1. V súradnicovom systéme xOt postavte obdĺžnikovú mriežku s krokom h pozdĺž osi Oh a s krokom τ pozdĺž osi Od:
a) X i =ih, i= l, n , n = l/h;
b) t k =kτ, k= l,m , m=T/t;
v) a i , k = u(X i ,t k) = u(ih,kτ).
2. Vypočítajte funkčné hodnoty u(X i , t k) v uzloch ležiacich na čiarach x= 0 a x=L:
3. Vypočítajte u i ,0 =f(ih),i= 1, n .
4. Pomocou (1.16) alebo (1.23) nájdeme riešenie pre všetky vnútorné uzly: u i , k + n , i= l,n -l, k= 0, m -l.
1.3. Riešenie zmiešanej úlohy pre vlnovú rovnicu mriežkovou metódou
1.3.1. Formulácia problému. Algoritmus metódy
Zvážte zmiešaný problém (t. j. dané počiatočné a okrajové podmienky) pre vlnovú rovnicu
v oblasti D=(0≤x≤ L, 0≤t≤T) s počiatočnými podmienkami
a okrajové podmienky
Budeme to predpokladať f(X),g(X) sú dostatočne hladké funkcie a podmienky zhody sú splnené v dvoch rohoch domény D(X=0, t=0), (x=L, t=0), ktoré zabezpečujú existenciu a jedinečnosť riešenia u(X, t).
Aby sme diskretizovali pôvodný problém, konštruujeme v doméne
obdĺžniková mriežka
kde h – rozstup mriežky v smere X, τ je krok mriežky v smere t,
Pomocou stredových rozdielov druhého rádu (1.10) na aproximáciu parciálnych derivácií získame pre každý uzol vnútornej siete systém diferenčných rovníc
ktoré aproximujú vlnovú rovnicu (1.24) v uzle ( X i , t k) s chybou O(h 2 + τ2).
Tu u i , k je približná hodnota funkcie a(X,t) v uzle ( X i ,t k).
Prenájom λ = aτ/ h, získame trojvrstvovú rozdielovú schému:
Schéma (1.28) sa nazýva trojvrstvová, pretože spája hodnoty u i , k funkcie a(X,t) na troch časových vrstvách s číslami ( k-l), k, (k+1).
Diferenčná schéma (1.28) zodpovedá päťbodovému trojvrstvovému vzoru typu „kríž“ (obr. 1.2).
Schéma (1.28) uvádza hodnoty u i , k =u(ih, kτ) na troch vrstvách v čase a prejsť na úroveň ( k+1), musíte vedieť ako u i , k, a u i , k-1 , čo je dôsledok toho, že diferenciálna rovnica (1.24) obsahuje druhú časovú deriváciu. Numerické riešenie úlohy (1.24) - (1.26) spočíva vo výpočte približných hodnôt u i , k riešenia u(X, t) v uzloch ( X i ,t) pri i = 1, n , k=1, m . Schéma výpočtu podľa (1.28) je explicitná, umožňuje približne vypočítať hodnoty funkcie v uzloch ( k+1)-tá vrstva podľa jej známych hodnôt na dvoch predchádzajúcich vrstvách. Na prvých dvoch vrstvách sú hodnoty funkcie určené z počiatočných podmienok (1.25). My veríme
Pre deriváciu času používame aproximáciu (1.5)
Poradie aproximácie (1,30) je O(τ).
Všimnite si, že (1.29), (1.31) uveďte riešenia pre prvé dva riadky: k=0, k=1. Nahrádzanie k= 1 in (1,28), dostaneme:
Všetky členy na pravej strane rovnice (1.32) zahŕňajú hodnoty a i , k len z prvých dvoch radov mriežky; ale všetky tieto hodnoty sú známe z počiatočných podmienok.
Potom poznať riešenia a i ,1 ,a i,2 , môžeme použiť (1.28) na výpočet hodnôt funkcie a i , k na tretej časovej vrstve, štvrtej atď.
Vyššie opísaná schéma výpočtu (1.28) – (1.31) presne aproximuje problém (1.24) – (1.26) O(τ+ h 2). Nízky rád aproximácie vzhľadom na τ sa vysvetľuje použitím príliš hrubej aproximácie pre deriváciu vzhľadom na t vo vzorci (1. 30).
Zamyslime sa teraz nad otázkami konvergencie a stability. Bez toho, aby sme tu uvádzali dôkazy, obmedzujeme sa na formulovanie konečných výsledkov. Schéma výpočtu bude stabilná, ak bude splnená podmienka Courant
To znamená, že pri splnení (1.33) sa malé chyby, ktoré vznikajú napríklad pri výpočte na prvej vrstve, nebudú pri prechode do každej novej časovej vrstvy zvyšovať donekonečna. Ak je splnená podmienka Courant, rozdielová schéma (1.28) konverguje rovnomerne, t.j. h→0 a τ→0 riešenie diferenčnej úlohy (1.28) – (1.31) smeruje rovnomerne k riešeniu pôvodnej úlohy (1.24) – (1.26).
Podmienka (1.33) je dostatočná na konvergenciu, ale nie je potrebná. Inými slovami, existujú rovnice a hodnoty intervalov, pre ktoré (1.33) neplatí, ale napriek tomu sa získa správny výsledok. Ide o to, že potom nemožno zaručiť konvergenciu. Vo všeobecnom prípade je samozrejme žiaduce zabezpečiť konvergenciu s istotou, a preto musí byť splnená podmienka (1.33).
Teda akonáhle je zvolená veľkosť kroku h v smere X, potom existuje obmedzenie veľkosti kroku τ v čase. Charakteristickým znakom všetkých explicitných metód je, že pri ich použití je potrebné dodržať určitú podmienku typu (1.33), ktorá zabezpečuje konvergenciu a stabilitu metódy.
konfigurácia uzlov, hodnoty funkcie mriežky, v ktorej určujú formu diferenčných rovníc vo vnútorných (nie hraničných) bodoch mriežky. Na obrázkoch s obrázkami šablón sú body zapojené do výpočtu derivátov spravidla spojené čiarami.Schéma Courant-Isakson-Ries(KIR), ktorý sa niekedy spája aj s menom S.K. Godunov, ukáže sa o , 
. Jeho poradie aproximácie. Schéma KIR je podmienene stabilná, t.j. pod podmienkou Courant 
. Uveďme diferenčné rovnice pre Courant-Isakson-Riesovu schému vo vnútorných bodoch výpočtovej oblasti:
Tieto schémy, ktoré majú aj názov upwind diferenčná schéma (v anglickej literatúre - upwind) možno písať ako
Ich výhoda spočíva v presnejšom zohľadnení domény závislosti riešenia. Ak zavedieme notáciu
potom môžu byť obe schémy napísané v nasledujúcich formách:
(prietokový tvar diferenčnej rovnice);
(tu sa výslovne rozlišuje pojem s druhým rozdielom, čo dáva schéme stabilitu);
(rovnica v konečných prírastkoch).
Zvážte tiež metóda neurčitých koeficientov na vytvorenie diferenčnej schémy, pravého rohu prvého rádu presnosti pre transportnú rovnicu
Schéma môže byť reprezentovaná ako
Schéma Courant-Isakson-Ries úzko súvisí s numerickými metódami charakteristík. Uvádzame stručný popis myšlienky takýchto metód.
Posledné dve získané schémy (pre rôzne znaky prenosovej rýchlosti) možno interpretovať nasledovne. Zostrojme charakteristiku prechádzajúcu uzlom (t n + 1 , x m ), hodnotu v ktorej musíme určiť a pretínajúc vrstvu t n v bode 
. Pre istotu predpokladáme, že prenosová rýchlosť c je kladná.
Po vykonaní lineárnej interpolácie medzi uzlami x m - 1 a x m na spodnej časovej vrstve dostaneme
Ďalej prenesieme hodnotu u n (x") pozdĺž charakteristiky bez zmeny do hornej vrstvy t n + 1, t.j. 
. Je prirodzené považovať poslednú hodnotu za približné riešenie homogénna rovnica prevod. V tomto prípade
alebo opätovným prechodom z čísla Courant na parametre mriežky,
tie. Iným spôsobom sme sa dostali k známej schéme „ľavého rohu“, ktorá je stabilná na . Keď sa priesečník charakteristiky vychádzajúcej z uzla (t n + 1, x m, s n -tou vrstvou v čase nachádza naľavo od uzla (t n, x m - 1). Teda nájsť riešenie , nepoužíva sa interpolácia, ale extrapolácia, ktorá sa ukáže ako nestabilná .
Zjavná je aj nestabilita schémy „pravého rohu“ pre c > 0. Aby sme to dokázali, môžeme použiť buď spektrálne kritérium alebo podmienku Courant, Friedrichs a Levi. Podobné úvahy možno vykonať pre prípad c< 0 и схемы "правый уголок".
nestabilná štvorbodová schéma získané keď 
, jeho poradie aproximácie je . Mriežkové rovnice pre diferenčnú schému budú mať nasledujúci tvar:
Lax-Wendroffova schéma nastane, keď 
. Poradie aproximácie Lax-Wendroffovej schémy je 
. Schéma je stabilná za podmienok Courant .
Túto schému možno získať buď metódou neurčitých koeficientov, alebo presnejším zohľadnením vedúceho člena aproximačnej chyby. Pozrime sa podrobnejšie na proces odvodenia Lax-Wendroffovej schémy. Uskutočnením štúdie predchádzajúcej štvorbodovej schémy pre aproximáciu (a táto štúdia je dosť elementárna a redukuje sa na rozklad funkcie projekcie na mriežku presného riešenia diferenciálnej úlohy v Taylorovom rade) získame pre hlavný pojem chyby
Pri odvodení výrazu pre hlavný člen aproximačnej chyby bol použitý dôsledok pôvodnej diferenciálnej transportnej rovnice
Čo získame deriváciou pôvodnej rovnice (3.3) najprv vzhľadom na čas t, potom vzhľadom na súradnicu x a odčítaním jedného z výsledných pomerov od druhého.
Ďalej výmena druhá derivácia v druhom člene na pravej strane až do O(h 2) získame novú diferenčnú schému aproximujúcu pôvodnú Diferenciálnej rovnice s presnosťou . Mriežkové rovnice pre Lax-Wendroffovu schému vo vnútorných uzloch výpočtových sietí sú
Implicitná šesťbodová schéma vyskytuje sa pri q = 0; s jeho poradím aproximácie , o .
Druhá časť knihy je venovaná konštrukcii a štúdiu diferenčných schém pre obyčajné diferenciálne rovnice. Zároveň uvádzame základné pojmy konvergencie, aproximácie a stability v teórii diferenčných schém, ktoré majú všeobecný charakter. Znalosť týchto pojmov, získaná v súvislosti s obyčajnými diferenciálnymi rovnicami, umožní v budúcnosti pri štúdiu diferenčných schém pre parciálne diferenciálne rovnice zamerať sa na početné črty a ťažkosti charakteristické pre túto veľmi rôznorodú triedu problémov.
KAPITOLA 4. ZÁKLADNÉ PRÍKLADY SCHÉM ROZDIELOV
V tejto kapitole sa budeme zaoberať úvodnými príkladmi diferenčných schém, ktoré sú určené len na predbežné oboznámenie sa so základnými pojmami teórie.
§ 8. Pojem rádu presnosti a aproximácie
1. Poradie presnosti rozdielovej schémy.
Táto časť je venovaná otázke konvergencie riešení diferenčných rovníc, keď je mriežka spresnená na riešenia diferenciálnych rovníc, ktoré aproximujú. Tu sa obmedzíme na štúdium dvoch diferenčných schém na numerické riešenie problému
Začnime najjednoduchšou diferenčnou schémou založenou na použití diferenčnej rovnice
Rozdeľme segment na kroky dĺžky h. Je vhodné zvoliť, kde N je celé číslo. Deliace body sú očíslované zľava doprava, takže . Hodnotu a získanú diferenčnou schémou v bode budeme označovať Nastavme počiatočnú hodnotu. Nechajte . Z diferenčnej rovnice (2) vyplýva vzťah
odkiaľ nájdeme riešenie rovnice (2) za počiatočnej podmienky:
Presné riešenie úlohy (1) má tvar . Má hodnotu v bode
Nájdime teraz odhad chyby v približnom riešení (3). Táto bodová chyba bude
Zaujíma nás, ako klesá s nárastom počtu deliacich bodov, alebo, čo je rovnaké, s poklesom kroku rozdielovej mriežky. Aby sme to zistili, dajme to do formulára
Rovnosť (3) teda nadobúda formu
t.j. chyba (5) má tendenciu k nule a chybová hodnota je rádovo prvej mocniny kroku.
Na základe toho hovoríme, že diferenčná schéma má prvý rád presnosti (nezamieňať s poradím diferenčnej rovnice definovanej v § 1).
Teraz riešime úlohu (1) pomocou diferenčnej rovnice
Nie je to také jednoduché, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Faktom je, že uvažovaná schéma je diferenčnou rovnicou druhého rádu, t.j. vyžaduje špecifikáciu dvoch počiatočných podmienok, zatiaľ čo integrovateľná rovnica (1) je rovnicou prvého rádu a pre ňu špecifikujeme iba . Je prirodzené vložiť aj rozdielovú schému.
Nie je jasné, ako sa ich opýtať. Aby sme to pochopili, používame explicitnú formu riešenia rovnice (7) (pozri vzorce § 3):
Rozšírenia (9) podľa Taylorovho vzorca koreňov charakteristickej rovnice nám umožňujú poskytnúť približné zobrazenia pre Urobme podrobne odvodenie takejto reprezentácie -
Odvtedy
Nevykonáme úplne podobný výpočet pre , ale výsledok okamžite zapíšte:
Dosadením približných výrazov pre do vzorca (8) dostaneme
Všetky ďalšie závery získame štúdiom tohto vzorca.
Všimnite si, že ak koeficient smeruje ku konečnej hranici b, potom prvý člen na pravej strane rovnosti (12) smeruje k požadovanému riešeniu úlohy (1).
Mriežka a vzor. Pre väčšinu rozdielnych schém ležia uzly mriežky v priesečníku niektorých priamych čiar (vo viacrozmerných úlohách, nadrovinách) nakreslených buď v prirodzenom súradnicovom systéme alebo v špeciálne vybranej oblasti. G.
Ak má jedna z premenných fyzikálny význam času t, potom je mriežka zvyčajne konštruovaná tak, že medzi jej čiarami (alebo nadrovinami) sú čiary t = t m. Súbor uzlov mriežky ležiacich na takejto priamke alebo nadrovine sa nazýva vrstva.
Na každej vrstve sú rozlíšené smery, pozdĺž ktorých sa mení len jedna priestorová súradnica. Napríklad pre premenné X, r, t existujú smery X (t = konšt, r = konšt) a smer r (t = konšt, X = konšt).
Pri zostavovaní diferenčných schém (26.2) a (26.4) sme použili rovnakú typovú diferenčnú aproximáciu derivácií vo všetkých vnútorných uzloch regiónu. Inými slovami, pri písaní každej diferenčnej rovnice sa v blízkosti určitého uzla mriežky odobral rovnaký počet uzlov, čím sa vytvorila presne definovaná konfigurácia, ktorú sme nazvali šablónou tejto diferenčnej schémy (pozri obr. 26.2).
Definícia. Uzly, v ktorých je na šablóne napísaná rozdielová schéma, sa nazývajú pravidelné a ostatné sa nazývajú nepravidelné.
Nepravidelné sú zvyčajne hraničné uzly a niekedy aj uzly ležiace blízko hranice (také, že šablóna prijatá v blízkosti tohto uzla presahuje hranicu oblasti).
Zostavenie rozdielovej schémy začína výberom šablóny. Šablóna nie vždy jednoznačne definuje rozdielovú schému, ale výrazne ovplyvňuje jej vlastnosti; Napríklad neskôr uvidíme, že v šablóne na obr. 26.2 b nie je možné zostaviť dobrú diferenčnú schému pre problém vedenia tepla (26.1). Každý typ rovníc a okrajových úloh vyžaduje svoju vlastnú šablónu.
Explicitné a implicitné rozdielové schémy
Poďme diskutovať o otázke skutočného výpočtu rozdielového riešenia. Väčšina fyzikálnych problémov vedie k rovniciam, ktoré zahŕňajú čas ako jednu z premenných. Pre takéto rovnice sa zvyčajne kladie zmiešaný okrajový problém, ktorého typickým prípadom je problém vedenia tepla (26.1).
Pre takéto problémy sa používa vrstvený algoritmus výpočtov. Uvažujme to na príklade schém (26.2) a (26.4).
V schéme (26.4) na počiatočnej vrstve m= 0 riešenie je známe vďaka počiatočnej podmienke. Položme m= 0 v rovniciach (26.4). Potom pre každú hodnotu indexu n rovnica obsahuje jednu neznámu 
; odtiaľto môžete určiť 
pri 
hodnoty 
a 
sú určené okrajovými podmienkami (26.3). Takto sa vypočítajú hodnoty na prvej vrstve. Na ich základe sa podobným spôsobom vypočíta riešenie na druhej vrstve atď.
Schéma (26.4) v každej rovnici obsahuje iba jednu hodnotu funkcie na nasledujúcej vrstve; túto hodnotu možno ľahko vyjadriť explicitne v podmienkach známych hodnôt funkcie na počiatočnej vrstve; preto sa takéto schémy nazývajú explicitné.
Schéma (26.2) obsahuje v každej rovnici niekoľko neznámych hodnôt funkcie na novej vrstve; takéto schémy sa nazývajú implicitné. Aby sme skutočne vypočítali riešenie, prepíšeme schému (26.2) s prihliadnutím na okrajovú podmienku (26.3) do nasledujúceho tvaru
(26.5)
Na každej vrstve je schéma (26.5) sústavou lineárnych rovníc na určenie veličín 
; pravé strany týchto rovníc sú známe, pretože obsahujú hodnoty riešenia z predchádzajúcej vrstvy. Matica lineárneho systému je tridiagonálna a riešenie možno vypočítať algebraickým pohybom.
Algoritmus, o ktorom sa teraz uvažuje, je skôr typický. Používa sa v mnohých implicitných diferenčných schémach pre jednorozmerné a viacrozmerné problémy. Ďalej budeme namiesto indexu mčasto používajú skratky
V týchto zápisoch majú explicitné a implicitné schémy rozdielov nasledujúcu formu:
Rozpor. Zvážte všeobecnú diferenciálnu rovnicu operátora (nie nevyhnutne lineárnu)
Au = f, alebo Au – f = 0.
Výmena operátora ALE rozdielový operátor A h, pravá strana f– nejaká funkcia mriežky 
a presné riešenie u– rozdielové riešenie r, napíšeme rozdielovú schému
alebo 
.
(26.6)
Ak dosadíme presné riešenie u do vzťahu (26.6), potom riešenie vo všeobecnosti nespĺňa tento vzťah 
. hodnota
sa nazýva reziduálny.
Zvyšok sa zvyčajne odhaduje pomocou rozšírenia Taylorovho radu. Napríklad nájdime nesúlad explicitnej diferenčnej schémy (26.4) pre rovnicu tepla (26.1a). Túto rovnicu píšeme v kanonickom tvare
Pretože v tomto prípade 
potom
Rozšírme riešenie o Taylorov vzorec v blízkosti uzla ( X n , t m), za predpokladu existencie spojitých štvrtých derivátov vzhľadom na X a druhý v poradí t
(26.7)
kde 
Nahradením týchto expanzií do reziduálneho výrazu a zanedbaním rozdielu medzi veličinami v dôsledku kontinuity derivácií 
od ( X n ,
t m)
Nájsť
(26.8)
Zostatok (26.8) má teda tendenciu k nule 
a 
Blízkosť diferenčnej schémy k pôvodnému problému je určená veľkosťou rezidua. Ak má zostatok tendenciu k nule pri h a 
tendenciu k nule, potom hovoríme, že takáto diferenčná schéma aproximuje diferenciálny problém. Aproximácia má R-tého rádu ak 
.
Výraz (26.8) dáva nezrovnalosť iba v bežných uzloch mriežky. Pri porovnaní (26.3) a (26.1b) môžeme ľahko nájsť nezrovnalosť pri nepravidelných uzloch
Poznámka 1. Riešenie úlohy vedenia tepla s konštantným koeficientom (26.1) v doméne je plynule diferencovateľné nekonečne veľakrát. Ak však vezmeme do úvahy piaty a viac derivátov v expanzii Taylorovho radu (26,7), nezrovnalosť (26,8) sa zvýši iba v podmienkach vyššieho rádu malosti v 
a h, t.j. v podstate nemení vzhľad zvyškov.
Poznámka 2. Nech je z nejakého dôvodu riešenie pôvodného problému diferencovateľné v malom počte krát; napríklad pri problémoch s premenlivou tepelnou vodivosťou, ktorá je hladká, ale nemá druhú deriváciu, riešenie má len tretie spojité derivácie. Potom v expanzii Taylorovho radu (26.7) sú posledné členy 
sa navzájom presne nekompenzujú. To povedie k tomu, že sa vo zvyšku (26.8) objaví člen typu 
tie. nezrovnalosť bude mať rádovo menšiu veľkosť ako pri štvornásobne kontinuálne diferencovateľných riešeniach.
Poznámka 3. Transformáciou zvyškového výrazu, berúc do úvahy skutočnosť, že funkcia je v ňom zahrnutá u(X,t) je presným riešením pôvodnej rovnice a vzťahov
Dosadením tohto výrazu do (26.8) dostaneme
Ak zvolíme kroky v priestore a čase tak, že 
potom vedúci člen nesúladu zmizne a iba termíny vyššieho rádu malosti z hľadiska 
a h(ktoré sme vynechali). Táto technika sa používa pri konštrukcii rozdielových schém so zvýšenou presnosťou.
rozdielová schéma
rozdielová schéma je konečný systém algebraických rovníc spojených s nejakým diferenciálnym problémom obsahujúcim diferenciálnu rovnicu a ďalšie podmienky (napríklad okrajové podmienky a/alebo počiatočné rozdelenie). Diferenčné schémy sa teda používajú na redukciu diferenciálneho problému, ktorý má charakter kontinua, na konečnú sústavu rovníc, ktorých numerické riešenie je zásadne možné na počítačoch. Algebraické rovnice spojené s diferenciálnou rovnicou sa získavajú pomocou diferenčnej metódy, ktorá odlišuje teóriu diferenčných schém od iných numerických metód riešenia diferenciálnych úloh (napríklad projekčné metódy, ako je Galerkinova metóda).
Riešenie diferenčnej schémy sa nazýva približné riešenie diferenciálnej úlohy.
Hoci formálna definícia nekladie výrazné obmedzenia na formu algebraických rovníc, v praxi má zmysel uvažovať len o tých schémach, ktoré nejakým spôsobom zodpovedajú diferenciálnemu problému. Dôležitými konceptmi teórie diferenčných schém sú koncepty konvergencie, aproximácie, stability a konzervativizmu.
Aproximácia
Hovorí sa, že diferenciálny operátor definovaný na funkciách definovaných v doméne je aproximovaný na určitej triede funkcií operátorom konečnej diferencie definovaným na funkciách definovaných na mriežke v závislosti od kroku, ak
O aproximácii sa hovorí, že má poriadok, ak
kde je konštanta, ktorá závisí od konkrétnej funkcie, ale nezávisí od kroku. Vyššie použitá norma môže byť odlišná a koncepcia aproximácie závisí od jej výberu. Často sa používa diskrétny analóg normy rovnomernej kontinuity:
niekedy sa používajú diskrétne analógy integrálnych noriem.
Príklad. Aproximácia operátora operátorom konečnej diferencie
na ohraničenom intervale je druhý rád na triede hladkých funkcií.
Problém konečných rozdielov aproximuje diferenciálny problém a aproximácia je poriadku , ak samotná diferenciálna rovnica aj okrajové (a počiatočné) podmienky sú aproximované zodpovedajúcimi operátormi konečných rozdielov a aproximácie sú poriadku .
Podmienka záruky
Podmienka Courant (v anglickojazyčnej literatúre Eng. Podmienka Courant-Friedrichs-Levy , CFL) - rýchlosť šírenia porúch v rozdielovom probléme by nemala byť menšia ako v diferenciálnom. Ak táto podmienka nie je splnená, potom výsledok diferenčnej schémy nemusí mať tendenciu riešiť diferenciálnu rovnicu. Inými slovami, v jednom časovom kroku by častica nemala „prebehnúť“ viac ako jednou bunkou.
V prípade obvodov, ktorých koeficienty nezávisia od riešenia diferenciálnej rovnice, vyplýva Courantova podmienka zo stability.
Schémy na zaujatých mriežkach
V týchto mriežkových schémach, kde je nastavený výsledok a údaje sú navzájom posunuté. Napríklad, výsledné body sú v strede medzi dátovými bodmi. V niektorých prípadoch to umožňuje použitie jednoduchších okrajových podmienok.
pozri tiež
Odkazy
- "Rozdielové schémy" - kapitola vo Wikibookoch o "Rozdielové schémy pre hyperbolické rovnice"
- Demjanov A. Yu., Čižikov D. V. Implicitná hybridná monotónna diferenčná schéma druhého rádu presnosti
- V. S. Ryaben’kii, A. F. Filippov. O stabilite diferenčných rovníc. - M.: Gostekhizdat, 1956.
- S. K. Godunov, V. S. Ryabenky.Úvod do teórie diferenčných schém. - M.: Fizmatgiz, 1962.
- K. I. Babenko. Základy numerickej analýzy. - M.: Nauka, 1986.
- Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metódy výpočtu, - Akékoľvek vydanie.
- Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerické metódy, - Akékoľvek vydanie.
- G. I. Marchuk. Metódy výpočtovej matematiky. - M.: Nauka, 1977.
Poznámky
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite si, čo je „Schéma rozdielov“ v iných slovníkoch:
Systém diferenčných rovníc aproximujúcich diferenciálnu rovnicu a dodatočné (počiatočné, okrajové atď.) podmienky. Aproximácia pôvodnej diferenciálnej úlohy R. s. toto je jeden zo spôsobov približnej diskretizácie pôvodného problému... Matematická encyklopédia
schéma konečných prvkov- metóda konečných prvkov - [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témy Energia vo všeobecnosti Synonymá metóda konečných prvkov EN rozvrh konečných objemových rozdielov …
Diferenčná schéma je konečný systém algebraických rovníc, spojený s akýmkoľvek diferenciálnym problémom obsahujúcim diferenciálnu rovnicu a ďalšie podmienky (napríklad okrajové podmienky a / alebo počiatočné ... ... Wikipedia
schéma výpočtu konečných rozdielov na základe kontrolných objemov- (napr. prenos tepla a hmoty, tepelná vodivosť) [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Energetické témy vo všeobecnosti EN reguluje objem založený na pláne konečných rozdielov … Technická príručka prekladateľa
Schéma: grafický dokument; prezentácia, obraz, prezentácia niečoho v najvšeobecnejších pojmoch, zjednodušené (napríklad schéma správy); elektronické zariadenie obsahujúce veľa komponentov (integrovaný obvod). Grafický dokument ... ... Wikipedia
Diferenčná schéma založená na variačnej úlohe zodpovedajúcej okrajovej úlohe pre diferenciálnu rovnicu. Hlavnou myšlienkou vybudovania R. v. s. je to so špeciálnym výberom súradnicových funkcií v Ritzovej metóde ... ... Matematická encyklopédia
Numerické metódy riešenia metód riešenia gierbolpchových rovníc. typu založeného na výpočtových algoritmoch. Rôzne matematické modely v mnohých prípadoch vedú k hyperbolickým diferenciálnym rovniciam. typu. Takéto rovnice majú presnú aialitiku... ... Matematická encyklopédia
Odvetvie výpočtovej matematiky, ktoré študuje metódy na približné riešenie diferenciálnych rovníc ich nahradením rovnicami konečných rozdielov (diferenčné schémy). R. s. t) študuje metódy konštrukcie diferenčných schém, ... ... Matematická encyklopédia
Numerické metódy riešenia parciálnych diferenciálnych rovníc sú približné metódy riešenia, v dôsledku ktorých je riešenie úlohy reprezentované tabuľkou čísel. Presne riešenia (vo forme explicitných vzorcov, radov atď.) dá sa postaviť len zriedka ...... Matematická encyklopédia
Metódy riešenia problémov dynamiky plynov založené na výpočtových algoritmoch. Pozrime sa na hlavné aspekty teórie numerických metód na riešenie problémov dynamiky plynu, písanie rovníc dynamiky plynu vo forme zákonov zachovania v inerciálnom ... ... Matematická encyklopédia elektronická kniha