Tutvume ratsionaal- ja murdratsionaalvõrranditega, anname nende definitsiooni, toome näiteid ja analüüsime ka levinumaid probleemide liike.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ratsionaalne võrrand: definitsioon ja näited
Ratsionaalsete väljenditega tutvumine algab kooli 8. klassis. Sel ajal hakkavad õpilased algebratundides üha enam täitma ülesandeid võrranditega, mis sisaldavad märkmetes ratsionaalseid avaldisi. Värskendagem oma mälu selle kohta, mis see on.
Definitsioon 1
ratsionaalne võrrand on võrrand, mille mõlemad pooled sisaldavad ratsionaalseid avaldisi.
Erinevates juhendites leiate teise sõnastuse.
2. definitsioon
ratsionaalne võrrand- see on võrrand, mille vasaku külje kirje sisaldab ratsionaalset avaldist ja parempoolne null.
Ratsionaalsete võrrandite definitsioonid on samaväärsed, kuna need tähendavad sama asja. Meie sõnade õigsust kinnitab tõsiasi, et igasuguste ratsionaalsete väljendite puhul P ja K võrrandid P=Q ja P − Q = 0 on samaväärsed väljendid.
Nüüd pöördume näidete poole.
Näide 1
Ratsionaalvõrrandid:
x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Ratsionaalvõrrandid, nagu ka muud tüüpi võrrandid, võivad sisaldada suvalist arvu muutujaid ühest mitmeni. Alustuseks vaatame lihtsaid näiteid, milles võrrandid sisaldavad ainult ühte muutujat. Ja siis hakkame ülesannet järk-järgult keerulisemaks muutma.
Ratsionaalvõrrandid jagunevad kahte suurde rühma: täisarvud ja murdarvud. Vaatame, millised võrrandid kehtivad iga rühma puhul.
3. määratlus
Ratsionaalvõrrand on täisarv, kui selle vasaku ja parema osa kirje sisaldab terveid ratsionaalseid avaldisi.
4. määratlus
Ratsionaalne võrrand on murdosa, kui üks või mõlemad selle osad sisaldavad murdosa.
Murdratsionaalvõrrandid sisaldavad tingimata muutujaga jagamist või on muutuja nimetajas. Täisarvu võrrandite kirjutamisel sellist jaotust pole.
Näide 2
3 x + 2 = 0 ja (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 on terved ratsionaalsed võrrandid. Siin on mõlemad võrrandi osad esindatud täisarvuavaldistega.
1 x - 1 = x 3 ja x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 on murdosaliselt ratsionaalsed võrrandid.
Kõik ratsionaalsed võrrandid hõlmavad lineaar- ja ruutvõrrandeid.
Täisarvu võrrandite lahendamine
Selliste võrrandite lahendus taandub tavaliselt nende teisendamiseks samaväärseteks algebralisteks võrranditeks. Seda saab saavutada võrrandite samaväärsete teisenduste läbiviimisel vastavalt järgmisele algoritmile:
- kõigepealt saame võrrandi paremale poolele nulli, selleks peame võrrandi paremal poolel oleva avaldise üle kandma selle võrrandisse vasak pool ja muuda märki;
- siis teisendame võrrandi vasakul küljel oleva avaldise standardvormi polünoomiks.
Peame saama algebralise võrrandi. See võrrand on algse võrrandiga samaväärne. Lihtsad juhtumid võimaldavad meil probleemi lahendada, taandades kogu võrrandi lineaarseks või ruutlikuks. Üldjuhul lahendame astme algebralise võrrandi n.
Näide 3
On vaja leida kogu võrrandi juured 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.
Lahendus
Teisendame algse avaldise, et saada sellega ekvivalentne algebraline võrrand. Selleks kanname võrrandi paremal poolel sisalduva avaldise vasakule poole ja muudame märgi vastupidiseks. Selle tulemusena saame: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.
Nüüd teisendame vasakpoolse avaldise standardvormi polünoomiks ja teostame selle polünoomiga vajalikud toimingud:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Meil õnnestus algse võrrandi lahend taandada sellise kujuga ruutvõrrandi lahendiks x 2 - 5 x - 6 = 0. Selle võrrandi diskriminant on positiivne: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . See tähendab, et tõelisi juuri on kaks. Leiame need ruutvõrrandi juurte valemi abil:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 või x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 või x 2 = - 1
Kontrollime lahenduse käigus leitud võrrandi juurte õigsust. Selle numbri, mille me saime, asendame algse võrrandiga: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 ja 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Esimesel juhul 63 = 63 , teises 0 = 0 . Juured x=6 ja x = −1 on tõepoolest näitetingimuses toodud võrrandi juured.
Vastus: 6 , − 1 .
Vaatame, mida tähendab "kogu võrrandi võimsus". Sageli puutume selle terminiga kokku juhtudel, kui peame esitama kogu võrrandi algebralise võrrandi kujul. Määratleme mõiste.
Definitsioon 5
Täisarvu võrrandi aste on algebralise võrrandi aste, mis on ekvivalentne algse tervikvõrrandiga.
Kui vaatate ülaltoodud näite võrrandeid, saate kindlaks teha: kogu selle võrrandi aste on teine.
Kui meie kursus piirdus teise astme võrrandite lahendamisega, siis võiks teema käsitlemise siinkohal lõpetada. Kuid kõik pole nii lihtne. Kolmanda astme võrrandite lahendamine on täis raskusi. Ja neljandast astmest kõrgemate võrrandite puhul pole seda üldse olemas üldvalemid juured. Sellega seoses nõuab kolmanda, neljanda ja muude astme võrrandite lahendamine meilt mitmete muude tehnikate ja meetodite kasutamist.
Kõige sagedamini kasutatav lähenemisviis tervete ratsionaalvõrrandite lahendamiseks põhineb faktoriseerimise meetodil. Toimingute algoritm on sel juhul järgmine:
- viime avaldise paremalt küljelt vasakule, nii et null jääb kirje paremale poolele;
- kujutame vasakpoolset avaldist tegurite korrutisena ja siis liigume edasi mitme lihtsama võrrandi hulga juurde.
Leidke võrrandi (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) lahend.
Lahendus
Teisaldame avaldise kirje paremalt küljelt vasakpoolsele küljele vastupidise märgiga: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Vasaku külje teisendamine standardkuju polünoomiks on ebapraktiline, kuna see annab meile neljanda astme algebralise võrrandi: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Teisendamise lihtsus ei õigusta kõiki raskusi sellise võrrandi lahendamisel.
Palju lihtsam on minna teist teed: võtame välja ühise teguri x 2 – 10 x + 13 . Nii jõuame vormi võrrandini (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Nüüd asendame saadud võrrandi kahe ruutvõrrandi komplektiga x 2 – 10 x + 13 = 0 ja x 2 - 2 x - 1 = 0 ja leida nende juured diskriminandi kaudu: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Vastus: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Samamoodi saame kasutada uue muutuja sisseviimise meetodit. See meetod võimaldab meil minna üle samaväärsetele võrranditele, mille võimsused on väiksemad kui esialgses koguvõrrandis.
Näide 5
Kas võrrandil on juured? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Lahendus
Kui nüüd proovida taandada tervet ratsionaalset võrrandit algebraliseks, saame 4. astme võrrandi, millel pole ratsionaalseid juuri. Seetõttu on meil lihtsam minna teist teed: sisestage uus muutuja y, mis asendab võrrandis oleva avaldise x 2 + 3 x.
Nüüd töötame kogu võrrandiga (y + 1) 2 + 10 = – 2 (y – 4). Viime võrrandi parema poole vastupidise märgiga vasakule poole ja viime läbi vajalikud teisendused. Saame: y 2 + 4 y + 3 = 0. Leiame ruutvõrrandi juured: y = −1 ja y = −3.
Nüüd teeme vastupidise asendamise. Saame kaks võrrandit x 2 + 3 x = – 1 ja x 2 + 3 x = - 3 . Kirjutame need ümber x 2 + 3 x + 1 = 0 ja x 2 + 3 x + 3 = 0. Esimese saadud võrrandi juurte leidmiseks kasutame ruutvõrrandi juurte valemit: - 3 ± 5 2 . Teise võrrandi diskriminant on negatiivne. See tähendab, et teisel võrrandil pole tegelikke juuri.
Vastus:- 3 ± 5 2
Terved võrrandid kõrged kraadid kohatakse ülesannetes üsna sageli. Neid pole vaja karta. Peate olema valmis nende lahendamiseks kasutama mittestandardset meetodit, sealhulgas mitmeid kunstlikke teisendusi.
Murdratsionaalvõrrandite lahendus
Alustame selle alateema käsitlemist algoritmiga, mis lahendab fraktsionaalselt ratsionaalseid võrrandeid kujul p (x) q (x) = 0 , kus p(x) ja q(x) on täisarvulised ratsionaalsed avaldised. Teiste murdratsionaalvõrrandite lahenduse saab alati taandada näidatud kujuga võrrandite lahendiks.
Kõige sagedamini kasutatav meetod võrrandite p (x) q (x) = 0 lahendamiseks põhineb järgmisel väitel: arvuline murd u v, kus v on arv, mis erineb nullist, võrdub nulliga ainult juhul, kui murru lugeja on võrdne nulliga. Järgides ülaltoodud väite loogikat, võime väita, et võrrandi p (x) q (x) = 0 lahendi saab taandada kahe tingimuse täitmiseks: p(x)=0 ja q(x) ≠ 0. Selle põhjal on üles ehitatud algoritm murdartsionaalvõrrandite kujul p (x) q (x) = 0 lahendamiseks:
- leiame kogu ratsionaalvõrrandi lahendi p(x)=0;
- kontrollime, kas lahenduse käigus leitud juurte puhul on tingimus täidetud q(x) ≠ 0.
Kui see tingimus on täidetud, siis leitud juur.Kui mitte, siis pole juur probleemi lahendus.
Näide 6
Leidke võrrandi 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 juured.
Lahendus
Tegemist on murdarvulise ratsionaalvõrrandiga kujul p (x) q (x) = 0 , milles p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Alustame lineaarvõrrandi lahendamist 3 x - 2 = 0. Selle võrrandi juur on x = 2 3.
Kontrollime leitud juurt, kas see vastab tingimusele 5 x 2 - 2 ≠ 0. Selleks asendage avaldis numbrilise väärtusega. Saame: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Tingimus on täidetud. See tähendab et x = 2 3 on algse võrrandi juur.
Vastus: 2 3 .
Murdratsionaalvõrrandite p (x) q (x) = 0 lahendamiseks on veel üks võimalus. Tuletage meelde, et see võrrand on samaväärne kogu võrrandiga p(x)=0 algse võrrandi muutuja x lubatud väärtuste vahemikus. See võimaldab võrrandite p(x) q(x) = 0 lahendamisel kasutada järgmist algoritmi:
- lahendage võrrand p(x)=0;
- leidke muutuja x vastuvõetavate väärtuste vahemik;
- võtame algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi soovitud juurtena juured, mis asuvad muutuja x lubatud väärtuste piirkonnas.
Lahendage võrrand x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Lahendus
Alustuseks otsustame ruutvõrrand x 2 - 2 x - 11 = 0. Selle juurte arvutamiseks kasutame paaris teise koefitsiendi juurvalemit. Saame D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ja x = 1 ± 2 3 .
Nüüd leiame algse võrrandi x ODV. Need on kõik numbrid, mille jaoks x 2 + 3 x ≠ 0. See on sama, mis x (x + 3) ≠ 0, kust x ≠ 0, x ≠ − 3 .
Nüüd kontrollime, kas lahenduse esimeses etapis saadud juured x = 1 ± 2 3 jäävad muutuja x vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Vaatame, mis sisse tuleb. See tähendab, et algsel murdarvulisel ratsionaalvõrrandil on kaks juurt x = 1 ± 2 3 .
Vastus: x = 1 ± 2 3
Kirjeldatud teist lahendusmeetodit lihtsam kui esimene juhtudel, kui on lihtne leida muutuja x lubatud väärtuste pindala ja võrrandi juured p(x)=0 irratsionaalne. Näiteks 7 ± 4 26 9 . Juured võivad olla ratsionaalsed, kuid suure lugeja või nimetajaga. Näiteks, 127 1101 ja − 31 59 . See säästab aega seisukorra kontrollimiseks. q(x) ≠ 0: ODZ järgi on palju lihtsam välistada juured, mis ei sobi.
Kui võrrandi juured p(x)=0 on täisarvud, on otstarbekam kasutada p (x) q (x) = 0 kujul olevate võrrandite lahendamiseks kirjeldatud algoritmidest esimest. Kogu võrrandi juurte kiirem leidmine p(x)=0 ja seejärel kontrollige, kas tingimus on nende jaoks täidetud q(x) ≠ 0, mitte leida ODZ-d ja seejärel lahendada võrrand p(x)=0 sellel ODZ-l. See on tingitud asjaolust, et sellistel juhtudel on tavaliselt lihtsam kontrollida kui ODZ-i leida.
Näide 8
Leidke võrrandi (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 juured = 0.
Lahendus
Alustame kogu võrrandi kaalumisest (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ja selle juurte leidmine. Selleks rakendame võrrandite lahendamise meetodit faktoriseerimise teel. Selgub, et algne võrrand on võrdne nelja võrrandi hulgaga 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, millest kolm on lineaarsed ja üks on kandiline. Leiame juured: esimesest võrrandist x = 1 2, teisest x=6, kolmandast - x \u003d 7, x \u003d - 2, neljandast - x = −1.
Kontrollime saadud juuri. Sel juhul on meil raske ODZ-d määrata, kuna selleks peame lahendama viienda astme algebralise võrrandi. Lihtsam on kontrollida tingimust, mille kohaselt ei tohiks võrrandi vasakul küljel olev murdosa nimetaja kaduda.
Asendage omakorda avaldises muutuja x asemel juured x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ja arvutage selle väärtus:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;
6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Läbiviidud kontroll võimaldab meil kindlaks teha, et algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured on 1 2 , 6 ja − 2 .
Vastus: 1 2 , 6 , - 2
Näide 9
Leidke murruratsionaalvõrrandi 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 juured.
Lahendus
Alustame võrrandiga (5 x 2 – 7 x – 1) (x – 2) = 0. Otsime üles selle juured. Meil on lihtsam esitada seda võrrandit ruut- ja lineaarvõrrandi kombinatsioonina 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 ja x − 2 = 0.
Juurte leidmiseks kasutame ruutvõrrandi juurte valemit. Esimesest võrrandist saame kaks juurt x = 7 ± 69 10 ja teisest x=2.
Juurte väärtuse asendamine algsesse võrrandisse tingimuste kontrollimiseks on meie jaoks üsna keeruline. Lihtsam on määrata muutuja x LPV-d. Sel juhul on muutuja x DPV kõik arvud, välja arvatud need, mille puhul tingimus on täidetud x 2 + 5 x - 14 = 0. Saame: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Nüüd kontrollime, kas leitud juured kuuluvad muutuja x vastuvõetavate väärtuste vahemikku.
Juured x = 7 ± 69 10 - kuuluvad, seega on need algse võrrandi juured ja x=2- ei kuulu, seega on see kõrvaline juur.
Vastus: x = 7 ± 69 10 .
Vaatleme eraldi juhtumeid, kui murdartsionaalvõrrandi kujul p (x) q (x) = 0 lugeja sisaldab arvu. Sellistel juhtudel, kui lugeja sisaldab nullist erinevat arvu, ei ole võrrandil juuri. Kui see arv on võrdne nulliga, on võrrandi juur suvaline arv ODZ-st.
Näide 10
Lahenda murdartsionaalvõrrand - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Lahendus
Sellel võrrandil ei ole juuri, kuna võrrandi vasakpoolses servas oleva murru lugeja sisaldab nullist erinevat arvu. See tähendab, et mis tahes x väärtuste korral ei ole ülesande tingimuses antud murdosa väärtus võrdne nulliga.
Vastus: pole juuri.
Näide 11
Lahendage võrrand 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Lahendus
Kuna murdosa lugeja on null, on võrrandi lahenduseks ODZ muutuja x mis tahes väärtus x.
Nüüd määratleme ODZ. See sisaldab kõiki x väärtusi, mille jaoks x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Võrrandi lahendused x 4 + 5 x 3 = 0 on 0 ja − 5 , kuna see võrrand on võrdne võrrandiga x 3 (x + 5) = 0, ja see on omakorda võrdne kahe võrrandi hulgaga x 3 = 0 ja x + 5 = 0 kus need juured on nähtavad. Jõuame järeldusele, et soovitud vastuvõetavate väärtuste vahemik on mis tahes x, välja arvatud x=0 ja x = -5.
Selgub, et murdarvulisel ratsionaalvõrrandil 0 x 4 + 5 x 3 = 0 on lõpmatu arv lahendeid, mis on suvalised arvud peale nulli ja -5.
Vastus: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Räägime nüüd suvalise kuju murdartsionaalvõrranditest ja nende lahendamise meetoditest. Neid saab kirjutada kui r(x) = s(x), kus r(x) ja s(x) on ratsionaalsed avaldised ja vähemalt üks neist on murdosa. Selliste võrrandite lahend taandatakse võrrandite lahendiks kujul p (x) q (x) = 0 .
Teame juba, et saame ekvivalentse võrrandi, kui kanname avaldise võrrandi paremalt poolelt vastupidise märgiga vasakule poole. See tähendab, et võrrand r(x) = s(x) on võrdne võrrandiga r (x) − s (x) = 0. Samuti oleme juba arutanud, kuidas muuta ratsionaalne avaldis ratsionaalseks murdeks. Tänu sellele saame võrrandit hõlpsasti teisendada r (x) − s (x) = 0 selle identseks ratsionaalseks murdeks kujul p (x) q (x) .
Seega liigume algsest murdosa ratsionaalvõrrandist r(x) = s(x) võrrandile kujul p (x) q (x) = 0 , mille lahendamist oleme juba õppinud.
Tuleb märkida, et üleminekute tegemisel alates r (x) − s (x) = 0 kuni p (x) q (x) = 0 ja seejärel kuni p(x)=0 me ei pruugi arvestada muutuja x kehtivate väärtuste vahemiku laienemist.
See on üsna realistlik, et algne võrrand r(x) = s(x) ja võrrand p(x)=0 teisenduste tulemusena lakkavad nad olemast samaväärsed. Siis võrrandi lahend p(x)=0 võib anda meile võõrad juured r(x) = s(x). Sellega seoses on igal juhul vaja läbi viia kontroll mis tahes ülalkirjeldatud meetodi abil.
Teema uurimise hõlbustamiseks oleme kogu teabe üldistanud vormi murdosalise ratsionaalvõrrandi lahendamise algoritmiks. r(x) = s(x):
- kanname avaldise paremalt küljelt üle vastupidise märgiga ja saame paremale nulli;
- teisendame algse avaldise ratsionaalseks murdeks p (x) q (x), sooritades järjestikku toiminguid murdude ja polünoomidega;
- lahendage võrrand p(x)=0;
- paljastame kõrvalised juured, kontrollides nende kuuluvust ODZ-sse või asendades algse võrrandiga.
Visuaalselt näeb toimingute ahel välja järgmine:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → väljalangevus r o n d e r o o n s
Näide 12
Lahenda murdartsionaalvõrrand x x + 1 = 1 x + 1 .
Lahendus
Liigume võrrandi juurde x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Teisendame võrrandi vasakul poolel oleva murdarvulise ratsionaalavaldise kujule p (x) q (x) .
Selleks peame ratsionaalsed murrud taadama ühise nimetajani ja avaldist lihtsustama:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
Võrrandi - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 juurte leidmiseks peame lahendama võrrandi − 2 x − 1 = 0. Saame ühe juure x = - 1 2.
Meil jääb üle kontrollida mis tahes meetodit. Vaatleme neid mõlemaid.
Asendage saadud väärtus algsesse võrrandisse. Saame -1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Oleme jõudnud õige arvulise võrdsuseni − 1 = − 1 . See tähendab et x = −1 2 on algse võrrandi juur.
Nüüd kontrollime ODZ-i kaudu. Määrame muutuja x vastuvõetavate väärtuste ala. See on kogu arvude komplekt, välja arvatud −1 ja 0 (kui x = −1 ja x = 0, siis murdude nimetajad kaovad). Juur, mille saime x = −1 2 kuulub ODZ-le. See tähendab, et see on algse võrrandi juur.
Vastus: − 1 2 .
Näide 13
Leidke võrrandi x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x juured.
Lahendus
Meil on tegemist murdosalise ratsionaalvõrrandiga. Seetõttu tegutseme vastavalt algoritmile.
Liigume avaldise paremalt küljelt vasakule küljele vastupidise märgiga: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Teeme vajalikud teisendused: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Jõuame võrrandini x=0. Selle võrrandi juur on null.
Kontrollime, kas see juur on algvõrrandi jaoks võõras. Asendage väärtus algses võrrandis: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Nagu näete, pole saadud võrrandil mõtet. See tähendab, et 0 on kõrvaline juur ja algsel murdarvulisel ratsionaalvõrrandil pole juuri.
Vastus: pole juuri.
Kui me ei ole algoritmi kaasanud muid samaväärseid teisendusi, ei tähenda see sugugi, et neid ei saaks kasutada. Algoritm on universaalne, kuid selle eesmärk on aidata, mitte piirata.
Näide 14
Lahendage võrrand 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Lahendus
Lihtsaim viis on lahendada antud murdarvuline ratsionaalvõrrand vastavalt algoritmile. Kuid on ka teine viis. Mõelgem sellele.
Lahutage parem- ja vasakpoolsest osast 7, saame: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Sellest võime järeldada, et avaldis vasaku külje nimetajas peab olema võrdne arvuga vastastikune number paremalt küljelt, see tähendab 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Lahutage mõlemast osast 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analoogia põhjal 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, kust 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ja edasi 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Kontrollime, kas leitud juured on algvõrrandi juured.
Vastus: x = ± 2
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Ettekanne ja õppetund teemal: "Ratsionaalvõrrandid. Ratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm ja näited"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.
Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 8. klassile
Käsiraamat õpiku Makarychev Yu.N. Käsiraamat õpiku Mordkovich A.G.
Sissejuhatus irratsionaalvõrranditesse
Poisid, me õppisime ruutvõrrandi lahendama. Kuid matemaatika ei piirdu nendega. Täna õpime ratsionaalseid võrrandeid lahendama. Ratsionaalvõrrandite mõiste sarnaneb paljuski mõistega ratsionaalsed arvud. Ainult lisaks numbritele oleme nüüd kasutusele võtnud ka mõne muutuja $x$. Ja nii saame avaldise, milles on liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja täisarvuni tõstmise tehted.Olgu $r(x)$ ratsionaalne väljendus. Selline avaldis võib olla lihtne polünoom muutujas $x$ või polünoomide suhe (sisse tuuakse jagamistehe, nagu ratsionaalarvude puhul).
Nimetatakse võrrand $r(x)=0$ ratsionaalne võrrand.
Iga võrrand kujul $p(x)=q(x)$, kus $p(x)$ ja $q(x)$ on ratsionaalsed avaldised, on samuti ratsionaalne võrrand.
Vaatleme näiteid ratsionaalsete võrrandite lahendamisest.
Näide 1Lahendage võrrand: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Lahendus.
Liigume kõik avaldised vasakule poole: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kui võrrandi vasak pool oleks kujutatud tavalised numbrid, siis tooksime kaks murru ühise nimetaja juurde.
Teeme nii: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Saime võrrandi: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Murd on null siis ja ainult siis, kui murdosa lugeja on null ja nimetaja on nullist erinev. Seejärel võrdsustage lugeja eraldi nulliga ja leidke lugeja juured.
$3(x^2+2x-3)=0$ või $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Nüüd kontrollime murdosa nimetajat: $(x-3)*x≠0$.
Kahe arvu korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks neist arvudest on võrdne nulliga. Siis: $x≠0$ või $x-3≠0$.
$x≠0$ või $x≠3$.
Lugejas ja nimetajas saadud juured ei ühti. Nii et vastuseks kirjutame üles lugeja mõlemad juured.
Vastus: $x=1$ või $x=-3$.
Kui äkki langes lugeja üks juurtest kokku nimetaja juurega, tuleks see välja jätta. Selliseid juuri nimetatakse kõrvalisteks!
Ratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:
1. Kõik võrrandis sisalduvad avaldised tuleks üle kanda vasak pool võrdusmärgist.2. Teisenda see võrrandi osa algebraliseks murdeks: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Võrdsusta saadud lugeja nulliga, st lahenda võrrand $p(x)=0$.
4. Võrdsusta nimetaja nulliga ja lahenda saadud võrrand. Kui nimetaja juured langesid kokku lugeja juurtega, siis tuleks need vastusest välja jätta.
Näide 2
Lahendage võrrand: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Lahendus.
Lahendame vastavalt algoritmi punktidele.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Võrdsusta lugeja nulliga: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Võrdsusta nimetaja nulliga:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ja $x=-1$.
Üks juurtest $x=1$ langes kokku lugeja juurega, siis me seda vastuseks üles ei kirjuta.
Vastus: $x=-1$.
Ratsionaalvõrrandeid on mugav lahendada muutujate muutmise meetodil. Näitame seda.
Näide 3
Lahendage võrrand: $x^4+12x^2-64=0$.
Lahendus.
Tutvustame asendust: $t=x^2$.
Siis saab meie võrrand järgmise kuju:
$t^2+12t-64=0$ on tavaline ruutvõrrand.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollarit.
Tutvustame pöördasendust: $x^2=4$ või $x^2=-16$.
Esimese võrrandi juurteks on arvupaar $x=±2$. Teisel pole juuri.
Vastus: $x=±2$.
Näide 4
Lahendage võrrand: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Lahendus.
Tutvustame uut muutujat: $t=x^2+x+1$.
Siis on võrrand kujul: $t=\frac(15)(t+2)$.
Järgmisena tegutseme vastavalt algoritmile.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollarit.
4. $t≠-2$ - juured ei ühti.
Tutvustame pöördasendust.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Lahendame iga võrrandi eraldi:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ei juured.
Ja teine võrrand: $x^2+x-2=0$.
Selle võrrandi juurteks on numbrid $x=-2$ ja $x=1$.
Vastus: $x=-2$ ja $x=1$.
Näide 5
Lahendage võrrand: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Lahendus.
Tutvustame asendust: $t=x+\frac(1)(x)$.
Seejärel:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ või $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Saime võrrandi: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Selle võrrandi juured on paar:
$t=-3$ ja $t=2$.
Tutvustame pöördasendust:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Otsustame eraldi.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Lahendame teise võrrandi:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Selle võrrandi juur on arv $x=1$.
Vastus: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
Lahenda võrrandid:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Murdudega võrrandid ise pole keerulised ja väga huvitavad. Mõelge murdvõrrandite tüüpidele ja nende lahendamise viisidele.
Kuidas lahendada võrrandeid murdarvudega - x lugejas
Kui on antud murdvõrrand, kus lugejas on tundmatu, ei nõua lahendus lisatingimusi ja lahendatakse ilma asjatute probleemideta. Üldine vorm selline võrrand on x/a + b = c, kus x on tundmatu, a, b ja c on tavaarvud.
Leidke x: x/5 + 10 = 70.
Võrrandi lahendamiseks tuleb murdudest lahti saada. Korrutage võrrandi iga liige 5-ga: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ja 5 vähendatakse, 10 ja 70 korrutatakse 5-ga ja saame: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.
Leidke x: x/5 + x/10 = 90.
See näide on veidi keerulisem versioon esimesest. Siin on kaks lahendust.
- 1. võimalus: vabanege murdudest, korrutades kõik võrrandi liikmed suurema nimetajaga, st 10-ga: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
- 2. valik: lisage võrrandi vasak pool. x/5 + x/10 = 90. Ühine nimetaja on 10. Jagage 10 5-ga, korrutage x-ga, saame 2x. 10 jagades 10-ga, korrutades x-ga, saame x: 2x+x/10 = 90. Seega 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Sageli on murdvõrrandid, milles x-id asuvad võrdusmärgi vastaskülgedel. Sellises olukorras on vaja üle kanda kõik murrud, millel on x ühes suunas ja numbrid teises suunas.
- Leidke x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Liikuge 2x/5 paremale vastupidise märgiga: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Vähendame 5x/5 ja saame: x = 130.
Kuidas lahendada võrrandit murdudega - x nimetajas
Seda tüüpi murdvõrrandid nõuavad lisatingimuste kirjutamist. Nende tingimuste näitamine on õige otsuse kohustuslik ja lahutamatu osa. Neid mitte omistades riskite, kuna vastust (isegi kui see on õige) ei pruugita lihtsalt arvesse võtta.
Murdvõrrandite üldvorm, kus x on nimetajas, on: a/x + b = c, kus x on tundmatu, a, b, c on tavaarvud. Pange tähele, et x ei pruugi olla suvaline arv. Näiteks ei saa x olla null, kuna te ei saa 0-ga jagada. See on see, mis on lisatingimus, mida peame täpsustama. Seda nimetatakse vastuvõetavate väärtuste vahemikuks, lühendatult ODZ.
Leidke x: 15/x + 18 = 21.
Kirjutame kohe x jaoks ODZ: x ≠ 0. Nüüd, kui ODZ on näidatud, lahendame võrrandi standardskeemi järgi, vabanedes murdosadest. Korrutame kõik võrrandi liikmed x-ga. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Sageli esineb võrrandeid, kus nimetaja sisaldab lisaks x-ile ka mõnda muud tehtet sellega, näiteks liitmist või lahutamist.
Leidke x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Teame juba, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, mis tähendab, et x-3 ≠ 0. Viime -3 paremale poole, muutes samal ajal märgi “-” märgiks “+” ja saame, et x ≠ 3. ODZ on näidatud.
Lahendage võrrand, korrutage kõik x-3-ga: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
Liigutage x-id paremale, numbrid vasakule: 24 = 3x => x = 8.
Seni oleme lahendanud tundmatu suhtes vaid täisarvu võrrandeid ehk võrrandeid, mille nimetajad (kui neid oli) ei sisaldanud tundmatut.
Tihti tuleb lahendada võrrandeid, mis sisaldavad nimetajates tundmatut: selliseid võrrandeid nimetatakse murdosadeks.
Selle võrrandi lahendamiseks korrutame selle mõlemad pooled tundmatut sisaldava polünoomiga. Kas uus võrrand on samaväärne antud võrrandiga? Küsimusele vastamiseks lahendame selle võrrandi.
Korrutades selle mõlemad pooled arvuga , saame:
Lahendades selle esimese astme võrrandi, leiame:
Seega on võrrandil (2) üks juur
Asendades selle võrrandiga (1), saame:
Seega on see ka võrrandi (1) juur.
Võrrandil (1) pole muid juuri. Meie näites on seda näha näiteks sellest, et võrrandis (1)
Kuidas tundmatu jagaja peab võrduma dividendiga 1, mis on jagatud jagatisega 2, s.o.
Seega on võrranditel (1) ja (2) üks juur, seega on nad samaväärsed.
2. Nüüd lahendame järgmise võrrandi:
Lihtsaim ühisnimetaja: ; korrutage kõik võrrandi liikmed sellega:
Pärast vähendamist saame:
Laiendame sulgusid:
Sarnaste tingimustega on meil:
Selle võrrandi lahendamisel leiame:
Asendades võrrandi (1), saame:
Vasakul pool saime väljendeid, millel pole mõtet.
Järelikult ei ole võrrandi (1) juur. See tähendab, et võrrandid (1) ja ei ole samaväärsed.
Sel juhul ütleme, et võrrand (1) on omandanud kõrvalise juure.
Võrrelgem võrrandi (1) lahendit varem käsitletud võrrandite lahendiga (vt § 51). Selle võrrandi lahendamisel pidime sooritama kaks sellist toimingut, mida varem polnud kohatud: esiteks korrutasime võrrandi mõlemad pooled tundmatut (ühist nimetajat) sisaldava avaldisega ja teiseks vähendasime algebralisi murde teguritega, mis sisaldavad tundmatu.
Võrreldes võrrandit (1) võrrandiga (2), näeme, et kõik võrrandi (2) jaoks kehtivad x väärtused ei kehti võrrandi (1) jaoks.
Just arvud 1 ja 3 ei ole võrrandi (1) jaoks tundmatu vastuvõetavad väärtused ja teisenduse tulemusena muutusid need võrrandi (2) jaoks vastuvõetavaks. Üks neist arvudest osutus võrrandi (2) lahendiks, kuid loomulikult ei saa see olla võrrandi (1) lahendus. Võrrandil (1) pole lahendusi.
See näide näitab, et kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse teguriga, mis sisaldab tundmatut ja kui algebralised murrud võib saada võrrandi, mis ei ole antud võrrandiga samaväärne, nimelt: võivad ilmneda kõrvalised juured.
Seetõttu teeme järgmise järelduse. Nimetajas tundmatut sisaldava võrrandi lahendamisel tuleb kontrollida saadud juuri, asendades algse võrrandiga. Kõrvalised juured tuleb ära visata.
§ 1 Tervik- ja murdratsionaalvõrrandid
Selles õppetükis analüüsime selliseid mõisteid nagu ratsionaalne võrrand, ratsionaalne avaldis, täisarvuline avaldis, murdosa avaldis. Mõelge ratsionaalsete võrrandite lahendusele.
Ratsionaalne võrrand on võrrand, mille vasak ja parem pool on ratsionaalsed avaldised.
Ratsionaalsed väljendid on järgmised:
Murdosaline.
Täisarvuline avaldis koosneb arvudest, muutujatest ja täisarvu astmetest, kasutades liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise toiminguid.
Näiteks:
AT murdosa avaldised on jagamine muutujaga või avaldis muutujaga. Näiteks:
Murdlausel pole kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste puhul mõtet. Näiteks väljend
x = -9 korral pole sellel mõtet, sest x = -9 korral läheb nimetaja nulli.
See tähendab, et ratsionaalne võrrand võib olla täis- ja murdarvuline.
Täisarvuline ratsionaalvõrrand on ratsionaalne võrrand, mille vasak ja parem pool on täisarvulised avaldised.
Näiteks:
Murdratsionaalvõrrand on ratsionaalne võrrand, mille vasak või parem pool on murdosa avaldised.
Näiteks:
§ 2 Terve ratsionaalvõrrandi lahendamine
Vaatleme terve ratsionaalvõrrandi lahendust.
Näiteks:
Korrutage võrrandi mõlemad pooled selles sisalduvate murdude nimetajate väikseima ühisnimetajaga.
Selle jaoks:
1. leidke nimetajatele 2, 3, 6 ühine nimetaja. See võrdub 6;
2. leida igale murrule lisategur. Selleks jagage ühisnimetaja 6 iga nimetajaga
murdosa täiendav kordaja
murdosa täiendav kordaja
3. korrutage murdude lugejad neile vastavate lisateguritega. Seega saame võrrandi
mis on võrdne selle võrrandiga
Avame vasakpoolsed sulud, liigutame parempoolset osa vasakule, muutes termini märgi ülekande ajal vastupidiseks.
Anname polünoomile sarnased tingimused ja saame
Näeme, et võrrand on lineaarne.
Selle lahendamisel leiame, et x = 0,5.
§ 3 Murdratsionaalvõrrandi lahendamine
Vaatleme murdosa ratsionaalvõrrandi lahendust.
Näiteks:
1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled selles sisalduvate ratsionaalsete murdude nimetajate väikseima ühisnimetajaga.
Leidke nimetajate x + 7 ja x - 1 ühine nimetaja.
See on võrdne nende korrutisega (x + 7) (x - 1).
2. Leiame igale ratsionaalsele murrule lisateguri.
Selleks jagame ühise nimetaja (x + 7) (x - 1) iga nimetajaga. Täiendav kordaja murdude jaoks
võrdub x - 1,
murdosa täiendav kordaja
võrdub x+7.
3. Korrutage murdude lugejad neile vastavate lisateguritega.
Saame võrrandi (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), mis on samaväärne selle võrrandiga
4. Vasak ja parem korrutage binoom binoomarvuga ja saate järgmise võrrandi
5. Viime parema osa üle vasakule, muutes iga termini märki, kui teisaldame vastupidisele:
6. Esitame polünoomi sarnased liikmed:
7. Saate mõlemad osad jagada -1-ga. Saame ruutvõrrandi:
8. Olles selle lahendanud, leiame juured
Kuna võrrandis
vasak ja parem osa on murdavaldised ja murdosa avaldistes võib muutujate mõne väärtuse puhul nimetaja kaduda, siis tuleb kontrollida, kas ühisnimetaja ei kao, kui leitakse x1 ja x2.
Kui x = -27 ühisnimetaja (x + 7)(x - 1) ei kao, x = -1 korral on ühisnimetaja samuti nullist erinev.
Seetõttu on nii juured -27 kui ka -1 võrrandi juured.
Murdratsionaalvõrrandi lahendamisel on parem kohe näidata lubatud väärtuste pindala. Kõrvaldage need väärtused, mille puhul ühine nimetaja läheb nulli.
Mõelge veel ühele näitele murdosalise ratsionaalvõrrandi lahendamisest.
Näiteks lahendame võrrandi
Jagame võrrandi paremal küljel oleva murdosa nimetaja teguriteks
Saame võrrandi
Leidke nimetajatele (x - 5), x, x (x - 5) ühine nimetaja.
See on avaldis x (x - 5).
nüüd leiame võrrandi lubatud väärtuste vahemiku
Selleks võrdsustame ühisnimetaja nulliga x (x - 5) \u003d 0.
Saame võrrandi, mille lahendamisel leiame, et x \u003d 0 või x \u003d 5 korral ühisnimetaja kaob.
Seega ei saa x = 0 või x = 5 olla meie võrrandi juured.
Nüüd saate leida täiendavaid kordajaid.
Täiendav kordaja ratsionaalsete murdude jaoks
murrude lisakordaja
on (x - 5),
ja murru lisategur
Korrutame lugejad vastavate lisateguritega.
Saame võrrandi x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Avame sulud vasakul ja paremal, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Liigutame tingimusi paremalt vasakule, muutes teisaldatavate terminite märki:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Ja pärast sarnaste terminite toomist saame ruutvõrrandi x2 - 3x - 10 \u003d 0. Olles selle lahendanud, leiame juured x1 \u003d -2; x2 = 5.
Kuid me oleme juba avastanud, et x = 5 korral kaob ühisnimetaja x(x - 5). Seega meie võrrandi juur
on x = -2.
§ neli Lühikokkuvõteõppetund
Oluline on meeles pidada:
Murdratsionaalvõrrandite lahendamisel peate tegema järgmist:
1. Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja. Veelgi enam, kui murdude nimetajaid saab lagundada teguriteks, siis lagundage need teguriteks ja seejärel leidke ühine nimetaja.
2. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga: leidke lisategurid, korrutage lugejad lisateguritega.
3. Lahendage saadud koguvõrrand.
4. Jäta selle juurtest välja need, mis muudavad ühisnimetaja nulliks.
Kasutatud kirjanduse loetelu:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimetaja Telyakovsky S.A. Algebra: õpik. 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid. - M.: Haridus, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klass: kahes osas. 1. osa: Prot. üldhariduse jaoks institutsioonid. - M.: Mnemosüüne.
- Rurukin A.N. Algebra tunni arendused: 8. klass. - M .: VAKO, 2010.
- Algebra 8. klass: tunniplaanidõpiku järgi Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Aut.-koost. T.L. Afanasjev, L.A. Tapilina. - Volgograd: õpetaja, 2005.