صيغة نظرية الاحتمالات للتوقع الرياضي. التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي

2. أساسيات نظرية الاحتمال

القيمة المتوقعة

ضع في اعتبارك متغيرًا عشوائيًا بقيم عددية. غالبًا ما يكون من المفيد ربط رقم بهذه الوظيفة - "قيمته المتوسطة" أو ، كما يقولون ، "متوسط ​​القيمة" ، "مؤشر الاتجاه المركزي". لعدد من الأسباب ، بعضها سوف يتضح فيما يلي ، من الشائع استخدام المتوسط ​​كوسيلة.

التعريف 3.التوقع الرياضي لمتغير عشوائي Xيسمى رقم

أولئك. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي هو مجموع مرجح لقيم متغير عشوائي بأوزان مساوية لاحتمالات الأحداث الأولية المقابلة.

مثال 6دعنا نحسب التوقع الرياضي للرقم الذي سقط على الوجه العلوي للنرد. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف 3

البيان 2.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم x 1 ، x 2 ، ... ، xم. ثم المساواة

(5)

أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو المجموع المرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان مساوية لاحتمالات أن يأخذ المتغير العشوائي قيمًا معينة.

على عكس (4) ، حيث يتم إجراء الجمع مباشرة على الأحداث الأولية ، يمكن أن يتكون الحدث العشوائي من عدة أحداث أولية.

في بعض الأحيان يتم أخذ العلاقة (5) على أنها تعريف للتوقع الرياضي. ومع ذلك ، باستخدام التعريف 3 ، كما هو موضح أدناه ، من الأسهل تحديد خصائص التوقع المطلوب للبناء النماذج الاحتماليةالظواهر الحقيقية بمساعدة العلاقة (5).

لإثبات العلاقة (5) ، قمنا بتجميع المصطلحات في (4) مع نفس القيممتغير عشوائي:

بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المجموع ، إذن

من خلال تعريف احتمال وقوع حدث

بمساعدة العلاقات الأخيرين ، نحصل على المطلوب:

يتوافق مفهوم التوقع الرياضي في النظرية الإحصائية الاحتمالية مع مفهوم مركز الثقل في الميكانيكا. دعونا نضعها في النقاط x 1 ، x 2 ، ... ، xمعلى المحور العددي للكتلة ص(X= x 1 ), ص(X= x 2 ),…, ص(X= س م) على التوالى. ثم توضح المساواة (5) أن مركز الثقل لهذا النظام من النقاط المادية يتطابق مع التوقع الرياضي ، مما يدل على طبيعة التعريف 3.

البيان 3.يترك X- قيمة عشوائية ، م (X)هو توقعها الرياضي ، أ- بعض الأرقام. ثم

1) م (أ) = أ ؛ 2) م (XM (X)) = 0 ؛ 3 مليون [(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 .

لإثبات ذلك ، نعتبر أولاً متغيرًا عشوائيًا ثابتًا ، أي تقوم الوظيفة بتعيين مساحة الأحداث الأولية إلى نقطة واحدة أ. بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المجموع ، إذن

إذا تم تقسيم كل حد من المجموع إلى فترتين ، فسيتم تقسيم المجموع الكلي أيضًا إلى مجموعين ، يتكون الأول منهما من المصطلحين الأول والثاني. لذلك ، التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين X + ص، المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية ، تساوي مجموع التوقعات الرياضية م (X)و م (يو)هذه المتغيرات العشوائية:

م (س + ص) = م (س) + م (ص).

وبالتالي م (X-M (X)) = M (X) - M (M (X)).كما هو مبين أعلاه، م (م (س)) = م (X).لذلك، M (XM (X)) = M (X) - M (X) = 0.

بسبب ال (س - أ) 2 = ((X – م(X)) + (م(X) - أ)} 2 = (X - م(X)) 2 + 2(X - م(X))(م(X) - أ) + (م(X) – أ) 2 ، الذي - التي م[(س - أ) 2] =م(X - م(X)) 2 + م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} + م[(م(X) – أ) 2 ]. دعونا نبسط المساواة الأخيرة. كما هو موضح في بداية إثبات الاقتراح 3 ، فإن توقع الثابت هو الثابت نفسه ، وبالتالي م[(م(X) – أ) 2 ] = (م(X) – أ) 2 . بما أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المجموع ، إذن م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} = 2(م(X) - أ) م (X - م(X)). الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة هو 0 لأنه ، كما هو موضح أعلاه ، M (XM (X)) = 0.لذلك، م [(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 التي كان من المقرر إثباتها.

مما قيل ، يتبع ذلك م [(X- أ) 2 ] يصل إلى الحد الأدنى أيساوي م[(X- م(X)) 2 ], في أ = م (س) ،لأن المصطلح الثاني في المساواة 3) دائمًا غير سالب ويساوي 0 فقط للقيمة المحددة أ.

البيان 4.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم x 1 ، x 2 ، ... ، xم، و f هي بعض وظائف وسيطة رقمية. ثم

لإثبات ذلك ، دعنا نجمع على الجانب الأيمن من المساواة (4) ، الذي يحدد التوقع الرياضي ، المصطلحات بنفس القيم:

باستخدام حقيقة أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المجموع ، ومن خلال تحديد احتمال وقوع حدث عشوائي (2) ، نحصل على

Q.E.D.

البيان 5.يترك Xو فيهي متغيرات عشوائية محددة في نفس مساحة الأحداث الأولية ، أو ب- بعض الأرقام. ثم م(فأس+ بواسطة)= أكون(X)+ بي ام(ص).

باستخدام تعريف التوقع الرياضي وخصائص رمز الجمع ، نحصل على سلسلة من المساواة:

ثبت المطلوب.

يوضح ما ورد أعلاه كيف يعتمد التوقع الرياضي على الانتقال إلى أصل آخر وإلى وحدة قياس أخرى (انتقال ص=فأس+ب) ، وكذلك وظائف المتغيرات العشوائية. يتم استخدام النتائج التي تم الحصول عليها باستمرار في التحليل الفني والاقتصادي ، في تقييم الأنشطة المالية والاقتصادية للمؤسسة ، في الانتقال من عملة إلى أخرى في التسويات الاقتصادية الأجنبية ، في الوثائق التنظيمية والفنية ، إلخ. تسمح النتائج المدروسة باستخدام نفس الصيغ الحسابية لمختلف المعلمات المقياس والتحول.

سابق

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي X ، المعطى على مساحة احتمالية منفصلة ، هو الرقم m = M [X] = ∑x i p i ، إذا كانت السلسلة تتقارب تمامًا.

مهمة الخدمة. بمساعدة الخدمة وضع على شبكة الإنترنت يتم حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك ، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F (X).

خصائص التوقع الرياضي لمتغير عشوائي

1. التوقع الرياضي للقيمة الثابتة يساوي نفسه: M [C] = C ، C ثابت ؛
2. M = C M [X]
3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية: M = M [X] + M [Y]
4. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية: M = M [X] M [Y] إذا كانت X و Y مستقلتان.

خصائص التشتت

1. تشتت قيمة ثابتة تساوي الصفر: D (c) = 0.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التشتت بتربيعه: D (k * X) = k 2 D (X).
3. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y مستقلة ، فإن تباين المجموع يساوي مجموع الفروق: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y تابعة: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. بالنسبة للتباين ، تكون الصيغة الحسابية صالحة:
   D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

مثال. تُعرف التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y: M (x) = 8 ، M (Y) = 7 ، D (X) = 9 ، D (Y) = 6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z = 9X-8Y + 7.
حل. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23.
بناءً على خصائص التشتت: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بالأرقام الطبيعية ؛ عيّن لكل قيمة احتمالًا غير صفري.

1. اضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: x i في p i.
2. نضيف حاصل ضرب كل زوج x i p i.
   على سبيل المثال ، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلتدريجيًا ، يزداد فجأة عند النقاط التي تكون احتمالاتها إيجابية.

مثال 1.

س ط	1	3	4	7	9
باي	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

تم العثور على التوقع الرياضي من خلال الصيغة م = ∑x أنا ص ط.
التوقع الرياضي M [X].
م [س] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
تم العثور على التشتت بالصيغة d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
تشتت D [X].
D [X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
الانحراف المعياري σ (x).
σ = الجذر التربيعي (D [X]) = الجذر التربيعي (7.69) = 2.78

المثال رقم 2. المتغير العشوائي المنفصل له سلسلة التوزيع التالية:

X	-10	-5	0	5	10
ص	أ	0,32	2أ	0,41	0,03

أوجد القيمة أ والتوقع الرياضي والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي.

حل. تم العثور على القيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp i = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24 = 3 أ ، ومن أين أ = 0.08

المثال رقم 3. حدد قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل إذا كان تباينه معروفًا ، و x 1 × 1 = 6 ؛ x2 = 9 ؛ x3 = س ؛ س 4 = 15
ص 1 = 0.3 ؛ p2 = 0.3 ؛ p3 = 0.1 ؛ ص 4 \ u003d 0.3
د (س) = 12.96

حل.
هنا تحتاج إلى عمل صيغة لإيجاد التباين d (x):
د (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
حيث التوقع m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
لبياناتنا
م (س) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + × 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1 س 3
12.96 = 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2-20 × + 96) = 0
وفقًا لذلك ، من الضروري إيجاد جذور المعادلة ، وسيكون هناك اثنان منهم.
× 3 \ u003d 8 ، × 3 \ u003d 12
نختار الشخص الذي يلبي الشرط × 1 x3 = 12

قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل
× 1 = 6 ؛ x2 = 9 ؛ × 3 \ u003d 12 ؛ س 4 = 15
ص 1 = 0.3 ؛ p2 = 0.3 ؛ p3 = 0.1 ؛ ص 4 \ u003d 0.3

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب كل قيمه المحتملة واحتمالاتها.

لنفترض أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ فقط الاحتمالات المتساوية على التوالي. ثم يتم تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي من خلال المساواة

إذا أخذ متغير عشوائي منفصل مجموعة قابلة للعد من القيم المحتملة ، إذن

علاوة على ذلك ، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت السلسلة على الجانب الأيمن من المساواة تتقارب بشكل مطلق.

تعليق. ويترتب على التعريف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو متغير غير عشوائي (ثابت).

تعريف التوقع الرياضي في الحالة العامة

دعونا نحدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي لا يكون توزيعه منفصلاً بالضرورة. لنبدأ بحالة المتغيرات العشوائية غير السالبة. ستكون الفكرة هي تقريب مثل هذه المتغيرات العشوائية بمساعدة متغيرات منفصلة ، والتي تم تحديد التوقع الرياضي لها بالفعل ، وتعيين التوقع الرياضي مساويًا لحد التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية المنفصلة التي تقاربها. بالمناسبة ، هذه فكرة عامة مفيدة للغاية ، والتي تتمثل في حقيقة أن بعض الخصائص يتم تحديدها أولاً للأشياء البسيطة ، ثم بالنسبة للكائنات الأكثر تعقيدًا ، يتم تحديدها عن طريق تقريبها بأخرى أبسط.

Lemma 1. يجب أن يكون هناك متغير عشوائي عشوائي غير سلبي. ثم هناك سلسلة من المتغيرات العشوائية المنفصلة مثل ذلك

دليل. دعونا نقسم نصف المحور إلى أجزاء متساوية الطول وتحديد

ثم تتبع الخاصيتان 1 و 2 بسهولة من تعريف المتغير العشوائي ، و

Lemma 2. لنكن متغير عشوائي غير سالب ومتسلسلان من المتغيرات العشوائية المنفصلة ذات الخصائص 1-3 من Lemma 1. ثم

دليل. لاحظ أنه نسمح للمتغيرات العشوائية غير السلبية

من خلال الخاصية 3 ، من السهل ملاحظة وجود سلسلة من الأرقام الموجبة على هذا النحو

ومن ثم يتبع ذلك

باستخدام خصائص التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية المنفصلة ، نحصل عليها

تجاوز الحد حيث نحصل على تأكيد Lemma 2.

التعريف 1. لنكن متغير عشوائي غير سالب ، يكون سلسلة من المتغيرات العشوائية المنفصلة ذات الخصائص 1-3 من Lemma 1. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو الرقم

يضمن Lemma 2 أنه لا يعتمد على اختيار التسلسل التقريبي.

لنكن الآن متغير عشوائي عشوائي. دعنا نحدد

من التعريف ويتبع ذلك بسهولة

التعريف 2. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي عشوائي هو الرقم

إذا كان واحدًا على الأقل من الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من هذه المساواة محدودًا.

خصائص التوقع

الخاصية 1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه:

دليل. سوف نعتبر الثابت متغيرًا عشوائيًا متقطعًا له قيمة واحدة محتملة ويأخذها مع الاحتمال ، لذلك ،

ملاحظة 1. نحدد ناتج قيمة ثابتة بواسطة متغير عشوائي منفصل كمتغير عشوائي منفصل قيمه المحتملة تساوي حاصل ضرب ثابت بالقيم الممكنة ؛ احتمالات القيم الممكنة تساوي احتمالات القيم الممكنة المقابلة. على سبيل المثال ، إذا تساوى احتمال قيمة محتملة ، فإن احتمال أن تأخذ القيمة قيمة تساوي أيضًا

الخاصية 2. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التوقع:

دليل. دع المتغير العشوائي يُعطى بواسطة قانون التوزيع الاحتمالي:

بالنظر إلى الملاحظة 1 ، نكتب قانون توزيع المتغير العشوائي

ملاحظة 2. قبل الانتقال إلى الخاصية التالية ، نشير إلى أن متغيرين عشوائيين يسمىان مستقلين إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم المحتملة التي اتخذها المتغير الآخر. خلاف ذلك ، فإن المتغيرات العشوائية تعتمد. تسمى العديد من المتغيرات العشوائية مستقلة بشكل متبادل إذا كانت قوانين توزيع أي عدد منها لا تعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها المتغيرات الأخرى.

ملاحظة 3. نحدد ناتج المتغيرات العشوائية المستقلة وكمتغير عشوائي تكون قيمه المحتملة مساوية لنواتج كل قيمة ممكنة من خلال كل قيمة محتملة لاحتمالات القيم المحتملة للمنتج متساوية إلى حاصل ضرب احتمالات القيم المحتملة للعوامل. على سبيل المثال ، إذا كان احتمال قيمة محتملة ، فإن احتمال القيمة المحتملة يكون عندئذٍ احتمال القيمة المحتملة هو

الخاصية 3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي ناتج توقعاتهما الرياضية:

دليل. دع المتغيرات العشوائية المستقلة تُعطى من خلال قوانين توزيع الاحتمالات الخاصة بها:

دعونا نصنع جميع القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي ، للقيام بذلك ، نقوم بضرب كل القيم الممكنة في كل قيمة ممكنة ؛ نتيجة لذلك ، نحصل ، مع مراعاة الملاحظة 3 ، نكتب قانون التوزيع على افتراض البساطة أن جميع القيم الممكنة للمنتج مختلفة (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتم تنفيذ الإثبات بشكل مشابه):

التوقع الرياضي يساوي مجموع حاصل ضرب كل القيم الممكنة واحتمالاتها:

عاقبة. التوقع الرياضي لمنتج لعدة متغيرات عشوائية مستقلة بشكل متبادل يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية.

الخاصية 4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:

دليل. دع المتغيرات العشوائية تُعطى بواسطة قوانين التوزيع التالية:

تكوين جميع القيم الممكنة للكمية للقيام بذلك ، أضف كل قيمة ممكنة إلى كل قيمة ممكنة ؛ نحصل عليه لنفترض من أجل البساطة أن هذه القيم المحتملة مختلفة (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتم تنفيذ الإثبات بطريقة مماثلة) ، ونشير إلى احتمالاتها على التوالي

التوقع الرياضي للقيمة يساوي مجموع منتجات القيم المحتملة من خلال احتمالاتها:

دعنا نثبت أن الحدث الذي يتكون من أخذ قيمة (احتمالية هذا الحدث متساوية) يستلزم حدثًا يتكون من أخذ القيمة أو (احتمال أن يكون هذا الحدث متساويًا من خلال نظرية الإضافة) ، والعكس صحيح. ومن هنا يتبع ذلك المساواة

استبدال الأجزاء الصحيحة من هذه المساواة بعلاقة (*) ، نحصل عليها

او اخيرا

التشتت والانحراف المعياري

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا تقدير تشتت القيم المحتملة لمتغير عشوائي حول قيمته المتوسطة. على سبيل المثال ، في المدفعية ، من المهم معرفة مدى قرب سقوط القذائف بالقرب من الهدف الذي ينبغي إصابته.

للوهلة الأولى ، قد يبدو أن أسهل طريقة لتقدير التشتت هي حساب جميع القيم الممكنة لانحراف متغير عشوائي ثم إيجاد متوسط ​​قيمتها. ومع ذلك ، فإن هذا المسار لن يعطي أي شيء ، حيث أن متوسط ​​قيمة الانحراف ، أي لأي متغير عشوائي هو صفر. تفسر هذه الخاصية بحقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة إيجابية ، بينما البعض الآخر سلبي ؛ نتيجة للإلغاء المتبادل بينهما ، فإن متوسط ​​قيمة الانحراف هو صفر. تشير هذه الاعتبارات إلى ملاءمة استبدال الانحرافات المحتملة بقيمها المطلقة أو بمربعاتها. هذه هي الطريقة التي يفعلونها في الممارسة. صحيح ، في حالة استبدال الانحرافات المحتملة بقيمها المطلقة ، يتعين على المرء أن يعمل بقيم مطلقة ، مما يؤدي أحيانًا إلى صعوبات خطيرة. لذلك ، غالبًا ما يذهبون في الاتجاه الآخر ، أي احسب متوسط ​​قيمة الانحراف التربيعي ، وهو ما يسمى التباين.

يمكن أيضًا وصف المتغيرات العشوائية ، بالإضافة إلى قوانين التوزيع الخصائص العددية .

توقع رياضييسمى M (x) لمتغير عشوائي قيمته المتوسطة.

يتم حساب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل بواسطة الصيغة

أين – قيم متغير عشوائي ، ص أنا-احتمالاتهم.

ضع في اعتبارك خصائص التوقع الرياضي:

1. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه

2. إذا تم ضرب متغير عشوائي في رقم معين k ، فسيتم ضرب التوقع الرياضي بنفس الرقم

م (كس) = كم (س)

3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \ u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. م (× 1 - × 2) \ u003d م (× 1) - م (× 2)

5. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة × 1 ، × 2 ، ... × ن ، يكون التوقع الرياضي للمنتج مساويًا لمنتج توقعاتهم الرياضية

M (x 1، x 2، ... x n) \ u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \ u003d M (x) - M (M (x)) \ u003d M (x) - M (x) \ u003d 0

دعنا نحسب التوقع الرياضي للمتغير العشوائي من المثال 11.

م (س) == .

المثال 12.دع المتغيرات العشوائية x 1 ، x 2 تُعطى بواسطة قوانين التوزيع ، على التوالي:

× 1 الجدول 2

× 2 الجدول 3

احسب M (x 1) و M (x 2)

م (س 1) \ u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \ u003d 0

م (س 2) \ u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \ u003d 0

التوقعات الرياضية لكلا المتغيرين العشوائيين هي نفسها - إنها تساوي الصفر. ومع ذلك ، فإن توزيعها مختلف. إذا كانت قيم x 1 تختلف قليلاً عن توقعاتها الرياضية ، فإن قيم x 2 تختلف إلى حد كبير عن توقعاتها الرياضية ، واحتمالات مثل هذه الانحرافات ليست صغيرة. توضح هذه الأمثلة أنه من المستحيل تحديد الانحرافات التي تحدث من متوسط ​​القيمة لأعلى ولأسفل. وبالتالي ، مع نفس متوسط ​​هطول الأمطار السنوي في منطقتين ، لا يمكن القول أن هذه المواقع مواتية على قدم المساواة للعمل الزراعي. وبالمثل ، من خلال مؤشر متوسط ​​الأجور ، لا يمكن الحكم على نسبة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. لذلك ، يتم تقديم خاصية عددية - تشتتد (خ) , التي تميز درجة انحراف متغير عشوائي عن قيمته المتوسطة:

د (س) = م (س - م (س)) 2. (2)

التشتت هو التوقع الرياضي للانحراف التربيعي لمتغير عشوائي عن التوقع الرياضي. بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل ، يتم حساب التباين بالصيغة:

د (س) = = (3)

ويترتب على تعريف التباين أن D (x) 0.

خصائص التشتت:

1. تشتت الثابت صفر

2. إذا تم ضرب متغير عشوائي في عدد ما ك ، فسيتم ضرب التباين في مربع هذا الرقم

د (ك س) = ك 2 د (خ)

3. D (x) \ u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. للمتغيرات العشوائية الزوجية المستقلة x 1، x 2،… x n فرق المجموع يساوي مجموع الفروق.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

دعنا نحسب التباين للمتغير العشوائي من المثال 11.

التوقع الرياضي M (x) = 1. لذلك ، وفقًا للصيغة (3) لدينا:

د (س) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2-1) 2 1/4 = 1 1/4 +1 1/4 = 1/2

لاحظ أنه من الأسهل حساب التباين إذا استخدمنا الخاصية 3:

D (x) \ u003d M (x 2) - M 2 (x).

دعنا نحسب الفروق للمتغيرات العشوائية × 1 ، × 2 من المثال 12 باستخدام هذه الصيغة. التوقعات الرياضية لكلا المتغيرين العشوائيين تساوي الصفر.

د (س 1) \ u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \ u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 \ u003d 0.00204

D (x 2) \ u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \ u003d 240 +20 = 260

كلما اقتربت قيمة التشتت من الصفر ، كلما قل انتشار المتغير العشوائي بالنسبة للقيمة المتوسطة.

القيمة تسمى الانحراف المعياري. أزياء عشوائية x نوع منفصل Mdهي قيمة المتغير العشوائي ، والتي تتوافق مع أعلى احتمال.

أزياء عشوائية x نوع مستمر Md، هو رقم حقيقي يعرف بأنه النقطة القصوى لكثافة التوزيع الاحتمالي f (x).

متوسط ​​المتغير العشوائي x نوع مستمر Mnهو رقم حقيقي يحقق المعادلة

- عدد الصبيان بين 10 مواليد.

من الواضح تمامًا أن هذا الرقم غير معروف مسبقًا ، وفي الأطفال العشرة القادمين قد يكون هناك:

أو الأولاد - واحد فقط لا غيرمن الخيارات المدرجة.

ومن أجل الحفاظ على لياقتك ، القليل من التربية البدنية:

- مسافة الوثب الطويل (في بعض الوحدات).

حتى سيد الرياضة لا يستطيع التنبؤ بها :)

ومع ذلك ، ما هي فرضياتك؟

2) المتغير العشوائي المستمر - يأخذ الجميعالقيم الرقمية من نطاق محدود أو لانهائي.

ملحوظة : الاختصارات DSV و NSV شائعة في الأدب التربوي

أولاً ، دعنا نحلل متغير عشوائي منفصل ، ثم - مستمر.

قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل

- هذا مراسلةبين القيم المحتملة لهذه الكمية واحتمالاتها. في أغلب الأحيان ، يُكتب القانون في جدول:

المصطلح شائع جدا صف توزيع، لكن في بعض الحالات يبدو الأمر غامضًا ، وبالتالي سألتزم بـ "القانون".

و الأن نقطة مهمة جدا: منذ المتغير العشوائي بالضرورةسيقبل إحدى القيم، ثم شكل الأحداث المقابلة مجموعة كاملةومجموع احتمالات حدوثها يساوي واحدًا:

أو ، إذا كتبت مطوية:

لذلك ، على سبيل المثال ، قانون توزيع احتمالات النقاط على النرد له الشكل التالي:

بدون تعليقات.

قد يكون لديك انطباع بأن المتغير العشوائي المنفصل يمكنه فقط أن يأخذ قيمًا صحيحة "جيدة". دعونا نبدد الوهم - يمكن أن يكونوا أي شيء:

مثال 1

بعض الألعاب لديها قانون توزيع المكافآت التالي:

... ربما كنت تحلم بمثل هذه المهام لفترة طويلة :) دعني أخبرك بسر - وأنا أيضًا. خاصة بعد الانتهاء من العمل نظرية المجال.

حل: بما أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ قيمة واحدة فقط من ثلاث قيم ، فإن الأحداث المقابلة لها تكون شكلها مجموعة كاملة، مما يعني أن مجموع احتمالاتهم يساوي واحدًا:

نفضح "الحزبي":

- وبالتالي ، فإن احتمال الفوز بالوحدات التقليدية هو 0.4.

التحكم: ما تحتاج إلى التأكد منه.

إجابة:

ليس من غير المألوف عندما يحتاج قانون التوزيع إلى أن يتم تجميعه بشكل مستقل. لهذا الاستخدام التعريف الكلاسيكي للاحتمال, نظريات الضرب / الجمع لاحتمالات الحدثورقائق أخرى tervera:

مثال 2

هناك 50 بطاقة يانصيب في الصندوق ، 12 منها فائزة ، وفازت 2 منهم 1000 روبل لكل منهما ، والباقي - 100 روبل لكل منهما. ضع قانون توزيع متغير عشوائي - حجم المكاسب ، إذا تم سحب بطاقة واحدة بشكل عشوائي من الصندوق.

حل: كما لاحظت ، من المعتاد وضع قيم المتغير العشوائي في ترتيب تصاعدي. لذلك ، نبدأ بأصغر المكاسب ، وهي روبل.

في المجموع ، هناك 50-12 = 38 من هذه التذاكر ، ووفقًا لـ التعريف الكلاسيكي:
هو احتمال عدم فوز التذكرة المسحوبة عشوائيًا.

باقي الحالات بسيطة. احتمالية الفوز بالروبل هي:

التحقق: - وهذه لحظة ممتعة بشكل خاص لمثل هذه المهام!

إجابة: قانون توزيع المكافآت المطلوب:

المهمة التالية لاتخاذ قرار مستقل:

مثال 3

احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف هو. ضع قانون توزيع لمتغير عشوائي - عدد الضربات بعد طلقتين.

... علمت أنك اشتقت إليه :) نتذكر نظريات الضرب والجمع. الحل والجواب في نهاية الدرس.

يصف قانون التوزيع متغيرًا عشوائيًا تمامًا ، ولكن من المفيد عمليًا (وأحيانًا أكثر فائدة) معرفة بعضًا منه فقط. الخصائص العددية .

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل

بعبارات بسيطة ، هذا متوسط ​​القيمة المتوقعةمع الاختبار المتكرر. دع المتغير العشوائي يأخذ القيم مع الاحتمالات على التوالى. ثم التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي يساوي مجموع المنتجاتكل قيمها بالاحتمالات المقابلة:

أو في شكل مطوي:

لنحسب ، على سبيل المثال ، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي - عدد النقاط التي تم إسقاطها على النرد:

الآن دعنا نتذكر لعبتنا الافتراضية:

السؤال الذي يطرح نفسه: هل من المربح لعب هذه اللعبة؟ ... من لديه أي انطباعات؟ لذلك لا يمكنك أن تقول "مرتجلا"! لكن يمكن الإجابة على هذا السؤال بسهولة عن طريق حساب التوقع الرياضي ، في جوهره - متوسط ​​الوزناحتمالات الفوز:

وهكذا ، فإن التوقع الرياضي لهذه اللعبة خاسرة.

لا تثق في الانطباعات - ثق في الأرقام!

نعم ، هنا يمكنك الفوز 10 أو حتى 20-30 مرة متتالية ، لكن على المدى الطويل سوف ندمر حتمًا. وأنا لا أنصحك بلعب مثل هذه الألعاب :) حسنًا ، ربما فقط للمتعة.

من كل ما سبق ، يترتب على ذلك أن التوقع الرياضي ليس قيمة عشوائية.

مهمة إبداعية للبحث المستقل:

مثال 4

يلعب السيد X لعبة الروليت الأوروبية وفقًا للنظام التالي: يراهن باستمرار على 100 روبل على الأحمر. يؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي - مكافأته. احسب التوقع الرياضي للمكاسب وقم بتقريبها إلى كوبيل. كم عدد متوسطهل يخسر اللاعب مقابل كل مائة رهان؟

مرجع : تحتوي لعبة الروليت الأوروبية على 18 قطعة حمراء و 18 أسود و 1 قطاع أخضر ("صفر"). في حالة السقوط "الأحمر" ، يتم دفع رهان مزدوج للاعب ، وإلا فإنه يذهب إلى دخل الكازينو

هناك العديد من أنظمة الروليت الأخرى التي يمكنك من خلالها إنشاء جداول الاحتمالات الخاصة بك. ولكن هذا هو الحال عندما لا نحتاج إلى أي قوانين وجداول توزيع ، لأنه من المؤكد أن التوقع الرياضي للاعب سيكون هو نفسه تمامًا. التغييرات فقط من نظام إلى نظام