funkčné riadky. Mocninný rad.
Rozsah konvergencie radu

Smiech bez dôvodu je znakom d'Alemberta

Odbila teda hodina funkčných radov. Na úspešné zvládnutie témy a najmä tejto lekcie sa musíte dobre orientovať v zvyčajných číselných radoch. Mali by ste dobre rozumieť tomu, čo je séria, mali by ste byť schopní použiť znaky porovnania na štúdium radu z hľadiska konvergencie. Takže, ak ste práve začali študovať tému alebo ste čajník vo vyššej matematike, nevyhnutné prepracujte postupne tri lekcie: Riadky na čajníky,Znamenie d'Alemberta. Známky Cauchy a Striedajúce sa riadky. Leibnizov znak. Určite všetky tri! Ak máte základné znalosti a zručnosti pri riešení problémov s číselnými radmi, potom bude celkom jednoduché vysporiadať sa s funkčnými sériami, pretože nie je veľa nového materiálu.

V tejto lekcii sa budeme zaoberať konceptom funkčného radu (čo to je vo všeobecnosti), zoznámime sa s mocninnými radmi, ktoré sa nachádzajú v 90% praktických úloh, a naučíme sa, ako vyriešiť bežný typický problém hľadania konvergencie. polomer, interval konvergencie a oblasť konvergencie mocninového radu. Ďalej odporúčam zvážiť materiál na rozšírenie funkcií do mocninových radov, a začiatočníkovi bude poskytnutá sanitka. Po krátkom oddychu prejdeme na ďalšiu úroveň:

Aj v sekcii funkčných sérií sú ich početné aplikácie na približné výpočty, a Fourierove série, ktorým je vo vzdelávacej literatúre spravidla pridelená samostatná kapitola, idú trochu od seba. Mám len jeden článok, ale je dlhý a veľa, veľa ďalších príkladov!

Takže orientačné body sú nastavené, poďme na to:

Pojem funkčný rad a mocninný rad

Ak sa v limite získa nekonečno, potom algoritmus riešenia tiež dokončí svoju prácu a dáme konečnú odpoveď na úlohu: „Séria konverguje k“ (alebo k jednému z nich“). Pozri prípad č. 3 predchádzajúceho odseku.

Ak sa v limite ukáže, že nie nula a nie nekonečno, potom máme v praxi najbežnejší prípad č.1 - rad konverguje na určitom intervale.

V tomto prípade je limit . Ako nájsť interval konvergencie radu? Vytvárame nerovnosť:

AT AKÚKOĽVEK úloha tohto typu na ľavej strane nerovnosti by mala byť výsledok výpočtu limitu a na pravej strane nerovnosti prísne jednotka. Nebudem vysvetľovať, prečo práve táto nerovnosť a prečo je jedna vpravo. Hodiny sú praktické a už teraz je veľmi dobré, že niektoré vety z mojich príbehov objasnili, že učiteľský zbor sa neobesil.

Technike práce s modulom a riešenia dvojitých nerovností sme sa podrobne venovali v prvom ročníku v článku Rozsah funkcie, ale pre pohodlie sa pokúsim všetky akcie komentovať čo najpodrobnejšie. Nerovnosť odhalíme modulom podľa školského poriadku . V tomto prípade:

Polovica cesty pozadu.

V druhej fáze je potrebné preskúmať konvergenciu radu na koncoch nájdeného intervalu.

Najprv vezmeme ľavý koniec intervalu a dosadíme ho do nášho mocninového radu:

O

Dostali sme číselný rad a musíme ho preskúmať z hľadiska konvergencie (úloha už známa z predchádzajúcich hodín).

1) Séria je striedavá so znakmi.
2) – podmienky modula zníženia série. Navyše, každý ďalší člen série je menší ako predchádzajúci v module: , takže pokles je monotónny.
Záver: rad konverguje.

Pomocou série zostavenej z modulov presne zistíme, ako:
– konverguje („referenčný“ rad z rodiny zovšeobecnených harmonických radov).

Výsledný číselný rad teda absolútne konverguje.

pri - konverguje.

! pripomínam že každý konvergentný kladný rad je tiež absolútne konvergentný.

Mocninný rad teda konverguje, a to absolútne, na oboch koncoch nájdeného intervalu.

odpoveď: oblasť konvergencie skúmaného mocninného radu:

Má právo na život a iný dizajn odpovede: Séria konverguje, ak

Niekedy v stave problému je potrebné špecifikovať polomer konvergencie. Je zrejmé, že v uvažovanom príklade .

Príklad 2

Nájdite oblasť konvergencie mocninného radu

Riešenie: nájdeme interval konvergencie radu používaním znak d'Alemberta (ale nie podľa atribútu! - pre funkčné série taký atribút neexistuje):

Séria konverguje na

Vľavo musíme odísť iba, takže obe strany nerovnosti vynásobíme 3:

– Séria sa strieda so znakmi.
– – podmienky modula zníženia série. Každý ďalší člen série je v absolútnej hodnote menší ako predchádzajúci: , takže pokles je monotónny.

Záver: rad konverguje.

Skúmame to z hľadiska povahy konvergencie:

Porovnajte tento rad s divergentným radom.
Na porovnanie používame limitný znak:

Získa sa konečné číslo iné ako nula, čo znamená, že rad diverguje spolu s radom.

Séria teda konverguje podmienene.

2) Kedy – rozchádza sa (ako bolo dokázané).

odpoveď: Oblasť konvergencie skúmaného mocninového radu: . Pre , rad konverguje podmienene.

V uvažovanom príklade je oblasťou konvergencie mocninového radu polovičný interval a vo všetkých bodoch intervalu mocninový rad absolútne konverguje a v bode, ako sa ukázalo, podmienečne.

Príklad 3

Nájdite interval konvergencie mocninného radu a skúmajte jeho konvergenciu na koncoch nájdeného intervalu

Toto je príklad „urob si sám“.

Zvážte niekoľko príkladov, ktoré sú zriedkavé, ale vyskytujú sa.

Príklad 4

Nájdite oblasť konvergencie radu:

Riešenie: pomocou d'Alembertovho testu nájdeme interval konvergencie tohto radu:

(1) Zostavte pomer ďalšieho člena radu k predchádzajúcemu.

(2) Zbavte sa štvorposchodového zlomku.

(3) Kocky a podľa pravidla operácií s mocninami sa sčítavajú do jedného stupňa. V čitateli šikovne rozložíme stupeň, t.j. expandovať tak, že v ďalšom kroku zlomok znížime o . Faktory sú podrobne opísané.

(4) Pod kockou delíme čitateľa menovateľom člen za člen, čo znamená, že . Zlomkom zredukujeme všetko, čo sa zredukovať dá. Násobiteľ je vyňatý z limitného znamienka, dá sa vybrať, keďže v ňom nie je nič, čo by záviselo od „dynamickej“ premennej „en“. Upozorňujeme, že znak modulu nie je nakreslený - z dôvodu, že má nezáporné hodnoty pre akékoľvek "x".

V limite sa získa nula, čo znamená, že môžeme dať konečnú odpoveď:

odpoveď: Séria konverguje na

A spočiatku sa zdalo, že tento rad s „strašnou plnkou“ bude ťažké vyriešiť. Nula alebo nekonečno v limite je takmer dar, pretože riešenie je výrazne obmedzené!

Príklad 5

Nájdite oblasť konvergencie radu

Toto je príklad „urob si sám“. Pozor ;-) Úplné riešenie je odpoveď na konci lekcie.

Zvážte niekoľko ďalších príkladov, ktoré obsahujú prvok novosti z hľadiska použitia techník.

Príklad 6

Nájdite interval konvergencie radu a skúmajte jeho konvergenciu na koncoch nájdeného intervalu

Riešenie: Spoločným pojmom mocninového radu je faktor , ktorý zabezpečuje striedanie. Algoritmus riešenia je úplne zachovaný, ale pri zostavovaní limitu tento faktor ignorujeme (nezapisujeme), pretože modul ničí všetky „mínusy“.

Konvergenčný interval radu nájdeme pomocou d'Alembertovho testu:

Skladáme štandardnú nerovnosť:
Séria konverguje na
Vľavo musíme odísť iba modul, takže obe strany nerovnosti vynásobíme 5:

Teraz rozšírime modul známym spôsobom:

V strede dvojitej nerovnosti musíte nechať iba „x“, na tento účel odčítajte 2 od každej časti nerovnosti:

je interval konvergencie skúmaného mocninového radu.

Skúmame konvergenciu radu na koncoch nájdeného intervalu:

1) Dosaďte hodnotu v našom mocninnom rade :

Buďte maximálne opatrní, multiplikátor neposkytuje striedanie, pre žiadne prirodzené "en". Výsledné mínus z radu vytiahneme a zabudneme naň, keďže (ako každý konštantný násobič) nijako neovplyvňuje konvergenciu ani divergenciu číselného radu.

Všimnite si znovaže v priebehu dosadzovania hodnoty do spoločného člena mocninového radu sme znížili faktor . Ak by sa tak nestalo, znamenalo by to, že sme buď nesprávne vypočítali limit, alebo nesprávne rozšírili modul.

Preto je potrebné preskúmať konvergenciu číselného radu. Tu je najjednoduchšie použiť limitné porovnávacie kritérium a porovnať tento rad s divergentným harmonickým radom. Ale, aby som bol úprimný, bol som strašne unavený z posledného znaku porovnania, takže k riešeniu pridám trochu rozmanitosti.

Takže rad konverguje, keď

Vynásobte obe strany nerovnosti 9:

Extrahujeme koreň z oboch častí, pričom si pamätáme starý školský vtip:


Rozšírenie modulu:

a pridajte jeden do všetkých častí:

je interval konvergencie skúmaného mocninového radu.

Skúmame konvergenciu mocninových radov na koncoch nájdeného intervalu:

1) Ak , potom sa získa nasledujúci číselný rad:

Multiplikátor zmizol bez stopy, pretože pre akúkoľvek prirodzenú hodnotu "en" .

Oblasť konvergencie Funkčný rad je rad, ktorého členmi sú funkcie / definované na určitej množine E reálnej osi. Napríklad členy radu sú definované na intervale a členy radu sú definované na segmente O funkčnom rade (1) sa hovorí, že konverguje v bode Xo € E, ak konverguje v každom bode x množina D ⊂ E a diverguje v každom bode, ktorý nepatrí do množiny D, potom sa hovorí, že rad konverguje k množine D a D sa nazýva oblasť konvergencie radu. Rad (1) sa nazýva absolútne konvergentný na množine D, ak rad konverguje k tejto množine D. V prípade konvergencie radu (1) na množine D bude jeho súčet S funkciou definovanou na D. Oblasť konvergenciu niektorých funkčných radov možno nájsť pomocou známych dostatočných kritérií, stanovených pre rady s kladnými členmi, napríklad Dapamberov príznak, Cauchyho znamienko. Príklad 1. Nájdite oblasť konvergencie radu M Keďže číselný rad konverguje pre p > 1 a diverguje pre p > 1, potom za predpokladu p - Igx dostaneme tento rad. ktoré budú konvergovať pre Igx > T, t.j. ak x > 10, a divergujú, keď Igx ^ 1, t.j. na 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 rad diverguje, pretože L =. Divergencia radu pri x = 0 je zrejmá. Príklad 3. Nájdite oblasť konvergencie radu Pojmy tohto radu sú definované a spojité na množine. Pri použití označenia Kosh a nájdeme pre ľubovoľné. Preto sa rad líši pre všetky hodnoty x. Označme Sn(x) n-tý čiastkový súčet funkčného radu (1). Ak tento rad konverguje k množine D a jeho súčet sa rovná 5(g), potom môže byť reprezentovaný ako Pre všetky hodnoty x € D platí vzťah a teda. t.j. zvyšok Rn(x) konvergentného radu má tendenciu k nule ako n oo, nech je x 6 D. Rovnomerná konvergencia Spomedzi všetkých konvergentných radov funkcií zohrávajú dôležitú úlohu takzvané rovnomerne konvergentné rady. Nech je daný funkčný rad konvergujúci na množine D, ktorého súčet sa rovná S(x). Vezmite jeho n-tý čiastkový súčet. Funkčný rad FUNKČNÝ RAD Oblasť konvergencie Rovnomerná konvergencia Weierstrassovo kritérium O vlastnosti rovnomerne konvergentných funkčných radov hovoríme, že sú rovnomerne konvergentné na množine PS1), ak pre ľubovoľné číslo ε > 0 existuje číslo λ > 0 také, že nerovnosť x z množiny fI. Komentujte. Tu je číslo N rovnaké pre všetky x ∈ 10, t.j. nezávisí od z, ale závisí od voľby čísla e, preto píšeme N = N(e). Rovnomerná konvergencia funkčného radu £ /n(®) k funkcii S(x) na množine ft sa často označuje takto: Definícia rovnomernej konvergencie radu /n(x) na množine ft môže byť písané kratšie pomocou logických symbolov: funkčný riadok. Vezmime segment [a, 6] ako množinu ft a nakreslíme grafy funkcií. Nerovnosť |, ktorá platí pre čísla n > N a pre všetky a; G [a, b] a y = 5 (g) + e (obr. 1). Príklad 1 rovnomerne konverguje na segmente Tento rad je striedavý, spĺňa podmienky Leibnizovho testu pre ľubovoľné x € [-1,1] a preto konverguje na segmente (-1,1]. Nech S(x) je jeho súčet a Sn (x) je jeho n-tý čiastočný súčet Absolútna hodnota zvyšku radu nepresahuje absolútnu hodnotu jeho prvého člena: a od Vezmime ľubovoľné e. Potom bude nerovnosť | Odtiaľto zistíme, že n > \. Ak vezmeme číslo (tu [a] označuje najväčšie celé číslo nepresahujúce a), potom nerovnosť | e bude platiť pre všetky čísla n > N a pre všetky x € [-1,1). To znamená, že tento rad rovnomerne konverguje na segmente [-1,1). I. Nie každý funkčný rad, ktorý konverguje na množine D, je na príklade 2 rovnomerne konvergentný. Ukážme, že rad konverguje na intervale, ale nie rovnomerne. 4 Vypočítajme n-tý čiastkový súčet £n(*) radu. Máme Odkiaľ Tento rad konverguje na segmente a jeho súčte, ak sa absolútna hodnota rozdielu S (x) - 5„ (x) (zvyšok radu) rovná. Zoberme si číslo e také, že. Poďme vyriešiť nerovnosť vzhľadom na n. Máme, odkiaľ (pretože a pri delení Inx je znamienko nerovnosti obrátené). Nerovnosť bude platiť pre . Teda také číslo N(e), ktoré nezávisí od x, aby nerovnosť platila pre každé) okamžite pre všetky x z úsečky. , neexistuje. Ak je však segment 0 nahradený menším segmentom, kde, potom bude tento rad rovnomerne konvergovať k funkcii S0. Skutočne za, a teda za všetkých x naraz §3. Weierstrassovo kritérium Dostatočné kritérium pre rovnomernú konvergenciu funkčného radu dáva Weierstrassova veta. Veta 1 (Weierstrassov test). Nech pre všetky x z množiny Q členy funkčného radu v absolútnej hodnote nepresiahnu zodpovedajúce členy konvergentného číselného radu П=1 s kladnými členmi, t.j. pre všetky x ∈ Q. Potom funkčný rad ( 1) na množine П konverguje absolútne a rovnomerne . A Tek, keďže podľa podmienky vety členy radu (1) spĺňajú podmienku (3) na celej množine Q, potom podľa porovnávacieho kritéria rad 2 \fn(x)\ konverguje pre ľubovoľné x ∈ H a následne rad (1) konverguje k P absolútne. Dokážme rovnomernú konvergenciu radu (1). Označme Sn(x) a an čiastkové súčty radov (1) a (2). Zoberme si ľubovoľné (ľubovoľne malé) číslo e > 0. Potom konvergencia číselného radu (2) implikuje existenciu čísla N = N(e) takého, že v dôsledku toho -e pre všetky čísla n > N(e ) a pre všetky x6n , t.j. séria (1) sa zbieha rovnomerne na množinu P. Poznámka. Číselný rad (2) sa často nazýva majorizujúci alebo majorantný pre funkčný rad (1). Príklad 1. Preskúmajte rad pre rovnomernú konvergenciu Nerovnosť platí pre všetkých. a pre všetkých. Číselný rad konverguje. Na základe Weierstrassovho testu uvažovaný funkčný rad konverguje absolútne a rovnomerne na celej osi. Príklad 2. Preskúmajte rad pre rovnomernú konvergenciu Členy radu sú definované a spojité na segmente [-2,2|. Keďže na segmente [-2,2) pre ľubovoľné prirodzené n platí nerovnosť. Keďže číselný rad konverguje, potom podľa Weierstrassovho testu pôvodný funkčný rad konverguje absolútne a rovnomerne na segmente. Komentujte. Funkčný rad (1) môže konvergovať rovnomerne na množine Piv v prípade, že neexistuje žiadny hlavný číselný rad (2), t.j. Weierstrassovo kritérium je len postačujúcim kritériom pre rovnomernú konvergenciu, ale nie je nevyhnutné. Príklad. Ako je uvedené vyššie (príklad), séria konverguje rovnomerne na segmente 1-1,1]. Pre ňu však neexistuje hlavný konvergentný číselný rad (2). V skutočnosti pre všetky prirodzené čísla n a pre všetky x ∈ [-1,1) nerovnosť platí a rovnosť je dosiahnutá. Preto členy požadovaného majorantného radu (2) musia nevyhnutne spĺňať podmienku, ale číselný rad FUNKČNÝ RAD Oblasť konvergencie Rovnomerná konvergencia Weierstrassov test Vlastnosti rovnomerne konvergentných funkčných radov divergujú. To znamená, že séria £ op sa bude tiež líšiť. Vlastnosti rovnomerne konvergentných radov funkcií Rovnomerne konvergentné rady funkcií majú množstvo dôležitých vlastností. Veta 2. Ak sú všetky členy radu rovnomerne konvergujúce na segmente [a, b] vynásobené tou istou funkciou q(x) ohraničenou na [a, 6], potom výsledný funkčný rad bude konvergovať rovnomerne ďalej. Nech rad £ fn(x) rovnomerne konverguje k funkcii S(x) na intervale [a, b\] a funkcia g(x) nech je ohraničená, t.j. existuje konštanta C > 0 taká, že definícia rovnomernej konvergencie radu pre ľubovoľné číslo e > 0 existuje číslo N také, že pre všetky n > N a pre všetky x ∈ [a, b] bude platiť nerovnosť, kde 5n(ar) je čiastočný súčet uvažovanej série. Preto budeme mať pre kohokoľvek. rad rovnomerne konverguje na [a, b| k funkcii Veta 3. Nech sú všetky členy fn(x) funkčného radu spojité a rad rovnomerne konverguje na úsečke [a, b\. Potom súčet S(x) radu je spojitý na tomto intervale. M Zoberme si na intervale [o, b] dva ľubovoľné body zr + Ax. Keďže tento rad rovnomerne konverguje na segmente [a, b], potom pre ľubovoľné číslo e > 0 existuje číslo N = N(e) také, že pre všetky n > N budú platiť nerovnosti, kde 5n(x) sú čiastočné súčty séria fn (x). Tieto čiastkové súčty Sn(x) sú spojité na intervale [a, 6] ako súčet konečného počtu funkcií fn(x), ktoré sú spojité na [a, 6]. Preto pre pevné číslo no > N(e) a dané číslo e existuje číslo 6 = 6(e) > 0 také, že nerovnosť Ax spĺňajúca podmienku | má tvar: odkiaľ. Ak vezmeme do úvahy nerovnice (1) a (2), pre prírastky Ax spĺňajúce podmienku |, dostaneme To znamená, že súčet Six) je v bode x spojitý. Pretože x je ľubovoľný bod úsečky [a, 6], z toho vyplýva, že 5(x) je spojitá na |a, 6|. Komentujte. Funkčný rad, ktorého členy sú spojité na intervale [a, 6], ale konverguje nerovnomerne na (a, 6], môže mať ako súčet nespojitú funkciu Príklad 1. Uvažujme funkčný rad na intervale |0,1 ). Vypočítajme jej n-tý čiastkový súčet. Preto je na úsečke nespojitá, hoci členy radu sú na nej spojité. Na základe dokázanej vety tento rad nie je rovnomerne konvergentný na intervale . Príklad 2. Uvažujme sériu Ako je uvedené vyššie, tento rad konverguje pri, rad bude konvergovať rovnomerne podľa Weierstrassovho kritéria, pretože 1 a číselný rad konvergujú. Preto pre ľubovoľné x > 1 je súčet tohto radu spojitý. Komentujte. Funkcia sa nazýva Riemannova funkcia on (táto funkcia hrá veľkú úlohu v teórii čísel). Veta 4 (o integrácii funkčného radu po členoch). Nech sú všetky členy radu fn(x) spojité a nech rad rovnomerne konverguje na segmente [a, b] k funkcii S(x). Potom platí rovnosť: Vzhľadom na spojitosť funkcií fn(x) a rovnomernú konvergenciu daného radu na intervale [a, 6] je jeho súčet 5(x) spojitý a teda integrovateľný na . Uvažujme rozdiel Z rovnomernej konvergencie radu na [o, b] vyplýva, že pre ľubovoľné e > 0 existuje číslo N(e) > 0 také, že pre všetky čísla n > N(e) a pre všetky x € [a, 6] nerovnosť bude platiť Ak rad fn(0 nie je rovnomerne konvergentný, potom, všeobecne povedané, nemôže byť integrovaný člen po člene, t. j. Veta 5 (o členení funkčného radu člen po člene) Nech všetky členy konvergentného radu 00 majú spojité derivácie a rad zložený z týchto derivácií konverguje rovnomerne na intervale [a, b]. Potom v ktoromkoľvek bode platí rovnosť, teda daný rad môže byť diferencovaný člen po člene M Vezmime si ľubovoľné dva body. Potom na základe vety 4 máme Funkcia o-(x) je spojitá ako súčet rovnomerne konvergentných radov spojitých funkcií. získať

Funkčný rozsah sa nazýva formálne písomný prejav

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ... , (1)

kde u1 (X), u 2 (X), u 3 (X), ..., u n ( X), ... - postupnosť funkcií z nezávisle premennej X.

Skrátený zápis funkčného radu so sigma:.

Príklady funkčných radov sú :

(2)

(3)

Uvedenie nezávislej premennej X nejakú hodnotu X0 a jeho dosadením do funkčného radu (1) dostaneme číselný rad

u1 (X 0 ) + u 2 (X 0 ) + u 3 (X 0 ) + ... + u n ( X 0 ) + ...

Ak získaný číselný rad konverguje, potom sa hovorí, že funkčný rad (1) konverguje X = X0 ; ak diverguje, o čom sa hovorí, že je rad (1) diverguje pri X = X0 .

Príklad 1. Preskúmajte konvergenciu funkčného radu(2) pre hodnoty X= 1 a X = - 1 .
Riešenie. O X= 1 dostaneme číselný rad

ktorá konverguje podľa Leibnizovho testu. O X= - 1 dostaneme číselný rad

,

ktorý diverguje ako súčin divergentného harmonického radu o – 1. Rad (2) teda konverguje pri X= 1 a líši sa o X = - 1 .

Ak sa takýto test konvergencie funkčného radu (1) vykoná s ohľadom na všetky hodnoty nezávislej premennej z oblasti definície jej členov, potom sa body tejto domény rozdelia do dvoch množín: s hodnotami X v jednom z nich rad (1) konverguje a v druhom diverguje.

Množina hodnôt nezávislej premennej, pre ktorú funkčná séria konverguje, sa nazýva jej konvergenčný región .

Príklad 2. Nájdite oblasť konvergencie funkčného radu

Riešenie. Členy radu sú definované na celej číselnej osi a tvoria geometrickú postupnosť s menovateľom q= hriech X. Takže rad konverguje, ak

a diverguje, ak

(hodnoty nie sú možné). Ale pre hodnoty a pre iné hodnoty X. Preto rad konverguje pre všetky hodnoty X, Okrem toho. Oblasť jeho konvergencie je celá číselná os, s výnimkou týchto bodov.

Príklad 3. Nájdite oblasť konvergencie funkčného radu

Riešenie. Členy radu tvoria geometrickú postupnosť s menovateľom q=ln X. Preto rad konverguje, ak , alebo , Odkiaľ . Toto je oblasť konvergencie tohto radu.

Príklad 4. Preskúmajte konvergenciu funkčného radu

Riešenie. Vezmime si ľubovoľnú hodnotu. S touto hodnotou dostaneme číselný rad

(*)

Nájdite hranicu jeho spoločného termínu

V dôsledku toho sa rad (*) rozchádza pre ľubovoľne zvolený, t.j. za akúkoľvek hodnotu X. Oblasťou jeho konvergencie je prázdna množina.

Rovnomerná konvergencia funkčného radu a jej vlastnosti

Prejdime ku konceptu rovnomerná konvergencia funkčného radu . Nechaj s(X) je súčet tohto radu a sn ( X) - súčet n prví členovia tejto série. Funkčný rozsah u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ... sa nazýva rovnomerne konvergentná na intervale [ a, b] , ak pre ľubovoľne malé číslo ε > 0 existuje také číslo N, to pre všetkých n ≥ N nerovnosť bude uspokojená

|s(X) − s n ( X)| < ε

pre hocikoho X zo segmentu [ a, b] .

Vyššie uvedená vlastnosť môže byť geometricky znázornená nasledovne.

Zvážte graf funkcie r = s(X) . Okolo tejto krivky zostrojíme pás šírky 2. ε n, teda konštruujeme krivky r = s(X) + ε n a r = s(X) − ε n(na obrázku nižšie sú zelené).

Potom pre akékoľvek ε n funkčný graf sn ( X) bude úplne ležať v uvažovanom pásme. Rovnaký pás bude obsahovať grafy všetkých nasledujúcich čiastkových súčtov.

Akýkoľvek konvergentný funkčný rad, ktorý nemá vyššie opísanú vlastnosť, je nerovnomerne konvergentný.

Zvážte ešte jednu vlastnosť rovnomerne konvergentných funkčných radov:

súčet radu spojitých funkcií, ktoré konvergujú rovnomerne na nejakom intervale [ a, b] , existuje funkcia, ktorá je na tomto segmente spojitá.

Príklad 5 Určte, či súčet funkčného radu je spojitý

Riešenie. Poďme nájsť sumu n prví členovia tejto série:

Ak X> 0 teda

,

ak X < 0 , то

ak X= 0 teda

A preto .

Naša štúdia ukázala, že súčet tohto radu je nespojitá funkcia. Jeho graf je znázornený na obrázku nižšie.

Weierstrassov test rovnomernej konvergencie funkčných radov

Priblížme sa k Weierstrassovmu kritériu prostredníctvom konceptu väčšina funkčných radov . Funkčný rozsah

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ...

4.1. Funkčný rad: základné pojmy, oblasť konvergencie

Definícia 1. Rad, ktorého členmi sú funkcie jednej resp
nazýva sa niekoľko nezávislých premenných definovaných na nejakej množine funkčný rozsah.

Uvažujme funkčný rad, ktorého členmi sú funkcie jednej nezávislej premennej X. Súčet prvého n rad členov je čiastočný súčet daného funkčného radu. Spoločný člen existuje funkcia od X definované v nejakej oblasti. Zvážte funkčný rad v jednom bode . Ak príslušný číselný rad konverguje, t.j. existuje limit čiastkových súčtov tohto radu
(kde − súčet číselného radu), potom sa volá bod konvergenčný bod funkčný rozsah . Ak je číselný rad diverguje, potom sa bod nazýva bod divergencie funkčný rad.

Definícia 2. Oblasť konvergencie funkčný rozsah sa nazýva množina všetkých takýchto hodnôt X, pre ktoré funkčný rad konverguje. Označuje sa oblasť konvergencie, ktorá pozostáva zo všetkých bodov konvergencie . Poznač si to R.

Funkčný rad sa v regióne zbieha , ak k nejakému konverguje ako číselný rad, pričom jeho súčet bude nejaká funkcia . Tento tzv limitná funkcia sekvencie : .

Ako nájsť oblasť konvergencie funkčného radu ? Môžete použiť znak podobný d'Alembertovmu znaku. Za číslo komponovať a považujte limit za pevný X:
. Potom je riešením nerovnosti a riešenie rovnice (berieme len tie riešenia rovnice, v
ktorým príslušné číselné rady konvergujú).

Príklad 1. Nájdite oblasť konvergencie radu.

Riešenie. Označiť , . Zostavme a vypočítajme limitu , potom oblasť konvergencie radu určí nerovnosť a rovnica . Ďalej preskúmame konvergenciu pôvodného radu v bodoch, ktoré sú koreňmi rovnice:

čo ak , , potom dostaneme divergentný rad ;

b) ak , , potom riadok konverguje podmienene (tým

Leibnizov test, príklad 1, prednáška 3, ods. 3.1).

Teda oblasť konvergencie riadok vyzerá takto: .

4.2. Mocninný rad: základné pojmy, Abelova veta

Uvažujme o špeciálnom prípade funkčného radu, tzv mocninný rad , kde
.

Definícia 3. moc ďalej sa nazýva funkčný rad formulára ,

kde − konštantné čísla, tzv sériové koeficienty.

Mocninný rad je "nekonečný polynóm" usporiadaný v rastúcich mocninách . Ľubovoľný číselný rad je
špeciálny prípad mocninového radu pre .

Zvážte špeciálny prípad mocninového radu pre :
. Zistite aký druh
oblasť konvergencie daného radu .

Veta 1 (Abelova veta). 1) Ak mocninový rad konverguje v bode , potom konverguje absolútne pre ľubovoľné X, pre ktoré je nerovnosť .

2) Ak sa mocninný rad rozchádza pri , potom sa rozchádza pre ľubovoľné X, pre ktoré .

Dôkaz. 1) Podľa podmienky mocninový rad konverguje v bode ,

t.j. číselný rad konverguje

(1)

a podľa potrebného kritéria konvergencie má spoločný člen tendenciu k 0, t.j. . Preto existuje číslo že všetci členovia série sú obmedzení na tento počet:
.

Zvážte teraz akékoľvek X, pre ktoré a zostavte sériu absolútnych hodnôt: .
Napíšme túto sériu v inej forme: od , potom (2).

Z nerovnosti
dostaneme t.j. riadok

pozostáva z členov, ktoré sú väčšie ako zodpovedajúce členy radu (2). riadok je konvergentný rad geometrickej progresie s menovateľom , navyše , pretože . Preto rad (2) konverguje pre . Takže mocenské série absolútne konverguje.

2) Nechajte riadok sa rozchádza pri , inými slovami,

číselný rad sa rozchádza . Dokážme to pre každého X () séria sa rozchádza. Dôkazom je protirečenie. Nechajte pre niektorých

opravené ( ) rad konverguje, potom konverguje pre všetky (pozri prvú časť tejto vety), najmä pre , čo je v rozpore s podmienkou 2) vety 1. Veta je dokázaná.

Dôsledok. Abelova veta umožňuje posúdiť polohu bodu konvergencie mocninného radu. Ak bod je bod konvergencie mocninového radu, potom interval vyplnené bodmi konvergencie; ak je bod divergencie bod , potom
nekonečné intervaly vyplnené divergenciami (obr. 1).

Ryža. 1. Intervaly konvergencie a divergencie radu

Dá sa ukázať, že také číslo existuje , to pre všetkých
mocninný rad absolútne konverguje a − rozchádza sa. Budeme predpokladať, že ak rad konverguje iba v jednom bode 0, tak , a ak rad konverguje pre všetkých , potom .

Definícia 4. Interval konvergencie mocninný rad tento interval sa nazýva , to pre všetkých táto séria konverguje absolútne a pre všetkých X ležiace mimo tohto intervalu sa séria rozchádza. číslo R volal polomer konvergencie mocninný rad.

Komentujte. Na konci intervalu otázka konvergencie alebo divergencie mocninového radu sa rieši samostatne pre každý konkrétny rad.

Ukážme si jednu z metód na určenie intervalu a polomeru konvergencie mocninového radu.

Zvážte mocninovú sériu a označujú .

Urobme sériu absolútnych hodnôt jej členov:

a aplikujte naň d'Alembertov test.

Nech to existuje

.

Podľa d'Alembertovho testu rad konverguje, ak , a líši sa, ak . Odtiaľto rad konverguje v , potom v intervale konvergencie: . Na , séria sa rozchádza, pretože .
Použitie notácie , získame vzorec na určenie polomeru konvergencie mocninového radu:

,

kde sú koeficienty mocninového radu.

Ak sa ukáže, že limit , potom predpokladáme .

Na určenie intervalu a polomeru konvergencie mocninového radu možno použiť aj radikálne Cauchyho kritérium, polomer konvergencie radu sa určí zo vzťahu .

Definícia 5. Zovšeobecnené mocninné rady sa nazýva séria

. Ďalej sa nazýva aj podľa stupňov .
Pre takýto rad má konvergenčný interval tvar: , kde − polomer konvergencie.

Ukážme, ako sa zistí polomer konvergencie pre zovšeobecnený mocninný rad.

tie. , kde .

Ak , potom a oblasť konvergencie R; ak , potom a oblasť konvergencie .

Príklad 2. Nájdite oblasť konvergencie radu .

Riešenie. Označiť . Urobme si limit

Riešime nerovnosť: , , teda interval

konvergencia má tvar: , navyše R= 5. Okrem toho študujeme konce konvergenčného intervalu:
a) , , dostaneme sériu , ktorý sa líši;
b) , , dostaneme sériu , ktorá konverguje
podmienečne. Oblasť konvergencie je teda: , .

odpoveď: oblasti konvergencie .

Príklad 3 riadok divergentné pre každého , pretože pri , polomer konvergencie .

Príklad 4 Rad konverguje pre všetky R, polomer konvergencie .

- možno nebude komplex taký komplikovaný;) A názov tohto článku je tiež prefíkaný - série, o ktorých sa dnes bude diskutovať, nie sú skôr zložité, ale "vzácne zeminy". Ani brigádnici však voči nim nie sú imúnni, a preto túto zdanlivo doplnkovú hodinu treba brať s maximálnou vážnosťou. Po prepracovaní si totiž poradíte takmer s každou „šelmou“!

Začnime klasikou tohto žánru:

Príklad 1

Najprv si všimnite, že toto NIE JE mocninový rad (Pripomínam, že má formu). A po druhé, tu je okamžite nápadná hodnota, ktorá samozrejme nemôže vstúpiť do oblasti konvergencie radu. A to je už malý úspech štúdie!

Ale napriek tomu, ako dosiahnuť veľký úspech? Ponáhľam sa vás potešiť - takéto série sa dajú vyriešiť rovnakým spôsobom ako moc– spoliehať sa na d'Alembertov znak alebo Cauchyho radikálny znak!

Riešenie: hodnota nie je v rozsahu konvergencie radu. Toto je podstatná skutočnosť a treba si to uvedomiť!

Základ algoritmu funguje štandardne. Pomocou d'Alembertovho testu nájdeme interval konvergencie radu:

Séria konverguje na . Presuňme modul nahor:

Okamžite skontrolujme „zlý“ bod: hodnota nevstúpila do oblasti konvergencie radu.

Skúmame konvergenciu radu na „vnútorných“ koncoch intervalov:
Ak potom
Ak potom

Obidva číselné rady sa rozchádzajú, pretože nie sú splnené nevyhnutný znak konvergencie.

Odpoveď: región konvergencie:

Urobme si malú analýzu. Dosaďte do funkčného radu nejakú hodnotu zo správneho intervalu, napríklad:
- konverguje ďalej d'Alembertov znak.

V prípade dosadenia hodnôt z ľavého intervalu sa získajú aj konvergentné rady:
Ak potom .

A nakoniec, ak , tak séria - naozaj sa rozchádza.

Pár jednoduchých príkladov na zahriatie:

Príklad 2

Nájdite oblasť konvergencie funkčného radu

Príklad 3

Nájdite oblasť konvergencie funkčného radu

Buďte obzvlášť dobrí s „novým“ modul- dnes sa stretne 100500 krát!

Stručné riešenia a odpovede na konci hodiny.

Použité algoritmy sa zdajú byť univerzálne a bezproblémové, ale v skutočnosti to tak nie je - pre mnohé funkčné série často „skĺznu“ alebo dokonca vedú k chybným záverom. (a zvážim aj takéto príklady).

Drsnosť začína už na úrovni interpretácie výsledkov: zvážte napríklad sériu . Tu, v limite, dostaneme (overte si to sami), a teoreticky je potrebné dať odpoveď, že rad konverguje v jedinom bode. Pointa je však „prehraná“, čo znamená, že náš „pacient“ sa všade rozchádza!

A pre sériu „zrejmé“ riešenie „podľa Cauchyho“ nedáva vôbec nič:
- pre AKÚKOĽVEK hodnotu "x".

A vyvstáva otázka, čo robiť? Používame metódu, ktorej bude venovaná hlavná časť hodiny! Môže byť formulovaný nasledovne:

Priama analýza číselných radov pre rôzne hodnoty

V skutočnosti sme to už začali robiť v príklade 1. Najprv preskúmame niektoré špecifické "x" a zodpovedajúce číselné rady. Žiada si vziať hodnotu:
- výsledný číselný rad sa rozchádza.

A to okamžite naznačuje myšlienku: čo ak sa to isté stane v iných bodoch?
Skontrolujme to nevyhnutné kritérium pre konvergenciu radu pre svojvoľný hodnoty:

Bod uvažovaný vyššie pre všetky ostatné "x" organizujeme štandardnou recepciou druhá úžasná hranica:

Záver: rad sa rozchádza na celom číselnom rade

A toto riešenie je najfunkčnejšia možnosť!

V praxi sa často musí porovnávať funkčná séria zovšeobecnený harmonický rad :

Príklad 4

Riešenie: Po prvé, poďme sa zaoberať doména definície: v tomto prípade musí byť radikálny výraz striktne kladný a okrem toho musia existovať všetci členovia radu, počnúc 1. Z toho vyplýva, že:
. S týmito hodnotami sa získajú podmienene konvergentné rady:
atď.

Iné "x" nie sú vhodné, takže napríklad keď dostaneme nelegálny prípad, keď prví dvaja členovia série neexistujú.

To je všetko dobré, je to jasné, ale je tu ešte jedna dôležitá otázka – ako kompetentne vypracovať rozhodnutie? Navrhujem schému, ktorú možno slangovo označiť ako „prenos šípok“ do číselného radu:

Zvážte svojvoľný význam a skúmať konvergenciu číselného radu . Rutina znak Leibniza:

1) Táto séria sa strieda.

2) – podmienky modula zníženia série. Každý ďalší člen série je v absolútnej hodnote menší ako predchádzajúci: , takže pokles je monotónny.

Záver: rad konverguje podľa Leibnizovho testu. Ako už bolo uvedené, konvergencia je tu podmienená - z dôvodu, že séria - rozchádza sa.

Tak a je to tu - úhľadné a správne! Za „alfu“ sme totiž šikovne schovali všetky platné číselné rady.

Odpoveď: funkčný rad existuje a konverguje podmienene pre .

Podobný príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 5

Preskúmajte konvergenciu funkčného radu

Príklad záverečného zadania na konci hodiny.

Tu je vaša „pracovná hypotéza“! – funkčný rad konverguje na intervale!

2) Všetko je priehľadné so symetrickým intervalom, uvažujeme svojvoľný hodnoty a dostaneme: – absolútne konvergentný číselný rad.

3) A nakoniec „stred“. Aj tu je vhodné rozlišovať dva intervaly.

zvažujeme svojvoľný hodnotu z intervalu a získajte číselný rad:

! Opäť, ak je to ťažké , nahraďte nejaké konkrétne číslo, napríklad . Ale ... chceli ste ťažkosti =)

Pre všetky hodnoty "en" , znamená:
- teda tým znak porovnávania rad konverguje spolu s nekonečne klesajúcou progresiou.

Pre všetky hodnoty "x" z intervalu dostaneme sú absolútne konvergentné rady.

Všetky X boli preskúmané, X už nie sú!

Odpoveď: oblasť konvergencie radu:

Musím povedať, neočakávaný výsledok! A tiež treba dodať, že použitie znakov d'Alemberta či Cauchyho tu určite bude zavádzať!

Priame hodnotenie je „najvyššou akrobaciou“ matematickej analýzy, ale to si, samozrejme, vyžaduje skúsenosti a niekde aj intuíciu.

Alebo možno niekto nájde jednoduchší spôsob? Napíšte! Mimochodom, existujú precedensy - čitatelia niekoľkokrát navrhli racionálnejšie riešenia a ja som ich s radosťou zverejnil.

Veľa šťastia pri pristávaní :)

Príklad 11

Nájdite oblasť konvergencie funkčného radu

Moja verzia riešenia je veľmi blízka.

Ďalšie hardcore nájdete na Časť VI (riadky) zbierka Kuznecova (Problémy 11-13). Na internete sú hotové riešenia, ale tu vás potrebujem varovať- mnohé z nich sú neúplné, nesprávne a dokonca chybné. A mimochodom, toto bol jeden z dôvodov, prečo sa zrodil tento článok.

Zhrňme si tri lekcie a systematizujme naše nástroje. Takže:

Na nájdenie intervalu (intervalov) konvergencie funkčného radu možno použiť:

1) d'Alembertov znak alebo Cauchyho znak. A ak riadok nie je moc– pri analýze výsledku získaného priamou substitúciou rôznych hodnôt prejavujeme zvýšenú opatrnosť.

2) Weierstrassov test rovnomernej konvergencie. Nezabudnime!

3) Porovnanie s typickými číselnými radmi- disky vo všeobecnom prípade.

Potom preskúmať konce nájdených intervalov (V prípade potreby) a získame oblasť konvergencie radu.

Teraz máte k dispozícii pomerne vážny arzenál, ktorý vám umožní zvládnuť takmer akúkoľvek tematickú úlohu.

Prajem vám úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: hodnota nie je v rozsahu konvergencie radu.
Používame d'Alembertov test:


Séria konverguje na:

Intervaly konvergencie funkčného radu teda: .
Skúmame konvergenciu radu v koncových bodoch:
Ak potom ;
Ak potom .
Obidva číselné rady sa rozchádzajú, pretože. nie je splnené potrebné kritérium konvergencie.

Odpoveď : región konvergencie: