Определение погрешности в лабораторной работе. Точность записи результатов измерения. I. Метод отрыва капель

Работа ученика _____класса Ф.И. _______________________ Лабораторная работа №1.

Цель работы: научиться

Приборы и материалы: измерительный цилиндр (мензурка), линейка, термометр, стакан с водой, небольшая баночка, пробирка, пузырек.

Ход работы

1.Определите цену деления измерительных приборов и абсолютную погрешность измерения этими приборами (пока под абсолютной погрешностью измерений считаем абсолютную погрешность отсчета, которая получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерения, ∆а – равна в большинстве случаев половине цены деления измерительного прибора).

а) цена деления мензурки ц.д. =

∆V = ½ ц.д. мензурки, ∆V =

б) цена деления термометра ц.д.=

∆t = ½ ц.д. термометра, ∆t =

в) цена деления линейки ц.д.=

∆ ℓ = ½ ц.д. линейки, ∆ℓ=

2.Подготовьте в тетради таблицу для записи результатов измерений.

Таблица.

Измеряемая величина

Название сосуда

Результаты измерений

Запись результата измерений с учетом погрешности:

А= а опытное ± ∆ а

объем,V, см 3

пузырек

пробирка

стакан

температура воды, t, 0 С

стакан с водой

высота, ℓ, см

пробирка

3.Измерьте объемы названных сосудов. Налейте полный пузырек воды из стакана, потом осторожно перелейте воду в измерительный цилиндр. Определите и запишите объем налитой воды с учетом погрешности. Обратите внимание на правильное положение глаза при отсчете объема жидкости. Глаз следует направить на деление, совпадающее с плоской частью поверхности жидкости. Таким же образом определите объем пробирки и стакана.

4.Измерьте температуру воды в стакане.

5.Измерьте высоту пробирки. Данные всех измерений занесите в таблицу.

6. Сделайте вывод.

Вывод:______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Работа ученика ___ класса Ф.И. _____________________дата______

Лабораторная работа №1.

Измерение физических величин с учетом абсолютной погрешности.

Цель работы : научиться

1) определять цену деления измерительных приборов;

2) измерять физические величины с учетом абсолютной погрешности.

Приборы и материалы : измерительный цилиндр (мензурка), линейка, термометр, стакан с водой, пробирка, пузырек, брусок. Ход работы

1.Внимательно рассмотрите измерительные приборы. Изучите шкалу линейки, мензурки, термометра и заполните таблицу.

Название измеритель-ного прибора

линейка

мензурка

термометр

Какую физическую величину им измеряют

Единицы измерения

Пределы измерения

Шкала

Значения соседних оцифрованных штрихов

Кол-во делений между ними

Цена деления

2.Измерьте длину бруска, объём воды в сосуде, температуру воды в сосуде. Обратите внимание на правильное положение глаза при отсчете объема жидкости. Глаз следует направить на деление, совпадающее с плоской частью поверхности жидкости. Запишите результаты измерений с учетом абсолютной погрешности (пока под абсолютной погрешностью измерений считаем абсолютную погрешность отсчета, которая получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерения, ∆а – равна в большинстве случаев половине цены деления измерительного прибора).

Измеряемая величина

Результат измерений с учетом погрешности А= а опытное ± ∆ а

Длина бруска, L , см

Объём воды в пробирке, V , см 3

Объём воды в пузырьке, V , см 3

Температура воды, t , 0 С

3. Сделайте вывод.

Вывод:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лабораторная работа №3.

Цель работы:

Приборы и материалы:

Ход работы

1 _=_________

2 =

Ф.И.__________________________дата_____________класс________

Лабораторная работа №3.

Изучение зависимости пути от времени при прямолинейном равномерном движении. Измерение скорости.

Цель работы: изучить зависимость пути от времени при прямолинейном равномерном движении; научиться измерять скорость тела при равномерном движении.

Приборы и материалы: металлический шарик, желоб, секундомер, линейка, флажки-индикаторы.

Ход работы

1.Установить желоб горизонтально. Учитывая, что движение не будет идеальным из-за трения между шариком и поверхностью желоба, подложите под один его конец какой-либо предмет высотой 1-2 см.

2.С небольшим усилием толкните шарик с более высокого конца желоба. Если шарик движется неравномерно, повторите опыт несколько раз и добейтесь его равномерного движения. Для этой цели слегка приподнимайте или опускайте более высокий конец желоба.

3.Убедитесь в том, что движение шарика равномерное, воспользовавшись флажками-индикаторами. С их помощью отметьте путь, пройденный шариком за каждую секунду. Измерьте с помощью линейки расстояние между флажками. Если они одинаковы, то движение шарика можно считать равномерным.

4.Определите скорость равномерного движения шарика. Для этого измерьте любой участок пути, пройденный шариком за 2 с, 4 с, 6 с. Заполните таблицу:

№ опыта

Время t, с

Путь S, м

Скорость , м/с

5.Рассчитайте скорость равномерного движения шарика по формуле

2 = ______________________________________________________

3 =______________________________________________________

____________________________________________________________

Тренировочные задания

1.Выразите скорость в м/с: 90км/ч =____________

5,4км/ч =____________

________________________________________

Вывод:______________________________________________________

____________________________________________________________

Тренировочные задания

1.Выразите скорость в м/с: 72км/ч =____________

18км/ч =____________

2.По графику зависимости пути равномерного движения от времени определите путь, пройденный телом за 10с. Чему равна скорость движения тела?

________________________________________

Лабораторная работа №5

Цель работы:

Оборудование:

Ход работы:

Измерьте с помощью линейки объем твердого тела правильной формы.

V=a∙b∙c

Ф.И._____________________класс_________дата__________

Лабораторная работа №5

Измерение объема твердого тела.

Цель работы: научиться измерять объем твердого тела.

Оборудование: линейка, прямоугольный брусок, мензурка, твердые тела неправильной формы, сосуд с водой.

Ход работы:

V=a∙b∙c

V=______________________________________________________

Измерьте с помощью мензурки объем твердого тела неправильной формы.

Указания.

Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

Вывод:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Указания. 1. Обратите внимание на правильное расположение глаз при снятии показаний со шкалы мензурки. Чтобы правильно измерить объем жидкости, глаз должен находиться на уровне поверхности жидкости.

2. Поскольку 1 мл = 1 см 3 , объемы жидкостей выражают как в миллилитрах (мл), так и в кубических сантиметрах (см 3). Объемы твердых тел выражать в миллилитрах не принято.

Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

Вывод: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ф.И.________________________дата_________класс________

Лабораторная работа №7.

Цель работы:

Приборы и материалы:

Порядок выполнения работы.

Ф.И._______________________________дата___________класс________

Лабораторная работа №7.

Исследование зависимости силы упругости от удлинения пружины. Измерение жесткости пружины.

Цель работы: исследовать, как зависит сила упругости пружины от удлинения пружины и измерить жесткость пружины.

Сила тяжести грузов, подвешенных к пружине, уравновешивается силой упругости, возникающей в пружине. При изменении числа грузов, подвешенных к пружине, изменяется ее удлинение и сила упругости. По закону Гука F упр. = k │ ∆ℓ│, где ∆ℓ- удлинение пружины, k – жесткость пружины. По результатам нескольких опытов постройте график зависимости модуля силы упругости F упр. от модуля удлинения │ ∆ℓ│. При построении графика по результатам опыта экспериментальные точки могут не оказаться на прямой, которая соответствует формуле F упр. = k │ ∆ℓ│. Это связано с погрешностями измерения. В этом случае график надо проводить так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от прямой. После построения графика сделайте вывод о зависимости силы упругости от удлинения пружины.

Возьмите точку на прямой (в средней части графика) и определите по графику соответствующие этой точке значения силы упругости и удлинения и вычислите жесткость k . Она и будет искомым средним значением жесткости пружины.

Приборы и материалы: штатив с муфтами и лапкой, спиральная пружина, набор грузов, масса каждого по 0,1 кг, линейка.

Порядок выполнения работы.

1.Закрепите на штативе конец спиральной пружины.

2.Рядом с пружиной установите и закрепите линейку.

3.Отметьте и запишите то деление линейки, против которого приходится стрелка-указатель пружины.

№ опыта

m , кг

mg ,Н

│ ∆ℓ│, м

0,1

0,2

0,3

0,4

k ср. = F / │ ∆ℓ│ k ср.

4.Подвесьте груз известной массы и измерьте вызванное им удлинение пружины.

5.К первому грузу добавьте второй, третий и четвертый грузы, записывая каждый раз удлинение │ ∆ℓ│пружины. По результатам измерений составьте таблицу:

№ опыта

m , кг

mg ,Н

│ ∆ℓ│, м

0,1

0,2

0,3

0,4

6.По результатам измерений постройте график зависимости силы упругости от удлинения и, пользуясь им, определите среднее значение жесткостипружины

k ср. = F / │ ∆ℓ│ k ср. = _______________________________

Лабораторная работа №8.

Ход работы

Вывод:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ф.И.________________________класс_________дата________

Лабораторная работа №8.

Центр тяжести тела. Определение центра тяжести плоской пластины

Цель работы: научиться определять центр тяжести плоской пластины.

Оборудование: плоская картонная фигура произвольной формы, штатив с лапкой и муфтой, пробка, булавка, линейка, отвес (грузик на нити).

Ход работы

1. Зажмите пробку в лапке штатива.

2. Проделайте по краям картонной пластины три отверстия.

3. Вставив булавку в одно из отверстий, подвесьте пластину к пробке, закрепленной в лапке штатива.

4. К той же булавке прикрепите отвес.

5. С помощью карандаша отметьте на нижнем и верхнем краях пластины точки, лежащие на линии отвеса.

6. Сняв пластину, проведите через отмеченные точки прямую линию.

7. Повторите опыт, используя два других отверстия в пластине.

8. Получив точку пересечения трех линий, убедитесь, что она является центром тяжести данной фигуры. Для этого, расположив пластину в горизонтальной плоскости, поместите ее центр тяжести на острие заточенного карандаша.

Х - точки подвеса О - центр тяжести

Вывод:______________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________

Лабораторная работа № 9.

Цель работы:

Приборы и материалы:

Порядок выполнения работы.

Ц.д.=_______________

№ опыта

Количество грузов

Сила трения, Н

Ф.И.________________________________класс_________дата__________

Лабораторная работа № 9.

Исследование зависимости силы трения скольжения от силы нормального давления.

Цель работы: выяснить, зависит ли сила трения скольжения от силы нормального давления, если зависит, то как.

Приборы и материалы: динамометр, деревянный брусок, деревянная линейка, набор грузов.

Порядок выполнения работы.

1.Определите цену деления шкалы динамометра. Ц.д.=_______________

2.Положите брусок на горизонтально расположенную деревянную линейку. На брусок поставьте груз.

3.Прикрепив к бруску динамометр, как можно более равномерно тяните его вдоль линейки. Запишите показания динамометра, это и есть величина силы трения скольжения.

4.К первому грузу добавьте второй, третий грузы, каждый раз измеряя силу трения. С увеличением числа грузов растет сила нормального давления.

5.Результаты измерений занесите в таблицу.

№ опыта

Количество грузов

Сила трения, Н

6.Сделайте вывод: зависит ли сила трения скольжения от силы нормального давления, и если зависит, то как?

Дата_____________Ф.И._______________________________класс_______

Лабораторная работа № 12

Выяснение условий плавания тела в жидкости.

Цель работы: на опыте выяснить условия, при которых тело плавает и при которых тонет.

Приборы и материалы: весы, гири, измерительный цилиндр, пробирка-поплавок с пробкой, проволочный крючок, сухой песок, фильтровальная бумага или сухая тряпка.

Тренировочные задания и вопросы

Какие силы действуют на тело, погруженное в жидкость?

_________________________________________________________

Ход работы

1. Насыпьте в пробирку столько песка, чтобы она, закрытая пробкой, плавала в мензурке с водой в вертикальном положении и часть ее находилась над поверхностью воды.

2. Определите выталкивающую силу, действующую на пробирку. Для этого измерьте объем воды в мензурке до помещения в нее пробирки (V 1) и после помещения в нее пробирки (V 2), а затем рассчитайте величину выталкивающей силы F А , равной весу жидкости, вытесненной пробиркой. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

1. F A = ____________________________________________

2 . F A = ____________________________________________

3. F A = ____________________________________________

3. Выньте пробирку с песком из воды, протрите ее и определите на рычажных весах ее массу с точностью до 1 г. Рассчитайте силу тяжести, действующую на пробирку, которая равна весу пробирки с песком в воздухе. Результат запишите в таблицу.

1. P = ____________________________________________

2 . P = ____________________________________________

3. P = ____________________________________________

4. Насыпьте в пробирку еще немного песка и вновь определите выталкивающую силу и силу тяжести в соответствии с пунктами 2, 3. Проделайте это несколько раз, пока пробирка, закрытая пробкой, не утонет.

5. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу. Отметьте, когда пробирка тонет, всплывает или "висит" в толще в

оды.

Дата________Ф.И._____________________________класс__________

Лабораторная работа№13

Выяснение условия равновесия рычага

Дата________Ф.И._____________________________класс_______

Лабораторная работа№14

Измерение КПД при подъеме тела по наклонной плоскости

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Приборы и принадлежности: цилиндр, технические весы, разновесы, штангенциркуль

Цель работы: освоить расчет ошибок косвенных измерений на примере определения плотности тела.

Выполнение лабораторных работ связано с измерением различного рода физических величин.

Измерение -это процесс сравнения измеряемой величины с однородной ей величиной, принятой за единицу меры. Вследствие несовершенства наших органов чувств и измерительных приборов измерения выполняются с ограниченной степенью точности, т. е. значение измеряемой величины отличается от истинного.

Под степенью точности прибора понимается та наименьшая часть единицы меры, до которой с уверенностью в правильности результата может быть проведено измерение (например, степень точности школьной линейки 1 мм).

Ошибки (погрешности), возникающие при измерении, делятся на два больших класса: систематические и случайные.

Систематические ошибки - ошибки, сохраняющие свою величину и знак от измерения к измерению. Они связаны с неисправностью прибора, неудачно выбранным методом измерений и т. д. Так как систематические ошибки постоянны, то они не поддаются математическому анализу, но их можно выявить и устранить.

Случайные ошибки - ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину (и знак) от измерения к измерению. Они являются следствием несовершенства наших органов чувств, действия факторов, влияние которых невозможно учесть, и т. д.

Устранить их нельзя, но они подчиняются статистическим закономерностям, их можно рассчитать, используя методы математической статистики.

Величина случайной ошибки существенно уменьшается при увеличении числа измерений.

Измерения делятся на два вида: прямые и косвенные.

Прямые измерения - измерения, при которых числовые значения искомой величины получаются непосредственным сравнением ее с единицей меры.

Косвенные измерения - измерения, при которых значения искомой величины находятся по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью.

Расчет ошибок прямого измерения.

Пусть проведено n измерений некоторой величины Х . В результате получен ряд значений этой величины:

Наиболее вероятным является среднее арифметическое значение этой величины

:

где i =1,2,3,…,n

Величина

называетсяабсолютной погрешностью отдельного измерения .

Средней арифметической погрешностью

называют среднее арифметическое значение абсолютных погрешностей отдельных измерений:

Средняя арифметическая

определяет интервал

, внутри которого находится истинное значение измеряемой величины Х.

Качество результата измерений характеризуют средней относительной погрешностью.

Средней относительной погрешностью называют отношение средней арифметической погрешности

к среднему значению измеряемой величины:

Для более точного расчета абсолютной погрешности используют суммарную погрешность

Суммарная погрешность

учитывает случайную погрешность , погрешность прибора

, погрешность округления

и определяется соотношением:

, (1)

где определяют по формуле Стьюдента:

t- коэффициент Стьюдента (берется из таблицы Стьюдента),

n- число измерений;

, где - предельная ошибка прибора, указанная в паспорте.

, где -наименьшее деление прибора.

РАСЧЕТ ОШИБОК КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть искомая величина Z является функцией двух переменных X и Y , т.е

Z=f(x, y).

Установлено, что абсолютная ошибка функции y = f (x ) равна произведению производной этой функции на абсолютную ошибку аргумента, т. е.

Поэтому для определения абсолютной ошибки функции Z = f (x , y ) находят полный дифференциал этой функции:

dz =

, (2)

где и-частные производные функцииZ по аргументам X и Y .

Каждая частная производная находится как простая производная функции Z = f (x , y ) по соответствующему аргументу, если оставшийся аргумент рассматривать как постоянный множитель.

При малых значениях дифференциалов аргументов dx и dy (или приращений аргументов

и

) приращение функции

.

В этом случае формула (2) принимает вид:

Z=

.

В качестве средней абсолютной погрешности принимают среднюю квадратичную погрешность

, которая определяется соотношением:

, (3)

где

и

-суммарные погрешности измерений величиныX и Y , определяемые по формуле (1).

Средняя относительная погрешность величины Z рассчитывается по формуле

. Следовательно, разделив обе части выражения (3) на, получимотносительную погрешность функции Z:

Зная относительную погрешность, находят абсолютную ошибку величины Z:

Окончательный результат измерений записывают так:

Z=

.

Рассмотрим расчет ошибок на примере определения плотности твердого тела правильной геометрической формы.

Для цилиндра массой m , высотой h , диаметром D средняя плотность определяется соотношением:

Используя формулу (3), для нашего случая получаем:

Найдя частные производные

имеем:

Разделив левую и правую часть последнего выражения на

,

получаем:

,отсюда

Таким образом, относительная погрешность плотности

Зная относительную ошибку, находим абсолютную погрешность плотности (

):

Окончательный результат запишем так:

При обработке результатов измерений следует помнить, что точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений. Например, если хотя бы одна из величин в каком-либо выражении определена с точностью до двух значащих цифр, то нет смысла вести вычисление результата с точностью большей двух значащих цифр. Для уточнения последней значащей цифры результата нужно вычислить следующую за ней цифру: если она окажется меньше 5, то ее следует просто отбросить; если она больше 5 или равна 5,то отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.

Вычисление погрешности измерений производят с такой же точностью, что и вычисление самой измеряемой величины.

Например:

Правильно. Неправильно.

Z= 284

Z= 284,5

Z= 52,7

Z=52.74

Z= 4,750

Z=4,75

ОПИСАНИЕ ПРИБОРОВ

1 . Штангенциркуль .

Штангенциркули бывают различной формы и неодинаковой точности. Чаще всего они представляют собой Т-образную масштабную линейку (рис.1),

вдоль которой свободно передвигается меньшая линеечка-нониус.

Т-образная

масштабная

-образные ветви линеечек, или “ножки” штангенциркуля служат для контакта с измеряемым телом. Нижние их концы предназначены для измерения наружных размеров тел, а верхние- внутренних (например, внутреннего диаметра трубки).

Подвижная линейка имеет прорез, через который видны деления масштабной линейки. На нижней, скошенной кромке прореза нанесены деления нониуса.

Нониус служит для более точного отсчета долей масштаба. Масштабная линейка разделена на см и мм. Рассмотрим штангенциркуль с точность измерения 0,1 мм. Деление нониуса такого штангенциркуля на 0,1 мм короче деления масштабной линейки, т. е. в 10 делениях нониуса укладывается 9 делений масштаба. Т. о. цена наименьшего деления прибора 0,1 мм. При плотно сомкнутых “ножках” штангенциркуля нуль нониуса и нуль масштаба совпадают (рис. 2, положение 1).

Для измерения линейного размера тела его помещают между “ножками” штангенциркуля так, чтобы соприкосновение “ножек” с телом было полным, но не вызывало бы деформации. В этом случае расстояние между нулевыми штрихами масштаба и нониуса соответствует размеру измеряемой величины.

Рассмотрим два примера:

Нулевое деление нониуса точно совпадает с каким-либо делением масштаба, например, с 5-м делением. Это значит, что измеряемая величина равна 5 мм (рис. 2, положение 2);

Нулевое деление нониуса не совпадает ни с одним делением масштаба (рис.2, положение 3). Смотрят, какое деление масштаба прошел нуль нониуса (например, третье), затем, какой из штрихов нониуса совместился (составляет одну прямую) с каким-либо штрихом масштаба. На нашем рисунке седьмой штрих нониуса совпадает с десятым делением масштаба. Так как цена наименьшего деления данного штангенциркуля (точность прибора) 0,1 мм, то седьмой штрих нониуса соответствует 0,7 мм. Следовательно, длина измеряемого тела равна 3 мм + 0,7 мм = 3,7 мм.

Имеются штангенциркули с точностью 0,05 мм. Цена наименьшего деления указывается на штангенциркуле.

При раздвижении “ножек” штангенциркуля с конца масштабной линейки выдвигается игла. Длина ее соответствует расстоянию между нулевыми штрихами нониуса и шкалы масштаба, поэтому игла может быть использована как измеритель глубины отверстия, трубки и т. д.

Весы .

В данной работе используются технические весы.

Приступая к взвешиванию, необходимо соблюдать следующие правила:

1. Проверить исправность весов:

а) весы должны быть в равновесии (какая-либо чашка не должна перевешивать);

б) стрелка указателя при качании коромысла не должна задевать шкалу с делениями.

2. Нагружать весы взвешиваемым телом или разновесами, а так же снимать их с чашки весов можно только при арретированных весах.

Арретир- приспособление, позволяющее класть коромысло весов на опоры, предохраняющие призмы весов от износа.

Разновески брать пинцетом и ставить их так, чтобы общий центр тяжести грузов приходился на середину чашки.

Порядок выполнения работы

Определить массу тела однократным взвешиванием на весах.

Измерить высоту (h) и диаметр (D) цилиндра штангенциркулем.

(Измерение одного размера провести 5 раз).

Результаты измерений записать в таблицу.

					( ) 2

Найти среднее значение измеренных величин h и D при прямых измерениях как среднее арифметическое:

=

,

где Х 1 , Х 2 ,…, Х n – измеренные значения величины;

n- число измерений.

5. Определить среднее значение плотности:

6. Вычислить относительную погрешность плотности:

(4)

а) Найти суммарную ошибку

с учетом ошибки прибора и ошибки округления (=0, т. к. измерение однократное):

Для технических весов

отсюда

= 0,05(г ).

б) Вычислить суммарную ошибку

по формуле (1):

где

.

Из таблицы Стьюдента для рекомендуемой надежности = 0,95 и количестве измеренийn=5 находится коэффициент Стьюдента

.

в) Аналогично найти суммарную ошибку

:

где

.

ПРИМЕЧАНИЕ .

Если

и

не превышают 0,5,то ими можно пренебречь, т. к. точность расчета не должна превышать точность прибора.

г) Вычислить относительную погрешность по формуле (4).

7. Найти абсолютную погрешность плотности:

8. Записать окончательный результат в виде:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что понимается под степенью точности прибора?

2 .Какие ошибки называются систематическими?

3. Что такое случайные ошибки?

4. Какие измерения называют прямыми?

5. Какие измерения называют косвенными?

6. Записать формулу для расчета среднего арифметического значения.

7. Записать формулу для расчета средней арифметической погрешности.

8. Записать формулу для расчета средней относительной погрешности.

9. Записать формулу для расчета суммарной погрешности

.

10. Как определить число значащих цифр?

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса

Ф И З И К А.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

М е х а н и к а. Молекулярная физика

и т е р м о д и н а м и к а

Для студентов технологического, механикорадиотехнического, экономического факультетов и Института дистанционного и заочного обучения

УДК 539.1(07) ББК 22.36я7

Составители:

доц. каф. «Физика», к.т.н. В.В. Глебов (№1) доц. каф. «Физика», к.ф-м.н. И.Н. Даниленко (№2)

Зав. каф. «Физика», проф., д.т.н. С.В. Кирсанов (№3) ассистент каф. «Физика»А.В. Меркулова (№4)

ассистент каф. «Физика» С.В. Токарева (№5) доц. каф. «Физика», к.ф-м.н. В.В. Коноваленко (№6) доц. каф. «Физика», к.ф-м.н. А.А. Баранников (№7)

доц. каф. «Физика», к.т.н. Н.З. Алиева (№8) доц. каф. «Физика», к.т.н.Ю.В. Присяжнюк (№9) доц. каф. «Физика», к.т.н.Н.И. Санников (№10)

Рецензент:

доц. каф. «Радиотехника», к.ф-м.н. И.Н. Семенихин

Г Глебов В.В. Физика. Лабораторный практикум: В 3 ч. Ч.1: Механика. Молекулярная физика и тер модинамика / В.В. Глебов, И.Н. Даниленко, В.В. Коноваленко, Н.З. Алиева, А.В. Меркулова, С.В. Кирсанов, С.В. Токарева, Н.И. Санников, Ю.В. Присяжнюк, А.А. Баранников; Под. ред. Ю.В. Присяжнюка. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2004. – 79 с.

Лабораторный практикум издан в 3-х частях и предназначен для подготовки студентов технологического, механико-радиотехнического, экономического факультетов и Института дистанционного и заочного обучения к выполнению лабораторных работ по курсу «Физика». Первая часть охватывает такие разделы курса, как «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика». В содержание каждой лабораторной работы входит: краткая теория, описания экспериментальной установки и методики проведения измерений, указания по обработки экспериментальных данных и представления полученных результатов.

УДК 539.1(07) ББК 22.36я7


С О Д Е Р Ж А Н И Е
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1: Измерение физических величин
и математическая обработка результатов измерений.................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2: Определение ускорения силы
тяжести при свободном па дении тела........................................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3: Определение ускорения
свободного падения при помощи оборотного физического и
математического маятников.......................................................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4: Определение момента инерции
твердого тела при помощи крутильного маятника.....................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5: Определение момента инерции
тел с помощью маятника Максвелла..........................................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6: Изучение законов
вращательного движения с помощью маятника Обербека........
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7: Определение средней длинны
свободного пробега и эффективного диаметра молекул
воздуха.......................................................................................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8: Определение коэффициента
внутреннего трения жидкости методом падающего шарика
(метод Стокса) ............................................................................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9: Определение показателя
адиабаты газа.............................................................................
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10: Определение изменения
энтропии.....................................................................................

4 Измерение физических величин и математическая обработка результатов измерений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1: Измерение физических величин и математическая обработка результатов измерений

Понятие об измерении

Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

При измерении физическая величина сравнивается с некоторым ее значением, принятым за единицу. Результат измерения представляет собой, как правило, именованное число: числовое значение измеренной величины и наименование единицы.

Например: напряжение U= 1,5В ; сила тока= 0,27А ; частота

528 Гц.

Погрешностью измерения физической величины называется отклонение результата измеренияX изм от истинного значенияX ист

Х=Х изм -Х ист

Истинное значение физической величины не может быть известно, поэтому вместо него берут найденную экспериментально приближенную оценку истинного значения, которую затем используют вместо истинного для данной цели.

Из указанного следует, что найденная при измерениях оценка истинного значения величины обязательно должна сопровождаться указанием ее погрешности. Поскольку погрешность определяет диапазон, внутрь которого истинное значение попадает только с некоторой вероятностью, то эта вероятность обязательно должна быть указана.

Классификация измерений

Прямые измерения – это измерения, при которых искомое значение величины находится непосредственно из опытных данныхХ. Например: измерение длины линейкой, напряжение вольтметром, силы тока амперметром. Математическая зависимость между измеряемыми и определяемыми путем прямых измерений величинами выражается так:

Эта связь называется уравнением измерения.

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомая величина находится с помощью заранее известной математической формулы. Причем аргументами этой формулы являются величины,

Измерение физических величин и матема тическая обработка 5 результатов измерений

определенные путем прямых измерений.

Например: измерение объема кубаV по измерению длины его ребраL :V=L 3

Уравнение косвенных измерений в общем случае имеет вид:

Y = f (Х1 , Х2 , Х3 , . . . Хn ) ,

где Х j – аргументы, полученные путем прямых измерений, либо известные константы.

Классификация погрешностей

Классификация погрешностей по форме выражения

Абсолютной погрешностью называют погрешность,

выраженную в единицах измерения величины. Например, u В и т.п.

Х=Х изм- Х ист

Если измеренная величина превышает истинное значение, погрешность положительна, если же измеренная величина меньше истинного значения, то погрешность отрицательна. Величина абсолютной

место при измерении диаметра карандаша L 2 , это невысокое качество измерения.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению величины.

Или в процентах:

Х ист

Эта погрешность является характеристикой качества измерения.

Пример тот же - измерение длины стола L 1 и диаметраL 2 карандаша.

Пусть L 1 = 1м, аL 2 = 1см = 0,01м. Тогда относительные погрешности равны:

для стола:

0,1% ;

1 м

для карандаша

10 1 ;

10% .

Видно, что относительная погрешность измерения длины стола в

6 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений

100 раз меньше, чем диаметра карандаша, то есть качество измерения длины стола в 100 раз выше при одинаковой величине абсолютной погрешности.

Классификация погрешностей по закономерности их появления

Промахи – ошибки, возникающие в результате неправильных действий экспериментатора. Это может быть описка при записи, неправильное снятие показаний прибора и т.д. Обнаруженные промахи следует всегда исключать из рассмотрения при обработке результатов измерений.

Систематическая погрешность с – это составляющая общей погрешности измерения, которая остается постоянной при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.

К систематическим погрешностям относятся: погрешность градуировки шкалы прибора, температурная погрешность и т.д.

Анализ источников систематических погрешностей – одна из основных задач при точных измерениях. Иногда найденная систематическая погрешность может быть исключена из результата измерения путем введения соответствующей поправки. Способы оценки систематической погрешности описаны ниже.

Случайная погрешность сл – это вторая составляющая общей погрешности измерения, которая при повторных измерениях в одних и тех же условиях изменяется случайным образом, без видимой закономерности. Случайные погрешности являются следствием наложения случайных процессов, сопровождающих любое физическое измерение и влияющих на его результат. Следует отметить, что случайная погрешность уменьшается при увеличении количества повторных измерений в отличие от систематической погрешности, которая не меняется. Способ оценки случайной погрешности описан ниже.

Систематические погрешности, оценка их величины

В таблице 1.1 показана классификация систематических погрешностей, а так же способы их обнаружения и оценки.

Т а б л и ц а 1 . 1		– Классификация систематических погрешностей

			Способ оценки
	систематической		Способ оценки
	систематической		или исключения
	погрешности		или исключения
	погрешности

	1. Постоянная		Может быть исключена	Смещение стрелки
	погрешность		путем введения поправки	прибора от нулевого

Измерение физических величин и матема тическая обработка 7 результатов измерений

известной	(положительной или	положения на известное
величины и знака	отрицательной)	число делений
	Может быть оценена по	Цена деления линейки
	Может быть оценена по	равна 1 мм .
2. Погрешность	известному классу точности	равна 1 мм .
2. Погрешность	известному классу точности	Систематическая
градуировки	прибора или по цене деления	Систематическая
градуировки	прибора или по цене деления	погрешность
	шкалы прибора	погрешность
	шкалы прибора	градуировки оценивается
	(исключить нельзя)	градуировки оценивается
	(исключить нельзя)	0,5 мм
		0,5 мм

	Оценивается как половина	Если число π округлено
3. Погрешность	Оценивается как половина	до 3,14, то погрешность
3. Погрешность	последнего указанного при	до 3,14, то погрешность
округления числа	последнего указанного при	округления оценивается
округления числа	округлении разряда числа	округления оценивается
	округлении разряда числа	0,005, если π » 3,1, то 0,05
		0,005, если π » 3,1, то 0,05
4. Погрешность, о	Погрешность может быть	Обнаружение
	обнаружена путём измерения	разноплечности весов
экспериментатор	одной и той же величины с	путем взвешивания на
	помощью разных методов в	них тела попеременно на
догадывается	разных условиях	левой и правой чашках

Следует подробнее рассмотреть систематические погрешности типа 2 (таблица 1.1). Этот тип погрешности имеет любой измерительный прибор.

На шкале почти всех измерительных приборов указан класс их точности. Например, 0,5 означает, что показания прибора правильны с точностью 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Если вольтметр имеет шкалу до 150 В и класс точности 0,5, то систематическая абсолютная погрешность измерения этим прибором равна:

		150 В 0,5%

0,7В

Когда класс точности прибора не указан (например, штангенциркуль, микрометр, линейка), то можно использовать другой способ. Он заключается в использовании цены одного деления прибора. Ценой деления прибора называют такое изменение физической величины, которое происходит при перемещении стрелки прибора на одно деление шкалы.

Считается, что систематическая погрешность данного прибора равна половине цены деления шкалы.

Например, если мы измеряем длину стола линейкой с ценой деления 1 мм, то систематическая погрешность измерения равна 0,5мм. Следует усвоить, что систематическая погрешность не может быть уменьшена путем повторения измерений.

8 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений

С остальными типами систематических погрешностей познакомьтесь с помощью таблицы 1.1.

Случайные погрешности прямых измерений

Оценка истинного значения измеряемой величины

Случайные погрешности проявляются при многократных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях. Влияние случайных погрешностей на результат измерений надо учитывать и стремиться по возможности уменьшать.

Пусть в процессе прямых измерений получен ряд значений физической величины: Х 1 , Х 2 , Х 3 , ..., Х n .

Как оценить истинное значение величины и найти случайную погрешность измерений?

Для большинства измерений наилучшей оценкой истинного значения Х ист , как показано в математической теории погрешностей, следует считать среднее арифметическоеХ ср ряда измеренных значений (в данной работе для обозначения среднего арифметического значения используется индекс“ср”, напримерХ ср или черта над величиной, напримерХ ):

Х истХ

ср Х

где n – количество проведенных измерений величиныХ.

Оценка случайной погрешности

Теперь надо ответить на вопрос: чему равна случайная погрешность сл полученной выше величиныХ ср ?

В теории погрешностей показано, что в качестве оценки случайной погрешности сл среднего арифметического значенияХ ср следует брать так называемое среднее квадратическое отклонение, которое вычисляется по формуле:

(X i

Очень важной особенностью этой формулы является то, что определяемая величина случайной погрешности уменьшается при увеличении числа измерений n . (систематическая погрешность этим свойством не обладает). Значит, если необходимо уменьшить случайную погрешность, то это можно сделать путем увеличения количества

Измерение физических величин и матема тическая обработка 9 результатов измерений

повторных измерений.

Эта величина погрешности определяет тот интервал, внутрь которого попадает истинное значение измеренной величины с определённой вероятностью Р . Чему же равна эта так называемая доверительная вероятность?

Теория погрешностей показывает, что для большого количества измерений n 30, если случайную погрешность принять равной среднему квадратическому отклонениюсл = , то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве оценки случайной погрешности взять удвоенное значениесл = 2 , то внутрь этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных измерениях попадать с доверительной вероятностьюР= 0,95, для интерваласл = 3 вероятностьР= 0,997 (рис.

	В интервал 1 (см. рис.
	истинное	значение
величины Х может попасть с
вероятностью		Р= 0,68,
интервал 2 - с вероятностью
Р= 0,95, в интервал 3 – с
вероятностью Р= 0,997.

	Какой же оценкой для
случайной		погрешности

следует пользоваться? Для измерений, которые проводятся с учебными целями, достаточно в качестве оценки сл брать, для которойР= 0,68. Для научных измерений обычно используют оценкусл = 2 сР= 0,95. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве оценки случайной погрешности берут 3 , для которойР= 0,997.

В лабораторных работах можно брать в качестве оценки случайной погрешности сл величину, для которой доверительная вероятностьР= 0,68.

Суммирование погрешностей

Общая абсолютная погрешность измерения всегда содержит две составляющие: систематическую погрешность с и случайную погрешностьсл

Можно оценить величину с (п.4) и отдельно оценить величину. Как после этого найти суммарную погрешность?

Общая абсолютная погрешность находится по формуле

10 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений

Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 1.2). Общая погрешность равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются с исл .

Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (1.3) можно и не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например с , в 2 раза меньше, чем другаясл. Тогда, согласно формуле (1.3),

2 сл

Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем случайная. То есть если бы систематической погрешности вообще не было, то в нашем


	повлияло
	абсолютную		погрешность.

	погрешность
	оценить с точностью лучше
	чем 10-20%, тогда в нашем
				положить
Рис. 1.2 - Графическое сложение				положить
Рис. 1.2 - Графическое сложение	Сл ,
случайной и систематической	Сл ,
случайной и систематической		систематической
погрешностей		систематической
	погрешностью
	погрешностью

вообще пренебречь.

Из сказанного вытекают следующие правила измерений :

1. Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная, то случайной погрешностью можно пренебречь; большое количество измерений при этом

проводить нецелесообразно, так как с не уменьшается при увеличенииn . Итак, еслис сл , тос (при этом достаточно провести три-четыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений).

2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает систематическую, то систематической погрешностью можно пренебречь, то есть если сл с, то сл(желательно провести побольше измерений для уменьшения сл).

Измерение физических величин и матема тическая обработка 11 результатов измерений

3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать по формуле (1.3) или графически по рис. 1.3. (Количество измерений целесообразно увеличить для уменьшения сл и перехода к случаю 1).

Принимая во внимание, что вместо сл можно взять её оценку, то формула (1.3) примет вид:

На схеме (рис. 1.3) обобщены методы определения погрешности при прямых измерениях.

Рис. 1.3 - Схема определения погрешности прямых измерений

Правила округления погрешности и результата измерения

Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности прибора на его шкале

12 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений

указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратичное отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 10 измерениях не выше 30%.

Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна – две значащие цифры.

При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30 – 50%), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

В итоге можно сформулировать правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:

1. Абсолютная погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.

2. Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

3. Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами.

4. Округления производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления будут с одним-двумя лишними знаками.

Пример : На вольтметре класса точности 2,5с пределом измерений 300В были произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5В .

Отсутствие различий между знаками говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (см. рис. 1.3 а).

Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:

Измерение физических величин и матема тическая обработка 13 результатов измерений

	300 В		7,5 Β 8В .

Так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех, то это значение должно быть округлено до 8 В .

Относительная погрешность:
		7,5 В
		267,5 Β


В значении относительной погрешности должны быть сохранены
два значащих разряда 2,8%
	образом, в		окончательном ответе	должно быть сообщено
“Измеренное	напряжение		U =(268+8)В при относительной погрешности
U =2,8% ”.

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

Y =f (Х 1 ,Х 2 , … ,Х n ),

где Х j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1. Сначала находится абсолютная, а затем относительнаяпогрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного видаf функции имеет вид:

f X j частные производные функцииY =f (Х 1 ,Х 2 , … ,Х n ) по аргументуХ j ,

X j общая погрешность прямых измерений величиныХ j .

14 Измерение физических величин и матема тическая обработка результатов измерений

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y . Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величинX j .

То есть среднее значение величины Y равно:

Пример: найти погрешность измерения объёма Vцилиндра. Высоту hи диаметр Dцилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

h 25,3 мм, D1,54 мм,

(D ,h ,)



0,2 мм , приР= 0,68;
0,15 мм , приР= 0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём: