وظائف متغير معقد.
التمايز بين وظائف المتغير المعقد.

تفتح هذه المقالة سلسلة من الدروس التي سأتناول فيها المشكلات النموذجية المتعلقة بنظرية وظائف المتغير المعقد. لإتقان الأمثلة بنجاح، يجب أن يكون لديك معرفة أساسية بالأعداد المركبة. من أجل توحيد المواد وتكرارها، ما عليك سوى زيارة الصفحة. سوف تحتاج أيضا إلى المهارات اللازمة للعثور عليها المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية. ها هي هذه المشتقات الجزئية... حتى الآن كنت مندهشًا قليلاً من عدد مرات حدوثها...

الموضوع الذي بدأنا في فحصه لا يمثل أي صعوبات خاصة، وفي وظائف المتغير المعقد، من حيث المبدأ، كل شيء واضح ويمكن الوصول إليه. الشيء الرئيسي هو الالتزام بالقاعدة الأساسية التي استنتجتها تجريبياً. واصل القراءة!

مفهوم دالة المتغير المعقد

أولاً، دعونا نجدد معرفتنا حول وظيفة المدرسة لمتغير واحد:

دالة متغيرة واحدةهي القاعدة التي بموجبها تتوافق كل قيمة للمتغير المستقل (من مجال التعريف) مع قيمة واحدة فقط للدالة. وبطبيعة الحال، "x" و"y" هي أعداد حقيقية.

في الحالة المعقدة، يتم تحديد الاعتماد الوظيفي بالمثل:

دالة ذات قيمة واحدة لمتغير معقد- هذه هي القاعدة التي يتبعها الجميع شاملقيمة المتغير المستقل (من مجال التعريف) تقابل واحدا فقط شاملقيمة الوظيفة. تأخذ النظرية أيضًا في الاعتبار متعدد القيم وبعض أنواع الوظائف الأخرى، ولكن من أجل التبسيط سأركز على تعريف واحد.

ما هو الفرق بين وظيفة متغيرة معقدة؟

الفرق الرئيسي: الأعداد المركبة. أنا لا أسخر. غالبًا ما تترك مثل هذه الأسئلة الناس في ذهول، وفي نهاية المقال سأخبرك بقصة مضحكة. في الدرس الأعداد المركبة للدمىلقد نظرنا إلى عدد مركب في النموذج . ومنذ الآن أصبح الحرف "z". عامل، فسنشير إليها على النحو التالي: بينما يمكن أن يختلف "x" و "y". صالحالمعاني. بشكل تقريبي، تعتمد وظيفة المتغير المعقد على المتغيرات و التي تأخذ قيمًا "عادية". والنقطة التالية تنبع منطقيا من هذه الحقيقة:

يمكن كتابة دالة المتغير المركب على النحو التالي:
، أين و وظيفتان لاثنين صالحالمتغيرات.

يتم استدعاء الدالة الجزء الحقيقيالمهام
يتم استدعاء الدالة الجزء الخياليالمهام

أي أن دالة المتغير المركب تعتمد على وظيفتين حقيقيتين و. لتوضيح كل شيء أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على الأمثلة العملية:

مثال 1

حل:كما تتذكرون فإن المتغير المستقل "zet" يُكتب على الصورة:

(١) قمنا بالاستبدال.

(2) بالنسبة للفصل الأول، تم استخدام صيغة الضرب المختصرة. في المصطلح، تم فتح الأقواس.

(٣) أي تربيعه بعناية، دون أن ننسى ذلك

(4) إعادة ترتيب المصطلحات: أولا نعيد كتابة المصطلحات ، حيث لا توجد وحدة وهمية(المجموعة الأولى)، ثم المصطلحات التي توجد بها (المجموعة الثانية). تجدر الإشارة إلى أن خلط المصطلحات ليس ضروريًا، ويمكن تخطي هذه الخطوة (عن طريق القيام بذلك شفهيًا فعليًا).

(5) بالنسبة للمجموعة الثانية نخرجها من الأقواس.

ونتيجة لذلك، أصبحت الدالة ممثلة في النموذج

إجابة:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة.
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

ما نوع الوظائف التي تحولت إليها هذه؟ الوظائف الأكثر شيوعًا لمتغيرين يمكنك من خلالها العثور على مثل هذه الشعبية المشتقات الجزئية. وبدون رحمة سوف نجدها. ولكن بعد ذلك بقليل.

باختصار، يمكن كتابة خوارزمية المشكلة التي تم حلها على النحو التالي: نستبدل في الوظيفة الأصلية، ونجري التبسيطات ونقسم جميع الحدود إلى مجموعتين - بدون وحدة وهمية (جزء حقيقي) وبوحدة وهمية (جزء وهمي) .

مثال 2

أوجد الجزء الحقيقي والتخيلي من الدالة

هذا مثال لك لحله بنفسك. قبل أن تندفع إلى المعركة على المستوى المعقد مع رسم قطع الداما، دعني أقدم لك أكثر من ذلك نصيحة مهمةحول هذا الموضوع:

احرص!عليك أن تكون حذرًا، بالطبع، في كل مكان، ولكن في الأعداد المركبة يجب أن تكون أكثر حذرًا من أي وقت مضى! تذكر أنه، فتح الأقواس بعناية، لا تفقد أي شيء. حسب ملاحظاتي فإن الخطأ الأكثر شيوعاً هو فقدان الإشارة. لا تتسرع!

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

الآن المكعب. باستخدام صيغة الضرب المختصرة نستنتج:
.

تعتبر الصيغ ملائمة جدًا للاستخدام العملي، لأنها تعمل على تسريع عملية الحل بشكل كبير.

التمايز بين وظائف المتغير المعقد.

لدي خبران: جيد وسيئ. سأبدأ بالفكرة الجيدة. بالنسبة لدالة ذات متغير معقد، تكون قواعد التمايز وجدول مشتقات الوظائف الأولية صالحة. وبالتالي، يتم أخذ المشتقة بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة دالة المتغير الحقيقي.

الخبر السيئ هو أنه بالنسبة للعديد من الدوال المتغيرة المعقدة لا يوجد مشتق على الإطلاق، وعليك معرفة ذلك هل هو قابل للتمييزوظيفة واحدة أو أخرى. و"معرفة" ما يشعر به قلبك يرتبط بمشاكل إضافية.

دعونا نفكر في وظيفة المتغير المعقد. لكي تكون هذه الوظيفة قابلة للتفاضل، من الضروري والكافي:

1) وجود مشتقات جزئية من الدرجة الأولى. انسَ هذه الرموز على الفور، لأنه في نظرية وظائف المتغير المعقد يتم استخدام رموز مختلفة بشكل تقليدي: .

2) تنفيذ ما يسمى شروط كوشي ريمان:

فقط في هذه الحالة سيكون المشتق موجودًا!

مثال 3

حلوتنقسم إلى ثلاث مراحل متتالية:

1) دعونا نجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. لقد تمت مناقشة هذه المهمة في الأمثلة السابقة، لذا سأكتبها دون تعليق:

منذ ذلك الحين:

هكذا:

- الجزء التخيلي من الوظيفة .

اسمحوا لي أن أتطرق إلى نقطة فنية أخرى: بأي ترتيباكتب المصطلحات في الجزأين الحقيقي والتخيلي؟ نعم، من حيث المبدأ، لا يهم. على سبيل المثال، الجزء الحقيقي يمكن كتابته على النحو التالي: ، والتخيلي – هكذا: .

2) دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. هناك اثنان منهم.

لنبدأ بالتحقق من الحالة. نجد المشتقات الجزئية:

وبذلك يتحقق الشرط.

والخبر السار بالطبع هو أن المشتقات الجزئية تكون دائمًا بسيطة جدًا.

ونتحقق من تحقق الشرط الثاني:

والنتيجة واحدة ولكن بإشارات معاكسة، أي أن الشرط قد تحقق أيضاً.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان، وبالتالي فإن الدالة قابلة للاشتقاق.

3) دعونا نجد مشتقة الدالة. المشتق أيضًا بسيط جدًا ويتم العثور عليه وفقًا للقواعد المعتادة:

تعتبر الوحدة التخيلية ثابتة أثناء التمايز.

إجابة: - الجزء الحقيقي، - الجزء الخيالي.
تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

هناك طريقتان أخريان للعثور على المشتقة، بالطبع، يتم استخدامهما بشكل أقل تكرارًا، لكن المعلومات ستكون مفيدة لفهم الدرس الثاني - كيفية العثور على وظيفة لمتغير معقد؟

يمكن العثور على المشتق باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

هكذا

يتعين علينا حل المشكلة العكسية - في التعبير الناتج نحتاج إلى عزل . وللقيام بذلك، لا بد من ما يلي في المصطلحات وخارج الأقواس:

الإجراء العكسي، كما لاحظ الكثيرون، أصعب إلى حد ما في التنفيذ؛ للتحقق، من الأفضل دائمًا أخذ التعبير على مسودة أو فتح الأقواس شفهيًا، والتأكد من أن النتيجة صحيحة

صيغة المرآة لإيجاد المشتق:

في هذه الحالة: ، لهذا السبب:

مثال 4

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. إذا تحققت شروط كوشي-ريمان، فأوجد مشتقة الدالة.

حل قصير وعينة تقريبية للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

هل شروط كوشي-ريمان مستوفاة دائمًا؟ ومن الناحية النظرية، لا يتم الوفاء بها في كثير من الأحيان أكثر مما يتم الوفاء بها. لكن في الأمثلة العملية، لا أتذكر الحالة التي لم يتم فيها استيفاءها =) وبالتالي، إذا كانت مشتقاتك الجزئية "لا تتقارب"، فمن المحتمل جدًا أن تقول أنك ارتكبت خطأً في مكان ما.

دعونا تعقيد وظائفنا:

مثال 5

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. احسب

حل:تم الحفاظ على خوارزمية الحل بالكامل، ولكن في النهاية ستتم إضافة نقطة جديدة: العثور على المشتق عند نقطة ما. بالنسبة للمكعب، تم بالفعل اشتقاق الصيغة المطلوبة:

دعونا نحدد الأجزاء الحقيقية والتخيلية لهذه الوظيفة:

الاهتمام والاهتمام مرة أخرى!

منذ ذلك الحين:


هكذا:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

التحقق من الشرط الثاني:

والنتيجة واحدة ولكن بإشارات معاكسة، أي أن الشرط قد تحقق أيضاً.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان، وبالتالي فإن الدالة قابلة للاشتقاق:

لنحسب قيمة المشتق عند النقطة المطلوبة:

إجابة:،، تم استيفاء شروط كوشي-ريمان،

تعد الوظائف ذات المكعبات شائعة، لذا إليك مثال لتعزيزها:

مثال 6

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. احسب.

الحل ومثال الإنهاء في نهاية الدرس.

نظريا تحليل شامليتم أيضًا تعريف الوظائف الأخرى للوسيطة المعقدة: الأس، وجيب التمام، وجيب التمام، وما إلى ذلك. تتمتع هذه الوظائف بخصائص غير عادية وحتى غريبة - وهذا مثير للاهتمام حقًا! أريد حقًا أن أخبرك، ولكن هنا، كما يحدث، ليس كتابًا مرجعيًا أو كتابًا مدرسيًا، ولكنه كتاب حلول، لذلك سأفكر في نفس المشكلة مع بعض الوظائف الشائعة.

أولا عن ما يسمى صيغ أويلر:

لأي احد صالحالأرقام، الصيغ التالية صالحة:

يمكنك أيضًا نسخه إلى دفتر ملاحظاتك كمواد مرجعية.

بالمعنى الدقيق للكلمة، هناك صيغة واحدة فقط، ولكن عادة من أجل الراحة يكتبون أيضًا حالة خاصة مع علامة الطرح في الأس. لا يجب أن تكون المعلمة حرفًا واحدًا؛ يمكن أن تكون تعبيرًا أو وظيفة معقدة، من المهم فقط قبولها صالحة فقطالمعاني. في الواقع سنرى هذا الآن:

مثال 7

أوجد المشتقة.

حل:يظل الخط العام للحزب ثابتًا - من الضروري التمييز بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة. سأقدم حلاً مفصلاً وأعلق على كل خطوة أدناه:

منذ ذلك الحين:

(1) استبدل "z" بدلاً من ذلك.

(2) بعد الاستبدال، عليك تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية الأول في المؤشرالعارضين. للقيام بذلك، افتح الأقواس.

(3) نقوم بتجميع الجزء التخيلي من المؤشر، مع وضع الوحدة التخيلية خارج القوسين.

(4) نستخدم الفعل المدرسي بالدرجات.

(5) بالنسبة للمضاعف نستخدم صيغة أويلر، و.

(6) افتح القوسين فينتج:

- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

هناك إجراءات أخرى قياسية؛ دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

مثال 9

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. فليكن، لن نجد المشتقة.

حل:خوارزمية الحل مشابهة جدًا للمثالين السابقين، ولكن هناك خوارزميات كثيرة جدًا نقاط مهمة، لهذا المرحلة الأولىسأعود للتعليق مرة أخرى خطوة بخطوة:

منذ ذلك الحين:

1) استبدل "z" بدلاً من ذلك.

(2) أولا نختار الأجزاء الحقيقية والتخيلية داخل الجيوب الأنفية. ولهذه الأغراض، نفتح الأقواس.

(3) نستخدم الصيغة و .

(4) الاستخدام تكافؤ جيب التمام الزائدي: و شذوذ الجيب الزائدي: . القطع الزائد، على الرغم من كونها خارج هذا العالم، إلا أنها تذكرنا من نواحٍ عديدة بالدوال المثلثية المماثلة.

مؤخراً:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

انتباه!علامة الطرح تشير إلى الجزء التخيلي، ولا يجب أن نفقده تحت أي ظرف من الظروف! للحصول على توضيح واضح، يمكن إعادة كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه على النحو التالي:

دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

تم استيفاء شروط كوشي ريمان.

إجابة:،، تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

أيها السيدات والسادة، دعونا نكتشف ذلك بأنفسنا:

مثال 10

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان.

لقد اخترت عمدا أمثلة أكثر صعوبة، لأنه يبدو أن الجميع قادرون على التعامل مع شيء ما، مثل الفول السوداني المقشر. وفي الوقت نفسه، سوف تدرب انتباهك! كسارة البندق في نهاية الدرس.

حسنًا، في الختام، سأفكر في واحدة أخرى مثال مثير للاهتمام، عندما تكون الوسيطة المعقدة في المقام. لقد حدث ذلك عدة مرات في الممارسة العملية، دعونا ننظر إلى شيء بسيط. ها أنا أتقدم في السن..

مثال 11

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان.

حل:مرة أخرى، من الضروري التمييز بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة.
اذا ثم

السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل عندما يكون "Z" في المقام؟

كل شيء بسيط - المعيار سوف يساعد طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق، لقد تم استخدامه بالفعل في أمثلة الدرس الأعداد المركبة للدمى. دعونا نتذكر صيغة المدرسة. لدينا بالفعل في المقام، مما يعني أن التعبير المترافق سيكون . وبالتالي، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في: