چگونه یک سهمی بسازیم؟ روش های مختلفی برای رسم نمودار وجود دارد تابع درجه دوم. هر کدام از آنها جوانب مثبت و منفی خود را دارند. بیایید دو راه را در نظر بگیریم.
بیایید با رسم یک تابع درجه دوم به شکل y=x²+bx+c و y= -x²+bx+c شروع کنیم.
مثال.
تابع y=x²+2x-3 را رسم کنید.
راه حل:
y=x²+2x-3 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های بالا است. مختصات راس سهمی
از راس (-1;-4) نموداری از سهمی y=x² می سازیم (از مبدأ مختصات. به جای (0;0) - راس (-1;-4). از (-1; -4) با 1 واحد به سمت راست می رویم و با 1 واحد به سمت چپ می رویم و سپس: 2 - سمت راست، 4 - بالا، 3 - 9 - بالا، 3 -. چپ، 9 - بالا اگر این 7 امتیاز کافی نیست، 4 به سمت راست، 16 به بالا و غیره).
نمودار تابع درجه دوم y= -x²+bx+c یک سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند. برای ساختن یک نمودار، مختصات راس را جستجو می کنیم و از آن سهمی y= -x² می سازیم.
مثال.
تابع y= -x²+2x+8 را رسم کنید.
راه حل:
y= -x²+2x+8 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های پایین است. مختصات راس سهمی
از بالا یک سهمی y= -x² می سازیم (1 - به راست، 1- پایین؛ 1 - چپ، 1 - پایین؛ 2 - راست، 4 - پایین؛ 2 - چپ، 4 - پایین، و غیره):
این روش به شما امکان می دهد تا به سرعت یک سهمی بسازید و اگر بدانید چگونه توابع y=x² و y= -x² را نمودار کنید، مشکلی ایجاد نمی کند. عیب: اگر مختصات راس اعداد کسری باشند، ساختن نمودار چندان راحت نیست. اگر نیاز دارید بدانید مقادیر دقیقنقاط تقاطع نمودار با محور Ox، علاوه بر این باید معادله x²+bx+c=0 (یا -x²+bx+c=0) را حل کنید، حتی اگر این نقاط را بتوان مستقیماً از نقاشی تعیین کرد.
راه دیگر برای ساختن سهمی توسط نقاط است، یعنی می توان چندین نقطه را در نمودار پیدا کرد و یک سهمی از آنها رسم کرد (با در نظر گرفتن اینکه خط x=xₒ محور تقارن آن است). معمولاً برای این کار آنها راس سهمی، نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات و 1-2 نقطه اضافی را می گیرند.
نمودار تابع y=x²+5x+4 را رسم کنید.
راه حل:
y=x²+5x+4 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های بالا است. مختصات راس سهمی
یعنی بالای سهمی نقطه است (2.5-؛ 2.25-).
به دنبال. در نقطه تقاطع با محور Ox y=0: x²+5x+4=0. ریشه های معادله درجه دوم x1=-1، x2=-4، یعنی دو نقطه در نمودار (-1; 0) و (-4; 0) به دست آوردیم.
در نقطه تقاطع نمودار با محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. ما امتیاز را گرفتیم (0؛ 4).
برای روشن شدن نمودار، می توانید یک نکته اضافی بیابید. بیایید x=1 را در نظر بگیریم، سپس y=1²+5∙1+4=10، یعنی نقطه دیگری در نمودار (1؛ 10) است. این نقاط را در صفحه مختصات مشخص می کنیم. با در نظر گرفتن تقارن سهمی نسبت به خطی که از رأس آن می گذرد، دو نقطه دیگر را علامت گذاری می کنیم: (-5; 6) و (-6; 10) و یک سهمی از آنها ترسیم می کنیم:
تابع y= -x²-3x را رسم کنید.
راه حل:
y= -x²-3x یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های پایین است. مختصات راس سهمی
راس (1.5-؛ 2.25) اولین نقطه سهمی است.
در نقاط تلاقی نمودار با محور آبسیسا y=0، یعنی معادله -x²-3x=0 را حل می کنیم. ریشه های آن x=0 و x=-3 است، یعنی (0;0) و (-3;0) - دو نقطه دیگر در نمودار. نقطه (o; 0) همچنین نقطه تلاقی سهمی با محور ارتجاعی است.
در x=1 y=-1²-3∙1=-4، یعنی (1; -4) یک نقطه اضافی برای رسم است.
ساختن سهمی از نقاط نسبت به روش اول روشی پر زحمت تر است. اگر سهمی محور Ox را قطع نکند، امتیاز اضافیبیشتر مورد نیاز خواهد بود.
قبل از ادامه ساختن نمودارهای توابع درجه دوم به شکل y=ax²+bx+c، اجازه دهید ساخت نمودار توابع را با استفاده از تبدیل های هندسی در نظر بگیریم. همچنین ساختن نمودارهایی از توابع به شکل y=x²+c با استفاده از یکی از این تبدیل‌ها - ترجمه موازی - راحت‌تر است.
دسته بندی: |یادداشت های مهم!
1. اگر به جای فرمول ها gobbledygook را می بینید، کش خود را پاک کنید. نحوه انجام این کار در مرورگر خود در اینجا نوشته شده است:
2. قبل از شروع خواندن مقاله، بیشتر به ناوبر ما توجه کنید منبع مفیدبرای
برای درک آنچه در اینجا نوشته خواهد شد، باید به خوبی بدانید که تابع درجه دوم چیست و چه کاربردی دارد. اگر در مورد توابع درجه دوم خود را یک حرفه ای می دانید، خوش آمدید. اما اگر نه، باید تاپیک را بخوانید.
بیایید با یک مورد کوچک شروع کنیم چک ها:
- یک تابع درجه دوم به صورت کلی (فرمول) چگونه است؟
- نمودار تابع درجه دوم چه نام دارد؟
- ضریب پیشرو چگونه بر نمودار یک تابع درجه دوم تأثیر می گذارد؟
اگر توانستید بلافاصله به این سوالات پاسخ دهید، به خواندن ادامه دهید. اگر حداقل یک سوال باعث مشکل شد، به.
بنابراین، شما از قبل می دانید که چگونه یک تابع درجه دوم را مدیریت کنید، نمودار آن را تجزیه و تحلیل کنید و یک نمودار را با نقاط بسازید.
خوب، اینجاست: .
به طور خلاصه به یاد بیاوریم که آنها چه می کنند شانس.
- ضریب پیشرو مسئول "شیب" سهمی یا به عبارت دیگر، برای عرض آن است: سهمی بزرگتر، باریکتر (تندتر) و کوچکتر، سهمی وسیعتر (مسطح تر).
- جمله آزاد مختصات تقاطع سهمی با محور ارتجاعی است.
- و ضریب به نوعی مسئول جابجایی سهمی از مرکز مختصات است. حالا بیایید در مورد این با جزئیات بیشتر صحبت کنیم.
همیشه برای ساختن سهمی از کجا شروع کنیم؟ وجه تمایز آن چیست؟
این راس. آیا یادتان هست چگونه مختصات راس را پیدا کنید؟
آبسیسا با استفاده از فرمول زیر جستجو می شود:
مانند این: از بیشتر، آن ها به سمت چپراس سهمی حرکت می کند.
ارمینت راس را می توان با جایگزین کردن تابع پیدا کرد:
خودتان آن را جایگزین کنید و حساب کنید. چی شد؟
اگر همه چیز را به درستی انجام دهید و عبارت حاصل را تا حد امکان ساده کنید، به دست می آورید:
معلوم می شود که هر چه بیشتر مدول، آن ها بالاتراراده راسسهمی ها
در نهایت به رسم نمودار می رویم.
ساده ترین راه ساختن سهمی با شروع از بالا است.
مثال:
یک نمودار از تابع بسازید.
راه حل:
ابتدا ضرایب را تعیین می کنیم: .
حال بیایید مختصات راس را محاسبه کنیم:
اکنون به یاد داشته باشید: همه سهمی ها با ضریب پیشرو یکسان به نظر می رسند. این بدان معناست که اگر سهمی بسازیم و راس آن را به یک نقطه منتقل کنیم، نمودار مورد نیاز را به دست خواهیم آورد:
ساده است، درست است؟
فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه به سرعت یک سهمی رسم کنیم؟ حتی اگر سهمی را با رأس در مبدا رسم کنیم، باز هم باید آن را نقطه به نقطه بسازیم، و این طولانی و ناخوشایند است. اما همه سهمی ها یکسان به نظر می رسند، شاید راهی برای سرعت بخشیدن به ترسیم آنها وجود داشته باشد؟
وقتی در مدرسه بودم، معلم ریاضی من به همه گفت که یک شابلون سهمی شکل را از مقوا جدا کنند تا بتوانند سریع آن را بکشند. اما نمی‌توانید با یک شابلون در همه جا راه بروید و اجازه نخواهید داشت آن را در امتحان شرکت کنید. این بدان معناست که ما از اجسام خارجی استفاده نخواهیم کرد، بلکه به دنبال الگو خواهیم بود.
بیایید ساده ترین سهمی را در نظر بگیریم. بیایید آن را نقطه به نقطه بسازیم:
این الگوی اینجاست. اگر از راس توسط به سمت راست (در امتداد محور) و به سمت بالا (در امتداد محور) به سمت بالا حرکت کنیم، به نقطه سهمی خواهیم رسید. در ادامه: اگر از این نقطه به سمت راست و بالا حرکت کنیم، دوباره به نقطه سهمی می رسیم. بعدی: مستقیم و بالا. بعدش چی؟ درست و بالا. و به همین ترتیب: یکی را به سمت راست و عدد فرد بعدی را به سمت بالا حرکت دهید. سپس همین کار را با شاخه سمت چپ انجام می دهیم (بالاخره، سهمی متقارن است، یعنی شاخه های آن یکسان به نظر می رسند):
عالی است، این به شما کمک می کند تا هر سهمی را از یک راس با ضریب پیشرو برابر با آن بسازید. به عنوان مثال، ما فهمیدیم که راس سهمی در یک نقطه است. (خودتان، روی کاغذ) این سهمی را بسازید.
ساخته شده؟
می بایست شبیه به این باشه:
اکنون نقاط حاصل را به هم وصل می کنیم:
همین.
خوب، خوب، حالا فقط می توانیم سهمی بسازیم؟
البته که نه. حالا بیایید بفهمیم که اگر با آنها چه کنیم.
بیایید به چند مورد معمولی نگاه کنیم.
عالی است، شما یاد گرفتید که چگونه یک سهمی بکشید، حالا بیایید با استفاده از توابع واقعی تمرین کنیم.
بنابراین، نمودارهای این توابع را رسم کنید:
پاسخ ها:
3. بالا: .
یادتان هست اگر ضریب ارشد کمتر باشد چه باید کرد؟
ما به مخرج کسری نگاه می کنیم: برابر است. بنابراین، ما به این صورت حرکت خواهیم کرد:
- راست تا
- راست تا
- راست تا
و همچنین سمت چپ:
4. بالا: .
اوه، چه کاری می توانیم در مورد آن انجام دهیم؟ چگونه می توان سلول ها را اندازه گرفت اگر راس جایی بین خطوط باشد؟..
و ما تقلب می کنیم بیایید ابتدا یک سهمی را رسم کنیم و تنها سپس راس آن را به یک نقطه منتقل کنیم. نه، بیایید کاری حتی حیله گرانه تر انجام دهیم: بیایید یک سهمی بکشیم، و سپس محورها را حرکت دهید:- بر پایین, a - on درست:
این تکنیک در مورد هر سهمی بسیار راحت است، آن را به خاطر بسپارید.
اجازه دهید به شما یادآوری کنم که می توانیم تابع را به این شکل نشان دهیم:
مثلا: .
این چه چیزی به ما می دهد؟
واقعیت این است که عددی که در پرانتز () کم می شود، ابسیسا رأس سهمی است و عبارت خارج از پرانتز () ترتیب رأس است.
این بدان معنی است که با ساختن سهمی، به سادگی نیاز خواهید داشت محور را به سمت چپ و محور را به پایین حرکت دهید.
مثال: بیایید یک نمودار از یک تابع بسازیم.
بیایید یک مربع کامل را انتخاب کنیم:
چه شماره ای کسر شداز داخل پرانتز؟ این (و نه اینکه چگونه می توانید بدون فکر تصمیم بگیرید).
بنابراین، بیایید یک سهمی بسازیم:
اکنون محور را به سمت پایین، یعنی بالا، تغییر می دهیم:
و اکنون - به سمت چپ، یعنی به سمت راست:
همین. این همان حرکت یک سهمی با رأس آن از مبدا به یک نقطه است، فقط حرکت محور مستقیم بسیار راحت تر از یک سهمی منحنی است.
حالا طبق معمول خودم:
و فراموش نکنید که محورهای قدیمی را با یک پاک کن پاک کنید!
من به عنوان پاسخ می دهدبرای بررسی، مختصات رئوس این سهمی ها را برای شما می نویسم:
آیا همه چیز با هم جمع شد؟
اگر بله، پس شما عالی هستید! دانستن نحوه برخورد با سهمی بسیار مهم و مفید است و در اینجا متوجه شدیم که اصلا سخت نیست.
ساخت نمودار یک تابع درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی
تابع درجه دوم- تابعی از شکل، کجا، و هر عدد (ضرایب)، - یک عبارت آزاد.
نمودار تابع درجه دوم سهمی است.
راس سهمی:
، یعنی هر چه \displaystyle b بزرگتر باشد، راس سهمی بیشتر به سمت چپ حرکت می کند.
ما آن را در تابع جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:
، یعنی \displaystyle b از نظر مقدار مطلق بزرگتر است، راس سهمی بالاتر خواهد بود
جمله آزاد مختصات تقاطع سهمی با محور ارتجاعی است.
خب موضوع تموم شد اگر در حال خواندن این سطرها هستید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.
زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!
حالا مهمترین چیز.
شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.
مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...
برای چی؟
برای اتمام موفقیت آمیزآزمون یکپارچه دولتی، برای پذیرش در کالج با بودجه و از همه مهمتر، مادام العمر.
من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...
افرادی که دریافت کردند یک آموزش خوب، بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.
اما این موضوع اصلی نیست.
نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...
اما خودت فکر کن...
چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟
با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.
در طول امتحان از شما درخواست تئوری نمی شود.
شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.
و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.
مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.
مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!
شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.
برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.
چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:
- قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
- باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید یک کتاب درسی - 499 RUR
بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.
دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.
در نتیجه...
اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.
"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.
مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!
تابع درجه دوم تابعی از شکل زیر است:
y=a*(x^2)+b*x+c،
که در آن a ضریب بالاترین درجه مجهول x است،
b - ضریب برای x مجهول،
و c یک عضو رایگان است.
نمودار یک تابع درجه دوم منحنی است که سهمی نامیده می شود. فرم کلیسهمی در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل 1 نمای کلی سهمی.
چندین روش مختلف برای رسم نمودار یک تابع درجه دوم وجود دارد. ما به اصلی ترین و کلی ترین آنها خواهیم پرداخت.
الگوریتم رسم تابع درجه دوم y=a*(x^2)+b*x+c
1. یک سیستم مختصات بسازید، یک قطعه واحد را علامت بزنید و محورهای مختصات را برچسب بزنید.
2. جهت شاخه های سهمی (بالا یا پایین) را تعیین کنید.
برای این کار باید به علامت ضریب a نگاه کنید. اگر مثبت وجود داشته باشد، شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، اگر منفی وجود دارد، شاخه ها به سمت پایین هدایت می شوند.
3. مختصات x راس سهمی را تعیین کنید.
برای این کار باید از فرمول Xvertex = -b/2*a استفاده کنید.
4. مختصات راس سهمی را تعیین کنید.
برای انجام این کار، به جای x، مقدار Xverhiny را که در مرحله قبل یافت شد، جایگزین معادله Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c کنید.
5. نقطه به دست آمده را روی نمودار رسم کنید و یک محور تقارن را از میان آن رسم کنید، موازی با محور مختصات Oy.
6. نقاط تقاطع نمودار را با محور Ox بیابید.
برای انجام این کار باید حل کنید معادله درجه دوم a*(x^2)+b*x+c = 0 با استفاده از یکی از روش های شناخته شده. اگر معادله ریشه واقعی نداشته باشد، نمودار تابع محور Ox را قطع نمی کند.
7. مختصات نقطه تقاطع نمودار با محور Oy را بیابید.
برای این کار مقدار x=0 را جایگزین معادله می کنیم و مقدار y را محاسبه می کنیم. این و یک نقطه متقارن با آن را در نمودار علامت گذاری می کنیم.
8. مختصات یک نقطه دلخواه A(x,y) را پیدا کنید.
برای انجام این کار، یک مقدار دلخواه برای مختصات x انتخاب کنید و آن را در معادله خود جایگزین کنید. در این مرحله مقدار y را بدست می آوریم. نقطه را روی نمودار رسم کنید. و همچنین نقطه ای را در نمودار مشخص کنید که با نقطه A(x,y) متقارن باشد.
9. نقاط به دست آمده روی نمودار را با یک خط صاف به هم وصل کرده و نمودار را به آن سوی ادامه دهید نقاط افراطی، تا انتهای محور مختصات. گراف را روی لیدر یا در صورت اجازه فضا در امتداد خود نمودار برچسب بزنید.
نمونه نقشه کشی
به عنوان مثال، اجازه دهید یک تابع درجه دوم را که با معادله y=x^2+4*x-1 به دست می‌آید رسم کنیم.
1. محورهای مختصات را رسم کنید، آنها را برچسب بزنید و یک قطعه واحد را علامت بزنید.
2. مقادیر ضرایب a=1، b=4، c= -1. از آنجایی که a=1 که بزرگتر از صفر است، شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.
3. مختصات X راس سهمی را تعیین کنید Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. مختصات Y راس سهمی را تعیین کنید
رئوس = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. راس را علامت گذاری کنید و محور تقارن را رسم کنید.
6. نقاط تلاقی نمودار تابع درجه دوم را با محور Ox بیابید. معادله درجه دوم x^2+4*x-1=0 را حل می کنیم.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. مقادیر به دست آمده را روی نمودار علامت گذاری می کنیم.
7. نقاط تقاطع نمودار را با محور Oy بیابید.
x=0; y=-1
8. یک نقطه دلخواه B را انتخاب کنید. بگذارید مختصات x=1 داشته باشد.
سپس y=(1)^2 + 4*(1)-1=4.
9. نقاط به دست آمده را به هم وصل کرده و نمودار را امضا کنید.
همانطور که تمرین نشان می دهد، وظایف مربوط به ویژگی ها و نمودارهای یک تابع درجه دوم مشکلات جدی ایجاد می کند. این کاملاً عجیب است، زیرا آنها تابع درجه دوم را در کلاس هشتم مطالعه می کنند و سپس در طول سه ماهه اول کلاس نهم ویژگی های سهمی را "عذاب" می کنند و نمودارهای آن را برای پارامترهای مختلف می سازند.
این به این دلیل است که هنگام وادار کردن دانش آموزان به ساخت سهمی، آنها عملاً زمانی را به "خواندن" نمودارها اختصاص نمی دهند، یعنی درک اطلاعات دریافت شده از تصویر را تمرین نمی کنند. ظاهراً فرض بر این است که پس از ساخت یک دوجین یا دو نمودار، خود یک دانش آموز باهوش رابطه بین ضرایب موجود در فرمول و فرمول را کشف و فرموله خواهد کرد. ظاهرهنرهای گرافیکی در عمل این کار نمی کند. برای چنین تعمیم، تجربه جدی در تحقیقات کوچک ریاضی لازم است، که البته اکثر دانش آموزان کلاس نهم از آن بی بهره هستند. در همین حال، سازمان بازرسی دولتی پیشنهاد می کند تا علائم ضرایب را با استفاده از برنامه تعیین کند.
ما از دانش آموزان غیرممکن را مطالبه نخواهیم کرد و به سادگی یکی از الگوریتم های حل چنین مشکلاتی را ارائه خواهیم داد.
بنابراین، تابعی از فرم است y = تبر 2 + bx + cبه نام درجه دوم، نمودار آن سهمی است. همانطور که از نام آن پیداست، اصطلاح اصلی است تبر 2. به این معنا که آنباید برابر با صفر باشد، ضرایب باقیمانده ( بو با) می تواند برابر با صفر باشد.
بیایید ببینیم که چگونه علائم ضرایب آن بر ظاهر یک سهمی تأثیر می گذارد.
ساده ترین وابستگی برای ضریب آ. بیشتر دانش‌آموزان با اطمینان پاسخ می‌دهند: «اگر آ> 0، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند و اگر آ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой آ > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
در این مورد آ = 0,5
و اکنون برای آ < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
در این مورد آ = - 0,5
تاثیر ضریب بادنبال کردن آن نیز بسیار آسان است. بیایید تصور کنیم که می خواهیم مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم ایکس= 0. صفر را جایگزین فرمول کنید:
y = آ 0 2 + ب 0 + ج = ج. معلوم می شود که y = c. به این معنا که بامنتخب نقطه تقاطع سهمی با محور y است. به طور معمول، این نقطه به راحتی در نمودار پیدا می شود. و تعیین کنید که بالای صفر است یا پایین. به این معنا که با> 0 یا با < 0.
با > 0:
y = x 2 + 4x + 3
با < 0
y = x 2 + 4x - 3
بر این اساس، اگر با= 0، پس سهمی لزوماً از مبدأ عبور می کند:
y = x 2 + 4x
با پارامتر مشکل تر است ب. نقطه ای که ما آن را پیدا خواهیم کرد نه تنها به آن بستگی دارد ببلکه از آ. این قسمت بالای سهمی است. آبسیسا آن (مختصات محور ایکس) با فرمول پیدا می شود x در = - b/(2a). بدین ترتیب، b = - 2x اینچ. یعنی به صورت زیر عمل می کنیم: راس سهمی را روی نمودار پیدا می کنیم، علامت آبسیسا آن را تعیین می کنیم، یعنی به سمت راست صفر نگاه می کنیم ( x در> 0) یا به سمت چپ ( x در < 0) она лежит.
با این حال، این همه چیز نیست. باید به علامت ضریب هم توجه کنیم آ. یعنی ببینید شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند. و تنها پس از آن، طبق فرمول b = - 2x اینچعلامت را تعیین کنید ب.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، یعنی آ> 0، سهمی محور را قطع می کند درزیر صفر یعنی با < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x در> 0. بنابراین b = - 2x اینچ = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: آ > 0, ب < 0, با < 0.
در درس ریاضیات در مدرسه، شما قبلاً با ساده ترین ویژگی ها و نمودار یک تابع آشنا شده اید. y = x 2. بیایید دانش خود را گسترش دهیم تابع درجه دوم.
تمرین 1.
تابع را رسم کنید y = x 2. مقیاس: 1 = 2 سانتی متر روی محور Oy علامت گذاری کنید اف(0؛ 1/4). با استفاده از یک قطب نما یا یک نوار کاغذ، فاصله را از نقطه اندازه گیری کنید افتا جایی مسهمی ها سپس نوار را در نقطه M سنجاق کنید و آن را به دور آن نقطه بچرخانید تا عمودی شود. انتهای نوار کمی زیر محور x قرار خواهد گرفت (عکس. 1). روی نوار علامت بزنید که چقدر از محور x امتداد دارد. حالا یک نقطه دیگر از سهمی بگیرید و دوباره اندازه گیری را تکرار کنید. لبه نوار چقدر زیر محور x افتاده است؟
نتیجه:مهم نیست که چه نقطه ای از سهمی y = x 2 را می گیرید، فاصله این نقطه تا نقطه F(0؛ 1/4) از فاصله همان نقطه تا محور آبسیسا همیشه با همان عدد بیشتر خواهد بود - 1/4.
ما می توانیم آن را متفاوت بگوییم: فاصله هر نقطه از سهمی تا نقطه (0؛ 1/4) برابر است با فاصله از همان نقطه سهمی تا خط مستقیم y = -1/4. این نقطه شگفت انگیز F(0; 1/4) نامیده می شود تمرکزسهمی y = x 2 و خط مستقیم y = -1/4 - مدیر مدرسهاین سهمی هر سهمی یک جهت و یک کانون دارد.
خواص جالب سهمی:
1. هر نقطه از سهمی از نقطه ای به یک اندازه فاصله دارد که کانون سهمی نامیده می شود و مقداری خط مستقیم که جهت آن نامیده می شود.
2. اگر یک سهمی را حول محور تقارن بچرخانید (مثلاً سهمی y = x 2 حول محور Oy)، سطح بسیار جالبی به دست خواهید آورد که به آن پارابولوئید چرخش می گویند.
سطح مایع در یک ظرف دوار به شکل پارابولوئید چرخشی است. اگر با قاشق در یک لیوان چای ناقص به شدت هم بزنید و سپس قاشق را بردارید، می توانید این سطح را ببینید.
3. اگر سنگی را با زاویه خاصی نسبت به افق به داخل فضای خالی بیندازید، به صورت سهمی پرواز می کند. (شکل 2).
4. اگر سطح یک مخروط را با صفحه ای موازی با هر یک از ژنراتورهای آن قطع کنید، در این صورت سطح مقطع منجر به یک سهمی می شود. (شکل 3).
5. پارک های تفریحی گاهی اوقات یک سواری سرگرم کننده به نام Paraboloid of Wonders دارند. به نظر هرکسی که داخل پارابولوئید چرخان ایستاده است روی زمین ایستاده است و بقیه افراد به نحوی معجزه آسا به دیوارها چسبیده اند.
6. ب تلسکوپ های آینه ایاز آینه‌های سهموی نیز استفاده می‌شود: نور ستاره‌ای دور که در یک پرتو موازی می‌آید و روی آینه تلسکوپ می‌افتد، جمع‌آوری می‌شود.
7. نورافکن ها معمولا آینه ای به شکل پارابولوئید دارند. اگر یک منبع نور را در کانون یک پارابولوئید قرار دهید، پرتوهایی که از آینه سهموی منعکس می شوند، یک پرتو موازی را تشکیل می دهند.
نمودار یک تابع درجه دوم
در درس های ریاضی، نحوه به دست آوردن نمودار توابع فرم از نمودار تابع y = x 2 را مطالعه کردید:
1) y = تبر 2– کشش نمودار y = x 2 در امتداد محور Oy در |a| بار (با | a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, برنج. 4).
2) y = x 2 + n– تغییر نمودار به میزان n واحد در امتداد محور Oy و اگر n> 0 باشد، شیفت به سمت بالا است و اگر n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– جابجایی نمودار توسط m واحد در امتداد محور Ox: اگر m< 0, то вправо, а если m >0، سپس چپ، (شکل 5).
4) y = -x 2– نمایش متقارن نسبت به محور Ox نمودار y = x 2 .
بیایید نگاهی دقیق تر به رسم تابع داشته باشیم y = a(x – m) 2 + n.
یک تابع درجه دوم از شکل y = ax 2 + bx + c همیشه می تواند به شکل کاهش یابد.
y = a(x – m) 2 + n، که در آن m = -b/(2a)، n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
بیایید آن را ثابت کنیم.
واقعا،
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
اجازه دهید نمادهای جدید را معرفی کنیم.
اجازه دهید m = -b/(2a)، آ n = -(b 2 - 4ac)/(4a),
سپس y = a(x – m) 2 + n یا y – n = a(x – m) 2 بدست می آوریم.
بیایید چند جایگزین دیگر انجام دهیم: اجازه دهید y – n = Y، x – m = X (*).
سپس تابع Y = aX 2 را بدست می آوریم که نمودار آن سهمی است.
راس سهمی در مبدا است. X = 0; Y = 0.
با جایگزینی مختصات راس به (*)، مختصات راس نمودار y = a(x – m) 2 + n: x = m، y = n را بدست می آوریم.
بنابراین، به منظور رسم یک تابع درجه دوم که به عنوان نشان داده شده است
y = a(x – m) 2 + n
از طریق تبدیل، می توانید به صورت زیر عمل کنید:
آ)تابع y = x 2 را رسم کنید.
ب)با ترجمه موازی در امتداد محور Ox توسط m واحد و در امتداد محور Oy با n واحد - راس سهمی را از مبدا به نقطه با مختصات (m; n) منتقل کنید. (شکل 6).
ثبت تحولات:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
مثال.
با استفاده از تبدیل ها، نموداری از تابع y = 2(x – 3) 2 در سیستم مختصات دکارتی بسازید. – 2.
راه حل.
زنجیره تحولات:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2 (x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .
نمودار در نشان داده شده است برنج. 7.
شما می توانید نمودار توابع درجه دوم را به تنهایی تمرین کنید. به عنوان مثال، یک نمودار از تابع y = 2 (x + 3) 2 + 2 در یک سیستم مختصات با استفاده از تبدیل بسازید، اگر سؤالی دارید یا می خواهید از یک معلم مشاوره بگیرید، این فرصت را دارید که انجام دهید درس 25 دقیقه ای رایگان با معلم آنلاینپس از ثبت نام . برای کار بیشتر با معلم، می توانید طرح تعرفه ای را انتخاب کنید که مناسب شما باشد.
هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک تابع درجه دوم را نمودار کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.