Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.
Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.
Основные признаки
Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:
- Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
- Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
- Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.
Детерминированные и стохастические модели
Для некоторых жизнь представляется чередой для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.
Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.
В теории хаоса
В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.
Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.
Построение
Стохастическая начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.
Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.
Пример
Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:
- Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
- Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
- Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
- Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Концепция и результат
Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.
Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не может иметь катастрофические последствия.
Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс .
История
В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.
Терминология
В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).
Стохастическое исчисление
Пусть T > 0 {\displaystyle T>0} , и пусть
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; {\displaystyle \mu:\mathbb {R} ^{n}\times \to \mathbb {R} ^{n};} σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; {\displaystyle \sigma:\mathbb {R} ^{n}\times \to \mathbb {R} ^{n\times m};} E [ | Z | 2 ] < + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях
d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t {\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}} для t ∈ [ 0 , T ] ; {\displaystyle t\in ;} X t = Z ; {\displaystyle X_{t}=Z;}имеет единственное (в смысле «почти наверное») и t {\displaystyle t} -непрерывное решение (t , ω) ∣ → X t (ω) {\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_{t}(\omega)} , такое что X {\displaystyle X} - адаптированный процесс к фильтрации F t Z {\displaystyle F_{t}^{Z}} , генерируемое Z {\displaystyle Z} и B s {\displaystyle B_{s}} , s ≤ t {\displaystyle s\leq t} , и
E [ ∫ 0 T | X t | 2 d t ] < + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Применение стохастических уравнений
Физика
В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , {\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x})+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x})\eta _{m}(t),}где x = { x i | 1 ≤ i ≤ k } {\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}} - набор неизвестных, f i {\displaystyle f_{i}} и - произвольные функции, а η m {\displaystyle \eta _{m}} - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если g i {\displaystyle g_{i}} - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда g (x) ∝ x {\displaystyle g(x)\propto x} . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.
В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям , эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.
Ссылки
- Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
Литература
- Adomian, George. Stochastic systems (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
- Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.) . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Mathematics and its Applications (46)). (англ.)
Существенной особенностью социально-экономических процессов является невозможность однозначно предсказать их ход на основе имеющейся априори информации. Несмотря на то, что социально-экономические процессы подчиняются определенным объективным законам, в каждом конкретном процессе эти законы проявляются через множество неопределенностей .
Математическая же модель процесса может содержать либо детерминированные параметры и связи, либо стохастические, но не может (по крайней мере, при нынешнем состоянии науки) содержать неопределенности.
Выбор детерминированного либо стохастического подхода к моделированию того или иного социально-экономического процесса зависит от целей моделирования, возможной точности определения исходных данных, требуемой точности результатов и отражает информацию исследователя о природе причинно-следственных связей реального процесса. При этом неопределенные факторы, которые могут иметь место в реальных процессах, должны быть приближенно представлены как детерминированные или стохастические. Характер параметров, входящих в модель, относится к тем исходным допущениям, которые могут быть обоснованы только эмпирическим путем. Соответствующая гипотеза о детерминированном или стохастическом характере параметров и связей модели принимается в том случае, если она в пределах требуемой или возможной точности определения этих параметров не противоречит опытным данным.
Большинство современных моделей социально-экономических процессов основано на теоретико-вероятностных конструкциях . В связи с этим целесообразно рассмотреть вопрос об исходных посылках применимости таких конструкций к моделированию.
Теория вероятностей изучает математические модели экспериментов (реальных явлений), исход которых не вполне однозначно определяется условиями опыта. Поэтому неоднозначность социально-экономических процессов часто является решающей в выборе стохастического (вероятностного) подхода к их моделированию. Вместе с тем не всегда учитывается, что аппарат теории вероятностей применим для описания и изучения не любых экспериментов с неопределенными исходами, а лишь экспериментов, исходы которых обладают статистической устойчивостью . Тем самым важнейший вопрос об эмпирическом обосновании применимости теоретико-вероятностных методов к рассматриваемым конкретным характеристикам социально-экономических процессов иногда полностью выпадает из поля зрения.
Применимость методов теории вероятностей для исследования тех или иных процессов может быть обоснована только эмпирически на основе анализа статистической устойчивости характеристик этих процессов.
Статистическая устойчивость представляет собой устойчивость эмпирического среднего, частоты события или каких-либо других характеристик протокола измерений исследуемого параметра того или иного процесса.
Следует, однако, отметить, что вопрос о статистической устойчивости реального социально-экономического процесса в целом, а, следовательно, и о применимости теоретико-вероятностных понятий к его моделированию, в настоящее время может быть решен только на интуитивном уровне. Это объективно обусловлено отсутствием достаточного числа опытов, касающихся процесса в целом. Вместе с тем большинство «элементарных» процессов, составляющих тот или иной социально-экономический процесс, носят случайный характер (т.е. гипотеза об их статистической устойчивости не противоречит имеющемуся опыту). Так, например, факт покупки того или иного количества конкретного товара за установленный период времени достаточно часто является случайным событием. Случайным является количество родившихся детей. Случайный характер носят процессы потребления. Случайными являются отказы техники, моральное состояние людей, участвующих в производстве товаров и услуг и т.д. Случайность этих явлений эмпирически подтверждена достаточно большим числом экспериментов.
Все указанные «элементарные» случайные процессы взаимодействуют между собой, объединяясь в едином социально-экономическом процессе. Несмотря на то, что управление в социально-экономической сфере направлено на снижение элемента случайности и придание этому процессу детерминированного целенаправленного характера, реальные процессы столь сложны, что как бы ни была высока степень централизации управления, случайные факторы в них всегда присутствуют. Поэтому природа социально-экономических процессов остается случайной в широком смысле. Это служит основанием для применения стохастических моделей при их исследовании, хотя полную стохастическую устойчивость того или иного процесса в целом вряд ли можно вполне гарантировать.
В настоящее время сложились два основных подхода к стохастическому моделированию социально-экономических процессов (рис. 4.8). Первое направление связано с построением стохастических моделей на основе метода статистических испытаний (Монте-Карло). Второе направление заключается в построении аналитических моделей. Оба эти направления развиваются параллельно и взаимно дополняют друг друга.
Главной особенностью моделей, основанных на методе статистических испытаний, является то, что они приближенно воспроизводят социально-экономический процесс на основе имитации его элементарных составляющих и их взаимосвязей. Это позволяет моделировать процессы очень сложной структуры, зависящие от большого числа разнообразных факторов. Вместе с тем модели статистических испытаний, как правило, громоздки. Их применение требует большого объема памяти ЭВМ и связано с большими затратами машинного времени. Существенным недостатком этих моделей также является отсутствие конструктивных способов оптимизации.
Некоторые из недостатков имитационных статистических моделей социально-экономических процессов преодолеваются применением аналитических моделей.
Рис. 4.8. Стохастическое моделирование социально-экономических процессов
В настоящее время для построения аналитических моделей стохастических процессов применяются два основных подхода – микроскопический и макроскопический.
Микроскопический подход состоит в детальном изучении поведения каждого элемента социально-экономической системы.
Макроскопические модели изучают только макросвойства системы и учитывают только средние характеристики состояния системы, например, среднее количество элементов системы, находящихся в некотором определенном состоянии. Это приводит к потере информации о состоянии каждого элемента социально-экономической системы, так как одни и те же макросостояния могут быть результатом различных сочетаний микросостояний. В то же время макроскопический подход позволяет сократить размерность математической модели, сделать ее более обозримой, сократить затраты ресурсов ЭВМ при производстве расчетов. Микроскопический подход предпочтителен в случае, когда требуется более детальная информация о поведении системы. Макроскопический подход применяется для достаточно быстрых оценочных расчетов.
Отличительная черта детерминированной модели состоит в том, что при заданных параметрах и начальных условиях процесс полностью определен для любого момента времени t > 0.
При стохастической трактовке модель описывает динамику вероятностных характеристик (например, математических ожиданий) процесса и, следовательно, характеризует процесс в среднем, представляя лишь оценки для каждой конкретной реализации. Стохастические модели социально-экономических процессов позволяют предсказать только средние результаты (моменты распределения результатов процесса) или вероятности наступления тех или иных результатов.
При создании моделей технологических операций и процессов приходится сталкиваться с такими случаями, когда моделируемое яв- ление не удается описать в виде детерминированных функциональ- ных связей. Причиной этому могут быть как сильное влияние различ- ных случайных возмущений, так и принципиально случайный характер самого явления, т.е. интересующее нас явление не искажено помехами, а вызвано совместным действием различных случайных факторов.
Наиболее типичным случайным явлением являются отказы обо- рудования и элементов автоматики в период их нормальной эксплуа-
тации. С одной стороны, опыт показывает, что рано или поздно, с
большей или меньшей интенсивностью отказывают большинство де- талей или электронных узлов, а с другой - совершенно невозможно предсказать точно момент времени, когда произойдет отказ.
Очевидно, можно говорить лишь о вероятности наступления од- ного или нескольких отказов в определенном интервале времени либо
o том, что время безотказной работы (число отказов равно нулю) не
превысит определенного значения.
Аналогичная постановка вопроса справедлива применительно к погрешностям измерения параметра. В силу целого ряда случайных
факторов невозможно предсказать, какова будет погрешность при
конкретном измерении, хотя ясно, что она не бывает больше какого- то значения и что существует понятие средней погрешности по конечной совокупности измерений. Случайным можно также представить отклонение параметров заготовок и даже готовых деталей от нормативных. При этом для годных изделий эти отклонения находятся в пределах допусков, для бракованных превышают допуск.
В рассмотренных случаях, особенно при взаимодействии и взаи- мовлиянии различных случайных факторов, поведение интересующе- го нас параметра и его значение не могут быть представлены как функция взаимодействия средних значений определяющих его факто- ров. Конечный результат должен быть получен в виде случайной ве- личины как результат взаимодействия случайных факторов в повто- ряющихся реализациях процесса. Только после статистической обработки полученных результатов можно говорить об оценке сред- него значения и разброса. Такая модель процесса в отличие от детер- минированной называется стохастической (случайной).
Стохастические модели также отражают объективные законо- мерности, присущие данному процессу, однако представление их в
виде детерминированных функций либо невозможно, либо нецелесо-
образно на данном этапе. Для их представления используется аппарат случайных функций, когда случайные явления и процессы характери- зуются случайными величинами, подчиняющимися вероятностным законам.
Статистически устойчивые (достоверные) результаты модели- рования случайных явлений и процессов могут быть получены лишь по достаточно большому числу реализаций (опытов), причем, чем больше разброс значений случайной величины, тем большее число реализаций требуется. Реально такое моделирование возможно лишь с использованием быстродействующих ЭВМ.
Для этой цели ЭВМ должна иметь возможность:
Генерировать последовательность случайных чисел с за- данными законом распределения и параметрами (матема-
тическое ожидание, дисперсия и т.п.);
Вычислять вероятность наступления случайного события, подчиняющегося определенному закону, в заданном ин-
тервале времени;
Воспроизводить факт наступления случайного события и т.д.
Во всех указанных случаях необходимо знать закон распределе- ния случайной величины или события и его параметры. Необходимые
для этого данные получают, проводя натурный эксперимент по реализации подобного явления. Статистическая обработка такого эксперимента позволяет не только выявить статистические закономерности случайного явления, но и оценить достоверность результатов в зависимости от объема эксперимента (числа реализаций).
Начальным этапом обработки экспериментальных данных явля- ется построение вариационного ряда и гистограммы. Для этого фик- сируется ряд значений дискретной случайной величины х (например, число бракованных деталей за одну смену) в течение п смен. Сово- купность значений называется выборкой или статистическим рядом.
Располагая разные измеренные значения в порядке возрастания, получаем вариационный ряд. Далее составляем таблицу частот, в ко- торой каждому значению из вариационного ряда хi, ставится в соот- ветствие экспериментальная частота наблюдавшегося явления:
Число смен, когда было хi , бракованных деталей;
Общее число смен, когда проводились наблюдения.
Если случайная величина непрерывна (погрешность измерения), то ее экспериментальные значения представляются в виде интерваль-
ной таблицы частот, в которой указаны интервалы
сi − ci +1 значений
случайной величины, а также, как и для дискретной величины, часто-
ты попадания ее в этот интервал
- число значений случайной величины, не выходящих
за пределы i -го интервала;
величины.
Общее число зафиксированных значений случайной
По данным интервальной таблицы строят гистограмму, пред- ставляющую собой ряд сопряженно-расположенных на горизонталь- ной оси прямоугольников, основание которых равно интервалу
сi − ci +1
значений случайной величины, а площадь равна
Построив графики по данным таблицы частот или гистограммы, можно по их виду предложить гипотезу о соответствии данных опыта тому или иному закону. После этого проводится проверка степени со- ответствия экспериментальных данных предполагаемому закону. Проверка производится с использованием различных критериев со- гласия. Наиболее распространенным является критерий χ2 (хи- квадрат) Пирсона.
До сих пор мы рассматривали модели с детерминированной топологией сети. При моделировании сложного проекта нередко наиболее гибкими и полезными оказываются сетевые модели со стохастической структурой. Стохастическую сеть определяют как сеть, содержащую альтернативные узлы (состояния), при этом дуги (работы) характеризуются не только вероятностным распределением продолжительности, но и вероятностью их выполнения.
Стохастическая сетевая модель с множеством возможных исходов, являясь дальнейшим развитием традиционных сетей, дает возможность полнее отобразить процесс разработки и создания сложного проекта. Применяемый для анализа стохастических сетевых моделей математический аппарат позволяет вычислять вероятности различных альтернативных исходов, оценивать время их возможной реализации.
Стохастическая сетевая модель есть конечный граф G=(W,А), где W– есть множество детерминированных и альтернативных вершин, отождествляемых с событиями, а технологическая матрица А={p ij } задает множество ориентированных дуг, отождествляемых с работами (или связями). Для стохастических сетей 0£ p ij £ 1, причем p ij =1 определяет работу (i,j) аналогично принятым в традиционных сетях определениям, а
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
Пусть j(t ij) – плотность распределения времени выполнения работы (i,j). М[х] – математическое ожидание случайной величины х.
Вводится условная производящая функция моментов случайной величины t ij как М ij (s)=М[е st ij ], т е.
М ij (s)= ò е st ij j(t ij)dt ij (для непрерывной случайной величины),
å е st ij j(t ij) (для дискретной случайной величины).
В частности, М ij (s)=М[е sа ] = е sа при t ij =а=const, М ij (0)=1.
Для каждой дуги (i,j) определяется Y–функция как
Y ij (s) = p ij М ij (s).
Исходная сеть преобразуется в эквивалентную, используя три базисных преобразования:
· последовательные дуги,
· параллельные дуги,
Для последовательных дуг (рис.7)
Y ik (s) = Y ij (s)Y jk (s).
Для параллельных дуг (рис.8)
Y ij (s) = Y a (s) +Y b (s).
Для петель вида (рис. 9)
Y ij (s) = Y b (s)/.
Комбинируя базисные преобразования, любую сеть можно преобразовать в эквивалентную сеть, состоящую из одной дуги (Е-дуги).
Цель временного анализа стохастической сети состоит в вычислении математического ожидания и дисперсии времени выполнения сети (или любого ее фрагмента) и вероятности выполнения заключительного (или любого другого события) сети.
Здесь используется теория замкнутых потоковых графов, где введенная выше Y–функция трактуется как соответствующий коэффициент пропускания дуги. Для применения результатов этой теории к открытой сети с искомым параметром Y Е (s) вводится дополнительная дуга с параметром Y А (s), соединяющая конечное событие (сток) с начальным (источником).
Затем используется топологическое уравнение для замкнутых графов, известное как правило Мейсона, следующего вида:
1 – åТ(L 1) + åТ(L 2) – åТ(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
где åT(L m) – сумма эквивалентных коэффициентов пропускания для всех возможных петель m–го порядка.
Эквивалентный коэффициент пропускания для петли m–го порядка равен произведению коэффициентов пропускания m не связанных между собой петель первого порядка, т.е.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
Непосредственно из правила Мейсона следует, что 1–Y А (s)Y Е (s)=0 или Y А (s)=1/Y Е (s). Используя данный результат, в топологическом уравнении (10) Y А (s) заменяется на 1/Y Е (s) и затем оно решается относительно Y Е (s), тем самым получается эквивалентная Y–функция для исходной стохастической сети.
Поскольку Y Е (s) = p Е М Е (s), а М Е (0)=1, то p Е =Y Е (0), откуда следует, что
М Е (s)= Y Е (s)/p Е =Y Е (s) /Y Е (0). (11)
После получения аналитического выражения для М Е (s), вычисляют первую и вторую частную производную по s функции М Е (s) в точке s=0, т.е.
m 1E =¶/¶s[М Е (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [М Е (s)] s=0 (13)
Первый момент m 1E относительно начала координат есть математическое ожидание времени выполнения сети (преобразованной в эквивалентную ей Е-дугу), а дисперсия времени выполнения сети равна разности между вторым моментом m 2E и квадратом первого, т.е.
s 2 = m 2E – (m 1E) 2 . (14)
Таким образом, описанный выше аппарат позволяет вычислять временные параметры любых интересующих пользователя событий стохастической сети, а также определять вероятность их наступления.
Используя полученную информацию, можно с помощью неравенства Чебышева оценивать вероятность любых доверительных интервалов времени окончания проекта при произвольных законах распределения времени выполнения отдельных операций. Если время выполнения каждой операции имеет нормальное распределение, то результирующее время также нормально распределено. В этом случае можно получить вероятностные оценки времени выполнения проекта, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа. Кроме того, при достаточно большом числе работ в сети и выполнении некоторых условий (в частности, независимость работ) можно использовать предельную теорему Ляпунова и считать результирующее время выполнения проекта нормально распределенной случайной величиной с характеристиками, вычисленными по выше описанной методике.
Таким образом, стохастическая сетевая модель включает все случайные отклонения и неопределенность, возникающие непосредственно во время выполнения каждой отдельной работы.
3.4. Формализация общей постановки задачи планирования работ при управлении проектами и описание универсальной сетевой модели и задач временного анализа, решаемых на ее основе
В результате анализа и синтеза вышерассмотренных моделей предложена универсальная математическая модель, при этом классические, обобщенные и стохастические сетевые модели являются ее частными случаями.
Данная модель (названная циклическая стохастическая сетевая модель - ЦССМ ) является более гибким и адекватным инструментом для описания процесса управления разработкой сложного проекта.
ЦССМ представляет собой конечный, ориентированный, циклический граф G(W,A), состоящий из множества событий W и дуг (i,j)(события i, jОW), определяемых матрицей смежности А={p ij }. 0Ј p ij Ј1, причем p ij =1 задает детерминированную дугу (i,j), а 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
Обозначим через Т i время свершения i-го события, тогда соотношение между сроками свершения событий, связанных дугой (i,j), задается неравенством:
Т j – Т i і y ij , (15)
где y ij в общем случае случайная величина, распределенная по некоторому закону в интервале от – Ґ до 0 или от 0 до +Ґ.
Кроме того, возможны абсолютные ограничения на момент реализации события i:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
Соотношения (15)-(16) являются обобщением соответствующих неравенств при описании обобщенных сетевых моделей, где параметр y ij и матрица смежности А носят детерминированный характер.
Рассмотрим смысловую нагрузку соотношения (15) при вероятностном характере параметра y ij .
Если (i,j) есть дуга-работа (или ее часть), то положительно распределенная случайная величина y ij задает распределение минимальной продолжительности этой работы (связанной с максимальным насыщением ее определяющим ресурсом). В работе показано, что распределение величины y ij является унимодальным и асимметричным, а данным требованиям удовлетворяет бета-распределение, таким образом, минимальная продолжительность работы есть случайная величина y ij =t min (i,j), распределенная по закону бета-распределения на отрезке [а, b] с плотностью
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
где С определяется из условия
Если же случайная величина y ij в (15), соответствующая дуге-работе (i,j), распределена в интервале от – Ґ до 0, то –y ij =t max (j,i) задает распределение длины максимального временного интервала, на протяжении которого работа (i,j) должна быть начата и окончена даже при минимальном насыщении ее определяющим ресурсом. Для этой величины получили ее распределение аналогичного вида (17). Зная распределение случайной величины y ij для каждой работы (i,j), по соответствующим формулам вычисляются ее математическое ожидание и дисперсия.
Введение в (15) отрицательно распределенных величин y ij для дуг-работ (i,j) существенно расширяет возможности описания временных характеристик работ, делая широко используемую вероятностную модель лишь одним из частных случаев.
Для дуг-связей (i,j) величина y ij задает распределение временной зависимости между событиями i и j, причем положительно распределенная величина y ij определяет взаимосвязь типа «не ранее» (событие j может наступить не раньше, чем через y ij дней после свершения события i), а отрицательно распределенная величина y ij определяет взаимосвязь типа «не позднее» (событие i может наступить не позже, чем через –y ij дней после свершения события j). В последнем случае такие связи называют «обратными».
Таким образом, здесь мы получили обобщение этих связей с учетом возможно вероятностного их характера.
Так как сроки свершения событий Т i определяются суммой продолжительностей работ, технологически им предшествующих, то при достаточно большом числе таких работ в соответствии с центральной предельной теоремой распределение случайной величины Т i стремится к нормальному с параметрами – математическое ожидание MТ i и дисперсия DТ i . Нормальное распределение имеет и параметр y ij , соответствующий «обратным» дугам, что также подтверждается статистическим анализом.
Абсолютные ограничения на сроки свершения событий, заданные (16), отражают соответствующие директивные, организационные и технологические ограничения на сроки выполнения работ или их частей, заданные в «абсолютной» (реальной или условной) шкале времени. Абсолютные ограничения также характеризуются типом «не ранее» или «не позднее» и принимает вид: Т i – Т 0 і l i , Т 0 – Т i і –L i . Таким образом, абсолютные ограничения вида (16) являются частным случаем ограничений вида (15) для определенных дуг-связей.
Введение стохастической матрицы смежности А в сочетании с обобщенными связями дает дополнительные возможности для описания процесса создания сложного проекта.
Пусть L(i,j) – некоторый путь, соединяющий события i и j:
L(i,j)={i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j}. (18)
Этот путь детерминированный , если для всех kО справедливо pi k-1 i k =1, и стохастический , в противном случае. Таким образом, стохастический путь содержит хотя бы одну дугу, вероятность «исполнения» которой строго меньше 1.
Аналогично определяется детерминированный и стохастический контур К(i)={i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i}. (такие события i называются «контурными»).
Если события i и j соединены путем L(i,j), то вероятность свершения события j при условии, что событие i произошло Р(j/i) есть произведение коэффициентов матрицы смежности А, соответствующих дугам связующего пути:
Р(j/i)=Х v k=1 p i k-1 i k . (19)
Если события i и j соединены несколькими путями, то выполняется эквивалентное GERT-преобразование данного фрагмента сети в соответствии с приведенными в работе формулами, вычисляется производящая функция Y ij (s) преобразованного фрагмента, и вероятность свершения события j при условии, что событие i произошло Р(j/i)= Y ij (0).
Первая производная функции Y ij (s)/ Y ij (0) по s в точке s=0 (первый момент m 1 (j/i)) определяет математическое ожидание М(j/i) времени свершения события j относительно времени свершения события i. Вторая производная функции Y ij (s)/ Y ij (0) по s в точке s=0 (второй момент m 2 (j/i)) позволяет вычислить дисперсию времени свершения события j относительно времени свершения события i по формуле
s 2 (j/i) =m 2 (j/i) – (m 1 (j/i)) 2 . (20)
Длина пути L(i,j) есть случайная величина, математическое ожидание которой МL(i,j) есть сумма математических ожиданий длин всех дуг, составляющих данный путь, а дисперсия DL(i,j) равна сумме дисперсий.
При этих условиях длина пути (контура) может принимать отрицательные значения, что интерпретируется следующим образом:
если L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться не позднее чем через –y ji дней после наступления события i. Параметр y ji носит вероятностный характер, что позволяет более гибко (по отношению к циклическим сетевым моделям) описывать логико-временные связи между событиями.
В качестве параметра дуги y ij можно рассматривать также любой характерный параметр, который обладает аддитивностью по дугам любого пути (например, стоимость работы), при этом с помощью эквивалентного GERT-преобразования получим математическое ожидание и дисперсию стоимости фрагмента сети или проекта в целом.
Задачи временного анализа ЦССМ (и алгоритмы их решения) так же, как и временной анализ классических, обобщенных или стохастических сетевых моделей, лежат в основе решения всех задач планирования и управления проектом. Они имеют самостоятельное значение при решении задач управления проектом без учета ограничений на ресурсы.
Задачи временного анализа также необходимы для генерирования различных вариантов плана при определенных значениях вектора наличия ресурсов с целью их последующего сопоставления, оценки качества вариантов плана и выбора направления его дальнейшего улучшения.
При решении задач оптимального планирования работ при управлении проектами алгоритмы временного анализа ЦССМ применяются как инструмент для вычисления необходимых параметров, используемых в соответствующих оптимизационных алгоритмах с целью обеспечения выполнения ограничений технологического характера.
Задача временного анализа ЦССМ сводится к нахождению случайного вектора Т=(Т 0 ,Т 1 ,…,Т n), где Т i есть время свершения i-го события, координаты которого удовлетворяют неравенствам (15),(16) и обращают в экстремум некоторую целевую функцию f(T).
Выделены три класса задач временного анализа :
· классические , в которых для вычисления {Т i } используются математические ожидания продолжительностей всех дуг;
· вероятностные, в которых на основании предельной теоремы Ляпунова или другими аналитическими средствами вычисляются математические ожидания сроков свершения i–х событий – {МТ i }, являющиеся аргументами целевой функции f(T);
· статистические , в которых для заданного уровня достоверности р по методике, описанной в работе, определяются р-квантильные оценки эмпирических распределений как сроков свершения i-х событий – {W p (Т i)}, так и производных от них величин, в том числе и значений целевой функции f(W p (T)), где W p (Т)={W p (Т 0),W p (Т 1),…,W p (Т n)}.
Вводится понятие непротиворечивости ЦССМ.
Циклическая стохастическая сетевая модель называется непротиворечивой, если найдется хотя бы один допустимый план, вычисленный для соответствующего класса задач временного анализа (классического, вероятностного или статистического), удовлетворяющий системе неравенств (15),(16).
Разберем эти три понятия.
Классическая непротиворечивость модели.
Вычисляются математические ожидания продолжительностей всех дуг, после чего образуется сеть с постоянными длинами дуг. Учитывая стохастический характер рассматриваемой модели и наличие обобщенных связей, в ЦССМ после проведенных выше вычислений могут иметь место стохастические и детерминированные контуры. Доказывается следующая теорема:
Теорема 1 . Для того, чтобы циклическая стохастическая модель, в которой продолжительности дуг вычислены по классической схеме, была непротиворечивой с заданной вероятностью a, необходимо и достаточно, чтобы длины всех детерминированных контуров были не положительны.
Вероятностная непротиворечивость модели .
Вычисляются аналитическим способом математическое ожидание МТ i и дисперсия s 2 Т i сроков свершения событий. Вычисленные подобным способом параметры на 15-20% отличаются по величине от вычисленных классическим способом (по математическим ожиданиям продолжительностей дуг).
Будем говорить о вероятностной непротиворечивости модели в среднем , если полученный таким образом набор удовлетворяет неравенствам (15)-(16), где в качестве значения y ij взято ее математическое ожидание. Доказана справедливость следующей теоремы:
Теорема 2 . Для того, чтобы циклическая стохастическая модель была вероятностно непротиворечивой в среднем, необходимо и достаточно, чтобы математические ожидания длин всех детерминированных контуров были не положительны.
В предположении, что Т i имеют нормальное распределение с параметрами: математическое ожидание – МТ i и дисперсия – s 2 Т i , введем более широкое понятие e-вероятностная непротиворечивость модели .
Будем говорить, что ЦССМ e-вероятностно непротиворечива, если существует e > 0, такое, что для всех Т i , удовлетворяющих неравенству
|Т i –МТ i | < e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
Теорема 3 . Для того, чтобы циклическая альтернативная модель была e-вероятностно непротиворечивой, необходимо и достаточно, чтобы математические ожидания длин всех детерминированных контуров удовлетворяли соотношению МL(K(i)) Ј –4e.
Вероятностная непротиворечивость модели в среднем является частным случаем e-вероятностной непротиворечивости при e=0.
Статистическая непротиворечивость модели.
При статистическом методе расчета параметров сетевой модели мы имеем дело с их р-квантильными оценками значений, которые являются теоретико-вероятностными аналогами соответствующих показателей. Говорится, что циклическая стохастическая модель статистически непротиворечива с вероятностью р , если для каждого события i существуют р-квантильные оценки сроков свершения событий W p (Т i), удовлетворяющие неравенствам:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i ЈW p (Т i)ЈL i . (22)
Здесь соотношения (21)-(22) являются вероятностными аналогами (15)-(16), W p (y ij) есть р-квантильная оценка длины дуги (i,j). Доказано следующее:
Теорема 4 . Для того, чтобы циклическая альтернативная модель была статистически непротиворечивой с вероятностью р, необходимо и достаточно, чтобы р-квантильные оценки длин всех детерминированных контуров удовлетворяли соотношению W p (L(K(i))) Ј 0.
Алгоритмы расчета временных параметров ЦССМ.
Планы ранних и поздних сроков.
Для расчета ранних и поздних сроков свершения событий предлагается модифицированный алгоритм «Маятник». Идея модификации заключается в синтезе статистического метода расчета параметров, применяемого для вероятностных сетей, и алгоритма «Маятник», используемого в обобщенных сетях, и последующего применения его для ЦССМ.
 |
|||
 |
|||
 |
Рис.10. Принципиальная блок-схема алгоритма для расчета
р-квантильных оценок ранних сроков свершения событий
Блок 1 . Ввод исходных данных (коэффициентов матрицы А, параметров распределения y ij , уровня достоверности р).
Блок 2 . Вычисление необходимого числа «розыгрышей» N для обеспечения заданной точности результатов. Проделанные расчеты показали, что при р=0.95, e=0.05 получаем N»270.
Блок 3 . v:=v+1 (v – номер «розыгрыша»).
Блок 4 . Розыгрыш v-го варианта случайных величин y ij , каждой в соответствии с ее законом распределения, получение констант y ij (v) – длина дуги (i,j) при v-м розыгрыше.
Блок 5 . Розыгрыш для каждой альтернативной вершины i перехода в смежную вершину j (разыгрывается дискретная случайная величина р ij , представленная i-й строкой матрицы смежности А, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе леммой 1 один и тот же стохастический контур при заданном уровне достоверности р может образоваться не более k раз, где k оценивается по соответствующей формуле. k-кратную длину контура прибавляем к длине дуги, которую мы «разыграли» на (k+1)-м шаге и переходим к анализу другого стохастического контура (если он есть). При этом могут образоваться противоречия в сети (положительные детерминированные контуры), тогда в соответствие с приведенными в работе формулами прибавляем d-кратную длину контура, оценивая тем самым время свершения «выходного» из контура события в среднем.
Блок 6 . Полученную детерминированную обобщенную сеть G (v) разбиваем на две сети G 1 (v) и G 2 (v) , так, чтобы ни G 1 (v) , ни G 2 (v) не содержали контуров. Вершины в сети G 1 (v) упорядочиваем по рангам и в соответствие с ними устанавливаем «правильную» нумерацию. Переносим эту нумерацию на сеть G 2 (v) и на исходную G (v) .
Блок 7 . Для всех вершин i сети G 1 (v) вычисляем ранние сроки свершения
Т i 0(v) :=мах j {Т i 0(v) , Т j 0(v) + y ij (v) }.
Блок 8 . Проделываем процедуры, аналогичные блоку 7, для вершин сети G 2 (v) .
Блок 9 . Если результаты блоков 7 и 8 хоть на одном показателе не совпадают, то возвращаемся к блоку 7 (таких возвратов не более, чем число обратных дуг в G 2 (v)), иначе блок 10.
Блок 10 . Если номер розыгрыша vЈN, то переходим к блоку 4, иначе к блоку 11.
Блок 11 . Из полученной совокупности {Т i 0(v) } для каждой вершины i строим вариационный ряд. Фиксируем такое значение Т i 0(x) , что N x /N=р, где N x – число членов вариационного ряда, меньших Т i 0(x) . Величина Т i 0(x) является искомым р-квантилем раннего срока свершения i-го события – W p (Т i 0). Аналогично, по вариационным рядам {y ij (v) } строим р-квантильные оценки длин дуг – W p (y ij).
На вход блока 6 поступает v-й вариант обобщенной сетевой модели G (v) , и, собственно, блоки 6 – 9 представляют собой укрупненную блок-схему алгоритма «Маятник» для вычисления ранних сроков свершения событий в ОСМ. Применяя соответствующий алгоритм для вычисления поздних сроков свершения событий в блоках 7 и 8, мы получаем Т i 1(v) – поздние сроки свершения событий для v-го варианта обобщенной сетевой модели, при этом блок 11 нам дает W p (Т i 1) – р-квантильные оценки поздних сроков свершения событий.
Планы минимальной продолжительности .
Продолжительность L(Т (v)) любого допустимого плана Т (v) ={Т i (v) } v-го варианта сети G (v) определяется по формуле:
L(Т (v))=мах ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
Заменяя в блок-схеме на рис. 10 блоки 6 – 9 на блок нахождения минимума функции (23), получаем план минимальной продолжительности для сети G (v) (или «сжатый» план). Величина
L(Т* (v))=min мах ij |Т i (v) – Т j (v) | (24)
является критическим временем сети G (v) .
Используя в блоках 6-9 метод нахождения сжатого плана для ОСМ и пропуская полученные планы через блок 11, получаем вероятностные р-квантильные оценки сжатых планов.
Резервам времени для работы (i,j) соответствуют их р-квантильные аналоги, вычисляемые по формулам:
R п p (i,j)= W p (Т j 1) - W p (Т i 0) - W p (y ij) для полного резерва , (25)
R с p (i,j)= W p (Т j 0) - W p (Т i 0) - W p (y ij) для свободного резерва . (26)
По соответствующим формулам вычисляются р-квантильные коэффициенты напряженности работ W p (k н (i,j)), затем определяются р-квантильная критическая зона , р-квантильная зона резервов и р-квантильная промежуточная зона .
В качестве параметра дуги мы рассматривали время выполнения операции (работы). Можно рассматривать также любой характерный параметр, который обладает аддитивностью по дугам любого пути. Это может быть стоимость работы, количество потребного накапливаемого ресурса и т.п.
Следует отметить, что до настоящего времени широкое практическое применение нашли только методы детерминированного сетевого моделирования, некоторые эвристические методы оптимального распределения ресурсов и параметрические методы оценки затрат (преимущественно в сфере воздушных и космических полетов). Хотя точное решение стоимостных задач календарного планирования на основе классических сетевых моделей теоретически найдено (описано в), но его практическое использование сопряжено с трудностью получения фактических данных о зависимостях «время-стоимость».
Каждая из рассмотренных выше моделей имеет свою предметную область, по своему (более или менее полно) реализует базовые функции управления проектом, и только синтез анализируемых моделей и методов позволяет построить модель, адекватно отражающую процесс реализации сложного проекта в условиях неопределенности, и при этом получить приемлемое в решение сформулированной задачи.
Тема 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА ОСНОВЕ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
Общие понятия.
Выше были рассмотрены сетевые модели без учета ограниченности ресурсов, т.е. задача наилучшего распределения ресурсов как таковая не ставилась. В рассмотренных нами методах использования сетевых моделей основное внимание уделялось срокам выполнения отдельных работ и выявлению наиболее важных (критических и подкритических) цепочек работ, от которых зависит своевременное окончание проекта (ввод объекта в эксплуатацию). Таким образом, характерной особенностью этих методов является классификация информации по степени ее важности с точки зрения завершения всего комплекса работ в установленный срок.
Количественной мерой важности информации являются резервы времени работ или коэффициенты напряженности
К ij =1 – R п ij /(T n 0 –Т кр (i,j)), (25)
где R п ij – полный резерв работы (i,j), T n 0 – критическое время выполнения проекта, Т кр (i,j) – продолжительность совпадающего с критическим путем отрезка максимального пути, содержащего работу (i,j). 0 £ К ij £ 1, причем, чем ближе К ij к 1, тем относительно меньше резерва в запасе у работы (i,j), следовательно, выше риск ее невыполнения в заданные сроки. Например, у работы (2,5) (рис.5) Т кр (2,5)=5, R п 25 =3, откуда К 25 =1 –3/(22 – 5)=0.82, а у работы (5,8) Т кр (5,8)=0, R п 58 =12, откуда К 58 =1 –12/(22 – 0)=0.45. Работы могут обладать одинаковыми полными резервами, но степень напряженности сроков их выполнения может быть различна. И наоборот, различным полным резервам могут соответствовать одинаковые коэффициенты напряженности. Имея информацию, классифицированную подобным образом, руководитель проекта в каждый момент времени может определить, на каком участке следует сосредоточить внимание (и ресурсы) для ликвидации намечающихся отклонений от заданного срока завершения всех работ.
Прежде чем наметить дальнейшие пути совершенствования методов сетевого планирования и управления, остановимся подробнее на некоторых основных недостатках, присущих методам, рассмотренным выше.
Давая временную оценку продолжительности какой-либо работы, мы предполагали использование для выполнения этой работы определенных ресурсов с определенной интенсивностью (интенсивность потребления ресурса – это количество ресурса, потребляемое в единицу времени).
В момент назначения временной оценки неизвестно, когда эта работа должна будет выполняться, какие другие работы проекта, потребляющие тот же вид ресурса, будут вестись одновременно. Более того, как правило, одни и те же ресурсы могут потребоваться одновременно на разных проектах. Поэтому не исключено, что суммарная потребность в том или ином ресурсе в отдельные моменты времени может превосходить их наличный уровень. В этих случаях придется или уменьшать интенсивность потребления ресурсов на отдельных работах, либо отложить выполнение ряда работ на более поздние сроки, зачастую за пределы полных резервов этих работ. Это приводит в процессе выполнения проекта к частым корректировкам исходного плана, иными словами, к неустойчивости плана.
Очевидно, если заранее при планировании процесса выполнения проекта учесть ограниченность ресурсов, то можно получить гораздо более надежный план.
Наличный уровень ресурсов и возможные сроки завершения проекта взаимосвязаны. Время завершения всего проекта будет зависеть от того, когда и какое количество ресурсов будет выделено на каждую работу, а это в значительной мере определяется их предполагаемым наличием в каждый момент времени.
Таким образом, возникает задача о распределении ресурсов в сетевой постановке.
Вообще говоря, любой процесс производственного планирования есть ни что иное, как решение задачи об эффективном использовании ресурсов.
Критерии эффективности могут быть различны, на этом важном моменте планирования (выборе и обосновании критерия) мы остановимся несколько ниже при рассмотрении конкретных задач.
Введем некоторые понятия и определения.
· Программой работ назовем определенное множество операций (работ), которое нужно выполнить для достижения одной или нескольких целей, причем выполнение работ программы подчинено единому руководящему центру. Можно говорить о программе работ по пусковому комплексу, программе работ участка, строительной организации, проектного института и т.п.
· Однотемной программой работ будем называть программу, состоящую из одного комплекса технологически взаимосвязанных работ, направленных на достижение одной (одноцелевая тема) или нескольких целей (многоцелевая тема).
· Многотемной программой работ будем называть программу, состоящую из нескольких комплексов работ, технологически взаимосвязанных внутри каждого комплекса. Каждый комплекс работ может иметь одну или несколько конечных целей. Работы, принадлежащие разным комплексам, технологически между собой не связаны. Принадлежность тем одной многотемной программе обуславливается единством управляющего центра и общностью резервуара ресурсов.
Рассмотрим сначала различные постановки задач распределения ресурсов для однотемной одноцелевой программы .
Исходя из двух возможных целевых установок при управлении проектом, описанным сетевой моделью, возможны два основных типа постановки задач. Первый тип ориентирован на жесткое соблюдение ограничений по ресурсам, тогда как второй тип предполагает строгое выполнение сроков завершения проекта.
Формулировка первого типа постановки задачи («калибровка»).
При заданных ограничениях в потреблении ресурсов найти такое их распределение с учетом технологической последовательности ведения работ, определенной топологией сетевого графика, которое обеспечивает завершение всей программы за минимальное время.
Формулировка второго типа постановки задачи («сглаживание»).
При соблюдении заданной продолжительности выполнения программы требуется так распределить ресурсы по отдельным работам, чтобы их потребление было оптимальным. Вопрос о выборе критерия оптимальности для этой постановки будет нами рассмотрен специально.
В силу разного механизма удовлетворения потребности в ресурсах их принято разделять на две группы: накапливаемые (складируемые) и ненакапливаемые (нескладируемые). Вторую группу ресурсов часто называют «ресурсы типа мощности».
К первой группе относятся ресурсы, которые по своему характеру допускают накопление с возможностью их последующего использования, например, денежные средства, различные материалы и конструкции и т.п. Ресурсные ограничения в этом случае могут быть заданы интегральной неубывающей функцией, показывающей в каждый момент времени суммарную величину поставок ресурса за весь предшествующий период.
Ко второй группе относятся ресурсы, накопление которых для последующего использования невозможно. Например, ресурсы рабочего и машинного времени. Простой рабочих и механизмов является безвозвратной потерей. Ресурсные ограничения для этой группы задаются функцией наличия ресурса в каждый момент времени.