معرفی……………………………………………………………. 3
I. برنامه ریزی تابع درجه دومحاوی یک متغیر
تحت علامت قدر مطلق
1.1. تعاریف و خصوصیات اساسی…………………………… 4
1.2. رسم نمودار یک تابع درجه دوم شامل
متغیر تحت علامت مدول……………………………… 5
II. رسم نمودار یک تابع درجه دوم شامل
متغیر زیر علامت مدول در برنامه
مایکروسافت اکسل……………………………………………………………………. 12
نتیجه…………………………………………………. …. 15
فهرست ادبیات استفاده شده………………………….. ۱۶
معرفی
مجبور شدم زمانم را بین سیاست و معادلات تقسیم کنم. با این حال، معادلات، به نظر من، بسیار مهمتر هستند، زیرا سیاست فقط برای وجود دارد در این لحظه، و معادلات برای همیشه وجود خواهند داشت.
هنگامی که علامت مدول در معادلات "استاندارد" خطوط، سهمی ها و هذلولی ها گنجانده شود، نمودارهای آنها غیرعادی و حتی زیبا می شوند. برای یادگیری نحوه ساخت چنین نمودارهایی، باید بر تکنیک های ساخت ارقام اساسی تسلط داشته باشید و همچنین تعریف مدول یک عدد را کاملاً بدانید و درک کنید. در درس ریاضی مدرسه، نمودارها با ماژول به اندازه کافی عمیق مورد بحث قرار نمی گیرند، به همین دلیل من می خواستم دانش خود را در این موضوع گسترش دهم و تحقیقات خود را انجام دهم.
هدف از کار در نظر گرفتن ساخت یک نمودار از یک تابع درجه دوم شامل یک متغیر در زیر علامت مدول است.
موضوع مطالعه: نمودار تابع درجه دوم.
موضوع تحقیق: تغییرات نمودار تابع درجه دوم بسته به محل علامت قدر مطلق.
وظایف:
1) ادبیات مربوط به خواص قدر مطلق و تابع درجه دوم را مطالعه کنید.
2) تغییرات نمودار یک تابع درجه دوم را بسته به محل علامت قدر مطلق بررسی کنید.
3) یاد بگیرید که معادلات را با استفاده از برنامه های نموداری مختلف از جمله مایکروسافت اکسل ترسیم کنید.
روش های پژوهش:
1) نظری (مرحله منطقی شناخت).
2) تجربی (تحقیق، آزمایش)؛
3) مدل سازی
اهمیت عملی کار من این است:
1) در استفاده از دانش کسب شده در این زمینه و همچنین تعمیق آن و به کار بردن آن در سایر توابع و معادلات.
2) در استفاده از مهارت ها کار تحقیقاتیدر آینده فعالیت های آموزشی.
I. نمودار یک تابع درجه دوم حاوی متغیری تحت علامت قدر مطلق
1.1. تعاریف و ویژگی های اساسی
تابع یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. تابع وابستگی متغیر y به متغیر x است به طوری که هر مقدار از متغیر x با یک مقدار واحد از متغیر y مطابقت دارد.
روش های تعیین یک تابع:
1) روش تحلیلی (تابع با استفاده از فرمول ریاضی مشخص می شود).
2) روش جدولی (عملکرد با استفاده از جدول مشخص می شود).
3) روش توصیفی (عملکرد با توصیف شفاهی مشخص می شود).
4) روش گرافیکی (تابع با استفاده از نمودار مشخص می شود).
نمودار یک تابع مجموعه ای از تمام نقاط صفحه مختصات است که ابسیساهای آن برابر با مقدار آرگومان و مختصات آن برابر با مقادیر مربوط به تابع است.
تابعی که با فرمول y=ax2+inx+c تعریف می‌شود، که در آن x و y متغیر هستند و پارامترهای a، b و c هر عدد واقعی با 0 هستند، درجه دوم نامیده می‌شود.
نمودار تابع y=ax2+inx+c یک سهمی است. محور تقارن سهمی y=ax2+inx+c یک خط مستقیم است، برای a>0 «شاخه‌های» سهمی به سمت بالا هدایت می‌شوند.<0 – вниз.
برای ترسیم نمودار یک تابع درجه دوم، شما نیاز دارید:
1) مختصات راس سهمی را بیابید و آن را در صفحه مختصات علامت گذاری کنید.
2) چندین نقطه دیگر متعلق به سهمی بسازید.
3) نقاط مشخص شده را با یک خط صاف وصل کنید.
مختصات راس سهمی با فرمول های زیر تعیین می شود:
, .
قدر مطلق یک عدد مثبت خود عدد مثبت است و قدر مطلق عدد منفی عدد مثبت مقابل آن است. قدر مطلق صفر صفر در نظر گرفته می شود، یعنی.
.
خواص:
1) قدر مطلق مجموع اعداد بیشتر از مجموع قدر مطلق عبارات آن نیست، یعنی.
|a+b| |a|+|b|
2) قدر مطلق اختلاف بین دو عدد کمتر از اختلاف قدر مطلق این اعداد نباشد، یعنی.
|a-c| |الف|-|ب| یا |a-c| |v|-|a|
3) قدر مطلق محصول برابر است با حاصلضرب قدر مطلق عوامل، یعنی.
|a در|=|a| |در|
4) قدر مطلق نصاب برابر است با ضریب تقسیم مقادیر مطلق سود و مقسوم، یعنی.
5) قدر مطلق یک درجه با توان عدد صحیح مثبت برابر است با همان درجه قدر مطلق مبنا، یعنی.
|аn|=|a|n.
1.2. رسم نمودار یک تابع درجه دوم حاوی یک متغیر در زیر علامت مدول.
…اطلاعات ریاضی تنها در صورت تسلط خلاقانه می تواند به صورت ماهرانه و مفید مورد استفاده قرار گیرد تا دانش آموز خودش ببیند که چگونه می تواند به تنهایی به آن برسد.
A.N. کولموگروف
برای ساختن نمودار توابع حاوی علامت مدول، مانند حل معادلات، ابتدا ریشه عبارات زیر علامت مدول را پیدا کنید. در نتیجه، محور Ox به فواصل تقسیم می شود. علائم مدول را با گرفتن هر عبارت در هر بازه با یک علامت مشخص حذف می کنیم که با استفاده از روش فاصله پیدا می کنیم.
در هر بازه یک تابع بدون علامت مدول به دست می آید. ما یک نمودار از هر تابع در هر بازه می سازیم.
در ساده ترین حالت، زمانی که فقط یک عبارت زیر علامت مدول قرار دارد و هیچ عبارت دیگری بدون علامت مدول وجود ندارد، می توانید نمودار تابع را با حذف علامت مدول رسم کنید و سپس بخشی از نمودار را که در منطقه قرار دارد نمایش دهید. مقادیر منفی y نسبت به محور Ox.
اجازه دهید با مثال هایی چند تکنیک برای ساخت نمودار توابع با ماژول ها را نشان دهیم.
مثال 1.
ابتدا، اجازه دهید یک سهمی y = x2 – 6x +5 بسازیم. برای به دست آوردن نمودار تابع y = |x2 - 6x + 5|، باید هر نقطه سهمی را با یک نقطه منفی با نقطه ای با همان آبسیسا، اما با ارتجاع مخالف (مثبت) جایگزین کنید. به عبارت دیگر، بخشی از سهمی که در زیر محور Ox قرار دارد باید با یک خط متقارن با آن نسبت به محور Ox جایگزین شود (شکل 1).
مثال 2.
نمودار تابع y = |x|2– 6x +5 را در نظر بگیرید.
زیرا |x| مجذور می شود، پس صرف نظر از علامت عدد x پس از مربع کردن، مثبت خواهد بود. بنابراین نمودار تابع y =|x|2 - 6x +5 با نمودار تابع y = x2 - 6x +5 یکسان خواهد بود، یعنی. نمودار تابعی که دارای علامت قدر مطلق نیست (شکل 2). 
شکل 2
مثال 3.
نمودار تابع y = x2 – 6|x| را در نظر بگیرید +5.
با استفاده از تعریف مدول یک عدد، فرمول را جایگزین می کنیم
y = x2 – 6|x| +5
اکنون با تخصیص وابستگی تکه ای آشنا سر و کار داریم. نمودار را به صورت زیر می سازیم:
1) یک سهمی y = x2 - 6x +5 بسازید و قسمتی از آن را که با مقادیر غیر منفی x مطابقت دارد، دور بزنید. قسمتی که در سمت راست محور Oy قرار دارد.
2) در همان صفحه مختصات، سهمی y = x2 +6x +5 بسازید و قسمتی از آن را که با مقادیر منفی x مطابقت دارد، دایره کنید. قسمتی که در سمت چپ محور Oy قرار دارد. قسمت های دایره شده سهمی ها با هم نمودار تابع y = x2 - 6|x| +5 (شکل 3).
نمودار تابع y = |x|2 - 6|x|+5 را در نظر بگیرید.
زیرا نمودار معادله y = |x|2 – 6x +5 همان نمودار تابع بدون علامت مدول است (در مثال 2 در نظر گرفته شده است)، نتیجه می شود که نمودار تابع y = |x|2 – 6|x| 5+ با نمودار تابع y = x2 – 6|x| یکسان است 5+، در مثال 3 در نظر گرفته شده است (شکل 3).
مثال 5.
برای انجام این کار، بیایید یک نمودار از تابع y = x2 - 6x بسازیم. برای به دست آوردن نموداری از تابع y = |x2 - 6x| از آن، باید هر نقطه سهمی را با یک مصداق منفی با نقطه ای با همان آبسیسا، اما با ارتجاع مخالف (مثبت) جایگزین کنید. به عبارت دیگر قسمتی از سهمی که در زیر محور x قرار دارد باید با یک خط متقارن با آن نسبت به محور x جایگزین شود. زیرا باید تابع y = |x2 - 6x| را رسم کنیم 5+، سپس نمودار تابعی که در نظر گرفتیم y = |x2 - 6x| فقط باید آن را در امتداد محور y 5 واحد به سمت بالا حرکت دهید (شکل 4). 
مثال 6.
بیایید یک نمودار از تابع y = x2 - |6x+5| بسازیم. برای این کار از تابع شناخته شده piecewise استفاده می کنیم. بیایید صفرهای تابع را پیدا کنیم
y = 6x +5
6x + 5 = 0 در.
بیایید دو مورد را در نظر بگیریم:
1) اگر، آنگاه معادله به شکل y = x2 – 6x -5 خواهد بود. بیایید این سهمی را بسازیم و قسمتی را که در آن قرار دارد دایره کنیم.
2) اگر، پس معادله به شکل y = x2+ 6x +5 است. بیایید این سهمی را بایستیم و قسمتی از آن را که در سمت چپ نقطه قرار دارد با مختصات دایره کنیم (شکل 5).
برای این کار تابع y =x2- 6|x| را رسم می کنیم +5. ما این نمودار را در مثال 3 ساختیم. از آنجایی که تابع ما کاملاً تحت علامت مدول قرار دارد، به منظور ایجاد نموداری از تابع y = |x2 – 6|x| +5|، شما باید هر نقطه در نمودار تابع y = x2 – 6|x|+5 را با یک نقطه با همان ابسیسا، اما با مجاور (مثبت) جایگزین کنید، یعنی. بخشی از سهمی که در زیر محور Ox قرار دارد باید با یک خط متقارن با آن نسبت به محور Ox جایگزین شود (شکل 6).
شکل 6
مثال 8.
بیایید ساختن نمودارهایی از فرم = f (x) را در نظر بگیریم.
با توجه به اینکه در فرمول = f (x)، f (x) و بر اساس تعریف ماژول =
بیایید فرمول = f (x) را به شکل y = f (x)، که در آن f (x) بازنویسی کنیم.
بر این اساس، یک قانون-الگوریتم را فرموله می کنیم.
برای ساختن نمودارهایی به شکل = f (x)، کافی است یک نمودار از تابع y = f (x) برای آن x از دامنه تعریفی که f (x) برای آنها ساخته شود، و بخش حاصل از به صورت متقارن حول محور آبسیسا ترسیم کنید.
بنابراین، نمودار وابستگی = f (x) از نمودارهای دو تابع تشکیل شده است: y = f (x) و y = - f (x).
بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.
درج بیشتر تصاویر و فرمول ها از نظر فنی غیرممکن است
شکل 7
مثال 9.
بیایید ساختن نمودارهای فرم را در نظر بگیریم
با انجام تبدیل‌های شناخته شده نمودارها، ابتدا یک نمودار y = │f (x)│ و سپس مجموعه‌ای از نقاط که مختصات آن شرط را برآورده می‌کند، می‌سازیم.
الگوریتم ساخت:
1) ما یک نمودار از تابع می سازیم.
2) بخشی از نمودار را به صورت متقارن نسبت به محور Ox نمایش می دهیم.
3) نمودار حاصل به صورت متقارن نسبت به محور Ox نمایش داده می شود (شکل 8).
شکل 8
نتیجه گیری:
1. نمودار تابع y = │f (x)│ را می توان از نمودار y = f (x) به دست آورد، قسمتی را که در آن f (x) است، باقی گذاشت و قسمت دیگر را به طور متقارن نسبت به محور Ox منعکس کرد. جایی که f (x)< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. نمودار تابع y = f (│x│) با نمودار تابع y = f (x) در مجموعه مقادیر غیر منفی آرگومان منطبق است و نسبت به آن متقارن است. محور Oy روی مجموعه مقادیر منفی آرگومان.
3. نمودار تابع = f (x) را می توان با ساختن نموداری از تابع y = f (x) برای آن دسته از x از دامنه تعریف که برای آنها f (x) به دست آورد، و منعکس کردن بخش حاصل از نمودار متقارن حول محور x.
4. نمودار یک تابع را می توان با رسم نمودار تابع بدست آورد
y = f (x) و نمایش متقارن بخشی از نمودار نسبت به محور Ox. نمودار حاصل به صورت متقارن نسبت به محور Ox نمایش داده می شود.
II. رسم نمودار یک تابع درجه دوم حاوی یک متغیر در زیر علامت مدول در مایکروسافت اکسل.
مثال 1.
بیایید یک نمودار از تابع y = |x2 – 6x +5| بسازیم.
مثال 2.
بیایید یک نمودار از تابع y = x2 – 6|x| بسازیم +5.
مثال 3.
بیایید یک نمودار از تابع y = |x2 – 6x| بسازیم +5.
مثال 4.
بیایید یک نمودار از تابع y = x2 - |6x+5| بسازیم.
مثال 5.
بیایید تابع y = |x2 – 6|x| را رسم کنیم +5|.
مثال 6.
بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.
مثال 7.
بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.
نتیجه
دانش تنها زمانی دانش است که از طریق تلاش افکار فرد به دست آید، نه از طریق حافظه.
L. N. تولستوی.
ما معتقدیم که در این کار پژوهشی هدف محقق شد، زیرا تمام وظایف حل شد.
ما ساخت یک نمودار از یک تابع درجه دوم حاوی یک متغیر را تحت علامت قدر مطلق بررسی کردیم و تغییرات در نمودار تابع درجه دوم را بسته به مکان علامت قدر مطلق بررسی کردیم. ما بر تکنیک های ساخت نمودارهای توابع به شکل تسلط داریم: y = f (│x│)، y = │f (x)│، y = │f (│x │)│،
برای نگارش این مقاله پژوهشی
1) ادبیات مربوط به خواص قدر مطلق و تابع درجه دوم مورد مطالعه قرار گرفت.
2) هنگام ساخت نمودار یک تابع درجه دوم که در آن علامت مدول شامل متغیرهای مختلف است، تغییرات مورد مطالعه و تجزیه و تحلیل قرار گرفت.
3) نمودارهای معادلات با استفاده از برنامه های نموداری Graph Master v 1.1، Microsoft Excel و دیگران ساخته شد.
هنگام نوشتن کار از ادبیات آموزشی، منابع اینترنتی استفاده کردیم و در برنامه هایی مانند Microsoft Word، Paint، Formula Editor، Microsoft Excel کار کردیم.
موضوع تحقیق بسیار چند وجهی بود و به مهارت های کاملاً جدیدی هم در مرحله تحقیق و هم در هنگام نوشتن و طراحی کار نیاز داشت.
این تجربه عملی در کار با برنامه‌هایی برای ساختن نمودارها، برای نوشتن فرمول‌های ریاضی و همچنین مهارت‌های پژوهشی به دست آمده توسط ما در فعالیت‌های آموزشی بعدی، از جمله هنگام مطالعه سایر توابع و معادلات با ماژول، هنگام ساخت نمودارهای این توابع استفاده خواهد شد. .
فهرست ادبیات استفاده شده
1-ریاضیات جبر. کارکرد. تحلیل داده ها. پایه نهم: م.: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات / G.V. Dorofeev، S.B. Suvorova، E.A. Bunimovich، L.V. Kuznetsova، S.S. Minaeva؛ اد. G. V. Dorofeeva. – ویرایش پنجم، کلیشه. – م.: بوستارد، 2004. – 352 ص: بیمار.
2. درس ریاضیات عالی برای آموزشکده های فنی. I. F. Suvorov، مسکو - 1967.
3. ریاضیات. جبر و توابع ابتدایی. M. I. آبراموویچ، M. T. Starodubtsev.
4. A.G. کتاب موردکوویچ برای معلمان. گفتگو با معلمان. مسکو - "اونیکس قرن 21"، "صلح و آموزش"، 2005
5-درس انتخابی با ماژول آشنا شوید! جبر. پایه های 8-9./ Comp. Baukova T.T. - Volgograd: ITD "Corypheus". - 96 p.
منابع اینترنتی
http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
رسم نمودارهای توابع حاوی علامت مدول.
امیدوارم پاراگراف 23 را به دقت مطالعه کرده باشید و متوجه شده باشید که چگونه تابع view با تابع تفاوت دارد. حالا بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که باید در ساخت نمودار به شما کمک کند.
مثال 1. یک تابع را رسم کنید
ما تابعی از فرم داریم که در آن .
1. ابتدا، بیایید یک نمودار از تابع زیر مدولار، یعنی تابع بسازیم. برای این کار قسمت صحیح این کسر را انتخاب کنید. یادآوری می کنم که این کار به دو صورت انجام می شود: با تقسیم صورت بر مخرج "در یک ستون" یا با نوشتن صورت به طوری که حاوی عبارتی باشد که مضربی از مخرج است. بیایید کل قسمت را با استفاده از روش دوم انتخاب کنیم.
بنابراین، زیر عملکرد مدولاربه نظر می رسد 
. این بدان معنی است که نمودار آن هذلولی از شکل است که 1 واحد به راست و 3 واحد به بالا منتقل شده است.
بیایید این نمودار را بسازیم.
2. برای به دست آوردن نمودار تابع مورد نظر، لازم است قسمت نمودار ساخته شده تابع بالای محور Ox را بدون تغییر رها کنیم و قسمت نمودار زیر محور Ox را به صورت متقارن در نیم صفحه بالایی نمایش دهیم. بیایید این تحولات را انجام دهیم.
جدول زمانی ایجاد شده است.
آبسیسا نقطه تقاطع نمودار با محور Ox را می توان با حل معادله محاسبه کرد.
y = 0، یعنی ما آن را دریافت می کنیم.
اکنون با استفاده از نمودار می‌توانید تمام ویژگی‌های یک تابع را تعیین کنید، کوچکترین و بزرگ‌ترین مقادیر تابع را در یک بازه پیدا کنید و مسائل را با یک پارامتر حل کنید.
به عنوان مثال می توانید به سوال زیر پاسخ دهید. "در چه مقادیری از پارامتر آآیا معادله دقیقاً یک راه حل دارد؟
بیایید خطوط مستقیم بکشیم y =آدر مقادیر پارامترهای مختلف آ. (خطوط مستقیم قرمز نازک در تصویر زیر)
واضح است که اگر آ<0 ، سپس نمودار تابع ساخته شده و خط مستقیم دارای نقاط مشترک نیستند، یعنی معادله یک راه حل ندارد.
اگر 0< آ<3 یا الف> 3، سپس مستقیم y =آو نمودار ساخته شده دارای دو نقطه مشترک است، یعنی معادله دو راه حل دارد.
اگر a = 0یا a = 3، پس معادله دقیقاً یک راه حل دارد، زیرا برای این مقادیر آخط مستقیم و نمودار تابع دقیقاً یک نقطه مشترک دارند.
مثال 2.تابع را رسم کنید
راه حل
بیایید ابتدا یک نمودار از تابع برای مقادیر غیر منفی x بسازیم. If , then and then تابع ما شکل می گیرد و تابع مورد نظر تابعی از فرم است .
نمودار تابع شاخه ای از سهمی است که به سمت چپ هدایت می شود و 4 واحد جابجا شده است. درست. (چون می توانیم تصور کنیم 
).
بیایید این تابع را رسم کنیم
و تنها قسمتی از آن را که در سمت راست محور Oy قرار دارد در نظر خواهیم گرفت. بقیه رو پاک میکنیم
لطفاً توجه داشته باشید که ما مقدار ارتین نقطه گراف را که روی محور رده قرار دارد محاسبه کردیم. برای انجام این کار، کافی است مقدار تابع را در x = 0 محاسبه کنیم. در مورد ما، at x = 0بدست آورد y=2.
حالا بیایید تابع را در رسم کنیم ایکس< 0 . برای انجام این کار، یک خط متقارن با خطی که قبلا ساخته ایم نسبت به محور Oy می سازیم.
بدین ترتیب تابع مورد نظر را رسم کرده ایم.
مثال 3. یک تابع را رسم کنید
این دیگر کار آسانی نیست. می بینیم که هر دو نوع تابع با یک ماژول وجود دارد: و، و. ما به ترتیب می سازیم:
ابتدا بیایید یک نمودار از تابع بدون همه ماژول ها بسازیم: سپس یک ماژول به هر آرگومان اضافه می کنیم. تابعی از فرم را بدست می آوریم، یعنی. برای ساختن چنین نموداری، باید تقارن را در مورد محور Oy اعمال کنید. بیایید یک ماژول خارجی نیز اضافه کنیم. در نهایت تابع مورد نظر را بدست می آوریم. از آنجایی که این تابع از تابع قبلی با استفاده از یک ماژول خارجی به دست آمده است، ما تابعی از فرم داریم، به این معنی که لازم است تقارن را نسبت به Ox اعمال کنیم.
حالا جزئیات بیشتر
این یک تابع خطی کسری است؛ برای ساخت یک نمودار باید یک قسمت کامل را انتخاب کنید، این همان کاری است که ما انجام خواهیم داد.
این بدان معناست که نمودار این تابع یک هذلولی از شکل است که 2 به راست و 4 به پایین جابجا شده است.
مختصات نقاط تقاطع را با محورهای مختصات محاسبه می کنیم.
y = 0 در x = 0، به این معنی که نمودار از مبدا عبور می کند.
2. حالا بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.
برای این کار در نمودار اصلی ابتدا قسمتی از آن را که در سمت چپ محور Oy قرار دارد پاک کنید:
و سپس آن را به صورت متقارن حول محور Oy نمایش دهید. لطفا توجه داشته باشید که مجانب نیز به صورت متقارن نمایش داده می شوند!
حال بیایید نمودار نهایی تابع را بسازیم: . برای انجام این کار، قسمتی از نمودار قبلی که بالای محور Ox قرار دارد را بدون تغییر رها می کنیم و آنچه را که زیر محور Ox قرار دارد را به صورت متقارن در نیمه صفحه بالایی نمایش می دهیم. باز هم فراموش نکنید که مجانب به همراه نمودار نمایش داده می شوند!
جدول زمانی ایجاد شده است.
مثال 4: با استفاده از تبدیل های مختلف نمودار، تابع را رسم کنید 
چیزی کاملاً پیچیده و پیچیده! تعداد زیادی ماژول! ولی X-square مدول نداره!!! ساختنش غیر ممکنه!
یک دانش آموز متوسط کلاس هشتم که با تکنیک ترسیم نمودارها آشنا نیست ممکن است اینگونه یا چیزی شبیه به این فکر کند.
اما ما نه! زیرا ما روش های مختلف برای تبدیل نمودارهای تابع و همچنین ویژگی های مختلف ماژول را می دانیم.
بنابراین، بیایید به ترتیب شروع کنیم.
اولین مشکل عدم وجود مدول برای X مربع است. مشکلی نیست. ما آن را میدانیم. خوب. این بدان معناست که تابع ما می تواند به صورت نوشته شود 
. این در حال حاضر بهتر است زیرا به نظر می رسد.
به علاوه. تابع دارای یک ماژول خارجی است، بنابراین به نظر می رسد که باید از قوانین برای ترسیم نمودار یک تابع استفاده کنید. بیایید ببینیم که یک عبارت زیر مدولار چیست. این تابعی از فرم است 
. اگر 2- نبود، تابع دوباره حاوی یک ماژول خارجی بود و ما می دانیم که چگونه تابع را نمودار کنیم 
با استفاده از تقارن آره اما اگر آن را بسازیم، آنگاه با جابجایی آن 2 واحد به پایین، به چیزی که دنبالش هستیم می رسیم!
بنابراین، چیزی در حال ظهور است. بیایید سعی کنیم یک الگوریتم برای ساخت یک نمودار ایجاد کنیم.
1. 
5.
و در نهایت . اجازه دهید هر چیزی را که در زیر محور Ox قرار دارد به صورت متقارن در نیمه صفحه بالایی ترسیم کنیم.
هورا! برنامه آماده است!
موفق باشید در کار دشوار نمودار!
علامت مدول شاید یکی از جالب ترین پدیده ها در ریاضیات باشد. در این راستا، بسیاری از دانش آموزان در مورد چگونگی ساخت نمودارهای توابع حاوی یک ماژول سؤال دارند. بیایید با جزئیات به این موضوع نگاه کنیم.
1. رسم نمودارهای توابع حاوی یک ماژول
مثال 1.
نمودار تابع y = x 2 – 8|x| + 12.
راه حل.
بیایید برابری تابع را تعیین کنیم. مقدار y(-x) با مقدار y(x) یکسان است، بنابراین این تابع زوج است. سپس نمودار آن در مورد محور Oy متقارن است. تابع y = x 2 – 8x + 12 را برای x ≥ 0 رسم می کنیم و نمودار را با توجه به Oy برای x منفی به صورت متقارن نمایش می دهیم (شکل 1).
مثال 2.
نمودار زیر شبیه y = |x 2 – 8x + 12| است.
- محدوده مقادیر تابع پیشنهادی چقدر است؟ (y ≥ 0).
- زمان بندی چگونه قرار می گیرد؟ (بالا یا لمس محور x).
این به این معنی است که نمودار تابع به صورت زیر به دست می آید: نمودار تابع y = x 2 – 8x + 12 را رسم کنید، بخشی از نمودار را که بالای محور Ox قرار دارد بدون تغییر رها کنید و بخشی از نمودار را که قرار دارد، بدون تغییر باقی بمانید. در زیر محور آبسیسا به طور متقارن نسبت به محور Ox نمایش داده می شود (شکل 2).
مثال 3.
برای رسم تابع y = |x 2 – 8|x| + 12| ترکیبی از تحولات را انجام دهید:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
پاسخ: شکل 3.
تبدیل های در نظر گرفته شده برای همه انواع توابع معتبر هستند. بیایید یک جدول درست کنیم:
2. رسم نمودارهای توابع حاوی "ماژول های تودرتو" در فرمول
قبلاً با مثال هایی از یک تابع درجه دوم حاوی مدول و همچنین با قوانین کلی ساخت نمودارهای توابع به شکل y = f(|x|)، y = |f(x)| و y = |f(|x|)|. این تبدیل ها هنگام در نظر گرفتن مثال زیر به ما کمک خواهند کرد.
مثال 4.
تابعی از فرم y = |2 – |1 – |x||| را در نظر بگیرید. عبارت تابع حاوی "ماژول های تودرتو" است.
راه حل.
از روش تبدیل های هندسی استفاده کنیم.
بیایید زنجیره ای از تبدیل های متوالی را بنویسیم و یک نقاشی مربوطه را ایجاد کنیم (شکل 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
بیایید مواردی را در نظر بگیریم که تقارن و تبدیل‌های ترجمه موازی تکنیک اصلی در ساختن نمودارها نیستند.
مثال 5.
نموداری از تابعی به شکل y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 بسازید.
راه حل.
قبل از ساخت یک نمودار، فرمولی را که تابع را تعریف می کند، تبدیل می کنیم و تخصیص تحلیلی دیگری از تابع به دست می آوریم (شکل 5). 
y = (x 2 - 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
بیایید ماژول را در مخرج گسترش دهیم:
برای x > -2، y = x – 2 و برای x< -2, y = -(x – 2).
دامنه D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
محدوده مقادیر E(y) = (-4؛ +∞).
نقاطی که نمودار در آنها محور مختصات را قطع می کند: (0; -2) و (2; 0).
تابع برای همه x از بازه (-∞؛ -2) کاهش می یابد، برای x از -2 به +∞ افزایش می یابد.
در اینجا باید علامت مدول را آشکار می‌کردیم و تابع را برای هر مورد ترسیم می‌کردیم.
مثال 6.
تابع y = |x + 1| را در نظر بگیرید – |x – 2|.
راه حل.
با گسترش علامت یک ماژول، لازم است هر ترکیب ممکنی از علائم عبارات زیر مدولار را در نظر بگیریم.
چهار مورد ممکن وجود دارد:
(x + 1 - x + 2 = 3، برای x ≥ -1 و x ≥ 2؛
(-x - 1 + x - 2 = -3، در x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1، برای x ≥ -1 و x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1، در x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
سپس تابع اصلی به صورت زیر خواهد بود:
(3، برای x ≥ 2;
y = (-3، در x< -1;
(2x - 1، با -1 ≤ x< 2.
ما یک تابع به صورت تکه ای به دست آوردیم که نمودار آن در شکل 6 نشان داده شده است.
3. الگوریتم ساخت نمودار توابع فرم
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + تبر + ب.
در مثال قبلی، آشکار کردن علائم مدول بسیار آسان بود. اگر مجموع ماژول های بیشتری وجود داشته باشد، در نظر گرفتن همه ترکیب های ممکن از علائم عبارات زیر مدولار مشکل ساز است. در این مورد چگونه می توان نموداری از تابع ساخت؟
توجه داشته باشید که نمودار یک خط شکسته است، با رئوس در نقاط دارای ابسیساهای -1 و 2. در x = -1 و x = 2، عبارات زیر مدولار برابر با صفر هستند. در عمل، ما به قانون ساخت چنین نمودارهایی نزدیک شده ایم:
نمودار یک تابع به شکل y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b یک خط شکسته با پیوندهای افراطی بی نهایت است. برای ساختن چنین خط شکسته ای کافی است که تمام رئوس آن را بدانیم (آبسیساهای رئوس، صفر عبارات زیر مدولار هستند) و یک نقطه کنترل در پیوندهای بینهایت چپ و راست. 
وظیفه.
تابع y = |x| را رسم کنید + |x – 1| + |x + 1| و کوچکترین مقدار آن را پیدا کنید.
راه حل:
صفر عبارات زیر مدولار: 0; -1؛ 1. رئوس خط شکسته (0; 2); (-13)؛ (13). نقطه کنترل در سمت راست (2؛ 6)، در سمت چپ (-2؛ 6). ما یک نمودار می سازیم (شکل 7). min f(x) = 2.
هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک تابع را با مدول رسم کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.
نمونه های رایج با ماژول ها هستند ماژول نوع معادله در یک ماژول.مدول دوگانه را می توان به عنوان فرمول نوشت
||a*x-b|-c|=k*x+m.
اگر k=0 باشد، حل چنین معادله ای با مدول آسان تر است. گسترش کلاسیک ماژول ها در چنین شرایطی دست و پا گیر است و تأثیر مطلوب (صرفه جویی در زمان) را در آزمون ها و آزمون ها نمی دهد. روش گرافیکی به شما امکان می دهد توابع مدولار بسازید و تعداد ریشه های معادله را در مدت زمان کوتاهی پیدا کنید.
الگوریتم ساخت یک ماژول دوتایی، سه گانه بسیار ساده است و بسیاری از مثال های ارائه شده در زیر برای بسیاری جذاب خواهد بود. برای تقویت روش، مثال هایی برای محاسبات مستقل در زیر آورده شده است.
مثال 1. حل معادله مدول ||x-3|-5|=3.
راه حل: معادله را با ماژول ها به روش کلاسیک و به صورت گرافیکی حل می کنیم. بیایید صفر ماژول داخلی را پیدا کنیم
x-3=0 x=3.
در نقطه x=3 معادله مدول بر 2 تقسیم می شود. علاوه بر این، صفر مدول داخلی نقطه تقارن نمودار مدول است و اگر سمت راست معادله برابر با یک ثابت باشد، ریشه ها در همان فاصله از این نقطه قرار دارند. یعنی می توانید یک معادله از دو را حل کنید و ریشه های باقیمانده را از این شرط محاسبه کنید.
اجازه دهید ماژول داخلی را برای x>3 گسترش دهیم
|x-3-5|=3; |x-8|=3 .
هنگام گسترش ماژول، معادله حاصل بر 2 تقسیم می شود
تحت عملکرد مدولار > 0
x-8=3; x=3+8=11;
و برای ارزش ها< 0
получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
هر دو ریشه معادله شرط x>3 را برآورده می کنند، یعنی راه حل هستند.
با در نظر گرفتن قاعده تقارن حل معادلات با ماژول های نوشته شده در بالا، ما مجبور نیستیم به دنبال ریشه های معادله برای x باشیم.< 3,
которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3،
و آنها را محاسبه کنید.
مقدار در حدود x=3 برای x=11 متقارن است
x=3-(11-3)=6-11=-5.
با استفاده از همین فرمول راه حل دوم را پیدا می کنیم
x=3-(5-3)=6-5=1.
معادله ماژول داده شده در یک ماژول دارای 4 راه حل است
x=-5; x=1; x=5; x=11.
حالا بیایید راه حل هایی پیدا کنیم معادلات با ماژول ها به روش گرافیکی. از ماژول داخلی |x-3| نتیجه این است که نمودار مدول استاندارد تابع در امتداد محور Ox به سمت راست 3 جابجا شده است.
علاوه بر این - تفریق 5 به این معنی است که نمودار باید 5 سلول در امتداد محور Oy کاهش یابد. برای به دست آوردن ماژول تابع به دست آمده، ما به طور متقارن هر چیزی را که در زیر محور Ox قرار دارد منعکس می کنیم.
و در نهایت یک خط مستقیم y=3 به موازات محور Ox می سازیم. بهتر است به صورت گرافیکی از یک نوت بوک شطرنجی برای محاسبه معادلات با ماژول ها استفاده کنید، زیرا ساخت نمودار در آن راحت است.
شکل نهایی نمودار ماژول به نظر می رسد
نقاط تقاطع مدول تابع و خط y=3 جواب های مورد نیاز x=-5;x=1; x=5;x=11.
مزیت روش گرافیکی نسبت به گسترش ماژول هابرای معادلات سادهبه طور مشخص. با این حال، زمانی که سمت راست به شکل k*x+m باشد، به‌عنوان یک خط مستقیم و متمایل به محور آبسیسا، از نظر گرافیکی ناخوشایند است.
ما در اینجا چنین معادلاتی را در نظر نخواهیم گرفت.
مثال 2. معادله ||2x-3|-2|=2 چند ریشه دارد؟
راه حل: سمت راستبرابر با یک ثابت است، بنابراین با استفاده از روش گرافیکی می توان راه حل را سریعتر یافت. ماژول داخلی ناپدید می شود
|2x-3|=0 x=3/2=1.5
در نقطه x=1.5.
یعنی نمودار تابع y=|2x| را به این نقطه منتقل می کنیم. برای ساختن آن، چندین نقطه را جایگزین کنید و خطوطی مستقیم از میان آنها بکشید. از تابع به دست آمده 2 را کم می کنیم، یعنی نمودار را دو تا پایین می آوریم و برای بدست آوردن ماژول، انتقال می دهیم. مقادیر منفی(y< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
می بینیم که معادله داده شده سه راه حل دارد.
مثال 3. معادله با مدول |||x+1|-2|-5|=a در کدام مقدار از پارامتر a 5 راه حل دارد؟
راه حل: معادله ای با سه ماژول تو در تو داریم. بیایید پاسخ را با تحلیل گرافیکی. بیایید مانند همیشه از ماژول داخلی شروع کنیم. به صفر می رسد
|x+1|=0 x=-1
در نقطه x=-1.
ما مدول تابع را در این نقطه رسم می کنیم
اجازه دهید دوباره نمودار مدول تابع را 5 به پایین تغییر دهیم و مقادیر منفی تابع را به صورت متقارن انتقال دهیم. در نتیجه بدست می آوریم سمت چپمعادلات با مدول
y=|||x+1|-2|-5| .
پارامتر a مربوط به مقدار یک خط موازی است که باید نمودار مدول تابع را در 5 نقطه قطع کند. ابتدا چنین خط مستقیمی را رسم می کنیم، سپس به دنبال نقطه تلاقی آن با محور Oy می گردیم.
این یک خط مستقیم y=3 است، یعنی پارامتر مورد نظر a=3 است.
روش گسترش ماژول این وظیفهامکان تصمیم گیری وجود داشت کل درس، اگر نه بیشتر در اینجا همه چیز به چند نمودار خلاصه می شود.
پاسخ: a=3.
مثال 4. معادله |||3x-3|-2|-7|=x+5 چند راه حل دارد؟
راه حل: اجازه دهید ماژول داخلی معادله را گسترش دهیم
|3x-3|=0<=>x=3/3=1.
یک نمودار از تابع y=|3x-3| می سازیم. برای انجام این کار، برای یک سلول تغییر در x از نقطه پیدا شده، 3 سلول در y اضافه کنید. ریشه های معادله را در یک دفترچه مربع بسازید و من به شما خواهم گفت که چگونه می توان این کار را در محیط Maple انجام داد.
Restart;with(plots): همه متغیرها را صفر کنید و ماژول را برای کار با گرافیک وصل کنید.
> نمودار (abs(3*x-3)،x=-2..4):
سپس سلول های نمودار 2 را پایین می آوریم و مقادیر منفی را به طور متقارن به محور Ox منتقل می کنیم (y<0)
.
نموداری از دو ماژول داخلی بدست می آوریم.گراف حاصل را دو تا کم می کنیم و به صورت متقارن نمایش می دهیم. یک نمودار می گیریم
y=||3x-3|-2|.
در بسته ریاضی افرااین معادل نوشتن یک ماژول دیگر است
> نمودار(abs(abs(3*x-3)-2)،x=-2..4):
دوباره نمودار را هفت واحد به پایین منتقل می کنیم و به صورت متقارن انتقال می دهیم. نمودار تابع را دریافت می کنیم
y=|||3x-3|-2|-7|
در Maple این معادل نوار کد زیر است
> نمودار(abs(abs(3*x-3)-2)-7)،x=-5..7):
با استفاده از دو نقطه یک خط مستقیم y=x+5 می سازیم. اولی تقاطع خط با محور x است