لگاریتم یک چیست؟ محاسبه لگاریتم ها، مثال ها، راه حل ها

خواص اصلی.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، خواهید دانست و ارزش دقیقغرفه داران و تاریخ تولد لئو تولستوی.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

4. جایی که .

مثال 2. x if را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد را به عنوان لگاریتم بر حسب نشان دهیم این اساس. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، اصلی هویت لگاریتمیگاهی اوقات این تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا بتوانید کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به درک مطالب، من فقط چند مثال معمولی از آن ارائه می کنم برنامه آموزشی مدرسهو دانشگاه ها

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.

این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = لوگا (x: y).

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

انتقال به یک پایه جدید

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

در رابطه با

وظیفه یافتن هر یک از سه عدد از دو عدد داده شده دیگر را می توان تنظیم کرد. اگر a و سپس N داده شوند، آنها با توان یافت می شوند. اگر N و سپس a با گرفتن ریشه درجه x (یا بالا بردن آن به توان) داده شوند. حال این مورد را در نظر بگیرید که با توجه به a و N، باید x را پیدا کنیم.

عدد N مثبت باشد: عدد a مثبت و مساوی یک نباشد: .

تعریف. لگاریتم عدد N به پایه a توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا عدد N بدست آید. لگاریتم با نشان داده می شود

بنابراین، در برابری (26.1) توان به عنوان لگاریتم N به پایه a یافت می شود. نوشته ها

دارند همان معنا. تساوی (26.1) گاهی اوقات هویت اصلی نظریه لگاریتم نامیده می شود. در واقع تعریف مفهوم لگاریتم را بیان می کند. با این تعریف، پایه لگاریتم a همیشه مثبت و متفاوت از وحدت است. عدد لگاریتمی N مثبت است. اعداد منفی و صفر لگاریتمی ندارند. می توان ثابت کرد که هر عددی با یک پایه معین، لگاریتمی کاملاً مشخص دارد. بنابراین برابری مستلزم آن است. توجه داشته باشید که شرط در اینجا ضروری است؛ در غیر این صورت، نتیجه گیری توجیه نمی شود، زیرا برابری برای هر مقدار x و y صادق است.

مثال 1. پیدا کنید

راه حل. برای به دست آوردن یک عدد باید پایه 2 را به توان برسانید بنابراین.

هنگام حل چنین مثال هایی می توانید به شکل زیر یادداشت برداری کنید:

مثال 2. پیدا کنید.

راه حل. ما داریم

در مثال های 1 و 2، ما به راحتی لگاریتم مورد نظر را با نمایش عدد لگاریتمی به عنوان توان پایه با شاخص منطقی. در حالت کلی، به عنوان مثال، برای غیره، نمی توان این کار را انجام داد، زیرا لگاریتم دارای ارزش غیر منطقی است. اجازه دهید به یک موضوع مرتبط با این بیانیه توجه کنیم. در بند 12، مفهوم امکان تعیین هر توان واقعی یک عدد مثبت معین را ارائه کردیم. این برای معرفی لگاریتم ها، که به طور کلی می توانند اعداد غیر منطقی باشند، ضروری بود.

بیایید به برخی از خواص لگاریتم نگاه کنیم.

خاصیت 1. اگر عدد و مبنا مساوی باشند، لگاریتم برابر با یک است و برعکس، اگر لگاریتم برابر با یک باشد، عدد و مبنا مساوی هستند.

اثبات اجازه دهید با تعریف لگاریتم و از کجا داریم

برعکس، اجازه دهید سپس با تعریف

خاصیت 2. لگاریتم یک به هر پایه برابر با صفر است.

اثبات با تعریف لگاریتم (قدرت صفر هر پایه مثبت برابر با یک است، به (10.1) مراجعه کنید). از اینجا

Q.E.D.

گزاره معکوس نیز درست است: اگر، پس N = 1. در واقع، ما داریم.

قبل از فرمول‌بندی خاصیت لگاریتم‌ها، اجازه دهید بگوییم که دو عدد a و b در یک سمت عدد سوم c قرار دارند، اگر هر دو بزرگ‌تر از c یا کوچکتر از c باشند. اگر یکی از این اعداد بزرگتر از c و دیگری کوچکتر از c باشد، می گوییم که آنها در طرف مقابل c قرار دارند.

خاصیت 3. اگر عدد و مبنا در یک طرف یک قرار گیرند، لگاریتم مثبت است. اگر عدد و پایه در دو طرف یک قرار گیرند، لگاریتم منفی است.

اثبات خاصیت 3 بر این اساس است که توان a بزرگتر از یک است اگر پایه بزرگتر از یک و توان مثبت یا پایه کوچکتر از یک و توان منفی باشد. توانی کمتر از یک است اگر پایه بزرگتر از یک و توان آن منفی باشد یا پایه کوچکتر از یک و توان مثبت باشد.

چهار مورد برای بررسی وجود دارد:

ما به تجزیه و تحلیل اولین آنها اکتفا می کنیم و خواننده بقیه را به تنهایی در نظر می گیرد.

بگذارید در برابری توان نه می تواند منفی باشد و نه برابر با صفر، بنابراین مثبت است، یعنی همانطور که باید ثابت شود.

مثال 3. ببینید کدام یک از لگاریتم های زیر مثبت و کدام منفی هستند:

راه حل، الف) از آنجایی که عدد 15 و پایه 12 در یک سمت یک قرار دارند.

ب) از آنجایی که 1000 و 2 در یک طرف واحد قرار دارند. در این مورد، مهم نیست که پایه از عدد لگاریتمی بزرگتر باشد.

ج) از آنجایی که 3.1 و 0.8 در دو طرف وحدت قرار دارند.

ز)؛ چرا؟

د)؛ چرا؟

خواص زیر 4-6 اغلب قوانین لگاریتم نامیده می شوند: آنها با دانستن لگاریتم برخی از اعداد اجازه می دهند لگاریتم حاصلضرب، ضریب و درجه هر یک از آنها را بیابند.

خاصیت 4 (قانون لگاریتم محصول). لگاریتم حاصل ضرب چند عدد مثبت به یک پایه معین برابر است با مجموع لگاریتم این اعداد به همان پایه.

اثبات بگذارید اعداد داده شده مثبت باشند.

برای لگاریتم حاصل ضرب آنها، برابری (26.1) را می نویسیم که لگاریتم را تعریف می کند:

از اینجا پیدا خواهیم کرد

با مقایسه نماهای اولین و آخرین عبارت، برابری لازم را بدست می آوریم:

توجه داشته باشید که شرط ضروری است. لگاریتم حاصل ضرب دو اعداد منفیمنطقی است، اما در این مورد ما دریافت می کنیم

به طور کلی، اگر حاصل ضرب چند عامل مثبت باشد، لگاریتم آن برابر است با مجموع لگاریتم مقادیر مطلق این عوامل.

خاصیت 5 (قاعده گرفتن لگاریتم ضریب). لگاریتم ضریبی از اعداد مثبت برابر است با تفاوت لگاریتم های تقسیم کننده و مقسوم علیه که به یک پایه گرفته شده است. اثبات ما به طور مداوم پیدا می کنیم

Q.E.D.

خاصیت 6 (قانون لگاریتم توان). لگاریتم توان هر عدد مثبت برابر است با لگاریتم آن عدد ضرب در توان.

اثبات اجازه دهید دوباره هویت اصلی (26.1) را برای شماره بنویسیم:

Q.E.D.

نتیجه. لگاریتم ریشه یک عدد مثبت برابر است با لگاریتم رادیکال تقسیم بر توان ریشه:

صحت این نتیجه را می توان با تصور چگونگی و استفاده از خاصیت 6 اثبات کرد.

مثال 4. لگاریتم را به مبنای a بگیرید:

الف) (فرض می شود که تمام مقادیر b، c، d، e مثبت هستند)؛

ب) (فرض می شود که ).

راه حل، الف) رفتن به توان های کسری در این عبارت راحت است:

بر اساس برابری های (26.5)-(26.7)، اکنون می توانیم بنویسیم:

متوجه می‌شویم که عملیات ساده‌تری بر روی لگاریتم اعداد نسبت به خود اعداد انجام می‌شود: هنگام ضرب اعداد، لگاریتم‌های آنها اضافه می‌شود، هنگام تقسیم، آنها کم می‌شوند و غیره.

به همین دلیل است که از لگاریتم ها در عمل محاسباتی استفاده می شود (به بند 29 مراجعه کنید).

عمل معکوس لگاریتم را تقویت می گویند، یعنی: توانمندی عملی است که به وسیله آن خود عدد از لگاریتم معین یک عدد پیدا می شود. در اصل، تقویت هیچ عمل خاصی نیست: به بالا بردن یک پایه به توان (برابر با لگاریتم یک عدد) مربوط می شود. اصطلاح «تقویت‌سازی» را می‌توان مترادف با واژه «توان‌سازی» دانست.

هنگام تقویت، باید از قوانین معکوس قواعد لگاریتم استفاده کنید: مجموع لگاریتم ها را با لگاریتم حاصلضرب، تفاوت لگاریتم ها را با لگاریتم ضریب، و غیره جایگزین کنید. به ویژه، اگر فاکتوری جلوتر باشد. از علامت لگاریتم، سپس در هنگام تقویت باید به درجات توان تحت علامت لگاریتم منتقل شود.

مثال 5. اگر معلوم است که N را پیدا کنید

راه حل. در رابطه با قاعده تقویتی که به تازگی بیان شده است، عوامل 2/3 و 1/3 ایستاده در مقابل نشانه های لگاریتم در سمت راست این برابری را به توان های زیر علائم این لگاریتم ها منتقل می کنیم. ما گرفتیم

اکنون اختلاف لگاریتم ها را با لگاریتم ضریب جایگزین می کنیم:

برای به دست آوردن آخرین کسر در این زنجیره برابری ها، کسر قبلی را از غیرعقلانی بودن مخرج رها کردیم (بند 25).

خاصیت 7. اگر پایه بزرگتر از یک باشد، پس تعداد بزرگترلگاریتم بزرگتر دارد (و عدد کوچکتر یک کوچکتر دارد)، اگر پایه کوچکتر از یک باشد، عدد بزرگتر لگاریتم کوچکتری دارد (و عدد کوچکتر عدد بزرگتر).

این ویژگی همچنین به عنوان یک قاعده برای گرفتن لگاریتم نابرابری ها که هر دو طرف آن مثبت هستند، فرموله شده است:

هنگام لگاریتم کردن نابرابری ها به پایه بزرگتر از یک، علامت نابرابری حفظ می شود و هنگام لگاریتم کردن به پایه کمتر از یک، علامت نابرابری به خلاف آن تغییر می کند (همچنین به بند 80 مراجعه کنید).

اثبات بر اساس ویژگی های 5 و 3 است. موردی را در نظر بگیرید که اگر، سپس و با گرفتن لگاریتم، به دست می آوریم

(الف و N/M در یک سمت وحدت قرار دارند). از اینجا

در صورت زیر، خواننده خود به خود متوجه خواهد شد.

لگاریتم عدد b (b > 0) به مبنای a (a > 0، a ≠ 1)- توانی که برای بدست آوردن b باید عدد a را به آن افزایش داد.

لگاریتم پایه 10 b را می توان به صورت زیر نوشت ورود به سیستم (ب)، و لگاریتم به پایه e (لگاریتم طبیعی) است ln(b).

اغلب برای حل مسائل با لگاریتم استفاده می شود:

خواص لگاریتم ها

چهار اصلی وجود دارد خواص لگاریتم ها.

بگذارید a > 0، a ≠ 1، x > 0 و y > 0.

خاصیت 1. لگاریتم محصول

لگاریتم محصولبرابر با مجموع لگاریتم ها:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

خاصیت 2. لگاریتم ضریب

لگاریتم ضریببرابر با اختلاف لگاریتم ها:

log a (x / y) = log a x – log a y

خاصیت 3. لگاریتم توان

لگاریتم درجهبرابر حاصل ضرب توان و لگاریتم:

اگر پایه لگاریتم در درجه باشد، فرمول دیگری اعمال می شود:

خاصیت 4. لگاریتم ریشه

این ویژگی را می توان از خاصیت لگاریتم یک توان به دست آورد، زیرا ریشه n ام توان برابر با توان 1/n است:

فرمول تبدیل از لگاریتم در یک پایه به لگاریتم در پایه دیگر

این فرمول همچنین اغلب هنگام حل وظایف مختلف بر روی لگاریتم استفاده می شود:

مورد خاص:

مقایسه لگاریتم ها (نابرابری ها)

بگذارید 2 تابع f(x) و g(x) در لگاریتم هایی با پایه های یکسان داشته باشیم و بین آنها علامت نابرابری وجود داشته باشد:

برای مقایسه آنها، ابتدا باید به پایه لگاریتم ها نگاه کنید:

اگر a > 0، آنگاه f(x) > g(x) > 0
اگر 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

نحوه حل مسائل با لگاریتم: مثال

مشکلات لگاریتمیکه در امتحان دولتی واحد در ریاضیات برای کلاس 11 در کار 5 و کار 7 گنجانده شده است، می توانید وظایف با راه حل ها را در وب سایت ما در بخش های مناسب پیدا کنید. همچنین، وظایف با لگاریتم در بانک وظایف ریاضی یافت می شود. با جستجو در سایت می توانید تمام نمونه ها را بیابید.

لگاریتم چیست

لگاریتم ها همیشه مورد توجه بوده اند موضوع پیچیدهدر یک دوره ریاضی مدرسه تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما به دلایلی اکثر کتاب های درسی از پیچیده ترین و ناموفق ترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. برای انجام این کار، بیایید یک جدول ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم.

لگاریتم - خواص، فرمول ها، نحوه حل

اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را افزایش دهید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه a آرگومان x توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a را به آن افزایش داد.

تعیین: log a x = b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b چیزی است که لگاریتم در واقع برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). با همان موفقیت، log 2 64 = 6، از 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شود. بنابراین، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
گزارش 2 2 = 1	گزارش 2 4 = 2	گزارش 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی در بازه قرار می گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار را می توان تا بی نهایت نوشت و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می کنند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزاردهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم یک قدرت است، که برای به دست آوردن آرگومان باید پایه در آن ساخته شود. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

نحوه شمارش لگاریتم

ما تعریف را فهمیدیم - تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیریم چگونه لگاریتم ها را بشماریم. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشند. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، نتیجه می گیرد.
پایه باید با یک متفاوت باشد، زیرا یک به هر درجه ای هنوز یکی باقی می ماند. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود منطقه ارزش های قابل قبول (ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این شکل است: log a x = b ⇒x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای عدد b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن VA لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط نویسندگان وظایف در نظر گرفته شده است. اما زمانی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DL اجباری خواهند شد. از این گذشته، اساس و استدلال ممکن است حاوی ساختارهای بسیار قوی باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

حالا بیایید در نظر بگیریم طرح کلیمحاسبه لگاریتم از سه مرحله تشکیل شده است:

پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با حداقل پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول مسیر، بهتر است از شر اعشار خلاص شوید.
معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. شرط بزرگتر بودن پایه از یک بسیار مهم است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. در مورد کسرهای اعشاری هم همینطور است: اگر بلافاصله آنها را به کسرهای معمولی تبدیل کنید، خطاهای بسیار کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با استفاده از مثال‌های خاص چگونه کار می‌کند:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان پنج تصور کنیم: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

جواب گرفتیم: 2.

وظیفه. محاسبه لگاریتم:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
جواب گرفتیم: 3.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
جواب گرفتیم: 0.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان هفت تصور کنیم: 7 = 7 1 ; 14 را نمی توان به عنوان توان هفت نشان داد، زیرا 7 1 است< 14 < 7 2 ;
از پاراگراف قبلی چنین بر می آید که لگاریتم به حساب نمی آید.
پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توان مطمئن شد که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ این بسیار ساده است - فقط آن را به تقسیم کنید عوامل اصلی. اگر انبساط حداقل دو عامل متفاوت داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

وظیفه. دریابید که آیا اعداد توان دقیق هستند یا خیر: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - توان دقیقی نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - درجه دقیق.
35 = 7 · 5 - دوباره قدرت دقیق نیست.
14 = 7 · 2 - باز هم درجه دقیق نیست.

همچنین توجه داشته باشیم که خود ما هستیم اعداد اولهمیشه درجات دقیقی از خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نماد خاصی دارند.

از آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد 10 را به آن افزایش داد. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس، وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر می شود، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این یک لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر با این نماد آشنا نیستید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای لگاریتم های اعشاری نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نام خود را دارد. از برخی جهات، حتی مهمتر از اعشاری است. ما در مورد لگاریتم طبیعی صحبت می کنیم.

از آرگومان x لگاریتم پایه e است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری از مردم خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است، مقدار دقیق آن را نمی توان یافت و یادداشت کرد. من فقط ارقام اول را می آورم:
e = 2.718281828459…

ما به جزئیات در مورد اینکه این شماره چیست و چرا به آن نیاز است نمی پردازیم. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویاغیر منطقی البته به جز یکی: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

همچنین ببینید:

لگاریتم. خواص لگاریتم (قدرت لگاریتم).

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتم نشان دهیم؟

ما از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

لگاریتم توانی است که برای بدست آوردن عدد زیر علامت لگاریتم، پایه باید به آن افزایش یابد.

بنابراین، برای نشان دادن یک عدد خاص c به عنوان لگاریتم به پایه a، باید توانی با پایه همان پایه لگاریتم را زیر علامت لگاریتم قرار دهید و این عدد c را به عنوان توان بنویسید:

مطلقاً هر عددی را می توان به عنوان یک لگاریتم نشان داد - مثبت، منفی، صحیح، کسری، گویا، غیر منطقی:

برای اینکه الف و ج را در شرایط استرس زا آزمون یا امتحان اشتباه نگیرید، می توانید از قانون حفظ زیر استفاده کنید:

آنچه در پایین است پایین می آید، آنچه در بالا است بالا می رود.

به عنوان مثال، شما باید عدد 2 را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان دهید.

ما دو عدد داریم - 2 و 3. این اعداد پایه و توان هستند که آنها را زیر علامت لگاریتم می نویسیم. باقی مانده است که مشخص شود کدام یک از این اعداد باید نوشته شود، بر اساس درجه، و کدام - به بالا، به توان.

پایه 3 در نماد لگاریتم در پایین است، به این معنی که وقتی دو را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان می دهیم، 3 را نیز به پایه می نویسیم.

2 بالاتر از سه است. و در علامت درجه دو بالای سه می نویسیم، یعنی به عنوان یک توان:

لگاریتم ها سطح اول.

لگاریتم ها

لگاریتمعدد مثبت ببر اساس آ، جایی که a > 0، a ≠ 1، به توانی گفته می شود که عدد باید به آن افزایش یابد آ، بدست آوردن ب.

تعریف لگاریتممی توان به طور خلاصه اینگونه نوشت:

این برابری برای b > 0، a > 0، a ≠ 1.معمولا نامیده می شود هویت لگاریتمی
عمل یافتن لگاریتم یک عدد نامیده می شود توسط لگاریتم

خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم ضریب:

جایگزینی پایه لگاریتمی:

لگاریتم درجه:

لگاریتم ریشه:

لگاریتم با پایه قدرت:

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

لگاریتم اعشاریاعداد لگاریتم این عدد را به پایه 10 فراخوانی کرده و lg را بنویسند ب
لگاریتم طبیعیاعداد را لگاریتم آن عدد به مبنا می گویند ه، جایی که ه- یک عدد غیر منطقی تقریباً برابر با 2.7 است. در همان زمان آنها می نویسند ln ب.

یادداشت های دیگر در مورد جبر و هندسه

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log a x و log a y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Log 6 4 + Log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

استخراج توان از لگاریتم

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی a x داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود.

در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

log a a = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
log a 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

عبارات لگاریتمی، حل مثال. در این مقاله به مسائل مربوط به حل لگاریتم می پردازیم. وظایف سؤال پیدا کردن معنای یک عبارت را مطرح می کنند. لازم به ذکر است که مفهوم لگاریتم در بسیاری از کارها استفاده می شود و درک معنای آن از اهمیت فوق العاده ای برخوردار است. در مورد آزمون دولتی واحد، لگاریتم هنگام حل معادلات، در مسائل کاربردی و همچنین در کارهای مربوط به مطالعه توابع استفاده می شود.

بیایید برای درک معنای لگاریتم مثال هایی بیاوریم:

هویت لگاریتمی پایه:

خواص لگاریتم که همیشه باید به خاطر بسپارید:

*لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

* * *

*لگاریتم یک ضریب (کسری) برابر است با اختلاف لگاریتم عوامل.

* * *

*لگاریتم یک توان برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم پایه آن.

* * *

* گذار به یک پایه جدید

* * *

خواص بیشتر:

* * *

محاسبه لگاریتم ارتباط تنگاتنگی با استفاده از خواص توانها دارد.

بیایید برخی از آنها را فهرست کنیم:

ماهیت این خاصیت این است که وقتی صورت به مخرج و بالعکس منتقل می شود، علامت توان به خلاف آن تغییر می کند. مثلا:

نتیجه ای از این ویژگی:

* * *

هنگام افزایش توان به توان، پایه ثابت می ماند، اما توان ها ضرب می شوند.

* * *

همانطور که دیدید، مفهوم لگاریتم خود ساده است. نکته اصلی این است که شما به تمرین خوب نیاز دارید، که به شما مهارت خاصی می دهد. البته دانش فرمول ها الزامی است. اگر مهارت تبدیل لگاریتم های ابتدایی ایجاد نشده باشد، در هنگام حل کارهای ساده می توانید به راحتی اشتباه کنید.

تمرین کنید، ابتدا ساده ترین مثال های درس ریاضی را حل کنید، سپس به سراغ نمونه های پیچیده تر بروید. در آینده، من قطعا نشان خواهم داد که چگونه لگاریتم های "ترسناک" حل می شوند؛ آنها در آزمون یکپارچه ایالت ظاهر نمی شوند، اما مورد علاقه هستند، آنها را از دست ندهید!

همین! موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید برای بدست آوردن \(8\) به آن افزایش یابد. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

مثال ها:	\(\log_(5)(25)=2\)	زیرا \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	زیرا \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	زیرا \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این ورودی به این صورت است: "لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج."

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه باید به چه قدرتی افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ چه قدرتی هر شماره یک را می سازد؟ البته صفر!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ اولاً هر عددی به توان اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای به دست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که یک توان کسری است، به این معنی ریشه دومتوان \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		باید مقدار لگاریتم را پیدا کنیم، بیایید آن را x نشان دهیم. حال بیایید از تعریف لگاریتم استفاده کنیم: \(\log_(a)(c)=b\) \(\فلش راست چپ\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		چه چیزی \(4\sqrt(2)\) و \(8\) را به هم متصل می کند؟ دو، زیرا هر دو عدد را می توان با دو نشان داد: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		در سمت چپ از ویژگی های درجه استفاده می کنیم: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) و \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		مبانی برابر است، ما به سمت برابری شاخص ها می رویم
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		دو طرف معادله را در \(\frac(2)(5)\) ضرب کنید
		ریشه حاصل مقدار لگاریتم است

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا معادله کار کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید. x برابر با چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین ها خواهند گفت: "X کمی کمتر از دو است." دقیقاً چگونه این عدد را بنویسیم؟ برای پاسخ به این سوال، لگاریتم اختراع شد. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تاکید کنم که \(\log_(3)(8)\)، مانند هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را در فرم بنویسیم اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) و \(10\) را نمی توان به یک پایه آورد. این بدان معنی است که شما نمی توانید بدون لگاریتم انجام دهید. بیایید از تعریف لگاریتم استفاده کنیم: \(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		بیایید معادله را طوری برگردانیم که X در سمت چپ باشد
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		قبل از ما. بیایید \(4\) را به سمت راست حرکت دهیم. و از لگاریتم نترسید، مانند یک عدد معمولی با آن رفتار کنید.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		معادله را بر 5 تقسیم کنید
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		این ریشه ماست. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما آنها پاسخ را انتخاب نمی کنند.

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم گفته شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (تقریباً برابر با \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود.

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "هویت لگاریتمی پایه" نام دارد و به شکل زیر است:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول دقیقا چگونه به وجود آمده است.

اجازه دهید یک نماد کوتاه از تعریف لگاریتم را به یاد بیاوریم:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

شما می توانید ویژگی های دیگر لگاریتم ها را بیابید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس به جای دو می توانید \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، یعنی می توانیم \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسیم. به همین ترتیب با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (خواه در یک معادله، در یک عبارت یا در یک نابرابری) - ما به سادگی پایه را به‌عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه‌گانه هم همین‌طور است - می‌توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \)... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : معنی عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)