdelená hodnota y ij určuje vzťah typu „nie skôr“ (udalosť j nemôže nastať skôr ako y ij dní po ukončení udalosti i) a záporne rozdelená hodnota y ij určuje vzťah typu „najneskôr do“ (udalosť i môže nastať najneskôr –y ij dní po udalosti j). V druhom prípade sa takéto odkazy nazývajú "reverzné".
Takto sme získali zovšeobecnenie týchto súvislostí, berúc do úvahy ich možno pravdepodobnostnú povahu.
Keďže načasovanie dokončenia udalostí Т i je určené súčtom trvania diel, ktoré im technologicky predchádzajú, potom pri dostatočne veľkom počte takýchto diel, v súlade s centrálnou limitnou vetou, rozdelenie náhodnej premennej Т i má tendenciu k normálu s parametrami - očakávanie МТ i a rozptyl DТ i . Normálne rozdelenie má tiež parameter y ij zodpovedajúci "reverzným" oblúkom, čo potvrdzuje aj štatistická analýza.
Absolútne obmedzenia načasovania udalostí, dané (16), odrážajú zodpovedajúce direktívne, organizačné a technologické obmedzenia načasovania výkonu prác alebo ich častí, dané v „absolútnom“ (reálnom alebo podmienenom) časovom meradle. Absolútne obmedzenia sú tiež charakterizované typom „nie skôr“ alebo „nie neskôr“ a majú tvar: T i - T 0 і l i, T 0 - T i і -L i. Absolútne obmedzenia tvaru (16) sú teda špeciálnym prípadom obmedzení tvaru (15) pre určité oblúkové spojenia.
Zavedenie matice stochastickej susednosti A v kombinácii so zovšeobecnenými spojeniami poskytuje ďalšie možnosti na opísanie procesu tvorby komplexného projektu.
Nech L(i,j) je nejaká cesta spájajúca udalosti i a j:
L(i,j)=(i=i0®i1®i2®...®i v=j). (osemnásť)
Toto cesta deterministická, ak platí pi k-1 i k =1 pre všetky kО, a stochastické, inak. Stochastická cesta teda obsahuje aspoň jeden oblúk, ktorého pravdepodobnosť „vykonania“ je striktne menšia ako 1.
Podobne definované deterministický a stochastický obvodК(i)=(i=i0®i1®i2®…®i v =i). (takéto udalosti sa nazývajú "obrysy").
Ak sú udalosti i a j spojené cestou L(i,j), potom pravdepodobnosť udalosti j za predpokladu, že nastala udalosť i P(j/i), je súčinom koeficientov matice susednosti A zodpovedajúce oblúkom spojovacej cesty:
P(j/i)=Xvk=1 pi k-1 i k. (19)
Ak sú udalosti i a j spojené niekoľkými spôsobmi, potom sa vykoná ekvivalentná GERT transformácia tohto sieťového fragmentu v súlade so vzorcami uvedenými v práci, vypočíta sa generujúca funkcia Y ij (s) transformovaného fragmentu a pravdepodobnosť udalosti j, za predpokladu, že nastala udalosť i P (j/i) = Y ij (0).
Prvá derivácia funkcie Y ij (s)/ Y ij (0) vzhľadom na s v bode s=0 (prvý moment m 1 (j/i)) určuje očakávanie M(j/i) čas udalosti j vzhľadom na čas udalosti i . Druhá derivácia funkcie Y ij (s)/ Y ij (0) vzhľadom na s v bode s=0 (druhý moment m 2 (j/i)) nám umožňuje vypočítať rozptyl času udalosť j vzhľadom na čas udalosti i podľa vzorca
s2 (j / i) \u003d m2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (dvadsať)
Dĺžka dráhy L(i,j) je náhodná premenná, ktorej matematické očakávanie ML(i,j) je súčtom matematických očakávaní dĺžok všetkých oblúkov, ktoré tvoria túto dráhu, a rozptylu DL (i,j) sa rovná súčtu rozptylov.
Za týchto podmienok môže dĺžka dráhy (vrstevníka) trvať negatívne hodnoty, ktoré sa interpretujú takto:
ak L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться nie neskôr než -y ji dní po výskyte udalosti i. Parameter y ji má pravdepodobnostný charakter, ktorý umožňuje pružnejšie (vo vzťahu k cyklickým sieťovým modelom) popisovať logicko-časové vzťahy medzi udalosťami.
Ako oblúkový parameter y ij možno tiež považovať akýkoľvek charakteristický parameter, ktorý má aditivitu pozdĺž oblúkov akejkoľvek cesty (napríklad náklady na prácu), pričom pomocou ekvivalentnej transformácie GERT získame matematické očakávanie a rozptyl nákladov. sieťového fragmentu alebo projektu ako celku.
Úlohy časovej analýzy CSSM (a algoritmy na ich riešenie) ako aj časová analýza klasických, zovšeobecnených alebo stochastických sieťových modelov je základom riešenia všetkých problémov plánovania a riadenia projektov. Majú nezávislý význam pri riešení problémov projektového manažmentu bez zohľadnenia obmedzení zdrojov.
Úlohy časovej analýzy sú potrebné aj na generovanie rôznych možností plánu pre určité hodnoty vektora dostupnosti zdrojov za účelom ich následného porovnania, hodnotenia kvality možností plánu a výberu smeru jeho ďalšieho zlepšovania.
Pri riešení problémov optimálneho plánovania práce v projektovom manažmente sa využívajú algoritmy časovej analýzy CSSM ako nástroj na výpočet potrebných parametrov použitých v príslušných optimalizačných algoritmoch, aby sa zabezpečilo splnenie technologických obmedzení.
Úloha časovej analýzy CSSM sa redukuje na nájdenie náhodného vektora T=(T 0 ,T 1 ,…,T n), kde T i je čas i-tej udalosti, ktorej súradnice spĺňajú nerovnosti ( 15),(16) a premeniť na extrém nejakú účelovú funkciu f(T).
Zvýraznené tri triedy problémov časovej analýzy:
· klasický, v ktorom sa na výpočet (Ti) používajú matematické očakávania trvania všetkých oblúkov;
· pravdepodobnostný v ktorej sa na základe Ljapunovovej limitnej vety alebo iných analytických prostriedkov vypočítajú matematické očakávania načasovania dokončenia i-tých udalostí - (MT i ), ktoré sú argumentmi účelovej funkcie f(T). ;
· štatistické, v ktorom sa pre danú úroveň spoľahlivosti p podľa metódy opísanej v príspevku stanovujú p-kvantilové odhady empirických rozdelení tak pre časovanie i-tých udalostí - (W p (T i)) a ich deriváty vrátane hodnôt účelovej funkcie f(Wp(T)), kde Wp(T)=(Wp(T 0),Wp(T 1),…,Wp(T n)) .
Zavádza sa koncept konzistencie CSSM.
Model cyklickej stochastickej siete je tzv konzistentné ak existuje aspoň jeden prípustný plán vypočítaný pre zodpovedajúcu triedu problémov časovej analýzy (klasické, pravdepodobnostné alebo štatistické), ktorý vyhovuje systému nerovností (15), (16).
Poďme sa pozrieť na tieto tri pojmy.
Konzistencia klasického modelu.
Vypočítajú sa matematické očakávania trvania všetkých oblúkov, po ktorých sa vytvorí sieť s konštantnými dĺžkami oblúkov. Berúc do úvahy stochastickú povahu uvažovaného modelu a prítomnosť zovšeobecnených súvislostí, po vyššie uvedených výpočtoch môžu v CSSM nastať stochastické a deterministické kontúry. Je dokázaná nasledujúca veta:
Veta 1 . Aby bol cyklický stochastický model, v ktorom sa doby trvania oblúkov počítajú podľa klasickej schémy, konzistentný s danou pravdepodobnosťou a, je potrebné a postačujúce, aby dĺžky všetkých deterministických obrysov neboli kladné.
Konzistencia pravdepodobnostného modelu.
Matematické očakávanie MT i a rozptyl s 2 T i časovania udalostí sa vypočítajú analyticky. Takto vypočítané parametre sa líšia veľkosťou o 15-20% od parametrov vypočítaných klasickým spôsobom (podľa matematických očakávaní trvania oblúkov).
Porozprávajme sa o pravdepodobnostná konzistentnosť modelu v priemere, ak takto získaný súbor spĺňa nerovnosti (15)-(16), kde jeho matematické očakávanie sa berie ako hodnota y ij. Je dokázaná platnosť nasledujúcej vety:
Veta 2 . Aby bol cyklický stochastický model v priemere pravdepodobnostne konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby matematické očakávania dĺžok všetkých deterministických kontúr neboli pozitívne.
Za predpokladu, že Т i má normálne rozdelenie s parametrami: matematické očakávanie - МТ i a rozptyl - s 2 Т i , zavedieme širší koncept e- konzistentnosť pravdepodobnostného modelu.
Povieme, že CSSM je e-pravdepodobnostne konzistentný, ak existuje e > 0 také, že pre všetky T i spĺňajúce nerovnosť
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
Veta 3 . Aby bol cyklický alternatívny model e-pravdepodobnostne konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby matematické očakávania dĺžok všetkých deterministických obrysov spĺňali vzťah МL(K(i)) Ј –4e.
Pravdepodobnostná konzistencia modelu je v priemere špeciálnym prípadom e-pravdepodobnostnej konzistencie pri e=0.
Štatistická konzistentnosť modelu.
Pri štatistickej metóde výpočtu parametrov sieťového modelu máme do činenia s ich p-kvantilovými odhadmi hodnôt, ktoré sú pravdepodobnostnými analógmi zodpovedajúcich ukazovateľov. Hovorí sa, že cyklický stochastický model štatisticky v súlade s pravdepodobnosťou p, ak pre každú udalosť i existujú p-kvantilové odhady načasovania dokončenia udalostí W p (T i), ktoré spĺňajú nerovnosti:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i JW p (Т i)JL i. (22)
Vzťahy (21)-(22) sú tu pravdepodobnostnými analógmi (15)-(16), W p (y ij) je p-kvantilový odhad dĺžky oblúka (i,j). Dokázalo sa nasledovné:
Veta 4 . Aby bol model cyklickej alternatívy štatisticky konzistentný s pravdepodobnosťou p, je potrebné a postačujúce, aby p-kvantilové odhady dĺžok všetkých deterministických obrysov spĺňali vzťah W p (L(K(i))) Ј 0.
Algoritmy na výpočet časových parametrov CSSM.
Skoré a neskoré plány.
Na výpočet skorého a neskorého dátumu dokončenia udalostí sa navrhuje modifikovaný algoritmus "Pendulum". Myšlienkou úpravy je syntetizovať štatistickú metódu na výpočet parametrov používaných pre pravdepodobnostné siete a algoritmus "Pendulum" používaný vo zovšeobecnených sieťach a následne ju aplikovať na CSSM.
 |
|||
 |
|||
 |
Obr.10. Schematický blokový diagram algoritmu na výpočet
p-kvantilové odhady skoré termíny dokončenie udalostí
Blok 1. Zadanie počiatočných údajov (koeficienty matice A, distribučné parametre y ij, úroveň spoľahlivosti p).
Blok 2. Výpočet potrebného počtu "ťahov" N na zabezpečenie špecifikovanej presnosti výsledkov. Vykonané výpočty ukázali, že pri p=0,95, e=0,05 dostaneme N»270.
Blok 3. v:=v+1 (v je číslo "žrebovania").
Blok 4. Kreslenie v-tého variantu náhodných premenných y ij , každej v súlade s jej distribučným zákonom, pričom sa získajú konštanty y ij (v) - dĺžka oblúka (i, j) na v-tom nákrese.
Blok 5. Nakreslite pre každý alternatívny vrchol i prechodu do susedného vrcholu j (prehráva sa diskrétna náhodná premenná p ij, reprezentovaná i-tým riadkom matice susednosti A, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lemma 1 rovnaký stochastický obrys na danej úrovni spoľahlivosti p môže byť vytvorený nie viac ako k-krát, kde k sa odhaduje zodpovedajúcim vzorcom. K-násobok dĺžky obrysu pripočítame k dĺžke oblúka, ktorý sme „zahrali“ v (k + 1) kroku a pristúpime k analýze ďalšieho stochastického obrysu (ak existuje). V tomto prípade sa môžu v sieti objaviť rozpory (pozitívne deterministické obrysy), potom v súlade so vzorcami uvedenými v práci pridáme d-násobok dĺžky obrysu, čím odhadneme priemerný čas na dokončenie „ výstup“ udalosť z obrysu.
Blok 6. Výsledná deterministická zovšeobecnená sieť G (v) je rozdelená na dve siete G 1 (v) a G 2 (v) tak, že ani G 1 (v) ani G 2 (v) neobsahujú obrysy. Vrcholy v sieti G 1 (v) sú zoradené podľa hodností a podľa nich nastavíme „správne“ číslovanie. Toto číslovanie prenesieme do siete G 2 (v) a do pôvodného G (v) .
Blok 7. Pre všetky vrcholy i siete G 1 (v) vypočítame dátumy skorého dokončenia
Tio(v):=max j (Tio(v), Tjo(v) + yij(v)).
blok 8. Postupy podobné ako v bloku 7 vykonávame pre vrcholy siete G 2 (v) .
Blok 9. Ak sa výsledky blokov 7 a 8 nezhodujú aspoň na jednom ukazovateli, potom sa vrátime do bloku 7 (takýchto návratov nie je viac ako počet spätných oblúkov v G 2 (v)), inak blok 10.
Blok 10. Ak je číslo žrebu vJN, prejdite na blok 4, inak prejdite na blok 11.
Blok 11. Z výslednej množiny (T i 0(v) ) pre každý vrchol i zostavíme variačný rad. Zafixujeme takú hodnotu Т i 0(x), že N x /N=р, kde N x je počet členov variačného radu menší ako Т i 0(x) . Hodnota Т i 0(x) je požadovaný p-kvantil skorého členu i-tej udalosti – W p (Т i 0). Podobne pomocou variačných radov (y ij (v) ) zostavíme p-kvantilové odhady dĺžok oblúkov – W p (y ij).
Vstup bloku 6 prijíma v-tú verziu zovšeobecneného sieťového modelu G (v) a bloky 6 až 9 sú v skutočnosti zväčšeným blokovým diagramom algoritmu "Pendulum" na výpočet skorého načasovania udalostí v OSM. Použitie vhodného algoritmu na výpočet neskoré termíny dokončenie udalostí v blokoch 7 a 8 dostaneme T i 1(v) - neskoré dátumy dokončenia udalostí pre v-tú verziu zovšeobecneného sieťového modelu, zatiaľ čo blok 11 nám dáva W p (T i 1) - p-kvantilové odhady neskoré termíny dokončenie podujatí.
Plány minimálneho trvania.
Trvanie L(T (v)) akéhokoľvek realizovateľného plánu T (v) = (T i (v) ) v-tej verzie siete G (v) je určené vzorcom:
L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
Výmena v blokovej schéme na obr. 10 blokov 6 - 9 na bloku nájdenia minima funkcie (23) dostaneme plán minimálneho trvania pre sieť G (v) (alebo "stlačený" plán). Hodnota
L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)
je kritický čas siete G (v) .
Použitím metódy hľadania komprimovaného plánu pre OCM v blokoch 6-9 a prechodu výsledných plánov cez blok 11 získame pravdepodobnostné p-kvantilové odhady komprimovaných plánov.
Časové rezervy na prácu (i, j) zodpovedajú ich p-kvantilovým náprotivkom vypočítaným podľa vzorcov:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) pre plná rezerva, (25)
R s p (i, j) \u003d Wp (Tj 0) - Wp (Tj 0) - Wp (y ij) pre voľná rezerva. (26)
Podľa zodpovedajúcich vzorcov sa vypočítajú p-kvantily koeficienty napätia diela W p (k n (i, j)), potom p-kvantil kritická zóna, p-kvantil rezervná zóna a p-kvantil stredná zóna.
Ako parameter oblúka sme považovali čas vykonania operácie (práce). Možno tiež zvážiť akýkoľvek charakteristický parameter, ktorý má aditívnosť pozdĺž oblúkov akejkoľvek cesty. Môže to byť cena práce, množstvo požadovaného akumulovaného zdroja atď.
Treba poznamenať, že široké praktické uplatnenie našli doteraz iba metódy deterministického sieťového modelovania, niektoré heuristické metódy optimálnej alokácie zdrojov a parametrické metódy odhadu nákladov (hlavne v oblasti leteckých a kozmických letov). Hoci presné riešenie nákladových problémov plánovania na základe klasických sieťových modelov bolo teoreticky nájdené (popísané v), jeho praktické využitie je spojené s ťažkosťami pri získavaní skutočných údajov o závislosti od času a nákladov.
Každý z vyššie diskutovaných modelov má svoju vlastnú tematickú oblasť, vlastným spôsobom (viac-menej plne) implementuje základné funkcie projektového manažmentu a iba syntéza analyzovaných modelov a metód vám umožní zostaviť model, ktorý primerane odráža proces realizácie komplexného projektu v podmienkach neistoty a zároveň získať akceptovateľný pri riešení formulovaného problému.
Téma 4. OPTIMALIZÁCIA SPOTREBY ZDROJOV NA ZÁKLADE SIEŤOVÝCH MODELOV
Všeobecné pojmy.
Vyššie uvedené sieťové modely sa zvažovali bez zohľadnenia obmedzených zdrojov, t.j. problém najlepšieho rozdelenia zdrojov ako taký nebol nastolený. V nami uvažovaných metódach využívania sieťových modelov bola hlavná pozornosť venovaná načasovaniu realizácie jednotlivých prác a identifikácii najdôležitejších (kritických a podkritických) reťazcov prác, na ktorých je včasné dokončenie projektu ( uvedenie zariadenia do prevádzky) závisí. Charakteristickým znakom týchto metód je teda triedenie informácií podľa stupňa ich dôležitosti z hľadiska dokončenia celého rozsahu prác v stanovenom časovom rámci.
Kvantitatívnym meradlom dôležitosti informácií sú rezervy pracovného času resp koeficienty napätia
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j)), (25)
kde R p ij je celková rezerva práce (i, j), T n 0 je kritický čas pre projekt, T kr (i, j) je trvanie úseku maximálnej cesty, ktorá sa zhoduje s kritickou cestou , obsahujúci prácu (i, j). 0 £ K ij £ 1, a čím je K ij bližšie k 1, tým je relatívne menšia rezerva v zásobe práce (i, j), a preto je vyššie riziko, že nebude dokončená v stanovenom čase. Napríklad pre prácu (2,5) (obr. 5) T cr (2,5) = 5, R p 25 = 3, odkiaľ K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0,82 a pre prácu ( 5,8) T cr (5,8) \u003d 0, R p 58 \u003d 12, odkiaľ K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0,45. Diela môžu mať rovnaké plné rezervy, ale miera napätia v načasovaní ich realizácie môže byť rôzna. Naopak, rôzne celkové rezervy môžu zodpovedať rovnakým koeficientom napätia. S takto klasifikovanými informáciami môže projektový manažér kedykoľvek určiť, na ktorú oblasť by sa mala zamerať pozornosť (a zdroje), aby sa odstránili vznikajúce odchýlky od daného termínu dokončenia všetkých prác.
Pred načrtnutím ďalších spôsobov, ako zlepšiť metódy plánovania a riadenia siete, sa pozrime podrobnejšie na niektoré z hlavných nedostatkov, ktoré sú vlastné vyššie uvedeným metódam.
Pri časovom odhade trvania akejkoľvek práce sme predpokladali použitie určitých zdrojov s určitou intenzitou na vykonávanie tejto práce (intenzita spotreby zdrojov je množstvo spotrebovaného zdroja za jednotku času).
V čase pridelenia časového odhadu nie je známe, kedy bude potrebné túto prácu vykonať, aké ďalšie aktivity projektu, ktoré spotrebúvajú rovnaký typ zdroja, sa budú vykonávať súčasne. Okrem toho sa spravidla na rôznych projektoch môžu súčasne vyžadovať rovnaké zdroje. Preto je možné, že celková potreba konkrétneho zdroja v určitých časových bodoch môže prekročiť ich dostupnú úroveň. V týchto prípadoch bude potrebné buď znížiť intenzitu spotreby zdrojov na jednotlivých pracovných miestach, alebo odložiť realizáciu viacerých prác na neskorší termín, často nad rámec plnej rezervy týchto pracovných miest. To vedie v priebehu projektu k častým úpravám pôvodného plánu, inými slovami k nestabilite plánu.
Je zrejmé, že ak sa pri plánovaní procesu implementácie projektu vopred zohľadnia obmedzenia zdrojov, možno získať oveľa spoľahlivejší plán.
Úroveň dostupných zdrojov a možné načasovanie dokončenia projektu sú vzájomne prepojené. Čas dokončenia celého projektu bude závisieť od toho, kedy a koľko zdrojov bude pridelených na jednotlivé aktivity, a to do značnej miery závisí od ich očakávanej dostupnosti v danom čase.
Vzniká tak problém alokácie zdrojov v sieťovom prostredí.
Všeobecne povedané, akýkoľvek proces plánovania výroby nie je ničím iným ako riešením problému efektívneho využívania zdrojov.
Kritériá efektívnosti môžu byť rôzne, pri tomto dôležitom bode plánovania (výber a zdôvodnenie kritéria) sa pri zvažovaní konkrétnych úloh zastavíme o niečo nižšie.
Uveďme niekoľko pojmov a definícií.
· pracovný program vymenujme určitý súbor operácií (práce), ktoré je potrebné vykonať na dosiahnutie jedného alebo viacerých cieľov a vykonávanie práce programu je podriadené jedinému riadiacemu centru. Môžeme hovoriť o pracovnom programe pre štartovací komplex, o pracovnom programe pre stavenisko, organizáciu výstavby, projekčný ústav atď.
· Pracovný program na jednu tému budeme nazývať program pozostávajúci z jedného komplexu technologicky prepojených prác zameraných na dosiahnutie jedného (jednoúčelová téma) alebo viacerých cieľov (viacúčelová téma).
· Pracovný program s viacerými témami budeme nazývať program pozostávajúci z niekoľkých komplexov prác, technologicky prepojených v rámci každého komplexu. Každý pracovný balík môže mať jeden alebo viac konečných cieľov. Diela patriace do rôznych komplexov spolu technologicky nesúvisia. Príslušnosť tém k jednému viactematickému programu je daná jednotou riadiaceho centra a zhodnosťou zásobníka zdrojov.
Uvažujme najskôr o rôznych formuláciách problémov s alokáciou zdrojov jednoúčelový program s jednou témou.
Na základe dvoch možných cieľových nastavení pre riadenie projektov opísaných sieťovým modelom existujú dva hlavné typy nastavenia úloh. Prvý typ je zameraný na prísne dodržiavanie obmedzení zdrojov, zatiaľ čo druhý typ zahŕňa prísne dodržiavanie termínov dokončenia projektu.
Formulácia prvého typu problému („kalibrácia“).
Pri daných obmedzeniach spotreby zdrojov nájdite také ich rozloženie, berúc do úvahy technologickú postupnosť práce, určenú topológiou sieťového diagramu, ktorá zabezpečí dokončenie celého programu v minimálnom čase.
Formulácia druhého typu problémového vyhlásenia („vyhladzovanie“).
Pri dodržaní stanovenej dĺžky trvania programu je potrebné rozdeliť zdroje medzi jednotlivé úlohy tak, aby bola ich spotreba optimálna. Otázku výberu kritéria optimality pre toto nastavenie zvážime samostatne.
Kvôli rozdielnemu mechanizmu uspokojovania potreby zdrojov sa zvyčajne delia do dvoch skupín: akumulované (skladovateľné) a neakumulatívne (neskladovateľné). Druhá skupina zdrojov sa často označuje ako „zdroje kapacitného typu“.
Do prvej skupiny patria zdroje, ktoré svojou povahou umožňujú akumuláciu s možnosťou ich následného využitia, napríklad peniaze, rôzne materiály a štruktúry atď. Obmedzenia zdrojov v tomto prípade možno nastaviť integrálnou neklesajúcou funkciou, ktorá v každom okamihu zobrazuje celkovú hodnotu dodávky zdroja za celé predchádzajúce obdobie.
Do druhej skupiny patria zdroje, ktorých akumulácia na následné použitie nie je možná. Napríklad zdroje pracovného a strojového času. Prestoje pracovníkov a mechanizmov sú nenahraditeľnou stratou. Obmedzenia zdrojov pre túto skupinu sú dané funkciou dostupnosti zdrojov v každom okamihu.