درس تصویری ” مدرک با شاخص منطقی» حاوی تصویری است مطالب آموزشیبرای تدریس درسی در این زمینه این درس ویدیویی حاوی اطلاعاتی در مورد مفهوم درجه با توان منطقی، ویژگی های چنین درجاتی و همچنین مثال هایی است که استفاده از مواد آموزشی را برای حل مسائل عملی توصیف می کند. هدف از این درس ویدیویی ارائه واضح و شفاف مطالب آموزشی، تسهیل توسعه و به خاطر سپردن آن توسط دانش آموزان و ایجاد توانایی حل مسائل با استفاده از مفاهیم آموخته شده است.
از مزایای اصلی درس ویدیویی توانایی انجام بصری تبدیل ها و محاسبات، امکان استفاده از جلوه های انیمیشن برای بهبود کارایی یادگیری است. همراهی صدا به توسعه گفتار ریاضی صحیح کمک می کند و همچنین جایگزینی توضیح معلم را امکان پذیر می کند و او را برای انجام کارهای فردی آزاد می کند.
درس تصویری با معرفی موضوع آغاز می شود. هنگام اتصال مطالعه یک موضوع جدید با مطالب قبلاً مطالعه شده، پیشنهاد می شود به خاطر داشته باشید که n √a در غیر این صورت یک / n برای n طبیعی و a مثبت نشان داده می شود. این نمایش n-root روی صفحه نمایش داده می شود. در مرحله بعد، ما پیشنهاد می کنیم معنی عبارت a m/n را در نظر بگیریم که در آن a یک عدد مثبت و m/n یک کسری است. تعریف یک درجه با توان گویا به صورت m/n = n √a m داده شده است که در کادر برجسته شده است. توجه داشته باشید که n می تواند یک عدد طبیعی باشد و m می تواند یک عدد صحیح باشد.
پس از تعریف درجه با توان گویا، معنای آن از طریق مثال ها آشکار می شود: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. همچنین مثالی را نشان می‌دهد که در آن توانی که با اعشار نشان داده می‌شود به کسری تبدیل می‌شود تا به صورت ریشه نشان داده شود: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 و مثال با ارزش منفیدرجه: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
ویژگی خاص مورد خاص زمانی که پایه درجه صفر است به طور جداگانه نشان داده شده است. خاطرنشان می شود که این درجه فقط با یک توان کسری مثبت معنا دارد. در این مورد، مقدار آن صفر است: 0 m/n = 0.
یکی دیگر از ویژگی های یک درجه با توان گویا ذکر شده است - اینکه درجه ای با توان کسری را نمی توان با توان کسری در نظر گرفت. نمونه هایی از نشانه گذاری نادرست درجه ها آورده شده است: (-9) -3/7، (-3) -1/3، 0 -1/5.
در ادامه در درس ویدیویی، در مورد ویژگی های درجه با توان گویا بحث می کنیم. خاطرنشان می شود که ویژگی های یک درجه با توان عدد صحیح برای درجه با توان گویا نیز معتبر خواهد بود. پیشنهاد می‌شود فهرستی از املاک را که در این مورد نیز معتبر هستند، یادآوری کنید:
- وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان آنها جمع می شود: a p a q =a p+q.
- تقسیم توان ها با پایه های یکسان به توانی با پایه معین و تفاوت بین توان ها کاهش می یابد: a p:a q =a p-q.
- اگر درجه را به توان معینی برسانیم، در نهایت به درجه ای با پایه معین و حاصل ضرب توان ها می رسیم: (a p) q =a pq.
همه این ویژگی ها برای توان هایی با توان های گویا p، q و پایه مثبت a>0 معتبر هستند. همچنین، تغییر درجه در هنگام باز کردن پرانتز درست باقی می‌ماند:
- (ab) p =a p b p - افزایش به مقداری توان با توان گویا حاصل ضرب دو عدد به حاصل ضرب اعداد کاهش می یابد که هر کدام به توان معینی افزایش می یابد.
- (a/b) p =a p /b p - افزایش کسری به توان با توان گویا به کسری تقلیل می یابد که صورت و مخرج آن به توان معین افزایش می یابد.
این آموزش تصویری حل مثال هایی را که از ویژگی های در نظر گرفته شده توان ها با توان گویا استفاده می کنند، بحث می کند. مثال اول از شما می‌خواهد که مقدار یک عبارت حاوی متغیرهای x را در توان کسری پیدا کنید: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). با وجود پیچیدگی بیان، با استفاده از ویژگی های قدرت ها می توان آن را به سادگی حل کرد. حل مسئله با ساده‌سازی عبارت آغاز می‌شود، که از قاعده افزایش توان با توان منطقی به توان و همچنین ضرب توان با پایه یکسان استفاده می‌کند. پس از جایگزینی مقدار داده شده x=8 به عبارت ساده شده x 1/3 +48، به راحتی می توان مقدار - 50 را به دست آورد.
در مثال دوم، باید کسری را کاهش دهید که صورت و مخرج آن دارای توان هایی با توان گویا هستند. با استفاده از ویژگی های درجه، از تفاوت ضریب x 1/3 را استخراج می کنیم که سپس در صورت و مخرج کاهش می یابد و با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها، صورت فاکتور می شود که کاهش های بیشتر یکسان را به دست می دهد. عوامل در صورت و مخرج نتیجه چنین تبدیل هایی کسر کوتاه x 1/4 +3 است.
از درس تصویری "نما با توان منطقی" می توان به جای توضیح معلم مبحث جدید درسی استفاده کرد. این راهنما همچنین حاوی اطلاعات کافی کامل برای خودخواندانشجو. این مطالب می تواند برای آموزش از راه دور نیز مفید باشد.
از نماهای عدد صحیح عدد a، انتقال به توان گویا خود را نشان می دهد. در زیر یک درجه با توان گویا تعریف می کنیم و این کار را به گونه ای انجام می دهیم که تمام خصوصیات یک درجه با توان عدد صحیح حفظ شود. این امر ضروری است زیرا اعداد صحیح بخشی از آن هستند اعداد گویا.
مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر عدد کسری را می توان به صورت مثبت یا منفی نشان داد. کسر مشترک. در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید درجه عدد را معنا کنیم. آبا اندیکاتور کسری m/n، جایی که متریک عدد صحیح است و n- طبیعی بیایید آن را انجام دهیم.
بیایید درجه ای را با یک توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر بماند، برابری باید برقرار باشد 
. اگر برابری به دست آمده و نحوه تعیین ریشه n درجه را در نظر بگیریم، منطقی است که قبول کنیم، مشروط بر اینکه با توجه به داده شده متر, nو آبیان معنا دارد
به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).
استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه: اگر داده شود متر, nو آعبارت معنا پیدا می کند، سپس قدرت عدد آبا اندیکاتور کسری m/nریشه نامیده می شود nدرجه ام آتا یک درجه متر.
این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می ماند این است که در چه چیزی توضیح دهیم متر, nو آبیان معنا دارد بسته به محدودیت های اعمال شده در متر, nو آدو رویکرد اصلی وجود دارد.
1. ساده ترین راه اعمال محدودیت است آ، با پذیرفتن a≥0برای مثبت مترو a>0برای منفی متر(از کی تا حالا m≤0درجه 0 مترمشخص نشده). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.
تعریف.
توان یک عدد مثبت آبا اندیکاتور کسری m/n ، جایی که متر- کل، و n- یک عدد طبیعی که ریشه نامیده می شود n-ام شماره آتا یک درجه متر، به این معنا که، .
توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.
تعریف.
توان صفر با توان مثبت کسری m/n
، جایی که متریک عدد صحیح مثبت است و n- عدد طبیعی که به صورت تعریف شده است 
.
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.
لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی آو قدری مترو nاین عبارت منطقی است، اما ما این موارد را با معرفی شرط کنار گذاشتیم a≥0. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند 
یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با یک توان کسری شکل 
منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.
2. روش دیگری برای تعیین درجه با توان کسری m/nشامل در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این رویکرد مستلزم شرط اضافی: درجه از آکه توان آن یک کسر معمولی تقلیل پذیر است، توانی از عدد در نظر گرفته می شود آکه شاخص آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در ادامه اهمیت این شرط را توضیح خواهیم داد). یعنی اگر m/nکسری غیر قابل تقلیل است، پس برای هر عدد طبیعی کدرجه ابتدا با .
برای حتی nو مثبت متراین عبارت برای هر غیر منفی معنا پیدا می کند آ(حتی ریشه از عدد منفیمعنی ندارد)، با منفی مترعدد آباید همچنان با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر خواهد بود). و برای فرد nو مثبت مترعدد آمی تواند هر (یک ریشه فرد برای هر عدد واقعی تعریف شده است) و برای منفی باشد مترعدد آباید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد).
استدلال فوق ما را به این تعریف درجه با توان کسری می رساند.
تعریف.
اجازه دهید m/n- کسر غیر قابل تقلیل، متر- کل، و n- عدد طبیعی. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . درجه از آبا توان کسری تقلیل ناپذیر m/n- این هست برای
o هر عدد واقعی آ، کاملا مثبت مترو طبیعی عجیب و غریب n، مثلا، 
;
o هر عدد حقیقی غیر صفر آ، عدد صحیح منفی مترو عجیب و غریب n، مثلا، 
;
o هر عدد غیر منفی آ، کاملا مثبت مترو حتی n، مثلا، 
;
o هر گونه مثبت آ، عدد صحیح منفی مترو حتی n، مثلا، 
;
o در موارد دیگر، درجه با نشانگر کسری مشخص نمی شود، به عنوان مثال درجه ها تعریف نشده اند. 
.a هیچ معنایی به مدخل ضمیمه نمی کنیم، توان عدد صفر را برای توان های کسری مثبت تعریف می کنیم m/nچگونه ، برای توان های کسری منفی توان عدد صفر تعیین نمی شود.
در خاتمه این پاراگراف به این نکته توجه کنیم که توان کسری را می توان به شکل نوشتاری اعشارییا شماره های درهم، مثلا، 
. برای محاسبه مقادیر عبارات از این نوع، باید توان را به صورت کسری معمولی بنویسید و سپس از تعریف توان با یک توان کسری استفاده کنید. برای مثال های بالا داریم 
و 
قدرت با توان منطقی
خاسیانوا تی.جی.
معلم ریاضی
مطالب ارائه شده برای معلمان ریاضی هنگام مطالعه مبحث "نما با توان منطقی" مفید خواهد بود.
هدف از مطالب ارائه شده: نشان دادن تجربه خود از برگزاری یک درس با موضوع "نماینده با توان منطقی" برنامه کاریرشته "ریاضی".
روش انجام درس با نوع آن مطابقت دارد - درسی در مطالعه و در ابتدا تثبیت دانش جدید. دانش و مهارت های پایه بر اساس تجربه قبلی به روز شد. حفظ اولیه، تثبیت و استفاده از اطلاعات جدید. ادغام و به کارگیری مطالب جدید در قالب حل مسائلی که من با پیچیدگی های مختلف آزمایش کردم انجام شد. نتیجه مثبتتسلط بر موضوع
در ابتدای درس اهداف زیر را برای دانش آموزان در نظر گرفتم: آموزشی، رشدی، آموزشی. در طول درس از روش های مختلف فعالیت استفاده کردم: جلویی، فردی، زوجی، مستقل، تستی. وظایف متمایز شد و امکان شناسایی در هر مرحله از درس، میزان کسب دانش را فراهم کرد. حجم و پیچیدگی وظایف مطابقت دارد ویژگی های سنیدانش آموزان. از تجربه من - مشق شب، مشابه مشکلات حل شده در کلاس به شما امکان می دهد تا دانش و مهارت های به دست آمده را به طور قابل اعتمادی تثبیت کنید. در پایان درس، تأمل انجام شد و کار تک تک دانش آموزان مورد ارزیابی قرار گرفت.
اهداف محقق شد. دانش آموزان مفهوم و ویژگی های یک مدرک را با توان منطقی مطالعه کردند و یاد گرفتند که از این ویژگی ها هنگام حل مسائل عملی استفاده کنند. برای کار مستقل، نمرات در درس بعدی اعلام می شود.
من معتقدم که روشی که من برای تدریس ریاضی استفاده می کنم می تواند توسط معلمان ریاضی استفاده شود.
موضوع درس: قدرت با توان گویا
هدف از درس:
شناسایی میزان تسلط دانش آموزان بر مجموعه ای از دانش ها و مهارت ها و بر اساس آن به کارگیری راهکارهای معین برای بهبود فرآیند آموزشی.
اهداف درس:
آموزشی:ایجاد دانش جدید در بین دانش آموزان مفاهیم اساسی، قوانین، قوانین برای تعیین درجه با یک شاخص منطقی، توانایی استفاده مستقل از دانش در شرایط استاندارد، در شرایط اصلاح شده و غیر استاندارد.
در حال توسعه:منطقی فکر کنید و توانایی های خلاقانه را درک کنید.
بالا بردن:علاقه به ریاضیات را توسعه دهید، واژگان را با اصطلاحات جدید پر کنید، به دست آورید اطلاعات تکمیلیدر مورد دنیای اطراف ما صبر، پشتکار و توانایی غلبه بر مشکلات را در خود پرورش دهید.
زمان سازماندهی
به روز رسانی دانش مرجع
وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند:
مثلا، 
2. هنگام تقسیم درجه با پایه های یکسان، توان درجات کم می شود، اما پایه ثابت می ماند:
مثلا، 
3. هنگام بالا بردن درجه به توان، توانها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند:
مثلا،
4. درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل:
مثلا، 
5. درجه نصاب برابر است با نصاب درجات سود و مقسوم:
مثلا، 
تمرینات با راه حل
معنی عبارت را پیدا کنید: 
راه حل:
در این صورت به صورت صریح هیچ یک از خواص درجه ج شاخص طبیعینمی توان اعمال کرد، زیرا همه درجات پایه های متفاوتی دارند. بیایید برخی از قدرت ها را به شکل دیگری بنویسیم:
(درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل).
(وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند؛ وقتی یک درجه را به توان می آوریم، توان ها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند).
سپس دریافت می کنیم:
در این مثال، از چهار ویژگی اول یک درجه با توان طبیعی استفاده شده است.
جذر حسابی
عددی غیر منفی است که مربع آن برابر استآ,
. در 
- اصطلاح تعریف نشده است، زیرا هیچ عدد واقعی وجود ندارد که مربع آن برابر با یک عدد منفی باشدآ.
دیکته ریاضی(8-10 دقیقه)
گزینه
II. گزینه
1-مقدار عبارت را پیدا کنید
آ) 
ب) 
1-مقدار عبارت را پیدا کنید
آ) 
ب) 
2. محاسبه کنید
آ) 
ب) 
که در) 
2. محاسبه کنید
آ) 
ب) 
V) 
خودآزمایی(روی تخته برگردان):
ماتریس پاسخ:
№ گزینه / وظیفه
مشکل 1
مشکل 2
انتخاب 1
الف) 2
ب) 2
الف) 0.5
ب) 
V) 
گزینه 2
الف) 1.5
ب)
آ) 
ب) 
در 4
II شکل گیری دانش جدید
بیایید در نظر بگیریم که این عبارت چه معنایی دارد، کجا 
- عدد مثبت- عدد کسری و m-عدد صحیح، n-طبیعی (n›1)
تعریف: توان a›0 با توان گویاr = , متر-کل، n-طبیعی ( n›1) شماره تماس گرفته می شود.
بنابراین: 
مثلا: 
یادداشت:
1. برای هر a مثبت و هر عدد r گویا 
مثبت
2. وقتی قدرت منطقی یک عددآمشخص نشده.
عباراتی مانند 
منطقی نیست
3.اگر 
یک عدد مثبت کسری است 
.
اگر کسری پس عدد منفی 
-معنی ندارد
مثلا: 
- معنی نداره
بیایید ویژگی های یک درجه با توان گویا را در نظر بگیریم.
بگذارید a >0، b>0. r، s - هر عدد گویا. سپس یک درجه با هر توان گویا دارای ویژگی های زیر است:
1.
2.
3.
4.
5.
III. تحکیم. شکل گیری مهارت ها و توانایی های جدید.
کارت های وظیفه در گروه های کوچک به شکل یک آزمون کار می کنند.
در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از. در اینجا ما تعاریفی از توان یک عدد ارائه می دهیم، در حالی که همه توان های ممکن را به تفصیل در نظر می گیریم، از توان طبیعی شروع می کنیم و با توان غیر منطقی خاتمه می دهیم. در مطالب شما نمونه های زیادی از درجات را خواهید یافت که تمام ظرافت هایی را که به وجود می آید را پوشش می دهد.
پیمایش صفحه.
توان با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد
بیا شروع کنیم با . با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که تعریف توان یک عدد a با توان طبیعی n برای a داده شده است که آن را می نامیم. پایه مدرک، و n که آنها را فرا خواهیم خواند توان. همچنین توجه می کنیم که درجه ای با توان طبیعی از طریق یک محصول تعیین می شود، بنابراین برای درک مطالب زیر باید درک درستی از ضرب اعداد داشته باشید.
تعریف.
توان عددی با توان طبیعی nعبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر با حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است، یعنی .
به طور خاص، توان یک عدد a با توان 1، خود عدد a است، یعنی a 1 =a.
شایان ذکر است فوراً در مورد قوانین خواندن مدارک تحصیلی ذکر شود. روش جهانی برای خواندن نماد a n این است: "a به توان n". در برخی موارد، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "الف به توان n ام" و "نام قدرت a". به عنوان مثال، بیایید توان 8 12 را در نظر بگیریم، این "هشت به توان دوازده" یا "هشت به توان دوازدهم" یا "دوازدهمین توان از هشت" است.
توان دوم یک عدد و همچنین توان سوم یک عدد نام های خاص خود را دارند. توان دوم یک عدد نامیده می شود مربع عددبه عنوان مثال، 7 2 به عنوان "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" خوانده می شود. توان سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعبیبه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "پنج مکعبی" خواند یا می توانید بگویید "مکعب عدد 5".
وقت آوردن است نمونه هایی از درجه با توان طبیعی. بیایید با درجه 5 7 شروع کنیم، در اینجا 5 پایه درجه است و 7 توان است. بیایید مثال دیگری بزنیم: 4.32 پایه است و عدد طبیعی 9 توان (4.32) 9 است.
لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه توان 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از مغایرت، تمام پایه های توان را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند را در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال، درجات زیر را با توان های طبیعی می آوریم 
، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب، برای وضوح کامل، در این مرحله تفاوت موجود در رکوردهای فرم (-2) 3 و -2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (-2) 3 توان 2- با توان طبیعی 3 است و عبارت -2 3 (می توان آن را به صورت -(2 3) نوشت) با عدد، مقدار توان 2 3 مطابقت دارد. .
توجه داشته باشید که یک نماد برای توان یک عدد a با توان n به شکل a^n وجود دارد. علاوه بر این، اگر n یک عدد طبیعی چند مقداری باشد، توان در پرانتز گرفته می شود. به عنوان مثال، 4^9 نماد دیگری برای توان 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" وجود دارد: 14^(21) , (−2,1)^(155) . در ادامه، ما در درجه اول از نماد درجه به شکل a n استفاده خواهیم کرد.
یکی از مشکلات معکوس افزایش توان با توان طبیعی، مشکل یافتن پایه توان توسط ارزش شناخته شدهدرجه و شاخص شناخته شده این وظیفه منجر به .
مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر کسر را می توان به صورت یک کسر معمولی مثبت یا منفی نشان داد. ما در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید درجه عدد a را با توان کسری m/n معنی کنیم، در جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید آن را انجام دهیم.
بیایید درجه ای را با یک توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر بماند، برابری باید برقرار باشد 
. اگر برابری حاصل و نحوه تعیین مان را در نظر بگیریم، منطقی است که آن را بپذیریم، مشروط بر اینکه با توجه به m، n و a، عبارت معنا پیدا کند.
به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).
استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه: اگر عبارت m، n و a معنا داشته باشد، توان a با توان کسری m/n را ریشه n ام به توان m می گویند.
این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که توصیف کنیم در چه چیزی m، n و a عبارت معنا دارد. بسته به محدودیت هایی که بر روی m، n و a اعمال می شود، دو رویکرد اصلی وجود دارد.
ساده ترین راه این است که با گرفتن a≥0 برای m مثبت و a>0 برای m منفی، یک محدودیت بر a اعمال کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.
تعریف.
توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، ریشه n عدد a به توان m نامیده می شود، یعنی .
توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.
تعریف.
توان صفر با توان مثبت کسری m/n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود 
.
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.
لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی a و برخی m و n، عبارت معنا پیدا می کند و ما با ارائه شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند 
یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با یک توان کسری شکل 
منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.
روش دیگر برای تعیین درجه با توان کسری m/n، در نظر گرفتن مجزای توان زوج و فرد ریشه است. این روش مستلزم یک شرط اضافی است: توان عدد a که توان آن برابر است به عنوان توان عدد a در نظر گرفته می شود که توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در زیر اهمیت این شرط را توضیح خواهیم داد. ). یعنی اگر m/n کسری تقلیل ناپذیر باشد، برای هر عدد طبیعی k درجه ابتدا با .
برای n و m مثبت، عبارت برای هر غیرمنفی a معنا دارد (ریشه زوج یک عدد منفی برای m معنی ندارد، عدد a همچنان باید با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم وجود خواهد داشت). با صفر). و برای n فرد و m مثبت عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی عدد a باید با صفر متفاوت باشد (به طوری که تقسیم بر وجود نداشته باشد. صفر).
استدلال فوق ما را به این تعریف درجه با توان کسری می رساند.
تعریف.
فرض کنید m/n یک کسری تقلیل ناپذیر، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . توان عددی با توان کسری تقلیل ناپذیر m/n برابر است
اجازه دهید توضیح دهیم که چرا درجه ای با توان کسری تقلیل پذیر ابتدا با درجه ای با توان تقلیل ناپذیر جایگزین می شود. اگر صرفاً درجه را به صورت تعریف کنیم و در مورد تقلیل ناپذیری کسر m/n قید نکنیم، با موقعیت‌هایی مشابه موارد زیر مواجه می‌شویم: از آنجایی که 6/10 = 3/5 است، پس برابری باید برقرار باشد. 
، ولی 
، آ .