تقسیم یک عدد منظم بر کسری اعشاری. تقسیم بر اعشار

§ 107. اضافه اعداد اعشاری.

جمع اعشار مانند جمع اعداد کامل است. بیایید این را با مثال ببینیم.

1) 0.132 + 2.354. بیایید اصطلاحات را یکی زیر دیگری برچسب گذاری کنیم.

در اینجا، با افزودن 2 هزارم به 4 هزارم، 6 هزارم حاصل شد.
از جمع 3 صدم با 5 صدم نتیجه 8 صدم می شود.
از جمع 1 دهم با 3 دهم -4 دهم و
از اضافه کردن 0 عدد صحیح با 2 عدد صحیح - 2 عدد صحیح.

2) 5,065 + 7,83.

در ترم دوم هزارم وجود ندارد، بنابراین مهم است که هنگام برچسب زدن عبارات یکی پس از دیگری اشتباه نکنید.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

در اینجا، هنگام جمع هزارم، نتیجه 21 هزارم است. ما 1 را زیر هزارم نوشتیم و 2 را به صدم اضافه کردیم، بنابراین در مکان صدم عبارت های زیر را به دست آوردیم: 2 + 3 + 6 + 8 + 0. در مجموع 19 صدم می دهند، 9 تا زیر صدم امضا کردیم و 1 دهم به حساب می آمد و غیره.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، ترتیب زیر باید رعایت شود: کسرها را یکی زیر دیگری امضا کنید تا در همه شرایط، اعداد یکسان زیر یکدیگر قرار گیرند و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار گیرند. در سمت راست ارقام اعشار برخی از عبارت ها، حداقل از نظر ذهنی، چنین تعداد صفر اضافه می شود، به طوری که همه اعداد بعد از اعشار دارای تعداد یکسانی هستند. سپس جمع را با اعداد انجام دهید، با شروع از سمت راست، و در جمع حاصل یک کاما در همان ستون عمودی که در این عبارت ها قرار دارد قرار می گیرد.

§ 108. تفریق کسرهای اعشاری.

تفریق اعشار مانند تفریق اعداد کامل عمل می کند. بیایید این را با مثال هایی نشان دهیم.

1) 9.87 - 7.32. بیایید زیر خط زیر را امضا کنیم تا واحدهای یک رقم زیر یکدیگر قرار گیرند:

2) 16.29 - 4.75. بیایید مانند مثال اول، زیرنویس را در زیر مینیوند امضا کنیم:

برای تفریق یک دهم، باید یک واحد کامل از 6 گرفته و آن را به دهم تقسیم کنید.

3) 14.0213- 5.350712. بیایید زیرنویس زیر را امضا کنیم:

تفریق به این صورت انجام شد: از آنجایی که نمی‌توانیم 2 میلیونیم از 0 کم کنیم، باید به نزدیک‌ترین رقم سمت چپ یعنی صد هزارم بچرخیم، اما به جای صد هزارم صفر نیز وجود دارد، بنابراین از 1 ده هزارم می‌گیریم. 3 ده هزارم می کنیم و آن را به صد هزارم تقسیم می کنیم، 10 صد هزارم می گیریم که 9 صد هزارم آن را در دسته صد هزارم می گذاریم و 1 صد هزارم را به میلیونم می کنیم، 10 میلیونیم می گیریم. بنابراین، در سه رقم آخر به دست آوردیم: میلیونم 10، صد هزارم 9، ده هزارم 2. برای وضوح و راحتی بیشتر (برای فراموش نشدن)، این اعداد بالای ارقام کسری مربوطه نوشته می شوند. حالا می توانید شروع به تفریق کنید. از 10 میلیونیم، 2 میلیونیم را کم می کنیم، 8 میلیونیم می گیریم. از 9 صد هزارم 1 صد هزارم را کم می کنیم، 8 صد هزارم می گیریم و غیره.

بنابراین، هنگام تفریق کسرهای اعشاری، ترتیب زیر مشاهده می شود: زیر خط زیر را امضا کنید تا ارقام مشابه زیر یکدیگر قرار گیرند و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار گیرند. در سمت راست، حداقل از نظر ذهنی، آنقدر صفر در مینیواند یا فرعی اضافه می‌کنند تا تعداد ارقام یکسانی داشته باشند، سپس با اعداد از سمت راست شروع می‌کنند و در اختلاف حاصل یک کاما می‌گذارند. همان ستون عمودی که در آن در minuend و subtract قرار دارد.

§ 109. ضرب کسرهای اعشاری.

بیایید به چند نمونه از ضرب کسرهای اعشاری نگاه کنیم.

برای یافتن حاصلضرب این اعداد، می‌توانیم به این صورت استدلال کنیم: اگر ضریب ۱۰ برابر شود، هر دو ضریب اعداد صحیح خواهند بود و می‌توانیم آنها را طبق قوانین ضرب اعداد صحیح ضرب کنیم. اما می دانیم که وقتی یکی از عوامل چندین برابر شود، محصول به همان میزان افزایش می یابد. یعنی عددی که از ضرب ضرایب صحیح یعنی 28 در 23 به دست می آید 10 برابر بیشتر از حاصل ضرب واقعی است و به دست می آید. کار واقعی، باید محصول یافت شده را 10 برابر کاهش دهید. بنابراین، در اینجا باید یک بار در 10 ضرب و یک بار بر 10 تقسیم کنید، اما ضرب و تقسیم بر 10 با حرکت دادن نقطه اعشار به راست و چپ در یک مکان انجام می شود. بنابراین، شما باید این کار را انجام دهید: در فاکتور، کاما را به یک مکان مناسب منتقل کنید، این آن را برابر با 23 می کند، سپس باید اعداد صحیح حاصل را ضرب کنید:

این محصول 10 برابر بزرگتر از نمونه واقعی است. بنابراین باید 10 برابر کاهش یابد که برای این کار کاما را یک جا به چپ می بریم. بنابراین، ما دریافت می کنیم

28 2,3 = 64,4.

برای تأیید، می توانید یک کسر اعشاری را با مخرج بنویسید و عمل را طبق قانون ضرب کسرهای معمولی انجام دهید.

2) 12,27 0,021.

تفاوت این مثال با مثال قبلی این است که در اینجا هر دو عامل به صورت کسری اعشاری نشان داده می شوند. اما در اینجا در فرآیند ضرب به کاما توجهی نخواهیم کرد، یعنی ضرب را موقتاً 100 برابر و ضریب را 1000 برابر می کنیم که حاصل ضرب را 100000 برابر می کنیم. بنابراین، با ضرب 1227 در 21، به دست می آید:

1 227 21 = 25 767.

با توجه به اینکه محصول به دست آمده 100000 برابر بزرگتر از محصول واقعی است، اکنون باید با قرار دادن صحیح کاما آن را 100000 بار کاهش دهیم، سپس دریافت می کنیم:

32,27 0,021 = 0,25767.

بیایید بررسی کنیم:

بنابراین، برای ضرب دو کسر اعشاری، کافی است بدون توجه به کاما، آنها را به صورت اعداد کامل ضرب کنیم و در حاصل ضرب به همان تعداد اعشار با کاما در سمت راست جدا کنیم که در ضرب و در ضریب با هم

آخرین مثال منجر به یک محصول با پنج رقم اعشار شد. اگر به چنین دقت بالایی نیاز نباشد، کسر اعشاری گرد می شود. هنگام گرد کردن، باید از همان قاعده ای استفاده کنید که برای اعداد صحیح نشان داده شده است.

§ 110. ضرب با استفاده از جداول.

گاهی اوقات می توان با استفاده از جداول ضرب اعشار را انجام داد. برای این منظور می توانید به عنوان مثال از آن جداول ضرب برای اعداد دو رقمی استفاده کنید که توضیحات آن قبلا داده شد.

1) عدد 53 را در 1.5 ضرب کنید.

ما 53 را در 15 ضرب می کنیم. در جدول، این حاصل برابر با 795 است. ما حاصلضرب را 53 در 15 یافتیم، اما ضریب دوم ما 10 برابر کوچکتر بود، یعنی حاصل باید 10 برابر کاهش یابد، i.e.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 را در 4.7 ضرب کنید.

ابتدا حاصل ضرب 53 در 47 را در جدول پیدا می کنیم، 2491 خواهد بود. بنابراین باید این محصول را 100 برابر کاهش دهیم:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 را در 7.4 ضرب کنید.

ابتدا محصول 53 در 74 را در جدول می یابیم. خواهد شد 3922. اما از آنجایی که ما ضریب را 100 برابر و ضریب را 10 برابر کردیم، حاصلضرب 1000 برابر شد. بنابراین اکنون باید آن را 1000 برابر کاهش دهیم:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. تقسیم کسرهای اعشاری.

ما به تقسیم کسرهای اعشاری به این ترتیب نگاه خواهیم کرد:

1. تقسیم کسر اعشاری بر عدد صحیح,

1. یک کسر اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنید.

1) 2.46 را بر 2 تقسیم کنید.

ابتدا بر 2 تقسیم کردیم، سپس بر دهم و در نهایت صدم.

2) 32.46 را بر 3 تقسیم کنید.

32,46: 3 = 10,82.

ما 3 ده را بر 3 تقسیم کردیم، سپس شروع به تقسیم 2 واحد بر 3 کردیم. از آنجایی که تعداد واحدهای سود سهام (2) از مقسوم علیه (3) کمتر است، باید 0 را در ضریب قرار دهیم. علاوه بر این، ما 4 دهم را گرفتیم و 24 دهم را بر 3 تقسیم کردیم. در ضریب 8 دهم دریافت کرد و در نهایت 6 صدم را تقسیم کرد.

3) 1.2345 را بر 5 تقسیم کنید.

1,2345: 5 = 0,2469.

در اینجا در ضریب اولین اعداد صحیح صفر است، زیرا یک عدد صحیح بر 5 بخش پذیر نیست.

4) 13.58 را بر 4 تقسیم کنید.

ویژگی این مثال این است که وقتی 9 صدم را در ضریب دریافت کردیم، باقیمانده ای معادل 2 صدم را کشف کردیم، این باقیمانده را به هزارم تقسیم کردیم، 20 هزارم بدست آوردیم و تقسیم را کامل کردیم.

قانون.تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد صحیح مانند تقسیم اعداد صحیح انجام می شود و باقیمانده به کسری اعشاری کوچکتر و کوچکتر تبدیل می شود. تقسیم تا زمانی که باقیمانده صفر شود ادامه می یابد.

2. اعشار را بر اعشار تقسیم کنید.

1) 2.46 را بر 0.2 تقسیم کنید.

ما قبلاً می دانیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد کامل تقسیم کنیم. بیایید فکر کنیم، آیا می توان این مورد جدید تقسیم را به مورد قبلی تقلیل داد؟ در یک زمان، ما ویژگی قابل توجه یک ضریب را در نظر گرفتیم، که شامل این واقعیت است که وقتی سود تقسیمی و مقسوم‌کننده به طور همزمان به تعداد یکسان افزایش یا کاهش می‌یابند، بدون تغییر باقی می‌ماند. اگر مقسوم علیه یک عدد صحیح بود، به راحتی می توانستیم اعدادی که به ما داده شده بود را تقسیم کنیم. برای این کار کافی است آن را 10 برابر افزایش دهید و برای به دست آوردن ضریب صحیح باید سود سهام را به همان میزان یعنی 10 برابر افزایش دهید. سپس تقسیم این اعداد با تقسیم اعداد زیر جایگزین می شود:

علاوه بر این، دیگر نیازی به هیچ گونه اصلاحی در جزئیات نخواهد بود.

بیایید این تقسیم بندی را انجام دهیم:

بنابراین 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 را بر 1.6 تقسیم کنید.

مقسوم علیه (1.6) را 10 برابر افزایش می دهیم. به طوری که ضریب تغییر نکند، سود سهام را 10 برابر افزایش می دهیم. 12 عدد صحیح بر 16 بخش پذیر نیستند، پس در ضریب 0 می نویسیم و 125 دهم را بر 16 تقسیم می کنیم، ضریب 7 دهم و باقیمانده 13 می شود. با اختصاص صفر 13 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 130 صدم را بر 1 تقسیم می کنیم. و غیره لطفا به موارد زیر توجه داشته باشید:

الف) هنگامی که در یک خاص اعداد صحیح وجود ندارد، به جای آنها اعداد صحیح صفر نوشته می شود.

ب) هنگامی که پس از جمع رقم سود به باقیمانده، عددی به دست می آید که بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود، آنگاه در ضریب صفر نوشته می شود.

ج) زمانی که پس از تخریب آخرین رقمتقسیم سود به پایان نمی رسد، سپس، با اضافه کردن صفر به باقی مانده، تقسیم ادامه می یابد.

د) اگر سود تقسیمی یک عدد صحیح باشد، هنگام تقسیم آن بر کسری اعشاری، با اضافه کردن صفر به آن افزایش می یابد.

بنابراین، برای تقسیم یک عدد بر کسری اعشاری، باید کاما را در مقسوم‌گیرنده کنار بگذارید، و سپس با حذف کاما در آن، تقسیم را به اندازه‌ای که تقسیم‌کننده افزایش یافته است، افزایش دهید و سپس تقسیم را طبق قانون انجام دهید. برای تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد صحیح

§ 112. نسبه های تقریبی.

در پاراگراف قبل به تقسیم کسرهای اعشاری نگاه کردیم و در تمام مثال هایی که حل کردیم تقسیم کامل شد، یعنی یک ضریب دقیق به دست آمد. با این حال، در بیشتر موارد، مهم نیست که چقدر تقسیم را ادامه دهیم، یک ضریب دقیق به دست نمی آید. در اینجا یکی از این موارد وجود دارد: 53 را بر 101 تقسیم کنید.

ما قبلاً پنج رقم در ضریب دریافت کرده‌ایم، اما تقسیم هنوز به پایان نرسیده است و امیدی نیست که هرگز به پایان برسد، زیرا در بقیه ما شروع به داشتن اعدادی می‌کنیم که قبلاً با آنها مواجه شده‌اند. در ضریب، اعداد نیز تکرار خواهند شد: واضح است که بعد از عدد 7 عدد 5 ظاهر می شود، سپس 2 و غیره بی انتها. در چنین مواردی، تقسیم قطع می شود و به چند رقم اول ضریب محدود می شود. این ضریب نامیده می شود نزدیکانما با مثال هایی نحوه انجام تقسیم را نشان خواهیم داد.

لازم است 25 را بر 3 تقسیم کنیم. بدیهی است که یک ضریب دقیق که به صورت یک عدد صحیح یا یک کسری اعشاری بیان می شود را نمی توان از چنین تقسیمی بدست آورد. بنابراین، ما به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

25: 3 = 8 و باقیمانده 1

ضریب تقریبی 8 است. البته کمتر از ضریب دقیق است، زیرا یک باقیمانده 1 وجود دارد. برای به دست آوردن ضریب دقیق، باید کسری را که از تقسیم باقی مانده 1 بر 3 به دست می آید به ضریب تقریبی پیدا شده اضافه کنید. ، تا 8; این کسری 1/3 خواهد بود. این بدان معنی است که ضریب دقیق بیان خواهد شد شماره های درهم 8 1/3. از آنجایی که 1/3 کسر مناسب است، یعنی کسری، کمتر از یک، سپس با دور انداختن آن اجازه خواهیم داد خطا، که کمتر از یک. ضریب 8 خواهد بود ضریب تقریبی تا وحدت با یک نقطه ضعف.اگر به جای 8، 9 را در ضریب بگیریم، خطای کمتر از یک را نیز مجاز می کنیم، زیرا کل واحد را اضافه نمی کنیم، بلکه 2/3 را اضافه می کنیم. چنین اراده خصوصی ضریب تقریبی در یک با بیش از حد.

اکنون مثال دیگری می زنیم. فرض کنید باید 27 را بر 8 تقسیم کنیم. از آنجایی که در اینجا ضریب دقیقی را که به صورت یک عدد صحیح بیان می شود دریافت نمی کنیم، به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

27: 8 = 3 و باقیمانده 3.

در اینجا خطا برابر با 3/8 است، کمتر از یک است، به این معنی که ضریب تقریبی (3) دقیق به یک با یک نقطه ضعف پیدا شد. بیایید تقسیم را ادامه دهیم: 3 باقیمانده را به دهم تقسیم کنید، 30 دهم می گیریم. آنها را بر 8 تقسیم کنید.

در ضریب 3 به جای دهم و 6 دهم در بقیه. اگر خودمان را به عدد 3.3 محدود کنیم و 6 باقیمانده را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک دهم را مجاز می‌کنیم. چرا؟ زیرا ضریب دقیق زمانی بدست می آید که حاصل تقسیم 6 دهم بر 8 را به 3.3 اضافه کنیم. این تقسیم برابر با 6/80 است که کمتر از یک دهم است. (بررسی کنید!) بنابراین، اگر در ضریب خود را به یک دهم محدود کنیم، می توانیم بگوییم که ضریب را پیدا کرده ایم. دقیق به یک دهم(با یک نقطه ضعف).

بیایید تقسیم را ادامه دهیم تا رقم اعشار دیگر را پیدا کنیم. برای این کار، 6 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 60 صدم بدست می آوریم. آنها را بر 8 تقسیم کنید.

در ضریب رتبه سوم 7 و بقیه 4 صدم بود. اگر آنها را دور بیندازیم، خطای کمتر از یک صدم را مجاز می کنیم، زیرا 4 صدم تقسیم بر 8 کمتر از یک صدم است. در چنین مواردی می گویند ضریب پیدا شده است دقیق به یک صدم(با یک نقطه ضعف).

در مثالی که اکنون به آن نگاه می کنیم، می توانیم ضریب دقیق را به صورت کسری اعشاری بیان کنیم. برای این کار کافی است آخرین باقیمانده یعنی 4 صدم را به هزارم تقسیم کنید و بر 8 تقسیم کنید.

با این حال، در اکثریت قریب به اتفاق موارد، به دست آوردن یک ضریب دقیق غیرممکن است و فرد باید خود را به مقادیر تقریبی آن محدود کند. اکنون به این مثال می پردازیم:

40: 7 = 5,71428571...

نقطه هایی که در انتهای عدد قرار می گیرند نشان می دهد که تقسیم کامل نشده است، یعنی تساوی تقریبی است. معمولاً برابری تقریبی به صورت زیر نوشته می شود:

40: 7 = 5,71428571.

ما ضریب را با هشت رقم اعشار گرفتیم. اما اگر به چنین دقت بالایی نیاز نیست، می توانید خود را فقط به کل قسمت ضریب، یعنی عدد 5 (به طور دقیق تر 6) محدود کنید. برای دقت بیشتر، می توان یک دهم را در نظر گرفت و ضریب را برابر با 5.7 گرفت. اگر به دلایلی این دقت کافی نیست، می توانید در صدم متوقف شوید و 5.71 و غیره بگیرید. بیایید ضریب های فردی را بنویسیم و آنها را نام ببریم.

اولین ضریب تقریبی دقیق یک 6 است.

دوم » » » تا یک دهم 5.7.

سوم » » » تا یک صدم 5.71.

چهارم » » » تا یک هزارم 5.714.

بنابراین، برای یافتن یک ضریب تقریبی دقیق به برخی، به عنوان مثال، رقم سوم اعشار (یعنی تا یک هزارم)، به محض یافتن این علامت، تقسیم را متوقف کنید. در این مورد، باید قاعده مندرج در § 40 را به خاطر بسپارید.

§ 113. ساده ترین مسائل مربوط به درصد.

پس از یادگیری اعداد اعشاری، درصد بیشتری از مشکلات را انجام خواهیم داد.

این مشکلات مشابه مسائلی است که ما در بخش فراکسیون حل کردیم. اما اکنون صدم ها را به صورت کسر اعشاری می نویسیم، یعنی بدون مخرج مشخص.

اول از همه، شما باید بتوانید به راحتی از آنجا حرکت کنید کسر مشترکبه اعشار با مخرج 100. برای این کار، صورت را بر مخرج تقسیم کنید:

جدول زیر نشان می دهد که چگونه یک عدد با نماد % (درصد) با کسری اعشاری با مخرج 100 جایگزین می شود:

اکنون چند مشکل را در نظر می گیریم.

1. یافتن درصد یک عدد معین.

وظیفه 1.تنها 1600 نفر در یک روستا زندگی می کنند. تعداد فرزندان سن مدرسه 25 درصد است تعداد کلساکنان. چند کودک در سن مدرسه در این روستا وجود دارد؟

در این مسئله باید 25% یا 0.25 از 1600 را پیدا کنید. مشکل با ضرب حل می شود:

1600 0.25 = 400 (کودکان).

بنابراین، 25 درصد از 1600، 400 است.

برای درک واضح این وظیفه، یادآوری این نکته مفید است که به ازای هر صد نفر از جمعیت، 25 کودک در سن مدرسه وجود دارد. بنابراین، برای یافتن تعداد تمام کودکان در سن مدرسه، ابتدا می توانید دریابید که تعداد صدها عدد 1600 (16) وجود دارد و سپس عدد 25 را در تعداد صدها ضرب کنید (25 x 16 = 400). از این طریق می توانید اعتبار راه حل را بررسی کنید.

وظیفه 2.بانک های پس انداز سالانه 2 درصد بازدهی را به سپرده گذاران ارائه می دهند. اگر سپرده گذار در صندوق پول بگذارد، در یک سال چقدر درآمد دریافت می کند: الف) 200 روبل؟ ب) 500 روبل؟ ج) 750 روبل؟ د) 1000 روبل.؟

در هر چهار مورد، برای حل مشکل باید 0.02 از مقادیر مشخص شده را محاسبه کنید، یعنی هر یک از این اعداد باید در 0.02 ضرب شوند. بیایید آن را انجام دهیم:

الف) 200 0.02 = 4 (مالش)،

ب) 500 0.02 = 10 (مالش)،

ج) 750 0.02 = 15 (مالش)،

د) 1000 0.02 = 20 (مالش).

هر یک از این موارد را می توان با ملاحظات زیر تأیید کرد. بانک‌های پس‌انداز به سرمایه‌گذاران 2 درصد درآمد می‌دهند، یعنی 0.02 از مبلغ سپرده‌گذاری شده در پس‌انداز. اگر مبلغ 100 روبل بود، 0.02 از آن 2 روبل خواهد بود. این بدان معنی است که هر صد 2 روبل برای سرمایه گذار به ارمغان می آورد. درآمد. بنابراین، در هر یک از موارد در نظر گرفته شده، کافی است بفهمیم که در یک عدد معین چند صد وجود دارد و 2 روبل را در این تعداد صدها ضرب کنیم. در مثال الف) 2 صد وجود دارد که به این معنی است

2 2 = 4 (مالش).

در مثال د) 10 صد وجود دارد که به این معنی است

2 10 = 20 (مالش).

2. یافتن یک عدد با درصد آن.

وظیفه 1.این مدرسه در بهار 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد از کل ثبت نام کنندگان آن را تشکیل می دهد. سال تحصیلی گذشته چند دانش آموز در مدرسه حضور داشتند؟

اجازه دهید ابتدا معنای این کار را روشن کنیم. این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان یا به عبارتی 6 صدم (0.06) کل دانش آموزان مدرسه است. این بدان معنی است که بخشی از دانش آموزان را که با عدد (54) و کسری (0.06) بیان می شود، می دانیم و از این کسر باید کل عدد را پیدا کنیم. بنابراین، ما یک وظیفه معمولی برای یافتن یک عدد از کسری آن داریم (§90، بند 6). مشکلات این نوع با تقسیم حل می شود:

یعنی فقط 900 دانش آموز در مدرسه بودند.

بررسی چنین مسائلی با حل مسئله معکوس مفید است، یعنی پس از حل مسئله، باید حداقل در ذهن خود، یک مسئله از نوع اول را حل کنید (درصد یک عدد معین): عدد پیدا شده را بگیرید ( 900) همانطور که داده شده است و درصد آن را که در مسئله حل شده نشان داده شده است بیابید، یعنی:

900 0,06 = 54.

وظیفه 2.خانواده در طول ماه 780 روبل برای غذا خرج می کنند که 65 درصد درآمد ماهانه پدر است. درآمد ماهانه او را مشخص کنید.

این وظیفه همان معنای قبلی را دارد. بخشی از درآمد ماهانه را به روبل (780 روبل) نشان می دهد و نشان می دهد که این بخش 65٪ یا 0.65 از کل درآمد است. و آنچه شما به دنبال آن هستید تمام درآمد است:

780: 0,65 = 1 200.

بنابراین، درآمد مورد نیاز 1200 روبل است.

3. یافتن درصد اعداد.

وظیفه 1.تنها 6000 کتاب در کتابخانه مدرسه وجود دارد. در میان آنها 1200 کتاب در زمینه ریاضیات وجود دارد. چند درصد از کتاب های ریاضی، تعداد کل کتاب های کتابخانه را تشکیل می دهند؟

ما قبلاً (§97) مسائلی از این دست را در نظر گرفتیم و به این نتیجه رسیدیم که برای محاسبه درصد دو عدد، باید نسبت این اعداد را پیدا کرده و در 100 ضرب کنیم.

در مسئله ما باید نسبت درصد اعداد 1200 و 6000 را پیدا کنیم.

بیایید ابتدا نسبت آنها را پیدا کنیم و سپس آن را در 100 ضرب کنیم:

به این ترتیب درصد اعداد 1200 و 6000 برابر با 20 است به عبارت دیگر کتاب های ریاضی 20 درصد از تعداد کل کتاب ها را تشکیل می دهند.

برای بررسی، بیایید مشکل معکوس را حل کنیم: 20٪ از 6000 را پیدا کنید:

6 000 0,2 = 1 200.

وظیفه 2.کارخانه باید 200 تن زغال سنگ دریافت کند. تاکنون 80 تن تحویل داده شده است چند درصد زغال سنگ به کارخانه تحویل داده شده است؟

این مسئله می پرسد که چند درصد یک عدد (80) از عدد دیگر (200) است. نسبت این اعداد 80/200 خواهد بود. بیایید آن را در 100 ضرب کنیم:

یعنی 40 درصد زغال سنگ تحویل داده شده است.

در درس آخر، نحوه جمع و تفریق اعداد اعشاری را آموختیم (به درس "جمع و تفریق اعشار" مراجعه کنید). در همان زمان، ما ارزیابی کردیم که چقدر محاسبات در مقایسه با کسرهای معمولی "دو طبقه" ساده شده است.

متأسفانه این اثر با ضرب و تقسیم اعشار رخ نمی دهد. در برخی موارد، نماد اعشاری حتی این عملیات را پیچیده می کند.

ابتدا اجازه دهید یک تعریف جدید ارائه کنیم. ما او را اغلب، و نه فقط در این درس، خواهیم دید.

بخش مهم یک عدد همه چیز بین اولین و آخرین رقم غیر صفر است، از جمله انتهای آن. ما فقط در مورد اعداد صحبت می کنیم، نقطه اعشار در نظر گرفته نمی شود.

اعداد درج شده در بخش قابل توجهیاعداد را ارقام مهم می نامند. آنها می توانند تکرار شوند و حتی برابر با صفر باشند.

به عنوان مثال، چند کسر اعشاری را در نظر بگیرید و قسمت های مهم مربوطه را بنویسید:

1. 91.25 → 9125 (ارقام مهم: 9؛ 1؛ 2؛ 5);
2. 0.008241 → 8241 (اعداد قابل توجه: 8؛ 2؛ 4؛ 1);
3. 15.0075 → 150075 (اعداد قابل توجه: 1؛ 5؛ 0؛ 0؛ 7؛ 5)؛
4. 0.0304 → 304 (اعداد قابل توجه: 3؛ 0؛ 4)؛
5. 3000 → 3 (فقط یک رقم قابل توجه وجود دارد: 3).

لطفا توجه داشته باشید: صفرهای داخل قسمت قابل توجه عدد به جایی نمی روند. وقتی یاد گرفتیم کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم، قبلاً با چیزی مشابه روبرو شده ایم (به درس "اعشار" مراجعه کنید).

این نکته به قدری مهم است و در اینجا به قدری اشتباه می شود که در آینده نزدیک تستی در این زمینه منتشر خواهم کرد. حتما تمرین کنید! و ما، مسلح به مفهوم بخش مهم، در واقع به موضوع درس خواهیم رفت.

ضرب اعشار

عملیات ضرب شامل سه مرحله متوالی است:

1. برای هر کسر، قسمت مهم را یادداشت کنید. شما دو عدد صحیح معمولی دریافت خواهید کرد - بدون هیچ مخرج و اعشاری.
2. این اعداد را به هر روشی که مناسب است ضرب کنید. به طور مستقیم، اگر اعداد کوچک هستند، یا در یک ستون. بخش قابل توجهی از کسر مورد نظر را به دست می آوریم.
3. دریابید که نقطه اعشار در کسرهای اصلی کجا و با چند رقم جابجا شده است تا قسمت مهم مربوطه را بدست آورید. برای قسمت قابل توجهی که در مرحله قبل به دست آمده است، جابجایی معکوس انجام دهید.

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که صفرهای طرفین قسمت قابل توجه هرگز در نظر گرفته نمی شوند. نادیده گرفتن این قانون منجر به خطا می شود.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10000.

ما با عبارت اول کار می کنیم: 0.28 · 12.5.

1. بیایید قسمت های مهم اعداد را از این عبارت بنویسیم: 28 و 125;
2. محصول آنها: 28 · 125 = 3500;
3. در فاکتور اول، نقطه اعشار 2 رقم به سمت راست منتقل می شود (28 ← 0.28)، و در فاکتور دوم، 1 رقم دیگر جابه جا می شود. در مجموع، شما نیاز به تغییر سه رقمی به چپ دارید: 3500 → 3500 = 3.5.

حال بیایید به عبارت 6.3 · 1.08 نگاه کنیم.

1. بیایید قسمت های مهم را بنویسیم: 63 و 108;
2. محصول آنها: 63 · 108 = 6804;
3. دوباره، دو جابجایی به سمت راست: به ترتیب با 2 و 1 رقم. مجموع - دوباره 3 رقم به راست، بنابراین تغییر معکوس 3 رقم به چپ خواهد بود: 6804 → 6.804. این بار هیچ صفر انتهایی وجود ندارد.

به عبارت سوم رسیدیم: 132.5 · 0.0034.

1. قسمت های قابل توجه: 1325 و 34;
2. محصول آنها: 1325 · 34 = 45,050;
3. در کسر اول، نقطه اعشار با 1 رقم به سمت راست حرکت می کند، و در دومی - به اندازه 4. مجموع: 5 به سمت راست. 5 به چپ تغییر می دهیم: 45050 → 0.45050 = 0.4505. صفر در انتها حذف شد و در جلو اضافه شد تا نقطه اعشار "لخت" باقی نماند.

عبارت زیر است: 0.0108 · 1600.5.

1. ما بخش های مهم را می نویسیم: 108 و 16 005.
2. آنها را ضرب می کنیم: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. ما اعداد را بعد از نقطه اعشار می شماریم: در عدد اول 4، در عدد دوم 1 وجود دارد. مجموع دوباره 5 است. داریم: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. در پایان، صفر "اضافی" حذف شد.

در نهایت، آخرین عبارت: 5.25 10000.

1. بخش های مهم: 525 و 1;
2. ما آنها را ضرب می کنیم: 525 · 1 = 525;
3. کسر اول 2 رقمی به راست و کسر دوم 4 رقمی به چپ منتقل می شود (10000 → 1.0000 = 1). مجموع 4 − 2 = 2 رقم در سمت چپ. ما یک تغییر معکوس را با 2 رقم به سمت راست انجام می دهیم: 525، → 52500 (باید صفرها را اضافه کنیم).

در مثال آخر توجه کنید: از آنجایی که نقطه اعشار در جهات مختلف حرکت می کند، جابجایی کل از طریق تفاوت پیدا می شود. این خیلی نکته مهم! این هم یک مثال دیگر:

اعداد 1.5 و 12500 را در نظر بگیرید. 12500 → 125 (تغییر 2 به چپ). ما 1 رقم را به سمت راست و سپس 2 را به سمت چپ "گام" می کنیم. در نتیجه، گام های 2 − 1 = 1 رقمی را به سمت چپ برداشتیم.

تقسیم اعشاری

تقسیم شاید بیشترین عملیات پیچیده. البته، در اینجا می توانید با قیاس با ضرب عمل کنید: قسمت های مهم را تقسیم کنید و سپس نقطه اعشار را "حرکت دهید". اما در این مورد ظرافت های بسیاری وجود دارد که صرفه جویی بالقوه را نفی می کند.

بنابراین، بیایید به یک الگوریتم جهانی نگاه کنیم که کمی طولانی تر است، اما بسیار قابل اعتمادتر است:

1. همه کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید. با کمی تمرین، این مرحله شما را چند ثانیه زمان خواهد برد.
2. کسرهای به دست آمده را تقسیم کنید به روش کلاسیک. به عبارت دیگر، کسر اول را در ثانیه "معکوس" ضرب کنید (به درس "ضرب و تقسیم کسرهای عددی" مراجعه کنید).
3. در صورت امکان، نتیجه را دوباره به صورت کسری اعشاری ارائه دهید. این مرحله نیز سریع است، زیرا مخرج اغلب از قبل توان ده است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

بیایید اولین عبارت را در نظر بگیریم. ابتدا کسری را به اعشار تبدیل می کنیم:

بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. شماره‌گذار کسر اول دوباره فاکتور می‌شود:

در مثال سوم و چهارم یک نکته مهم وجود دارد: پس از خلاص شدن از نماد اعشاری، کسرهای تقلیل پذیر ظاهر می شوند. با این حال، ما این کاهش را انجام نخواهیم داد.

مثال آخر جالب است زیرا صورت‌گر کسر دوم دارای یک عدد اول است. به سادگی چیزی برای فاکتورگیری در اینجا وجود ندارد، بنابراین ما آن را مستقیماً در نظر می گیریم:

گاهی اوقات تقسیم منجر به یک عدد صحیح می شود (در مورد آخرین مثال صحبت می کنم). در این صورت مرحله سوم اصلا انجام نمی شود.

علاوه بر این، هنگام تقسیم، کسرهای "زشت" اغلب ایجاد می شوند که نمی توانند به اعشار تبدیل شوند. این تقسیم را از ضرب متمایز می کند، جایی که نتایج همیشه به صورت اعشاری نشان داده می شوند. البته در این صورت مرحله آخر باز هم انجام نمی شود.

به مثال های 3 و 4 نیز توجه کنید. در آنها ما عمدا کوتاه نمی کنیم کسرهای معمولی، مشتق از اعشار. در غیر این صورت، این کار معکوس را پیچیده می کند - پاسخ نهایی را دوباره به شکل اعشاری نشان می دهد.

به یاد داشته باشید: ویژگی اصلی یک کسری (مانند هر قانون دیگری در ریاضیات) به خودی خود به این معنی نیست که باید در همه جا و همیشه و در هر فرصتی اعمال شود.

من. برای تقسیم یک کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی، باید کسر را بر این عدد تقسیم کنید، زیرا اعداد طبیعی تقسیم می شوند و وقتی تقسیم کل قسمت کامل شد، یک کاما در ضریب قرار دهید.

مثال ها.

تقسیم را انجام دهید: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

راه حل.

مثال 1) 96,25: 5.

همانطور که اعداد طبیعی تقسیم می شوند، با یک "گوشه" تقسیم می کنیم. بعد از اینکه عدد را پایین آوردیم 2 (عدد دهم اولین رقم بعد از اعشار در سود 96 است، 2 5) در ضریب کاما می گذاریم و تقسیم را ادامه می دهیم.

پاسخ: 19,25.

مثال 2) 4,78: 4.

همانطور که اعداد طبیعی تقسیم می شوند تقسیم می کنیم. در ضریب به محض حذف یک کاما قرار می دهیم 7 - اولین رقم بعد از نقطه اعشار در سود 4، 7 8. تقسیم را بیشتر ادامه می دهیم. با تفریق 38-36 عدد 2 به دست می آید، اما تقسیم کامل نشده است. چگونه پیش برویم؟ می دانیم که صفرها را می توان به انتهای کسر اعشاری اضافه کرد - این مقدار کسری را تغییر نمی دهد. ما صفر را اختصاص می دهیم و 20 را بر 4 تقسیم می کنیم. 5 می گیریم - تقسیم به پایان رسیده است.

پاسخ: 1,195.

مثال 3) 183,06: 45.

18306 را بر 45 تقسیم کنید. در ضریب به محض حذف عدد یک کاما می گذاریم. 0 - اولین رقم بعد از نقطه اعشار در سود 183، 0 6. درست مانند مثال 2)، ما باید صفر را به عدد 36 اختصاص دهیم - تفاوت بین اعداد 306 و 270.

پاسخ: 4,068.

نتیجه: هنگام تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی در خصوصی ما کاما می گذاریم بلافاصله پس از اینکه رقم را در دهمین محل تقسیم سود پایین می آوریم. لطفا توجه داشته باشید: همه برجسته شده اند اعداد به رنگ قرمز در این سه نمونه متعلق به این دسته است دهم سود سهام

II. برای تقسیم یک کسر اعشاری بر 10، 100، 1000 و غیره، باید نقطه اعشار را با اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل کنید.

مثال ها.

انجام تقسیم: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

راه حل.

انتقال نقطه اعشار به چپ بستگی به این دارد که چند صفر بعد از یک در مقسوم علیه باشد. بنابراین، هنگام تقسیم یک کسر اعشاری بر 10 ما سود سهام را ادامه خواهیم داد کاما به سمت چپ یک رقم; وقتی تقسیم بر 100 - کاما را حرکت دهید دو رقمی باقی مانده است; وقتی تقسیم بر 1000 تبدیل به این کسر اعشاری کاما سه رقمی در سمت چپ.

در این آموزش هر یک از این عملیات را به طور جداگانه بررسی خواهیم کرد.

محتوای درس

افزودن اعشار

همانطور که می دانیم کسر اعشاری دارای یک عدد صحیح و یک جزء کسری است. هنگام جمع اعشار، اجزای کل و کسری به طور جداگانه اضافه می شوند.

به عنوان مثال، اجازه دهید کسرهای اعشاری 3.2 و 5.3 را اضافه کنیم. اضافه کردن کسری اعشاری در یک ستون راحت تر است.

بیایید ابتدا این دو کسر را در یک ستون بنویسیم که اجزای صحیح لزوماً زیر اعداد صحیح و کسرهای زیر کسرها قرار گیرند. در مدرسه به این شرط گفته می شود "کاما زیر کاما".

بیایید کسرها را در یک ستون بنویسیم تا کاما زیر کاما باشد:

ما شروع به جمع کردن اجزای کسری می کنیم: 2 + 3 = 5. پنج را در قسمت کسری پاسخ خود می نویسیم:

اکنون کل قسمت ها را جمع می کنیم: 3 + 5 = 8. در کل قسمت پاسخ خود یک هشت می نویسیم:

حالا با کاما کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کنیم. برای انجام این کار، ما دوباره از قانون پیروی می کنیم "کاما زیر کاما":

ما جواب 8.5 دریافت کردیم. بنابراین عبارت 3.2 + 5.3 برابر با 8.5 است

در واقع، همه چیز به آن سادگی که در نگاه اول به نظر می رسد نیست. در اینجا دام هایی نیز وجود دارد که اکنون در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مکان ها در اعشار

کسرهای اعشاری مانند اعداد معمولی ارقام خاص خود را دارند. این ها مکان های دهم، مکان های صدم، مکان های هزارم هستند. در این حالت ارقام بعد از نقطه اعشار شروع می شوند.

اولین رقم بعد از اعشار برای مکان دهم، رقم دوم بعد از نقطه اعشار برای مکان صدم و رقم سوم بعد از نقطه اعشار برای مکان هزارم است.

مکان در کسرهای اعشاری حاوی مقداری است اطلاعات مفید. به طور خاص، آنها به شما می گویند که در یک اعشار چند دهم، صدم و هزارم وجود دارد.

برای مثال، کسر اعشاری را 0.345 در نظر بگیرید

موقعیتی که سه در آن قرار دارد نامیده می شود مقام دهم

موقعیتی که چهار در آن قرار دارد نامیده می شود مکان صدم

موقعیتی که پنج در آن قرار دارد نامیده می شود مکان هزارم

بیایید به این نقاشی نگاه کنیم. می بینیم که یک سه در جایگاه دهم وجود دارد. این بدان معنی است که سه دهم در کسر اعشاری 0.345 وجود دارد.

اگر کسرها را جمع کنیم، کسر اعشاری اصلی 0.345 به دست می آید

مشاهده می شود که ابتدا پاسخ را دریافت کردیم اما آن را به کسری اعشاری تبدیل کردیم و 0.345 گرفتیم.

هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، از همان اصول و قوانینی که هنگام جمع اعداد معمولی استفاده می شود، پیروی می شود. جمع کسرهای اعشاری به صورت رقمی اتفاق می افتد: دهم به دهم، صدم به صدم، هزارم به هزارم اضافه می شود.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، باید از قانون پیروی کنید "کاما زیر کاما". کاما زیر کاما همان ترتیبی را ارائه می دهد که در آن دهم ها به دهم، صدم به صدم، هزارم به هزارم اضافه می شوند.

مثال 1.مقدار عبارت 1.5 + 3.4 را پیدا کنید

اول از همه قسمت های کسری 5 + 4 = 9 را جمع می کنیم. در قسمت کسری پاسخ خود 9 می نویسیم:

حالا اعداد صحیح 1 + 3 = 4 را اضافه می کنیم. چهار عدد را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

حالا با کاما کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کنیم. برای انجام این کار، دوباره از قانون "کاما زیر کاما" پیروی می کنیم:

ما پاسخ 4.9 را دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 1.5 + 3.4 برابر 4.9 است

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید: 3.51 + 1.22

این عبارت را در یک ستون با رعایت قانون "کاما زیر کاما" می نویسیم.

اول از همه قسمت کسری یعنی صدم های 1+2=3 را جمع می کنیم. در قسمت صدم پاسخمان یک سه گانه می نویسیم:

حالا دهم های 5+2=7 را اضافه کنید. در قسمت دهم پاسخمان یک هفت می نویسیم:

حالا کل قسمت های 3+1=4 را اضافه می کنیم. ما چهار را در کل قسمت پاسخ خود می نویسیم:

با رعایت قانون "کاما زیر کاما" کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کنیم:

پاسخی که دریافت کردیم 4.73 بود. یعنی مقدار عبارت 3.51 + 1.22 برابر با 4.73 است

3,51 + 1,22 = 4,73

مانند اعداد معمولی، هنگام جمع اعشار، . در این صورت یک رقم در پاسخ نوشته می شود و بقیه به رقم بعدی منتقل می شود.

مثال 3.مقدار عبارت 2.65 + 3.27 را بیابید

این عبارت را در ستون می نویسیم:

صدم ها را اضافه کنید 5+7=12. عدد 12 در قسمت صدم پاسخ ما نمی گنجد. بنابراین در قسمت صدم عدد 2 را می نویسیم و واحد را به رقم بعدی منتقل می کنیم:

حالا دهم های 6+2=8 را به اضافه واحدی که از عملیات قبلی به دست آوردیم با هم جمع می کنیم، عدد 9 به دست می آید. عدد 9 را در دهم پاسخ خود می نویسیم:

حالا کل قسمت ها 2+3=5 را اضافه می کنیم. عدد 5 را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

پاسخی که دریافت کردیم 5.92 بود. یعنی مقدار عبارت 2.65 + 3.27 برابر با 5.92 است

2,65 + 3,27 = 5,92

مثال 4.مقدار عبارت 9.5 + 2.8 را پیدا کنید

این عبارت را در ستون می نویسیم

قسمت های کسری 5 + 8 = 13 را جمع می کنیم. عدد 13 در قسمت کسری پاسخ ما نمی گنجد، بنابراین ابتدا عدد 3 را یادداشت می کنیم و واحد را به رقم بعدی منتقل می کنیم یا بهتر است بگوییم آن را به عدد منتقل می کنیم. قسمت عدد صحیح:

حالا اجزای صحیح 9+2=11 را به اضافه واحدی که از عملیات قبلی به دست آوردیم اضافه می کنیم، عدد 12 به دست می آید. عدد 12 را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

پاسخ 12.3 را دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 9.5 + 2.8 برابر با 12.3 است

9,5 + 2,8 = 12,3

هنگام جمع اعشار، تعداد ارقام بعد از اعشار در هر دو کسر باید یکسان باشد. اگر اعداد کافی وجود نداشته باشد، این مکان ها در قسمت کسری با صفر پر می شوند.

مثال 5. مقدار عبارت را پیدا کنید: 12.725 + 1.7

قبل از نوشتن این عبارت در یک ستون، بیایید تعداد ارقام بعد از اعشار در هر دو کسر را یکسان کنیم. کسر اعشاری 12.725 دارای سه رقم بعد از نقطه اعشار است، اما کسری 1.7 تنها یک رقم دارد. این به این معنی است که در کسر 1.7 باید دو صفر در پایان اضافه کنید. سپس کسری 1.700 را بدست می آوریم. حالا می توانید این عبارت را در یک ستون بنویسید و شروع به محاسبه کنید:

قسمت های هزارم 5+0=5 را اضافه کنید. عدد 5 را در قسمت هزارم پاسخ خود می نویسیم:

صدم ها را اضافه کنید 2+0=2. عدد 2 را در قسمت صدم پاسخ خود می نویسیم:

دهمین 7+7=14 را جمع کنید. عدد 14 در یک دهم پاسخ ما قرار نمی گیرد. بنابراین، ابتدا عدد 4 را یادداشت می کنیم و واحد را به رقم بعدی منتقل می کنیم:

حالا قسمت های صحیح 12+1=13 را به اضافه واحدی که از عملیات قبلی گرفتیم جمع می کنیم، 14 می گیریم. عدد 14 را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

ما 14425 پاسخ دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 12.725+1.700 برابر با 14.425 است.

12,725+ 1,700 = 14,425

تفریق اعشار

هنگام تفریق کسرهای اعشاری، باید از همان قوانینی پیروی کنید که هنگام اضافه کردن: "کاما زیر نقطه اعشار" و "تعداد ارقام مساوی بعد از نقطه اعشار".

مثال 1.مقدار عبارت 2.5 − 2.2 را بیابید

ما این عبارت را در یک ستون با رعایت قانون "کاما زیر کاما" می نویسیم:

قسمت کسری 5-2=3 را محاسبه می کنیم. عدد 3 را در قسمت دهم پاسخ خود می نویسیم:

قسمت عدد صحیح 2-2=0 را محاسبه می کنیم. در قسمت صحیح پاسخ خود صفر می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

ما پاسخ 0.3 را دریافت کردیم. این بدان معنی است که مقدار عبارت 2.5 - 2.2 برابر با 0.3 است

2,5 − 2,2 = 0,3

مثال 2.مقدار عبارت 7.353 - 3.1 را بیابید

در این بیان مقادیر مختلفاعداد بعد از نقطه اعشار کسر 7.353 دارای سه رقم بعد از نقطه اعشار است، اما کسری 3.1 تنها یک رقم دارد. این بدان معناست که در کسر 3.1 باید دو صفر در انتها اضافه کنید تا تعداد ارقام هر دو کسر یکسان شود. سپس 3100 می گیریم.

حالا می توانید این عبارت را در یک ستون بنویسید و آن را محاسبه کنید:

ما 4253 پاسخ دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 7.353 − 3.1 برابر با 4.253 است.

7,353 — 3,1 = 4,253

مانند اعداد معمولی، گاهی اوقات اگر تفریق غیرممکن شود، مجبور خواهید بود از یک رقم مجاور یک عدد قرض بگیرید.

مثال 3.مقدار عبارت 3.46 - 2.39 را بیابید

صدم های 6-9 را تفریق کنید. شما نمی توانید عدد 9 را از عدد 6 کم کنید. بنابراین، باید یک عدد از رقم مجاور قرض بگیرید. با قرض گرفتن یک از رقم مجاور، عدد 6 به عدد 16 تبدیل می شود. اکنون می توانید صدم های 16−9=7 را محاسبه کنید. در قسمت صدم پاسخمان یک عدد هفت می نویسیم:

حالا یک دهم را کم می کنیم. از آنجایی که یک واحد را در جایگاه دهم گرفتیم، رقمی که در آنجا قرار داشت یک واحد کاهش یافت. به عبارت دیگر، در مکان دهم اکنون نه عدد 4، بلکه عدد 3 وجود دارد. بیایید دهمهای 3-3=0 را محاسبه کنیم. در قسمت دهم پاسخ خود صفر می نویسیم:

حالا کل قسمت ها را کم می کنیم 3−2=1. در قسمت صحیح پاسخمان یک می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

ما پاسخ 1.07 را دریافت کردیم. این به این معنی است که مقدار عبارت 3.46-2.39 برابر با 1.07 است

3,46−2,39=1,07

مثال 4. مقدار عبارت 3-1.2 را بیابید

این مثال یک عدد اعشاری را از یک عدد کامل کم می کند. بیایید این عبارت را در یک ستون بنویسیم به طوری که کل کسری اعشاری 1.23 زیر عدد 3 باشد.

حالا بیایید تعداد ارقام بعد از اعشار را یکسان کنیم. برای این کار بعد از عدد 3 یک کاما می گذاریم و یک صفر اضافه می کنیم:

حالا یک دهم را کم می کنیم: 0-2. شما نمی توانید عدد 2 را از صفر کم کنید بنابراین باید از رقم مجاور یک قرض بگیرید. با قرض گرفتن یکی از رقم همسایه، 0 به عدد 10 تبدیل می شود. اکنون می توانید دهم های 10−2=8 را محاسبه کنید. در قسمت دهم پاسخمان هشت می نویسیم:

حالا کل قطعات را کم می کنیم. قبلا عدد 3 در کل قرار داشت اما یک واحد از آن برداشتیم. در نتیجه به عدد 2 تبدیل شد. بنابراین از 2 عدد 1 را کم می کنیم. 2-1=1. در قسمت صحیح پاسخمان یک می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

پاسخی که دریافت کردیم 1.8 بود. این به این معنی است که مقدار عبارت 3-1.2 1.8 است

ضرب اعشار

ضرب اعشار ساده و حتی سرگرم کننده است. برای ضرب اعشار، آنها را مانند اعداد معمولی ضرب می کنید، بدون توجه به کاما.

پس از دریافت پاسخ، باید کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار را در هر دو کسر بشمارید، سپس همان تعداد ارقام را از سمت راست در پاسخ بشمارید و کاما بگذارید.

مثال 1.مقدار عبارت 2.5 × 1.5 را بیابید

بیایید این کسرهای اعشاری را مانند اعداد معمولی ضرب کنیم و کاما را نادیده بگیریم. برای نادیده گرفتن کاما، می توانید به طور موقت تصور کنید که آنها به طور کلی وجود ندارند:

375 گرفتیم. در این عدد باید با کاما قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسرهای 2.5 و 1.5 را بشمارید. کسر اول یک رقم بعد از اعشار دارد و کسر دوم نیز یک رقم دارد. مجموعا دو عدد

به عدد 375 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید دو رقم را در سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما پاسخ 3.75 را دریافت کردیم. بنابراین مقدار عبارت 2.5 × 1.5 برابر با 3.75 است

2.5 × 1.5 = 3.75

مثال 2.مقدار عبارت 12.85 × 2.7 را بیابید

بیایید این کسرهای اعشاری را با نادیده گرفتن کاما ضرب کنیم:

ما 34695 گرفتیم. در این عدد باید قسمت عدد صحیح را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسرهای 12.85 و 2.7 را بشمارید. کسر 12.85 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است و کسری 2.7 دارای یک رقم - در مجموع سه رقم است.

به شماره 34695 برمی گردیم و از راست به چپ حرکت می کنیم. باید سه رقم از سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما 34695 پاسخ دریافت کردیم. بنابراین مقدار عبارت 12.85 × 2.7 برابر با 34.695 است

12.85 × 2.7 = 34.695

ضرب اعشار در یک عدد منظم

گاهی اوقات موقعیت‌هایی پیش می‌آید که باید یک کسر اعشاری را در یک عدد منظم ضرب کنید.

برای ضرب یک اعشار و یک عدد، آنها را بدون توجه به کاما در اعشار ضرب می کنید. پس از دریافت پاسخ، باید کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار را در کسر اعشاری بشمارید، سپس همان تعداد ارقام را از سمت راست در پاسخ بشمارید و کاما بگذارید.

برای مثال 2.54 را در 2 ضرب کنید

کسری اعشاری 2.54 را در عدد معمولی 2 ضرب کنید، بدون توجه به کاما:

ما عدد 508 را گرفتیم. در این عدد باید با کاما قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در کسری 2.54 را بشمارید. کسر 2.54 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است.

به شماره 508 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید دو رقم را در سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما پاسخ 5.08 دریافت کردیم. بنابراین مقدار عبارت 2.54 × 2 5.08 است

2.54 × 2 = 5.08

ضرب اعشار در 10، 100، 1000

ضرب اعداد اعشاری در 10، 100 یا 1000 مانند ضرب اعشار در اعداد منظم انجام می شود. باید ضرب را انجام دهید، بدون توجه به کاما در کسری اعشاری، سپس در پاسخ، کل قسمت را از قسمت کسری جدا کنید، از سمت راست همان تعداد ارقامی را بشمارید که ارقام بعد از نقطه اعشار وجود دارد.

برای مثال 2.88 را در 10 ضرب کنید

کسر اعشاری 2.88 را در 10 ضرب کنید، بدون توجه به کاما در کسری اعشاری:

ما 2880 گرفتیم. در این عدد باید قسمت عدد صحیح را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسر 2.88 را بشمارید. می بینیم که کسر 2.88 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است.

به عدد 2880 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید دو رقم را در سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما پاسخ 28.80 را دریافت کردیم. صفر آخر را رها می کنیم و 28.8 می گیریم. یعنی مقدار عبارت 2.88×10 برابر با 28.8 است

2.88 × 10 = 28.8

راه دومی برای ضرب کسرهای اعشاری در 10، 100، 1000 وجود دارد. این روش بسیار ساده تر و راحت تر است. این شامل حرکت دادن نقطه اعشار به راست به تعداد رقم صفر در ضریب است.

برای مثال مثال قبلی 2.88×10 را به این صورت حل می کنیم. بدون اینکه محاسباتی انجام دهیم، بلافاصله به فاکتور 10 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر در آن وجود دارد. حالا در کسر 2.88 نقطه اعشار را به یک رقم سمت راست می بریم، 28.8 به دست می آید.

2.88 × 10 = 28.8

بیایید سعی کنیم 2.88 را در 100 ضرب کنیم. بلافاصله به ضریب 100 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که دو صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 2.88 نقطه اعشار را به دو رقم سمت راست منتقل می کنیم، 288 به دست می آید.

2.88 × 100 = 288

بیایید سعی کنیم 2.88 را در 1000 ضرب کنیم. بلافاصله به ضریب 1000 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند صفر در آن وجود دارد. می بینیم که سه صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 2.88 نقطه اعشار را سه رقم به سمت راست می بریم. هیچ رقم سومی وجود ندارد، بنابراین یک صفر دیگر اضافه می کنیم. در نتیجه 2880 بدست می آید.

2.88 × 1000 = 2880

ضرب اعشار در 0.1 0.01 و 0.001

ضرب اعشار در 0.1، 0.01 و 0.001 مانند ضرب اعشار در اعشار عمل می کند. باید کسرها را مانند اعداد معمولی ضرب کرد و در جواب یک کاما گذاشت و به تعداد ارقام بعد از اعشار هر دو کسر در سمت راست شمارش کرد.

برای مثال 3.25 را در 0.1 ضرب کنید

ما این کسرها را مانند اعداد معمولی ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:

ما 325 گرفتیم. در این عدد باید قسمت عدد صحیح را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسرهای 3.25 و 0.1 را بشمارید. کسر 3.25 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است و کسری 0.1 دارای یک رقم است. مجموعا سه عدد

به عدد 325 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید سه رقم از سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم. پس از شمارش معکوس سه رقم، متوجه می شویم که اعداد تمام شده اند. در این حالت باید یک صفر اضافه کنید و یک کاما اضافه کنید:

ما پاسخ 0.325 را دریافت کردیم. این بدان معناست که مقدار عبارت 3.25 × 0.1 برابر 0.325 است

3.25 × 0.1 = 0.325

راه دومی برای ضرب اعشار در 0.1، 0.01 و 0.001 وجود دارد. این روش بسیار ساده تر و راحت تر است. این شامل حرکت دادن نقطه اعشار به سمت چپ با تعداد صفرهایی است که در ضریب وجود دارد.

برای مثال مثال قبلی را به این صورت 3.25×0.1 حل می کنیم. بدون انجام هیچ گونه محاسباتی، بلافاصله به ضریب 0.1 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 3.25 نقطه اعشار را یک رقم به سمت چپ منتقل می کنیم. با حرکت دادن کاما یک رقمی به سمت چپ، می بینیم که دیگر رقمی قبل از سه وجود ندارد. در این حالت یک صفر اضافه کنید و یک کاما بگذارید. نتیجه 0.325 است

3.25 × 0.1 = 0.325

بیایید سعی کنیم 3.25 را در 0.01 ضرب کنیم. ما بلافاصله به ضریب 0.01 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که دو صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 3.25 نقطه اعشار را به دو رقم سمت چپ منتقل می کنیم، 0.0325 به دست می آید.

3.25 × 0.01 = 0.0325

بیایید سعی کنیم 3.25 را در 0.001 ضرب کنیم. ما بلافاصله به ضریب 0.001 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که سه صفر در آن وجود دارد. حالا در کسر 3.25 اعشار را سه رقمی به چپ می بریم، 0.00325 به دست می آید.

3.25 × 0.001 = 0.00325

ضرب کسرهای اعشاری در 0.1، 0.001 و 0.001 را با ضرب در 10، 100، 1000 اشتباه نگیرید. اشتباه رایجاکثر مردم

هنگام ضرب در 10، 100، 1000، نقطه اعشار با همان تعداد ارقامی که در ضریب صفر وجود دارد به سمت راست منتقل می شود.

و هنگام ضرب در 0.1، 0.01 و 0.001، نقطه اعشار با همان تعداد ارقامی که صفر در ضریب وجود دارد به سمت چپ منتقل می شود.

اگر در ابتدا به خاطر سپردن سخت است، می توانید از روش اول استفاده کنید، که در آن ضرب مانند اعداد معمولی انجام می شود. در پاسخ، باید کل قسمت را از قسمت کسری با شمارش همان تعداد ارقام سمت راست به اندازه ارقام بعد از نقطه اعشار در هر دو کسر جدا کنید.

تقسیم عدد کوچکتر بر عدد بزرگتر. سطح پیشرفته.

در یکی از درس های قبل گفتیم که با تقسیم عدد کوچکتر به عدد بزرگتر کسری به دست می آید که صورت آن تقسیم کننده و مخرج آن مقسوم علیه است.

به عنوان مثال، برای تقسیم یک سیب بین دو، باید 1 (یک سیب) را در صورت و 2 (دو دوست) را در مخرج بنویسید. در نتیجه کسر را بدست می آوریم. این بدان معناست که هر دوست یک سیب دریافت خواهد کرد. به عبارتی نصف سیب. کسری پاسخ مسئله است چگونه یک سیب را به دو قسمت تقسیم کنیم

معلوم می شود که اگر 1 را بر 2 تقسیم کنید می توانید این مشکل را بیشتر حل کنید. بالاخره خط کسری در هر کسری به معنای تقسیم است و بنابراین این تقسیم در کسر مجاز است. اما چگونه؟ ما به این واقعیت عادت کرده ایم که سود سهام همیشه از تقسیم کننده بیشتر است. اما در اینجا، برعکس، سود سهام کمتر از تقسیم کننده است.

همه چیز روشن می شود اگر به یاد داشته باشیم که کسری به معنای خرد کردن، تقسیم کردن، تقسیم است. این بدان معناست که واحد را می توان به تعداد دلخواه و نه فقط به دو قسمت تقسیم کرد.

وقتی یک عدد کوچکتر را بر یک عدد بزرگتر تقسیم می کنید، یک کسری اعشاری به دست می آید که در آن قسمت صحیح 0 (صفر) است. قسمت کسری می تواند هر چیزی باشد.

بنابراین، بیایید 1 را بر 2 تقسیم کنیم. بیایید این مثال را با یک گوشه حل کنیم:

نمی توان یک نفر را به طور کامل به دو قسمت تقسیم کرد. اگر سوالی بپرسید "چند دو در یک وجود دارد" پس جواب 0 می شود. بنابراین در ضریب 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

حالا طبق معمول ضریب را در مقسوم علیه ضرب می کنیم تا باقیمانده را بدست آوریم:

لحظه ای فرا رسیده است که واحد را می توان به دو قسمت تقسیم کرد. برای انجام این کار، یک صفر دیگر در سمت راست یک حاصل اضافه کنید:

عدد 10 را به دست می آوریم. 10 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 5 را بدست می آوریم. پنج را در قسمت کسری پاسخ خود می نویسیم:

اکنون آخرین باقیمانده را برای تکمیل محاسبه خارج می کنیم. 5 را در 2 ضرب کنید تا به 10 برسید

ما پاسخ 0.5 دریافت کردیم. بنابراین کسر 0.5 است

نصف سیب را می توان با استفاده از کسر اعشاری 0.5 نیز نوشت. اگر این دو نیمه (0.5 و 0.5) را اضافه کنیم، دوباره یک سیب کامل اصلی را بدست می آوریم:

این نکته را نیز می توان فهمید اگر تصور کنید 1 سانتی متر چگونه به دو قسمت تقسیم می شود. اگر 1 سانتی متر را به 2 قسمت تقسیم کنید 0.5 سانتی متر به دست می آید

مثال 2.مقدار عبارت 4:5 را پیدا کنید

در یک چهار عدد پنج عدد وجود دارد؟ اصلا. در ضریب 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

0 را در 5 ضرب می کنیم، 0 می گیریم. زیر چهار عدد صفر می نویسیم. بلافاصله این صفر را از سود سهام کم کنید:

حالا بیایید شروع به تقسیم (تقسیم) چهار به 5 قسمت کنیم. برای این کار، یک صفر به سمت راست 4 اضافه کنید و 40 را بر 5 تقسیم کنید، 8 به دست می آید. در ضریب هشت می نویسیم.

مثال را با ضرب 8 در 5 کامل می کنیم تا عدد 40 بدست آید:

ما پاسخ 0.8 را دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 4:5 0.8 است

مثال 3.مقدار عبارت 5: 125 را بیابید

125 در پنج چند عدد است؟ اصلا. در ضریب 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

0 را در 5 ضرب می کنیم 0 می گیریم زیر پنج عدد 0 می نویسیم. بلافاصله 0 را از پنج کم کنید

حالا بیایید شروع به تقسیم (تقسیم) پنج به 125 قسمت کنیم. برای این کار در سمت راست این پنج عدد صفر می نویسیم:

50 را بر 125 تقسیم کنید 125 در عدد 50 چند عدد است؟ اصلا. بنابراین در ضریب ما دوباره 0 می نویسیم

0 را در 125 ضرب می کنیم، 0 می گیریم. این صفر را زیر 50 بنویسید. بلافاصله 0 را از 50 کم کنید.

حالا عدد 50 را به 125 قسمت تقسیم کنید. برای این کار، یک صفر دیگر در سمت راست 50 می نویسیم:

500 را بر 125 تقسیم کنید 125 در عدد 500 چند عدد است در عدد 500 چهار عدد 125 وجود دارد چهار عدد را در ضریب بنویسید:

مثال را با ضرب 4 در 125 تکمیل می کنیم تا عدد 500 بدست آید

ما پاسخ 0.04 را دریافت کردیم. این به این معنی است که مقدار عبارت 5: 125 0.04 است

تقسیم اعداد بدون باقی مانده

بنابراین، اجازه دهید یک کاما بعد از واحد در ضریب قرار دهیم، به این ترتیب نشان می دهد که تقسیم اجزای صحیح به پایان رسیده است و ما به قسمت کسری می رویم:

به 4 باقی مانده صفر اضافه می کنیم

حالا 40 را بر 5 تقسیم می کنیم، 8 به دست می آید. در ضریب هشت می نویسیم:

40-40=0. ما 0 مانده است. این به این معنی است که تقسیم به طور کامل تکمیل شده است. با تقسیم 9 بر 5 کسر اعشاری 1.8 بدست می آید:

9: 5 = 1,8

مثال 2. 84 را بدون باقیمانده بر 5 تقسیم کنید

ابتدا 84 را بر 5 با باقی مانده تقسیم کنید:

16 تا در خصوصی گرفتیم و 4 تا مونده. حالا بیایید این باقیمانده را بر 5 تقسیم کنیم. در ضریب یک کاما قرار دهید و 0 را به باقی مانده 4 اضافه کنید.

حالا 40 را بر 5 تقسیم می کنیم 8 می گیریم. هشت را در ضریب بعد از اعشار می نویسیم:

و مثال را با بررسی اینکه آیا هنوز باقی مانده است کامل کنید:

تقسیم اعشار بر یک عدد منظم

همانطور که می دانیم کسر اعشاری از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است. هنگام تقسیم یک کسری اعشاری بر یک عدد منظم، ابتدا باید:

• کل کسری اعشاری را بر این عدد تقسیم کنید.
• پس از تقسیم کل قسمت، باید بلافاصله یک کاما را در ضریب قرار دهید و محاسبه را مانند تقسیم عادی ادامه دهید.

برای مثال 4.8 را بر 2 تقسیم کنید

بیایید این مثال را در گوشه ای بنویسیم:

حالا بیایید کل قسمت را بر 2 تقسیم کنیم. چهار تقسیم بر دو برابر است با دو. ما دو را در ضریب می نویسیم و بلافاصله کاما می گذاریم:

حالا ضریب را در مقسوم علیه ضرب می کنیم و می بینیم که آیا از تقسیم باقی مانده است یا خیر:

4-4=0. باقی مانده صفر است. ما هنوز صفر را یادداشت نمی کنیم، زیرا راه حل کامل نشده است. در مرحله بعد، ما به محاسبه مانند تقسیم معمولی ادامه می دهیم. 8 را پایین بیاورید و بر 2 تقسیم کنید

8: 2 = 4. چهار را در ضریب می نویسیم و بلافاصله آن را در مقسوم علیه ضرب می کنیم:

ما پاسخ 2.4 را دریافت کردیم. مقدار عبارت 4.8:2 2.4 است

مثال 2.مقدار عبارت 8.43: 3 را بیابید

8 را بر 3 تقسیم می کنیم، 2 می گیریم. بلافاصله بعد از 2 یک کاما قرار دهید:

حالا ضریب را در مقسوم علیه 2 × 3 = 6 ضرب می کنیم. شش را زیر هشت می نویسیم و باقیمانده را پیدا می کنیم:

24 را بر 3 تقسیم می کنیم 8 بدست می آوریم در ضریب هشت می نویسیم. بلافاصله آن را در مقسوم علیه ضرب کنید تا باقیمانده تقسیم را بیابید:

24-24=0. باقی مانده صفر است. ما هنوز صفر را نمی نویسیم. سه مورد آخر را از سود سهام حذف می کنیم و بر 3 تقسیم می کنیم، 1 می گیریم. بلافاصله 1 را در 3 ضرب کنید تا این مثال کامل شود:

پاسخی که دریافت کردیم 2.81 بود. یعنی مقدار عبارت 8.43: 3 برابر با 2.81 است

تقسیم اعشار بر اعشار

برای تقسیم کسر اعشاری بر کسری اعشاری، باید نقطه اعشار در تقسیم‌کننده و مقسوم‌کننده را به همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم‌گیرنده وجود دارد، به سمت راست ببرید و سپس بر عدد معمولی تقسیم کنید.

برای مثال 5.95 را بر 1.7 تقسیم کنید

بیایید این عبارت را با یک گوشه بنویسیم

حالا در تقسیم‌کننده و در مقسوم‌کننده، نقطه اعشار را به همان تعداد رقمی که بعد از اعشار در مقسوم‌گیرنده وجود دارد، به سمت راست می‌بریم. مقسوم علیه یک رقم بعد از اعشار دارد. یعنی در تقسیم‌کننده و مقسوم‌کننده باید نقطه اعشار را یک رقم به سمت راست ببریم. انتقال می دهیم:

پس از انتقال نقطه اعشار به یک رقم راست، کسر اعشاری 5.95 به کسری 59.5 تبدیل شد. و کسر اعشاری 1.7، پس از انتقال نقطه اعشار به سمت راست توسط یک رقم، به عدد معمولی 17 تبدیل شد. و ما از قبل می دانیم که چگونه یک کسری اعشاری را بر یک عدد منظم تقسیم کنیم. محاسبه بیشتر دشوار نیست:

کاما به سمت راست منتقل می شود تا تقسیم بندی آسان تر شود. این مجاز است زیرا هنگام ضرب یا تقسیم سود و مقسوم بر یک عدد، ضریب تغییر نمی کند. چه مفهومی داره؟

این یکی از ویژگی های جالبتقسیم. به آن خاصیت ضریب می گویند. عبارت 9 را در نظر بگیرید: 3 = 3. اگر در این عبارت سود تقسیمی و مقسوم علیه در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند، ضریب 3 تغییر نمی کند.

بیایید تقسیم و مقسوم علیه را در 2 ضرب کنیم و ببینیم چه چیزی از آن حاصل می شود:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

همانطور که از مثال مشخص است، ضریب تغییر نکرده است.

وقتی کاما را در تقسیم کننده و در تقسیم کننده جابه جا می کنیم همین اتفاق می افتد. در مثال قبل، جایی که 5.91 را بر 1.7 تقسیم کردیم، کاما در تقسیم و مقسوم علیه را یک رقم به سمت راست منتقل کردیم. پس از جابجایی نقطه اعشار، کسری 5.91 به کسری 59.1 و کسری 1.7 به عدد معمولی 17 تبدیل شد.

در واقع، در داخل این فرآیند یک ضرب در 10 وجود دارد. این چیزی است که به نظر می رسد:

5.91 × 10 = 59.1

بنابراین، تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه تعیین می کند که سود و مقسوم علیه در چه چیزی ضرب شود. به عبارت دیگر، تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه تعیین می کند که چند رقم در تقسیم و در مقسوم علیه، نقطه اعشار به سمت راست منتقل می شود.

تقسیم اعشار بر 10، 100، 1000

تقسیم اعشار بر 10، 100 یا 1000 به همان روش انجام می شود. به عنوان مثال، 2.1 را بر 10 تقسیم کنید. این مثال را با استفاده از یک گوشه حل کنید:

اما راه دومی هم وجود دارد. سبک تر است. ماهیت این روش این است که کاما در تقسیم‌کننده با تعداد صفرهایی که در مقسوم‌گیرنده وجود دارد به سمت چپ منتقل می‌شود.

مثال قبلی را به این صورت حل می کنیم. 2.1: 10. ما به مقسوم علیه نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر وجود دارد. این بدان معنی است که در تقسیم 2.1 باید نقطه اعشار را یک رقم به سمت چپ منتقل کنید. کاما را به یک رقم سمت چپ منتقل می کنیم و می بینیم که دیگر رقمی باقی نمانده است. در این صورت یک صفر دیگر قبل از عدد اضافه کنید. در نتیجه ما 0.21 می گیریم

بیایید سعی کنیم 2.1 را بر 100 تقسیم کنیم در 100 دو صفر وجود دارد. این بدان معنی است که در تقسیم سود 2.1 باید کاما را با دو رقم به سمت چپ منتقل کنیم:

2,1: 100 = 0,021

بیایید سعی کنیم 2.1 را بر 1000 تقسیم کنیم در 1000 سه صفر وجود دارد. این بدان معنی است که در تقسیم سود 2.1 باید کاما را با سه رقم به سمت چپ منتقل کنید:

2,1: 1000 = 0,0021

تقسیم اعشار بر 0.1، 0.01 و 0.001

تقسیم کسر اعشاری بر 0.1، 0.01 و 0.001 به همان روش انجام می شود. در تقسیم‌کننده و در مقسوم‌کننده، باید نقطه اعشار را به همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم‌گیرنده وجود دارد، به سمت راست ببرید.

به عنوان مثال، 6.3 را بر 0.1 تقسیم می کنیم. اول از همه، بیایید کاماهای تقسیم کننده و مقسوم علیه را با همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه وجود دارد به سمت راست منتقل کنیم. مقسوم علیه یک رقم بعد از اعشار دارد. این بدان معناست که کاماهای تقسیم کننده و مقسوم علیه را با یک رقم به سمت راست حرکت می دهیم.

پس از انتقال نقطه اعشار به یک رقم راست، کسر اعشاری 6.3 به عدد معمولی 63 تبدیل می شود و کسری اعشاری 0.1 پس از انتقال نقطه اعشاری به سمت راست یک رقم به یک تبدیل می شود. و تقسیم 63 بر 1 بسیار ساده است:

یعنی مقدار عبارت 6.3: 0.1 برابر با 63 است

اما راه دومی هم وجود دارد. سبک تر است. ماهیت این روش این است که کاما در تقسیم‌کننده با تعداد صفرهایی که در مقسوم‌گیرنده وجود دارد به سمت راست منتقل می‌شود.

مثال قبلی را به این صورت حل می کنیم. 6.3: 0.1. بیایید به تقسیم کننده نگاه کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر وجود دارد. این بدان معناست که در تقسیم سود 6.3 باید نقطه اعشار را یک رقم به سمت راست منتقل کنید. کاما را به یک رقم سمت راست ببرید و 63 بگیرید

بیایید سعی کنیم 6.3 را بر 0.01 تقسیم کنیم. مقسوم علیه 0.01 دو صفر دارد. این بدان معناست که در تقسیم سود 6.3 باید نقطه اعشار را دو رقمی به سمت راست منتقل کنیم. اما در سود سهام فقط یک رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد. در این صورت باید یک صفر دیگر در پایان اضافه کنید. در نتیجه 630 می گیریم

بیایید سعی کنیم 6.3 را بر 0.001 تقسیم کنیم. مقسوم علیه 0.001 دارای سه صفر است. این بدان معنی است که در تقسیم سود 6.3 باید نقطه اعشار را سه رقم به سمت راست منتقل کنیم:

6,3: 0,001 = 6300

وظایف برای راه حل مستقل

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید VKontakte و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید