ضرب کسرها با مخرج مشابه به صورت آنلاین. ضرب و تقسیم کسرها

ضرب یک عدد کامل در کسری کار سختی نیست. اما نکات ظریفی وجود دارد که احتمالاً در مدرسه متوجه آنها شده اید، اما از آن زمان به بعد فراموش کرده اید.

چگونه یک عدد کامل را در کسری ضرب کنیم - چند جمله

اگر به یاد دارید که صورت و مخرج چیست و کسر مناسب با کسر نامناسب چه تفاوتی دارد، این پاراگراف را نادیده بگیرید. این برای کسانی است که این نظریه را به کلی فراموش کرده اند.

شمارنده است قسمت بالاکسرها همان چیزی است که ما تقسیم می کنیم. مخرج کمتر است. این چیزی است که ما بر آن تقسیم می کنیم.
کسری مناسب کسری است که صورت آن کوچکتر از مخرج آن باشد. کسری نامناسب کسری است که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج آن باشد.

چگونه یک عدد کامل را در کسری ضرب کنیم

قانون ضرب یک عدد صحیح در کسری بسیار ساده است - ما عدد را در عدد صحیح ضرب می کنیم، اما مخرج را لمس نمی کنیم. به عنوان مثال: دو ضرب در یک پنجم - دو پنجم می گیریم. چهار ضرب در سه شانزدهم برابر با دوازدهم شانزدهم است.

کاهش

در مثال دوم، کسر حاصل را می توان کاهش داد.
چه مفهومی داره؟ لطفا توجه داشته باشید که صورت و مخرج این کسر بر چهار بخش پذیر است. تقسیم هر دو عدد بر یک مقسوم علیه مشترک را کاهش کسر می گویند. سه ربع می گیریم.

کسرهای نامناسب

اما فرض کنید چهار را در دو پنجم ضرب کنیم. معلوم شد هشت پنجم است. این یک کسر نامناسب است.
قطعا باید به شکل صحیح در بیاید. برای این کار باید یک قسمت کامل از آن را انتخاب کنید.
در اینجا باید از تقسیم با باقی مانده استفاده کنید. یک و سه به عنوان باقیمانده می گیریم.
یک کل و سه پنجم کسر مناسب ماست.

آوردن سی و پنج هشتم به شکل صحیح کمی دشوارتر است نزدیکترین عدد به سی و هفت که بر هشت بخش پذیر است سی و دو است. وقتی تقسیم می شود، چهار می گیریم. سی و دو را از سی و پنج کم کنید و سه به دست می آید. نتیجه: چهار کامل و سه هشتم.

برابری صورت و مخرج. و در اینجا همه چیز بسیار ساده و زیبا است. اگر صورت و مخرج برابر باشند، نتیجه به سادگی یک است.

ضرب کسرهای مشترک

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

بگذارید قسمت $\frac(1)(3)$ از یک سیب در بشقاب باشد. ما باید قسمت $\frac(1)(2)$ آن را پیدا کنیم. قسمت مورد نیاز حاصل ضرب کسرهای $\frac(1)(3)$ و $\frac(1)(2)$ است. حاصل ضرب دو کسر مشترک یک کسر مشترک است.

ضرب دو کسر معمولی

قانون ضرب کسرهای معمولی:

حاصل ضرب کسری در کسری کسری است که صورت آن برابر حاصلضرب کسری است و مخرج آن برابر حاصلضرب مخرج است:

مثال 1

ضرب کسرهای رایج $\frac(3)(7)$ و $\frac(5)(11)$ را انجام دهید.

راه حل.

بیایید از قانون برای ضرب کسرهای معمولی استفاده کنیم:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

پاسخ:$\frac(15)(77)$

اگر ضرب کسرها منجر به کسر تقلیل پذیر یا نامناسب شود، باید آن را ساده کنید.

مثال 2

کسرهای $\frac(3)(8)$ و $\frac(1)(9)$ را ضرب کنید.

راه حل.

ما از قانون برای ضرب کسرهای معمولی استفاده می کنیم:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

در نتیجه یک کسری قابل تقلیل به دست آوردیم (بر اساس تقسیم بر $3. صورت و مخرج کسر را بر $3$ تقسیم کنید، به دست می‌آید:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

راه حل کوتاه:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

پاسخ:$\frac(1)(24).$

هنگام ضرب کسرها، می توانید اعداد و مخرج ها را کاهش دهید تا زمانی که حاصل ضرب آنها را پیدا کنید. در این حالت، صورت و مخرج کسر به تجزیه می شود عوامل اصلی، پس از آن عوامل تکرار شونده کاهش یافته و نتیجه پیدا می شود.

مثال 3

حاصل ضرب کسرهای $\frac(6)(75)$ و $\frac(15)(24)$ را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید از فرمول برای ضرب کسرهای معمولی استفاده کنیم:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

بدیهی است که صورت و مخرج حاوی اعدادی هستند که می توان آنها را به صورت جفت به اعداد $2$، $3$ و $5$ کاهش داد. بیایید صورت و مخرج را به فاکتورهای ساده تبدیل کنیم و کاهش دهیم:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

پاسخ:$\frac(1)(20).$

هنگام ضرب کسری، می توانید قانون جابجایی را اعمال کنید:

ضرب کسری مشترک در یک عدد طبیعی

قانون ضرب کسری مشترک در یک عدد طبیعی:

حاصل ضرب کسری در یک عدد طبیعی کسری است که در آن صورت برابر حاصل ضرب کسری در عدد طبیعی و مخرج برابر با مخرج کسر ضرب شده است:

جایی که $\frac(a)(b)$ یک کسری معمولی است، $n$ یک عدد طبیعی است.

مثال 4

کسری $\frac(3)(17)$ را در $4$ ضرب کنید.

راه حل.

بیایید از قانون ضرب یک کسری معمولی در یک عدد طبیعی استفاده کنیم:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

پاسخ:$\frac(12)(17).$

فراموش نکنید که نتیجه ضرب را با کاهش پذیری یک کسری یا با یک کسر نامناسب بررسی کنید.

مثال 5

کسری $\frac(7)(15)$ را در عدد $3$ ضرب کنید.

راه حل.

بیایید از فرمول ضرب کسری در یک عدد طبیعی استفاده کنیم:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

با تقسیم بر عدد $3) می توانیم تعیین کنیم که کسر حاصل می تواند کاهش یابد:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

نتیجه کسری نادرست بود. بیایید کل قسمت را انتخاب کنیم:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

راه حل کوتاه:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

کسرها را نیز می توان با جایگزین کردن اعداد در صورت و مخرج با فاکتورسازی آنها به ضرایب اول کاهش داد. در این مورد، راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

پاسخ:$1\frac(2)(5).$

هنگام ضرب کسری در یک عدد طبیعی، می توانید از قانون جابجایی استفاده کنید:

تقسیم کسرها

عمل تقسیم معکوس ضرب است و حاصل آن کسری است که باید یک کسر معلوم را در آن ضرب کرد تا حاصل ضرب معلوم دو کسر به دست آید.

تقسیم دو کسر معمولی

قانون تقسیم کسرهای معمولی:بدیهی است که می توان صورت و مخرج کسر حاصل را فاکتور گرفت و کاهش داد:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

در نتیجه، یک کسری نامناسب دریافت می کنیم که از آن کل قسمت را انتخاب می کنیم:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

پاسخ:$1\frac(5)(9).$

عمل دیگری که می توان با کسرهای معمولی انجام داد ضرب است. ما سعی خواهیم کرد قوانین اساسی آن را هنگام حل مسائل توضیح دهیم، نشان دهیم که چگونه یک کسری معمولی در یک عدد طبیعی ضرب می شود و چگونه به درستی سه کسر معمولی یا بیشتر را ضرب کنیم.

بیایید ابتدا قانون اساسی را بنویسیم:

تعریف 1

اگر یک کسر معمولی را ضرب کنیم، صورت کسر حاصل برابر حاصلضرب کسرهای اصلی و مخرج برابر حاصلضرب مخرج آنها خواهد بود. در شکل تحت اللفظی، برای دو کسر a / b و c / d، این می تواند به صورت b · c d = a · c b · d بیان شود.

بیایید به مثالی از نحوه اعمال صحیح این قانون نگاه کنیم. فرض کنید مربعی داریم که ضلع آن برابر با یک واحد عددی است. سپس مساحت شکل 1 مربع خواهد بود. واحد. اگر مربع را به مستطیل های مساوی با اضلاع برابر 1 4 و 1 8 واحد عددی تقسیم کنیم، به این نتیجه می رسیم که اکنون از 32 مستطیل تشکیل شده است (زیرا 8 4 = 32). بر این اساس، مساحت هر یک از آنها برابر با 1 32 مساحت کل شکل خواهد بود، یعنی. 1 32 متر مربع واحدها

ما یک قطعه سایه دار داریم که اضلاع آن برابر با 5 8 واحد عددی و 3 4 واحد عددی است. بر این اساس، برای محاسبه مساحت آن، باید کسر اول را در دوم ضرب کنید. برابر با 5 8 · 3 4 متر مربع خواهد بود. واحدها اما ما می توانیم به سادگی شمارش کنیم که چند مستطیل در قطعه گنجانده شده است: 15 مورد از آنها وجود دارد، به این معنی که مساحت کل 15 32 واحد مربع است.

از آنجایی که 5 3 = 15 و 8 4 = 32، می توانیم برابری زیر را بنویسیم:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

این قانون را تأیید می کند که ما برای ضرب کسرهای معمولی فرموله کردیم، که به صورت b · c d = a · c b · d بیان می شود. این کار برای هر دو کسر مناسب و نامناسب یکسان است. می توان از آن برای ضرب کسری با مخرج های متفاوت و یکسان استفاده کرد.

بیایید به راه حل های چندین مسئله مربوط به ضرب کسرهای معمولی نگاه کنیم.

مثال 1

7 11 را در 9 8 ضرب کنید.

راه حل

ابتدا حاصل ضرب اعداد کسرهای مشخص شده را با ضرب 7 در 9 محاسبه می کنیم. ما 63 گرفتیم. سپس حاصل ضرب مخرج ها را محاسبه می کنیم و به دست می آوریم: 11 · 8 = 88. بیایید دو عدد بسازیم و جواب این است: 63 88.

کل راه حل را می توان اینگونه نوشت:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

پاسخ: 7 11 · 9 8 = 63 88.

اگر در پاسخ خود کسری تقلیل پذیر به دست آوردیم، باید محاسبه را کامل کرده و کاهش آن را انجام دهیم. اگر کسری نامناسب به دست آوردیم، باید کل قسمت را از آن جدا کنیم.

مثال 2

محاسبه حاصل ضرب کسرها 4 15 و 55 6 .

راه حل

طبق قاعده مورد مطالعه در بالا، باید صورت را در صورت ضرب و مخرج را در مخرج ضرب کنیم. رکورد راه حل به شکل زیر خواهد بود:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

ما یک کسر تقلیل پذیر دریافت کردیم، یعنی. یکی که بر 10 بخش پذیر است.

بیایید کسر را کاهش دهیم: 220 90 gcd (220، 90) = 10، 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. در نتیجه یک کسری نامناسب به دست آوردیم که از آن کل قسمت را انتخاب می کنیم و می گیریم شماره های درهم: 22 9 = 2 4 9 .

پاسخ: 4 15 55 6 = 2 4 9.

برای سهولت در محاسبه، می توانیم قبل از انجام عملیات ضرب، کسرهای اصلی را نیز کاهش دهیم، که برای این کار باید کسر را به شکل a · c b · d کاهش دهیم. بیایید مقادیر متغیرها را به عوامل ساده تجزیه کنیم و همان ها را کاهش دهیم.

بیایید توضیح دهیم که استفاده از داده های یک کار خاص چگونه به نظر می رسد.

مثال 3

محصول 4 15 55 6 را محاسبه کنید.

راه حل

بیایید محاسبات را بر اساس قانون ضرب بنویسیم. به دست خواهیم آورد:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

چون 4 = 2 2، 55 = 5 11، 15 = 3 5 و 6 = 2 3، پس 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

پاسخ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

یک عبارت عددی که در آن کسرهای معمولی ضرب می شوند دارای خاصیت جابجایی است، یعنی در صورت لزوم می توانیم ترتیب عوامل را تغییر دهیم:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

چگونه یک کسری را با یک عدد طبیعی ضرب کنیم

بیایید قانون اساسی را فوراً بنویسیم و سپس سعی کنیم آن را در عمل توضیح دهیم.

تعریف 2

برای ضرب یک کسر معمولی در یک عدد طبیعی، باید صورت‌گر آن کسری را در آن عدد ضرب کنید. در این صورت، مخرج کسر نهایی برابر با مخرج کسر معمولی اصلی خواهد بود. ضرب یک کسر معین a b در یک عدد طبیعی n را می توان به صورت فرمول a b · n = a · n b نوشت.

درک این فرمول آسان است اگر به یاد داشته باشید که هر عدد طبیعی را می توان به عنوان یک کسر معمولی با مخرج نشان داد. برابر با یک، به این معنا که:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

اجازه دهید ایده خود را با مثال های خاص توضیح دهیم.

مثال 4

حاصل ضرب 2 را 27 ضربدر 5 حساب کنید.

راه حل

در نتیجه ضرب عدد کسر اصلی در ضریب دوم عدد 10 به دست می آید. بر اساس قاعده ذکر شده در بالا، در نتیجه 10 27 دریافت خواهیم کرد. کل راه حل در این پست آورده شده است:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

پاسخ: 2 27 5 = 10 27

وقتی یک عدد طبیعی را در یک کسری ضرب می کنیم، اغلب باید نتیجه را مخفف کنیم یا آن را به صورت یک عدد مختلط نشان دهیم.

مثال 5

شرط: محصول 8 در 5 12 را محاسبه کنید.

راه حل

طبق قانون بالا عدد طبیعی را در عدد ضرب می کنیم. در نتیجه به این نتیجه می رسیم که 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. کسر نهایی دارای علائم بخش پذیری بر 2 است، بنابراین باید آن را کاهش دهیم:

LCM (40، 12) = 4، بنابراین 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

اکنون تنها کاری که باید انجام دهیم این است که کل قسمت را انتخاب کرده و پاسخ آماده را بنویسیم: 10 3 = 3 1 3.

در این ورودی می توانید کل راه حل را ببینید: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

ما همچنین می‌توانیم کسر را با فاکتور کردن صورت و مخرج به ضرایب اول کاهش دهیم و نتیجه دقیقاً یکسان خواهد بود.

پاسخ: 5 12 8 = 3 1 3.

یک عبارت عددی که در آن یک عدد طبیعی در یک کسری ضرب می‌شود، خاصیت جابجایی نیز دارد، یعنی ترتیب عوامل بر نتیجه تأثیر نمی‌گذارد:

a b · n = n · a b = a · n b

چگونه سه یا چند کسر رایج را ضرب کنیم

ما می توانیم به عمل ضرب کسرهای معمولی همان ویژگی هایی را که مشخصه ضرب اعداد طبیعی است بسط دهیم. این از خود تعریف این مفاهیم ناشی می شود.

به لطف دانش ویژگی های انجمنی و جابجایی، می توانید سه را ضرب کنید کسرهای رایجو بیشتر. تنظیم مجدد فاکتورها برای راحتی بیشتر یا چیدمان براکت ها به گونه ای که شمارش را آسان تر می کند قابل قبول است.

بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

مثال 6

چهار کسر رایج 1 20، 12 5، 3 7 و 5 8 را ضرب کنید.

راه حل: ابتدا کار را ضبط می کنیم. ما 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 دریافت می کنیم. باید همه اعداد و همه مخرج ها را با هم ضرب کنیم: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

قبل از شروع ضرب، می‌توانیم کار را کمی برای خود آسان‌تر کنیم و برای کاهش بیشتر، برخی از اعداد را به عوامل اول تبدیل کنیم. این آسان تر از کاهش کسری به دست آمده است که از قبل آماده است.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9280

پاسخ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.

مثال 7

ضرب 5 عدد 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

راه حل

برای راحتی، می توانیم کسر 7 8 را با عدد 8 و عدد 12 را با کسری 5 36 گروه بندی کنیم، زیرا اختصارات بعدی برای ما واضح خواهد بود. در نتیجه به دست خواهیم آورد:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 310 3 = 7 5 310 3 2 3

پاسخ: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید