رونوشت
1 کنفرانس علمی و عملی منطقه ای کارهای آموزشی و پژوهشی دانش آموزان پایه های 6-11 "مسائل کاربردی و اساسی ریاضیات" جنبه های روش شناختی مطالعه ریاضیات ساخت نمودارهای توابع حاوی ماژول Gabova Angela Yuryevna، کلاس دهم، MOBU "Gymnasium 3" "کودیمکار، پیکولوا نادژدا ایوانونا، معلم ریاضیات موسسه آموزشی شهرداری "Gymnasium 3"، Kudymkar Perm، 2016
2 مطالب : مقدمه ... 3 ص I. قسمت اصلی ... 6 ص 1.1 مرجع تاریخی.. 6 صفحه 2. تعاریف اساسی و خصوصیات توابع صفحه 2.1 تابع درجه دوم..7 صفحه 2.2 تابع خطی...8 صفحه 2.3 تابع کسری - گویا 8 صفحه 3. الگوریتم های ساخت نمودار با مدول 9 صفحه 3.1 تعریف ماژول.. 9 صفحه 3.2 الگوریتم ساخت نمودار تابع خطیبا ماژول ... 9 ص 3.3 ساختن نمودارهای توابع حاوی "ماژول های تودرتو" در فرمول. ..13 p 3.5 الگوریتم برای ساختن نمودار یک تابع درجه دوم با مدول 3.6. 15pp 4. تغییرات در نمودار یک تابع درجه دوم بسته به محل علامت قدر مطلق..17p. II. نتیجه... 26 ص III. فهرست مآخذ و منابع ... 27 ص IV. پیوست .... 28 صفحه. 2
3 مقدمه ساخت نمودار توابع یکی از جالب ترین مباحث در ریاضیات مدرسه است. بزرگترین ریاضیدان زمان ما، اسرائیل مویزویچ گلفاند، می نویسد: «فرایند ساختن نمودارها راهی برای تبدیل فرمول ها و توصیف ها به تصاویر هندسی است. این نمودار وسیله ای برای دیدن فرمول ها و توابع و دیدن چگونگی تغییر آن توابع است. به عنوان مثال، اگر y =x 2 نوشته شود، بلافاصله یک سهمی را می بینید. اگر y = x 2-4 باشد، سهمی را می بینید که چهار واحد پایین آمده است. اگر y = -(x 2 4)، آنگاه سهمی قبلی را به سمت پایین می بینید. این توانایی برای مشاهده فوری فرمول و تفسیر هندسی آن نه تنها برای مطالعه ریاضی، بلکه برای سایر موضوعات نیز مهم است. این مهارتی است که تا آخر عمر با شما می ماند، مانند دوچرخه سواری، تایپ کردن، یا رانندگی با ماشین. مبانی حل معادلات با ماژول ها در پایه های ششم تا هفتم به دست آمد. من این موضوع خاص را انتخاب کردم زیرا معتقدم نیاز به تحقیقات عمیق تر و دقیق تری دارد. من می خواهم اطلاعات بیشتری در مورد مدول اعداد، روش های مختلف ساخت نمودارهای حاوی علامت قدر مطلق کسب کنم. هنگامی که علامت مدول در معادلات "استاندارد" خطوط، سهمی ها و هذلولی ها گنجانده شود، نمودارهای آنها غیرعادی و حتی زیبا می شوند. برای یادگیری نحوه ساخت چنین نمودارهایی، باید بر تکنیک های ساخت ارقام اساسی تسلط داشته باشید و همچنین تعریف مدول یک عدد را کاملاً بدانید و درک کنید. در درس ریاضی مدرسه، نمودارها با ماژول به اندازه کافی عمیق مورد بحث قرار نمی گیرند، به همین دلیل من می خواستم دانش خود را در این موضوع گسترش دهم و تحقیقات خود را انجام دهم. بدون دانستن تعریف مدول، ساختن حتی ساده ترین نمودار حاوی مقدار مطلق غیرممکن است. ویژگی مشخصهنمودارهای توابع حاوی عبارات با علامت مدول، 3
4 وجود پیچ خوردگی در نقاطی است که در آن عبارت زیر علامت مدول تغییر علامت می دهد. هدف کار: در نظر گرفتن ساختن نموداری از توابع خطی، درجه دوم و کسری گویا حاوی یک متغیر تحت علامت مدول. اهداف: 1) ادبیات مربوط به خواص قدر مطلق توابع گویا خطی، درجه دوم و کسری را مطالعه کنید. 2) تغییرات نمودارهای تابع را بسته به محل علامت قدر مطلق بررسی کنید. 3) ترسیم معادلات را بیاموزید. موضوع مطالعه: نمودارهای توابع خطی، درجه دوم و کسری گویا. موضوع تحقیق: تغییرات نمودار توابع خطی، درجه دوم و کسری با توجه به مکان علامت قدر مطلق. اهمیت عملی کار من در این است: 1) استفاده از دانش به دست آمده در این موضوع، و همچنین تعمیق آن و به کار بردن آن در سایر توابع و معادلات. 2) در استفاده از مهارت ها کار تحقیقاتیدر آینده فعالیت های آموزشی. ارتباط: وظایف نموداری به طور سنتی یکی از دشوارترین موضوعات در ریاضیات است. ما فارغ التحصیلان با مشکل گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی و آزمون یکپارچه دولتی مواجه هستیم. مسئله تحقیق: ساخت نمودارهایی از توابع حاوی علامت مدول از قسمت دوم GIA. فرضیه تحقیق: کاربرد توسعه یافته بر اساس روش های رایجساختن نمودارهای توابع حاوی علامت مدول، روش هایی برای حل وظایف بخش دوم GIA به دانش آموزان اجازه می دهد تا این وظایف را حل کنند.
5 بر اساس آگاهانه، منطقی ترین روش راه حل را انتخاب کنید، اعمال کنید روش های مختلفتصمیم بگیرید و امتحان دولتی را با موفقیت بیشتری بگذرانید. روش های تحقیق مورد استفاده در کار: 1. تجزیه و تحلیل ادبیات ریاضی و منابع اینترنتی در این موضوع. 2. بازتولید تولید مثل مواد مورد مطالعه. 3. فعالیت های شناختی و جستجویی. 4. تجزیه و تحلیل و مقایسه داده ها در جستجوی راه حل برای مشکلات. 5. بیان فرضیه ها و تأیید آنها. 6. مقایسه و تعمیم حقایق ریاضی. 7. تجزیه و تحلیل نتایج به دست آمده. هنگام نگارش این اثر، از منابع زیر استفاده شد: منابع اینترنتی، آزمون های OGE، ادبیات ریاضی. 5
6 I. بخش اصلی 1.1 پیشینه تاریخی. در نیمه اول قرن هفدهم، ایده تابع به عنوان وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر شروع به ظهور کرد. بنابراین، ریاضیدانان فرانسوی پیر فرما () و رنه دکارت () تابعی را به عنوان وابستگی مختصات یک نقطه به یک منحنی به آبسیسه آن تصور کردند. و دانشمند انگلیسی اسحاق نیوتن () تابعی را به عنوان مختصات یک نقطه متحرک که بسته به زمان تغییر می کند درک کرد. اصطلاح "تابع" (از تابع لاتین اجرای تابع، انجام) برای اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید لایبنیتز معرفی شد. او یک تابع را با یک تصویر هندسی (نمودار یک تابع) مرتبط کرد. متعاقبا، یوهان برنولی، ریاضیدان سوئیسی و یکی از اعضای آکادمی علوم سن پترزبورگ، ریاضیدان معروف قرن هجدهم، لئونارد اویلر()، این تابع را به عنوان یک عبارت تحلیلی در نظر گرفتند. اویلر همچنین درک کلی از یک تابع به عنوان وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر دارد. کلمه "module" از کلمه لاتین "modulus" گرفته شده است که به معنای "اندازه گیری" است. این یک کلمه چند معنایی (همنام) است که معانی زیادی دارد و نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری، فیزیک، فناوری، برنامه نویسی و سایر علوم دقیق نیز استفاده می شود. در معماری، این واحد اولیه اندازه گیری است که برای یک ساختار معماری معین ایجاد می شود و برای بیان نسبت های متعدد از عناصر تشکیل دهنده آن استفاده می شود. در فناوری، این اصطلاحی است که در زمینه های مختلف فناوری استفاده می شود که معنای جهانی ندارد و برای تعیین ضرایب و کمیت های مختلف به عنوان مثال مدول درگیری، مدول الاستیک و غیره کاربرد دارد. 6
7 مدول توده ای (در فیزیک) نسبت تنش معمولی در یک ماده به ازدیاد طول نسبی است. 2. تعاریف و ویژگی های اساسی توابع تابع یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. تابع وابستگی متغیر y به متغیر x است به طوری که هر مقدار از متغیر x با یک مقدار واحد از متغیر y مطابقت دارد. روش های تعیین یک تابع: 1) روش تحلیلی (تابع با استفاده از آن مشخص می شود. فرمول ریاضی) 2) روش جدولی (عملکرد با استفاده از جدول مشخص می شود). 3) روش توصیفی (عملکرد با توصیف شفاهی مشخص می شود). 4) روش گرافیکی (تابع با استفاده از نمودار مشخص می شود). نمودار یک تابع مجموعه ای از تمام نقاط صفحه مختصات است که ابسیساهای آن برابر با مقدار آرگومان و مختصات آن برابر با مقادیر مربوط به تابع است. 2.1 تابع درجه دوم تابعی که با فرمول y = ax 2 + در + c تعریف می شود، که در آن x و y متغیر هستند و پارامترهای a، b و c هر عدد واقعی هستند و a = 0، درجه دوم نامیده می شود. نمودار تابع y=ax 2 +in+c یک سهمی است. محور تقارن سهمی y=ax 2 +in+c یک خط مستقیم است، برای a>0 «شاخه‌های» سهمی به سمت بالا هدایت می‌شوند.<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (برای توابع یک متغیر). ویژگی اصلی توابع خطی: افزایش تابع متناسب با افزایش آرگومان است. یعنی تابع تعمیم تناسب مستقیم است. نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است که نام آن از آنجا آمده است. این مربوط به یک تابع واقعی از یک متغیر واقعی است. 1) هنگامی که خط مستقیم یک زاویه حاد با جهت مثبت محور آبسیسا تشکیل می دهد. 2) هنگامی که خط مستقیم با جهت مثبت محور x یک زاویه منفرد تشکیل می دهد. 3) نشانگر ترتیب نقطه تلاقی خط با محور ارتین است. 4) هنگامی که خط مستقیم از مبدأ عبور می کند. , 2.3 تابع کسری - گویا کسری است که صورت و مخرج آن چند جمله ای هستند. این شکل دارای چند جمله ای در هر تعداد متغیر است. یک مورد خاص، توابع گویا یک متغیر است:، چند جمله‌ای‌های کجا و هستند. 1) هر عبارتی که بتوان از متغیرها با استفاده از چهار عملیات حسابی به دست آورد، یک تابع گویا است. 8
9 2) مجموعه توابع گویا تحت عملیات حسابی و عملیات ترکیب بسته می شود. 3) هر تابع گویا را می توان به صورت مجموع کسرهای ساده نشان داد - این در یکپارچگی تحلیلی استفاده می شود. , 3. الگوریتم های ساخت نمودار با مدول 3.1 تعریف مدول مدول یک عدد واقعی a خود عدد a است، اگر غیر منفی است و عدد مقابل a اگر a منفی باشد. a = 3.2 الگوریتم ساخت نمودار یک تابع خطی با مدول برای ساخت نمودار توابع y = x باید بدانید که برای x مثبت x = x داریم. این بدان معنی است که برای مقادیر مثبت آرگومان، نمودار y=x با نمودار y=x منطبق است، یعنی این قسمت از نمودار پرتویی است که از مبدأ با زاویه 45 درجه نسبت به محور آبسیسا خارج می شود. . در x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 برای ساختن، نقاط (2-; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) را می گیریم. حالا بیایید یک نمودار y= x-1 بسازیم اگر A یک نقطه روی نمودار y= x با مختصات (a; a) باشد، آنگاه نقطه روی نمودار y= x-1 با همان مقدار مختصات Y خواهد بود. نقطه A1 (a+1; a) باشد. این نقطه از نمودار دوم را می توان از نقطه A(a; a) از نمودار اول با جابجایی موازی با محور Ox به سمت راست به دست آورد. این بدان معنی است که کل نمودار تابع y= x-1 از نمودار تابع y= x با جابجایی موازی محور Ox به سمت راست با 1 به دست می آید. بیایید نمودارها را بسازیم: y= x-1 برای ساخت ، امتیازات (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) را بگیرید. 3.3 ساختن نمودارهای توابع حاوی "ماژول های تودرتو" در فرمول بیایید الگوریتم ساخت را با استفاده از یک مثال خاص در نظر بگیریم نمودار یک تابع بسازیم: 10
11 y=i-2-ix+5ii 1. یک نمودار از تابع بسازید. 2. نمودار نیم صفحه پایین را به صورت متقارن نسبت به محور OX نمایش می دهیم و نمودار تابع را بدست می آوریم. یازده
12 3. نمودار تابع را به صورت متقارن نسبت به محور OX به سمت پایین نمایش می دهیم و نمودار تابع را بدست می آوریم. 4. نمودار تابع را به صورت متقارن نسبت به محور OX به سمت پایین نمایش می دهیم و نمودار تابع 5 را به دست می آوریم. نمودار تابع را نسبت به محور OX نمایش می دهیم و یک نمودار بدست می آوریم. 12
13 6. در نتیجه، نمودار تابع مانند 3.4 است. الگوریتم ساخت نمودارهای توابع به شکل y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. در مثال قبلی، آشکار کردن علائم مدول بسیار آسان بود. اگر مجموع ماژول های بیشتری وجود داشته باشد، در نظر گرفتن همه ترکیب های ممکن از علائم عبارات زیر مدولار مشکل ساز است. در این مورد چگونه می توان نموداری از تابع ساخت؟ توجه داشته باشید که نمودار یک خط شکسته است، با رئوس در نقاط دارای ابسیساهای -1 و 2. در x = -1 و x = 2، عبارات زیر مدولار برابر با صفر هستند. در عمل، ما به قانون ساخت چنین نمودارهایی نزدیک شده ایم: نمودار تابعی به شکل y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b یک خط شکسته با پیوندهای انتهایی بی نهایت است. برای ساختن چنین خط شکسته ای کافی است که تمام رئوس آن را بدانیم (آبسیساهای رئوس، صفر عبارات زیر مدولار هستند) و یک نقطه کنترل در پیوندهای بینهایت چپ و راست. 13
14 مشکل. تابع y = x + x 1 + x + 1 را رسم کنید و کوچکترین مقدار آن را پیدا کنید. راه حل: 1. صفر عبارات زیر مدولار: 0; -1؛ رئوس چند خط (0; 2); (-13)؛ (1؛ 3) (صفرهای عبارات زیر مدولار را جایگزین معادله می کنیم) 3 نقطه بررسی در سمت راست (2؛ 6)، در سمت چپ (-2؛ 6). ما یک نمودار می سازیم (شکل 7)، کوچکترین مقدار تابع الگوریتم برای ساخت نمودار یک تابع درجه دوم با ماژول ترسیم الگوریتم برای تبدیل نمودارهای تابع است. 1. رسم نمودار تابع y= f(x). طبق تعریف ماژول، این تابع به مجموعه ای از دو تابع تقسیم می شود. در نتیجه، نمودار تابع y= f(x) از دو نمودار تشکیل شده است: y= f(x) در نیم صفحه سمت راست، y= f(-x) در نیم صفحه سمت چپ. بر این اساس می توان یک قانون (الگوریتم) فرموله کرد. نمودار تابع y= f(x) از نمودار تابع y= f(x) به صورت زیر بدست می آید: در x 0 نمودار حفظ می شود و در x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. برای ساختن یک نمودار از تابع y= f(x)، ابتدا باید یک نمودار از تابع y= f(x) برای x> 0 و سپس برای x بسازید.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 برای به دست آوردن این نمودار، فقط باید نمودار بدست آمده قبلی را سه واحد به سمت راست منتقل کنید. توجه داشته باشید که اگر مخرج کسری حاوی عبارت x + 3 باشد، نمودار را به سمت چپ منتقل می کنیم: اکنون باید تمام مختصات را در دو ضرب کنیم تا نمودار تابع را به دست آوریم دو واحد: آخرین کاری که باید انجام دهیم این است که اگر تابعی را در زیر علامت مدول قرار دهیم، یک نمودار بسازیم. برای انجام این کار، کل بخشی از نمودار را که مختصات آن منفی است (بخشی که زیر محور x قرار دارد) به طور متقارن به سمت بالا منعکس می کنیم: شکل 4 16
17 4. تغییرات در نمودار یک تابع درجه دوم بسته به مکان علامت قدر مطلق. نموداری از تابع y = x 2 - x -3 بسازید 1) از آنجایی که x = x در x 0، نمودار مورد نیاز با سهمی y = 0.25 x 2 - x - 3 منطبق است. اگر x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. ب) بنابراین، ساختن را برای x کامل می کنم<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
18 شکل 4 نمودار تابع y = f (x) با نمودار تابع y = f (x) در مجموعه مقادیر غیر منفی آرگومان منطبق است و نسبت به محور آن متقارن است. OU بر روی مجموعه مقادیر منفی آرگومان. اثبات: اگر x 0، آنگاه f (x) = f (x)، یعنی. در مجموعه مقادیر غیر منفی آرگومان، نمودارهای توابع y = f (x) و y = f (x) منطبق هستند. از آنجایی که y = f (x) یک تابع زوج است، نمودار آن نسبت به op-amp متقارن است. بنابراین، نمودار تابع y = f (x) را می توان از نمودار تابع y = f (x) به صورت زیر بدست آورد: 1. یک نمودار از تابع y = f (x) برای x>0 بسازید. 2. برای x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. برای x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 اگر x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 و قسمت y = f(x) در y به طور متقارن منعکس شده است<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0، سپس f (x) = f (x)، یعنی در این قسمت نمودار تابع y = f (x) با نمودار خود تابع y = f (x) منطبق است. اگر f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 شکل.5 نتیجه گیری: برای ساختن یک نمودار از تابع y= f(x) 1. یک نمودار از تابع y=f(x) بسازید. 2. در مناطقی که نمودار در نیم صفحه پایینی قرار دارد، یعنی جایی که f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 کار تحقیقی در مورد ساخت نمودارهای تابع y = f (x) با استفاده از تعریف قدر مطلق و مثال های قبلاً بحث شده، نمودارهایی از تابع می سازیم: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 و نتیجه گیری کنید. برای ساختن نموداری از تابع y = f (x) باید: 1. یک نمودار از تابع y = f (x) برای x>0 بسازید. 2. قسمت دوم نمودار را بسازید، یعنی گراف ساخته شده را به طور متقارن نسبت به op-amp منعکس کنید، زیرا این تابع یکنواخت است. 3. بخش هایی از نمودار حاصل را که در نیم صفحه پایینی قرار دارند به صورت متقارن به محور OX تبدیل کنید. یک نمودار از تابع y = 2 x - 3 بسازید (روش اول برای تعیین مدول) 1. y = 2 x - 3، برای 2 x - 3 > 0، x > 1.5 بسازید. ایکس< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3، برای x>0 ب) برای x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 ب) برای x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) ما یک خط مستقیم، متقارن با خط ساخته شده نسبت به محور op-amp ایجاد می کنیم. 3) بخش هایی از نمودار واقع در نیم صفحه پایین را به صورت متقارن نسبت به محور OX نمایش می دهم. با مقایسه هر دو نمودار، می بینیم که آنها یکسان هستند. 21
22 مثال هایی از مسائل مثال 1. نمودار تابع y = x 2 6x +5 را در نظر بگیرید. از آنجایی که x مجذور است، صرف نظر از علامت عدد x، پس از مجذور کردن آن مثبت خواهد بود. بنابراین نمودار تابع y = x 2-6x +5 با نمودار تابع y = x 2-6x +5 یکسان خواهد بود، یعنی. نمودار تابعی که دارای علامت قدر مطلق نیست (شکل 2). شکل 2 مثال 2. نمودار تابع y = x 2 6 x +5 را در نظر بگیرید. با استفاده از تعریف مدول یک عدد، فرمول y = x 2 6 x +5 را جایگزین می کنیم. اکنون با انتساب وابستگی تکه ای سروکار داریم که برای ما آشناست. نموداری به این صورت می سازیم: 1) سهمی y = x 2-6x +5 می سازیم و قسمتی که 22 است را دایره می کنیم.
23 مربوط به مقادیر غیر منفی x است، یعنی. قسمتی که در سمت راست محور Oy قرار دارد. 2) در همان صفحه مختصات، یک سهمی y = x 2 + 6x + 5 بسازید و قسمتی را که مطابق با مقادیر منفی x است، دور بزنید. قسمتی که در سمت چپ محور Oy قرار دارد. قسمت های دایره شده سهمی ها با هم نموداری از تابع y = x 2-6 x +5 را تشکیل می دهند (شکل 3). شکل 3 مثال 3. نمودار تابع y = x 2-6 x +5 را در نظر بگیرید. زیرا نمودار معادله y = x 2 6x + 5 با نمودار تابع بدون علامت مدول یکسان است (در مثال 2 بحث شد)، نتیجه می شود که نمودار تابع y = x 2 6 x +5 یکسان است. به نمودار تابع y = x 2 6 x +5 که در مثال 2 در نظر گرفته شده است (شکل 3). مثال 4. بیایید یک نمودار از تابع y = x 2 6x +5 بسازیم. برای انجام این کار، بیایید یک نمودار از تابع y = x 2-6x بسازیم. برای به دست آوردن نموداری از تابع y = x 2-6x از آن، باید هر نقطه سهمی را با یک مصداق منفی با نقطه ای با همان آبسیسا، اما با ارتجاع مخالف (مثبت) جایگزین کنید. به عبارت دیگر قسمتی از سهمی که در زیر محور x قرار دارد باید با یک خط متقارن با آن نسبت به محور x جایگزین شود. زیرا ما باید یک نمودار از تابع y = x 2-6x +5 بسازیم، سپس نمودار تابعی که در نظر گرفتیم y = x 2-6x فقط باید در امتداد محور y به میزان 5 واحد به سمت بالا بلند شود (شکل 4) ). 23
24 شکل.4 مثال 5. بیایید تابع y = x 2-6x+5 را رسم کنیم. برای این کار از تابع شناخته شده piecewise استفاده می کنیم. بیایید صفرهای تابع y = 6x +5 6x + 5 = 0 at را پیدا کنیم. بیایید دو حالت را در نظر بگیریم: 1) اگر، آنگاه معادله به شکل y = x 2 6x -5 خواهد بود. بیایید این سهمی را بسازیم و قسمتی را که در آن قرار دارد دایره کنیم. 2) اگر، پس معادله به شکل y = x 2 + 6x + 5 است. بیایید این سهمی را بایستیم و قسمتی از آن را که در سمت چپ نقطه قرار دارد با مختصات دایره کنیم (شکل 5). 24
25 شکل 5 مثال 6. بیایید یک نمودار از تابع y = x 2 6 x +5 بسازیم. برای این کار، نموداری از تابع y = x 2-6 x +5 می سازیم. ما این نمودار را در مثال 3 ساختیم. از آنجایی که تابع ما کاملاً تحت علامت مدول قرار دارد، برای ساختن نموداری از تابع y = x 2 6 x +5، به هر نقطه از نمودار تابع y = x 2 نیاز داریم. 6 x + 5 با یک مختصات منفی باید با نقطه ای با همان ابسیسا، اما با ارتین مخالف (مثبت) جایگزین شود، یعنی. بخشی از سهمی که در زیر محور Ox قرار دارد باید با یک خط متقارن با آن نسبت به محور Ox جایگزین شود (شکل 6). شکل 6 25
26. نتیجه گیری «اطلاعات ریاضی تنها در صورتی می توانند به صورت ماهرانه و مفید استفاده شوند که به طور خلاقانه تسلط داشته باشند، به طوری که دانش آموز خودش ببیند که چگونه می تواند به تنهایی به آن برسد». A.N. کولموگروف. این مشکلات برای دانش آموزان کلاس نهم بسیار جالب است، زیرا در آزمون های OGE بسیار رایج است. توانایی ساخت نمودارهای داده توابع به شما امکان می دهد امتحان را با موفقیت بیشتری پشت سر بگذارید. ریاضیدانان فرانسوی پیر فرما () و رنه دکارت () تابعی را به عنوان وابستگی مختصات یک نقطه به یک منحنی به آبسیسه آن تصور کردند. و دانشمند انگلیسی اسحاق نیوتن () تابعی را به عنوان مختصات یک نقطه متحرک که بسته به زمان تغییر می کند درک کرد. 26
27 III فهرست منابع و منابع 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. مجموعه مسائل در جبر برای کلاس های 8-9: کتاب درسی. راهنما برای دانش آموزان مدرسه و کلاس های پیشرفته مطالعه کرد ریاضیات ویرایش دوم M.: روشنگری، دوروفیف G.V. جبر. کارکرد. تحلیل داده ها. پایه نهم: m34 آموزشی. برای مطالعات آموزش عمومی استقرار ویرایش دوم، کلیشه. M.: Bustard، Solomonik V.S. مجموعه سوالات و مسائل در ریاضیات M.: "دبیرستان"، Yashchenko I.V. GIA. ریاضیات: گزینه های امتحان استاندارد: درباره گزینه ها.م.: «آموزش ملی»، ص. 5. Yashchenko I.V. OGE. ریاضیات: گزینه های امتحان استاندارد: درباره گزینه ها.م.: «آموزش ملی»، ص. 6. Yashchenko I.V. OGE. ریاضیات: گزینه های امتحان استاندارد: درباره گزینه ها.م.: «آموزش ملی»، با
28 پیوست 28
29 مثال 1. تابع y = x 2 8 x حل را رسم کنید. بیایید برابری تابع را تعیین کنیم. مقدار y(-x) با مقدار y(x) یکسان است، بنابراین این تابع زوج است. سپس نمودار آن در مورد محور Oy متقارن است. تابع y = x 2 8x + 12 را برای x 0 رسم می کنیم و نمودار را با توجه به Oy برای x منفی به صورت متقارن نمایش می دهیم (شکل 1). مثال 2. نمودار زیر به شکل y = x 2 8x به این معنی است که نمودار تابع به صورت زیر به دست می آید: یک نمودار از تابع y = x 2 8x + 12 بسازید، بخشی از نمودار را که در بالا قرار دارد رها کنید. محور Ox بدون تغییر، و بخشی از نمودار که در زیر محور آبسیسا قرار دارد و به طور متقارن نسبت به محور Ox نمایش داده می شود (شکل 2). مثال 3. برای رسم نموداری از تابع y = x 2 8 x + 12، ترکیبی از تبدیل ها انجام می شود: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x پاسخ: شکل 3. مثال 4 بیان زیر علامت مدول، علامت را در نقطه x=2/3 تغییر می دهد. در x<2/3 функция запишется так: 29
30 برای x>2/3 تابع به این صورت نوشته می شود: یعنی نقطه x=2/3 صفحه مختصات ما را به دو ناحیه تقسیم می کند که در یکی از آنها (سمت راست) یک تابع می سازیم و در دیگری. (سمت چپ) نموداری از تابع می سازیم: مثال 5 بعدی نمودار نیز شکسته است، اما دارای دو نقطه شکست است، زیرا شامل دو عبارت زیر علائم مدول است: بیایید ببینیم عبارات زیر مدولار در چه نقاطی علامت را تغییر می دهند: علائم عبارات زیر مدولار را در خط مختصات ترتیب دهید: 30
31 ماژول ها را در بازه اول گسترش می دهیم: در بازه دوم: در بازه سوم: بنابراین، در بازه (-؛ 1.5] نموداری داریم که توسط معادله اول نوشته شده است، در بازه یک نمودار نوشته شده توسط معادله دوم ، و در بازه زمانی)