نحوه تعیین کمترین مضرب مشترک اعداد چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم

مطالب ارائه شده در زیر ادامه منطقی نظریه از مقاله تحت عنوان LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال ها، رابطه بین LCM و GCD است. در اینجا ما در مورد صحبت خواهیم کرد یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، و به حل مثال ها توجه ویژه ای داشته باشید. اجازه دهید ابتدا نشان دهیم که چگونه LCM دو عدد بر حسب GCD این اعداد محاسبه می شود. در مرحله بعد، یافتن کمترین مضرب مشترک را با فاکتورگیری اعداد در ضرایب اول در نظر بگیرید. پس از آن بر روی یافتن LCM سه یا چند عدد تمرکز می کنیم و همچنین به محاسبه LCM اعداد منفی نیز توجه می کنیم.

پیمایش صفحه.

محاسبه کمترین مضرب مشترک (LCM) از طریق gcd

یکی از راه های یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. رابطه موجود بین LCM و GCD به شما امکان می دهد حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده محاسبه کنید. فرمول مربوطه دارای فرم است LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . نمونه هایی از یافتن LCM را طبق فرمول بالا در نظر بگیرید.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 126 و 70 را پیدا کنید.

راه حل.

در این مثال a=126، b=70. اجازه دهید از رابطه بین LCM و GCD که با فرمول بیان شده است استفاده کنیم LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 70 و 126 را پیدا کنیم و بعد از آن می توانیم LCM این اعداد را طبق فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.

gcd(126, 70) را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا کنید: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , از این رو gcd(126, 70)=14 .

اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: LCM(126، 70)=126 70: GCM(126، 70)= 126 70:14=630 .

پاسخ:

LCM(126، 70)=630.

مثال.

LCM(68, 34) چیست؟

راه حل.

زیرا 68 به طور مساوی بر 34 بخش پذیر است، سپس gcd(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: LCM(68، 34)=68 34: LCM(68، 34)= 68 34:34=68 .

پاسخ:

LCM(68, 34)=68.

توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت a و b مطابقت دارد: اگر عدد a بر b بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد a است.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اولیه

راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول است. اگر از تمام ضرایب اول این اعداد حاصل ضربی بسازیم و پس از آن همه ضرایب اول مشترکی را که در بسط این اعداد وجود دارند از این حاصلضرب حذف کنیم، حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک این اعداد خواهد بود.

قانون اعلام شده برای یافتن LCM از برابری ناشی می شود LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). در واقع، حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب تمام عوامل دخیل در بسط اعداد a و b. به نوبه خود، gcd(a, b) برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در بسط اعداد a و b وجود دارند (که در بخش یافتن gcd با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول توضیح داده شده است. ).

بیایید یک مثال بزنیم. بگذارید بدانیم که 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . حاصل ضرب تمام عوامل این بسط ها را بنویسید: 2 3 3 5 5 5 7 . حال تمام عواملی را که هم در بسط عدد 75 و هم در بسط عدد 210 وجود دارد را از این محصول حذف می کنیم (این عوامل عبارتند از 3 و 5)، سپس حاصلضرب به شکل 2 3 5 5 7 خواهد بود. مقدار این حاصلضرب برابر است با کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 210 یعنی LCM(75، 210)= 2 3 5 5 7 = 1 050.

مثال.

بعد از اینکه اعداد 441 و 700 را در ضرایب اول قرار دادید، کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید اعداد 441 و 700 را به ضرایب اول تجزیه کنیم:

441=3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7 بدست می آوریم.

حال بیایید از همه عوامل دخیل در بسط این اعداد حاصل ضرب کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این عدد 7 است): 2 2 3 3 5 5 7 7 . بدین ترتیب، LCM(441، 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ:

LCM(441، 700)= 44 100 .

قانون یافتن LCM با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول را می توان کمی متفاوت فرموله کرد. اگر عوامل مفقود شده از بسط عدد b را به عوامل حاصل از بسط عدد a اضافه کنیم، مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد a و b خواهد بود..

برای مثال، بیایید همه اعداد یکسان 75 و 210 را در نظر بگیریم، بسط آنها به ضرایب اول به صورت زیر است: 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . به فاکتورهای 3، 5 و 5 از تجزیه عدد 75، فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از تجزیه عدد 210 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 3 5 5 7 را به دست می آوریم که مقدار آن LCM (75) است. ، 210).

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک 84 و 648 را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا تجزیه اعداد 84 و 648 را به ضرایب اول بدست می آوریم. آنها شبیه 84=2 2 3 7 و 648=2 2 2 3 3 3 3 هستند. به فاکتورهای 2، 2، 3 و 7 از تجزیه عدد 84، فاکتورهای گمشده 2، 3، 3 و 3 را از تجزیه عدد 648 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 2 2 3 3 3 3 7 را به دست می آوریم. که برابر با 4 536 است. بنابراین، حداقل مضرب مشترک مورد نظر اعداد 84 و 648، 4536 است.

پاسخ:

LCM(84، 648)=4 536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان با یافتن متوالی LCM دو عدد پیدا کرد. قضیه مربوطه را به یاد بیاورید که راهی برای یافتن LCM سه یا چند عدد می دهد.

قضیه.

اجازه دهید اعداد صحیح داده شود اعداد مثبت a 1 , a 2 , …, a k , کمترین مضرب مشترک m k این اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1 , a 2 ), m 3 = LCM (m 2 , a 3 , …, m k یافت می شود. = LCM (m k−1، a k).

کاربرد این قضیه را در مثال یافتن مضرب مشترک چهار عدد در نظر بگیرید.

مثال.

LCM چهار عدد 140، 9، 54 و 250 را بیابید.

راه حل.

در این مثال 1 =140، a 2 =9، a 3 =54، a 4 =250.

ابتدا پیدا می کنیم m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). برای انجام این کار، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، gcd(140, 9) را تعیین می کنیم، 140=9 15+5، 9=5 1+4، 5=4 1+1، 4=1 4 داریم، بنابراین، gcd( 140، 9) = 1، از آنجا LCM(140، 9)=140 9: LCM(140، 9)= 140 9:1 = 1 260 . یعنی m 2 = 1 260 .

حالا پیدا می کنیم m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). بیایید آن را از طریق gcd(1 260, 54) محاسبه کنیم که توسط الگوریتم اقلیدس نیز تعیین می شود: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . سپس gcd(1 260, 54)=18، از آنجا LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . یعنی m 3 \u003d 3 780.

چپ برای پیدا کردن m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). برای انجام این کار، GCD(3 780, 250) را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا می کنیم: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . بنابراین، gcd(3 780، 250) = 10، از آنجا gcd (3 780، 250) = 3 780 250:gcd(3 780، 250)= 3 780 250:10=94 500 . یعنی m 4 \u003d 94 500.

بنابراین کمترین مضرب مشترک چهار عدد اصلی 94500 است.

پاسخ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

در بسیاری از موارد، کمترین مضرب مشترک سه یا چند اعداد به راحتی با استفاده از فاکتورسازی اول اعداد داده شده یافت می شود. در این صورت باید از قانون زیر پیروی کرد. کمترین مضرب مشترک چند عدد برابر با حاصل ضرب است که به صورت زیر تشکیل می شود: عوامل گمشده از بسط عدد دوم به همه عوامل از بسط عدد اول اضافه می شوند، عوامل مفقود از بسط عدد اول. عدد سوم به فاکتورهای بدست آمده اضافه می شود و غیره.

مثالی از یافتن کمترین مضرب مشترک با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول را در نظر بگیرید.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را بیابید.

راه حل.

ابتدا بسط این اعداد را به ضرایب اول به دست می آوریم: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 عامل اول) و 143=11 13 .

برای یافتن LCM این اعداد، به فاکتورهای عدد اول 84 (آنها 2، 2، 3 و 7 هستند) باید فاکتورهای گمشده از بسط عدد دوم 6 را اضافه کنید. بسط عدد 6 شامل فاکتورهای گمشده نیست، زیرا هر دو و 2 در حال حاضر در بسط اولین عدد 84 وجود دارند. علاوه بر فاکتورهای 2، 2، 3 و 7، فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد سوم 48 اضافه می کنیم، مجموعه ای از عوامل 2، 2، 2، 2، 3 و 7 را به دست می آوریم. نیازی به افزودن فاکتورها به این مجموعه در مرحله بعد نیست، زیرا 7 قبلاً در آن موجود است. در نهایت به فاکتورهای 2، 2، 2، 2، 3 و 7 فاکتورهای گمشده 11 و 13 را از بسط عدد 143 اضافه می کنیم. حاصلضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 را بدست می آوریم که برابر با 48 048 است.

لانسینوا آیسا

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

وظایف GCD و LCM اعداد کار دانش آموز کلاس ششم MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova آیسا ناظر Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna، معلم ریاضیات ص. کامیشوو، 2013

نمونه ای از یافتن GCD اعداد 50، 75 و 325. 1) اعداد 50، 75 و 325 را به ضرایب اول تجزیه می کنیم. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 بدون باقیمانده تقسیم اعداد a و b را بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد می نامند.

نمونه ای از یافتن LCM اعداد 72، 99 و 117. 1) اعداد 72، 99 و 117 را فاکتور می گیریم. عوامل موجود در بسط یکی از اعداد 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​را بنویسید. ∙ 3 و فاکتورهای گمشده اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) حاصل ضرب عوامل حاصل را بیابید. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 = 10296 پاسخ: LCM (72، 99 و 117) = 10296 کوچکترین مضرب مشترک اعداد a و b کوچکترین عدد طبیعی است که مضرب a است. و ب.

یک ورق مقوا به شکل مستطیل است که طول آن 48 سانتی متر و عرض آن 40 سانتی متر است که این ورق باید بدون ضایعات به صورت مربع های مساوی بریده شود. بزرگترین مربع هایی که می توان از این ورق بدست آورد کدام است و چند عدد؟ راه حل: 1) S = a ∙ b مساحت مستطیل است. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 سانتی متر مربع. مساحت مقوا است. 2) الف - ضلع مربع 48: الف - تعداد مربع هایی که می توان در طول مقوا گذاشت. 40: الف - تعداد مربع هایی که می توان در عرض مقوا گذاشت. 3) GCD (40 و 48) \u003d 8 (سانتی متر) - ضلع مربع. 4) S \u003d a² - مساحت یک مربع. S \u003d 8² \u003d 64 (cm²) - مساحت یک مربع است. 5) 1960: 64 = 30 (تعداد مربع). جواب: 30 مربع با ضلع هر کدام 8 سانتی متر. وظایف برای GCD

شومینه در اتاق باید با کاشی های تکمیلی به شکل مربع چیده شود. چند کاشی برای یک شومینه 195 ͯ 156 سانتی متری مورد نیاز است و چه مواردی وجود دارد بزرگترین ابعادکاشی؟ راه حل: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S سطح شومینه. 2) GCD (195 و 156) = 39 (سانتی متر) - سمت کاشی. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - مساحت 1 کاشی. 4) 30420: = 20 (قطعه). پاسخ: 20 کاشی به ابعاد 39 ͯ 39 (سانتی متر). وظایف برای GCD

یک قطعه باغ به ابعاد 54 ͯ 48 متر در اطراف محیط باید حصارکشی شود، برای این کار، ستون های بتنی باید در فواصل منظم قرار داده شوند. چند میله باید برای سایت آورده شود و تیرها حداکثر در چه فاصله ای از یکدیگر قرار می گیرند؟ راه حل: 1) P = 2 (a + b) - محیط سایت. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 متر 2) GCD (54 و 48) \u003d 6 (m) - فاصله بین ستون ها. 3) 204: 6 = 34 (ستون). پاسخ: 34 ستون، در فاصله 6 متر وظایف برای GCD

از 210 دسته گل سرخ 126 گل رز سفید، 294 گل رز قرمز جمع آوری شد و در هر دسته گل تعداد رزهای هم رنگ برابر است. کدام بزرگترین عدددسته گل های ساخته شده از این گل رز و چند گل رز از هر رنگ در یک دسته گل وجود دارد؟ راه حل: 1) GCD (210، 126 و 294) = 42 (دسته گل). 2) 210: 42 = 5 (رز بورگوندی). 3) 126: 42 = 3 (رز سفید). 4) 294: 42 = 7 (رز قرمز). پاسخ: 42 دسته: در هر دسته گل 5 عدد شرابی، 3 عدد رز سفید، 7 عدد گل رز قرمز. وظایف برای GCD

تانیا و ماشا همان تعداد صندوق پستی خریدند. تانیا 90 روبل پرداخت کرد و ماشا 5 روبل. بیشتر. قیمت یک مجموعه چقدر است؟ هر کدام چند ست خریدند؟ راه حل: 1) ماشا 90 + 5 = 95 (روبل) پرداخت کرد. 2) GCD (90 و 95) = 5 (روبل) - قیمت 1 مجموعه. 3) 980: 5 = 18 (مجموعه) - خریداری شده توسط تانیا. 4) 95: 5 = 19 (ست) - ماشا خرید. پاسخ: 5 روبل، 18 مجموعه، 19 مجموعه. وظایف برای GCD

سه سفر با قایق توریستی در شهر بندری آغاز می شود که اولی 15 روز، دومی 20 و سومی 12 روزه به طول می انجامد. با بازگشت به بندر، کشتی ها در همان روز دوباره به سفر می روند. کشتی های موتوری امروز در هر سه مسیر بندر را ترک کردند. چند روز دیگر برای اولین بار با هم کشتی خواهند گرفت؟ هر کشتی چند سفر خواهد داشت؟ راه حل: 1) NOC (15.20 و 12) = 60 (روز) - زمان ملاقات. 2) 60: 15 = 4 (سفر) - 1 کشتی. 3) 60: 20 = 3 (سفر) - 2 کشتی موتوری. 4) 60: 12 = 5 (سفر) - 3 کشتی موتوری. پاسخ: 60 روز، 4 پرواز، 3 پرواز، 5 پرواز. وظایف برای NOC

ماشا برای خرس در فروشگاه تخم مرغ خرید. در راه جنگل متوجه شد که تعداد تخمها بر 2،3،5،10 و 15 بخش پذیر است. ماشا چند تخم مرغ خرید؟ راه حل: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (تخم مرغ) پاسخ: ماشا 30 تخم مرغ خرید. وظایف برای NOC

لازم است جعبه ای با ته مربع برای روی هم چیدن جعبه هایی به ابعاد 16 ͯ 20 سانتی متر ساخته شود. راه حل: 1) NOC (16 و 20) = 80 (جعبه). 2) S = a ∙ b مساحت 1 جعبه است. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - مساحت پایین 1 جعبه. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (سانتی متر مربع) - سطح مربع پایین. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - ابعاد جعبه. پاسخ: 160 سانتی متر ضلع ته مربع است. وظایف برای NOC

در طول جاده از نقطه K هر 45 متر تیرهای برق وجود دارد که تصمیم گرفته شد این تیرها با تیرهای دیگری جایگزین شوند و در فاصله 60 متری از یکدیگر قرار گیرند. چند قطب وجود داشت و چند تا خواهند ایستاد؟ راه حل: 1) NOK (45 و 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - ستون وجود دارد. 3) 180: 60 = 3 - ستون وجود داشت. جواب: 4 رکن، 3 رکن. وظایف برای NOC

اگر به صورت 12 نفره در یک صف رژه بروند و به یک ستون 18 نفره در یک صف تبدیل شوند، چند سرباز در محل رژه رژه می روند؟ راه حل: 1) NOC (12 و 18) = 36 (نفر) - راهپیمایی. پاسخ: 36 نفر. وظایف برای NOC

تعریف.بزرگترین عدد طبیعی که اعداد a و b بدون باقی مانده بر آن بخش پذیرند نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd)این اعداد

بیایید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 24 و 35 را پیدا کنیم.
مقسوم علیه های 24 اعداد 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24 و مقسوم علیه های 35 اعداد 1، 5، 7، 35 خواهند بود.
می بینیم که اعداد 24 و 35 فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. چنین اعدادی نامیده می شوند. coprime.

تعریف.اعداد طبیعی نامیده می شوند coprimeاگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها (gcd) 1 باشد.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)را می توان بدون نوشتن تمام مقسوم علیه اعداد پیدا کرد.

با فاکتور گیری اعداد 48 و 36 به دست می آید:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
از عواملی که در بسط عدد اول گنجانده شده است، مواردی را که در بسط عدد دوم گنجانده نشده اند (یعنی دو دس) حذف می کنیم.
ضرایب 2 * 2 * 3 باقی می مانند. حاصلضرب آنها 12 است. این عدد بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 48 و 36 است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه عدد یا بیشتر نیز یافت می شود.

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک

2) از عواملی که در بسط یکی از این اعداد گنجانده شده است، مواردی را که در بسط اعداد دیگر گنجانده نشده اند خط بزنید.
3) حاصلضرب عوامل باقیمانده را بیابید.

اگر همه اعداد داده شده بر یکی از آنها بخش پذیر باشند، این عدد است بزرگترین مقسوم علیه مشترکاعداد داده شده
به عنوان مثال، بزرگترین مقسوم علیه مشترک 15، 45، 75 و 180، 15 است، زیرا همه اعداد دیگر را تقسیم می کند: 45، 75، و 180.

کمترین مضرب مشترک (LCM)

تعریف. کمترین مضرب مشترک (LCM)اعداد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی هستند که مضرب هر دو a و b هستند. کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد 75 و 60 را می توان بدون نوشتن مضرب این اعداد در یک ردیف پیدا کرد. برای انجام این کار ، 75 و 60 را به عوامل ساده تجزیه می کنیم: 75 \u003d 3 * 5 * 5 و 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
عواملی که در بسط اعداد اول گنجانده شده است را می نویسیم و فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد دوم به آنها اضافه می کنیم (یعنی عوامل را ترکیب می کنیم).
پنج عامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 بدست می آوریم که حاصل ضرب آنها 300 می شود. این عدد کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 60 است.

همچنین کوچکترین مضرب مشترک سه عدد یا بیشتر را پیدا کنید.

به کمترین مضرب مشترک را پیدا کنیدچندین عدد طبیعی، شما نیاز دارید:
1) آنها را به عوامل اول تجزیه کنید.
2) عوامل موجود در گسترش یکی از اعداد را بنویسید.
3) عوامل گمشده از بسط اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید.
4) حاصلضرب عوامل حاصل را بیابید.

توجه داشته باشید که اگر یکی از این اعداد بر همه اعداد دیگر بخش پذیر باشد، این عدد کمترین مضرب مشترک این اعداد است.
برای مثال، کمترین مضرب مشترک 12، 15، 20 و 60 60 خواهد بود، زیرا بر همه اعداد داده شده بخش پذیر است.

فیثاغورث (قرن ششم قبل از میلاد) و شاگردانش موضوع تقسیم پذیری اعداد را مطالعه کردند. عددی برابر مجموع همه مقسوم علیه های آن (بدون خود عدد) عدد کامل را می گفتند. به عنوان مثال، اعداد 6 (6 = 1 + 2 + 3)، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) کامل هستند. اعداد کامل بعدی 496، 8128، 33،550،336 هستند. فیثاغورثی ها فقط سه عدد کامل اول را می دانستند. چهارم - 8128 - در قرن اول شناخته شد. n ه. پنجم - 33 550 336 - در قرن 15 یافت شد. تا سال 1983، 27 عدد کامل از قبل شناخته شده بود. اما تا به حال، دانشمندان نمی دانند که آیا اعداد کامل فرد وجود دارد یا خیر، آیا بزرگترین عدد کامل وجود دارد یا خیر.
علاقه ریاضیدانان باستان به اعداد اول به این دلیل است که هر عددی یا اول است یا می تواند به عنوان یک محصول نمایش داده شود. اعداد اول، یعنی اعداد اول، همانطور که بود، آجرهایی هستند که بقیه اعداد طبیعی از آنها ساخته شده اند.
احتمالاً متوجه شده اید که اعداد اول در سری اعداد طبیعی به طور ناهموار رخ می دهند - در برخی از قسمت های سری تعداد آنها بیشتر است، در برخی دیگر - کمتر. اما هر چه جلوتر می رویم سری عددی، اعداد اول نادرتر هستند. این سوال مطرح می شود: آیا آخرین (بزرگترین) عدد اول وجود دارد؟ ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس (قرن سوم قبل از میلاد) در کتاب خود "آغاز" که برای دو هزار سال کتاب اصلی ریاضیات بود، ثابت کرد که بی نهایت اعداد اول وجود دارد، یعنی پشت هر عدد اول یک عدد زوج وجود دارد. عدد اول بزرگتر
برای یافتن اعداد اول، یکی دیگر از ریاضیدانان یونانی در همان زمان، اراتوستنس، چنین روشی را ارائه کرد. او همه اعداد را از 1 تا یک عدد یادداشت کرد و سپس واحد را خط زد که نه اول است و نه اول. عدد مرکب، سپس تمام اعداد بعد از 2 را از طریق یک خط بزنید (اعدادی که مضرب 2 هستند، یعنی 4، 6، 8، و غیره). اولین عدد باقیمانده بعد از 2، 3 بود. سپس، پس از دو، تمام اعداد بعد از 3 خط زده شدند (اعدادی که مضرب 3 هستند، یعنی 6، 9، 12 و غیره). در پایان، فقط اعداد اول بدون خط باقی ماندند.

سه راه برای یافتن کمترین مضرب مشترک در نظر بگیرید.

یافتن با فاکتورینگ

راه اول یافتن کمترین مضرب مشترک با فاکتورگیری اعداد داده شده در ضرایب اول است.

فرض کنید باید LCM اعداد: 99، 30 و 28 را پیدا کنیم. برای این کار، هر یک از این اعداد را به عوامل اول تجزیه می کنیم:

برای اینکه عدد مورد نظر بر 99، 30 و 28 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که شامل تمام ضرایب اول این مقسوم علیه ها باشد. برای انجام این کار، باید همه ضرایب اول این اعداد را به بالاترین توان وقوع برسانیم و آنها را با هم ضرب کنیم:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

بنابراین LCM (99، 30، 28) = 13860. هیچ عدد دیگری کمتر از 13860 به طور مساوی بر 99، 30 یا 28 بخش پذیر نیست.

برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده، باید آنها را در ضرایب اول فاکتور کنید، سپس هر عامل اول را با بالاترین شاخصدرجه وقوع آن و این عوامل را در بین خود ضرب کنید.

از آنجایی که اعداد همزمان اول هیچ عامل اول مشترکی ندارند، حداقل مضرب مشترک آنها برابر با حاصلضرب این اعداد است. به عنوان مثال، سه عدد: 20، 49 و 33 هم اول هستند. از همین رو

LCM (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32،340.

هنگام جستجوی کمترین مضرب مشترک اعداد اول مختلف نیز باید همین کار را کرد. به عنوان مثال، LCM (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.

یافتن با انتخاب

راه دوم یافتن کمترین مضرب مشترک با برازش است.

مثال 1. وقتی بزرگترین اعداد داده شده به طور مساوی بر اعداد داده شده دیگر بخش پذیر باشد، LCM این اعداد برابر است با بزرگتر آنها. به عنوان مثال، چهار عدد 60، 30، 10 و 6 داده می شود. هر یک از آنها بر 60 بخش پذیر است، بنابراین:

NOC(60، 30، 10، 6) = 60

در موارد دیگر، برای یافتن کمترین مضرب مشترک، از روش زیر استفاده می شود:

1. بزرگترین عدد را از اعداد داده شده تعیین کنید.
2. در مرحله بعد، اعدادی را پیدا می کنیم که مضرب بزرگترین عدد هستند، آن را در اعداد طبیعی به ترتیب صعودی ضرب می کنیم و بررسی می کنیم که آیا اعداد داده شده باقیمانده بر حاصلضرب تقسیم می شوند یا خیر.

مثال 2. با توجه به سه عدد 24، 3 و 18. بزرگترین آنها را تعیین کنید - این عدد 24 است. سپس، مضرب های 24 را پیدا کنید و بررسی کنید که آیا هر یک از آنها بر 18 و بر 3 بخش پذیر است یا خیر:

24 1 = 24 بر 3 بخش پذیر است اما بر 18 بخش پذیر نیست.

24 2 = 48 - قابل تقسیم بر 3 اما بر 18 بخش پذیر نیست.

24 3 \u003d 72 - قابل تقسیم بر 3 و 18.

بنابراین LCM(24، 3، 18) = 72.

یافتن با یافتن متوالی LCM

راه سوم یافتن کمترین مضرب مشترک با یافتن متوالی LCM است.

LCM دو عدد داده شده برابر است با حاصلضرب این اعداد تقسیم بر بزرگترین مقسوم علیه مشترکشان.

مثال 1. LCM دو عدد داده شده را بیابید: 12 و 8. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را تعیین کنید: GCD (12، 8) = 4. این اعداد را ضرب کنید:

ما محصول را به GCD آنها تقسیم می کنیم:

بنابراین LCM(12، 8) = 24.

برای یافتن LCM سه یا چند عدد از روش زیر استفاده می شود:

1. ابتدا LCM هر دو عدد از داده ها پیدا می شود.
2. سپس، LCM حداقل مضرب مشترک پیدا شده و سومین عدد داده شده.
3. سپس، LCM حاصل از حداقل مضرب مشترک و عدد چهارم، و غیره.
4. بنابراین جستجوی LCM تا زمانی که اعداد وجود دارد ادامه می یابد.

مثال 2. بیایید LCM سه عدد داده شده را پیدا کنیم: 12، 8 و 9. قبلاً LCM اعداد 12 و 8 را در مثال قبلی پیدا کرده ایم (این عدد 24 است). باقی مانده است که کوچکترین مضرب مشترک 24 و سومین عدد داده شده - 9 را پیدا کنیم. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را تعیین کنید: gcd (24، 9) = 3. LCM را با عدد 9 ضرب کنید:

ما محصول را به GCD آنها تقسیم می کنیم:

بنابراین LCM(12، 8، 9) = 72.

برای درک نحوه محاسبه LCM، ابتدا باید معنای اصطلاح "چندین" را تعیین کنید.

مضرب A یک عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر A بخش پذیر است بنابراین می توان 15، 20، 25 و ... را مضرب 5 در نظر گرفت.

مقسوم علیه یک عدد خاص می تواند باشد تعداد محدود، اما تعداد بی نهایت مضرب وجود دارد.

مضرب مشترک اعداد طبیعی عددی است که بدون باقیمانده بر آنها بخش پذیر باشد.

چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم

کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد (دو، سه یا بیشتر) کوچکترین عدد طبیعی است که به طور مساوی بر همه این اعداد بخش پذیر است.

برای یافتن NOC می توانید از چندین روش استفاده کنید.

برای اعداد کوچک، نوشتن تمام مضرب این اعداد در یک خط راحت است تا زمانی که یک مشترک در بین آنها پیدا شود. ضریب ها در رکورد با حرف بزرگ K نشان داده می شوند.

به عنوان مثال، مضرب 4 را می توان به صورت زیر نوشت:

K(4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)

K(6) = (12، 18، 24، ...)

بنابراین، می بینید که کمترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 عدد 24 است. این ورودی به صورت زیر انجام می شود:

LCM(4، 6) = 24

اگر اعداد بزرگ هستند، مضرب مشترک سه عدد یا بیشتر را پیدا کنید، سپس بهتر است از روش دیگری برای محاسبه LCM استفاده کنید.

برای تکمیل کار، لازم است اعداد پیشنهادی را به فاکتورهای اول تجزیه کنیم.

ابتدا باید بسط بزرگترین اعداد را در یک خط و در زیر آن - بقیه را بنویسید.

در بسط هر عدد، ممکن است عوامل مختلفی وجود داشته باشد.

به عنوان مثال، اعداد 50 و 20 را در فاکتورهای اول قرار می دهیم.

در بسط عدد کوچکتر باید زیر عواملی که در بسط اولین عدد بزرگ وجود ندارد خط کشید و سپس به آن اضافه کرد. در مثال ارائه شده، یک دوس گم شده است.

اکنون می توانیم حداقل مضرب مشترک 20 و 50 را محاسبه کنیم.

LCM (20، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

بنابراین، حاصلضرب عوامل اول است بیشترو فاکتورهای عدد دوم که در بسط عدد بزرگتر قرار نمی گیرند، کمترین مضرب مشترک خواهند بود.

برای یافتن LCM سه یا چند عدد، همه آنها باید مانند مورد قبلی به ضرایب اول تجزیه شوند.

به عنوان مثال، می توانید حداقل مضرب مشترک اعداد 16، 24، 36 را پیدا کنید.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

بنابراین، تنها دو دس از تجزیه شانزده در فاکتورگیری یک عدد بزرگتر گنجانده نشد (یکی در تجزیه بیست و چهار است).

بنابراین، آنها باید به تجزیه تعداد بیشتری اضافه شوند.

LCM (12، 16، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

موارد خاصی برای تعیین کمترین مضرب مشترک وجود دارد. بنابراین، اگر بتوان یکی از اعداد را بدون باقیمانده بر دیگری تقسیم کرد، بزرگتر از این اعداد کمترین مضرب مشترک خواهد بود.

برای مثال، NOC های دوازده و بیست و چهار، بیست و چهار خواهند بود.

اگر لازم باشد که حداقل مضرب مشترک اعداد هم اول را که مقسوم‌گیرنده‌های یکسانی ندارند پیدا کنیم، LCM آنها برابر حاصلضرب آنها خواهد بود.

به عنوان مثال، LCM(10، 11) = 110.