1. Koordinat sisteminde xOt adımlı dikdörtgen bir ızgara oluşturun h eksen boyunca ey ve eksen boyunca bir adım τ ile İtibaren:
a) x i =ih, i= ben, n , n=L/h;
b) t k =kτ, k= ben,m , m=T/τ;
içinde) ve i , k = sen(x i ,t k) = sen(ıh,kτ).
2. Fonksiyon değerlerini hesaplayın sen(x i , t k) hatlar üzerinde uzanan düğümlerde x= 0 ve x=L:
3. Hesapla sen i ,0 =f(ıh),ben= 1, n .
4. (1.16) veya (1.23)'ü kullanarak tüm dahili düğümler için bir çözüm buluruz: sen i , k + n , ben= ben,n -l, k= 0, m -l.
1.3. Dalga denklemi için karma problemin grid yöntemiyle çözümü
1.3.1. Sorunun formülasyonu. Yöntem algoritması
Dalga denklemi için karma bir problem (yani verilen başlangıç ve sınır koşulları) düşünün
alanında D=(0≤x≤ L, 0≤t≤T) başlangıç koşulları ile
ve sınır koşulları
Bunu varsayacağız f(x),g(x) yeterince pürüzsüz fonksiyonlardır ve eşleştirme koşulları, alanın iki köşesinde karşılanır. D(x=0, t=0), (x=L, t=0), çözümün varlığını ve tekliğini sağlayan sen(x, t).
Orijinal sorunu ayrıklaştırmak için, etki alanında oluştururuz
dikdörtgen ızgara
nerede h – yönde ızgara aralığı X, τ, yöndeki ızgara adımıdır t,
Kısmi türevleri yaklaşık olarak tahmin etmek için ikinci dereceden merkezi farkları (1.10) kullanarak, her dahili ızgara düğümü için bir fark denklemleri sistemi elde ederiz.
düğümdeki dalga denklemine (1.24) yaklaşan ( X i , t k) bir hata ile Ö(h 2 + τ2).
Burada sen i , k fonksiyonun yaklaşık değeridir ve(X,t) düğümde ( x i ,t k).
λ'ya izin vermek = bir / h, üç katmanlı bir fark şeması elde ederiz:
Şema (1.28), değerleri birbirine bağladığı için üç katmanlı olarak adlandırılır. sen i , k fonksiyonlar ve(X,t) sayıları olan üç zaman katmanında ( k-l), k, (k+1).
Fark şeması (1.28), "çapraz" tipte beş noktalı üç katmanlı bir modele karşılık gelir (Şekil 1.2).
Şema (1.28) değerleri ilişkilendirir sen i , k =sen(ıh, kτ) zamanla üç katmanda ve seviyeye gitmek için ( k+1), nasıl yapıldığını bilmek gerekiyor sen i , k, ve sen i , k-1 , bu, diferansiyel denklemin (1.24) ikinci zaman türevini içermesinin bir sonucudur. (1.24) - (1.26) probleminin sayısal çözümü, yaklaşık değerlerin hesaplanmasından oluşur. sen i , k çözümler sen(X, t) düğümlerde ( X i ,t) de i = 1, n , k=1, m . (1.28) 'e göre hesaplama şeması açıktır; düğümlerdeki fonksiyonun yaklaşık değerlerinin hesaplanmasına izin verir ( k+1)-th katmanı önceki iki katmandaki bilinen değerlerine göre. İlk iki katmanda, fonksiyonun değerleri başlangıç koşullarından (1.25) belirlenir. İnanıyoruz
Zaman türevi için yaklaşık (1.5) kullanırız.
Yaklaşım sırası (1.30) Ö(τ).
(1.29), (1.31)'in ilk iki satır için çözümler verdiğine dikkat edin: k=0, k= 1. İkame k=(1.28'de 1), şunu elde ederiz:
Denklemin (1.32) sağ tarafındaki tüm terimler değerleri içerir ve i , k sadece ızgaranın ilk iki sırasından; ancak tüm bu değerler başlangıç koşullarından bilinmektedir.
Bundan sonra çözümleri bilmek ve i ,1 ,ve i,2 , fonksiyonun değerlerini hesaplamak için (1.28) kullanabiliriz ve i , küçüncü zaman katmanında, dördüncü vb.
Yukarıda açıklanan hesaplama şeması (1.28) – (1.31), (1.24) – (1.26) problemine doğrulukla yaklaşır. Ö(τ+ h 2). t'ye göre düşük yaklaşım sırası, t'ye göre türev için çok kaba yaklaşımın kullanılmasıyla açıklanır. t formülde (1.30).
Şimdi yakınsama ve istikrar konularını ele alalım. Burada kanıtlar sunmadan, kendimizi nihai sonuçları formüle etmekle sınırlıyoruz. Courant koşulu sağlanıyorsa hesaplama şeması kararlı olacaktır.
Bu, (1.33) sağlandığında, örneğin ilk katmandaki hesaplamada ortaya çıkan küçük hataların, her yeni zaman katmanına geçerken sonsuza kadar artmayacağı anlamına gelir. Courant koşulu karşılanırsa, fark şeması (1.28) düzgün bir şekilde yakınsar, yani h→0 ve τ→0 fark probleminin çözümü (1.28) – (1.31), orijinal problemin (1.24) – (1.26) çözümüne tek tip olarak eğilim gösterir.
Koşul (1.33) yakınsama için yeterlidir, ancak gerekli değildir. Başka bir deyişle, (1.33)'ün tutmadığı ancak yine de doğru sonucun elde edildiği aralıkların denklemleri ve değerleri vardır. Mesele şu ki, yakınsama garanti edilemez. Genel durumda, yakınsamanın kesin olarak sağlanması arzu edilir ve bu nedenle (1.33) koşulunun karşılanması gerekir.
Böylece, adım boyutu seçilir seçilmez h yöne X, o zaman adım boyutunda τ zaman içinde bir sınırlama vardır. Tüm açık yöntemlerin ayırt edici bir özelliği, bunları kullanırken, yöntemin yakınsamasını ve kararlılığını sağlayan (1.33) türünün belirli bir koşulunun gözetilmesi gerektiğidir.
düğümlerin konfigürasyonu, ızgara fonksiyonunun değerleri, ızgaranın iç (sınır çizgisi değil) noktalarında fark denklemlerinin biçimini belirler. Kural olarak, şablon resimleri olan şekillerde, türevlerin hesaplanmasında yer alan noktalar çizgilerle birbirine bağlanır.Courant-Isakson-Ries şeması(KIR), bazen S.K. Godunov, görünüşe göre , 
. Yaklaşım sırası. KIR şeması şartlı olarak kararlıdır, yani. Courant koşulu altında 
. Hesaplama alanının iç noktalarında Courant-Isakson-Ries şeması için fark denklemlerini sunalım:
Rüzgara karşı fark şeması (İngiliz literatüründe - rüzgara karşı) adını da taşıyan bu şemalar şu şekilde yazılabilir:
Avantajları, çözümün bağımlılık alanının daha doğru değerlendirilmesinde yatmaktadır. Notasyonu tanıtacak olursak
o zaman her iki şema da aşağıdaki şekillerde yazılabilir:
(fark denkleminin akış şekli);
(burada, şemaya stabilite veren ikinci farka sahip terim açıkça ayırt edilir);
(sonlu artışlarla denklem).
Ayrıca düşünün belirsiz katsayılar yöntemi bir fark şeması oluşturmak için, taşıma denklemi için birinci doğruluk mertebesinin sağ köşesi
Şema şu şekilde temsil edilebilir:
Courant-Isakson-Ries şeması, karakteristiklerin sayısal yöntemleriyle yakından ilgilidir. Bu tür yöntemler fikrinin kısa bir açıklamasını veriyoruz.
Elde edilen son iki şema (aktarım hızının farklı işaretleri için) aşağıdaki gibi yorumlanabilir. Düğümden (t n + 1 , x m ) geçen, değeri belirlenecek olan ve t n katmanıyla kesişen noktada bir karakteristik oluşturalım. 
. Kesinlik için, transfer hızının c'nin pozitif olduğunu varsayıyoruz.
Alt zaman katmanındaki x m - 1 ve x m düğümleri arasında doğrusal bir enterpolasyon gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:
Daha sonra, karakteristik boyunca u n (x") değerini değiştirmeden üst katmana t n + 1 aktarıyoruz, yani. 
. Son değeri yaklaşık bir çözüm olarak kabul etmek doğaldır. homojen denklem Aktar. Bu durumda
veya Courant sayısından tekrar grid parametrelerine geçerek,
şunlar. Başka bir şekilde, sabit olan iyi bilinen "sol köşe" şemasına ulaştık. Düğümden çıkan özelliğin (t n + 1, x m, n -inci katman ile kesişme noktası zaman içinde) düğümün (t n, x m - 1) solunda yer aldığında çözüm aranır. , enterpolasyon kullanılmaz, ancak kararsız olduğu ortaya çıkan ekstrapolasyon kullanılır.
c > 0 için "sağ köşe" şemasının istikrarsızlığı da açıktır. Bunu kanıtlamak için spektral kriter veya Courant, Friedrichs ve Levi koşulu kullanılabilir. Benzer bir muhakeme c durumu için de yapılabilir.< 0 и схемы "правый уголок".
dengesiz dört noktalı şema ne zaman elde edilir 
, yaklaşıklık sırasıdır . Fark şeması için ızgara denklemleri aşağıdaki forma sahip olacaktır:
Lax-Wendroff şeması ne zaman oluşur 
. Lax-Wendroff şemasının yaklaşıklık sırası şu şekildedir: 
. Şema Courant koşulu altında kararlıdır .
Bu şema, belirsiz katsayılar yöntemiyle veya yaklaşım hatasının önde gelen terimini daha doğru bir şekilde dikkate alarak elde edilebilir. Lax-Wendroff şemasını türetme sürecini daha ayrıntılı olarak ele alalım. Yaklaşım için önceki dört noktalı şemanın çalışmasını yürüterek (ve bu çalışma oldukça temeldir ve bir Taylor serisindeki diferansiyel problemin kesin çözümünün izdüşüm fonksiyonunun ızgaraya ayrışmasına indirgenir), şunu elde ederiz: hatanın ana terimi
Yaklaşım hatasının ana terimi için ifade türetilirken, orijinal diferansiyel taşıma denkleminin bir sonucu kullanıldı.
Orijinal denklemin (3.3) önce t süresine göre, sonra x koordinatına göre türevi alınarak elde edilen oranlardan birinin diğerinden çıkarılmasıyla elde edilir.
Sonraki, değiştirme ikinci türev O(h 2)'ye kadar sağ taraftaki ikinci terimde, orijinaline yaklaşan yeni bir fark şeması elde ederiz. diferansiyel denklem hassasiyetle . Hesaplamalı ızgaraların dahili düğümlerindeki Lax-Wendroff şeması için ızgara denklemleri şöyledir:
Örtülü altı noktalı şema q = 0'da oluşur; yaklaşma sırası ile , de .
Kitabın ikinci kısmı, adi diferansiyel denklemler için fark şemalarının oluşturulmasına ve incelenmesine ayrılmıştır. Aynı zamanda, genel bir yapıya sahip olan fark şemaları teorisindeki temel yakınsama, yaklaşım ve kararlılık kavramlarını tanıtıyoruz. Sıradan diferansiyel denklemlerle bağlantılı olarak elde edilen bu kavramlara aşinalık, gelecekte kısmi diferansiyel denklemler için fark şemalarını incelerken, bu çok çeşitli problem sınıfının karakteristik özelliklerine ve zorluklarına odaklanmaya izin verecektir.
BÖLÜM 4. FARK ŞEMALARININ TEMEL ÖRNEKLERİ
Bu bölümde, sadece teorinin temel kavramlarıyla bir ön tanışma olması amaçlanan fark şemalarının giriş örneklerini ele alacağız.
§ 8. Doğruluk ve yaklaşıklık sırası kavramı
1. Fark şemasının doğruluk sırası.
Bu bölüm, ızgara, yaklaştırdıkları diferansiyel denklemlerin çözümlerine rafine edildiğinde, fark denklemlerinin çözümlerinin yakınsaklığı sorusuna ayrılmıştır. Burada kendimizi sorunun sayısal çözümü için iki fark şemasını incelemekle sınırlıyoruz.
Fark denkleminin kullanımına dayalı en basit fark şemasıyla başlayalım.
Segmenti h uzunluğundaki adımlara ayıralım. N'nin bir tamsayı olduğu yerde seçim yapmak uygundur. Bölünme noktaları soldan sağa doğru numaralandırılır, böylece . Noktadaki fark şeması ile elde edilen değer ve başlangıç değerini belirleyelim ile gösterilecektir. İzin vermek . Fark denklemi (2) ilişkiyi ifade eder
buradan denklem (2)'nin çözümünü başlangıç koşulu altında buluyoruz:
Problemin (1) kesin çözümü şu şekildedir. noktasındaki değeri alır.
Şimdi yaklaşık çözümdeki (3) hata için bir tahmin bulalım. Bu nokta hatası
Bölüm noktalarının sayısındaki artışla veya aynı olan fark ızgarasının adımındaki azalmayla nasıl azaldığıyla ilgileniyoruz. Bunu bulmak için forma koyalım
Böylece, eşitlik (3) şeklini alır
yani, hata (5) sıfır olma eğilimindedir ve hata değeri, adımın birinci kuvveti mertebesindedir.
Bu temelde, fark şemasının birinci doğruluk derecesine sahip olduğunu söylüyoruz (§ 1'de tanımlanan fark denkleminin sırası ile karıştırılmamalıdır).
Şimdi problem (1)'i fark denklemini kullanarak çözüyoruz
Bu ilk bakışta göründüğü kadar basit değil. Gerçek şu ki, söz konusu şema ikinci dereceden bir fark denklemidir, yani, iki başlangıç koşulunun belirtilmesini gerektirirken, integrallenebilir denklem (1) birinci dereceden bir denklemdir ve onun için sadece . Fark şemasını da koymak doğaldır.
Onlara nasıl sorulacağı belli değil. Bunu anlamak için, açık denklem çözme biçimini (7) kullanıyoruz (bkz. § 3 formülleri):
Karakteristik denklemin köklerinin Taylor formülüne göre açılımları (9), için yaklaşık gösterimler vermemizi sağlar. Böyle bir gösterimin türetilmesini ayrıntılı olarak gerçekleştirelim -
O zamandan beri
İçin tamamen benzer bir hesaplama yapmayacağız, ancak sonucu hemen yazacağız:
Formül (8) için yaklaşık ifadeleri değiştirerek şunu elde ederiz:
Bu formülü inceleyerek tüm diğer sonuçları elde edeceğiz.
Katsayı sonlu b limitine yöneliyorsa, eşitliğin (12) sağ tarafındaki ilk terim (1) probleminin istenen çözümüne yönelir.
Izgara ve desen. Çoğu fark şeması için, ızgara düğümleri ya doğal bir koordinat sisteminde ya da özel olarak seçilmiş bir alanda çizilen bazı düz çizgilerin (çok boyutlu problemlerde, hiperdüzlemlerde) kesişme noktasında bulunur. G.
Değişkenlerden biri zamanın fiziksel anlamına sahipse t, o zaman ızgara genellikle çizgileri (veya hiperdüzlemleri) arasında çizgiler olacak şekilde oluşturulur t = t m. Böyle bir çizgi veya hiperdüzlem üzerinde uzanan ızgara düğümleri kümesine katman denir.
Her katmanda, yalnızca bir uzamsal koordinatın değiştiği yönler ayırt edilir. Örneğin, değişkenler için x, y, t yönler var x (t = sabit, y = sabit) ve yön y (t = sabit, X = sabit).
Fark şemalarını (26.2) ve (26.4) derleyerek, bölgenin tüm iç düğümlerinde türevlerin aynı tip fark yaklaşımını kullandık. Başka bir deyişle, her bir fark denklemini yazarken, belirli bir ızgara düğümünün yakınında aynı sayıda düğüm alındı ve bu fark şemasının şablonu olarak adlandırdığımız kesin olarak tanımlanmış bir konfigürasyon oluşturdu (bkz. Şekil 26.2).
Tanım. Şablonda fark şemasının yazıldığı düğümler düzenli, geri kalanlar düzensiz olarak adlandırılır.
Düzensiz genellikle sınır düğümleridir ve bazen de sınıra yakın olan düğümlerdir (öyle ki bu düğümün yakınından alınan şablon bölge sınırının ötesine geçer).
Bir fark şemasının derlenmesi, bir şablon seçimi ile başlar. Şablon, fark şemasını her zaman benzersiz bir şekilde tanımlamaz, ancak özelliklerini önemli ölçüde etkiler; Örneğin, bunu daha sonra Şekil l'deki şablonda göreceğiz. 26.2 bısı iletimi problemi için iyi bir fark şeması oluşturmak imkansızdır (26.1). Her tür denklem ve sınır değer problemi kendi şablonunu gerektirir.
Açık ve örtülü fark şemaları
Fark çözümünün gerçek hesaplaması sorununu tartışalım. Çoğu fiziksel problem, değişkenlerden biri olarak zamanı içeren denklemlere yol açar. Bu tür denklemler için, tipik bir örneği ısı iletimi problemi olan (26.1) bir karma sınır değer problemi ortaya çıkar.
Bu tür problemler için, katmanlı bir hesaplama algoritması kullanılır. Şema (26.2) ve (26.4) örneğinde ele alalım.
İlk katmandaki şemada (26.4) m= 0 başlangıç koşulundan dolayı çözüm biliniyor. koyalım m= 0 denklemlerde (26.4). Sonra dizinin her değeri için n denklem bir bilinmeyen içeriyor 
; buradan belirleyebilirsiniz 
de 
Değerler 
ve 
sınır koşulları (26.3) tarafından belirlenir. Böylece ilk katmandaki değerler hesaplanır. Bunlara dayanarak, ikinci katmandaki çözüm benzer şekilde hesaplanır ve bu böyle devam eder.
Şema (26.4) her denklemde bir sonraki katmandaki fonksiyonun sadece bir değerini içerir; bu değer, ilk katmandaki fonksiyonun bilinen değerleri cinsinden kolayca açıkça ifade edilebilir, bu nedenle bu tür şemalara açık denir.
Şema (26.2), her denklemde yeni bir katmandaki fonksiyonun birkaç bilinmeyen değerini içerir; bu tür şemalara örtük denir. Çözümü fiilen hesaplamak için, şema (26.2)'yi sınır koşulunu (26.3) dikkate alarak aşağıdaki biçimde yeniden yazarız.
(26.5)
Her katmanda, şema (26.5), miktarları belirlemek için bir doğrusal denklem sistemidir. 
; bu denklemlerin sağ tarafları bir önceki katmandan çözüm değerlerini içerdikleri için bilinmektedir. Doğrusal bir sistemin matrisi üç köşegendir ve çözüm cebirsel tarama ile hesaplanabilir.
Şimdi ele alınan algoritma oldukça tipiktir. Tek boyutlu ve çok boyutlu problemler için birçok örtülü fark şemasında kullanılır. Sonra dizin yerine yapacağız m kısaltmaları sıklıkla kullanır
Bu gösterimlerde, açık ve örtülü fark şemaları sırasıyla aşağıdaki formu alır:
tutarsızlık. Genel bir operatör diferansiyel denklemi düşünün (mutlaka lineer olması gerekmez)
au = f, veya au – f = 0.
Operatörün değiştirilmesi ANCAK fark operatörü A h, Sağ Taraf f– bazı ızgara işlevi 
ve kesin çözüm sen– fark çözümü y, fark şemasını yazıyoruz
veya 
.
(26.6)
Tam çözümü yerine koyarsak sen ilişki içine (26.6), o zaman çözüm, genel olarak konuşursak, bu ilişkiyi tatmin etmeyecektir. 
. değer
kalıntı denir.
Kalıntı genellikle bir Taylor serisi açılımı kullanılarak tahmin edilir. Örneğin, ısı denklemi (26.1a) için açık fark şemasının (26.4) tutarsızlığını bulalım. Bu denklemi kanonik formda yazıyoruz
Çünkü bu durumda 
sonra
Çözümü düğümün yakınında Taylor formülü ile genişletelim ( x n , t m), göre sürekli dördüncü türevlerin varlığını varsayarsak X ve ikinci t
(26.7)
nerede 
Bu açılımları kalıntı ifadede yerine koymak ve türevlerin sürekliliği nedeniyle nicelikler arasındaki farkı ihmal etmek 
itibaren ( x n ,
t m)
bulmak
(26.8)
Böylece, kalıntı (26.8) şu şekilde sıfıra eğilimlidir: 
ve 
Fark şemasının orijinal probleme yakınlığı, kalıntının büyüklüğü ile belirlenir. Artık sıfıra eğilimli ise h ve 
sıfıra eğilimliyse, o zaman böyle bir fark şemasının bir diferansiyel probleme yaklaştığını söyleriz. Yaklaşım vardır R-inci sıra eğer 
.
İfade (26.8), tutarsızlığı yalnızca düzenli ızgara düğümlerinde verir. (26.3) ve (26.1b)'yi karşılaştırarak düzensiz düğümlerde tutarsızlığı kolayca bulabiliriz
1. açıklama Tanım kümesinde sabit katsayılı (26.1) ısı iletimi probleminin çözümü sürekli olarak sonsuz sayıda türevlenebilir. Bununla birlikte, Taylor serisi açılımındaki (26.7) beşinci ve daha fazla türevi hesaba katmak, tutarsızlığa (26.8) yalnızca daha yüksek bir küçüklük mertebesindeki terimleri ekleyecektir. 
ve h, yani esasen kalıntının görünümünü değiştirmez.
2. açıklama Herhangi bir nedenle, orijinal problemin çözümü az sayıda kez türevlenebilir olsun; örneğin, düzgün fakat ikinci bir türevi olmayan değişken termal iletkenliğe sahip problemlerde, çözümün yalnızca üçüncü sürekli türevi vardır. Sonra Taylor serisi açılımında (26.7) son terimler 
birbirini tam olarak dengelemez. Bu, artık (26.8) tipinde bir üyenin görünmesine yol açacaktır. 
şunlar. tutarsızlık, dört kez sürekli türevlenebilen çözümlerden daha küçük bir küçüklüğe sahip olacaktır.
3. açıklama Artık ifadeyi dönüştürerek, içinde yer alan işlevi dikkate alarak sen(x,t) orijinal denklemin ve ilişkilerin tam bir çözümüdür
Bu ifadeyi (26.8)'de değiştirerek şunu elde ederiz:
Uzay ve zamandaki adımları seçersek, böylece 
o zaman tutarsızlığın önde gelen terimi kaybolur ve yalnızca daha yüksek bir küçüklük mertebesindeki terimler açısından 
ve h(ki atladık). Bu teknik, artan doğruluktaki fark şemalarının yapımında kullanılır.
fark şeması
fark şeması bir diferansiyel denklem ve ek koşullar (örneğin, sınır koşulları ve/veya ilk dağılım) içeren bazı diferansiyel problemlerle ilişkili sonlu bir cebirsel denklem sistemidir. Bu nedenle, fark şemaları, sürekli bir karaktere sahip olan bir diferansiyel problemi, sayısal çözümü temelde bilgisayarlarda mümkün olan sonlu bir denklem sistemine indirgemek için kullanılır. Bir diferansiyel denklemle ilişkili cebirsel denklemler, fark şemaları teorisini diferansiyel problemleri çözmek için diğer sayısal yöntemlerden (örneğin, Galerkin yöntemi gibi projeksiyon yöntemleri) ayıran fark yöntemi kullanılarak elde edilir.
Fark şemasının çözümü, diferansiyel problemin yaklaşık çözümü olarak adlandırılır.
Resmi tanım cebirsel denklemlerin biçimine önemli kısıtlamalar getirmese de, pratikte yalnızca bir şekilde diferansiyel bir probleme karşılık gelen şemaları dikkate almak mantıklıdır. Fark şemaları teorisinin önemli kavramları yakınsama, yaklaşım, kararlılık ve muhafazakarlık kavramlarıdır.
Yaklaşım
Tanım kümesinde tanımlanan fonksiyonlar üzerinde tanımlanan bir diferansiyel operatörün, eğer adıma bağlı olarak bir grid üzerinde tanımlanan fonksiyonlar üzerinde tanımlanan bir sonlu farklar operatörü ile belirli bir fonksiyon sınıfına yaklaştığı söylenir.
Bir yaklaşımın şu durumlarda bir düzeni olduğu söylenir:
burada belirli işleve bağlı olan ancak adıma bağlı olmayan bir sabittir. Yukarıda kullanılan norm farklı olabilir ve yaklaşım kavramı seçimine bağlıdır. Tekdüze süreklilik normunun ayrık bir analoğu sıklıkla kullanılır:
bazen integral normların ayrı analogları kullanılır.
Örnek. Bir operatörün sonlu farklar operatörü tarafından yaklaştırılması
sınırlı bir aralıkta, düzgün işlevler sınıfında ikinci derecedendir.
Bir sonlu farklar problemi, bir diferansiyel probleme yaklaşır ve hem diferansiyel denklemin kendisi hem de sınır (ve başlangıç) koşulları karşılık gelen sonlu fark operatörleri tarafından yaklaştırılırsa ve yaklaşımlar mertebeliyse, yaklaşıklık mertebelidir.
Courant durumu
Courant koşulu (İngilizce literatürde, Eng. Courant-Friedrichs-Levy durumu , CFL) - fark problemindeki tedirginliklerin yayılma hızı, diferansiyel olandan daha az olmamalıdır. Bu koşul karşılanmazsa, fark şemasının sonucu diferansiyel denklemi çözme eğiliminde olmayabilir. Başka bir deyişle, bir zaman adımında parçacık birden fazla hücrenin içinden geçmemelidir.
Katsayıları diferansiyel denklemin çözümüne bağlı olmayan devrelerde, Courant koşulu kararlılıktan kaynaklanır.
Önyargılı ızgaralardaki şemalar
Sonucun ayarlandığı ve verilerin birbirinden kaydırıldığı bu ızgara şemalarında. Örneğin, sonuç noktaları veri noktalarının ortasındadır. Bazı durumlarda bu, daha basit sınır koşullarının kullanılmasına izin verir.
Ayrıca bakınız
Bağlantılar
- "Fark Şemaları" - "Hiperbolik Denklemler için Fark Şemaları" konulu Vikikitap bölümü
- Demyanov A. Yu., Chizhikov D.V.İkinci doğruluk derecesinin örtük hibrit monotonik fark şeması
- V. S. Ryaben'kii, A. F. Filippov. Fark denklemlerinin kararlılığı üzerine. - M.: Gostekhizdat, 1956.
- S. K. Godunov, V. S. Ryabenky. Fark şemaları teorisine giriş. - M.: Fizmatgiz, 1962.
- K. I. Babenko. Sayısal Analizin Temelleri. - M.: Nauka, 1986.
- Berezin I.S., Zhidkov N.P. Hesaplama yöntemleri, - Herhangi bir sürüm.
- Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Sayısal yöntemler, - Herhangi bir sürüm.
- G. I. Marchuk. Hesaplamalı matematik yöntemleri. - M.: Nauka, 1977.
notlar
Wikimedia Vakfı. 2010
Diğer sözlüklerde "Fark Şeması" nın ne olduğuna bakın:
Bir diferansiyel denkleme ve ek (başlangıç, sınır, vb.) koşullara yaklaşan bir fark denklemleri sistemi. Orijinal diferansiyel problemin yaklaşımı R. s. bu, orijinal sorunun yaklaşık olarak ayrıklaştırılmasının bir yoludur ... Matematiksel Ansiklopedi
sonlu eleman fark şeması- sonlu elemanlar yöntemi - [A.S. Goldberg. İngilizce Rusça Enerji Sözlüğü. 2006] Konular Genel olarak enerji Eşanlamlılar sonlu elemanlar yöntemi EN sonlu hacim farkı çizelgesi …
Fark şeması, bir diferansiyel denklem ve ek koşullar (örneğin, sınır koşulları ve / veya başlangıç ... ... Wikipedia) içeren herhangi bir diferansiyel problemle ilişkili sonlu bir cebirsel denklem sistemidir.
kontrol hacimlerine dayalı sonlu farklar hesaplama şeması- (örn. ısı ve kütle transferi, termal iletkenlik) [A.S. Goldberg. İngilizce Rusça Enerji Sözlüğü. 2006] Genel olarak enerji konuları EN kontrol hacmine dayalı sonlu farklar çizelgesi … Teknik Tercümanın El Kitabı
Şema: grafik belge; sunum, resim, bir şeyin en genel terimlerle sunumu, basitleştirilmiş (örneğin, bir rapor şeması); birçok bileşen içeren bir elektronik cihaz (entegre devre). Grafik belge ... ... Vikipedi
Bir diferansiyel denklem için bir sınır değer problemine karşılık gelen varyasyon problemine dayalı fark şeması. R. in inşa etmenin ana fikri. İle birlikte. Ritz yönteminde özel bir koordinat fonksiyonu seçimi ile ... ... Matematiksel Ansiklopedi
Gierbolpch denklemlerini çözmek için yöntemler çözmek için sayısal yöntemler. hesaplama algoritmalarına dayalı tip. Çeşitli matematiksel modeller çoğu durumda hiperbolik diferansiyel denklemlere yol açar. tip. Bu tür denklemlerin tam aalitik değeri vardır. ... ... Matematiksel Ansiklopedi
Diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözüm yöntemlerini sonlu fark denklemleriyle (fark şemaları) değiştirerek inceleyen hesaplamalı matematiğin bir dalı. R.s. t. fark şemaları oluşturma yöntemlerini inceler, ... ... Matematiksel Ansiklopedi
Kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal yöntemler, sorunun çözümünün bir sayı tablosu ile temsil edilmesinin bir sonucu olarak yaklaşık çözme yöntemleridir. Kesin çözümler (açık formüller, diziler vb. şeklinde) sadece nadir olarak inşa edilebilir ... ... Matematiksel Ansiklopedi
Hesaplamalı algoritmalara dayalı gaz dinamiği problemlerini çözme yöntemleri. Gaz dinamiği problemlerini çözmek için sayısal yöntemler teorisinin ana yönlerini ele alalım, gaz dinamiği denklemlerini atalet koruma yasaları şeklinde yazalım ... ... Matematiksel Ansiklopedi elektronik kitap