Stokastik model, belirsizliğin olduğu durumu tanımlar. Başka bir deyişle, süreç bir dereceye kadar rastgelelik ile karakterize edilir. "Stokastik" sıfatının kendisi Yunanca "tahmin" kelimesinden gelir. Belirsizlik günlük yaşamın temel bir özelliği olduğundan, böyle bir model her şeyi tanımlayabilir.
Ancak her uyguladığımızda sonuç farklı olacaktır. Bu nedenle, deterministik modeller daha sık kullanılır. Gerçek duruma mümkün olduğunca yakın olmasalar da, her zaman aynı sonucu verirler ve durumun anlaşılmasını kolaylaştırırlar, bir takım matematiksel denklemler sunarak basitleştirirler.
Ana Özellikler
Bir stokastik model her zaman bir veya daha fazla rastgele değişken içerir. Gerçek hayatı tüm tezahürleriyle yansıtmaya çalışır. Stokastikten farklı olarak, her şeyi basitleştirmeyi ve bilinen değerlere indirmeyi amaçlamaz. Bu nedenle, belirsizlik onun temel özelliğidir. Stokastik modeller herhangi bir şeyi açıklamak için uygundur, ancak hepsinin aşağıdaki ortak özellikleri vardır:
- Herhangi bir stokastik model, yaratıldığı problemin tüm yönlerini yansıtır.
- Her olayın sonucu belirsizdir. Bu nedenle model olasılıkları içermektedir. Genel sonuçların doğruluğu, hesaplamalarının doğruluğuna bağlıdır.
- Bu olasılıklar, süreçlerin kendilerini tahmin etmek veya tanımlamak için kullanılabilir.
Deterministik ve stokastik modeller
Bazıları için hayat, diğerleri için bir ardışıklık gibi görünüyor - nedenin sonucu belirlediği süreçler. Aslında, belirsizlik ile karakterizedir, ancak her zaman ve her şeyde değil. Bu nedenle, stokastik ve deterministik modeller arasında net farklılıklar bulmak bazen zordur. Olasılıklar oldukça özneldir.
Örneğin, bir yazı tura durumunu düşünün. İlk bakışta, yazı alma şansı %50 gibi görünüyor. Bu nedenle, deterministik bir model kullanılmalıdır. Bununla birlikte, gerçekte, oyuncuların ellerinin maharetine ve madalyonun dengelenmesinin mükemmelliğine bağlı olduğu ortaya çıkıyor. Bu, stokastik bir modelin kullanılması gerektiği anlamına gelir. Her zaman bilmediğimiz parametreler vardır. Gerçek hayatta, neden her zaman sonucu belirler, ancak belirli bir derecede belirsizlik de vardır. Deterministik ve stokastik modelleri kullanma arasındaki seçim, neyi bırakmak istediğimize bağlıdır - analizin basitliği veya gerçekçilik.
kaos teorisinde
Son zamanlarda, hangi modelin stokastik olarak adlandırıldığı kavramı daha da bulanıklaştı. Bu, sözde kaos teorisinin gelişmesinden kaynaklanmaktadır. Başlangıç parametrelerinde küçük bir değişiklikle farklı sonuçlar verebilen deterministik modelleri tanımlar. Bu, belirsizliğin hesaplanmasına bir giriş gibidir. Hatta birçok bilim insanı bunun zaten stokastik bir model olduğunu kabul etti.
Lothar Breuer, şiirsel görüntülerin yardımıyla her şeyi zarif bir şekilde açıkladı. Şöyle yazdı: “Bir dağ deresi, atan bir kalp, çiçek hastalığı salgını, yükselen bir duman sütunu - tüm bunlar, göründüğü gibi, bazen şansla karakterize edilen dinamik bir fenomenin bir örneğidir. Gerçekte, bu tür süreçler her zaman bilim adamlarının ve mühendislerin henüz yeni anlamaya başladıkları belirli bir düzene tabidir. Bu sözde determinist kaostur.” Yeni teori kulağa çok mantıklı geliyor, bu yüzden birçok modern bilim adamı onun destekçisi. Bununla birlikte, hala çok az gelişmiş durumda ve istatistiksel hesaplamalarda uygulanması oldukça zordur. Bu nedenle, stokastik veya deterministik modeller sıklıkla kullanılır.
Bina
Stokastik, temel sonuçların uzayının seçimi ile başlar. Bu nedenle istatistikte, incelenen süreç veya olayın olası sonuçlarının listesini çağırırlar. Araştırmacı daha sonra temel sonuçların her birinin olasılığını belirler. Genellikle bu belirli bir teknik temelinde yapılır.
Bununla birlikte, olasılıklar hala oldukça öznel bir parametredir. Ardından araştırmacı, problemi çözmek için hangi olayların en ilginç olduğunu belirler. Bundan sonra, sadece olasılıklarını belirler.
Örnek
En basit stokastik modeli oluşturma sürecini düşünün. Diyelim ki bir zar atıyoruz. "Altı" veya "bir" düşerse, kazancımız on dolar olacaktır. Bu durumda stokastik bir model oluşturma süreci şöyle görünecektir:
- Temel sonuçların uzayını tanımlayalım. Zarfın altı yüzü vardır, yani bir, iki, üç, dört, beş ve altı gelebilir.
- Zarı ne kadar atarsak atalım, sonuçların her birinin olasılığı 1/6'ya eşit olacaktır.
- Şimdi bizi ilgilendiren sonuçları belirlememiz gerekiyor. Bu, "altı" veya "bir" numaralı bir yüzün kaybıdır.
- Son olarak, ilgilendiğimiz olayın olasılığını belirleyebiliriz. 1/3'tür. Bizi ilgilendiren her iki temel olayın olasılıklarını toplarız: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Konsept ve sonuç
Stokastik simülasyon genellikle kumarda kullanılır. Ancak, durumu deterministik olanlardan daha derinden anlamanıza izin verdiği için ekonomik tahminlerde de vazgeçilmezdir. Ekonomide stokastik modeller genellikle yatırım kararlarının alınmasında kullanılır. Belirli varlıklara veya gruplarına yapılan yatırımların karlılığı hakkında varsayımlarda bulunmanıza izin verir.
Modelleme, finansal planlamayı daha verimli hale getirir. Onun yardımıyla yatırımcılar ve tüccarlar varlıklarının dağılımını optimize eder. Stokastik modellemeyi kullanmanın uzun vadede her zaman avantajları vardır. Bazı endüstrilerde, bunu reddetme veya uygulayamama, işletmenin iflasına bile yol açabilir. Bunun nedeni, gerçek hayatta her gün yeni önemli parametrelerin ortaya çıkması ve ortaya çıkmazsa feci sonuçlara yol açabilmesidir.
Stokastik diferansiyel denklem(SDE) - bir veya daha fazla terimin stokastik nitelikte olduğu, yani stokastik bir süreci temsil ettikleri bir diferansiyel denklem (başka bir isim rastgele bir süreçtir). Böylece denklemin çözümleri de stokastik süreçlere dönüşür. Bir SDE'nin en ünlü ve sık kullanılan örneği, beyaz gürültüyü tanımlayan bir terime sahip bir denklemdir (bir Wiener işleminin bir türevinin bir örneği olarak kabul edilebilir). Ancak, atlama işlemi gibi başka rastgele dalgalanma türleri de vardır.
Hikaye
Literatürde, SDE'nin ilk kullanımı geleneksel olarak Marian Smoluchowski (g.) ve Albert Einstein (g.) tarafından bağımsız olarak yapılan Brownian hareketinin tanımı üzerine çalışma ile ilişkilendirilir. Ancak, SDE'ler Fransız matematikçi Louis Bouchelier tarafından "Varsayımlar Teorisi" adlı doktora tezinde biraz daha erken kullanıldı (d.). Bu çalışmanın fikirlerinden yola çıkarak Fransız fizikçi Paul Langevin, fizik üzerine yaptığı çalışmalarda SDE'yi uygulamaya başladı. Daha sonra, o ve Rus fizikçi Ruslan Stratonovich, SDE için daha katı bir matematiksel gerekçe geliştirdi.
terminoloji
Fizikte, SDE'ler geleneksel olarak Langevin denklemi şeklinde yazılır. Ve genellikle, tam olarak doğru olmayan bir şekilde, SDE başka birçok şekilde yazılabilmesine rağmen, Langevin denkleminin kendisi olarak adlandırılır. Langevin denklemi biçimindeki SDE, sıradan bir stokastik olmayan diferansiyel denklemden ve beyaz gürültüyü tanımlayan ek bir bölümden oluşur. İkinci yaygın biçim, kısmi bir diferansiyel denklem olan ve olasılık yoğunluğunun zaman içindeki gelişimini tanımlayan Fokker-Planck denklemidir. SDE'nin üçüncü biçimi matematik ve finansal matematikte daha yaygın olarak kullanılır, Langevin denklemlerine benzer ancak stokastik diferansiyeller kullanılarak yazılır (aşağıdaki ayrıntılara bakın).
stokastik hesap
İzin vermek T > 0 (\displaystyle T>0), bırak gitsin
μ: Rn × [ 0 , T ] → Rn ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Daha sonra verilen başlangıç koşulları için stokastik diferansiyel denklem
d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t)) için t ∈ [ 0 , T ] ; (\displaystyle t\in ;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)benzersiz ("neredeyse muhtemelen" anlamında) ve t (\görüntüleme stili t)-sürekli çözüm (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), öyle ki X (\görüntüleme stili X)- filtrasyon için uyarlanmış süreç F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z)), oluşturulan Z (\görüntüleme stili Z) ve B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t), ve
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Stokastik denklemlerin uygulanması
Fizik
Fizikte, SDE'ler genellikle Langevin denklemi şeklinde yazılır. Örneğin, birinci dereceden bir SDE sistemi şu şekilde yazılabilir:
x ˙ ben = d x ben d t = f ben (x) + ∑ m = 1 n g ben m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\toplam _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( t))nerede x = ( x ben | 1 ≤ ben ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- bir dizi bilinmeyen, f ben (\displaystyle f_(i)) ve keyfi işlevlerdir ve η m (\displaystyle \eta _(m)) genellikle gürültü terimleri olarak adlandırılan zamanın rastgele işlevleridir. Bu gösterim, daha yüksek türevleri olan bir denklemi yeni bilinmeyenler ekleyerek birinci dereceden denklemler sistemine dönüştürmek için standart bir teknik olduğu için kullanılır. Eğer bir g ben (\displaystyle g_(i)) sabitlerse, sistemin ek gürültüye maruz kaldığını söylüyoruz. Ayrıca çarpımsal gürültüye sahip sistemleri de dikkate alıyoruz. g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). Ele alınan iki durumdan, toplamsal gürültü daha basittir. Toplamsal gürültüye sahip bir sistemin çözümü genellikle yalnızca standart hesap yöntemleri kullanılarak bulunabilir. Özellikle, bilinmeyen işlevlerin oluşturulmasına yönelik olağan yöntem kullanılabilir. Bununla birlikte, çarpımsal gürültü durumunda, Langevin denklemi sıradan matematiksel analiz anlamında zayıf bir şekilde tanımlanmıştır ve Itô hesabı veya Stratonovich hesabı açısından yorumlanmalıdır.
Fizikte, SDE'leri çözmenin ana yöntemi, olasılık yoğunluğu şeklinde bir çözüm bulmak ve orijinal denklemi Fokker-Planck denklemine dönüştürmektir. Fokker-Planck denklemi, stokastik terimleri olmayan kısmi bir diferansiyel denklemdir. Tıpkı Schrödinger denkleminin kuantum mekaniğinde bir sistemin dalga fonksiyonunun zamana bağımlılığını belirlemesi veya difüzyon denkleminin kimyasal konsantrasyonun zaman evrimini belirlemesi gibi, olasılık yoğunluğunun zaman gelişimini belirler. Çözümler, örneğin Monte Carlo yöntemi kullanılarak sayısal olarak da aranabilir. Çözüm bulmak için diğer teknikler yol integralini kullanır, bu teknik istatistiksel fizik ve kuantum mekaniği arasındaki analojiye dayanır (örneğin, Fokker-Planck denklemi, değişkenlerin bazı dönüşümleri kullanılarak Schrödinger denklemine dönüştürülebilir) veya olasılık yoğunluk momentleri için adi diferansiyel denklemler.
Bağlantılar
- Stokastik dünya - stokastik diferansiyel denklemlere basit bir giriş
Edebiyat
- Adomian, George. Stokastik sistemler (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Bilim ve Mühendislikte Matematik (169)).
- Adomian, George. Doğrusal olmayan stokastik operatör denklemleri (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- Adomian, George. Doğrusal olmayan stokastik sistemler teorisi ve fiziğe uygulamaları. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (Matematik ve Uygulamaları (46)). (İngilizce)
Sosyo-ekonomik süreçlerin temel bir özelliği, mevcut a priori bilgilere dayanarak gidişatlarını açık bir şekilde tahmin etmenin imkansızlığıdır. Sosyo-ekonomik süreçlerin belirli nesnel yasalara tabi olmasına rağmen, bu yasalar her özel süreçte birçok belirsizlikle kendini gösterir.
Sürecin matematiksel modeli, deterministik parametreler ve ilişkiler veya stokastik olanlar içerebilir, ancak (en azından mevcut bilim durumunda) belirsizlik içeremez.
Belirli bir sosyo-ekonomik süreci modellemek için deterministik veya stokastik bir yaklaşımın seçimi, modelleme hedeflerine, ilk verilerin belirlenmesinin olası doğruluğuna, sonuçların gerekli doğruluğuna bağlıdır ve araştırmacının nedenin doğası hakkındaki bilgilerini yansıtır. gerçek sürecin -ve-etki ilişkileri. Aynı zamanda, gerçek süreçlerde meydana gelebilecek belirsiz faktörler yaklaşık olarak deterministik veya stokastik olarak temsil edilmelidir. Modele dahil edilen parametrelerin doğası, yalnızca ampirik olarak doğrulanabilen bu ilk varsayımlara atıfta bulunur. Modelin parametrelerinin ve ilişkilerinin deterministik veya stokastik doğası hakkındaki ilgili hipotez, bu parametreleri belirlemenin gerekli veya olası doğruluğu dahilinde deneysel verilerle çelişmiyorsa kabul edilir.
Sosyo-ekonomik süreçlerin çoğu modern modeli, olasılıksal yapılara dayanmaktadır. Bu bağlamda, bu tür yapıların modellemeye uygulanabilirliğine ilişkin ilk varsayımlar konusunun dikkate alınması tavsiye edilir.
Olasılık teorisi, sonucu tamamen açık bir şekilde deneyin koşulları tarafından belirlenmeyen matematiksel deney modellerini (gerçek fenomenler) inceler. Bu nedenle, sosyo-ekonomik süreçlerin belirsizliği, modellemelerine stokastik (olasılıklı) bir yaklaşım seçmede genellikle belirleyicidir. Aynı zamanda, olasılık teorisi aparatının tanımlamak ve incelemek için uygulanabilir olduğu her zaman dikkate alınmaz. herhangi bir deney değil belirsiz sonuçlarla , ancak yalnızca sonuçları istatistiksel olarak kararlı olan deneyler. Bu nedenle, olasılıksal yöntemlerin incelenen sosyo-ekonomik süreçlerin belirli özelliklerine uygulanabilirliğinin ampirik olarak doğrulanmasının en önemli sorusu bazen tamamen gözden uzaktır.
Olasılık teorisi yöntemlerinin belirli süreçlerin incelenmesine uygulanabilirliği, yalnızca bu süreçlerin özelliklerinin istatistiksel kararlılığının analizi temelinde ampirik olarak doğrulanabilir.
İstatistiksel kararlılık, belirli bir işlemin incelenen parametresinin ampirik ortalamasının, bir olayın frekansının veya ölçüm protokolünün diğer herhangi bir özelliğinin kararlılığıdır.
Bununla birlikte, bir bütün olarak gerçek sosyo-ekonomik sürecin istatistiksel istikrarı ve sonuç olarak, olasılık kavramlarının modellemesine uygulanabilirliği sorununun şu anda yalnızca sezgisel bir düzeyde çözülebileceği belirtilmelidir. Bu, nesnel olarak, bir bütün olarak sürece ilişkin yeterli sayıda deneyin olmamasından kaynaklanmaktadır. Aynı zamanda, belirli bir sosyo-ekonomik süreci oluşturan “temel” süreçlerin çoğu rastgele bir yapıya sahiptir (yani, istatistiksel kararlılıklarının hipotezi mevcut deneyimle çelişmez). Bu nedenle, örneğin, belirli bir ürünün belirli bir miktarını belirli bir süre boyunca satın alma gerçeği, çoğu zaman rastgele bir olaydır. Doğan çocuk sayısı rastgeledir. Tüketim süreçleri doğası gereği rastgeledir. Ekipman arızaları, mal ve hizmet üretiminde yer alan kişilerin morali vb. Bu fenomenlerin rastgeleliği, oldukça fazla sayıda deneyle ampirik olarak doğrulanmıştır.
Tüm bu "temel" rastgele süreçler, tek bir sosyo-ekonomik süreçte birleşerek birbirleriyle etkileşime girer. Sosyo-ekonomik alandaki yönetimin şans unsurunu azaltmayı ve bu sürece deterministik amaçlı bir karakter kazandırmayı amaçlamasına rağmen, gerçek süreçler o kadar karmaşıktır ki, yönetimin merkezileşme derecesi ne kadar yüksek olursa olsun, rastgele faktörler her zaman vardır. içlerinde mevcut. Bu nedenle, sosyo-ekonomik süreçlerin doğası geniş anlamda rastgele kalır. Bu, belirli bir sürecin bir bütün olarak tam stokastik kararlılığı tam olarak garanti edilemese de, çalışmalarında stokastik modellerin kullanılması için temel oluşturur.
Şu anda, sosyo-ekonomik süreçlerin stokastik modellemesine yönelik iki ana yaklaşım vardır (Şekil 4.8). İlk yön, istatistiksel testler yöntemine (Monte Carlo) dayanan stokastik modellerin oluşturulması ile bağlantılıdır. İkinci yön, analitik modeller oluşturmaktır. Bu alanların her ikisi de paralel olarak gelişiyor ve birbirini tamamlıyor.
İstatistiksel testler yöntemine dayanan modellerin temel özelliği, temel bileşenlerinin ve ilişkilerinin taklidine dayanarak sosyo-ekonomik süreci yaklaşık olarak yeniden üretmeleridir. Bu, çok sayıda çeşitli faktöre bağlı olarak çok karmaşık bir yapının modelleme süreçlerini mümkün kılar. Bununla birlikte, istatistiksel test modelleri hantal olma eğilimindedir. Kullanımları büyük miktarda bilgisayar belleği gerektirir ve büyük bilgisayar zaman harcamaları ile ilişkilidir. Bu modellerin önemli bir dezavantajı da yapıcı optimizasyon yöntemlerinin olmamasıdır.
Sosyo-ekonomik süreçlerin simülasyon istatistiksel modellerinin bazı eksiklikleri, analitik modellerin kullanılmasıyla giderilir.
Pirinç. 4.8. Sosyo-ekonomik süreçlerin stokastik modellemesi
Şu anda, stokastik süreçlerin analitik modellerini oluşturmak için iki ana yaklaşım kullanılmaktadır - mikroskobik ve makroskopik.
Mikroskobik yaklaşım, sosyo-ekonomik sistemin her bir unsurunun davranışının ayrıntılı bir çalışmasından oluşur.
Makroskopik modeller, sistemin yalnızca makro özelliklerini inceler ve yalnızca sistemin durumunun ortalama özelliklerini, örneğin belirli bir durumda olan sistemin ortalama öğelerinin sayısını dikkate alır. Bu, aynı makro-durumlar farklı mikro-durum kombinasyonlarının sonucu olabileceğinden, sosyo-ekonomik sistemin her bir unsurunun durumu hakkında bilgi kaybına yol açar. Aynı zamanda, makroskopik yaklaşım, matematiksel modelin boyutunu küçültmeyi, daha görünür hale getirmeyi ve hesaplamalar sırasında bilgisayar kaynaklarının maliyetini düşürmeyi mümkün kılar. Sistemin davranışı hakkında daha ayrıntılı bilgi gerektiğinde mikroskobik yaklaşım tercih edilir. Makroskopik yaklaşım, oldukça hızlı tahmin hesaplamaları için kullanılır.
Deterministik modelin ayırt edici bir özelliği, parametreler ve başlangıç koşulları verildiğinde, sürecin herhangi bir t > 0 zamanı için tamamen belirlenmiş olmasıdır.
Model, stokastik bir yorumla, sürecin olasılık özelliklerinin (örneğin, matematiksel beklentiler) dinamiklerini tanımlar ve bu nedenle, her bir özel uygulama için yalnızca tahminler sunarak süreci ortalama olarak karakterize eder. Sosyo-ekonomik süreçlerin stokastik modelleri, yalnızca ortalama sonuçları (sürecin sonuçlarının dağılımının anları) veya belirli sonuçların olasılığını tahmin etmeyi mümkün kılar.
Teknolojik işlem ve süreçlerin modelleri oluşturulurken, modellenen olgunun deterministik işlevsel ilişkiler biçiminde tanımlanamadığı durumlarla uğraşmak gerekir. Bunun nedeni, hem çeşitli rastgele bozulmaların güçlü etkisi hem de fenomenin kendisinin temelde rastgele doğası olabilir, yani, bizi ilgilendiren fenomen, müdahale ile bozulmaz, ancak çeşitli rastgele faktörlerin birleşik etkisinden kaynaklanır.
En tipik rastlantısal olay, normal çalışma sırasında ekipman ve otomasyon elemanlarının arızalanmasıdır.
tasyonlar. Bir yandan deneyimler gösteriyor ki er ya da geç,
Çoğu parça veya elektronik bileşen az çok yoğun bir şekilde arızalanır ve diğer yandan arızanın ne zaman meydana geleceğini tam olarak tahmin etmek kesinlikle imkansızdır.
Açıkçası, yalnızca belirli bir zaman aralığında meydana gelen bir veya daha fazla arıza olasılığı hakkında konuşabiliriz veya
o çalışma süresinin (arıza sayısı sıfır) olmadığını
belirli bir değeri aşıyor.
Sorunun benzer bir formülasyonu parametrenin ölçüm hataları için de geçerlidir. Bir dizi rastgele nedeniyle
faktörler, hatanın ne zaman olacağını tahmin etmek imkansızdır.
belirli bir ölçüm, ancak bir değerden daha büyük olamayacağı ve sonlu bir ölçüm kümesi üzerinde ortalama bir hata kavramı olduğu açık olmasına rağmen. Rastgele, boşlukların ve hatta bitmiş parçaların parametrelerinin normatif olanlardan sapması ile de temsil edilebilir. Aynı zamanda iyi ürünler için bu sapmalar toleranslar içindedir, kusurlu ürünler için toleransı aşmaktadır.
Ele alınan durumlarda, özellikle çeşitli rastgele faktörler etkileşime girdiğinde ve karşılıklı olarak etkilediğinde, ilgilendiğimiz parametrenin davranışı ve değeri, onu belirleyen faktörlerin ortalama değerlerinin etkileşiminin bir fonksiyonu olarak temsil edilemez. Sürecin tekrarlanan uygulamalarında rastgele faktörlerin etkileşimi sonucunda rastgele bir değişken şeklinde nihai sonuç elde edilmelidir. Sadece elde edilen sonuçların istatistiksel olarak işlenmesinden sonra, ortalama değer ve yayılımın bir tahmininden söz edilebilir. Belirleyici olanın aksine böyle bir süreç modeline stokastik (rastgele) denir.
Stokastik modeller aynı zamanda bu sürecin doğasında olan nesnel kalıpları da yansıtır, ancak bunların temsili
deterministik fonksiyonların formu ya imkansızdır ya da pratik değildir
mecazi olarak bu aşamada. Temsilleri için, rastgele fenomenler ve süreçler, olasılık yasalarına uyan rastgele değişkenlerle karakterize edildiğinde, rastgele fonksiyonlar aparatı kullanılır.
Rastgele fenomenleri ve süreçleri modellemenin istatistiksel olarak kararlı (güvenilir) sonuçları, yalnızca yeterince fazla sayıda gerçekleştirme (deney) için elde edilebilir ve bir rastgele değişkenin değerlerinin yayılması ne kadar büyük olursa, gerçekleşme sayısı o kadar fazla olur. Gerçekte, bu tür modelleme ancak yüksek hızlı bilgisayarların kullanılmasıyla mümkündür.
Bu amaçla, bilgisayar şunları yapabilmelidir:
Verilen dağıtım kanunu ve parametreleriyle bir rasgele sayı dizisi oluşturun (matematik-
tik beklentisi, varyans vb.);
Belirli bir durumda belirli bir yasaya uyan rastgele bir olayın olasılığını hesaplayın.
Zaman aralığı;
Rastgele bir olayın meydana geldiği gerçeğini yeniden üretin, vb.
Tüm bu durumlarda, rastgele bir değişkenin veya olayın dağılım yasasını ve parametrelerini bilmek gerekir. Gerekli
bunun için, böyle bir olgunun uygulanmasına ilişkin tam ölçekli bir deney yapılarak veriler elde edilir. Böyle bir deneyin istatistiksel olarak işlenmesi, yalnızca rastgele bir olgunun istatistiksel modellerini tanımlamaya değil, aynı zamanda deneyin kapsamına (uygulama sayısı) bağlı olarak sonuçların güvenilirliğini değerlendirmeye de izin verir.
Deneysel veri işlemenin ilk aşaması, bir varyasyon serisinin ve bir histogramın oluşturulmasıdır. Bunu yapmak için, ayrı bir rastgele değişkenin bir dizi değeri sabitlenir. X(örneğin, vardiya başına kusurlu parça sayısı) P değiştirmek Değer kümesine örnek veya istatistiksel seri denir.
Farklı ölçülen değerleri artan sırada düzenleyerek bir varyasyon serisi elde ederiz. Ardından, varyasyon serisinden her bir değerin bulunduğu bir frekans tablosu derleriz. xi, gözlemlenen fenomenin deneysel frekansı karşılık gelir:
Vardiya sayısı xi, kusurlu parçalar;
Gözlemler yapıldığında toplam vardiya sayısı.
Rastgele değişken sürekli ise (ölçüm hatası), deneysel değerleri aralıklar olarak sunulur.
aralıkları gösteren sıklık tablosu
ci− ci+1 değerleri
rasgele değişken ve ayrıca ayrık bir değişkene gelince, genellikle
o aralıkta ona vuruyorsun
- çıkmayan rastgele değişken değerlerinin sayısı
limitlerin ötesinde i-inci aralık;
miktarları.
Rastgele sabit değerlerin toplam sayısı
Aralık tablosuna göre, tabanı aralığa eşit olan yatay eksende yer alan bir dizi konjuge dikdörtgenden oluşan bir histogram oluşturulur.
ci− ci+1
rastgele bir değişkenin değerleri ve alan eşittir
Bir frekans tablosunun veya bir histogramın verilerine göre grafikler oluşturarak, biçimleriyle, deneysel verilerin bir veya başka bir yasaya uygunluğu hakkında bir hipotez önermek mümkündür. Bundan sonra, deneysel veriler ile önerilen yasa arasındaki uyum derecesi kontrol edilir. Doğrulama, çeşitli uygunluk kriterleri kullanılarak gerçekleştirilir. En yaygın olanı Pearson'ın χ2 (ki-kare) testidir.
Şimdiye kadar, deterministik ağ topolojisine sahip modelleri inceledik. Karmaşık bir projeyi modellerken, stokastik bir yapıya sahip ağ modelleri genellikle en esnek ve kullanışlıdır. Bir stokastik ağ, alternatif düğümler (durumlar) içeren bir ağ olarak tanımlanırken, yaylar (işler) yalnızca sürenin olasılık dağılımı ile değil, aynı zamanda yürütme olasılıkları ile de karakterize edilir.
Birçok olası sonucu olan stokastik ağ modeli, geleneksel ağların daha da geliştirilmesi olarak, karmaşık bir proje geliştirme ve yaratma sürecini daha eksiksiz yansıtmayı mümkün kılar. Stokastik ağ modellerinin analizi için kullanılan matematiksel aparat, çeşitli alternatif sonuçların olasılıklarını hesaplamayı ve olası gerçekleşme zamanlarını tahmin etmeyi mümkün kılar.
Stokastik ağ modeli, G=(W,A) sonlu bir grafiktir; burada W, olaylarla tanımlanan deterministik ve alternatif köşeler kümesidir ve teknolojik matris A=(p ij ) işlerle tanımlanan yönlendirilmiş yaylar kümesini tanımlar ( veya bağlantılar). Stokastik ağlar için 0 £ p ij £ 1 ve p ij =1, işi (i,j) geleneksel ağlarda kabul edilen tanımlara benzer şekilde tanımlar ve
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
j(t ij), (i,j) işinin yürütme süresinin dağılım yoğunluğu olsun. M[x], bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisidir.
Rastgele değişken t ij'nin momentlerinin koşullu üretici fonksiyonu, М ij(s)=М[е st ij ], yani.
M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (sürekli rastgele değişken için),
е st ij j(t ij) (ayrık bir rastgele değişken için).
Özellikle, М ij(s)=М[е sа ] = e sа at t ij =а=const, М ij (0)=1.
Her yay (i,j) için Y fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
Y ij (s) = p ij М ij (s).
Orijinal ağ, üç temel dönüşüm kullanılarak eşdeğer ağa dönüştürülür:
ardışık yaylar,
paralel yaylar
Ardışık yaylar için (Şekil 7)
Y ik(s) = Y ij(s) Yjk(s).
Paralel yaylar için (Şekil 8)
Y ij(s) = Y bir(s) + Yb(s).
Görünüm döngüleri için (Şekil 9)
Y ij(s) = Yb(s)/.
Temel dönüşümleri birleştirerek, herhangi bir ağ, tek bir yaydan (E-ark) oluşan eşdeğer bir ağa dönüştürülebilir.
Stokastik bir ağın zaman analizinin amacı, ağın (veya herhangi bir parçasının) yürütme süresinin matematiksel beklentisini ve varyansını ve ağın sonunu (veya başka herhangi bir olayı) yürütme olasılığını hesaplamaktır.
Burada, yukarıda tanıtılan Y fonksiyonunun ilgili ark iletimi olarak yorumlandığı kapalı akış grafikleri teorisi kullanılır. Bu teorinin sonuçlarını istenen Y E(s) parametresi ile açık bir ağa uygulamak için, son olayı (sink) ilk olayla (kaynak) birleştiren Y A(s) parametresine sahip ek bir yay tanıtılır.
Daha sonra kapalı grafikler için Mason kuralı olarak bilinen topolojik denklem aşağıdaki biçimde kullanılır:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
burada åT(L m), m. dereceden tüm olası döngüler için eşdeğer aktarımların toplamıdır.
m. dereceden döngü için eşdeğer geçirgenlik, m geçirgenliklerinin çarpımına eşittir. alakasız birinci dereceden döngüler, yani.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
1–Y A (s)Y E (s)=0 veya Y A (s)=1/Y E (s) olduğu doğrudan Mason'un kuralından çıkar. Bu sonucu kullanarak, topolojik denklemde (10) Y A(s) 1/Y E(s) ile değiştirilir ve daha sonra Y E(s)'ye göre çözülür, böylece orijinal stokastik ağ için eşdeğer bir Y fonksiyonu elde edilir.
Y E (s) \u003d p E M E (s) ve M E (0) \u003d 1 olduğundan, o zaman p E \u003d Y E (0), yani
M E (s)= Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (on bir)
M E(s) için analitik bir ifade elde ettikten sonra, s=0 noktasında ME(s) fonksiyonunun s'ye göre birinci ve ikinci kısmi türevlerini hesaplayın, yani.
m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)
Orijine göre ilk m 1E momenti, ağ yürütme süresinin matematiksel beklentisidir (eşdeğeri E-yayına dönüştürülmüştür) ve ağ yürütme süresinin varyansı, ikinci m 2E momenti ile kare arasındaki farka eşittir. ilkinden, yani
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (on dört)
Böylece, yukarıda açıklanan aparat, kullanıcıyı ilgilendiren bir stokastik ağın herhangi bir olayının zaman parametrelerinin hesaplanmasını ve bunların meydana gelme olasılığının belirlenmesini mümkün kılar.
Chebyshev eşitsizliği kullanılarak elde edilen bilgileri kullanarak, bireysel işlemlerin yürütülmesi için keyfi dağıtım yasaları için projenin tamamlanması için herhangi bir güven aralığının olasılığını tahmin etmek mümkündür. Her işlemin yürütme süresi normal olarak dağıtılırsa, elde edilen süre de normal olarak dağıtılır. Bu durumda, Moivre-Laplace integral teoremini kullanarak proje yürütme süresinin olasılıksal tahminlerini elde etmek mümkündür. Ek olarak, ağdaki yeterince fazla sayıda iş ve belirli koşulların (özellikle işlerin bağımsızlığı) yerine getirilmesiyle, Lyapunov limit teoremini kullanabilir ve sonuçta ortaya çıkan proje yürütme süresini normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişken olarak kabul edebiliriz. yukarıda açıklanan yöntemle hesaplanan özellikler.
Bu nedenle, stokastik ağ modeli, her bir bireysel işin yürütülmesi sırasında doğrudan ortaya çıkan tüm rastgele sapmaları ve belirsizliği içerir.
3.4. Proje yönetiminde planlama görevinin genel ifadesinin resmileştirilmesi ve evrensel ağ modelinin tanımı ve buna dayalı olarak çözülen zamansal analiz görevleri
Yukarıdaki modellerin analizi ve sentezi sonucunda evrensel bir matematiksel model önerilmiş olup, bunun özel durumları klasik, genelleştirilmiş ve stokastik ağ modelleridir.
Bu model (adlı döngüsel stokastik ağ modeli - CSSM) karmaşık bir projenin gelişimini yönetme sürecini tanımlamak için daha esnek ve yeterli bir araçtır.
CSSM, A=(p ij ) komşuluk matrisi tarafından belirlenen W olaylarından ve yaylardan (i,j)(olaylar i, jOW) oluşan sonlu, yönelimli, döngüsel bir G(W,A) grafiğidir. 0Ј p ij Ј1 ve p ij =1 deterministik bir yayı (i,j) tanımlar ve 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
T i ile i-inci olayın tamamlanma zamanını belirtin, ardından ark (i, j) ile bağlantılı olayların tamamlanma zamanlaması arasındaki oran eşitsizlik tarafından verilir:
Т j – Т i y ij , (15)
burada y ij genellikle –Ґ ila 0 veya 0 ila +Ґ aralığında bazı yasalara göre dağıtılan bir rastgele değişkendir.
Ek olarak, i olayının uygulanması sırasında mutlak kısıtlamalar mümkündür:
l ben Ј Т i ЈL ben . (16)
(15)-(16) ilişkileri, y ij parametresinin ve A komşuluk matrisinin belirleyici olduğu genelleştirilmiş ağ modellerinin tanımındaki karşılık gelen eşitsizliklerin bir genellemesidir.
y ij parametresinin olasılıksal doğasıyla (15) ilişkinin anlamsal yükünü göz önünde bulundurun.
(i,j) bir yay işiyse (veya bunun bir parçasıysa), pozitif olarak dağıtılmış bir rastgele değişken y ij bu işin minimum süresinin dağılımını belirtir (tanımlayıcı kaynakla maksimum doygunluğu ile ilişkili). Makale, y ij değerinin dağılımının tek modlu ve asimetrik olduğunu ve beta dağılımının bu gereksinimleri karşıladığını göstermektedir, dolayısıyla, minimum çalışma süresi yoğunlukla [a, b] segmenti üzerinde beta dağılım yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişken y ij =t min (i,j)
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
burada C koşuldan belirlenir
Ark çalışmasına (i,j) karşılık gelen (15'teki rastgele değişken y ij) –Ґ ila 0 aralığında dağıtılırsa, o zaman –y ij =t max (j,i) dağılımını ayarlar (i, j) işinin, tanımlayıcı kaynağa minimum düzeyde doymuş olsa bile başlatılması ve bitirilmesi gereken maksimum zaman aralığının uzunluğu. Bu miktar için benzer bir biçimde dağılımını elde ettik (17). Her bir iş (i, j) için rastgele değişken y ij'nin dağılımı bilinerek, uygun formüller kullanılarak matematiksel beklentisi ve varyansı hesaplanır.
Yay işleri için (i,j) (15)'e negatif dağıtılmış y ij değerlerinin eklenmesi, işlerin zamansal özelliklerini tanımlama olasılıklarını önemli ölçüde genişleterek, yaygın olarak kullanılan olasılık modelini özel durumlardan yalnızca biri haline getirir.
Yay bağlantıları (i,j) için, y ij değeri, i ve j olayları arasındaki zaman bağımlılığının dağılımını belirtir ve pozitif olarak dağıtılan y ij değeri, "daha erken değil" tipinin ilişkisini belirler (j olayı daha önce gerçekleşemez). i olayının tamamlanmasından sonraki y ij gün) ve negatif dağıtılmış y ij değeri, "en geç" türündeki ilişkiyi belirler (i olayı, j olayından en geç –y ij gün sonra meydana gelebilir). İkinci durumda, bu tür bağlantılara "ters" denir.
Böylece, olası olasılık doğasını hesaba katarak bu bağlantıların bir genellemesini elde ettik.
T i olaylarının tamamlanma zamanlaması, teknolojik olarak onlardan önce gelen işlerin sürelerinin toplamı ile belirlendiğinden, merkezi limit teoremine göre yeterince fazla sayıda bu tür çalışma ile, rastgele değişken Т'nin dağılımı i, beklenti МТ i ve dispersiyon DТ i parametreleriyle normal olma eğilimindedir. Normal dağılım aynı zamanda istatistiksel analizle de doğrulanan "ters" yaylara karşılık gelen y ij parametresine sahiptir.
(16) tarafından verilen olayların zamanlamasına ilişkin mutlak kısıtlamalar, "mutlak" (gerçek veya koşullu) zaman ölçeğinde verilen işin veya iş bölümlerinin performansının zamanlamasına ilişkin ilgili direktif, organizasyonel ve teknolojik kısıtlamaları yansıtır. Mutlak kısıtlamalar ayrıca "daha önce değil" veya "daha sonra değil" türüyle karakterize edilir ve şu şekildedir: T i - T 0 і l ben , T 0 - T i і -L i . Bu nedenle, (16) formunun mutlak kısıtlamaları, belirli yay bağlantıları için (15) formunun kısıtlamalarının özel bir durumudur.
Genelleştirilmiş bağlantılarla birlikte stokastik bir komşuluk matrisi A'nın tanıtılması, karmaşık bir proje oluşturma sürecini tanımlamak için ek fırsatlar sağlar.
L(i,j), i ve j olaylarını birbirine bağlayan bir yol olsun:
L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (on sekiz)
Bu yol belirleyici, eğer pi k-1 ben k =1 tüm kО için geçerliyse ve stokastik, aksi halde. Bu nedenle, stokastik yol, "yürütme" olasılığı kesinlikle 1'den küçük olan en az bir yay içerir.
Benzer şekilde tanımlanmış deterministik ve stokastik devreК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (bu tür olaylara "kontur" denir).
Eğer i ve j olayları bir L(i,j yolu ile) bağlıysa, o zaman i olayının P(j/i) olması şartıyla j olayının gerçekleşme olasılığı komşuluk matrisi A'nın katsayılarının çarpımıdır. bağlantı yolunun yaylarına karşılık gelen:
P(j/i)=X v k=1 p ben k-1 ben k . (19)
i ve j olayları birkaç şekilde bağlantılıysa, bu ağ parçasının eşdeğer GERT dönüşümü, çalışmada verilen formüllere göre gerçekleştirilir, dönüştürülen parçanın Y ij(s) üretme fonksiyonu hesaplanır ve olasılık j olayının, i olayının meydana gelmesi koşuluyla P (j/i)= Y ij (0).
Y ij(s)/ Y ij (0) fonksiyonunun s=0 noktasında s'ye göre birinci türevi (ilk moment m 1 (j/i)) j olayının zamanı, i olayının zamanına göre. Y ij (s)/ Y ij (0) fonksiyonunun s=0 noktasında s'ye göre ikinci türevi (ikinci moment m 2 (j/i)) bize, zamanın varyansını hesaplamamızı sağlar. j olayı, i olayının zamanına göre formüle göre
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (yirmi)
L(i,j) yolunun uzunluğu rastgele bir değişkendir, matematiksel beklentisi ML(i,j) bu yolu oluşturan tüm yayların uzunluklarının matematiksel beklentilerinin toplamıdır ve varyans DL (i,j) varyansların toplamına eşittir.
Bu koşullar altında yolun uzunluğu (kontur) olumsuz aşağıdaki gibi yorumlanan değerler:
eğer L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться Daha sonra değil i olayının meydana gelmesinden sonraki -y ji günlerinden daha fazla. y ji parametresi, olaylar arasındaki mantıksal-zamansal ilişkileri daha esnek bir şekilde (döngüsel ağ modelleriyle ilgili olarak) tanımlamayı mümkün kılan olasılıksal bir yapıya sahiptir.
Bir yay parametresi y ij olarak, herhangi bir yolun yayları boyunca toplamsallığı olan herhangi bir karakteristik parametre de düşünülebilir (örneğin, işin maliyeti), eşdeğer GERT dönüşümünü kullanırken, maliyetin matematiksel beklentisini ve varyansını elde ederiz. bir ağ parçasının veya bir bütün olarak bir projenin.
CSSM'nin zamansal analizinin görevleri (ve bunların çözümü için algoritmalar) klasik, genelleştirilmiş veya stokastik ağ modellerinin zamansal analizinin yanı sıra, tüm planlama ve proje yönetimi sorunlarının çözümünün temelini oluşturur. Kaynak kısıtlamalarını hesaba katmadan proje yönetimi problemlerini çözmede bağımsız bir öneme sahiptirler.
Daha sonraki karşılaştırma, plan seçeneklerinin kalitesinin değerlendirilmesi ve daha fazla iyileştirilmesi için yön seçimi amacıyla kaynak kullanılabilirliği vektörünün belirli değerleri için farklı plan seçenekleri oluşturmak için zamansal analiz görevleri de gereklidir.
Proje yönetiminde optimal iş planlaması problemlerini çözerken, teknolojik kısıtlamaların yerine getirilmesini sağlamak için ilgili optimizasyon algoritmalarında kullanılan gerekli parametreleri hesaplamak için bir araç olarak CSSM zaman analizi algoritmaları kullanılır.
CSSM'nin zamansal analizinin görevi, rastgele bir vektör T=(T 0 ,T 1 ,…,T n) bulmaya indirgenir, burada Ti, koordinatları eşitsizlikleri karşılayan i-inci olayın zamanıdır ( 15),(16) ve bazı amaç fonksiyonu f(T)'yi ekstremuma dönüştürün.
Vurgulanan üç sınıf zamansal analiz problemi:
· klasik, tüm yayların sürelerinin matematiksel beklentilerinin hesaplanmasında (T i ) kullanılır;
· olasılıksal Lyapunov limit teoremi veya diğer analitik araçlar temelinde, amaç fonksiyonunun f(T) argümanları olan i-inci olayların - (MT i ) tamamlanma zamanlamasının matematiksel beklentileri hesaplanır. ;
· istatistiksel, belirli bir güvenilirlik seviyesi için, makalede açıklanan yönteme göre, ampirik dağılımların p-kantil tahminlerinin hem i-inci olayların zamanlaması - (W p (T i)) hem de bunların zamanlaması için belirlenir. f(W p (T)) amaç fonksiyonunun değerleri dahil türevler, burada W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)) .
CSSM tutarlılığı kavramı tanıtıldı.
Döngüsel stokastik ağ modeli denir tutarlı eşitsizlikler sistemini (15),(16) karşılayan karşılık gelen zamansal analiz problemleri sınıfı (klasik, olasılıksal veya istatistiksel) için hesaplanmış en az bir kabul edilebilir plan varsa.
Şimdi bu üç kavramı inceleyelim.
Klasik model tutarlılığı.
Tüm yayların sürelerinin matematiksel beklentileri hesaplanır ve ardından sabit yay uzunluklarına sahip bir ağ oluşturulur. Söz konusu modelin stokastik doğası ve genelleştirilmiş bağlantıların varlığı dikkate alındığında, yukarıdaki hesaplamalardan sonra BBSM'de stokastik ve deterministik konturlar yer alabilir. Aşağıdaki teorem kanıtlanmıştır:
Teorem 1 . Yayların sürelerinin klasik şemaya göre hesaplandığı döngüsel stokastik modelin verilen bir olasılık a ile tutarlı olması için, tüm deterministik konturların uzunluklarının pozitif olmaması gerekli ve yeterlidir.
Olasılık Modeli Tutarlılığı.
MT i'nin matematiksel beklentisi ve olayların zamanlamasının dağılımı s 2 T i analitik olarak hesaplanır. Bu şekilde hesaplanan parametreler, klasik yöntemle hesaplananlardan (yay sürelerinin matematiksel beklentilerine göre) büyüklük olarak %15-20 farklılık gösterir.
Hadi hakkında konuşalım ortalamada modelin olasılık tutarlılığı, bu şekilde elde edilen küme (15)-(16) eşitsizliklerini karşılıyorsa, burada matematiksel beklentisi y ij'nin değeri olarak alınır. Aşağıdaki teoremin geçerliliği kanıtlanmıştır:
Teorem 2 . Döngüsel bir stokastik modelin ortalamada olasılıksal olarak tutarlı olması için, tüm deterministik kontur uzunluklarının matematiksel beklentilerinin pozitif olmaması gerekli ve yeterlidir.
Т i'nin parametrelerle normal bir dağılıma sahip olduğunu varsayarak: matematiksel beklenti - МТ i ve varyans - s 2 Т i , daha geniş bir e- kavramı sunuyoruz. olasılıksal model tutarlılığı.
Tüm Ti için eşitsizliği sağlayacak şekilde e > 0 varsa, CSSM'nin e-olasılıksal olarak tutarlı olduğunu söyleyeceğiz.
|T ben –MT ben |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
Teorem 3 . Döngüsel alternatif modelin e-olasılıksal olarak tutarlı olması için, tüm deterministik kontur uzunluklarının matematiksel beklentilerinin ML(K(i)) Ј –4e ilişkisini sağlaması gerekli ve yeterlidir.
Modelin olasılık tutarlılığı, ortalama olarak, e=0'da e-olasılık tutarlılığının özel bir durumudur.
Modelin istatistiksel tutarlılığı.
Ağ modelinin parametrelerini hesaplamanın istatistiksel yöntemiyle, karşılık gelen göstergelerin olasılıksal analogları olan p-kantil değer tahminleriyle ilgileniyoruz. Döngüsel stokastik model olduğu söylenir. olasılık p ile istatistiksel olarak tutarlı, her i olayı için, eşitsizlikleri karşılayan, W p (T i i) olaylarının tamamlanma zamanlamasının p-nicelik tahminleri varsa:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l ben JW p (Т i)JL i . (22)
Burada (21)-(22) ilişkileri (15)-(16)'nın olasılıksal analoglarıdır, W p (y ij) yay uzunluğunun (i,j) p-kantil tahminidir. Aşağıdakiler kanıtlanmıştır:
teorem 4 . Döngüsel alternatif modelin istatistiksel olarak p olasılığı ile tutarlı olması için, tüm deterministik konturların uzunluklarının p-kantil tahminlerinin W p (L(K(i))) Ј 0 ilişkisini sağlaması gerekli ve yeterlidir.
CSSM'nin zaman parametrelerini hesaplamak için algoritmalar.
Erken ve geç planlar.
Olayların tamamlanması için erken ve geç tarihleri hesaplamak için değiştirilmiş bir "Pendulum" algoritması önerilmiştir. Modifikasyon fikri, olasılıklı ağlar için kullanılan parametreleri hesaplamak için istatistiksel yöntemi ve genelleştirilmiş ağlarda kullanılan "Pendulum" algoritmasını sentezlemek ve ardından bunu CSSM'ye uygulamaktır.
 |
|||
 |
|||
 |
Şekil 10. Hesaplama için algoritmanın şematik blok diyagramı
p-kantil tahminleri erken tarihler olayların başarılması
Blok 1. Başlangıç verilerinin girişi (matris A katsayıları, dağılım parametreleri y ij , güven düzeyi p).
2. blok. Sonuçların belirtilen doğruluğunu sağlamak için gerekli sayıda "çizme" N'nin hesaplanması. Yapılan hesaplamalar p=0.95, e=0.05'te N»270 elde ettiğimizi gösterdi.
Blok 3. v:=v+1 (v, "beraberlik" sayısıdır).
Blok 4. Rastgele değişkenlerin y ij 'nin her biri kendi dağılım yasasına uygun olarak v'inci varyantının çizilmesi, y ij (v) sabitlerinin elde edilmesi - v'inci çizimde yayın (i, j) uzunluğu.
Blok 5. Bitişik köşe j'ye geçişin her alternatif i köşesi için çizin (komşuluk matrisi A, 0'ın i-inci satırı ile temsil edilen ayrı bir rastgele değişken pij oynanır)< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lemma 1 belirli bir güven düzeyinde p aynı stokastik kontur, k'nin karşılık gelen formülle tahmin edildiği k kereden fazla oluşturulamaz. Konturun k-kat uzunluğunu (k + 1). adımda “oynattığımız” yayın uzunluğuna ekliyoruz ve (varsa) başka bir stokastik kontürün analizine geçiyoruz. Bu durumda, ağda çelişkiler görünebilir (pozitif deterministik konturlar), daha sonra çalışmada verilen formüllere göre, konturun d-kat uzunluğunu ekliyoruz, böylece “ tamamlanması için ortalama süreyi tahmin ediyoruz. konturdan çıktı” olayı.
Blok 6. Ortaya çıkan deterministik genelleştirilmiş ağ G(v), G1(v) ve G2(v) olmak üzere iki ağa bölünür, böylece ne G1(v) ne de G2(v) konturlar içermez. G 1 (v) ağındaki köşeler sıralara göre sıralanır ve bunlara göre “doğru” numaralandırmayı belirleriz. Bu numaralandırmayı G 2 (v) ağına ve orijinal G (v) a aktarıyoruz.
Blok 7. G 1 (v) ağının tüm i köşeleri için erken tamamlanma tarihlerini hesaplıyoruz
Ti 0(v) :=maks j (T i 0(v) , T j 0(v) + y ij (v) ).
blok 8. G 2 (v) ağının köşeleri için blok 7'ye benzer prosedürler uyguluyoruz.
Blok 9. 7. ve 8. blokların sonuçları en az bir göstergede eşleşmiyorsa, o zaman blok 7'ye döneriz (G 2 (v)'deki ters yay sayısından daha fazla böyle bir dönüş yoktur), aksi takdirde blok 10.
Blok 10. Çekiliş numarası vJN ise 4. bloka, aksi halde 11. bloka gidin.
Blok 11. Her i köşesi için elde edilen (T i 0(v) ) kümesinden bir varyasyon serisi oluştururuz. Böyle bir Т i 0(x) değerini sabitliyoruz ki N x /N=р, burada N x, varyasyon serisinin Т i 0(x)'den küçük üye sayısıdır. Т i 0(x) değeri, i-inci olayın erken döneminin gerekli p-niceliğidir – W p (Т i 0). Benzer şekilde, (y ij (v) ) varyasyon serisini kullanarak yay uzunluklarının p-nicelik tahminlerini oluştururuz – W p (y ij).
Blok 6'nın girişi, genelleştirilmiş ağ modeli G (v)'nin v-th versiyonunu alır ve aslında, blok 6 - 9, olayların erken zamanlamasını hesaplamak için "Pendulum" algoritmasının büyütülmüş bir blok diyagramıdır. OSM. Hesaplamak için uygun bir algoritma uygulamak geç tarihler 7 ve 8 bloklarındaki olayların tamamlanması, T i 1(v) - genelleştirilmiş ağ modelinin v-th versiyonu için olayların tamamlanması için geç tarihler elde ederiz, blok 11 ise bize W p (T i 1) verir - p-kantil tahminleri geç tarihler olayların tamamlanması.
Minimum süre planları.
G (v) ağının v-th versiyonunun T (v) =(T i (v)) ) herhangi bir uygulanabilir planının süresi L(T (v)) aşağıdaki formülle belirlenir:
L(Т (v))=maks ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
Şekil 2'deki blok şemada değiştirme. Fonksiyonun (23) minimumunu bulma bloğunda 10 blok 6 - 9, G (v) ağı (veya "sıkıştırılmış" plan) için minimum sürenin planını alıyoruz. Değer
L(T* (v))=min maks ij |T i (v) – T j (v) | (24)
G(v) ağının kritik zamanıdır.
Blok 6-9'da OCM için sıkıştırılmış bir plan bulma ve elde edilen planları blok 11'den geçirme yöntemini kullanarak, sıkıştırılmış planların olasılıksal p-kantil tahminlerini elde ederiz.
İş için ayrılan zaman (i, j), aşağıdaki formüllerle hesaplanan p-kantil karşılıklarına karşılık gelir:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T ben 0) - W p (y ij) için tam rezerv, (25)
R ile p (i, j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) için ücretsiz rezerv. (26)
Karşılık gelen formüllere göre, p-kantilleri hesaplanır gerilim katsayıları W p (k n (i, j)) çalışır, ardından p-kuantili kritik bölge, p-kantil yedek bölge ve p-kantil ara bölge.
Arkın bir parametresi olarak, işlemin (işin) yürütme süresini düşündük. Herhangi bir yolun yayları boyunca toplamsallığı olan herhangi bir karakteristik parametre de düşünülebilir. Bu, işin maliyeti, gerekli birikmiş kaynağın miktarı vb. olabilir.
Şimdiye kadar yalnızca deterministik ağ modelleme yöntemlerinin, optimal kaynak tahsisinin bazı sezgisel yöntemlerinin ve maliyetleri tahmin etmek için parametrik yöntemlerin (esas olarak hava ve uzay uçuşları alanında) geniş pratik uygulama bulduğu belirtilmelidir. Klasik ağ modellerine dayalı çizelgelemenin maliyet problemlerine kesin çözüm teorik olarak bulunmuş olmasına rağmen (açıklanmıştır), pratik kullanımı zaman-maliyet bağımlılıkları hakkında gerçek verilerin elde edilmesinin zorluğu ile ilişkilidir.
Yukarıda tartışılan modellerin her birinin kendi konu alanı vardır, kendi yolunda (aşağı yukarı tam olarak) proje yönetiminin temel işlevlerini uygular ve yalnızca analiz edilen modellerin ve yöntemlerin sentezi, yeterince yansıtan bir model oluşturmanıza izin verir. Belirsizlik koşulları altında karmaşık bir projeyi uygulama süreci ve aynı zamanda formüle edilmiş sorunu çözmede kabul edilebilir bir sonuç elde etme.
Konu 4. AĞ MODELLERİNE GÖRE KAYNAK TÜKETİMİNİN OPTİMİZASYONU
Genel konseptler.
Yukarıda, ağ modelleri sınırlı kaynaklar, yani. kaynakların en iyi şekilde dağıtılması sorunu bu şekilde ortaya konmamıştı. Tarafımızdan ele alınan ağ modellerini kullanma yöntemlerinde, bireysel çalışmaların uygulanmasının zamanlamasına ve projenin zamanında tamamlandığı en önemli (kritik ve kritik olmayan) iş zincirlerinin belirlenmesine ana dikkat gösterildi ( tesisin işletmeye alınması) bağlıdır. Bu nedenle, bu yöntemlerin karakteristik bir özelliği, tüm çalışma aralığını belirlenen zaman çerçevesinde tamamlama açısından önem derecesine göre bilgilerin sınıflandırılmasıdır.
Bilginin öneminin nicel bir ölçüsü, çalışma süresi veya gerilim katsayıları
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j))), (25)
burada R p ij toplam iş rezervi (i, j), T n 0 proje için kritik zamandır, T kr (i, j) maksimum yolun kritik yolla çakışan bölümünün süresidir , işi içeren (i, j). 0 £ K ij £ 1 ve K ij 1'e ne kadar yakınsa, (i, j) iş stoğundaki nispeten daha az rezerv, bu nedenle, belirtilen süre içinde tamamlanmama riski o kadar yüksek olur. Örneğin, iş (2.5) için (Şekil 5) T cr (2.5) = 5, R p 25 = 3, bu nedenle K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0.82 ve iş için ( 5.8) T cr (5.8) \u003d 0, R p 58 \u003d 12, buradan K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0.45. İşler aynı tam yedeklere sahip olabilir, ancak uygulama zamanlarındaki gerilim derecesi farklı olabilir. Tersine, farklı toplam rezervler aynı gerilim katsayılarına karşılık gelebilir. Bu şekilde sınıflandırılan bilgilerle, proje yöneticisi herhangi bir zamanda tüm işler için verilen tamamlanma tarihinden ortaya çıkan sapmaları ortadan kaldırmak için hangi alana (ve kaynaklara) odaklanması gerektiğini belirleyebilir.
Ağ planlama ve yönetimi yöntemlerini iyileştirmenin diğer yollarını özetlemeden önce, yukarıda tartışılan yöntemlerin doğasında bulunan bazı ana eksiklikler üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.
Herhangi bir işin süresine ilişkin bir zaman tahmini vererek, bu işi gerçekleştirmek için belirli kaynakların belirli bir yoğunlukta kullanıldığını varsaydık (kaynak tüketiminin yoğunluğu, birim zaman başına tüketilen kaynak miktarıdır).
Bir zaman tahmini atanırken, bu çalışmanın ne zaman yapılması gerektiği, aynı anda aynı türde kaynak tüketen başka hangi proje faaliyetlerinin yürütüleceği bilinmiyor. Ayrıca, kural olarak, farklı projelerde aynı kaynaklara aynı anda ihtiyaç duyulabilir. Bu nedenle, belirli bir zamanda belirli bir kaynağa olan toplam ihtiyacın, mevcut seviyelerini aşması mümkündür. Bu durumlarda, ya bireysel işlerde kaynak tüketiminin yoğunluğunu azaltmak ya da bir dizi işin yürütülmesini, genellikle bu işlerin tam rezervlerinin ötesine, daha sonraki bir tarihe ertelemek gerekecektir. Bu, proje sürecinde orijinal planda sık sık düzeltmelere, başka bir deyişle planın istikrarsızlığına yol açar.
Açıkçası proje uygulama süreci planlanırken kaynak kısıtları önceden dikkate alınırsa çok daha güvenilir bir plan elde edilebilir.
Mevcut kaynakların seviyesi ve projenin olası tamamlanma zamanlaması birbiriyle ilişkilidir. Tüm projenin tamamlanma süresi, her bir faaliyete ne zaman ve ne kadar kaynak tahsis edileceğine bağlı olacaktır ve bu, büyük ölçüde herhangi bir zamanda beklenen kullanılabilirliklerine göre belirlenir.
Böylece, bir ağ ortamında kaynak tahsisi sorunu ortaya çıkar.
Genel olarak konuşursak, herhangi bir üretim planlama süreci, kaynakların verimli kullanımı sorununa bir çözümden başka bir şey değildir.
Verimlilik kriterleri farklı olabilir, belirli görevleri ele alırken bu önemli planlama noktasında (kriterin seçilmesi ve doğrulanması) biraz daha aşağıda duracağız.
Bazı kavramları ve tanımları tanıtalım.
· çalışma programı bir veya daha fazla hedefe ulaşmak için yapılması gereken belirli bir dizi işlemi (işleri) adlandıralım ve programın çalışmasının yürütülmesi tek bir yönlendirme merkezine tabidir. Başlangıç kompleksi için çalışma programı, site için çalışma programı, inşaat organizasyonu, tasarım enstitüsü vb. hakkında konuşabiliriz.
· Tek tema çalışma programı bir (tek amaçlı tema) veya birkaç hedefe (çok amaçlı tema) ulaşmayı amaçlayan teknolojik olarak birbiriyle ilişkili bir çalışma kompleksinden oluşan bir program diyeceğiz.
· Çok temalı çalışma programı Her kompleks içinde teknolojik olarak birbirine bağlı birkaç iş kompleksinden oluşan bir program diyeceğiz. Her iş paketinin bir veya daha fazla nihai hedefi olabilir. Farklı komplekslere ait eserler birbirleriyle teknolojik olarak ilişkili değildir. Konuların tek bir çok temalı programa bağlanması, kontrol merkezinin birliği ve kaynak rezervinin ortaklığı tarafından belirlenir.
Önce aşağıdakiler için kaynak tahsis problemlerinin çeşitli formülasyonlarını ele alalım: tek tema tek amaçlı program.
Ağ modeli tarafından tanımlanan proje yönetimi için iki olası hedef ayarına dayalı olarak, iki ana görev ayarı türü vardır. İlk tür, kaynak kısıtlamalarına sıkı sıkıya bağlı kalmaya odaklanırken, ikinci tür, proje tamamlanma tarihlerine sıkı sıkıya bağlı kalmayı içerir.
Birinci tip problem ifadesinin formülasyonu (“kalibrasyon”).
Kaynak tüketiminde verilen kısıtlamalarla, tüm programın minimum sürede tamamlanmasını sağlayan ağ şemasının topolojisi tarafından belirlenen teknolojik çalışma sırasını dikkate alarak bunların böyle bir dağılımını bulun.
İkinci tip problem ifadesinin formülasyonu (“yumuşatma”).
Belirtilen program yürütme süresi gözlemlenirse, kaynakları tüketimleri optimal olacak şekilde bireysel işler arasında dağıtmak gerekir. Bu ayar için bir optimallik kriteri seçme sorunu bizim tarafımızdan ayrı ayrı ele alınacaktır.
Kaynak ihtiyacını karşılamak için farklı mekanizmalar nedeniyle, bunlar genellikle iki gruba ayrılır: birikmiş (depolanabilir) ve biriktirilemez (depolanamaz). İkinci grup kaynaklara genellikle "kapasite tipi kaynaklar" denir.
İlk grup, doğası gereği, daha sonra kullanım olasılığı ile birikime izin veren kaynakları içerir, örneğin para, çeşitli malzemeler ve yapılar vb. Bu durumda kaynak kısıtlamaları, her an, önceki dönemin tamamı için kaynak arzının toplam değerini gösteren, azalmayan bir integral fonksiyon tarafından ayarlanabilir.
İkinci grup, daha sonra kullanım için biriktirilmesi imkansız olan kaynakları içerir. Örneğin, çalışma kaynakları ve makine zamanı. İşçilerin ve mekanizmaların aksama süresi, telafisi mümkün olmayan bir kayıptır. Bu grup için kaynak kısıtlamaları, zamanın her anında kaynak kullanılabilirliği işlevi tarafından verilir.