نمونه هایی از معادلات درجه دوم در Vieta. قضیه ویتا نمونه هایی از راه حل ها

ابتدا بیایید خود قضیه را فرموله کنیم: به ما داده شده است معادله درجه دومبه شکل x^2+b*x + c = 0. فرض کنید این معادله شامل ریشه های x1 و x2 است. سپس با توجه به قضیه، گزاره های زیر معتبر هستند:

1) مجموع ریشه های x1 و x2 برابر خواهد بود ارزش منفیضریب ب.

2) حاصل ضرب همین ریشه ها ضریب c را به ما می دهد.

اما معادله داده شده چیست؟

معادله درجه دوم کاهش یافته معادله درجه دومی است که ضریب بالاترین درجه آن برابر با یک است، یعنی. این معادله ای به شکل x^2 + b*x + c = 0 است. (و معادله a*x^2 + b*x + c = 0 کاهش نیافته است). به عبارت دیگر، برای آوردن معادله به شکل داده شده، باید این معادله را بر ضریب بالاترین توان (a) تقسیم کنیم. وظیفه این است که این معادله را به شکل زیر در آورید:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

با تقسیم هر معادله بر ضریب بالاترین درجه، به دست می آید:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.

همانطور که از مثال ها می بینید، حتی معادلات حاوی کسر را می توان به شکل داده شده کاهش داد.

با استفاده از قضیه ویتا

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

ریشه ها را می گیریم: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

در نتیجه ریشه ها را بدست می آوریم: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

ما ریشه ها را بدست می آوریم: x1 = -1; x2 = -4.

معنای قضیه ویتا

قضیه ویتا به ما امکان می دهد هر معادله کاهش یافته درجه دوم را تقریباً در چند ثانیه حل کنیم. در نگاه اول، به نظر می رسد این کار نسبتاً دشواری باشد، اما پس از 5 معادله 10، می توانید فوراً یاد بگیرید که ریشه ها را ببینید.

از مثال های ارائه شده و با استفاده از قضیه، مشخص می شود که چگونه می توانید حل معادلات درجه دوم را به طور قابل توجهی ساده کنید، زیرا با استفاده از این قضیه می توانید یک معادله درجه دوم را عملاً بدون محاسبات پیچیده و محاسبه ممیز حل کنید و همانطور که می دانید، محاسبات کمتر، اشتباه کردن دشوارتر است، که مهم است.

در تمام مثال‌ها، ما از این قانون بر اساس دو فرض مهم استفاده کردیم:

معادله داده شده، یعنی ضریب بالاترین درجه برابر است با یک (از این شرط به راحتی اجتناب می شود. می توانید از شکل کاهش نیافته معادله استفاده کنید، سپس عبارات زیر معتبر خواهند بود x1+x2=-b/a؛ x1*x2=c/ الف، اما معمولا حل کردنش سخت تره :))

وقتی یک معادله دو ریشه متفاوت داشته باشد. فرض می کنیم که نابرابری درست است و تفکیک کننده به شدت بزرگتر از صفر است.

بنابراین، می‌توانیم یک الگوریتم حل کلی با استفاده از قضیه Vieta ایجاد کنیم.

الگوریتم حل کلی با استفاده از قضیه ویتا

اگر معادله به صورت تقلیل نشده به ما داده شود، یک معادله درجه دوم را به شکل کاهش یافته کاهش می دهیم. هنگامی که ضرایب در معادله درجه دوم، که قبلاً به صورت داده شده ارائه کردیم، کسری (نه اعشاری) به نظر می رسد، در این صورت معادله ما باید از طریق تفکیک حل شود.

همچنین مواردی وجود دارد که بازگشت به معادله اولیه به ما امکان می دهد با اعداد "راحتی" کار کنیم.

قضیه Vieta (به طور دقیق تر، قضیه معکوس قضیه Vieta) به شما امکان می دهد زمان حل معادلات درجه دوم را کاهش دهید. فقط باید بدانید که چگونه از آن استفاده کنید. چگونه حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا یاد بگیریم؟ اگر کمی به آن فکر کنید کار سختی نیست.

اکنون ما فقط در مورد حل معادله درجه دوم کاهش یافته ویتا صحبت خواهیم کرد. معادله درجه دوم کاهش یافته معادله ای است که a، یعنی ضریب x2، برابر با یک. همچنین می توان معادلات درجه دومی را حل کرد که با استفاده از قضیه ویتا داده نشده اند، اما حداقل یکی از ریشه ها عدد صحیح نیست. حدس زدن آنها دشوارتر است.

قضیه معکوس قضیه ویتا می گوید: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای باشند که

سپس x1 و x2 ریشه های معادله درجه دوم هستند

هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا، تنها 4 گزینه ممکن است. اگر خط استدلال را به خاطر داشته باشید، می توانید یاد بگیرید که ریشه های کامل را خیلی سریع پیدا کنید.

I. اگر q یک عدد مثبت باشد،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند (زیرا فقط ضرب اعداد با علائم یکسان یک عدد مثبت تولید می کند).

I.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (به ترتیب، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. اگر -p - یک عدد منفی, (به ترتیب p>0)، سپس هر دو ریشه اعداد منفی هستند (اعداد هم علامت را اضافه کردیم و یک عدد منفی گرفتیم).

II. اگر q یک عدد منفی است،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 دارای علائم متفاوتی هستند (هنگام ضرب اعداد، تنها زمانی که علائم عوامل متفاوت باشد، یک عدد منفی به دست می آید). در این حالت، x1+x2 دیگر یک مجموع نیست، بلکه یک تفاوت است (در نهایت، هنگام جمع کردن اعداد با نشانه های مختلفکوچکتر را از بزرگتر کم می کنیم). بنابراین، x1+x2 نشان می دهد که ریشه های x1 و x2 چقدر با هم تفاوت دارند، یعنی چقدر یک ریشه از دیگری بزرگتر است (در مقدار مطلق).

II.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (یعنی ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. اگر -p یک عدد منفی است، (p>0)، سپس ریشه بزرگتر (مدول) یک عدد منفی است.

بیایید حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا با استفاده از مثال در نظر بگیریم.

معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا حل کنید:

در اینجا q=12>0، بنابراین ریشه های x1 و x2 اعدادی با علامت یکسان هستند. مجموع آنها -p=7>0 است، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. ما اعداد صحیحی را انتخاب می کنیم که حاصل ضرب آنها 12 باشد. این اعداد 1 و 12، 2 و 6، 3 و 4 هستند. مجموع آن ها برای جفت 3 و 4 برابر با 7 است. یعنی 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

در این مثال q=16>0 یعنی ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند. مجموع آنها -p=-10 است<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

اینجا q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0، سپس عدد بزرگتر مثبت است. بنابراین ریشه ها 5 و -3 هستند.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

قضیه ویتا مفهومی است که تقریباً همه از دوران مدرسه آشنا هستند. اما آیا واقعا "آشنا" است؟ افراد کمی در زندگی روزمره با آن روبرو می شوند. اما همه کسانی که با ریاضیات سر و کار دارند گاهی به طور کامل معنای عمیق و اهمیت عظیم این قضیه را درک نمی کنند.

قضیه ویتا فرآیند حل تعداد زیادی از مسائل ریاضی را بسیار تسهیل می کند که در نهایت به راه حل می رسد:

با درک اهمیت چنین ابزار ریاضی ساده و مؤثری، نمی توانید در مورد فردی که اولین بار آن را کشف کرده است فکر نکنید.

دانشمند مشهور فرانسوی که کار خود را با وکالت آغاز کرد. اما، بدیهی است که ریاضیات دعوت او بود. زمانی که در خدمت سلطنتی به عنوان مشاور بود، به دلیل توانایی خواندن یک پیام رمزگذاری شده رهگیری شده از پادشاه اسپانیا به هلند مشهور شد. این به پادشاه فرانسه هنری سوم این فرصت را داد تا از تمام نیات مخالفان خود مطلع شود.

فرانسوا ویته که به تدریج با دانش ریاضی آشنا شد، به این نتیجه رسید که باید ارتباط نزدیکی بین آخرین تحقیقات "جبرگرایان" در آن زمان و میراث هندسی عمیق پیشینیان وجود داشته باشد. او در جریان تحقیقات علمی تقریباً تمام جبر ابتدایی را توسعه و فرموله کرد. او اولین کسی بود که استفاده از مقادیر حروف را در دستگاه ریاضی معرفی کرد و به وضوح مفاهیم: عدد، قدر و روابط آنها را متمایز کرد. ویت ثابت کرد که با انجام عملیات به شکل نمادین، می توان مشکل را برای حالت کلی، تقریباً برای هر مقدار از مقادیر داده شده، حل کرد.

تحقیقات او برای حل معادلات با درجات بالاتر از دوم منجر به قضیه ای شد که اکنون به عنوان قضیه تعمیم یافته ویتا شناخته می شود. اهمیت عملی زیادی دارد و استفاده از آن حل سریع معادلات مرتبه بالاتر را ممکن می سازد.

یکی از ویژگی های این قضیه به شرح زیر است: حاصلضرب تمام توان های n برابر با جمله آزاد آن است. این ویژگی اغلب هنگام حل معادلات درجه سوم یا چهارم به منظور کاهش ترتیب چند جمله ای استفاده می شود. اگر یک چند جمله ای درجه n دارای ریشه های اعداد صحیح باشد، می توان آنها را به راحتی با انتخاب ساده تعیین کرد. و سپس با تقسیم چند جمله ای بر عبارت (x-x1) چند جمله ای با درجه (n-1) بدست می آوریم.

در خاتمه، مایلم متذکر شوم که قضیه ویتا یکی از مشهورترین قضایای درس جبر مدرسه است. و نام او در میان نام ریاضیدانان بزرگ جایگاه شایسته ای دارد.

قضیه Vieta اغلب برای بررسی ریشه هایی که قبلاً پیدا شده اند استفاده می شود. اگر ریشه ها را پیدا کرده اید، می توانید از فرمول \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) برای محاسبه مقادیر \(p) استفاده کنید. \) و \(q\ ). و اگر آنها مانند معادله اصلی باشند، ریشه ها به درستی پیدا می شوند.

به عنوان مثال، اجازه دهید با استفاده از . بیایید بررسی کنیم که آیا در فرآیند راه حل اشتباه کرده ایم. در مورد ما، \(p=1\)، و \(q=-56\). با قضیه ویتا داریم:

\(\شروع(موارد)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\پایان(موارد)\) \(\پیکان راست چپ\) \(\شروع(موارد)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end (موارد)\) \(\فلش سمت راست\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end (موردها)\ )

هر دو عبارت همگرا شدند، یعنی معادله را به درستی حل کردیم.

این بررسی را می توان به صورت شفاهی انجام داد. 5 ثانیه طول می کشد و شما را از اشتباهات احمقانه نجات می دهد.

قضیه معکوس ویتا

اگر \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\)، آنگاه \(x_1\) و \(x_2\) ریشه های معادله درجه دوم هستند \ (x^ 2+px+q=0\).

یا به روشی ساده: اگر معادله ای به شکل \(x^2+px+q=0\ دارید)، سپس سیستم \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot را حل کنید. x_2=q\ end(cases)\) ریشه های آن را پیدا خواهید کرد.

با تشکر از این قضیه، شما می توانید به سرعت ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید، به خصوص اگر این ریشه ها هستند. این مهارت مهم است زیرا باعث صرفه جویی در زمان می شود.

مثال . معادله \(x^2-5x+6=0\) را حل کنید.

راه حل : با استفاده از قضیه معکوس Vieta، متوجه می‌شویم که ریشه‌ها شرایط زیر را دارند: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
به معادله دوم سیستم \(x_1 \cdot x_2=6\) نگاه کنید. عدد \(6\) را به کدام دو می توان تجزیه کرد؟ در \(2\) و \(3\)، \(6\) و \(1\) یا \(-2\) و \(-3\)، و \(-6\) و \(- 1\). اولین معادله سیستم به شما می گوید که کدام جفت را انتخاب کنید: \(x_1+x_2=5\). \(2\) و \(3\) مشابه هستند، زیرا \(2+3=5\).
پاسخ : \(x_1=2\)، \(x_2=3\).

مثال ها . با استفاده از عکس قضیه ویتا، ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنید:
الف) \(x^2-15x+14=0\); ب) \(x^2+3x-4=0\); ج) \(x^2+9x+20=0\); د) \(x^2-88x+780=0\).

راه حل :
الف) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(2\) و \(7\)، \(-2\) و \(-7\)، \(-1\) و \(-14\)، \(1\) و \(14\ ). چه جفت اعدادی با \(15\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(1\) و \(14\).

ب) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(-2\) و \(2\)، \(4\) و \(-1\)، \(1\) و \(-4\). چه جفت اعدادی با \(-3\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(1\) و \(-4\).

ج) \(x^2+9x+20=0\) - \(20\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(4\) و \(5\)، \(-4\) و \(-5\)، \(2\) و \(10\)، \(-2\) و \(-10\ )، \(-20\) و \(-1\)، \(20\) و \(1\). چه جفت اعدادی به \(-9\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(-4\) و \(-5\).

د) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(390\) و \(2\). آیا آنها به \(88\) اضافه می شوند؟ خیر \(780\) چه ضریب دیگری دارد؟ \(78\) و \(10\). آیا آنها به \(88\) اضافه می شوند؟ آره. پاسخ: \(78\) و \(10\).

لزومی ندارد که ترم آخر را به همه عوامل ممکن بسط دهیم (مانند مثال آخر). بلافاصله می توانید بررسی کنید که آیا مجموع آنها \(-p\) می دهد یا خیر.

مهم!قضیه ویتا و قضیه معکوس فقط با یک کار می کنند، یعنی یکی که ضریب \(x^2\) برابر یک است. اگر در ابتدا یک معادله غیر کاهش یافته به ما داده شد، می‌توانیم آن را با تقسیم بر ضریب جلوی \(x^2\) کاهش دهیم.

مثلا، اجازه دهید معادله \(2x^2-4x-6=0\) داده شود و می خواهیم از یکی از قضایای ویتا استفاده کنیم. اما ما نمی توانیم، زیرا ضریب \(x^2\) برابر با \(2\) است. بیایید با تقسیم کل معادله بر \(2\) از شر آن خلاص شویم.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

آماده. اکنون می توانید از هر دو قضیه استفاده کنید.

پاسخ به سوالات متداول

سوال: با استفاده از قضیه ویتا، می توانید هر کدام را حل کنید؟
پاسخ: متاسفانه نه. اگر معادله شامل اعداد صحیح نباشد یا معادله اصلاً ریشه نداشته باشد، قضیه ویتا کمکی نخواهد کرد. در این مورد باید استفاده کنید ممیز . خوشبختانه 80 درصد معادلات ریاضی مدرسه دارای جواب های اعداد صحیح هستند.

قضیه ویتا

ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را بگذارید و نشان دهید
(1) .
سپس مجموع ریشه ها برابر با ضریب است که با علامت مخالف گرفته می شود. حاصل ضرب ریشه ها برابر است با عبارت آزاد:
;
.

نکته ای در مورد ریشه های متعدد

اگر ممیز معادله (1) صفر باشد، این معادله یک ریشه دارد. اما، به منظور اجتناب از فرمول‌بندی‌های دست و پاگیر، به طور کلی پذیرفته شده است که در این مورد، معادله (1) دارای دو ریشه چندگانه یا مساوی است:
.

اثبات یک

بیایید ریشه های معادله (1) را پیدا کنیم. برای انجام این کار، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم را اعمال کنید:
;
;
.

جمع ریشه ها را بیابید:
.

برای پیدا کردن محصول، فرمول را اعمال کنید:
.
سپس

.

قضیه ثابت شده است.

اثبات دو

اگر اعداد ریشه های معادله درجه دوم (1) باشند، پس
.
باز کردن پرانتز.

.
بنابراین، معادله (1) به شکل زیر خواهد بود:
.
در مقایسه با (1) متوجه می شویم:
;
.

قضیه ثابت شده است.

قضیه معکوس ویتا

بگذارید اعداد دلخواه وجود داشته باشد. سپس و ریشه های معادله درجه دوم هستند
,
جایی که
(2) ;
(3) .

اثبات قضیه معکوس ویتا

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید
(1) .
باید ثابت کنیم که اگر و، پس و ریشه های معادله (1) هستند.

بیایید (2) و (3) را با (1) جایگزین کنیم:
.
عبارات سمت چپ معادله را گروه بندی می کنیم:
;
;
(4) .

بیایید در (4) جایگزین کنیم:
;
.

بیایید در (4) جایگزین کنیم:
;
.
معادله برقرار است. یعنی عدد ریشه معادله (1) است.

قضیه ثابت شده است.

قضیه ویتا برای یک معادله درجه دوم کامل

حال معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید
(5) ,
کجا، و تعدادی اعداد هستند. علاوه بر این.

بیایید معادله (5) را بر:
.
یعنی معادله داده شده را بدست آوردیم
,
جایی که ؛ .

سپس قضیه ویتا برای یک معادله درجه دوم کامل به شکل زیر است.

ریشه های معادله درجه دوم کامل را بگذارید و نشان دهید
.
سپس مجموع و حاصلضرب ریشه ها با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
.

قضیه ویتا برای معادله مکعب

به روشی مشابه، می توانیم بین ریشه های یک معادله مکعبی ارتباط برقرار کنیم. معادله مکعب را در نظر بگیرید
(6) ,
که در آن،،، تعدادی اعداد هستند. علاوه بر این.
بیایید این معادله را بر:
(7) ,
جایی که ، ، .
, , ریشه های معادله (7) (و معادله (6)) باشد. سپس

.

با مقایسه با معادله (7) متوجه می شویم:
;
;
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n

به همین ترتیب، می توانید ارتباط بین ریشه های , , ... , , را برای معادله درجه n بیابید.
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n به شکل زیر است:
;
;
;

.

برای بدست آوردن این فرمول ها معادله را به صورت زیر می نویسیم:
.
سپس ضرایب , , , ... را برابر می کنیم و عبارت آزاد را با هم مقایسه می کنیم.

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
سانتی متر. نیکولسکی، M.K. پوتاپوف و همکاران، جبر: کتاب درسی کلاس هشتم در موسسات آموزش عمومی، مسکو، آموزش و پرورش، 2006.