fonksiyonel satırlar Güç serisi.
Serinin yakınsama aralığı

Sebepsiz yere gülmek d'Alembert'in bir işaretidir

Böylece işlevsel satırların saati geldi. Konuya ve özellikle bu derse başarılı bir şekilde hakim olmak için, normal sayı dizilerinde çok iyi bilgi sahibi olmanız gerekir. Bir serinin ne olduğu hakkında iyi bir anlayışa sahip olmalısınız, yakınsama için serileri incelemek için karşılaştırma işaretlerini uygulayabilmelisiniz. Bu nedenle, konuyu çalışmaya yeni başladıysanız veya yüksek matematikte bir çaydanlık iseniz, gerekli sırayla üç ders boyunca çalışın: çaydanlıklar için satırlar,D'Alembert'in işareti. Cauchy belirtileri ve Alternatif sıralar. Leibniz işareti. Kesinlikle üçü de! Sayı dizileri ile ilgili problem çözme konusunda temel bilgi ve becerilere sahipseniz, çok fazla yeni malzeme olmadığı için fonksiyonel dizilerle uğraşmak oldukça kolay olacaktır.

Bu derste, fonksiyonel bir seri kavramını (genel olarak ne olduğunu) ele alacağız, pratik görevlerin% 90'ında bulunan kuvvet serileri ile tanışacağız ve yakınsaklığı bulma konusunda ortak bir tipik problemin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. bir kuvvet serisinin yarıçapı, yakınsama aralığı ve yakınsama bölgesi. Ayrıca, malzemeyi dikkate almanızı tavsiye ederim fonksiyonların güç serilerine genişletilmesi, ve yeni başlayanlar için bir ambulans sağlanacaktır. Biraz dinlendikten sonra bir sonraki seviyeye geçiyoruz:

Ayrıca fonksiyonel seriler bölümünde çok sayıda yaklaşık hesaplamalar için uygulamalar, ve kural olarak eğitim literatüründe ayrı bir bölüm tahsis edilen Fourier Serileri biraz ayrılıyor. Sadece bir makalem var, ancak uzun ve birçok ek örnek var!

Yer işaretleri belirlendi, hadi gidelim:

Fonksiyonel seri ve kuvvet serisi kavramı

Limitte sonsuz elde edilirse, sonra çözüm algoritması da işini bitirir ve göreve son cevabı veririz: “Seri yakınsar” (veya ikisinden birinde). Önceki paragrafın 3. vakasına bakın.

Limitte ise sıfır değil ve sonsuz değil, o zaman 1 numaralı uygulamada en yaygın duruma sahibiz - seri belirli bir aralıkta yakınsar.

Bu durumda sınırdır. Bir serinin yakınsaklık aralığı nasıl bulunur? Bir eşitsizlik yaparız:

AT Bu türden HERHANGİ bir görev eşitsizliğin sol tarafında olmalıdır limit hesaplama sonucu ve eşitsizliğin sağ tarafında kesinlikle birim. Tam olarak bu eşitsizliğin nedenini ve neden sağda bir tane olduğunu açıklamayacağım. Dersler pratik ve hikayelerimden bazı teoremlerin öğretim elemanlarının kendilerini asmadığı şimdiden çok iyi oldu.

Modülle çalışma ve ikili eşitsizlikleri çözme tekniği makalenin ilk yılında ayrıntılı olarak ele alındı. İşlev kapsamı, ancak kolaylık sağlamak için tüm eylemler hakkında mümkün olduğunca ayrıntılı bir şekilde yorum yapmaya çalışacağım. Modül ile okul kuralına göre eşitsizliği ortaya çıkarıyoruz. . Bu durumda:

Yarım yol geride.

İkinci aşamada, bulunan aralığın uçlarındaki serilerin yakınsaklığının araştırılması gerekmektedir.

İlk olarak, aralığın sol ucunu alıyoruz ve onu kuvvet serimizin yerine koyuyoruz:

saat

Sayısal bir dizi alındı ​​ve onu yakınsama açısından incelememiz gerekiyor (önceki derslerden zaten bilinen bir görev).

1) Seri, işaret dönüşümlüdür.
2) – serinin terimleri modülü azaltır. Ayrıca, serinin her bir sonraki terimi, modülde bir öncekinden daha küçüktür: , bu nedenle azalma monotondur.
Sonuç: seri yakınsar.

Modüllerden oluşan bir dizi yardımıyla tam olarak nasıl olduğunu öğreneceğiz:
– yakınsaklar (genelleştirilmiş harmonik seriler ailesinden “referans” seriler).

Böylece elde edilen sayı serisi mutlak yakınsak olur.

de - yakınsar.

! hatırlatırım Herhangi bir yakınsak pozitif seri de kesinlikle yakınsaktır.

Böylece, kuvvet serileri bulunan aralığın her iki ucunda mutlak olarak yakınsar.

Cevap: incelenen güç serilerinin yakınsaklık bölgesi:

Yaşama hakkı var ve cevabın başka bir tasarımı var: Seri, eğer yakınsarsa

Bazen problem durumunda yakınsama yarıçapının belirtilmesi gerekir. İncelenen örnekte olduğu açıktır.

Örnek 2

Bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun

Çözüm: serinin yakınsaklık aralığını buluyoruz kullanarak d'Alembert'in işareti (ama özniteliğe göre değil! - fonksiyonel seriler için böyle bir öznitelik yoktur):

Seri bir noktada birleşiyor

Ayrıldı ayrılmamız gerek sadece, bu yüzden eşitsizliğin her iki tarafını 3 ile çarpıyoruz:

– Dizi işaret dönüşümlüdür.
– – serinin terimleri modülü azaltır. Serinin her bir sonraki terimi, mutlak değerde bir öncekinden küçüktür: , bu nedenle azalma monotondur.

Sonuç: seri yakınsar.

Yakınsamanın doğası için inceliyoruz:

Bu seriyi ıraksak seri ile karşılaştırın.
Karşılaştırmanın sınır işaretini kullanıyoruz:

Sıfırdan farklı bir sonlu sayı elde edilir, bu da serinin seriyle birlikte ıraksadığı anlamına gelir.

Böylece seri koşullu yakınsamaktadır.

2) Ne zaman – farklılaşır (kanıtlandığı gibi).

Cevap:İncelenen güç serilerinin yakınsama alanı: . için seri koşullu yakınsaktır.

Ele alınan örnekte, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi bir yarım aralıktır ve kuvvet serisi aralığın tüm noktalarında kesinlikle yakınsar ve bu noktada, ortaya çıktığı gibi, şartlı olarak.

Örnek 3

Kuvvet serilerinin yakınsaklık aralığını bulun ve bulunan aralığın sonunda yakınsaklığını araştırın.

Bu kendin yap örneğidir.

Nadir olan, ancak meydana gelen birkaç örneği ele alalım.

Örnek 4

Serinin yakınsama alanını bulun:

Çözüm: d'Alembert testini kullanarak bu serinin yakınsaklık aralığını buluruz:

(1) Serinin bir sonraki üyesinin bir öncekine oranını oluşturun.

(2) Dört katlı kesirden kurtulun.

(3) Küpler ve kuvvetlerle işlem kuralına göre tek bir derece altında toplanır. Payda dereceyi akıllıca ayrıştırırız, yani. bir sonraki adımda kesri azaltacak şekilde genişletin. Faktöriyeller ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

(4) Küpün altında, payı paydaya göre terime bölerek . Bir kesirde, azaltılabilecek her şeyi azaltıyoruz. Çarpan limit işaretinden çıkarılır, içinde "dinamik" değişken "en"e bağlı hiçbir şey olmadığı için çıkarılabilir. Modül işaretinin çizilmediğini lütfen unutmayın - herhangi bir "x" için negatif olmayan değerler alması nedeniyle.

Limitte sıfır elde edilir, bu da nihai cevabı verebileceğimiz anlamına gelir:

Cevap: Seri bir noktada birleşiyor

Ve ilk başta, "korkunç bir doldurma" içeren bu sıranın çözülmesi zor görünüyordu. Limitte sıfır veya sonsuzluk neredeyse bir hediye, çünkü çözüm gözle görülür şekilde azaldı!

Örnek 5

Bir serinin yakınsaklık alanını bulun

Bu kendin yap örneğidir. Dikkatli olun ;-) Tam çözüm, dersin sonundaki cevaptır.

Tekniklerin kullanımı açısından bir yenilik unsuru içeren birkaç örnek daha düşünün.

Örnek 6

Serinin yakınsaklık aralığını bulun ve bulunan aralığın uçlarındaki yakınsaklığını araştırın.

Çözüm: Güç serilerinin ortak terimi, münavebeyi sağlayan faktörü içerir. Çözüm algoritması tamamen korunur, ancak limiti derlerken, modül tüm “eksileri” yok ettiği için bu faktörü görmezden geliriz (yazmayız).

D'Alembert testini kullanarak serinin yakınsama aralığını buluyoruz:

Standart eşitsizliği oluşturuyoruz:
Seri bir noktada birleşiyor
Ayrıldı ayrılmamız gerek sadece modül, eşitsizliğin her iki tarafını da 5 ile çarparız:

Şimdi modülü tanıdık bir şekilde genişletiyoruz:

Çifte eşitsizliğin ortasında, sadece "x" bırakmanız gerekir, bunun için eşitsizliğin her bölümünden 2 çıkarın:

çalışılan güç serilerinin yakınsaklık aralığıdır.

Bulunan aralığın sonunda serilerin yakınsaklığını araştırıyoruz:

1) Güç serimizdeki değeri yerine koyun :

Son derece dikkatli olun, çarpan herhangi bir doğal "tr" için değişim sağlamaz. Ortaya çıkan eksiyi seriden çıkarırız ve unuturuz, çünkü (herhangi bir sabit çarpan gibi) sayısal serilerin yakınsamasını veya uzaklaşmasını hiçbir şekilde etkilemez.

Tekrar haber ver değeri kuvvet serilerinin ortak teriminde yerine koyarken, faktörü indirdik. Bu olmazsa, bu, limiti yanlış hesapladığımız veya modülü yanlış genişlettiğimiz anlamına gelir.

Bu nedenle sayısal serilerin yakınsaklığının araştırılması gerekmektedir. Burada limit karşılaştırma kriterini kullanmak ve bu seriyi ıraksak harmonik seri ile karşılaştırmak en kolay yoldur. Ama dürüst olmak gerekirse, nihai karşılaştırma işaretinden çok yoruldum, bu yüzden çözüme biraz çeşitlilik katacağım.

Böylece seri şu noktada yakınsar:

Eşitsizliğin her iki tarafını da 9 ile çarpın:

Eski okul şakasını hatırlayarak her iki kısımdan da kökü çıkarıyoruz:


Modülün genişletilmesi:

ve tüm parçalara bir tane ekleyin:

çalışılan güç serilerinin yakınsaklık aralığıdır.

Bulunan aralığın sonundaki kuvvet serilerinin yakınsaklığını araştırıyoruz:

1) ise, aşağıdaki sayı serisi elde edilir:

Çarpan iz bırakmadan kayboldu, çünkü "en" herhangi bir doğal değeri için.

Yakınsama Alanı Bir fonksiyonel seri, üyeleri gerçek eksenin belirli bir E kümesinde tanımlanan / fonksiyonları olan bir seridir. Örneğin, bir serinin terimleri bir aralıkta tanımlanır ve bir serinin terimleri bir segment üzerinde tanımlanır. A fonksiyonel serisinin (1), dizinin her x noktasında yakınsaması durumunda Xo € E noktasında yakınsadığı söylenir. D ⊂ E kümesi ve D kümesine ait olmayan her noktada ıraksarsa, serinin D kümesinde yakınsadığı söylenir ve D, serinin yakınsaklık bölgesi olarak adlandırılır. D kümesinde (1) serisine mutlak yakınsak denir. Bazı fonksiyonel serilerin yakınsaması, pozitif üyeli seriler için oluşturulmuş, bilinen yeterli kriterler kullanılarak bulunabilir, örneğin, Dapamber'in işareti, Cauchy'nin işareti. Örnek 1. M serisinin yakınsaklık bölgesini bulun Sayısal seri p > 1 için yakınsadığı ve p > 1 için ıraksadığı için, p - Igx varsayarak bu diziyi elde ederiz. hangi Igx > T için yakınsar, yani x > 10 ise ve Igx ^ 1 olduğunda ıraksak, yani 0'da< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 serisi L = olduğundan ıraksamaktadır. Serinin x = 0'daki diverjansı açıktır. Örnek 3. Serinin yakınsaklık alanını bulun Bu serinin terimleri sette tanımlı ve süreklidir. Kosh işaretini uygulayarak ve herhangi birini buluruz. Bu nedenle, seri, x'in tüm değerleri için ayrılır. Fonksiyonel serinin (1) kısmi toplamını Sn(x) ile gösteriniz. Bu seri D kümesinde yakınsarsa ve toplamı 5(g)'ye eşitse, o zaman şu şekilde temsil edilebilir: Tüm x € D değerleri için ilişki geçerlidir ve bu nedenle. yani, x 6 D ne olursa olsun, yakınsak serinin geri kalanı Rn(x), n oo olarak sıfır olma eğilimindedir. Düzgün yakınsaklık Tüm yakınsak fonksiyon serileri arasında, düzgün yakınsak seriler önemli bir rol oynar. Toplamı S(x)'e eşit olan D kümesi üzerinde yakınsak bir fonksiyonel seri verilsin. n'inci kısmi toplamını alın. Fonksiyonel seri FONKSİYONEL SERİSİ Yakınsama bölgesi Düzgün yakınsaklık Weierstrass kriteri Herhangi bir ε > 0 sayısı için λ > 0 sayısı varsa ve kümeden x eşitsizliği olacak şekilde, PS1) kümesinde düzgün yakınsak fonksiyonel serinin özelliğinin düzgün yakınsak olduğu söylenir. fI. Yorum. Burada N sayısı tüm x ∈ 10 için aynıdır, yani. z'ye bağlı değildir, ancak e sayısının seçimine bağlıdır, bu nedenle N = N(e) yazarız. £ /n(®) fonksiyonel serisinin ft kümesindeki S(x) fonksiyonuna düzgün yakınsaklığı genellikle şu şekilde gösterilir: /n(x) serisinin ft kümesindeki düzgün yakınsaklığının tanımı şu şekilde olabilir: mantıksal semboller kullanılarak daha kısa yazılır: işlevsel satır. [a, 6] doğrusunu ft kümesi olarak alalım ve fonksiyonların grafiklerini çizelim. n > N sayıları ve tüm a için geçerli olan | eşitsizliği; G [a, b] ve y = 5(g) + e (Şekil 1). Örnek 1 doğru parçası üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar Bu seri değişkendir, herhangi bir x € [-1,1] için Leibniz testinin koşullarını karşılar ve bu nedenle, doğru parçası (-1,1] üzerinde yakınsar. S(x) olsun. toplamı ve Sn (x) onun n'inci kısmi toplamıdır Serinin geri kalanının mutlak değeri, ilk teriminin mutlak değerini aşmaz: a beri Herhangi bir e alın. Buradan n > \ olduğunu buluruz. Bir sayı alırsak (burada [a], a'yı geçmeyen en büyük tamsayıyı gösterir), o zaman | e tüm n > N sayıları ve tüm x € [-1,1) için geçerli olacaktır. Bu, bu serinin [-1,1) doğru parçası üzerinde düzgün bir şekilde yakınsadığı anlamına gelir. I. Örnek 2'de D kümesinde yakınsak olan her fonksiyonel seri düzgün yakınsak değildir. Serinin aralıkta yakınsadığını ama düzgün olmadığını gösterelim. 4 Serinin n'inci kısmi toplamını £n(*) hesaplayalım. Bu serinin segmentte yakınsadığı yer ve toplamı, eğer S (x) - 5„ (x) farkının mutlak değeri (serinin geri kalanı) eşittir. Şöyle bir e sayısı alalım. Eşitsizliği n'ye göre çözelim. Nereden var (çünkü ve Inx'e bölerken eşitsizlik işareti tersine çevrilir). Eşitsizlik için geçerli olacaktır. Bu nedenle, x'e bağlı olmayan böyle bir N(e) sayısı, böylece eşitsizlik her biri için geçerlidir) segmentteki tüm x için hemen. , bulunmuyor. Bununla birlikte, 0 segmenti daha küçük bir segmentle değiştirilirse, ikincisinde bu seri S0 fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsar. Gerçekten de, aynı anda tüm x için ve dolayısıyla §3 için. Weierstrass kriteri Bir fonksiyonel serinin düzgün yakınsaklığı için yeterli bir kriter Weierstrass teoremi tarafından verilir. Teorem 1 (Weierstrass testi). Q kümesindeki tüm x'ler için, fonksiyonel serinin mutlak değerdeki üyeleri, yakınsak sayısal dizi П=1'in karşılık gelen üyelerini pozitif terimlerle, yani tüm x ∈ Q için aşmasın. Sonra fonksiyonel seri ( 1) П kümesinde mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar. Ve Tek, teoremin koşuluna göre, (1) serisinin terimleri tüm Q kümesinde (3) koşulunu sağladığından, o zaman karşılaştırma kriteri ile 2 \fn(x)\ dizisi için yakınsar. herhangi bir x ∈ H'dir ve sonuç olarak (1) serisi P'ye mutlak olarak yakınsar. (1) serisinin düzgün yakınsaklığını ispatlayalım. Sırasıyla (1) ve (2) serisinin kısmi toplamlarını Sn(x) ve an ile gösterelim. Herhangi bir (keyfi olarak küçük) e > 0 sayısını aldık. O zaman (2) sayısal serisinin yakınsaması, N = N(e) sayısının varlığını ima eder, öyle ki, sonuç olarak, tüm n > N(e sayıları için -e olur. ) ve tüm x6n için, yani. (1) serisi, P kümesinde düzgün bir şekilde yakınsar. Açıklama. Sayı dizisi (2), genellikle işlevsel dizi (1) için büyükleme veya büyük sayı olarak adlandırılır. Örnek 1. Seriyi düzgün yakınsaklık için inceleyin Eşitsizlik herkes için geçerlidir. ve herkes için. Sayı serisi yakınsar. Weierstrass testi sayesinde, dikkate alınan fonksiyonel seri, tüm eksen üzerinde mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar. Örnek 2. Düzgün yakınsaklık için bir seriyi inceleyin Serinin terimleri [-2,2| segmentinde tanımlı ve süreklidir. Herhangi bir doğal n için [-2,2) segmentinde olduğundan, bu durumda eşitsizlik geçerlidir. Sayı serileri yakınsadığı için, Weierstrass testine göre, orijinal fonksiyonel seri segment üzerinde mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar. Yorum. Fonksiyonel seri (1), sayısal majör seri (2) olmadığında, yani Weierstrass kriteri yalnızca düzgün yakınsama için yeterli bir kriter olduğunda, ancak gerekli olmadığında Piv kümesi üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayabilir. Örnek. Yukarıda gösterildiği gibi (örnek), seri 1-1,1 segmentinde düzgün bir şekilde yakınsar]. Bununla birlikte, bunun için büyük bir yakınsak sayı dizisi (2) yoktur. Gerçekten de, tüm n doğal sayıları için ve tüm x ∈ [-1,1) için eşitsizlik geçerlidir ve eşitlikte elde edilir. Bu nedenle, istenen majör serinin (2) koşulları mutlaka koşulu sağlamalıdır, ancak sayısal seri FONKSİYONEL SERİSİ Yakınsaklık bölgesi Düzgün yakınsaklık Weierstrass testi Düzgün yakınsak fonksiyonel serilerin özellikleri birbirinden uzaklaşır. Bu da £ op serisinin de ayrışacağı anlamına geliyor. Düzgün yakınsak fonksiyon serilerinin özellikleri Düzgün yakınsak fonksiyon serilerinin bir takım önemli özellikleri vardır. Teorem 2. Eğer [a, b] doğru parçası üzerinde düzgün yakınsak olan bir serinin tüm terimleri, [a, 6] üzerinde sınırlı aynı q(x) fonksiyonu ile çarpılırsa, sonuçta ortaya çıkan fonksiyonel seri düzgün yakınsar. £ fn(x) serisi [a, b\] aralığında S(x) fonksiyonuna düzgün yakınsasın ve g(x) fonksiyonu sınırlı olsun, yani öyle bir C > 0 sabiti var ki By herhangi bir e > 0 sayısı için serinin düzgün yakınsaklığının tanımı, öyle bir N sayısı vardır ki, tüm n > N ve tüm x ∈ [a, b] için eşitsizlik geçerli olacaktır, burada 5n(ar) kısmi bir toplamdır İncelenen dizilerden. Bu nedenle, herkes için sahip olacağız. seri [a, b| bir fonksiyona Teorem 3. Bir fonksiyonel serinin tüm terimleri fn(x) sürekli olsun ve seriler [a, b\ segmentinde düzgün bir şekilde yakınsasın. O halde serinin toplamı S(x) bu aralıkta süreklidir. M [o, b] aralığını iki keyfi nokta zr + Ax alalım. Bu seri [a, b] doğru parçası üzerinde düzgün bir şekilde yakınsadığından, herhangi bir e > 0 sayısı için N = N(e) sayısı vardır, öyle ki tüm n > N için eşitsizlikler geçerli olacaktır, burada 5n(x) kısmi toplamlardır. fn (x) serisi. Bu kısmi toplamlar Sn(x), [a, 6] aralığında, [a, 6 üzerinde sürekli olan sonlu sayıda fn(x) fonksiyonunun toplamı olarak süreklidir). Bu nedenle, > N(e) numaralı sabit bir sayı ve belirli bir e sayısı için, 6 = 6(e) > 0 sayısı vardır, öyle ki Ax eşitsizliği, | formu: buradan. (1) ve (2) eşitsizliklerini hesaba katarak, | koşulunu sağlayan Ax artışları için elde ederiz. Bu, Altı) toplamının x noktasında sürekli olduğu anlamına gelir. x, [a, 6] segmentinin keyfi bir noktası olduğundan, 5(x)'in |a, 6| üzerinde sürekli olduğu sonucu çıkar. Yorum. Üyeleri [a, 6) aralığında sürekli olan ancak (a, 6) aralığında düzgün olmayan yakınsayan bir fonksiyonel seri, toplam olarak süreksiz bir fonksiyona sahip olabilir.Örnek 1. |0,1 aralığında bir fonksiyonel seri düşünün. ). Bunun n'inci kısmi toplamını hesaplayalım Bu nedenle, serinin üyeleri üzerinde sürekli olmasına rağmen, segment üzerinde süreksizdir. Kanıtlanmış teorem sayesinde, bu seri aralıkta düzgün yakınsak değildir. Örnek 2. Bir seriyi ele alalım Yukarıda gösterildiği gibi, bu seri, 1 ve sayısal seri yakınsadığı için, Weierstrass kriterine göre düzgün bir şekilde yakınsar. Bu nedenle, herhangi bir x > 1 için bu serinin toplamı süreklidir. Yorum. Fonksiyona Riemann fonksiyonu denir (bu fonksiyon sayı teorisinde büyük rol oynar). Teorem 4 (bir fonksiyonel serinin terim terim entegrasyonu hakkında). Serinin tüm terimleri fn(x) sürekli olsun ve serinin [a, b] doğru parçası üzerinde S(x) fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsamasına izin verin. O halde aşağıdaki eşitlik geçerlidir: fn(x) fonksiyonlarının sürekliliği ve [a, 6] aralığında verilen serinin düzgün yakınsaması nedeniyle, toplamı 5(x) süreklidir ve dolayısıyla üzerinde integrali alınabilir. [o, b] üzerindeki serinin düzgün yakınsaklığından, herhangi bir e > 0 için N(e) > 0 sayısı olduğu sonucu çıkar, öyle ki tüm n > N(e) sayıları ve tüm x € için [a, 6] eşitsizliği geçerli olacaktır Eğer fn(0 serisi düzgün yakınsak değilse, o zaman genel olarak konuşursak, terim terim entegre edilemez, yani Teorem 5 (fonksiyonel serinin terim terim farklılaşması üzerine) Yakınsak 00 serisinin tüm terimlerinin sürekli türevleri olmasına ve bu türevlerden oluşan serilerin [a, b] aralığında düzgün bir şekilde yakınsamasına izin verin.O zaman eşitlik herhangi bir noktada doğrudur, yani verilen seri olabilir Terime göre türevlenmiş terim M Herhangi iki noktayı alalım.O zaman, Teorem 4'e göre, o-(x) fonksiyonu süreklidir, bir düzgün yakınsak sürekli fonksiyonların toplamı olarak süreklidir.Bu nedenle, eşitliğin türevini alarak elde etmek

Fonksiyonel aralık resmi olarak yazılmış bir ifade olarak adlandırılır

sen1 (x) + sen 2 (x) + sen 3 (x) + ... + sen n ( x) + ... , (1)

nerede sen1 (x), sen 2 (x), sen 3 (x), ..., sen n ( x), ... - bağımsız bir değişkenden gelen fonksiyon dizisi x.

sigma ile işlevsel bir dizinin kısaltılmış gösterimi:.

Fonksiyonel seri örnekleri şunlardır: :

(2)

(3)

Bağımsız değişkenin verilmesi x biraz değer x0 ve onu fonksiyonel seriye (1) koyarak sayısal bir seri elde ederiz.

sen1 (x 0 ) + sen 2 (x 0 ) + sen 3 (x 0 ) + ... + sen n ( x 0 ) + ...

Elde edilen sayısal seri yakınsarsa, fonksiyonel serinin (1) yakınsadığı söylenir. x = x0 ; eğer ıraksarsa, ki bu seri (1) ıraksadığı söylenir x = x0 .

Örnek 1. Bir fonksiyonel serinin yakınsaklığını araştırın(2) değerler için x= 1 ve x = - 1 .
Çözüm. saat x= 1 bir sayı dizisi elde ederiz

Leibniz testine göre yakınsar. saat x= - 1 bir sayı dizisi elde ederiz

,

hangi bir ıraksak harmonik serinin ürünü olarak ıraksarsa – 1. Böylece, (2) serisi şu noktada yakınsar: x= 1 ve ıraksar x = - 1 .

Fonksiyonel serinin (1) yakınsaması için böyle bir test, üyelerinin tanım alanından bağımsız değişkenin tüm değerlerine göre yapılırsa, bu alanın noktaları iki kümeye bölünecektir: değerlerle x Bunlardan birinde (1) serisi yakınsar ve diğerinde uzaklaşır.

Fonksiyonel serinin yakınsadığı bağımsız bir değişkenin değer kümesine onun adı verilir. yakınsama bölgesi .

Örnek 2. Fonksiyonel bir serinin yakınsaklık alanını bulun

Çözüm. Dizinin üyeleri tüm sayı doğrusu üzerinde tanımlanır ve bir payda ile geometrik bir ilerleme oluşturur. q= günah x. Yani seri eğer yakınsarsa

ve eğer ayrılırsa

(değerler mümkün değildir). Ama değerler ve diğer değerler için x. Bu nedenle, seri tüm değerler için yakınsar. x, Ayrıca . Yakınsama bölgesi, bu noktalar hariç tüm sayı doğrusudur.

Örnek 3. Bir fonksiyonel serinin yakınsaklık bölgesini bulun

Çözüm. Serinin terimleri bir payda ile geometrik bir ilerleme oluşturur. q=ln x. Bu nedenle, seri eğer , veya , nereden yakınsar. Bu serinin yakınsaklık bölgesidir.

Örnek 4. Bir fonksiyonel serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Rastgele bir değer alalım. Bu değerle bir sayı dizisi elde ederiz.

(*)

Ortak teriminin limitini bulun

Sonuç olarak, (*) serisi keyfi olarak seçilen bir dizi için ıraksar, yani. herhangi bir değer için x. Yakınsama alanı boş kümedir.

Fonksiyonel bir serinin düzgün yakınsaklığı ve özellikleri

Gelelim konsepte fonksiyonel serinin düzgün yakınsaklığı . İzin vermek s(x) bu serinin toplamıdır ve sn ( x) - toplam n bu dizinin ilk üyeleri. Fonksiyonel aralık sen1 (x) + sen 2 (x) + sen 3 (x) + ... + sen n ( x) + ... aralığında düzgün yakınsak denir [ a, b] , herhangi bir keyfi olarak küçük sayı için ε > 0 böyle bir sayı var N, bu herkes için n ≥ N eşitsizlik sağlanacak

|s(x) − s n ( x)| < ε

herkes için x segmentinden [ a, b] .

Yukarıdaki özellik geometrik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Fonksiyonun grafiğini düşünün y = s(x) . Bu eğrinin etrafında 2 genişliğinde bir şerit oluşturuyoruz. ε n, yani eğriler oluşturuyoruz y = s(x) + ε n ve y = s(x) − ε n(aşağıdaki resimde yeşildirler).

Sonra herhangi biri için ε n fonksiyon grafiği sn ( x) tamamen söz konusu grupta yer alacaktır. Aynı bant, sonraki tüm kısmi toplamların grafiklerini içerecektir.

Yukarıda açıklanan özelliğe sahip olmayan herhangi bir yakınsak fonksiyonel seri, düzgün olmayan yakınsaktır.

Düzgün yakınsak fonksiyonel serilerin bir özelliğini daha düşünün:

belirli bir aralıkta düzgün bir şekilde yakınsayan bir dizi sürekli fonksiyonun toplamı [ a, b] , bu segmentte sürekli olan bir fonksiyon var.

Örnek 5 Bir fonksiyonel serinin toplamının sürekli olup olmadığını belirleme

Çözüm. toplamı bulalım n bu serinin ilk üyeleri:

Eğer bir x> 0 , sonra

,

eğer x < 0 , то

eğer x= 0 , o zaman

Ve bu nedenle .

Çalışmamız bu serinin toplamının süreksiz bir fonksiyon olduğunu göstermiştir. Grafiği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Fonksiyonel serilerin tek tip yakınsaması için Weierstrass testi

Weierstrass kriterine kavram üzerinden yaklaşalım. fonksiyonel serilerin çoğunluğu . Fonksiyonel aralık

sen1 (x) + sen 2 (x) + sen 3 (x) + ... + sen n ( x) + ...

4.1. Fonksiyon serisi: temel kavramlar, yakınsama alanı

tanım 1. Üyeleri bir veya daha fazla fonksiyonun olduğu bir dizi
bir kümede tanımlanan birkaç bağımsız değişkene denir. fonksiyonel aralık.

Üyeleri bir bağımsız değişkenin fonksiyonları olan bir fonksiyonel seri düşünün. X. ilk toplamı n seri üyeleri, verilen fonksiyonel serilerin kısmi toplamıdır. Ortak Üye gelen bir fonksiyon var X bir alanda tanımlanmıştır. Bir noktada fonksiyonel bir seri düşünün . karşılık gelen sayı serisi ise yakınsar, yani bu serinin kısmi toplamlarının bir sınırı var
(nerede - sayı serisinin toplamı), sonra nokta denir yakınsama noktası fonksiyonel aralık . sayı doğrusu ise uzaklaşır, sonra nokta denir sapma noktası fonksiyonel sıra

tanım 2. yakınsama alanı fonksiyonel aralık tüm bu değerlerin kümesi denir X, bunun için fonksiyonel seri yakınsar. Tüm yakınsama noktalarından oluşan yakınsama bölgesi belirtilir. . Dikkat R.

Fonksiyonel seri bölgede yakınsar , eğer varsa toplamı bir fonksiyon olacakken bir sayı dizisi olarak yakınsar. . Bu sözde limit fonksiyonu diziler : .

İşlevsel bir serinin yakınsama alanı nasıl bulunur? ? D'Alembert'in işaretine benzer bir işaret kullanabilirsiniz. bir numara için bestelemek ve limiti sabit bir şekilde düşünün X:
. O zamanlar eşitsizliğin çözümüdür ve denklemi çözme (sadece denklemin bu çözümlerini alıyoruz,
karşılık gelen sayısal serilerin yakınsadığı).

örnek 1. Serinin yakınsaklık alanını bulun.

Çözüm. belirtmek , . Limiti oluşturup hesaplayalım, sonra serinin yakınsaklık bölgesi eşitsizlik tarafından belirlenir. ve denklem . Orijinal serinin denklemin kökleri olan noktalarda yakınsamasını da inceleyelim:

farzedelim , , sonra ıraksak bir dizi elde ederiz ;

b) eğer , , ardından satır koşullu olarak yakınsar (

Leibniz testi, örnek 1, ders 3, sn. 3.1).

Böylece yakınsama bölgesi satır şuna benziyor: .

4.2. Kuvvet serileri: temel kavramlar, Abel teoremi

olarak adlandırılan bir fonksiyonel serinin özel bir durumunu düşünün. güç serisi , nerede
.

tanım 3. sonraki güç formun fonksiyonel serisi olarak adlandırılır,

nerede - denilen sabit sayılar seri katsayıları.

Kuvvet serisi, artan kuvvetlerde düzenlenmiş bir "sonsuz polinomdur" . Herhangi bir sayı doğrusu dır-dir
için bir güç serisinin özel bir durumu .

için bir kuvvet serisinin özel bir durumunu düşünün. :
. Ne tür olduğunu öğrenin
Belirli bir serinin yakınsaklık bölgesi .

Teorem 1 (Abel teoremi). 1) Eğer güç serisi bir noktada birleşir , o zaman kesinlikle herhangi biri için yakınsar X eşitsizliği için .

2) Kuvvet serileri birbirinden uzaklaşırsa , o zaman herhangi biri için ayrılır X, hangisi için .

Kanıt. 1) Koşul olarak, kuvvet serileri şu noktada yakınsar: ,

yani sayı serisi yakınsar

(1)

ve gerekli yakınsama kriterine göre, ortak terimi 0'a, yani. . Bu nedenle, bir numara var serinin tüm üyelerinin bu sayı ile sınırlı olduğunu:
.

Şimdi herhangi bir düşünün X, hangisi için ve bir dizi mutlak değer oluşturun: .
Bu diziyi farklı bir biçimde yazalım: çünkü , ardından (2).

eşitsizlikten
alıyoruz, yani sıra

(2) serisinin karşılık gelen üyelerinden daha büyük üyelerden oluşur. Sıra paydası olan bir geometrik ilerlemenin yakınsak dizisidir , dahası , çünkü . Bu nedenle, (2) serisi için yakınsaklık . Yani güç serisi kesinlikle yakınsar.

2) Satır olsun ayrılıyor , Diğer bir deyişle,

sayı doğrusu ayrılıyor . Bunu herhangi biri için kanıtlayalım X () dizi birbirinden ayrılır. Kanıt çelişki yoluyladır. Bazıları için izin ver

sabit ( ) seri yakınsar, sonra herkes için yakınsar (bkz. bu teoremin ilk kısmı), özellikle , Teorem 1'in 2. koşuluyla çelişiyor. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Abel teoremi, bir kuvvet serisinin yakınsama noktasının konumunu yargılamayı mümkün kılar. Eğer nokta kuvvet serilerinin bir yakınsama noktası, ardından aralık yakınsama noktalarıyla dolu; sapma noktası bir nokta ise , sonra
sonsuz aralıklar sapma noktaları ile doldurulur (Şekil 1).

Pirinç. 1. Serilerin yakınsaklık ve sapma aralıkları

Böyle bir sayı olduğu gösterilebilir. , bu herkes için
güç serisi kesinlikle yakınsar ve - uzaklaşır. Serinin yalnızca bir 0 noktasında yakınsadığını varsayacağız, o zaman , ve eğer seri herkes için yakınsarsa , sonra .

Tanım 4. yakınsama aralığı güç serisi bu aralığa denir , bu herkes için bu seri kesinlikle ve herkes için birleşiyor X bu aralığın dışında kalan seri birbirinden uzaklaşır. Sayı R aranan yakınsama yarıçapı güç serisi.

Yorum. Aralığın sonunda bir kuvvet serisinin yakınsaklığı veya ıraksaklığı sorunu, her belirli seri için ayrı ayrı çözülür.

Bir kuvvet serisinin yakınsaklık aralığını ve yarıçapını belirleme yöntemlerinden birini gösterelim.

Güç serisini düşünün ve belirtmek .

Üyelerinin bir dizi mutlak değerini yapalım:

ve d'Alembert testini buna uygulayın.

Var olmasına izin ver

.

d'Alembert testine göre seri, eğer yakınsarsa , ve eğer ayrılırsa . Buradan, seri yakınsama aralığında , sonra yakınsama aralığı: . 'de, seri ayrılıyor çünkü .
notasyonu kullanma , bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını belirlemek için bir formül elde ederiz:

,

nerede kuvvet serilerinin katsayılarıdır.

limit olduğu ortaya çıkarsa , o zaman varsayıyoruz .

Bir kuvvet serisinin yakınsaklık aralığını ve yarıçapını belirlemek için radikal Cauchy kriteri de kullanılabilir, serilerin yakınsaklık yarıçapı ilişkiden belirlenir. .

tanım 5. Genelleştirilmiş güç serisi dizi denir

. Ayrıca derece ile sonraki denir .
Böyle bir seri için yakınsama aralığı şu şekildedir: , nerede - yakınsama yarıçapı.

Genelleştirilmiş bir kuvvet serisi için yakınsama yarıçapının nasıl bulunduğunu gösterelim.

şunlar. , nerede .

Eğer bir , sonra ve yakınsama alanı R; eğer , sonra ve yakınsama alanı .

Örnek 2. Bir serinin yakınsaklık alanını bulun .

Çözüm. belirtmek . hadi bir sınır koyalım

Eşitsizliği çözüyoruz: , , dolayısıyla aralık

yakınsama şu şekildedir: , dahası R= 5. Ek olarak, yakınsama aralığının uçlarını inceliyoruz:
a) , , diziyi alıyoruz , hangi ayrılır;
b) , , diziyi alıyoruz , hangi yakınsak
şartlı olarak. Buna göre yakınsama bölgesi: , .

Cevap: yakınsama bölgesi .

Örnek 3 Sıra herkes için farklı , çünkü de , yakınsama yarıçapı .

Örnek 4 Seri, yakınsama yarıçapı olan tüm R için yakınsar .

- belki de kompleks o kadar karmaşık olmayacak;) Ve bu makalenin başlığı da kurnaz - bugün tartışılacak olan diziler oldukça karmaşık değil, "nadir toprak". Bununla birlikte, yarı zamanlı öğrenciler bile onlardan bağışık değildir ve bu nedenle, görünüşte ek olan bu ders son derece ciddiyetle alınmalıdır. Sonuçta, üzerinde çalıştıktan sonra neredeyse her "canavar" ile başa çıkabilirsiniz!

Türün klasikleriyle başlayalım:

örnek 1

İlk olarak, bunun bir güç serisi olmadığını unutmayın. (Forma sahip olduğunu hatırlatırım). İkinci olarak, burada serinin yakınsaklık bölgesine giremeyecek olan değer hemen göze çarpmaktadır. Ve bu zaten çalışmanın küçük bir başarısı!

Ama yine de, büyük başarı nasıl elde edilir? Seni memnun etmek için acele ediyorum - bu tür seriler aynı şekilde çözülebilir. güç– d'Alembert'in işaretine veya Cauchy'nin radikal işaretine güvenerek!

Çözüm: değer, serinin yakınsama aralığında değil. Bu önemli bir gerçektir ve not edilmelidir!

Algoritmanın temeli standart olarak çalışır. D'Alembert testini kullanarak serinin yakınsaklık aralığını buluruz:

Seri, 'de birleşir. Modülü yukarı taşıyalım:

Hemen "kötü" noktayı kontrol edelim: değer, serinin yakınsama bölgesine girmedi.

Aralıkların “iç” uçlarındaki serilerin yakınsamasını araştırıyoruz:
eğer öyleyse
eğer öyleyse

Her iki sayısal seri de yerine getirilmediği için birbirinden uzaklaşıyor. gerekli yakınsama işareti.

Cevap: yakınsama bölgesi:

Küçük bir analiz yapalım. Fonksiyonel seriye doğru aralıktan bir değer koyalım, örneğin:
- üzerinde birleşir d'Alembert'in işareti.

Sol aralıktan değerlerin değiştirilmesi durumunda yakınsak seriler de elde edilir:
eğer öyleyse.

Ve son olarak, eğer , o zaman dizi - gerçekten ayrılıyor.

Isınmak için birkaç basit örnek:

Örnek 2

Fonksiyonel bir serinin yakınsama alanını bulun

Örnek 3

Fonksiyonel bir serinin yakınsama alanını bulun

"Yeni" ile özellikle iyi olun modül- bugün 100500 kez buluşacak!

Dersin sonunda kısa çözümler ve cevaplar.

Kullanılan algoritmalar evrensel ve sorunsuz görünüyor, ancak aslında bu böyle değil - birçok işlevsel dizi için genellikle “kayıyor” ve hatta hatalı sonuçlara yol açıyor. (ve ben de bu tür örnekleri ele alacağım).

Pürüzlülük zaten sonuçların yorumlanması düzeyinde başlar: örneğin, seriyi düşünün. Burada, limitte, elde ettiğimiz (kendin kontrol et), ve teoride serinin tek bir noktada yakınsadığı cevabını vermek gerekir. Ancak, mesele "fazla oynanıyor", bu da "hastamızın" her yerde ayrıldığı anlamına geliyor!

Ve dizi için “Cauchy'ye göre” “bariz” çözüm hiçbir şey vermiyor:
- HERHANGİ bir "x" değeri için.

Ve soru ortaya çıkıyor, ne yapmalı? Dersin ana bölümünün ayrılacağı yöntemi kullanıyoruz! Aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

Çeşitli değerler için sayı serilerinin doğrudan analizi

Aslında, bunu Örnek 1'de zaten yapmaya başladık. İlk olarak, belirli bir "x" ve karşılık gelen sayı dizilerini inceliyoruz. Değeri almak için yalvarır:
- elde edilen sayı serisi ıraksar.

Ve bu hemen şu düşünceyi akla getiriyor: Ya aynı şey başka noktalarda da olursa?
Hadi kontrol edelim serinin yakınsaklığı için gerekli bir kriter için keyfi değerler:

Yukarıda ele alınan nokta diğer tüm "x" için standart resepsiyon ile organize ediyoruz ikinci harika limit:

Çözüm: seri tüm sayı doğrusunda ıraksar

Ve bu çözüm en çok çalışan seçenektir!

Pratikte, fonksiyonel seriler genellikle genelleştirilmiş harmonik seri :

Örnek 4

Çözüm: Her şeyden önce, anlaşalım tanım alanı: bu durumda, radikal ifade kesinlikle pozitif olmalı ve ayrıca dizinin tüm üyeleri 1'den başlayarak mevcut olmalıdır. Bundan şu sonuç çıkıyor:
. Bu değerlerle koşullu yakınsak seriler elde edilir:
vb.

Diğer "x" uygun değildir, bu nedenle, örneğin, dizinin ilk iki üyesinin bulunmadığı yasadışı bir durum aldığımızda.

Bunların hepsi iyi, her şey açık, ancak bir önemli soru daha var - nasıl yetkin bir şekilde karar verilir? Sayı dizilerine "aktarma okları" olarak adlandırılabilecek bir şema öneriyorum:

Düşünmek keyfi anlam ve sayısal serilerin yakınsaklığını inceleyin. Rutin Leibniz'in işareti:

1) Bu seri dönüşümlüdür.

2) – serinin terimleri modülü azaltır. Serinin her bir sonraki terimi, bir öncekinden mutlak değerde daha küçüktür: , bu nedenle azalma monotondur.

Sonuç: Seriler Leibniz testine göre yakınsar. Daha önce belirtildiği gibi, buradaki yakınsama koşulludur - bu nedenle serinin - uzaklaşır.

İşte burada - temiz ve doğru! Çünkü "alfa"nın arkasına tüm geçerli sayısal dizileri akıllıca sakladık.

Cevap: fonksiyonel seri vardır ve koşullu olarak yakınsar.

Kendin yap çözümü için benzer bir örnek:

Örnek 5

Fonksiyonel bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Dersin sonunda bir son ödev örneği.

İşte "çalışan hipoteziniz"! – fonksiyonel seri aralıkta yakınsar!

2) Simetrik bir aralıkla her şey şeffaftır, bizce keyfi değerler ve şunu elde ederiz: – kesinlikle yakınsak sayısal seri.

3) Ve son olarak, "orta". Burada da iki aralığı ayırt etmek uygundur.

düşünüyoruz keyfi aralıktan değer ve bir sayı serisi alın:

! Yine, eğer zorsa , belirli bir sayıyı değiştirin, örneğin . Ancak, ... zorluklar istedin =)

Tüm "en" değerleri için , anlamına geliyor:
- böylece, tarafından karşılaştırma işareti seri, sonsuz azalan bir ilerleme ile birlikte yakınsar.

Aldığımız aralıktaki tüm "x" değerleri için kesinlikle yakınsak serilerdir.

Tüm X'ler araştırıldı, X'ler artık yok!

Cevap: serinin yakınsama alanı:

Söylemeliyim ki, beklenmedik bir sonuç! Ayrıca burada d'Alembert veya Cauchy işaretlerinin kullanılmasının kesinlikle yanıltıcı olacağını da eklemek gerekir!

Doğrudan değerlendirme, matematiksel analizin "en yüksek akrobasi"sidir, ancak bu, elbette, deneyim ve hatta bir yerde sezgi gerektirir.

Ya da belki birileri daha kolay bir yol bulur? Yazmak! Bu arada, emsaller var - birkaç kez okuyucular daha rasyonel çözümler önerdi ve onları zevkle yayınladım.

İyi şanslar iniş :)

Örnek 11

Fonksiyonel bir serinin yakınsama alanını bulun

Çözümün versiyonum çok yakın.

Ek hardcore şu adreste bulunabilir: Bölüm VI (Satırlar) Kuznetsov'un koleksiyonu (Sorunlar 11-13).İnternette hazır çözümler var ama burada sana ihtiyacım var uyarmak- birçoğu eksik, yanlış ve hatta hatalı. Ve bu arada, bu makalenin doğmasının nedenlerinden biri de buydu.

Üç dersi özetleyelim ve araçlarımızı sistematize edelim. Yani:

Bir fonksiyonel serinin yakınsaklık aralığını/aralıklarını bulmak için:

1) d'Alembert'in işareti veya Cauchy'nin işareti. Ve eğer satır değilse güç– çeşitli değerlerin doğrudan değiştirilmesiyle elde edilen sonucu analiz ederken daha dikkatli davranıyoruz.

2) Weierstrass üniform yakınsama testi. Unutmayalım!

3) Tipik sayısal serilerle karşılaştırma- genel durumda sürücüler.

O zamanlar bulunan aralıkların uçlarını incelemek (gerekirse) ve serinin yakınsaklık bölgesini elde ederiz.

Artık, hemen hemen her tematik görevle başa çıkmanıza izin verecek oldukça ciddi bir cephaneliğe sahipsiniz.

Başarılar dilerim!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: değer, serinin yakınsama aralığında değil.
d'Alembert testini kullanıyoruz:


Seri şu noktada birleşir:

Böylece, fonksiyonel serilerin yakınsaklık aralıkları: .
Serinin bitiş noktalarındaki yakınsaklığını araştırıyoruz:
eğer öyleyse ;
eğer öyleyse .
Her iki sayı serisi de birbirinden ayrılır çünkü. gerekli yakınsama kriteri karşılanmamıştır.

Cevap : yakınsama bölgesi: