Гармоническое колебание. Гармонические колебания и их характеристики

Движение маятника в часах, землетрясение, переменный ток в электрической цепи, процессы радиопередачи и радиоприема - это совершенно различные, не связанные друг с другом процессы. Каждый из них имеет свои особые причины, но их объединяет один признак - признак общности характера изменения физических величин с течением времени. Эти и многие другие процессы различной физической природы во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать как один особый тип физических явлений - колебания.

Общий признак физических явлений, называемых колебаниями, - это их повторяемость во времени. При различной физической природе многие колебания происходят по одинаковым законам, что позволяет применять общие методы для их описания и анализа.

Гармонические колебания. Из большого числа различных колебаний в природе и технике особенно часто встречаются гармонические колебания. Гармоническими называют колебания, совершающиеся по закону косинуса или синуса:

где - величина, испытывающая колебания; - время; - постоянная величина, смысл которой будет выяснен далее.

Максимальное значение величины, изменяющейся по гармоническому закону, называют амплитудой колебаний. Аргумент косинуса или синуса при гармонических колебаниях называют фазой колебания

Фазу колебания в начальный момент времени называют начальной фазой. Начальная фаза определяет значение величины в начальный момент времени

Значения функции синуса или косинуса при изменении аргумента функции на повторяются, поэтому при гармонических колебаниях значения величины повторяются при изменении фазы колебания на . С другой стороны, при гармоническом колебании величина должна принимать те же значения через интервал времени, называемый периодом колебаний Т. Следовательно, изменение фазы на происходит

через период колебаний Т. Для случая, когда получим:

Из выражения (1.2) следует, что постоянная в уравнении гармонических колебаний есть число колебаний, происходящих за секунд. Величину называют циклической частотой колебаний. Используя выражение (1.2), уравнение (1.1) можно выразить через частоту или период Т колебаний:

Наряду с аналитическим способом описания гармонических колебаний широко используют графические способы их представления.

Первый способ - задание графика колебаний в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают время I, а по оси ординат - значение изменяющейся величины Для гармонических колебаний этот график - синусоида или косинусоида (рис. 1).

Второй способ представления колебательного процесса - спектральный. По оси ординат отсчитывают амплитуду, а по оси абсцисс - частоту гармонических колебаний. Гармонический колебательный процесс с частотой и амплитудой представлен в этом случае вертикальным отрезком прямой длиной проведенным от точки с координатой на оси абсцисс (рис. 2).

Третий способ описания гармонических колебаний - метод векторных диаграмм. В этом способе используют следующий, чисто формальный прием для нахождения в любой момент времени значения величины изменяющейся по гармоническому закону:

Выберем на плоскости произвольно направленную координатную ось по которой будем отсчитывать интересующую нас величину Из начала координат вдоль оси проведем вектор модуль которого равен амплитуде гармонического колебания хт. Если теперь представим себе, что вектор вращается вокруг начала координат в плоскости с постоянной угловой скоростью со против часовой стрелки, то угол а между вращающимся вектором и осью в любой момент времени определится выражением.

Мы рассмотрели несколько физически совершенно различных систем, и убедились, что уравнения движения приводятся к одной и той же форме

Различия между физическими системами проявляются лишь в различном определении величины и в различном физическом смысле переменной x : это может быть координата, угол, заряд, ток и т. д. Отметим, что при этом, как следует из самой структуры уравнения (1.18), величина всегда имеет размерность обратного времени.

Уравнение (1.18) описывает так называемые гармонические колебания .

Уравнение гармонических колебаний (1.18) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка (так как оно содержит вторую производную от переменной x ). Линейность уравнения означает, что

если какая-то функция x(t) является решением этого уравнения, то функция Cx(t) также будет его решением (C – произвольная постоянная);

если функции x 1 (t) и x 2 (t) являются решениями этого уравнения, то их сумма x 1 (t) + x 2 (t) также будет решением того же уравнения.

Доказана также математическая теорема, согласно которой уравнение второго порядка имеет два независимых решения. Все остальные решения, согласно свойствам линейности, могут быть получены как их линейные комбинации. Непосредственным дифференцированием легко проверить, что независимые функции и удовлетворяют уравнению (1.18). Значит, общее решение этого уравнения имеет вид:

где C 1 , C 2 - произвольные постоянные. Это решение может быть представлено и в другом виде. Введем величину

и определим угол соотношениями:

Тогда общее решение (1.19) записывается как

Согласно формулам тригонометрии, выражение в скобках равно

Окончательно приходим к общему решению уравнения гармонических колебаний в виде:

Неотрицательная величина A называется амплитудой колебания , - начальной фазой колебания . Весь аргумент косинуса - комбинация - называется фазой колебания .

Выражения (1.19) и (1.23) совершенно эквивалентны, так что мы можем пользоваться любым их них, исходя из соображений простоты. Оба решения являются периодическими функциями времени. Действительно, синус и косинус периодичны с периодом . Поэтому различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени t* , за который фаза колебания получает приращение, кратное :

Отсюда следует, что

Наименьшее из этих времен

называется периодом колебаний (рис. 1.8), а - его круговой (циклической) частотой .

Рис. 1.8.

Используют также и частоту колебаний

Соответственно, круговая частота равна числу колебаний за секунд.

Итак, если система в момент времени t характеризуется значением переменной x(t), то, то же самое значение, переменная будет иметь через промежуток времени (рис.1.9), то есть

Это же значение, естественно, повторится через время 2T , ЗT и т. д.

Рис. 1.9. Период колебаний

В общее решение входят две произвольные постоянные (C 1 , C 2 или A , a ), значения которых должны определяться двумя начальными условиями . Обычно (хотя и не обязательно) их роль играют начальные значения переменной x(0) и ее производной .

Приведем пример. Пусть решение (1.19) уравнения гармонических колебаний описывает движение пружинного маятника. Значения произвольных постоянных зависят от способа, каким мы вывели маятник из состояния равновесия. Например, мы оттянули пружину на расстояние и отпустили шарик без начальной скорости. В этом случае

Подставляя t = 0 в (1.19), находим значение постоянной С 2

Решение, таким образом, имеет вид:

Скорость груза находим дифференцированием по времени

Подставляя сюда t = 0, находим постоянную С 1 :

Окончательно

Сравнивая с (1.23), находим, что - это амплитуда колебаний, а его начальная фаза равна нулю: .

Выведем теперь маятник из равновесия другим способом. Ударим по грузу, так что он приобретет начальную скорость , но практически не сместится за время удара. Имеем тогда другие начальные условия:

наше решение имеет вид

Скорость груза будет изменяться по закону:

Подставим сюда :

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 1) гармоническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; - начальная фаза;

Фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то , а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Если колеблющаяся точка при находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

Величину , показывающую, сколько колебаний совершает тело за с, называют циклической (круговой) частотой .

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 2, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая .

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

где - амплитуда проекции скорости на ось х.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на (рис. 2, б).

Для выяснения зависимости ускорения найдем производную по времени от проекции скорости:

где - амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 2, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей

Учитывая, что , формулу для ускорения можно записать

т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Так, проекция ускорения - это вторая производная от смещения , то полученное соотношение можно записать в виде:

Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний .

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором , а уравнение гармонических колебаний - уравнением гармонического осциллятора .

Меняется во времени по синусоидальному закону:

где х — значение колеблющейся величины в момент времени t , А — амплитуда , ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ ) — полная фаза колебаний . При этом величины А , ω и φ — постоянные.

Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока .

Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).

Превращения энергии при гармонических колебаниях.

В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p в кинетическую W k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π ). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна:

где v m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m = А — амплитуда.

Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Математический маятник

Колебания математического маятника.
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: .
На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).
Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s ): .
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что или- циклическая частота при колебаниях математического маятника.
Период колебаний или(формула Галилея).	Формула Галилея
Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: . Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных: и.
Следовательно: , а значит.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона).
Уравнением состояния называется уравнение, связывающее параметры физической системы и однозначно определяющее ее состояние. В 1834 г. французский физик Б. Клапейрон , работавший дли тельное время в Петербурге, вывел уравнение состояния идеаль­ного газа для постоянной массы газа. В 1874 г. Д. И. Менделеев вывел уравнение для произвольного числа молекул.
В МКТ и термодинамике идеального газа макроскопическими параметрами являются: p, V, T, m. Мы знаем, что . Следовательно,. Учитывая, что, получим:.
Произведение постоянных величин есть величина постоянная, следовательно: - универсальная газовая постоянная (универсальная, т.к. для всех газов одинаковая).
Таким образом, имеем: Уравнение состояния (уравнение Менделеева – Клапейрона).
Другие формы записи уравнения состояния идеального газа.
1.Уравнение для 1 моля вещества. Если n=1 моль, то, обозначив объем одного моля V м, получим: . Для нормальных условий получим:
2. Запись уравнения через плотность: - плотность зависит от температуры и давления!
3. Уравнение Клапейрона. Часто необходимо исследовать ситуацию, когда меняется состояние газа при его неизменном количестве (m=const) и в отсутствие химических реакций (M=const). Это означает, что количество вещества n=const. Тогда:
Эта запись означает, что для данной массы данного газа справедливо равенство:
Для постоянной массы идеального газа отношение произве­дения давления на объем к абсолютной температуре в данном состоянии есть величина постоянная: .
Газовые законы.
1. Закон Авогадро. В равных объемах различных газов при одинаковых внешних условиях находится одинаковое число молекул (атомов). Условие: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 =p 2 =…=p n ; T 1 =T 2 =…=T n
Доказательство: Следовательно, при одинаковых условиях (давление, объем, температура) число молекул не зависит от природы газа и одинаково.
2. Закон Дальтона. Давление смеси газов равно сумме парциальных (частных) давлений каждого газа. Доказать: p=p 1 +p 2 +…+p n Доказательство:
3. Закон Паскаля. Давление, производимое на жидкость или газ, передается во все стороны без изменения.

Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.

Числа степеней свободы : это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения. В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.

При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε 0 > (энергия поступательного движения молекул): В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул : для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы где i - сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба¬тельных степеней свободы молекулы:i =i пост +i вращ +2i колеб В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий N A молекул: (1) Внутренняя энергия для произвольной массы m газа. где М - молярная масса, ν - количество вещества.