نحوه تقسیم قوانین اعشاری ضرب و تقسیم اعشار

مستطیل؟

راه حل. از آنجایی که 2.88 dm2 = 288 cm2، و dm 0.8 = 8 cm، پس طول مستطیل 288: 8 است، یعنی 36 سانتی متر = 3.6 dm. ما یک عدد 3.6 پیدا کردیم به طوری که 3.6 0.8 = 2.88. ضریب 2.88 تقسیم بر 0.8 است.

آنها می نویسند: 2.88: 0.8 = 3.6.

پاسخ 3.6 را می توان بدون تبدیل دسی متر به سانتی متر به دست آورد. برای انجام این کار، باید مقسوم علیه 0.8 و سود تقسیمی 2.88 را در 10 ضرب کنید (یعنی کاما را یک رقم به سمت راست ببرید) و 28.8 را بر 8 تقسیم کنید. باز هم می گیریم: 28.8: 8 = 3.6.

برای تقسیم یک عدد بر کسری اعشاری، باید:

1) در تقسیم کننده و مقسوم علیه، کاما را به همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه وجود دارد به سمت راست حرکت دهید.
2) بعد از این بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید.

مثال 1. 12.096 را بر 2.24 تقسیم کنید. کاما را در قسمت تقسیم و 2 رقم را به سمت راست منتقل کنید. ما اعداد 1209.6 و 224 را دریافت می کنیم. از 1209.6: 224 = 5.4، سپس 12.096: 2.24 = 5.4.

مثال 2. 4.5 را بر 0.125 تقسیم کنید. در اینجا باید کاما را در قسمت تقسیم و 3 رقم را به سمت راست منتقل کنید. از آنجایی که سود سهام فقط یک رقم بعد از نقطه اعشار دارد، دو صفر به سمت راست آن اضافه می کنیم. بعد از جابجایی کاما می گیریم شماره 4500 و 125. از 4500: 125 = 36، سپس 4.5: 0.125 = 36.

از مثال‌های 1 و 2 مشخص می‌شود که هنگام تقسیم یک عدد بر کسری نامناسب، این عدد کاهش می‌یابد یا تغییر نمی‌کند و در صورت تقسیم بر کسری مناسب، اعشاریافزایش می یابد: 12.096 > 5.4 و 4.5< 36.

2.467 را بر 0.01 تقسیم کنید. پس از جابجایی کاما در تقسیم کننده و مقسوم علیه 2 رقمی به سمت راست، متوجه می شویم که ضریب برابر با 246.7: 1، یعنی 246.7 است.

این یعنی 2.467: 0.01 = 246.7. از اینجا به این قانون می رسیم:

برای تقسیم اعشار بر 0.1؛ 0.01; 0.001، باید کاما را با تعداد صفرهای قبل از یک در مقسوم‌گیرنده به سمت راست ببرید (یعنی آن را در 10، 100، 1000 ضرب کنید).

اگر تعداد کافی وجود ندارد، ابتدا باید آنها را در پایان اضافه کنید کسریچند صفر

به عنوان مثال، 56.87: 0.0001 = 56.8700: 0.0001 = 568700.

قانون تقسیم کسر اعشاری را فرموله کنید: بر کسری اعشاری. با 0.1; 0.01; 0.001.
با ضرب در چه عددی می توان تقسیم بر 0.01 را جایگزین کرد؟

1443. ضریب را بیابید و با ضرب بررسی کنید:

الف) 0.8: 0.5؛ ب) 3.51: 2.7; ج) 14.335: 0.61.

1444. ضریب را بیابید و تقسیم را بررسی کنید:

الف) 0.096: 0.12; ب) 0.126: 0.9; ج) 42.105: 3.5.

الف) 7.56: 0.6; g) 6.944: 3.2; n) 14.976: 0.72;
ب) 0.161: 0.7; h) 0.0456: 3.8; o) 168.392: 5.6;
ج) 0.468: 0.09; i) 0.182: 1.3; n) 24.576: 4.8;
د) 0.00261: 0.03; ی) 131.67: 5.7; ص) 16.51: 1.27;
ه) 0.824: 0.8; ل) 189.54: 0.78; ج) 46.08: 0.384;
ه) 10.5: 3.5; م) 636: 0.12; ت) 22.256: 20.8.

1446- عبارات را بنویسید:

الف) 10 - 2.4x = 3.16; ه) 4.2р - р = 5.12;
ب) (y + 26.1) 2.3 = 70.84; ه) 8.2t - 4.4t = 38.38;
ج) (z - 1.2): 0.6 = 21.1; g) (10.49 - s): 4.02 = 0.805;
د) 3.5m + t = 9.9; h) 9k - 8.67k = 0.6699.

1460. 119.88 تن بنزین در دو مخزن بود. مخزن اول 1.7 برابر بیشتر از مخزن دوم حاوی بنزین بود. در هر باک چقدر بنزین بود؟

1461. 87.36 تن کلم از سه قطعه جمع آوری شد. در همان زمان، 1.4 برابر بیشتر از پلات اول و 1.8 برابر بیشتر از کرت دوم نسبت به قطعه سوم جمع آوری شد. از هر قطعه چند تن کلم جمع آوری شد؟

1462. قد کانگورو 4/2 برابر زرافه و زرافه 52/2 متر از کانگورو بلندتر است قد زرافه چقدر و قد کانگورو چقدر است؟

1463. دو عابر پیاده در فاصله 4.6 کیلومتری از یکدیگر قرار داشتند. آنها به سمت هم رفتند و بعد از 0.8 ساعت به هم رسیدند.سرعت هر عابر پیاده را در صورتی پیدا کنید که سرعت یکی از آنها 1.3 برابر سرعت دیگری باشد.

1464. مراحل زیر را دنبال کنید:

الف) (130.2 - 30.8): 2.8 - 21.84:
ب) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
ج) 3.712: (7 - 3.8) + 1.3 (2.74 + 0.66);
د) (3.4: 1.7 + 0.57: 1.9) 4.9 + 0.0825: 2.75;
ه) (4.44: 3.7 - 0.56: 2.8) : 0.25 - 0.8;
ه) 10.79: 8.3 0.7 - 0.46 3.15: 6.9.

1465. تصور کنید کسر مشترکبه صورت اعشاری و پیدا کردن مقدار اصطلاحات:

1466. شفاهی حساب کن:

الف) 25.5: 5; ب) 9 0.2; ج) 0.3: 2; د) 6.7 - 2.3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. کار را پیدا کنید:

الف) 0.1 0.1; د) 0.4 0.4; g) 0.7 0.001;
ب) 1.3 1.4; ه) 0.06 0.8; h) 100 0.09;
ج) 0.3 0.4; ه) 0.01 100; i) 0.3 0.3 0.3.

1468. پیدا کنید: 0.4 از عدد 30; 0.5 از عدد 18; 0.1 اعداد 6.5; 2.5 عدد 40; 0.12 عدد 100; 0.01 از عدد 1000.

1469. مقدار عبارت 5683.25a چه مقدار است وقتی a = 10; 0.1; 0.01; 100; 0.001; 1000; 0.00001؟

1470. به این فکر کنید که کدام یک از اعداد می تواند دقیق و کدام می تواند تقریبی باشد:

الف) 32 دانش آموز در کلاس وجود دارد.
ب) فاصله مسکو تا کیف 900 کیلومتر است.
ج) متوازی الاضلاع دارای 12 لبه است.
د) طول میز 1.3 متر;
ه) جمعیت مسکو 8 میلیون نفر است.
ه) در یک کیسه 0.5 کیلوگرم آرد؛
ز) مساحت جزیره کوبا 105000 کیلومتر مربع است.
ح) کتابخانه مدرسه 10000 جلد کتاب دارد.
ط) یک دهانه برابر با 4 ورشوک و یک ورشوک برابر با 4.45 سانتی متر است (ورشوک
طول فالانکس انگشت اشاره).

1471. سه راه حل برای نابرابری بیابید:

الف) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
ب) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. بدون محاسبه مقادیر عبارات را مقایسه کنید:

الف) 24 0.15 و (24 - 15): 100;

ب) 0.084 0.5 و (84 5): 10000.
پاسخ خود را توضیح دهید.

1473. اعداد را گرد کنید:

1474. انجام تقسیم:

الف) 22.7: 10; 23.3:10; 3.14:10; 9.6:10;
ب) 304: 100; 42.5: 100; 2.5: 100; 0.9: 100; 0.03: 100;
ج) 143.4: 12; 1.488: 124; 0.3417: 34; 159.9: 235; 65.32: 568.

1475. دوچرخه سواری با سرعت 12 کیلومتر در ساعت روستا را ترک کرد. بعد از 2 ساعت دوچرخه سوار دیگری از همان روستا در جهت مخالف خارج شد.
و سرعت دومی 1.25 برابر بیشتر از سرعت اولی است. فاصله بین آنها 3.3 ساعت پس از خروج دومین دوچرخه سوار چقدر خواهد بود؟

1476. سرعت خود قایق 8.5 کیلومتر در ساعت و سرعت جریان 1.3 کیلومتر در ساعت است. قایق در 3.5 ساعت چه مسافتی را طی خواهد کرد؟ قایق در 5.6 ساعت چقدر در برابر جریان حرکت می کند؟

1477. کارخانه 3.75 هزار قطعه تولید کرد و آنها را به قیمت 950 روبل فروخت. یک تکه. هزینه های کارخانه برای تولید یک قسمت بالغ بر 637.5 روبل بود. سود دریافتی کارخانه از فروش این قطعات را بیابید.

1478. عرض یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل 7.2 سانتی متر است که حجم این متوازی الاضلاع را بیابید و جواب را به اعداد کامل گرد کنید.

1479. پاپا کارلو قول داد که به پیرو هر روز 4 سرباز، و به بوراتینو 1 سرباز در روز اول، و 1 سرباز بیشتر در هر روز بعد اگر خوب رفتار کند، بدهد. پینوکیو آزرده خاطر شد: او به این نتیجه رسید که هر چقدر هم که تلاش کند، هرگز نمی تواند به اندازه پیرو سرباز بگیرد. به این فکر کنید که آیا پینوکیو درست می گوید یا خیر.

1480. برای 3 کابینت و 9 قفسه کتاب 231 متر تخته استفاده شده و برای کابینت 4 برابر بیشتر از قفسه استفاده شده است. چند متر تخته روی کابینت و چند متر روی قفسه می رود؟

1481. مسئله را حل کنید:
1) عدد اول 6.3 است و عدد دوم را تشکیل می دهد. عدد سوم عدد دوم را تشکیل می دهد. عدد دوم و سوم را پیدا کنید.

2) عدد اول 8.1 است. عدد دوم از عدد اول و از عدد سوم است. عدد دوم و سوم را پیدا کنید.

1482. معنی عبارت را بیابید:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. مقدار ضریب را بیابید:

الف) 17.01: 6.3; د) 1.4245: 3.5; g) 0.02976: 0.024;
ب) 1.598: 4.7; ه) 193.2: 8.4; ح) 11.59: 3.05;
ج) 39.156: 7.8; ه) 0.045: 0.18; ط) 74.256: 18.2.

1484. فاصله خانه تا مدرسه 1.1 کیلومتر است. دختر این مسیر را در 0.25 ساعت طی می کند سرعت راه رفتن دختر چقدر است؟

1485. در آپارتمان دو اتاقه مساحت یک اتاق 20.64 متر مربع و مساحت اتاق دیگر 2.4 برابر کمتر است. مساحت این دو اتاق را با هم پیدا کنید.

1486. ​​موتور در 7.5 ساعت 111 لیتر سوخت مصرف می کند. موتور در 1.8 ساعت چند لیتر سوخت مصرف می کند؟
1487. یک قطعه فلزی با حجم 3.5 dm3 دارای جرم 27.3 کیلوگرم است. قطعه دیگری که از همان فلز ساخته شده است دارای جرم 10.92 کیلوگرم است. حجم قسمت دوم چقدره؟

1488. 2.28 تن بنزین از طریق دو لوله در مخزن ریخته شد. از طریق لوله اول 3.6 تن بنزین در ساعت جریان داشت و 0.4 ساعت باز بود و از طریق لوله دوم 0.8 تن بنزین در ساعت کمتر از لوله اول جریان داشت. لوله دوم چقدر باز بود؟

1489. معادله را حل کنید:

الف) 2.136: (1.9 - x) = 7.12; ج) 0.2t + 1.7t - 0.54 = 0.22;
ب) 4.2 (0.8 + y) = 8.82; د) 5.6 گرم - 2z - 0.7z + 2.65 = 7.

1490. کالا به وزن 13.3 تن بین سه خودرو توزیع شد. ماشین اول 1.3 برابر بیشتر بارگیری شد و ماشین دوم - 1.5 برابر بیشتر از ماشین سوم. چند تن کالا در هر وسیله نقلیه بارگیری شد؟

1491. دو عابر پیاده در یک زمان از یک مکان در جهت مخالف خارج شدند. بعد از 0.8 ساعت فاصله بین آنها 6.8 کیلومتر شد. سرعت یکی از عابر پیاده 1.5 برابر سرعت دیگری بود. سرعت هر عابر پیاده را پیدا کنید.

1492. مراحل زیر را دنبال کنید:

الف) (21.2544: 0.9 + 1.02 3.2) : 5.6;
ب) 4.36: (3.15 + 2.3) + (0.792 - 0.78) 350;
ج) (3.91: 2.3 5.4 - 4.03) 2.4;
د) 6.93: (0.028 + 0.36 4.2) - 3.5.

1493. دکتری به مدرسه آمد و 0.25 کیلوگرم سرم برای واکسیناسیون آورد. اگر هر تزریق به 0.002 کیلوگرم سرم نیاز دارد، به چند نفر می تواند تزریق کند؟

1494. 2.8 تن شیرینی زنجبیلی به فروشگاه تحویل داده شد. قبل از ناهار این شیرینی های زنجبیلی فروخته می شد. چند تن شیرینی زنجبیلی برای فروش باقی مانده است؟

1495. از یک پارچه 5.6 متر بریده شد اگر این قطعه بریده شد چند متر پارچه در آن قطعه بود؟

N.Ya. VILENKIN، V. I. ZHOKHOV، A. S. CHESNOKOV، S. I. SHVARTSBURD، ریاضی کلاس 5، کتاب درسی برای موسسات آموزش عمومی

§ 107. جمع کسرهای اعشاری.

جمع اعشار مانند جمع اعداد کامل است. بیایید این را با مثال ببینیم.

1) 0.132 + 2.354. بیایید اصطلاحات را یکی زیر دیگری برچسب گذاری کنیم.

در اینجا، با افزودن 2 هزارم به 4 هزارم، 6 هزارم حاصل شد.
از جمع 3 صدم با 5 صدم نتیجه 8 صدم می شود.
از جمع 1 دهم با 3 دهم -4 دهم و
از اضافه کردن 0 عدد صحیح با 2 عدد صحیح - 2 عدد صحیح.

2) 5,065 + 7,83.

در ترم دوم هزارم وجود ندارد، بنابراین مهم است که هنگام برچسب زدن عبارات یکی پس از دیگری اشتباه نکنید.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

در اینجا، هنگام جمع هزارم، نتیجه 21 هزارم است. ما 1 را زیر هزارم نوشتیم و 2 را به صدم اضافه کردیم، بنابراین در مکان صدم عبارت های زیر را به دست آوردیم: 2 + 3 + 6 + 8 + 0. در مجموع 19 صدم می دهند، 9 تا زیر صدم امضا کردیم و 1 دهم به حساب می آمد و غیره.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، ترتیب زیر باید رعایت شود: کسرها را یکی زیر دیگری امضا کنید تا در همه شرایط، اعداد یکسان زیر یکدیگر قرار گیرند و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار گیرند. در سمت راست ارقام اعشار برخی از عبارت ها، حداقل از نظر ذهنی، چنین تعداد صفر اضافه می شود، به طوری که همه اعداد بعد از اعشار دارای تعداد یکسانی هستند. سپس آنها را با اعداد جمع می کنند و از سمت راست شروع می کنند و در جمع حاصل یک کاما را در همان ستون عمودی که در این شرایط قرار دارد قرار می دهند.

§ 108. تفریق کسرهای اعشاری.

تفریق اعشار مانند تفریق اعداد کامل عمل می کند. بیایید این را با مثال هایی نشان دهیم.

1) 9.87 - 7.32. بیایید زیر خط زیر را امضا کنیم تا واحدهای یک رقم زیر یکدیگر قرار گیرند:

2) 16.29 - 4.75. بیایید مانند مثال اول، زیرنویس را در زیر مینیوند امضا کنیم:

برای تفریق یک دهم، باید یک واحد کامل از 6 گرفته و آن را به دهم تقسیم کنید.

3) 14.0213- 5.350712. بیایید زیرنویس زیر را امضا کنیم:

تفریق به این صورت انجام شد: از آنجایی که نمی‌توانیم 2 میلیونیم از 0 کم کنیم، باید به نزدیک‌ترین رقم سمت چپ یعنی صد هزارم بچرخیم، اما به جای صد هزارم صفر نیز وجود دارد، بنابراین از 1 ده هزارم می‌گیریم. 3 ده هزارم می کنیم و آن را به صد هزارم تقسیم می کنیم، 10 صد هزارم می گیریم که 9 صد هزارم آن را در دسته صد هزارم می گذاریم و 1 صد هزارم را به میلیونم می کنیم، 10 میلیونیم می گیریم. بنابراین، در سه رقم آخر داریم: میلیونم 10، صد هزارم 9، ده هزارم 2. برای وضوح و راحتی بیشتر (برای فراموش نشدن)، این اعداد بالای ارقام کسری مربوطه نوشته می شوند. حالا می توانید شروع به تفریق کنید. از 10 میلیونیم، 2 میلیونیم را کم می کنیم، 8 میلیونیم می گیریم. از 9 صد هزارم 1 صد هزارم را کم می کنیم، 8 صد هزارم می گیریم و غیره.

بنابراین، هنگام تفریق کسرهای اعشاری، ترتیب زیر مشاهده می شود: زیر خط زیر را امضا کنید تا ارقام مشابه زیر یکدیگر قرار گیرند و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار گیرند. در سمت راست، حداقل از نظر ذهنی، آنقدر صفر در مینیواند یا فرعی اضافه می‌کنند تا تعداد ارقام یکسانی داشته باشند، سپس با اعداد از سمت راست شروع می‌کنند و در اختلاف حاصل یک کاما می‌گذارند. همان ستون عمودی که در آن در minuend و subtract قرار دارد.

§ 109. ضرب کسرهای اعشاری.

بیایید به چند نمونه از ضرب کسرهای اعشاری نگاه کنیم.

برای یافتن حاصلضرب این اعداد، می‌توانیم به این صورت استدلال کنیم: اگر ضریب ۱۰ برابر شود، هر دو ضریب اعداد صحیح خواهند بود و می‌توانیم آنها را طبق قوانین ضرب اعداد صحیح ضرب کنیم. اما می دانیم که وقتی یکی از عوامل چندین برابر شود، محصول به همان میزان افزایش می یابد. یعنی عددی که از ضرب ضرایب صحیح یعنی 28 در 23 به دست می آید 10 برابر بیشتر از حاصل ضرب واقعی است و برای بدست آوردن حاصل ضرب واقعی باید حاصل ضرب پیدا شده را 10 برابر کاهش داد. بنابراین، در اینجا باید یک بار در 10 ضرب و یک بار بر 10 تقسیم کنید، اما ضرب و تقسیم بر 10 با حرکت دادن نقطه اعشار به راست و چپ در یک مکان انجام می شود. بنابراین، شما باید این کار را انجام دهید: در فاکتور، کاما را به یک مکان مناسب منتقل کنید، این آن را برابر با 23 می کند، سپس باید اعداد صحیح حاصل را ضرب کنید:

این محصول 10 برابر بزرگتر از محصول واقعی است. بنابراین باید 10 برابر کاهش یابد که برای این کار کاما را یک جا به چپ می بریم. بنابراین، ما دریافت می کنیم

28 2,3 = 64,4.

برای تأیید، می توانید یک کسر اعشاری را با مخرج بنویسید و عمل را طبق قانون ضرب کسرهای معمولی انجام دهید.

2) 12,27 0,021.

تفاوت این مثال با مثال قبلی این است که در اینجا هر دو عامل به صورت کسری اعشاری نشان داده می شوند. اما در اینجا در فرآیند ضرب به کاما توجهی نخواهیم کرد، یعنی ضرب را موقتاً 100 برابر و ضریب را 1000 برابر می کنیم که حاصل ضرب را 100000 برابر می کنیم. بنابراین، با ضرب 1227 در 21، به دست می آید:

1 227 21 = 25 767.

با توجه به اینکه محصول به دست آمده 100000 برابر بزرگتر از محصول واقعی است، اکنون باید با قرار دادن صحیح کاما آن را 100000 بار کاهش دهیم، سپس دریافت می کنیم:

32,27 0,021 = 0,25767.

بیایید بررسی کنیم:

بنابراین، برای ضرب دو کسر اعشاری، کافی است بدون توجه به کاما، آنها را به صورت اعداد کامل ضرب کنیم و در حاصل ضرب به همان تعداد اعشار با کاما در سمت راست جدا کنیم که در ضرب و در ضریب با هم

آخرین مثال منجر به یک محصول با پنج رقم اعشار شد. اگر به چنین دقت بالایی نیاز نباشد، کسر اعشاری گرد می شود. هنگام گرد کردن، باید از همان قاعده ای استفاده کنید که برای اعداد صحیح نشان داده شده است.

§ 110. ضرب با استفاده از جداول.

گاهی اوقات می توان با استفاده از جداول ضرب اعشار را انجام داد. برای این منظور می توانید به عنوان مثال از آن جداول ضرب برای اعداد دو رقمی استفاده کنید که توضیحات آن قبلا داده شد.

1) عدد 53 را در 1.5 ضرب کنید.

ما 53 را در 15 ضرب می کنیم. در جدول، این حاصل برابر با 795 است. ما حاصلضرب را 53 در 15 یافتیم، اما ضریب دوم ما 10 برابر کوچکتر بود، یعنی حاصل باید 10 برابر کاهش یابد، i.e.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 را در 4.7 ضرب کنید.

ابتدا حاصل ضرب 53 در 47 را در جدول پیدا می کنیم، 2491 خواهد بود. بنابراین باید این محصول را 100 برابر کاهش دهیم:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 را در 7.4 ضرب کنید.

ابتدا محصول 53 در 74 را در جدول می یابیم. خواهد شد 3922. اما از آنجایی که ما ضریب را 100 برابر و ضریب را 10 برابر کردیم، حاصلضرب 1000 برابر شد. بنابراین اکنون باید آن را 1000 برابر کاهش دهیم:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. تقسیم کسرهای اعشاری.

ما به تقسیم کسرهای اعشاری به این ترتیب نگاه خواهیم کرد:

1. تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد صحیح

1. یک کسر اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنید.

1) 2.46 را بر 2 تقسیم کنید.

ابتدا بر 2 تقسیم کردیم، سپس بر دهم و در نهایت صدم.

2) 32.46 را بر 3 تقسیم کنید.

32,46: 3 = 10,82.

ما 3 ده تا را بر 3 تقسیم کردیم، سپس شروع به تقسیم 2 ده بر 3 کردیم. از آنجایی که تعداد واحدهای سود سهام (2) از مقسوم علیه (3) کمتر است، باید 0 را در ضریب قرار دهیم. علاوه بر این، ما 4 دهم را گرفتیم و 24 دهم را بر 3 تقسیم کردیم. در ضریب 8 دهم دریافت کرد و در نهایت 6 صدم را تقسیم کرد.

3) 1.2345 را بر 5 تقسیم کنید.

1,2345: 5 = 0,2469.

در اینجا در ضریب اولین اعداد صحیح صفر است، زیرا یک عدد صحیح بر 5 بخش پذیر نیست.

4) 13.58 را بر 4 تقسیم کنید.

ویژگی این مثال این است که وقتی 9 صدم را در ضریب دریافت کردیم، باقیمانده ای معادل 2 صدم را کشف کردیم، این باقیمانده را به هزارم تقسیم کردیم، 20 هزارم بدست آوردیم و تقسیم را کامل کردیم.

قانون.تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد صحیح مانند تقسیم اعداد صحیح انجام می شود و باقیمانده به کسری اعشاری کوچکتر و کوچکتر تبدیل می شود. تقسیم تا زمانی که باقیمانده صفر شود ادامه می یابد.

2. اعشار را بر اعشار تقسیم کنید.

1) 2.46 را بر 0.2 تقسیم کنید.

ما قبلاً می دانیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنیم. بیایید فکر کنیم، آیا می توان این مورد جدید تقسیم را به مورد قبلی تقلیل داد؟ در یک زمان، ما ویژگی قابل توجه یک ضریب را در نظر گرفتیم، که شامل این واقعیت است که وقتی سود تقسیمی و مقسوم‌کننده به طور همزمان به تعداد یکسان افزایش یا کاهش می‌یابند، بدون تغییر باقی می‌ماند. اگر مقسوم علیه یک عدد صحیح بود، به راحتی می توانستیم اعدادی که به ما داده شده بود را تقسیم کنیم. برای این کار کافی است آن را 10 برابر افزایش دهید و برای به دست آوردن ضریب صحیح باید سود سهام را به همان میزان یعنی 10 برابر افزایش دهید. سپس تقسیم این اعداد با تقسیم اعداد زیر جایگزین می شود:

علاوه بر این، دیگر نیازی به هیچ گونه اصلاحی در جزئیات نخواهد بود.

بیایید این تقسیم بندی را انجام دهیم:

بنابراین 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 را بر 1.6 تقسیم کنید.

مقسوم علیه (1.6) را 10 برابر افزایش می دهیم. به طوری که ضریب تغییر نکند، سود سهام را 10 برابر افزایش می دهیم. 12 عدد صحیح بر 16 بخش پذیر نیستند، پس در ضریب 0 می نویسیم و 125 دهم را بر 16 تقسیم می کنیم، ضریب 7 دهم و باقیمانده 13 می شود. با اختصاص صفر 13 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 130 صدم را بر 1 تقسیم می کنیم. و غیره لطفا به موارد زیر توجه داشته باشید:

الف) هنگامی که در یک خاص اعداد صحیح وجود ندارد، به جای آنها اعداد صحیح صفر نوشته می شود.

ب) هنگامی که پس از جمع رقم سود به باقیمانده، عددی به دست می آید که بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود، آنگاه در ضریب صفر نوشته می شود.

ج) هنگامی که پس از حذف آخرین رقم سود تقسیم به پایان نمی رسد، سپس با اضافه کردن صفر به باقی مانده، تقسیم ادامه می یابد.

د) اگر سود تقسیمی یک عدد صحیح باشد، هنگام تقسیم آن بر کسری اعشاری، با اضافه کردن صفر به آن افزایش می یابد.

بنابراین، برای تقسیم یک عدد بر کسری اعشاری، باید کاما را در مقسوم‌گیرنده کنار بگذارید، و سپس با حذف کاما در آن، تقسیم را به اندازه‌ای که تقسیم‌کننده افزایش یافته است، افزایش دهید و سپس تقسیم را طبق قانون انجام دهید. برای تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد صحیح

§ 112. نسبه های تقریبی.

در پاراگراف قبل به تقسیم کسرهای اعشاری نگاه کردیم و در تمام مثال هایی که حل کردیم تقسیم کامل شد، یعنی یک ضریب دقیق به دست آمد. با این حال، در بیشتر موارد، مهم نیست که چقدر تقسیم را ادامه دهیم، یک ضریب دقیق به دست نمی آید. در اینجا یکی از این موارد وجود دارد: 53 را بر 101 تقسیم کنید.

ما قبلاً پنج رقم در ضریب دریافت کرده‌ایم، اما تقسیم هنوز به پایان نرسیده است و امیدی نیست که هرگز به پایان برسد، زیرا در بقیه ما شروع به داشتن اعدادی می‌کنیم که قبلاً با آنها مواجه شده‌اند. در ضریب، اعداد نیز تکرار خواهند شد: واضح است که بعد از عدد 7 عدد 5 ظاهر می شود، سپس 2 و غیره بی انتها. در چنین مواردی، تقسیم قطع می شود و به چند رقم اول ضریب محدود می شود. این ضریب نامیده می شود نزدیکانما با مثال هایی نحوه انجام تقسیم را نشان خواهیم داد.

لازم است 25 را بر 3 تقسیم کنیم. بدیهی است که یک ضریب دقیق که به صورت یک عدد صحیح یا یک کسری اعشاری بیان می شود را نمی توان از چنین تقسیمی بدست آورد. بنابراین، ما به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

25: 3 = 8 و باقیمانده 1

ضریب تقریبی 8 است. البته کمتر از ضریب دقیق است، زیرا یک باقیمانده 1 وجود دارد. برای به دست آوردن ضریب دقیق، باید کسری را که از تقسیم باقی مانده 1 بر 3 به دست می آید به ضریب تقریبی پیدا شده اضافه کنید. ، تا 8; این کسری 1/3 خواهد بود. این بدان معنی است که ضریب دقیق به صورت یک عدد مختلط 8 1/3 بیان می شود. از آنجایی که 1/3 کسر مناسب است، یعنی کسری، کمتر از یک، سپس با دور انداختن آن اجازه خواهیم داد خطا، که کمتر از یک. ضریب 8 خواهد بود ضریب تقریبی تا وحدت با یک نقطه ضعف.اگر به جای 8، 9 را در ضریب بگیریم، خطای کمتر از یک را نیز مجاز می کنیم، زیرا کل واحد را اضافه نمی کنیم، بلکه 2/3 را اضافه می کنیم. چنین اراده خصوصی ضریب تقریبی در یک با بیش از حد.

اکنون مثال دیگری می زنیم. فرض کنید باید 27 را بر 8 تقسیم کنیم. از آنجایی که در اینجا ضریب دقیقی را که به صورت یک عدد صحیح بیان می شود دریافت نمی کنیم، به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

27: 8 = 3 و باقیمانده 3.

در اینجا خطا برابر با 3/8 است، کمتر از یک است، به این معنی که ضریب تقریبی (3) دقیق به یک با یک نقطه ضعف پیدا شد. بیایید تقسیم را ادامه دهیم: 3 باقیمانده را به دهم تقسیم کنید، 30 دهم می گیریم. آنها را بر 8 تقسیم کنید.

در ضریب 3 به جای دهم و 6 دهم در بقیه. اگر خودمان را به عدد 3.3 محدود کنیم و 6 باقیمانده را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک دهم را مجاز می‌کنیم. چرا؟ زیرا ضریب دقیق زمانی بدست می آید که حاصل تقسیم 6 دهم بر 8 را به 3.3 اضافه کنیم. این تقسیم برابر با 6/80 است که کمتر از یک دهم است. (بررسی کنید!) بنابراین، اگر در ضریب خود را به یک دهم محدود کنیم، می توانیم بگوییم که ضریب را پیدا کرده ایم. دقیق به یک دهم(با یک نقطه ضعف).

بیایید تقسیم را ادامه دهیم تا رقم اعشار دیگر را پیدا کنیم. برای این کار، 6 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 60 صدم بدست می آوریم. آنها را بر 8 تقسیم کنید.

در ضریب رتبه سوم 7 و بقیه 4 صدم بود. اگر آنها را دور بیندازیم، خطای کمتر از یک صدم را مجاز می کنیم، زیرا 4 صدم تقسیم بر 8 کمتر از یک صدم است. در چنین مواردی می گویند ضریب پیدا شده است دقیق به یک صدم(با یک نقطه ضعف).

در مثالی که اکنون به آن نگاه می کنیم، می توانیم ضریب دقیق را به صورت کسری اعشاری بیان کنیم. برای این کار کافی است آخرین باقیمانده یعنی 4 صدم را به هزارم تقسیم کنید و بر 8 تقسیم کنید.

با این حال، در اکثریت قریب به اتفاق موارد، به دست آوردن یک ضریب دقیق غیرممکن است و فرد باید خود را به مقادیر تقریبی آن محدود کند. اکنون به این مثال می پردازیم:

40: 7 = 5,71428571...

نقطه هایی که در انتهای عدد قرار می گیرند نشان می دهد که تقسیم کامل نشده است، یعنی تساوی تقریبی است. معمولاً برابری تقریبی به صورت زیر نوشته می شود:

40: 7 = 5,71428571.

ما ضریب را با هشت رقم اعشار گرفتیم. اما اگر به چنین دقت بالایی نیاز نیست، می توانید خود را به تمام قسمت ضریب، یعنی عدد 5 (به طور دقیق تر 6) محدود کنید. برای دقت بیشتر، می توان یک دهم را در نظر گرفت و ضریب را برابر با 5.7 گرفت. اگر به دلایلی این دقت کافی نیست، می توانید در صدم متوقف شوید و 5.71 و غیره بگیرید. بیایید ضریب های فردی را بنویسیم و آنها را نام ببریم.

اولین ضریب تقریبی دقیق یک 6 است.

دوم » » » تا یک دهم 5.7.

سوم » » » تا یک صدم 5.71.

چهارم » » » تا یک هزارم 5.714.

بنابراین، برای یافتن یک ضریب تقریبی دقیق به برخی، به عنوان مثال، رقم سوم اعشار (یعنی تا یک هزارم)، به محض یافتن این علامت، تقسیم را متوقف کنید. در این مورد، باید قاعده مندرج در § 40 را به خاطر بسپارید.

§ 113. ساده ترین مسائل مربوط به درصد.

پس از یادگیری اعداد اعشاری، درصد بیشتری از مشکلات را انجام خواهیم داد.

این مشکلات مشابه مسائلی است که ما در بخش فراکسیون حل کردیم. اما اکنون صدم ها را به صورت کسر اعشاری می نویسیم، یعنی بدون مخرج مشخص.

اول از همه، شما باید بتوانید به راحتی از کسری معمولی به اعشاری با مخرج 100 حرکت کنید. برای این کار، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید:

جدول زیر نشان می دهد که چگونه یک عدد با نماد % (درصد) با کسری اعشاری با مخرج 100 جایگزین می شود:

اکنون چند مشکل را در نظر می گیریم.

1. یافتن درصد یک عدد معین.

وظیفه 1.تنها 1600 نفر در یک روستا زندگی می کنند. تعداد کودکان در سن مدرسه 25 درصد از کل جمعیت را تشکیل می دهد. چند کودک در سن مدرسه در این روستا وجود دارد؟

در این مسئله باید 25% یا 0.25 از 1600 را پیدا کنید. مشکل با ضرب حل می شود:

1600 0.25 = 400 (کودکان).

بنابراین، 25 درصد از 1600، 400 است.

برای درک واضح این وظیفه، یادآوری این نکته مفید است که به ازای هر صد نفر از جمعیت، 25 کودک در سن مدرسه وجود دارد. بنابراین، برای یافتن تعداد تمام کودکان در سن مدرسه، ابتدا می توانید دریابید که تعداد صدها عدد 1600 (16) وجود دارد و سپس عدد 25 را در تعداد صدها ضرب کنید (25 x 16 = 400). از این طریق می توانید اعتبار راه حل را بررسی کنید.

وظیفه 2.بانک های پس انداز سالانه 2 درصد بازدهی را به سپرده گذاران ارائه می دهند. اگر سپرده گذار در صندوق پول بگذارد، در یک سال چقدر درآمد دریافت می کند: الف) 200 روبل؟ ب) 500 روبل؟ ج) 750 روبل؟ د) 1000 روبل.؟

در هر چهار مورد، برای حل مشکل باید 0.02 از مقادیر مشخص شده را محاسبه کنید، یعنی هر یک از این اعداد باید در 0.02 ضرب شوند. بیایید آن را انجام دهیم:

الف) 200 0.02 = 4 (مالش)،

ب) 500 0.02 = 10 (مالش)،

ج) 750 0.02 = 15 (مالش)،

د) 1000 0.02 = 20 (مالش).

هر یک از این موارد را می توان با ملاحظات زیر تأیید کرد. بانک‌های پس‌انداز به سرمایه‌گذاران 2 درصد درآمد می‌دهند، یعنی 0.02 از مبلغ سپرده‌گذاری شده در پس‌انداز. اگر مبلغ 100 روبل بود، 0.02 از آن 2 روبل خواهد بود. این بدان معنی است که هر صد 2 روبل برای سرمایه گذار به ارمغان می آورد. درآمد. بنابراین، در هر یک از موارد در نظر گرفته شده، کافی است بفهمیم که در یک عدد معین چند صد وجود دارد و 2 روبل را در این تعداد صدها ضرب کنیم. در مثال الف) 2 صد وجود دارد که به این معنی است

2 2 = 4 (مالش).

در مثال د) 10 صد وجود دارد که به این معنی است

2 10 = 20 (مالش).

2. یافتن یک عدد با درصد آن.

وظیفه 1.این مدرسه در بهار 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد از کل ثبت نام کنندگان آن را تشکیل می دهد. سال تحصیلی گذشته چند دانش آموز در مدرسه حضور داشتند؟

اجازه دهید ابتدا معنای این کار را روشن کنیم. این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان یا به عبارتی 6 صدم (0.06) کل دانش آموزان مدرسه است. این بدان معنی است که بخشی از دانش آموزان را که با عدد (54) و کسری (0.06) بیان می شود، می دانیم و از این کسر باید کل عدد را پیدا کنیم. بنابراین، ما یک وظیفه معمولی برای یافتن یک عدد از کسری آن داریم (§90، بند 6). مشکلات این نوع با تقسیم حل می شود:

یعنی فقط 900 دانش آموز در مدرسه بودند.

بررسی چنین مسائلی با حل مسئله معکوس مفید است، یعنی پس از حل مسئله، باید حداقل در ذهن خود، یک مسئله از نوع اول را حل کنید (درصد یک عدد معین): عدد پیدا شده را بگیرید ( 900) همانطور که داده شده است و درصد آن را که در مسئله حل شده نشان داده شده است بیابید، یعنی:

900 0,06 = 54.

وظیفه 2.خانواده در طول ماه 780 روبل برای غذا خرج می کنند که 65 درصد درآمد ماهانه پدر است. حقوق ماهانه او را مشخص کنید.

این وظیفه همان معنای قبلی را دارد. بخشی از درآمد ماهانه را به روبل (780 روبل) نشان می دهد و نشان می دهد که این بخش 65٪ یا 0.65 از کل درآمد است. و آنچه شما به دنبال آن هستید تمام درآمد است:

780: 0,65 = 1 200.

بنابراین، درآمد مورد نیاز 1200 روبل است.

3. یافتن درصد اعداد.

وظیفه 1.تنها 6000 کتاب در کتابخانه مدرسه وجود دارد. در میان آنها 1200 کتاب در زمینه ریاضیات وجود دارد. چند درصد از کتاب های ریاضی، تعداد کل کتاب های کتابخانه را تشکیل می دهند؟

ما قبلاً (§97) مسائلی از این دست را در نظر گرفتیم و به این نتیجه رسیدیم که برای محاسبه درصد دو عدد، باید نسبت این اعداد را پیدا کرده و در 100 ضرب کنیم.

در مسئله ما باید نسبت درصد اعداد 1200 و 6000 را پیدا کنیم.

بیایید ابتدا نسبت آنها را پیدا کنیم و سپس آن را در 100 ضرب کنیم:

به این ترتیب درصد اعداد 1200 و 6000 برابر با 20 است به عبارت دیگر کتاب های ریاضی 20 درصد از تعداد کل کتاب ها را تشکیل می دهند.

برای بررسی، بیایید مشکل معکوس را حل کنیم: 20٪ از 6000 را پیدا کنید:

6 000 0,2 = 1 200.

وظیفه 2.کارخانه باید 200 تن زغال سنگ دریافت کند. تاکنون 80 تن تحویل داده شده است چند درصد زغال سنگ به کارخانه تحویل داده شده است؟

این مسئله می پرسد که چند درصد یک عدد (80) از عدد دیگر (200) است. نسبت این اعداد 80/200 خواهد بود. بیایید آن را در 100 ضرب کنیم:

یعنی 40 درصد زغال سنگ تحویل داده شده است.

در مدرسه این اقدامات از ساده به پیچیده مطالعه می شود. بنابراین، درک کامل الگوریتم برای انجام این عملیات با استفاده از مثال‌های ساده ضروری است. به طوری که بعداً با تقسیم کسرهای اعشاری به یک ستون مشکلی وجود نخواهد داشت. پس از همه، این سخت ترین نسخه چنین وظایفی است.

این موضوع مستلزم مطالعه مداوم است. شکاف در دانش در اینجا غیر قابل قبول است. هر دانش آموزی باید این اصل را در کلاس اول بیاموزد. بنابراین، اگر چندین درس را پشت سر هم از دست بدهید، باید به تنهایی بر مطالب مسلط شوید. در غیر این صورت، مشکلات بعدی نه تنها در مورد ریاضیات، بلکه در مورد سایر دروس مرتبط با آن نیز پیش خواهد آمد.

پیش نیاز دوم برای مطالعه موفقیت آمیز ریاضیات این است که تنها پس از تسلط بر جمع، تفریق و ضرب به سراغ مثال های تقسیم بلند برویم.

اگر کودک جدول ضرب را نیاموخته باشد، تقسیم کردن برای او دشوار خواهد بود. ضمناً بهتر است با استفاده از جدول فیثاغورث آموزش داده شود. هیچ چیز اضافی وجود ندارد و در این مورد یادگیری ضرب آسان تر است.

چگونه اعداد طبیعی در یک ستون ضرب می شوند؟

اگر در حل مثال هایی در یک ستون برای تقسیم و ضرب مشکل ایجاد می شود، باید شروع به حل مسئله با ضرب کنید. از آنجایی که تقسیم عمل معکوس ضرب است:

1. قبل از ضرب دو عدد، باید به دقت به آنها نگاه کنید. یکی از ارقام بیشتر (طولانی تر) را انتخاب کنید و ابتدا آن را یادداشت کنید. دومی را زیر آن قرار دهید. علاوه بر این، اعداد دسته مربوطه باید زیر همان دسته باشند. یعنی سمت راست ترین رقم اول باید بالای سمت راست ترین رقم دوم باشد.
2. از سمت راست شروع کنید، سمت راست ترین رقم پایینی را در هر رقم عدد بالایی ضرب کنید. جواب را زیر خط بنویسید تا آخرین رقم آن زیر عددی باشد که در آن ضرب کردید.
3. همین کار را با رقم دیگری از عدد پایین تکرار کنید. اما حاصل ضرب باید یک رقم به سمت چپ منتقل شود. در این صورت آخرین رقم آن زیر عددی خواهد بود که در آن ضرب شده است.

این ضرب را در یک ستون ادامه دهید تا اعداد فاکتور دوم تمام شوند. حالا آنها باید تا شوند. این پاسخی خواهد بود که به دنبال آن هستید.

الگوریتم ضرب اعشار

ابتدا باید تصور کنید که کسرهای داده شده اعشاری نیستند، بلکه اعشاری هستند. یعنی کاماها را از روی آن ها بردارید و سپس طبق حالت قبلی ادامه دهید.

تفاوت زمانی شروع می شود که پاسخ نوشته شود. در این لحظه، لازم است تمام اعدادی که بعد از اعشار در هر دو کسر ظاهر می شوند را بشمارید. این دقیقاً همان مقداری است که باید از انتهای پاسخ تعداد آنها را شمرد و در آنجا کاما گذاشت.

به راحتی می توان این الگوریتم را با استفاده از یک مثال نشان داد: 0.25 x 0.33:

آموزش تقسیم بندی را از کجا شروع کنیم؟

قبل از حل مثال های تقسیم طولانی، باید نام اعدادی را که در مثال تقسیم طولانی ظاهر می شوند به خاطر بسپارید. اولین آنها (منقسم) قابل تقسیم است. دومی (تقسیم بر) مقسوم کننده است. پاسخ خصوصی است.

پس از این، با استفاده از یک مثال ساده روزمره، ماهیت این عملیات ریاضی را توضیح خواهیم داد. به عنوان مثال، اگر 10 شیرینی بخورید، تقسیم آنها به طور مساوی بین مادر و پدر آسان است. اما اگر بخواهید آنها را به پدر و مادر و برادرتان بدهید چه؟

پس از این می توانید با قوانین تقسیم آشنا شده و با استفاده از مثال های خاص به آنها مسلط شوید. ابتدا موارد ساده و سپس به سراغ موارد پیچیده تر بروید.

الگوریتم تقسیم اعداد به ستون

ابتدا، اجازه دهید روش اعداد طبیعی را که بر یک عدد تک رقمی بخش پذیرند، ارائه کنیم. آنها همچنین پایه ای برای مقسوم علیه های چند رقمی یا کسرهای اعشاری خواهند بود. فقط در این صورت باید تغییرات کوچکی ایجاد کنید، اما بعداً در مورد آن بیشتر توضیح دهید:

• قبل از انجام تقسیم طولانی، باید بفهمید که تقسیم سود و تقسیم کننده کجا هستند.
• سود سهام را یادداشت کنید. سمت راست آن تقسیم کننده است.
• یک گوشه در سمت چپ و پایین نزدیک به آخرین گوشه بکشید.
• سود سهام ناقص را تعیین کنید، یعنی عددی که برای تقسیم حداقل باشد. معمولاً از یک رقم و حداکثر دو رقم تشکیل شده است.
• عددی که ابتدا در پاسخ نوشته می شود را انتخاب کنید. باید تعداد دفعاتی باشد که تقسیم کننده در سود سهام قرار می گیرد.
• حاصل ضرب این عدد در مقسوم علیه را بنویسید.
• آن را زیر سود سهام ناقص بنویسید. تفریق را انجام دهید.
• اولین رقم بعد از قسمتی که قبلا تقسیم شده است را به باقی مانده اضافه کنید.
• دوباره شماره را برای پاسخ انتخاب کنید.
• ضرب و تفریق را تکرار کنید. اگر باقیمانده صفر باشد و سود سهام تمام شود، مثال انجام می شود. در غیر این صورت، مراحل را تکرار کنید: عدد را بردارید، عدد را بردارید، ضرب کنید، تفریق کنید.

اگر مقسوم علیه بیش از یک رقم داشته باشد چگونه تقسیم طولانی را حل کنیم؟

خود الگوریتم کاملاً با آنچه در بالا توضیح داده شد مطابقت دارد. تفاوت تعداد ارقام در سود سهام ناقص خواهد بود. اکنون باید حداقل دو عدد از آنها وجود داشته باشد، اما اگر معلوم شد که آنها کمتر از مقسوم‌گیرنده هستند، باید با سه رقم اول کار کنید.

یک تفاوت دیگر در این تقسیم وجود دارد. واقعیت این است که باقیمانده و عددی که به آن اضافه می شود گاهی اوقات بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود. سپس باید یک عدد دیگر را به ترتیب اضافه کنید. اما پاسخ باید صفر باشد. اگر اعداد سه رقمی را به یک ستون تقسیم می کنید، ممکن است لازم باشد بیش از دو رقم را حذف کنید. سپس یک قانون معرفی می شود: در پاسخ باید یک صفر کمتر از تعداد ارقام حذف شده باشد.

می توانید این تقسیم را با استفاده از مثال در نظر بگیرید - 12082: 863.

• سود ناقص موجود در آن معلوم می شود که عدد 1208 است. عدد 863 فقط یک بار در آن قرار می گیرد. بنابراین قرار است پاسخ 1 باشد و زیر 1208 عدد 863 را بنویسید.
• پس از تفریق، باقیمانده 345 می شود.
• باید عدد 2 را به آن اضافه کنید.
• عدد 3452 شامل 863 چهار بار است.
• چهار باید به عنوان پاسخ نوشته شود. علاوه بر این، وقتی در 4 ضرب می شود، این دقیقاً عددی است که به دست می آید.
• باقیمانده پس از تفریق صفر است. یعنی تقسیم بندی کامل شده است.

پاسخ در مثال عدد 14 خواهد بود.

اگر سود سهام به صفر ختم شود چه؟

یا چند صفر؟ در این مورد، باقیمانده صفر است، اما سود سهام همچنان حاوی صفر است. نیازی به ناامیدی نیست، همه چیز ساده تر از آن چیزی است که به نظر می رسد. کافی است تمام صفرهایی را که تقسیم نشده باقی می‌مانند به پاسخ اضافه کنید.

به عنوان مثال، شما باید 400 را بر 5 تقسیم کنید. سود ناقص 40 است. پنج در آن 8 برابر می شود. این به این معنی است که پاسخ باید به صورت 8 نوشته شود. هنگام تفریق، باقیمانده ای باقی نمی ماند. یعنی تقسیم به پایان می رسد، اما یک صفر در سود سهام باقی می ماند. باید به پاسخ اضافه شود. بنابراین، تقسیم 400 بر 5 برابر با 80 است.

در صورت نیاز به تقسیم کسری اعشاری چه باید کرد؟

اگر کاما نباشد که کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کند، دوباره این عدد شبیه یک عدد طبیعی است. این نشان می دهد که تقسیم کسرهای اعشاری به یک ستون مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد است.

تنها تفاوت نقطه ویرگول خواهد بود. قرار است به محض حذف اولین رقم از قسمت کسری در پاسخ قرار داده شود. راه دیگر برای گفتن این است: اگر تقسیم کل قسمت را تمام کردید، یک کاما بگذارید و راه حل را ادامه دهید.

هنگام حل مثال های تقسیم طولانی با کسرهای اعشاری، باید به یاد داشته باشید که هر تعداد صفر را می توان به قسمت بعد از نقطه اعشار اضافه کرد. گاهی اوقات این برای تکمیل اعداد ضروری است.

تقسیم دو اعشار

ممکن است پیچیده به نظر برسد. اما فقط در ابتدا. از این گذشته ، نحوه تقسیم ستونی از کسری بر یک عدد طبیعی از قبل مشخص است. این بدان معنی است که ما باید این مثال را به شکلی از قبل آشنا کاهش دهیم.

انجام آن آسان است. شما باید هر دو کسر را در 10، 100، 1000 یا 10،000 ضرب کنید، و اگر مسئله ایجاب می کند شاید در یک میلیون ضرب کنید. ضریب قرار است بر اساس تعداد صفر در قسمت اعشاری مقسوم علیه انتخاب شود. یعنی نتیجه این خواهد بود که شما باید کسر را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید.

و این بدترین سناریو خواهد بود. پس از همه، ممکن است اتفاق بیفتد که سود حاصل از این عملیات به یک عدد صحیح تبدیل شود. سپس راه حل مثال با تقسیم ستونی کسرها به ساده ترین گزینه کاهش می یابد: عملیات با اعداد طبیعی.

به عنوان مثال: 28.4 را بر 3.2 تقسیم کنید:

• آنها ابتدا باید در 10 ضرب شوند، زیرا عدد دوم فقط یک رقم بعد از نقطه اعشار دارد. با ضرب 284 و 32 به دست می آید.
• قرار است از هم جدا شوند. همچنین عدد کل 284 در 32 است.
• اولین عدد انتخاب شده برای پاسخ 8 است. با ضرب آن عدد 256 به دست می آید و باقیمانده 28 می شود.
• تقسیم کل قسمت تمام شد و در جواب باید کاما گذاشت.
• حذف به باقیمانده 0.
• دوباره 8 بگیر
• باقیمانده: 24. 0 دیگر به آن اضافه کنید.
• حالا باید 7 بگیری.
• حاصل ضرب 224 و باقیمانده 16 است.
• یک 0 دیگر را پایین بیاورید. هر کدام 5 را بردارید و دقیقاً 160 بگیرید. باقیمانده 0 است.

تقسیم بندی کامل شده است. نتیجه مثال 28.4:3.2 8.875 است.

اگر مقسوم علیه 10، 100، 0.1 یا 0.01 باشد چه؟

درست مانند ضرب، تقسیم طولانی در اینجا لازم نیست. کافی است برای تعداد معینی از رقم، کاما را در جهت دلخواه حرکت دهید. علاوه بر این، با استفاده از این اصل، می توانید مثال ها را هم با اعداد صحیح و هم با کسرهای اعشاری حل کنید.

بنابراین، اگر شما نیاز به تقسیم بر 10، 100 یا 1000 داشته باشید، نقطه اعشار با همان تعداد ارقامی که صفر در مقسوم علیه وجود دارد به سمت چپ منتقل می شود. یعنی وقتی عددی بر 100 بخش پذیر باشد، نقطه اعشار باید دو رقمی به سمت چپ حرکت کند. اگر سود یک عدد طبیعی باشد، فرض بر این است که کاما در پایان است.

این عمل همان نتیجه را به دست می دهد که اگر قرار باشد عدد در 0.1، 0.01 یا 0.001 ضرب شود. در این مثال ها، کاما نیز با تعدادی رقم برابر با طول قسمت کسری به سمت چپ منتقل می شود.

هنگام تقسیم بر 0.1 (و غیره) یا ضرب در 10 (و غیره)، نقطه اعشار باید با یک رقم (یا دو، سه، بسته به تعداد صفرها یا طول قسمت کسری) به سمت راست حرکت کند.

شایان ذکر است که تعداد ارقام داده شده در سود سهام ممکن است کافی نباشد. سپس صفرهای از دست رفته را می توان به سمت چپ (در کل قسمت) یا به راست (پس از نقطه اعشار) اضافه کرد.

تقسیم کسرهای تناوبی

در این صورت هنگام تقسیم به ستون نمی توان به پاسخ دقیق دست یافت. اگر با کسری نقطه مواجه شدید چگونه یک مثال را حل کنیم؟ در اینجا باید به سراغ کسرهای معمولی برویم. و سپس آنها را طبق قوانینی که قبلا آموخته اید تقسیم کنید.

به عنوان مثال، شما باید 0.(3) را بر 0.6 تقسیم کنید. کسر اول دوره ای است. به کسری 3/9 تبدیل می شود که با کاهش 1/3 می شود. کسر دوم اعشار نهایی است. نوشتن آن به طور معمول آسان تر است: 6/10، که برابر با 3/5 است. قاعده تقسیم کسرهای معمولی مستلزم جایگزینی تقسیم با ضرب و مقسوم کننده با متقابل است. یعنی مثال به ضرب 1/3 در 5/3 می رسد. پاسخ 5/9 خواهد بود.

اگر مثال شامل کسرهای مختلف باشد ...

سپس چندین راه حل امکان پذیر است. ابتدا، می توانید سعی کنید یک کسر معمولی را به اعشار تبدیل کنید. سپس با استفاده از الگوریتم بالا دو عدد اعشاری را تقسیم کنید.

ثانیاً، هر کسر اعشاری نهایی را می توان به عنوان یک کسر مشترک نوشت. اما این همیشه راحت نیست. بیشتر اوقات ، چنین کسری بزرگ می شود. و پاسخ ها دست و پا گیر هستند. بنابراین، رویکرد اول ترجیح داده می شود.

بیایید نمونه هایی از تقسیم اعشار را در این نور بررسی کنیم.

مثال.

کسر اعشاری 1.2 را بر کسری اعشاری 0.48 تقسیم کنید.

راه حل.

پاسخ:

1,2:0,48=2,5 .

مثال.

کسر اعشاری تناوبی 0.(504) را بر کسری اعشاری 0.56 تقسیم کنید.

راه حل.

بیایید کسر اعشاری تناوبی را به کسری معمولی تبدیل کنیم: . کسر اعشاری نهایی 0.56 را نیز به کسری معمولی تبدیل می کنیم، 0.56 = 56/100 داریم. اکنون می توانیم از تقسیم کسرهای اعشاری اصلی به تقسیم کسرهای معمولی برویم و محاسبات را به پایان برسانیم: .

بیایید کسر معمولی حاصل را با تقسیم عدد بر مخرج با یک ستون به کسر اعشاری تبدیل کنیم:

پاسخ:

0,(504):0,56=0,(900) .

اصل تقسیم کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبیبا اصل تقسیم کسرهای اعشاری متناهی و تناوبی متفاوت است، زیرا کسرهای اعشاری غیر تناوبی را نمی توان به کسری معمولی تبدیل کرد. تقسیم کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی به تقسیم کسرهای اعشاری متناهی کاهش می یابد که برای آن انجام می دهیم. گرد کردن اعدادتا یک سطح مشخص علاوه بر این، اگر یکی از اعدادی که با آن تقسیم انجام می شود، کسری اعشاری متناهی یا تناوبی باشد، آنگاه به همان رقم کسر اعشاری غیر تناوبی گرد می شود.

مثال.

اعشار غیر تناوبی نامتناهی 0.779... را بر اعشار متناهی 1.5602 تقسیم کنید.

راه حل.

ابتدا باید اعشار را گرد کنید تا بتوانید از تقسیم بی نهایت اعشار غیر تناوبی به تقسیم اعشار متناهی بروید. می توانیم به نزدیکترین صدم گرد کنیم: 0.779…≈0.78 و 1.5602≈1.56. بنابراین، 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

پاسخ:

0,779…:1,5602≈0,5 .

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری اعشاری و بالعکس

ماهیت رویکرد تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسری اعشاری و تقسیم یک کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی هیچ تفاوتی با ماهیت تقسیم کسری اعشاری ندارد. یعنی کسرهای متناهی و تناوبی با کسرهای معمولی جایگزین می شوند و کسرهای غیر تناوبی نامتناهی گرد می شوند.

برای توضیح، مثال تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی را در نظر بگیرید.

مثال.

کسر اعشاری 25.5 را بر عدد طبیعی 45 تقسیم کنید.

راه حل.

با جایگزینی کسر اعشاری 25.5 با کسری مشترک 255/10=51/2، تقسیم به تقسیم کسر مشترک بر یک عدد طبیعی کاهش می یابد:. کسر حاصل در نماد اعشاری به شکل 0.5 (6) است.

پاسخ:

25,5:45=0,5(6) .

تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی با یک ستون

تقسیم کسرهای اعشاری محدود به اعداد طبیعی توسط یک ستون، با قیاس با تقسیم بر ستونی از اعداد طبیعی، راحت است. اجازه دهید قانون تقسیم را ارائه کنیم.

به کسری اعشاری را با استفاده از ستون بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید، لازم:

• چند رقم 0 را به سمت راست کسر اعشاری که تقسیم می شود اضافه کنید (در طول فرآیند تقسیم، در صورت لزوم، می توانید هر تعداد صفر را اضافه کنید، اما ممکن است به این صفرها نیازی نباشد).
• با توجه به تمام قوانین تقسیم بر یک ستون اعداد طبیعی، یک ستون کسری اعشاری را به یک عدد طبیعی تقسیم کنید، اما وقتی تقسیم کل قسمت کسری اعشاری کامل شد، باید در ضریب قرار دهید یک کاما و تقسیم را ادامه دهید.

بیایید بلافاصله بگوییم که در نتیجه تقسیم یک کسر اعشاری متناهی بر یک عدد طبیعی، می توانید یک کسری اعشاری متناهی یا یک کسری اعشاری متناوب نامتناهی بدست آورید. در واقع، پس از تکمیل تقسیم تمام ارقام اعشاری غیر صفر کسری که تقسیم می شود، ممکن است باقیمانده 0 باشد و کسر اعشاری نهایی را بدست آوریم، یا باقیمانده ها شروع به تکرار دوره ای خواهند کرد و یک عدد به دست می آید. کسر اعشاری دوره ای

بیایید هنگام حل مثال، تمام پیچیدگی های تقسیم کسرهای اعشاری بر اعداد طبیعی در یک ستون را درک کنیم.

مثال.

کسر اعشاری 65.14 را بر 4 تقسیم کنید.

راه حل.

بیایید با استفاده از یک ستون یک کسر اعشاری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنیم. بیایید در نماد کسری 65.14 چند صفر به سمت راست اضافه کنیم و یک کسری اعشاری مساوی 65.1400 به دست می آوریم (کسرهای اعشاری مساوی و نامساوی را ببینید). اکنون می توانید با یک ستون قسمت صحیح کسری اعشاری 65.1400 را بر عدد طبیعی 4 تقسیم کنید:

این تقسیم بخش صحیح کسری اعشاری را کامل می کند. در اینجا در ضریب باید یک نقطه اعشار قرار دهید و تقسیم را ادامه دهید:

ما به باقیمانده 0 رسیده ایم، در این مرحله تقسیم بر ستون به پایان می رسد. در نتیجه 65.14:4=16.285 داریم.

پاسخ:

65,14:4=16,285 .

مثال.

164.5 را بر 27 تقسیم کنید.

راه حل.

بیایید کسر اعشاری را با استفاده از یک ستون بر یک عدد طبیعی تقسیم کنیم. پس از تقسیم کل قسمت به تصویر زیر می رسیم:

حالا یک کاما در ضریب قرار می دهیم و با یک ستون تقسیم را ادامه می دهیم:

اکنون به وضوح قابل مشاهده است که باقیمانده های 25، 7 و 16 شروع به تکرار کرده اند، در حالی که در ضریب اعداد 9، 2 و 5 تکرار می شوند. بنابراین، تقسیم اعشار 164.5 بر 27، اعشار تناوبی 6.0 (925) را به ما می دهد.

پاسخ:

164,5:27=6,0(925) .

تقسیم ستونی کسرهای اعشاری

تقسیم کسری اعشاری بر کسری اعشاری را می توان به تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی با یک ستون تقلیل داد. برای این کار، تقسیم کننده و مقسوم علیه باید در عددی مانند 10 یا 100 یا 1000 و غیره ضرب شوند تا مقسوم علیه به عدد طبیعی تبدیل شود و سپس با یک ستون بر یک عدد طبیعی تقسیم شود. ما می توانیم این کار را به دلیل ویژگی های تقسیم و ضرب انجام دهیم، زیرا a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) و غیره.

به عبارت دیگر، برای تقسیم یک اعشار انتهایی بر یک اعشار انتهایی، نیاز به:

• در تقسیم‌کننده و مقسوم‌کننده، کاما را به تعداد مکان‌هایی که بعد از نقطه اعشار در تقسیم‌کننده وجود دارد به سمت راست حرکت دهید؛ اگر در تقسیم‌کننده علائم کافی برای جابجایی کاما وجود ندارد، باید تعداد مورد نیاز را اضافه کنید. صفر به سمت راست؛
• پس از این، یک ستون اعشاری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید.

هنگام حل یک مثال، کاربرد این قانون تقسیم بر کسری اعشاری را در نظر بگیرید.

مثال.

با ستون 7.287 بر 2.1 تقسیم کنید.

راه حل.

بیایید کاما را در این کسرهای اعشاری یک رقم به سمت راست حرکت دهیم، این به ما امکان می دهد از تقسیم کسری اعشاری 7.287 بر کسری اعشاری 2.1 به تقسیم کسری اعشاری 72.87 بر عدد طبیعی 21 حرکت کنیم. بیایید تقسیم بر ستون را انجام دهیم:

پاسخ:

7,287:2,1=3,47 .

مثال.

اعشار 16.3 را بر اعشار 0.021 تقسیم کنید.

راه حل.

کاما در تقسیم و مقسوم علیه را به سه مکان سمت راست منتقل کنید. بدیهی است که مقسوم‌کننده ارقام کافی برای جابجایی نقطه اعشار را ندارد، بنابراین تعداد صفرهای لازم را به سمت راست اضافه می‌کنیم. حالا بیایید کسر 16300.0 را با یک ستون بر عدد طبیعی 21 تقسیم کنیم:

از این لحظه باقیمانده های 4، 19، 1، 10، 16 و 13 شروع به تکرار می کنند، یعنی اعداد 1، 9، 0، 4، 7 و 6 در ضریب نیز تکرار می شوند. در نتیجه، کسر اعشاری تناوبی 776,(190476) را بدست می آوریم.

پاسخ:

16,3:0,021=776,(190476) .

توجه داشته باشید که قانون اعلام شده به شما امکان می دهد یک عدد طبیعی را بر یک ستون به کسر اعشاری نهایی تقسیم کنید.

مثال.

عدد طبیعی 3 را بر کسری اعشاری 5.4 تقسیم کنید.

راه حل.

پس از انتقال نقطه اعشار یک رقمی به سمت راست، به تقسیم عدد 30.0 بر 54 می رسیم. بیایید تقسیم بر ستون را انجام دهیم:
.

این قانون در هنگام تقسیم کسرهای اعشاری نامتناهی بر 10، 100، ... نیز قابل اعمال است. به عنوان مثال، 3,(56):1,000=0.003(56) و 593.374…:100=5.93374… .

تقسیم اعشار بر 0.1، 0.01، 0.001 و غیره

از آنجایی که 0.1 = 1/10، 0.01 = 1/100 و غیره، پس از قاعده تقسیم بر کسری معمولی نتیجه می شود که کسر اعشاری را بر 0.1، 0.01، 0.001 و غیره تقسیم کنید. این همان ضرب اعشار داده شده در 10، 100، 1000 و غیره است. به ترتیب.

به عبارت دیگر، برای تقسیم کسری اعشاری بر 0.1، 0.01، ... باید نقطه اعشار را با 1، 2، 3، ... رقم به سمت راست منتقل کنید و اگر ارقام کسری اعشاری کافی نباشد. برای جابجایی نقطه اعشار، باید عدد مورد نیاز را به صفرهای سمت راست اضافه کنید.

برای مثال 5.739:0.1=57.39 و 0.21:0.00001=21000.

همین قانون را می توان هنگام تقسیم کسرهای اعشاری بی نهایت بر 0.1، 0.01، 0.001 و غیره اعمال کرد. در این صورت باید در تقسیم کسرهای تناوبی بسیار مراقب باشید تا با دوره کسری که در نتیجه تقسیم به دست می آید اشتباه نکنید. به عنوان مثال 7.5(716):0.01=757،(167)، چون پس از جابجایی اعشار در کسری اعشاری 7.5716716716... دو مکان به سمت راست، ورودی 757.167167 را داریم.... با کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی همه چیز ساده تر است: 394,38283…:0,001=394382,83… .

تقسیم یک عدد کسری یا مختلط بر اعشار و بالعکس

تقسیم کسری مشترک یا عدد مختلط بر کسری اعشاری متناهی یا تناوبی، و همچنین تقسیم کسری اعشاری متناهی یا تناوبی بر کسری مشترک یا عدد مختلط، به تقسیم کسری مشترک می انجامد. برای انجام این کار، کسرهای اعشاری با کسرهای معمولی مربوطه جایگزین می شوند و عدد مختلط به عنوان یک کسر نامناسب نشان داده می شود.

هنگام تقسیم کسری اعشاری نامتناهی غیر تناوبی بر کسری معمولی یا عدد مختلط و بالعکس، باید به تقسیم کسرهای اعشاری ادامه دهید و کسر مشترک یا عدد مختلط را با کسر اعشاری مربوطه جایگزین کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• ریاضیات.پایه ششم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، برگردان - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

در درس آخر، نحوه جمع و تفریق اعداد اعشاری را آموختیم (به درس "جمع و تفریق اعشار" مراجعه کنید). در همان زمان، ما ارزیابی کردیم که چقدر محاسبات در مقایسه با کسرهای معمولی "دو طبقه" ساده شده است.

متأسفانه این اثر با ضرب و تقسیم اعشار رخ نمی دهد. در برخی موارد، نماد اعشاری حتی این عملیات را پیچیده می کند.

ابتدا اجازه دهید یک تعریف جدید ارائه کنیم. ما او را اغلب، و نه فقط در این درس، خواهیم دید.

بخش مهم یک عدد همه چیز بین اولین و آخرین رقم غیر صفر است، از جمله انتهای آن. ما فقط در مورد اعداد صحبت می کنیم، نقطه اعشار در نظر گرفته نمی شود.

ارقام موجود در قسمت قابل توجه یک عدد را ارقام معنی دار می نامند. آنها می توانند تکرار شوند و حتی برابر با صفر باشند.

به عنوان مثال، چند کسر اعشاری را در نظر بگیرید و قسمت های مهم مربوطه را بنویسید:

1. 91.25 → 9125 (ارقام مهم: 9؛ 1؛ 2؛ 5);
2. 0.008241 → 8241 (اعداد قابل توجه: 8؛ 2؛ 4؛ 1);
3. 15.0075 → 150075 (اعداد قابل توجه: 1؛ 5؛ 0؛ 0؛ 7؛ 5)؛
4. 0.0304 → 304 (اعداد قابل توجه: 3؛ 0؛ 4)؛
5. 3000 → 3 (فقط یک رقم قابل توجه وجود دارد: 3).

لطفا توجه داشته باشید: صفرهای داخل قسمت قابل توجه عدد به جایی نمی روند. وقتی یاد گرفتیم کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم، قبلاً با چیزی مشابه روبرو شده ایم (به درس "اعشار" مراجعه کنید).

این نکته به قدری مهم است و در اینجا به قدری اشتباه می شود که در آینده نزدیک تستی در این زمینه منتشر خواهم کرد. حتما تمرین کنید! و ما، مسلح به مفهوم بخش مهم، در واقع به موضوع درس خواهیم رفت.

ضرب اعشار

عملیات ضرب شامل سه مرحله متوالی است:

1. برای هر کسر، قسمت مهم را یادداشت کنید. شما دو عدد صحیح معمولی دریافت خواهید کرد - بدون هیچ مخرج و اعشاری.
2. این اعداد را به هر روشی که مناسب است ضرب کنید. به طور مستقیم، اگر اعداد کوچک هستند، یا در یک ستون. بخش قابل توجهی از کسر مورد نظر را به دست می آوریم.
3. دریابید که نقطه اعشار در کسرهای اصلی کجا و با چند رقم جابجا شده است تا قسمت مهم مربوطه را بدست آورید. برای قسمت قابل توجهی که در مرحله قبل به دست آمده است، جابجایی معکوس انجام دهید.

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که صفرهای طرفین قسمت قابل توجه هرگز در نظر گرفته نمی شوند. نادیده گرفتن این قانون منجر به خطا می شود.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10000.

ما با عبارت اول کار می کنیم: 0.28 · 12.5.

1. بیایید قسمت های مهم اعداد را از این عبارت بنویسیم: 28 و 125.
2. محصول آنها: 28 · 125 = 3500;
3. در فاکتور اول، نقطه اعشار 2 رقم به سمت راست منتقل می شود (28 ← 0.28)، و در فاکتور دوم، 1 رقم دیگر جابه جا می شود. در مجموع، شما نیاز به تغییر سه رقمی به چپ دارید: 3500 → 3500 = 3.5.

حال بیایید به عبارت 6.3 · 1.08 نگاه کنیم.

1. بیایید قسمت های مهم را بنویسیم: 63 و 108;
2. محصول آنها: 63 · 108 = 6804;
3. دوباره، دو جابجایی به سمت راست: به ترتیب با 2 و 1 رقم. مجموع - دوباره 3 رقم به راست، بنابراین تغییر معکوس 3 رقم به چپ خواهد بود: 6804 → 6.804. این بار هیچ صفر انتهایی وجود ندارد.

به عبارت سوم رسیدیم: 132.5 · 0.0034.

1. قسمت های قابل توجه: 1325 و 34;
2. محصول آنها: 1325 · 34 = 45,050;
3. در کسر اول، نقطه اعشار با 1 رقم به سمت راست حرکت می کند، و در دومی - به اندازه 4. مجموع: 5 به سمت راست. 5 به چپ تغییر می دهیم: 45050 → 0.45050 = 0.4505. صفر در انتها حذف شد و در جلو اضافه شد تا نقطه اعشار "لخت" باقی نماند.

عبارت زیر است: 0.0108 · 1600.5.

1. ما بخش های مهم را می نویسیم: 108 و 16 005.
2. آنها را ضرب می کنیم: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. ما اعداد را بعد از نقطه اعشار می شماریم: در عدد اول 4، در عدد دوم 1 وجود دارد. مجموع دوباره 5 است. داریم: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. در پایان، صفر "اضافی" حذف شد.

در نهایت، آخرین عبارت: 5.25 10000.

1. بخش های مهم: 525 و 1;
2. ما آنها را ضرب می کنیم: 525 · 1 = 525;
3. کسر اول 2 رقمی به راست و کسر دوم 4 رقمی به چپ منتقل می شود (10000 → 1.0000 = 1). مجموع 4 − 2 = 2 رقم در سمت چپ. ما یک تغییر معکوس را با 2 رقم به سمت راست انجام می دهیم: 525، → 52500 (باید صفرها را اضافه کنیم).

در مثال آخر توجه کنید: از آنجایی که نقطه اعشار در جهات مختلف حرکت می کند، جابجایی کل از طریق تفاوت پیدا می شود. این نکته بسیار مهمی است! این هم یک مثال دیگر:

اعداد 1.5 و 12500 را در نظر بگیرید. 12500 → 125 (تغییر 2 به چپ). ما 1 رقم را به سمت راست و سپس 2 را به سمت چپ "گام" می کنیم. در نتیجه، گام های 2 − 1 = 1 رقمی را به سمت چپ برداشتیم.

تقسیم اعشاری

تقسیم شاید سخت ترین عملیات باشد. البته، در اینجا می توانید با قیاس با ضرب عمل کنید: قسمت های مهم را تقسیم کنید و سپس نقطه اعشار را "حرکت دهید". اما در این مورد ظرافت های بسیاری وجود دارد که صرفه جویی بالقوه را نفی می کند.

بنابراین، بیایید به یک الگوریتم جهانی نگاه کنیم که کمی طولانی تر است، اما بسیار قابل اعتمادتر است:

1. همه کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید. با کمی تمرین، این مرحله شما را چند ثانیه زمان خواهد برد.
2. کسرهای به دست آمده را به روش کلاسیک تقسیم کنید. به عبارت دیگر، کسر اول را در ثانیه "معکوس" ضرب کنید (به درس "ضرب و تقسیم کسرهای عددی" مراجعه کنید).
3. در صورت امکان، نتیجه را دوباره به صورت کسری اعشاری ارائه دهید. این مرحله نیز سریع است، زیرا مخرج اغلب از قبل توان ده است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

بیایید اولین عبارت را در نظر بگیریم. ابتدا کسری را به اعشار تبدیل می کنیم:

بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. شماره‌گذار کسر اول دوباره فاکتور می‌شود:

در مثال سوم و چهارم یک نکته مهم وجود دارد: پس از خلاص شدن از نماد اعشاری، کسرهای تقلیل پذیر ظاهر می شوند. با این حال، ما این کاهش را انجام نخواهیم داد.

مثال آخر جالب است زیرا صورت‌گر کسر دوم دارای یک عدد اول است. در اینجا به سادگی چیزی برای فاکتورگیری وجود ندارد، بنابراین ما آن را مستقیماً در نظر می گیریم:

گاهی اوقات تقسیم منجر به یک عدد صحیح می شود (در مورد آخرین مثال صحبت می کنم). در این صورت مرحله سوم اصلا انجام نمی شود.

علاوه بر این، هنگام تقسیم، کسرهای "زشت" اغلب ایجاد می شوند که نمی توانند به اعشار تبدیل شوند. این تقسیم را از ضرب متمایز می کند، جایی که نتایج همیشه به صورت اعشاری نشان داده می شوند. البته در این صورت مرحله آخر باز هم انجام نمی شود.

به مثال های 3 و 4 نیز توجه کنید. در آنها، ما عمدا کسرهای معمولی به دست آمده از اعشار را کاهش نمی دهیم. در غیر این صورت، این کار معکوس را پیچیده می کند - پاسخ نهایی را دوباره به شکل اعشاری نشان می دهد.

به یاد داشته باشید: ویژگی اساسی یک کسری (مانند هر قانون دیگری در ریاضیات) به خودی خود به این معنی نیست که باید در همه جا و همیشه و در هر فرصتی اعمال شود.