Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Навигация по странице.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
Решение.
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .
Ответ:
НОК(126, 70)=630 .
Пример.
Чему равно НОК(68, 34) ?
Решение.
Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .
Ответ:
НОК(68, 34)=68 .
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .
Пример.
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
Ответ:
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Решение.
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .
Ответ:
НОК(84, 648)=4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.
Теорема.
Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Пример.
Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение.
В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .
Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .
Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .
Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .
Ответ:
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение.
Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .
Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .
Ланцинова Айса
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г
Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК (72, 99 и 117) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .
Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона. 2) a – сторона квадрата 48: a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40: а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960: 64 = 30 (количество квадратов). Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД
Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки. 3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки. 4) 30420: = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД
Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м. 2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204: 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД
Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210: 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126: 42 = 3 (белых роз). 4) 294: 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД
Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД (90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980: 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95: 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД
В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60: 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60: 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60: 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход. Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК
Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК
Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок). 2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 (см ²) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (см ²) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна. Задачи на НОК
Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК
Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК
Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.
Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми
.
Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.
Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем
данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение.
Наименьшим общим кратным (НОК)
натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a, и b.
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное
нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э.
Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше,
в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.
Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.
Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.
Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 - взаимно простые. Поэтому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.
Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Нахождение путём подбора
Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.
Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:
- Определяем наибольшее число из данных чисел.
- Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.
Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них - это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:
24 · 1 = 24 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 2 = 48 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 3 = 72 - делится на 3 и на 18.
Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.
Нахождение путём последовательного нахождения НОК
Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.
НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.
Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8) = 24.
Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:
- Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
- Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
- Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа - 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.
Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".
Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.
Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.
Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.
Как найти наименьшее общее кратное чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.
Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.
Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.
Например, кратные числа 4 можно записать так:
К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}
К (6) = {12, 18, 24, ...}
Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:
НОК (4, 6) = 24
Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.
Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.
Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.
В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.
Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.
В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.
Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.
Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.
В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).
Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.
Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.
Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.
Например, НОК (10, 11) = 110.