توابع یک متغیر مختلط
تمایز توابع یک متغیر مختلط.

این مقاله مجموعه ای از درس ها را باز می کند که در آنها مسائل معمولی مربوط به تئوری توابع یک متغیر مختلط را در نظر خواهم گرفت. برای تسلط موفقیت آمیز به مثال ها، باید دانش اولیه اعداد مختلط را داشته باشید. به منظور تجمیع و تکرار مطالب، فقط از صفحه دیدن کنید. همچنین برای یافتن به مهارت هایی نیاز خواهید داشت مشتقات جزئی مرتبه دوم. اینجا هستند، این مشتقات جزئی... حتی الان هم کمی تعجب کردم که چقدر اتفاق می افتد...

موضوعی که ما شروع به بررسی آن می کنیم هیچ مشکل خاصی را ارائه نمی دهد و در توابع یک متغیر پیچیده اصولاً همه چیز واضح و قابل دسترس است. نکته اصلی این است که به قانون اساسی پایبند باشید، که من به طور تجربی به دست آوردم. ادامه مطلب

مفهوم تابع یک متغیر مختلط

ابتدا، اجازه دهید دانش خود را در مورد تابع مدرسه یک متغیر تجدید کنیم:

تابع تک متغیریقاعده ای است که طبق آن هر مقدار متغیر مستقل (از حوزه تعریف) با یک و تنها یک مقدار تابع مطابقت دارد. به طور طبیعی، "x" و "y" اعداد واقعی هستند.

در حالت پیچیده، وابستگی عملکردی به طور مشابه مشخص می شود:

تابع تک ارزشی یک متغیر مختلط- این قاعده ای است که طبق آن همه جامعمقدار متغیر مستقل (از حوزه تعریف) با یک و تنها یک مطابقت دارد جامعمقدار تابع این تئوری چند ارزشی و برخی دیگر از انواع توابع را نیز در نظر می گیرد، اما برای سادگی بر یک تعریف تمرکز می کنم.

تفاوت بین یک تابع متغیر مختلط چیست؟

تفاوت اصلی: اعداد مختلط. کنایه نمیکنم چنین سوالاتی اغلب مردم را در گیجی فرو می برد؛ در پایان مقاله یک داستان خنده دار برای شما تعریف می کنم. در درس اعداد مختلط برای آدمک هاما یک عدد مختلط را در فرم در نظر گرفتیم. از الان حرف "ز" تبدیل شده است متغیر، سپس آن را به صورت زیر نشان می دهیم: ، در حالی که "x" و "y" می توانند متفاوت باشند معتبرمعانی به طور کلی، عملکرد یک متغیر مختلط به متغیرهایی بستگی دارد که مقادیر "معمولی" به خود می گیرند. نکته زیر به طور منطقی از این واقعیت ناشی می شود:

تابع یک متغیر مختلط را می توان به صورت زیر نوشت:
، جایی که و دو تابع از دو هستند معتبرمتغیرها

تابع فراخوانی می شود بخش واقعیکارکرد
تابع فراخوانی می شود قسمت خیالیکارکرد

یعنی تابع یک متغیر مختلط به دو تابع واقعی و . برای روشن شدن همه چیز، بیایید به مثال های عملی نگاه کنیم:

مثال 1

راه حل:متغیر مستقل zet همانطور که به یاد دارید به شکل زیر نوشته شده است:

(1) جایگزین کردیم.

(2) برای اولین ترم، از فرمول ضرب اختصاری استفاده شد. در اصطلاح پرانتز باز شده است.

(3) با دقت مربع، فراموش نکنید که

(4) بازآرایی اصطلاحات: ابتدا اصطلاحات را بازنویسی می کنیم ، که در آن واحد خیالی وجود ندارد(گروه اول)، سپس اصطلاحاتی که در آن وجود دارد (گروه دوم). لازم به ذکر است که به هم زدن اصطلاحات ضروری نیست و می توان از این مرحله صرفنظر کرد (با انجام عملاً به صورت شفاهی).

(5) برای گروه دوم آن را از پرانتز خارج می کنیم.

در نتیجه، تابع ما در فرم نشان داده شد

پاسخ:
- بخش واقعی تابع
- بخش خیالی تابع

معلوم شد اینها چه نوع کارکردهایی هستند؟ معمولی ترین توابع دو متغیر است که می توانید چنین محبوبی را پیدا کنید مشتقات جزئی. بدون رحمت، آن را خواهیم یافت. اما کمی بعد.

به طور خلاصه، الگوریتم مسئله حل شده را می توان به صورت زیر نوشت: ما در تابع اصلی جایگزین می کنیم، ساده سازی ها را انجام می دهیم و همه عبارت ها را به دو گروه تقسیم می کنیم - بدون واحد خیالی (قسمت واقعی) و با یک واحد خیالی (قسمت خیالی). .

مثال 2

قسمت واقعی و خیالی تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. قبل از اینکه در هواپیمای پیچیده با چکرز کشیده شده به نبرد هجوم بیاورید، اجازه دهید بیشترین مقدار را به شما بدهم توصیه مهمدر این مورد:

مراقب باش!البته در همه جا باید مراقب باشید، اما در اعداد مختلط باید بیشتر از همیشه مراقب باشید! به یاد داشته باشید که براکت ها را با دقت باز کنید، چیزی را از دست ندهید. طبق مشاهدات من، رایج ترین اشتباه از دست دادن علامت است. عجله نکن!

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

حالا مکعب. با استفاده از فرمول ضرب اختصاری، به دست می آوریم:
.

استفاده از فرمول ها در عمل بسیار راحت است، زیرا به طور قابل توجهی روند حل را سرعت می بخشد.

تمایز توابع یک متغیر مختلط.

دو خبر دارم: خوب و بد. من از خوب شروع می کنم. برای تابعی از یک متغیر مختلط، قوانین تمایز و جدول مشتقات توابع ابتدایی معتبر است. بنابراین، مشتق دقیقاً به همان شکلی که در مورد تابعی از یک متغیر واقعی در نظر گرفته می شود.

خبر بد این است که برای بسیاری از توابع متغیر پیچیده اصلا مشتقی وجود ندارد و شما باید آن را بفهمید آیا قابل تمایز استیک تابع یا آن و "پیدا کردن" احساس قلب شما با مشکلات اضافی مرتبط است.

بیایید تابع یک متغیر مختلط را در نظر بگیریم. برای اینکه این تابع قابل تمایز باشد لازم و کافی است:

1) به طوری که مشتقات جزئی مرتبه اول وجود داشته باشد. فوراً این نمادها را فراموش کنید، زیرا در تئوری توابع یک متغیر مختلط به طور سنتی از نماد متفاوتی استفاده می شود: .

2) برای انجام به اصطلاح شرایط کوشی-ریمان:

فقط در این صورت است که مشتق وجود خواهد داشت!

مثال 3

راه حلبه سه مرحله متوالی تقسیم می شود:

1) بخش واقعی و خیالی تابع را پیدا می کنیم. این کار در مثال های قبلی مورد بحث قرار گرفت، بنابراین بدون نظر آن را می نویسم:

از آن به بعد:

بدین ترتیب:

- بخش خیالی تابع

اجازه دهید به یک نکته فنی دیگر اشاره کنم: به چه ترتیبیاصطلاحات را در قسمت واقعی و خیالی بنویسید؟ بله، در اصل، این مهم نیست. به عنوان مثال، قسمت واقعی را می توان اینگونه نوشت: و خیالی – مانند این: .

2) اجازه دهید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم. دو تا از آنها موجود است.

بیایید با بررسی شرایط شروع کنیم. ما پیدا می کنیم مشتقات جزئی:

بنابراین، شرط برآورده می شود.

البته، خبر خوب این است که مشتقات جزئی تقریباً همیشه بسیار ساده هستند.

تحقق شرط دوم را بررسی می کنیم:

نتیجه همین است، اما با علائم مخالف، یعنی شرط نیز محقق می شود.

شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود، بنابراین تابع قابل تمایز است.

3) مشتق تابع را پیدا می کنیم. مشتق نیز بسیار ساده است و طبق قوانین معمول یافت می شود:

واحد خیالی در حین تمایز ثابت در نظر گرفته می شود.

پاسخ: - بخش واقعی - قسمت خیالی
شرایط کوشی-ریمان برآورده شده است.

دو راه دیگر برای یافتن مشتق وجود دارد، البته از آنها کمتر استفاده می شود، اما اطلاعات برای درک درس دوم مفید خواهد بود - چگونه تابع یک متغیر مختلط را پیدا کنیم؟

مشتق را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

در این مورد:

بدین ترتیب

ما باید مشکل معکوس را حل کنیم - در عبارت حاصل باید جداسازی کنیم. برای انجام این کار، در اصطلاحات و خارج از پرانتز لازم است:

همان‌طور که بسیاری متوجه شده‌اند، انجام عمل معکوس تا حدودی دشوارتر است؛ برای بررسی، همیشه بهتر است عبارت را روی یک پیش نویس گرفته شود یا به صورت شفاهی براکت‌ها را باز کنید و مطمئن شوید که نتیجه دقیقاً است.

فرمول آینه ای برای یافتن مشتق:

در این مورد: ، از همین رو:

مثال 4

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. اگر شرایط کوشی-ریمان برقرار است، مشتق تابع را پیدا کنید.

حل کوتاه و نمونه تقریبی طرح نهایی در پایان درس.

آیا شرایط کوشی-ریمان همیشه برآورده می شود؟ از لحاظ نظری، آنها بیشتر از زمانی که برآورده می شوند، برآورده نمی شوند. اما در مثال های عملی موردی را به خاطر نمی آورم که آنها برآورده نشده باشند =) بنابراین، اگر مشتقات جزئی شما "همگرا نباشند"، با احتمال بسیار زیاد می توانید بگویید که در جایی اشتباه کرده اید.

بیایید توابع خود را پیچیده کنیم:

مثال 5

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. محاسبه

راه حل:الگوریتم حل کاملاً حفظ شده است، اما در پایان یک نقطه جدید اضافه می شود: یافتن مشتق در یک نقطه. برای مکعب، فرمول مورد نیاز قبلاً استخراج شده است:

بیایید قسمت های واقعی و خیالی این تابع را تعریف کنیم:

توجه و توجه دوباره!

از آن به بعد:


بدین ترتیب:
- بخش واقعی تابع؛
- بخش خیالی تابع

بررسی شرط دوم:

نتیجه همین است، اما با علائم مخالف، یعنی شرط نیز محقق می شود.

شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود، بنابراین تابع قابل تفکیک است:

بیایید مقدار مشتق را در نقطه مورد نظر محاسبه کنیم:

پاسخ:، شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود،

توابع با مکعب رایج هستند، بنابراین در اینجا یک مثال برای تقویت وجود دارد:

مثال 6

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. محاسبه.

حل و مثال اتمام در پایان درس.

در تئوری تحلیل جامعسایر توابع یک آرگومان پیچیده نیز تعریف می شوند: توان، سینوس، کسینوس و غیره. این توابع دارای خواص غیر معمول و حتی عجیب و غریب هستند - و این واقعا جالب است! من واقعاً می خواهم به شما بگویم، اما در اینجا، همانطور که اتفاق می افتد، یک کتاب مرجع یا کتاب درسی نیست، بلکه یک کتاب راه حل است، بنابراین من همان مشکل را با برخی از توابع رایج در نظر خواهم گرفت.

اول در مورد به اصطلاح فرمول های اویلر:

برای هرکس معتبراعداد، فرمول های زیر معتبر هستند:

همچنین می توانید آن را به عنوان منبع مرجع در دفترچه یادداشت خود کپی کنید.

به طور دقیق، فقط یک فرمول وجود دارد، اما معمولاً برای راحتی، یک مورد خاص با منهای در توان نیز می نویسند. لازم نیست پارامتر یک حرف واحد باشد، می تواند یک عبارت یا تابع پیچیده باشد، فقط مهم است که آنها بپذیرند. فقط معتبرمعانی در واقع، ما همین الان این را خواهیم دید:

مثال 7

مشتق را پیدا کنید.

راه حل:خط کلی حزب تزلزل ناپذیر می ماند - لازم است که بخش های واقعی و خیالی عملکرد را تشخیص دهیم. من یک راه حل دقیق ارائه خواهم کرد و در مورد هر مرحله در زیر نظر خواهم داد:

از آن به بعد:

(1) به جای "z" جایگزین کنید.

(2) پس از تعویض، باید قسمت واقعی و خیالی را انتخاب کنید اول در اندیکاتورغرفه داران برای این کار براکت ها را باز کنید.

(3) بخش خیالی نشانگر را گروه بندی می کنیم و واحد خیالی را خارج از پرانتز قرار می دهیم.

(4) ما از اقدام مدرسه با درجه استفاده می کنیم.

(5) برای ضریب از فرمول اویلر استفاده می کنیم و .

(6) پرانتزها را باز کنید، در نتیجه:

- بخش واقعی تابع؛
- بخش خیالی تابع

اقدامات بعدی استاندارد هستند؛ بیایید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم:

مثال 9

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. بنابراین، ما مشتق را پیدا نمی کنیم.

راه حل:الگوریتم حل بسیار شبیه به دو مثال قبلی است، اما بسیار وجود دارد نکات مهم، از همین رو مرحله اولمن دوباره مرحله به مرحله نظر خواهم داد:

از آن به بعد:

1) به جای "z" جایگزین کنید.

(2) ابتدا قسمت واقعی و خیالی را انتخاب می کنیم داخل سینوس. برای این منظور، براکت ها را باز می کنیم.

(3) ما از فرمول و .

(4) استفاده کنید برابری کسینوس هذلولی: و عجیب بودن سینوس هایپربولیک: . هایپربولیک، اگرچه خارج از این جهان است، اما از بسیاری جهات یادآور توابع مثلثاتی مشابه هستند.

در نهایت:
- بخش واقعی تابع؛
- بخش خیالی تابع

توجه!علامت منفی به قسمت خیالی اشاره دارد و تحت هیچ شرایطی نباید آن را از دست بدهیم! برای یک تصویر واضح، نتیجه به دست آمده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

بیایید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم:

شرایط کوشی-ریمان برآورده شده است.

پاسخ:, , شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود.

خانم ها و آقایان، بیایید خودمان آن را بفهمیم:

مثال 10

قسمت های واقعی و خیالی تابع را مشخص کنید. انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید.

من عمداً نمونه های سخت تری را انتخاب کردم، زیرا به نظر می رسد همه می توانند با چیزی مانند بادام زمینی پوست کنده کنار بیایند. در همان زمان، شما توجه خود را تربیت خواهید کرد! آجیل شکن در پایان درس.

خوب، در پایان، من یک مورد دیگر را در نظر خواهم گرفت مثال جالب، زمانی که آرگومان مختلط در مخرج باشد. این چند بار در عمل اتفاق افتاده است، بیایید به یک چیز ساده نگاه کنیم. اوه من دارم پیر میشم...

مثال 11

قسمت های واقعی و خیالی تابع را مشخص کنید. انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید.

راه حل:باز هم لازم است که قسمت های واقعی و خیالی تابع را تشخیص دهیم.
اگر پس از آن

این سوال پیش می آید که وقتی "Z" در مخرج است چه باید کرد؟

همه چیز ساده است - استاندارد کمک خواهد کرد روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج، قبلاً در مثال های درس استفاده شده است اعداد مختلط برای آدمک ها. بیایید فرمول مدرسه را به خاطر بسپاریم. ما قبلاً در مخرج داریم، به این معنی که عبارت مزدوج خواهد بود. بنابراین، شما باید صورت و مخرج را ضرب کنید: