مشتق توان با توان دلخواه. مشتق لگاریتم طبیعی و لگاریتم به پایه a

در این درس ما یاد خواهیم گرفت که فرمول ها و قوانین تمایز را به کار ببریم.

مثال ها. مشتقات توابع را بیابید.

1. y=x 7 + x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. اعمال قانون من، فرمول ها 4، 2 و 1. ما گرفتیم:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. ما به طور مشابه با استفاده از فرمول ها و فرمول های مشابه حل می کنیم 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

اعمال قانون من، فرمول ها 3, 5 و 6 و 1.

اعمال قانون IV، فرمول ها 5 و 1 .

در مثال پنجم طبق قاعده منمشتق جمع برابر است با مجموع مشتقات، و ما فقط مشتق جمله اول را پیدا کردیم (مثال 4 )، بنابراین، مشتقات را پیدا خواهیم کرد 2و 3شرایط، و برای 1جمع ما می توانیم بلافاصله نتیجه را بنویسیم.

بیایید تفکیک کنیم 2و 3شرایط مطابق فرمول 4 . برای این کار، ریشه های قدرت های سوم و چهارم در مخرج را به قدرت هایی با توان های منفی تبدیل می کنیم و سپس با توجه به 4 فرمول، مشتقات قدرت ها را پیدا می کنیم.

به این مثال و نتیجه نگاه کنید. الگو رو گرفتی؟ خوب. این بدان معنی است که ما یک فرمول جدید داریم و می توانیم آن را به جدول مشتقات خود اضافه کنیم.

بیایید مثال ششم را حل کنیم و فرمول دیگری استخراج کنیم.

بیایید از قانون استفاده کنیم IVو فرمول 4 . بیایید کسرهای حاصل را کاهش دهیم.

بیایید به این تابع و مشتق آن نگاه کنیم. البته شما الگو را درک می کنید و آماده نام گذاری فرمول هستید:

یادگیری فرمول های جدید!

مثال ها.

1. افزایش آرگومان و افزایش تابع y= را پیدا کنید x 2، اگر مقدار اولیه آرگومان برابر بود 4 و جدید - 4,01 .

راه حل.

مقدار آرگومان جدید x=x 0 +Δx. بیایید داده ها را جایگزین کنیم: 4.01=4+Δх، بنابراین آرگومان افزایش می یابد. Δх=4.01-4=0.01. افزایش یک تابع، طبق تعریف، برابر است با تفاوت بین مقادیر جدید و قبلی تابع، یعنی. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). از آنجایی که ما یک تابع داریم y=x2، آن Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

پاسخ: افزایش آرگومان Δх=0.01; افزایش تابع Δу=0,0801.

افزایش تابع را می توان متفاوت یافت: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. زاویه تمایل مماس بر نمودار تابع را پیدا کنید y=f(x)در نقطه x 0، اگر f "(x 0) = 1.

راه حل.

مقدار مشتق در نقطه مماس x 0و مقدار مماس زاویه مماس است ( معنای هندسیمشتق). ما داریم: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 درجه،زیرا tg45 درجه = 1.

پاسخ: مماس بر نمودار این تابع زاویه ای با جهت مثبت محور Ox برابر با 45 درجه.

3. فرمول مشتق تابع را استخراج کنید y=xn.

تفکیکعمل یافتن مشتق یک تابع است.

هنگام یافتن مشتقات، از فرمول هایی استفاده کنید که بر اساس تعریف مشتق مشتق شده اند، به همان روشی که فرمول درجه مشتق را استخراج کردیم: (x n)" = nx n-1.

اینها فرمول ها هستند.

جدول مشتقاتبا تلفظ فرمول های کلامی به خاطر سپردن آسان تر خواهد بود:

1. مشتق یک کمیت ثابت صفر است.

2. X اول برابر با یک است.

3. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد.

4. مشتق یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان این درجه یک درجه با پایه یکسان، اما توان یک کمتر است.

5. مشتق یک ریشه برابر است با یک تقسیم بر دو ریشه مساوی.

6. مشتق یک تقسیم بر x برابر است با منهای یک تقسیم بر x مربع.

7. مشتق سینوس برابر با کسینوس است.

8. مشتق کسینوس برابر با منهای سینوس است.

9. مشتق مماس برابر است با تقسیم بر مجذور کسینوس.

10. مشتق کوتانژانت برابر است با منهای یک تقسیم بر مجذور سینوس.

ما آموزش می دهیم قوانین تمایز.

1. مشتق جمع جبری برابر است با مجموع جبری مشتقات اصطلاحات.

2. مشتق یک محصول برابر است با حاصلضرب مشتق عامل اول و دوم به اضافه حاصلضرب عامل اول و مشتق عامل دوم.

3. مشتق "y" تقسیم بر "ve" برابر است با کسری که در آن صورت "y اول ضرب در "ve" منهای "y ضرب در ve اول" و مخرج "ve مجذور" است.

4. یک مورد خاص از فرمول 3.

بیا با هم یاد بگیریم!

صفحه 1 از 1 1

هنگام استخراج اولین فرمول جدول، از تعریف تابع مشتق در یک نقطه استفاده می کنیم. بریم کجا ایکس- هر عدد واقعی، یعنی ایکس- هر عددی از دامنه تعریف تابع. اجازه دهید حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان را در زیر بنویسیم:

لازم به ذکر است که در زیر علامت حد عبارتی به دست می آید که عدم قطعیت صفر تقسیم بر صفر نیست، زیرا عدد شامل یک مقدار بینهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

بدین ترتیب، مشتق تابع ثابتدر کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مشتق تابع توان.

فرمول مشتق تابع توان دارای شکل است ، جایی که توان پ- هر عدد واقعی

اجازه دهید ابتدا فرمول توان طبیعی، یعنی برای را اثبات کنیم p = 1، 2، 3، …

ما از تعریف مشتق استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید حد نسبت افزایش یک تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

برای ساده کردن عبارت در عدد، به فرمول دو جمله ای نیوتن می پردازیم:

از این رو،

این فرمول مشتق تابع توان را برای یک توان طبیعی ثابت می کند.

مشتق تابع نمایی.

ما مشتق فرمول مشتق را بر اساس تعریف ارائه می کنیم:

به بلاتکلیفی رسیده ایم. برای گسترش آن، یک متغیر جدید معرفی می کنیم و در . سپس . در آخرین انتقال، از فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید استفاده کردیم.

بیایید حد اصلی را جایگزین کنیم:

اگر حد قابل توجه دوم را به خاطر بیاوریم، به فرمول مشتق تابع نمایی می رسیم:

مشتق تابع لگاریتمی

اجازه دهید فرمول مشتق تابع لگاریتمی را برای همه ثابت کنیم ایکساز دامنه تعریف و تمام مقادیر معتبر پایه آلگاریتم با تعریف مشتق داریم:

همانطور که متوجه شدید، در طول اثبات، تبدیل ها با استفاده از خواص لگاریتم انجام شد. برابری به دلیل محدودیت قابل توجه دوم درست است.

مشتقات توابع مثلثاتی.

برای استخراج فرمول های مشتقات توابع مثلثاتی، باید برخی از فرمول های مثلثاتی و همچنین اولین حد قابل توجه را به یاد آوریم.

با تعریف مشتق تابع سینوسی که داریم .

بیایید از فرمول تفاوت سینوس ها استفاده کنیم:

باقی مانده است که به اولین محدودیت قابل توجه بپردازیم:

بنابراین، مشتق تابع گناه xوجود دارد cos x.

فرمول مشتق کسینوس دقیقاً به همین صورت ثابت می شود.

بنابراین، مشتق تابع cos xوجود دارد – sin x.

ما با استفاده از قوانین اثبات شده تمایز (مشتق کسری) فرمول های جدول مشتقات مماس و کوتانژانت را استخراج خواهیم کرد.

مشتقات توابع هذلولی.

قوانین تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی از جدول مشتقات به ما اجازه می دهد تا فرمول هایی را برای مشتقات سینوس هایپربولیک، کسینوس، مماس و کوتانژانت استخراج کنیم.

مشتق تابع معکوس.

برای جلوگیری از سردرگمی در حین ارائه، بیایید آرگومان تابعی را که توسط آن تمایز انجام می‌شود، به صورت زیرنویس مشخص کنیم، یعنی مشتق تابع است. f(x)توسط ایکس.

حالا بیایید فرمول بندی کنیم قانون برای یافتن مشتق تابع معکوس

اجازه دهید توابع y = f(x)و x = g(y)متقابلاً معکوس، بر اساس فواصل و به ترتیب تعریف شده است. اگر در نقطه ای یک مشتق غیر صفر متناهی از تابع وجود داشته باشد f(x)، سپس در نقطه یک مشتق محدود از تابع معکوس وجود دارد g(y)، و . در پستی دیگر .

این قانون می تواند برای هر کسی دوباره فرموله شود ایکساز بازه، سپس دریافت می کنیم .

بیایید اعتبار این فرمول ها را بررسی کنیم.

بیایید تابع معکوس لگاریتم طبیعی را پیدا کنیم (اینجا yیک تابع است و ایکس- بحث و جدل). با حل این معادله برای ایکس، دریافت می کنیم (اینجا ایکسیک تابع است و y- استدلال او). به این معنا که، و توابع معکوس متقابل.

از جدول مشتقات می بینیم که و .

بیایید مطمئن شویم که فرمول های یافتن مشتقات تابع معکوس ما را به نتایج یکسانی می رساند:

سطح اول

مشتق یک تابع راهنمای نهایی (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور سطح معینی از ارتفاع صفر است؛ در زندگی ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می‌توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور مختصات). حالا بیایید در مورد چگونگی تعیین "شیب" جاده خود فکر کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ خیلی ساده است: با حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، صعود یا سقوط خواهیم کرد. مقادیر مختلفمتر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور اردینات).

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً در ریاضیات به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در یک ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حالی که با متر جلو می رود، کیلومتر کاهش یافته است؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعیاندازه گیری فاصله تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق از هر عددی که بتوانیم نام ببریم کمتر است. مثلاً می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت حتی بزرگتر از آنچه اتفاق می افتد است. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: در.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بینهایت کوچک به معنای برابر با صفر نیست. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید کاملاً به دست آورید شماره معمولی، مثلا، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضیات هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانچقدر تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در امتداد محور با فاصله تغییر کرده است. افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است.

آیا مشتق برابر با صفر است؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان شود، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، وقتی یک تابع افزایش می‌یابد، مشتق مثبت و زمانی که کاهش می‌یابد منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده هیچ جا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین باید بین ارزش های منفی و مثبت وجود داشته باشد. این جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرورفتگی نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

که در نقاط مختلفبا افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این بدان معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در مورد آن بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با نشانگر دلخواه، نه حتی کامل:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

(به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

. باور کنید یا نه، این یک تابع قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
این بدان معنی است که جذر ما فقط یک توان با یک توان است:
.
با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:
اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)
. حال توان:
و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
;
.
اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
.
. ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

مدرک را در سال اول مؤسسه خود خواهید آموخت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی قبول کنید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هرچه به مقدار نزدیکتر باشد، تابع به آن نزدیکتر است. این همان چیزی است که "هدف" دارد.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از یک ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون یکپارچه دولتی نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم: ;

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

ابتدا بیایید مشتق در را پیدا کنیم نمای کلیو سپس مقدار آن را جایگزین کنید:
;
.
در اینجا ما چیزی شبیه به تابع توان. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
ظاهر عادی:
.
عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
.
.
. اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

نما و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

پایه این تابع - یک ثابت - یک کسر اعشاری نامتناهی است، یعنی یک عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، اجازه دهید خیلی دور نرویم، بیایید بلافاصله تابع معکوس را در نظر بگیریم. معکوس کدام تابع است تابع نمایی? لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

مشتق تابع را بیابید.
مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: لگاریتم نمایی و طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

در یک نقطه؛
در یک نقطه؛
در یک نقطه؛
در نقطه

راه حل ها:

(مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید وارد شویم خصوصیت جدیدو افزایش آن را پیدا کنید:

مشتق:

مثال ها:

مشتقات توابع را پیدا کنید و
مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، برخی از شماره ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. ویژگی مهمتوابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

عملی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.

در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات و قوانین دقیقاً تعریف شده تمایز ظاهر شد. . اولین کسانی که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند، اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) بودند.

بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کنید. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.

برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت اول نیاز دارید توابع ساده را به اجزا تقسیم کنیدو تعیین کنید که چه اقداماتی (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. در مرحله بعد، مشتقات توابع ابتدایی را در جدول مشتقات و فرمول های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می کنیم. جدول مشتق و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.

مثال 1.مشتق تابع را بیابید

راه حل. از قواعد تمایز متوجه می شویم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.

از جدول مشتقات متوجه می شویم که مشتق "x" برابر با یک و مشتق سینوس برابر با کسینوس است. ما این مقادیر را با مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:

مثال 2.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما به عنوان مشتقی از مجموع متمایز می کنیم که جمله دوم دارای یک عامل ثابت است، می توان آن را از علامت مشتق خارج کرد:

اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است، وجود دارد، معمولاً پس از آشنایی با جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز، آنها را برطرف می کنند. ما در حال حاضر به سراغ آنها می رویم.

جدول مشتقات توابع ساده

1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه برابر با صفر است. یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است
2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "X". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که برای مدت طولانی به خاطر بسپارید
3. مشتق درجه. هنگام حل مشکلات، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید.
4. مشتق یک متغیر به توان -1
5. مشتق ریشه دوم
6. مشتق سینوس
7. مشتق کسینوس
8. مشتق مماس
9. مشتق کوتانژانت
10. مشتق آرکسین
11. مشتق آرکوزین
12. مشتق از arctangent
13. مشتق کوتانژانت قوس
14. مشتق لگاریتم طبیعی
15. مشتق تابع لگاریتمی
16. مشتق توان
17. مشتق تابع نمایی

قوانین تمایز

1. مشتق جمع یا تفاوت
2. مشتق محصول
2a. مشتق یک عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت
3. مشتق از ضریب
4. مشتق تابع مختلط

قانون 1.اگر توابع

در نقطه ای قابل تمایز هستند، سپس توابع در همان نقطه قابل تمایز هستند

آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک جمله ثابت متفاوت باشند، مشتقات آنها برابر است، یعنی

قانون 2.اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها در همان نقطه قابل تمایز است

آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.

نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر است با مجموع حاصل از مشتق هر عامل و بقیه.

به عنوان مثال، برای سه ضریب:

قانون 3.اگر توابع

قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تمایز استu/v و

آن ها مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق مخرج و مخرج آن مجذور است. شمارنده سابق

جایی که در صفحات دیگر چیزها را جستجو کنیم

هنگام یافتن مشتق یک محصول و یک ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنیم، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله وجود دارد."مشتق حاصلضرب و ضریب توابع".

اظهار نظر.نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این اشتباه معمولی، که روی می دهد مرحله اولیهدر حال مطالعه مشتقات، اما همانطور که چندین مثال یک و دو بخشی را حل می کنیم دانش آموز متوسطدیگر این اشتباه را نمی کند

و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (این مورد در مثال 10 مورد بحث قرار گرفته است).

دیگر اشتباه رایج- حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده. از همین رو مشتق از یک تابع پیچیدهمقاله جداگانه ای اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات را پیدا کنیم توابع ساده.

در طول مسیر، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد دفترچه راهنما را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با قدرت و ریشهو عملیات با کسری .

اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات کسری با توان و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس درس «مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه» را دنبال کنید.

اگر کاری دارید مانند ، سپس درس "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" را خواهید گرفت.

مثال های گام به گام - چگونه مشتق را پیدا کنیم

مثال 3.مشتق تابع را بیابید

راه حل. بخش‌های عبارت تابع را تعریف می‌کنیم: کل عبارت یک محصول را نشان می‌دهد و فاکتورهای آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت‌ها شامل یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم: مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع توسط مشتق دیگری:

بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع جمله دوم یک علامت منفی دارد. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "X" به یک تبدیل می شود و منهای 5 به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. مقادیر مشتق زیر را بدست می آوریم:

مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:

مثال 4.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول را برای افتراق ضریب اعمال می کنیم: مشتق ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق آن است. مخرج، و مخرج مجذور کسر سابق است. ما گرفتیم:

ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌گر در مثال فعلی است، با علامت منفی گرفته می‌شود:

اگر به دنبال راه‌حل‌هایی برای مشکلاتی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که انبوهی از ریشه‌ها و قدرت‌ها وجود دارد، مانند، برای مثال، ، سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه" .

اگر نیاز دارید در مورد مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و موارد دیگر اطلاعات بیشتری کسب کنید توابع مثلثاتی، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس یک درس برای شما "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که مشتق آن را در جدول مشتقات با آن آشنا کردیم. با استفاده از قانون تمایز حاصلضرب و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

مثال 6.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با استفاده از قاعده تمایز ضرایب که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسری در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.

اگر از تعریف پیروی کنید، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع Δ است. yبه آرگومان افزایش Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید از این فرمول برای محاسبه مشتق تابع استفاده کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه کارها را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی می خوابید. بنابراین، راه های ساده تر و موثرتری وجود دارد.

برای شروع، ما توجه می کنیم که از کل توابع مختلف می توانیم به اصطلاح توابع ابتدایی را تشخیص دهیم. اینها عبارات نسبتاً ساده ای هستند که مشتقات آنها مدتهاست محاسبه و جدول بندی شده است. یادآوری چنین توابعی بسیار آسان است - همراه با مشتقات آنها.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه آنهایی هستند که در زیر لیست شده اند. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این ، به خاطر سپردن آنها اصلاً دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	تابع	مشتق
ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، صفر!)
قدرت با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	-گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/گناه 2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ورود ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ورود آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 · ( ایکس 3) = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد - و موارد دیگر. به این ترتیب توابع جدید ظاهر می شوند، نه به ویژه ابتدایی، بلکه طبق قوانین خاصی متمایز می شوند. این قوانین در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

مشتق جمع و تفاوت

اجازه دهید توابع داده شوند f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما معلوم است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر با مجموع (تفاوت) مشتقات است. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از "تفریق" در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + گناه x; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

تابع f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2 + گناه ایکس)’ = (ایکس 2)’ + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cos x;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cos x;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق یک مجموع برابر با مجموع مشتقات باشد، پس مشتق حاصلضرب ضربه">برابر حاصلضرب مشتقات است. اما شما را خراب کنید! مشتق یک محصول با استفاده از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cos x; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

تابع f(ایکس) حاصل دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)” cos ایکس + ایکس 3 (Cos ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (- گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

تابع g(ایکس) عامل اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلیاین تغییر نمی کند بدیهی است که اولین عامل تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)» · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس· (2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله آخر مشتق فاکتور می شود. به طور رسمی، این کار نیازی به انجام ندارد، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای بررسی تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی بهتر است یک عبارت فاکتوریزه شود.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه ای که به آن علاقه داریم، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، نه؟ منهای از کجا آمد؟ چرا g 2؟ و مثل این! این یکی از پیچیده ترین فرمول ها است - بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین، بهتر است آن را مطالعه کنید نمونه های خاص.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

صورت و مخرج هر کسر حاوی توابع ابتدایی است، بنابراین تنها چیزی که ما نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوماً یک فرمول به طول نیم کیلومتر نیست. برای مثال کافی است تابع را بگیرید f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. نتیجه خواهد داد f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) - این یک تابع پیچیده است. یک مشتق نیز دارد، اما یافتن آن با استفاده از قوانینی که در بالا توضیح داده شد ممکن نخواهد بود.

باید چکار کنم؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول برای مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی'، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را نیز با مثال های مشخص، با توصیف همراه با جزئیاتهر قدم.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما مشتق یک تابع مختلط را با استفاده از فرمول جستجو می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که باید تعویض شود ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی= cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)’ = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از آخرین عبارت مشاهده می شود، کل مسئله به محاسبه مجموع مشتق تقلیل یافته است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 · ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

اغلب در درس‌هایم، به‌جای اصطلاح «مشتق»، از کلمه «اول» استفاده می‌کنم. به عنوان مثال، ضربه از مجموع برابر است با مجموع ضربه. این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر همین سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

تعداد کمی از مردم آن را در نقش می دانند nممکن است یک عدد کسری باشد. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5. اگر چیزی فانتزی زیر ریشه باشد چه؟ باز هم، نتیجه یک عملکرد پیچیده خواهد بود - آنها دوست دارند چنین ساختارهایی را به آنها بدهند تست هاو امتحانات

وظیفه. مشتق تابع را پیدا کنید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

حالا ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5) · تی= 0.5 · تی−0.5 · تی ’.

بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) = 0.5 · (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت به ریشه ها بازگردیم: