1 یک عدد اول است. اعداد اول: تاریخ و حقایق

عدد اول یک عدد طبیعی است که فقط بر خودش و یک بخش پذیر است.

اعداد باقی مانده را اعداد مرکب می نامند.

اعداد طبیعی اول

اما همه اعداد طبیعی اعداد اول نیستند.

اعداد طبیعی اول فقط آنهایی هستند که فقط بر خودشان و یک بخش پذیرند.

مثال ها اعداد اول:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

اعداد صحیح اول

نتیجه این است که فقط اعداد طبیعی اعداد اول هستند.

این بدان معناست که اعداد اول لزوماً اعداد طبیعی هستند.

اما تمام اعداد طبیعی نیز اعداد صحیح هستند.

بنابراین، تمام اعداد اول اعداد صحیح هستند.

نمونه هایی از اعداد اول:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

حتی اعداد اول

فقط یک عدد اول زوج وجود دارد - عدد دو.

همه اعداد اول دیگر فرد هستند.

چرا عدد زوج بزرگتر از دو نمی تواند عدد اول باشد؟

اما چون هر عدد زوج بزرگتر از دو بر خودش بخش پذیر خواهد بود، نه بر یک و دو، یعنی چنین عددی همیشه سه مقسوم علیه و احتمالاً بیشتر خواهد داشت.

تقسیم اعداد طبیعی به اعداد اول و مرکب به فیثاغورث ریاضیدان یونان باستان نسبت داده می شود. و اگر از فیثاغورث پیروی کنید، مجموعه اعداد طبیعی را می توان به سه دسته تقسیم کرد: (1) - مجموعه ای متشکل از یک عدد - یک. (2، 3، 5، 7، 11، 13، ) - مجموعه ای از اعداد اول؛ (4، 6، 8، 9، 10، 12، 14، 15، ) - مجموعه ای از اعداد ترکیبی.

مجموعه دوم رازهای مختلفی را پنهان می کند. اما ابتدا بیایید بفهمیم که عدد اول چیست. "ریاضی" را باز کنید فرهنگ لغت دایره المعارفی"(یو. وی. پروخوروف، انتشارات خانه" دایره المعارف شوروی"، 1988) و بخوانید:

"عدد اول یک عدد صحیح مثبت بزرگتر از یک است که مقسوم علیه دیگری جز خودش و یک ندارد: 2،3،5،7،11،13،

مفهوم عدد اول در مطالعه تقسیم پذیری اعداد طبیعی اساسی است. یعنی، قضیه اساسی حساب بیان می کند که هر عدد صحیح مثبت به جز 1 را می توان به صورت منحصر به فرد به حاصل ضرب اعداد اول تجزیه کرد (ترتیب عوامل در نظر گرفته نمی شود). اعداد اول بی نهایت زیاد هستند (این قضیه که قضیه اقلیدس نامیده می شود برای ریاضیدانان یونان باستان شناخته شده بود؛ اثبات آن را می توان در کتاب 9 عناصر اقلیدس یافت). پی دیریکله (1837) ثابت کرد که در پیشروی حسابی a + bx برای x = 1. ,2,c با اعداد صحیح همزمان a و b نیز شامل بی نهایت اعداد اول است.

برای یافتن اعداد اول از 1 تا x، از قرن سوم شناخته شده است. قبل از میلاد مسیح ه. روش الک اراتوستن. بررسی دنباله (*) اعداد اول از 1 تا x نشان می دهد که با افزایش x به طور متوسط ​​نادرتر می شود. از یک سری اعداد طبیعی به طور دلخواه بخش های طولانی وجود دارد که در میان آنها یک عدد اول وجود ندارد (قضیه 4). در عین حال چنین اعداد اولی وجود دارند که اختلاف آنها برابر با 2 است (به اصطلاح دوقلوها). هنوز مشخص نیست (1987) آیا مجموعه چنین دوقلوهایی متناهی است یا نامتناهی. جداول اعداد اول در 11 میلیون عدد طبیعی اول وجود دوقلوهای بسیار بزرگ را نشان می دهد (برای مثال 10006427 و 10006429).

یافتن توزیع اعداد اول در سری طبیعی اعداد یک مسئله بسیار دشوار در نظریه اعداد است. به عنوان مطالعه رفتار مجانبی تابعی که تعداد اعداد اول را نشان می دهد فرموله می شود عدد مثبتایکس. از قضیه اقلیدس روشن می شود که وقتی. ال اویلر تابع زتا را در سال 1737 معرفی کرد.

او همچنین ثابت کرد که وقتی

جایی که جمع بر روی همه اعداد طبیعی انجام می شود و حاصلضرب روی همه اعداد اول گرفته می شود. این هویت و تعمیم های آن در نظریه توزیع اعداد اول نقش اساسی دارد. بر این اساس، L. Euler ثابت کرد که سری و حاصلضرب با توجه به p اول از هم جدا می شوند. علاوه بر این، L. Euler ثابت کرد که اعداد اول "زیادی" وجود دارد، زیرا

و در عین حال، تقریباً همه اعداد طبیعی مرکب هستند، زیرا در.

و برای هر (یعنی آنچه به عنوان یک تابع رشد می کند). از نظر زمانی، نتیجه مهم بعدی که قضیه چبیشف را اصلاح می کند، به اصطلاح است. قانون مجانبی توزیع اعداد اول (J. Hadamard، 1896، C. La Vallée Poussin، 1896)، که بیان می کند که حد نسبت به برابر با 1 است. متعاقبا، تلاش های قابل توجهی از ریاضیدانان برای روشن کردن مجانبی انجام شد. قانون توزیع اعداد اول پرسش‌های مربوط به توزیع اعداد اول با استفاده از روش‌های ابتدایی و روش‌های تحلیل ریاضی بررسی می‌شوند.

در اینجا منطقی است که برای برخی از قضایای ارائه شده در مقاله اثبات کنیم.

لم 1. اگر gcd(a, b)=1، پس اعداد صحیح x، y وجود دارند که.

اثبات بگذارید a و b اعداد نسبتاً اول باشند. مجموعه J تمام اعداد طبیعی z را که به شکل قابل نمایش هستند در نظر بگیرید و در آن انتخاب کنید کوچکترین عددد

اجازه دهید ثابت کنیم که a بر d بخش پذیر است. a را بر d با باقیمانده تقسیم کنید و اجازه دهید. از آنجایی که شکل دارد، بنابراین،

ما آن را می بینیم.

از آنجایی که فرض کردیم d کوچکترین عدد در J است، یک تناقض دریافت می کنیم. یعنی a بر d بخش پذیر است.

اجازه دهید به همین ترتیب ثابت کنیم که b بر d بخش پذیر است. پس d=1. لم ثابت شده است.

قضیه 1. اگر اعداد a و b هم اول باشند و حاصلضرب bx بر a بخش پذیر باشد، x بر a بخش پذیر است.

اثبات 1. باید ثابت کنیم که ax بر b بخش پذیر است و gcd(a,b)=1، سپس x بر b بخش پذیر است.

با لم 1، x، y وجود دارد که. پس بدیهی است که بر b بخش پذیر است.

اثبات 2. مجموعه J تمام اعداد طبیعی z را طوری در نظر بگیرید که zc بر b بخش پذیر باشد. فرض کنید d کوچکترین عدد در J باشد. دیدن آن آسان است. مشابه اثبات لمای 1، ثابت می شود که a بر d بخش پذیر است و b بر d بخش پذیر است.

لم 2. اگر اعداد q,p1,p2,pn اول باشند و حاصل ضرب بر q بخش پذیر باشد، یکی از اعداد pi برابر است با q.

اثبات ابتدا توجه داشته باشید که اگر عدد اول p بر q بخش پذیر باشد، آنگاه p=q. این بلافاصله بعد از عبارت لم برای n=1 می آید. برای n=2 مستقیماً از قضیه 1 نتیجه می شود: اگر p1p2 بر یک عدد اول q بخش پذیر باشد و آنگاه p2 بر q(i.e) بخش پذیر است.

لم n=3 را به صورت زیر ثابت می کنیم. فرض کنید p1 p2 p3 بر q تقسیم شود. اگر p3 =q، پس همه چیز ثابت می شود. اگر طبق قضیه 1، p1 p2 بر q بخش پذیر است. بنابراین، مورد n=3 را به حالت در نظر گرفته شده n=2 کاهش دادیم.

به همین ترتیب از n=3 می توانیم به n=4 و سپس به n=5 برویم و به طور کلی با فرض اثبات n=k عبارت لم به راحتی می توانیم آن را برای n=k+ ثابت کنیم. 1. این ما را متقاعد می کند که لم برای همه n صادق است.

قضیه اساسی حساب. هر عدد طبیعی را می توان به تجزیه کرد عوامل اصلیتنها راه.

اثبات فرض کنید که دو تجزیه عدد a به عوامل اول وجود دارد:

از آنجایی که سمت راست بر q1 بخش پذیر است، پس سمت چپبرابری ها باید بر q1 بخش پذیر باشند. بر اساس لم 2، یکی از اعداد برابر با q1 است. اجازه دهید هر دو طرف برابری را با q1 لغو کنیم.

بیایید همان استدلال را برای q2، سپس برای q3، برای qi انجام دهیم. در نهایت تمام فاکتورهای سمت راست باطل می شوند و 1 باقی می ماند و طبیعتاً در سمت چپ چیزی جز یکی باقی نمی ماند. از این نتیجه می گیریم که این دو بسط و فقط در ترتیب عوامل می توانند متفاوت باشند. قضیه ثابت شده است.

قضیه اقلیدس. سری اعداد اول بی نهایت است.

اثبات فرض کنید سری اعداد اول متناهی است و آخرین عدد اول را با حرف N نشان می دهیم. اجازه دهید حاصل ضرب را بسازیم.

بیایید 1 را به آن اضافه کنیم.

این عدد که یک عدد صحیح است، باید حداقل یک عامل اول داشته باشد، یعنی باید بر حداقل یک عدد اول بخش پذیر باشد. اما همه اعداد اول، بر اساس فرض، از N تجاوز نمی کنند، و عدد M+1 بدون باقیمانده بر هیچ یک از اعداد اول کوچکتر یا مساوی N قابل تقسیم نیست - هر بار که باقیمانده 1 است. قضیه ثابت می شود.

قضیه 4. مقاطع اعداد مرکب بین اعداد اول می توانند از هر طولی باشند. اکنون ثابت خواهیم کرد که این سری از n عدد مرکب متوالی تشکیل شده است.

این اعداد در سری طبیعی مستقیماً پس از یکدیگر قرار می گیرند، زیرا هر عدد بعدی 1 بیشتر از قبلی است. باید ثابت کنیم که همه آنها ترکیبی هستند.

شماره اول

حتی، زیرا هر دو عبارت آن دارای ضریب 2 هستند. و هر عدد زوج بزرگتر از 2 مرکب است.

عدد دوم از دو جمله تشکیل شده است که هر کدام مضرب 3 است. یعنی این عدد مرکب است.

به همین ترتیب، تعیین می کنیم که عدد بعدی مضرب 4 است و غیره. به عبارت دیگر، هر عدد در سری ما دارای عاملی متفاوت از وحدت و خودش است. بنابراین مرکب است. قضیه ثابت شده است.

پس از مطالعه براهین قضایا، بررسی مقاله را ادامه می دهیم. در متن آن از روش الک اراتوستن به عنوان راهی برای یافتن اعداد اول یاد شده است. بیایید در مورد این روش از همان فرهنگ لغت بخوانیم:

الک اراتوستن روشی است که توسط اراتوستن توسعه داده شده است که به شما امکان می دهد اعداد ترکیبی را از سری های طبیعی الک کنید. جوهر غربال اراتوستن به شرح زیر است. واحد خط خورده است. عدد دو اول است. تمام اعداد طبیعی که بر 2 بخش پذیر هستند خط زده می شوند. سپس تمام اعداد طبیعی که بر 3 بخش پذیر هستند خط زده می شوند. با ادامه محاسبات مشابه، می توانید یک بخش طولانی دلخواه از دنباله ای از اعداد اول را بیابید. غربال اراتوستن به عنوان یک روش نظری برای مطالعه نظریه اعداد توسط V. Brun (1919) ایجاد شد.

اینجا بزرگترین عدد، که در حال حاضر ساده است:

این عدد حدود هفتصد رقم اعشار دارد. محاسباتی که با آن مشخص شد که این عدد اول است بر روی کامپیوترهای مدرن انجام شد.

تابع زتای ریمان، تابع -یک تابع تحلیلی از یک متغیر مختلط است که برای σ>1 به طور مطلق و یکنواخت توسط یک سری دیریکله همگرا تعیین می شود:

برای σ>1، نمایش در قالب محصول اویلر معتبر است:

(2) جایی که p از تمام اعداد اول عبور می کند.

هویت سری (1) و محصول (2) یکی از ویژگی های اصلی تابع زتا است. به شما این امکان را می دهد که دریافت کنید نسبت های مختلف، اتصال تابع زتا با مهمترین توابع نظری اعداد. بنابراین تابع زتا بازی می کند نقش بزرگدر نظریه اعداد

تابع زتا به عنوان تابعی از یک متغیر واقعی توسط ال. اویلر (1737، انتشارات 1744) معرفی شد که مکان آن را در محصول (2) نشان داد. سپس تابع زتا توسط P. دیریکله و به ویژه توسط P. L. Chebyshev با موفقیت در ارتباط با مطالعه قانون توزیع اعداد اول مورد توجه قرار گرفت. با این حال، عمیق ترین ویژگی های تابع زتا پس از کار بی ریمان کشف شد، که برای اولین بار در سال 1859 تابع زتا را به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط در نظر گرفت؛ او همچنین نام "تابع زتا" را معرفی کرد و تعیین """.

اما این سوال پیش می آید: چه چیزی استفاده عملیبرای همه این کارها روی اعداد اول وجود دارد؟ در واقع، تقریباً هیچ کاربردی برای آنها وجود ندارد، اما یک منطقه وجود دارد که اعداد اول و ویژگی های آنها تا به امروز مورد استفاده قرار می گیرند. این رمزنگاری است. در اینجا اعداد اول در سیستم های رمزگذاری بدون انتقال کلید استفاده می شوند.

متأسفانه، این تنها چیزی است که در مورد اعداد اول شناخته شده است. هنوز رازهای زیادی باقی مانده است. برای مثال، مشخص نیست که آیا مجموعه اعداد اول قابل نمایش به صورت دو مربع نامتناهی است یا خیر.

"اول های دشوار".

تصمیم گرفتم برای یافتن پاسخ برخی از سوالات در مورد اعداد اول کمی تحقیق کنم. اول از همه، من برنامه ای را کامپایل کردم که تمام اعداد اول متوالی کمتر از 1.000.000.000 را تولید می کند، علاوه بر این، برنامه ای را کامپایل کردم که مشخص می کند عدد وارد شده اول است یا خیر. برای مطالعه مسائل اعداد اول، نموداری ساختم که نشان دهنده وابستگی مقدار یک عدد اول به عدد ترتیبی است. به عنوان یک طرح تحقیقاتی بیشتر، تصمیم گرفتم از مقاله I. S. Zeltser و B. A. Kordemsky "گله های جالب اول" استفاده کنم. شماره." نویسندگان مسیرهای تحقیقاتی زیر را شناسایی کردند:

1. 168 مکان در هزار عدد طبیعی اول توسط اعداد اول اشغال شده است. از این تعداد، 16 عدد پالیندرومیک هستند - هر کدام برابر معکوس آن است: 11، 101، 131، 151، 181، 191، 313، 353، 373، 383، 727، 757، 787، 797، 929، 919،

فقط 1061 عدد اول چهار رقمی وجود دارد و هیچ یک از آنها پالیندرومیک نیستند.

اعداد پالیندرومی اول پنج رقمی زیادی وجود دارد. آنها شامل چنین زیبایی هایی می شوند: 13331، 15551، 16661، 19991. بدون شک گله هایی از این نوع وجود دارد: ,. اما در هر گله چند نمونه وجود دارد؟

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

مشاهده می شود که مجموع ارقام اعداد بر 3 بخش پذیر است، بنابراین خود این اعداد نیز بر 3 بخش پذیرند.

در مورد اعداد فرم، در میان آنها اعداد اول عبارتند از 72227، 75557، 76667، 78887، 79997.

2. در هزار عدد اول پنج "ربع" متشکل از اعداد اول متوالی وجود دارد. ارقام آخرکه دنباله 1، 3، 7، 9 را تشکیل می دهند: (11، 13، 17، 19)، (101، 103، 107، 109)، (191، 193، 197، 199)، (211، 223، 227، 229 ) ، (821، 823، 827، 829).

در بین اعداد اول n رقمی برای n›3 چند ربع وجود دارد؟

با استفاده از برنامه ای که نوشتم، یک رباعی پیدا شد که نویسندگان آن را از دست دادند: (479، 467، 463، 461) و رباعی برای n = 4، 5، 6. برای n = 4، 11 رباعی وجود دارد.

3. گله ای از نه عدد اول: 199، 409، 619، 829، 1039، 1249، 1459، 1669، 1879 نه تنها به دلیل آنچه نشان می دهد جذاب است. پیشرفت حسابیبا اختلاف 210، اما همچنین قابلیت قرار گرفتن در 9 خانه به طوری که یک مربع جادویی با ثابتی برابر با اختلاف دو عدد اول تشکیل شود: 3119 – 2:

دهمین عبارت بعدی پیشرفت مورد بررسی، 2089، نیز یک عدد اول است. اگر عدد 199 را از گله حذف کنید، اما 2089 را وارد کنید، حتی در این ترکیب گله می تواند یک مربع جادویی تشکیل دهد - موضوعی برای جستجو.

لازم به ذکر است که مربع های جادویی دیگری نیز وجود دارد که از اعداد اول تشکیل شده است:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

مربع پیشنهادی جالب است زیرا

1. مربع جادویی 7x7 است.

2. شامل یک مربع جادویی 5x5 است.

3. مربع جادویی 5x5 شامل یک مربع جادویی 3x3 است.

4. همه این مربع ها یک عدد مرکزی مشترک دارند - 3407;

5. تمام 49 عدد موجود در یک مربع 7x7 با عدد 7 خاتمه می‌یابند.

6. تمام 49 عدد موجود در مربع 7x7 اعداد اول هستند.

7. هر یک از 49 عدد موجود در مربع 7x7 را می توان به صورت 30n + 17 نشان داد.

برنامه های مورد استفاده توسط من با زبان برنامه نویسی Dev-C++ نوشته شده است و متن های آنها را در پیوست ارائه می دهم (به فایل های با پسوند srr مراجعه کنید). علاوه بر همه موارد بالا، من برنامه ای نوشتم که اعداد طبیعی متوالی را به عوامل اول تجزیه می کند (به مقسوم علیه 1 مراجعه کنید. срр) و برنامه ای که فقط عدد وارد شده را به ضرایب اول تجزیه می کند (به مقسوم علیه 2 مراجعه کنید. срр). از آنجایی که این برنامه ها به صورت کامپایل شده فضای زیادی را اشغال می کنند، فقط متون آنها آورده شده است. با این حال، هر کسی می تواند آنها را کامپایل کند اگر برنامه مناسبی داشته باشد.

زندگینامه دانشمندان درگیر در مسئله اعداد اول

اوکلیدس

(حدود 330 قبل از میلاد - حدود 272 قبل از میلاد)

اطلاعات موثق بسیار کمی در مورد زندگی مشهورترین ریاضیدان دوران باستان حفظ شده است. اعتقاد بر این است که او در آتن تحصیل کرده است، که تبیین کننده تسلط درخشان او در هندسه است که توسط مدرسه افلاطون توسعه یافته است. اما ظاهراً با آثار ارسطو آشنایی نداشت. او در اسکندریه تدریس می‌کرد و در آنجا مورد تحسین قرار گرفت فعالیت آموزشیدر زمان سلطنت بطلمیوس اول سوتر. افسانه ای وجود دارد مبنی بر اینکه این پادشاه از او خواسته است که راهی برای دستیابی به موفقیت سریع در ریاضیات کشف کند، که اقلیدس پاسخ داد که هیچ راه سلطنتی در هندسه وجود ندارد (اما داستان مشابهی در مورد منچم نیز گفته شده است که ظاهراً از او سؤال شده است. همان اثر اسکندر مقدونی). سنت یاد اقلیدس را به عنوان فردی خیرخواه و متواضع حفظ کرده است. اقلیدس نویسنده رساله هایی در موضوعات مختلف است، اما نام او عمدتاً با یکی از رساله ها به نام عناصر مرتبط است. این در مورد مجموعه ای از آثار ریاضیدانانی است که قبل از او کار کرده اند (مشهورترین آنها بقراط کوس بود) که نتایج آنها را به لطف توانایی تعمیم و سخت کوشی خود به کمال رساند.

اویلر لئونارد

(بازل، سوئیس 1707 – سن پترزبورگ، 1783)

ریاضیدان، مکانیک و فیزیکدان. در خانواده یک کشیش فقیر به نام پل اویلر متولد شد. او تحصیلات خود را ابتدا نزد پدرش دریافت کرد و در سال‌های 1720-24 در دانشگاه بازل، جایی که در سخنرانی‌هایی درباره ریاضیات توسط I. Bernoulli شرکت کرد.

در پایان سال 1726، اویلر به آکادمی علوم سن پترزبورگ دعوت شد و در ماه مه 1727 به سن پترزبورگ رسید. در آکادمی تازه سازماندهی شده، اویلر شرایط مساعدی برای فعالیت علمی پیدا کرد که به او اجازه داد تا بلافاصله مطالعه ریاضیات و مکانیک را آغاز کند. اویلر در طول 14 سال از اولین دوره زندگی خود در سن پترزبورگ، حدود 80 اثر را برای انتشار آماده کرد و بیش از 50 اثر را منتشر کرد. او در سن پترزبورگ به مطالعه زبان روسی پرداخت.

اویلر در بسیاری از زمینه های فعالیت آکادمی علوم سن پترزبورگ شرکت کرد. او در دانشگاه آکادمیک برای دانشجویان سخنرانی کرد، در آزمون‌های فنی مختلف شرکت کرد، روی تهیه نقشه‌های روسیه کار کرد و یک کتاب «راهنمای حساب» (1738-1738) نوشت. اویلر بر اساس دستورالعمل های ویژه آکادمی، "علوم دریایی" (1749) را برای انتشار آماده کرد که یک اثر اساسی در مورد نظریه کشتی سازی و ناوبری بود.

در سال 1741، اویلر پیشنهاد پادشاه پروس فردریک دوم را برای نقل مکان به برلین، جایی که قرار بود سازماندهی مجدد آکادمی علوم انجام شود، پذیرفت. اویلر در آکادمی علوم برلین سمت مدیر کلاس ریاضیات و یکی از اعضای هیئت مدیره را بر عهده گرفت و پس از مرگ اولین رئیس آن، پی. مائوپرتویس، برای چندین سال (از سال 1759) عملاً آکادمی را رهبری کرد. او در طول 25 سال زندگی خود در برلین، حدود 300 اثر از جمله تعدادی تک نگاری بزرگ تهیه کرد.

اویلر زمانی که در برلین زندگی می کرد، به طور فشرده برای آکادمی علوم سن پترزبورگ دست از کار نکشید و عنوان عضو افتخاری آن را حفظ کرد. او مکاتبات علمی و علمی - سازمانی گسترده ای انجام داد، به ویژه با م. لومونوسوف که برای او ارزش زیادی قائل بود مکاتبه داشت. اویلر بخش ریاضی بدنه علمی آکادمیک روسیه را ویرایش کرد، جایی که در این مدت تقریباً به اندازه "خاطرات" آکادمی علوم برلین مقاله منتشر کرد. او فعالانه در آموزش ریاضیدانان روسی شرکت کرد. آکادمیسین های آینده S. Kotelnikov، S. Rumovsky و M. Sofronov به برلین فرستاده شدند تا تحت رهبری او تحصیل کنند. اویلر کمک زیادی به آکادمی علوم سنت پترزبورگ کرد و ادبیات علمی و تجهیزات برای آن خرید، با نامزدهای پست در آکادمی مذاکره کرد و غیره.

17 ژوئیه (28)، 1766 اویلر و خانواده اش به سن پترزبورگ بازگشتند. با وجود کهولت سن و نابینایی تقریباً کاملی که برایش پیش آمده بود، تا پایان عمر کار پرباری داشت. در طول 17 سال اقامت دوم خود در سن پترزبورگ، حدود 400 اثر از جمله چند کتاب بزرگ تهیه کرد. اویلر به مشارکت در کار سازمانی آکادمی ادامه داد. در سال 1776، او یکی از کارشناسان پروژه یک پل تک قوسی در سراسر نوا بود که توسط I. Kulibin پیشنهاد شد، و از کل کمیسیون، او تنها کسی بود که به طور گسترده از این پروژه حمایت کرد.

شایستگی های اویلر به عنوان یک دانشمند و سازمان دهنده بزرگ تحقیق علمیدر طول زندگی خود مورد تحسین قرار گرفت. او علاوه بر آکادمی های سن پترزبورگ و برلین، عضو بزرگترین مؤسسات علمی بود: آکادمی علوم پاریس، انجمن سلطنتی لندن و دیگران.

یکی از جنبه های متمایز کار اویلر بهره وری استثنایی اوست. تنها در طول زندگی او، حدود 550 کتاب و مقاله از او منتشر شد (فهرست آثار اویلر تقریباً شامل 850 عنوان است). در سال 1909، انجمن علوم طبیعی سوئیس شروع به انتشار آثار کامل اویلر کرد که در سال 1975 تکمیل شد. شامل 72 جلد است. مکاتبات علمی عظیم اویلر (حدود 3000 نامه) نیز بسیار مورد توجه است؛ این مکاتبات تا کنون فقط به طور جزئی منتشر شده است.

دامنه فعالیت های اویلر به طور غیرمعمول گسترده بود و تمام بخش های ریاضیات و مکانیک معاصر، نظریه کشش، فیزیک ریاضی، اپتیک، تئوری موسیقی، نظریه ماشین، بالستیک، علوم دریایی، بیمه و غیره را در بر می گرفت. حدود 3/5 از آثار اویلر مربوط می شود. به ریاضیات، 2/5 باقی مانده عمدتا به کاربردهای آن است. دانشمند نتایج خود و نتایج به دست آمده توسط دیگران را در تعدادی تک نگاری کلاسیک که با وضوح شگفت انگیزی نوشته شده و نمونه های ارزشمندی ارائه شده است، نظام مند کرد. اینها، برای مثال، «مکانیک، یا علم حرکت، توضیح تحلیلی» (1736)، «مقدمه ای بر تحلیل» (1748)، «حساب دیفرانسیل» (1755)، «نظریه حرکت» هستند. جامد"(1765)، "حساب جهانی" (1768-69)، که از طریق حدود 30 نسخه به 6 زبان، "حساب انتگرال" (1768-94)، و غیره در قرن 18th. ، و تا حدی در قرن 19th. «نامه‌هایی درباره موضوعات مختلف فیزیکی و فلسفی، نوشته شده به یک شاهزاده خانم آلمانی» که در دسترس عموم قرار گرفت، بسیار محبوب شد. (1768–74)، که بیش از 40 نسخه به 10 زبان را پشت سر گذاشت. سپس بیشتر محتوای تک نگاری های اویلر در دستورالعمل های آموزشی برای آموزش عالی گنجانده شد دبیرستان. فهرست کردن تمام قضایا، روش‌ها و فرمول‌های اویلر که هنوز مورد استفاده قرار می‌گیرند، غیرممکن است که تنها تعداد کمی از آنها در ادبیات به نام او آمده است [به عنوان مثال، روش خط شکسته اویلر، جایگزین‌های اویلر، ثابت اویلر، معادلات اویلر، فرمول‌های اویلر، تابع اویلر، اعداد اویلر، فرمول اویلر - ماکلورین، فرمول های اویلر– فوریه، مشخصه اویلر، انتگرال های اویلر، زوایای اویلر].

اویلر در مکانیک ابتدا دینامیک یک نقطه را با استفاده از تجزیه و تحلیل ریاضی ترسیم کرد: حرکت آزادانه یک نقطه تحت تأثیر نیروهای مختلف، هم در خلا و هم در یک محیط با مقاومت. حرکت یک نقطه در امتداد یک خط یا سطح معین؛ حرکت تحت تأثیر نیروهای مرکزی در سال 1744، او برای اولین بار اصل مکانیکی کمترین عمل را به درستی فرموله کرد و اولین کاربردهای آن را نشان داد. اویلر در کتاب تئوری حرکت جسم صلب، سینماتیک و دینامیک یک جسم صلب را توسعه داد و معادلات چرخش آن را حول یک نقطه ثابت ارائه کرد و پایه و اساس نظریه ژیروسکوپ را گذاشت. اویلر در تئوری کشتی، کمک های ارزشمندی به نظریه پایداری کرد. اکتشافات اویلر در مکانیک سماوی (مثلاً در تئوری حرکت ماه)، مکانیک پیوسته (معادلات اساسی حرکت سیال ایده آل به شکل اویلر و به اصطلاح متغیرهای لاگرانژ، نوسانات گاز در لوله ها) قابل توجه بود. ، و غیره.). در اپتیک، اویلر (1747) فرمول یک عدسی محدب را ارائه کرد و روشی را برای محاسبه ضریب شکست یک محیط پیشنهاد کرد. اویلر به نظریه امواج نور پایبند بود. او معتقد بود که رنگ های مختلف با طول موج های مختلف نور مطابقت دارند. اویلر راه هایی را برای از بین بردن انحرافات رنگی عدسی ها پیشنهاد کرد و روش هایی را برای محاسبه اجزای نوری یک میکروسکوپ ارائه کرد. اویلر مجموعه وسیعی از آثار را که در سال 1748 آغاز شد، به آن اختصاص داد فیزیک ریاضی: مشکلات مربوط به ارتعاش یک ریسمان، صفحه، غشاء و غیره. همه این مطالعات توسعه این نظریه را تحریک کردند. معادلات دیفرانسیل، روش های تقریبی تجزیه و تحلیل، مشخصات. توابع، هندسه دیفرانسیل، و غیره. بسیاری از اکتشافات ریاضی اویلر در این آثار وجود دارد.

کار اصلی اویلر به عنوان یک ریاضیدان توسعه تجزیه و تحلیل ریاضی بود. او پایه های چندین رشته ریاضی را بنا نهاد که فقط در شکل ابتدایی خود بودند یا در حساب بی نهایت کوچک توسط آی. نیوتن، جی. لایب نیتس و برادران برنولی کاملاً وجود نداشتند. بنابراین، اویلر اولین کسی بود که توابع یک آرگومان مختلط را معرفی کرد و ویژگی‌های توابع ابتدایی یک متغیر مختلط (توابع نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی) را بررسی کرد. به ویژه، او فرمول های اتصال را استخراج کرد توابع مثلثاتیبا نمایشی کار اویلر در این راستا پایه و اساس نظریه توابع یک متغیر مختلط را گذاشت.

اویلر خالق حساب تغییرات بود که در کار «روش یافتن خطوط منحنی که دارای ویژگی‌های حداکثر یا حداقل هستند» ارائه شد. (1744). روشی که اویلر در سال 1744 از آن استخراج کرد شرط لازمحداکثر تابعی - معادله اویلر، نمونه اولیه روش های مستقیم محاسبه تغییرات قرن بیستم بود. اویلر نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی را به عنوان یک رشته مستقل ایجاد کرد و پایه های نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی را گذاشت. در اینجا او صاحب تعداد زیادی اکتشاف است: روش کلاسیکحل معادلات خطی با ضرایب ثابت، روش تغییر ضرایب دلخواه، روشن شدن ویژگی های اصلی معادله ریکاتی، ادغام معادلات خطی با ضرایب متغیر با استفاده از سری های بی نهایت، معیارهای حل های ویژه، دکترین ضریب انتگرال گیری، انواع مختلف روش های تقریبی و تعدادی تکنیک برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی. اویلر بخش قابل توجهی از این نتایج را در "حساب انتگرال" خود جمع آوری کرد.

اویلر همچنین حساب دیفرانسیل و انتگرال را به معنای محدود کلمه (مثلاً دکترین تغییرات متغیرها، قضیه توابع همگن، مفهوم انتگرال مضاعف و محاسبه بسیاری از انتگرال های خاص) غنی کرد. اویلر در «حساب دیفرانسیل» اعتقاد خود را مبنی بر توصیه به استفاده از سری‌های واگرا و روش‌های پیشنهادی برای جمع‌بندی تعمیم‌یافته سری‌ها، با پیش‌بینی ایده‌های نظریه سخت‌گیرانه مدرن سری‌های واگرا، که در نوبت نوزدهم ایجاد شد، بیان کرد و با مثال‌هایی از آن حمایت کرد. قرن 20. علاوه بر این، اویلر نتایج ملموس بسیاری را در نظریه سری به دست آورد. او به اصطلاح کشف کرد. فرمول جمع اویلر- ماکلورین، تبدیل سری را که نام او را دارد، پیشنهاد کرد، مجموع تعداد زیادی از سری ها را تعیین کرد و انواع جدیدی از سری ها را به ریاضیات معرفی کرد (به عنوان مثال، سری مثلثاتی). این همچنین شامل تحقیقات اویلر در مورد تئوری کسرهای ادامه دار و سایر فرآیندهای نامحدود می شود.

اویلر بنیانگذار نظریه توابع ویژه است. او اولین کسی بود که سینوس و کسینوس را به عنوان توابع در نظر گرفت، نه به عنوان بخش هایی در یک دایره. او تقریباً تمام بسط های کلاسیک توابع ابتدایی را به سری ها و محصولات بی نهایت به دست آورد. آثار او نظریه تابع γ را ایجاد کرد. او خواص انتگرال های بیضوی، توابع هذلولی و استوانه ای، تابع ζ، برخی از توابع θ، لگاریتم انتگرال، و کلاس های مهم چند جمله ای های خاص را مطالعه کرد.

به گفته پی. چبیشف، اویلر پایه و اساس تمام تحقیقاتی را که بخش کلی نظریه اعداد را تشکیل می دهد، گذاشت. بنابراین، اویلر تعدادی از گزاره های پی. و تعدادی از مشکلات در تجزیه و تحلیل دیوفانتین را مطالعه کرد. اویلر در آثار خود در مورد تقسیم اعداد به اصطلاحات و نظریه اعداد اول، اولین کسی بود که از روش های تجزیه و تحلیل استفاده کرد و بدین ترتیب خالق نظریه تحلیلی اعداد شد. به طور خاص، او تابع ζ را معرفی کرد و به اصطلاح را ثابت کرد. هویت اویلر اعداد اول را با تمام اعداد طبیعی مرتبط می کند.

اویلر همچنین در زمینه های دیگر ریاضیات به موفقیت های بزرگی دست یافت. او در جبر آثاری در زمینه حل معادلات در رادیکال نوشت درجات بالاترو در مورد معادلات با دو مجهول و همچنین به اصطلاح. هویت چهار مربعی اویلر. اویلر به طور قابل توجهی هندسه تحلیلی، به ویژه دکترین سطوح درجه دوم را پیشرفته کرد. در هندسه دیفرانسیل، او خصوصیات خطوط ژئودزیکی را به تفصیل مطالعه کرد، اولین کسی بود که معادلات طبیعی منحنی ها را به کار برد و از همه مهمتر، پایه های نظریه سطوح را پی ریزی کرد. او مفهوم جهات اصلی را در یک نقطه از یک سطح معرفی کرد، متعامد بودن آنها را ثابت کرد، فرمولی برای انحنای هر مقطع معمولی استخراج کرد، شروع به مطالعه سطوح قابل توسعه کرد و غیره. در یکی از آثار منتشر شده پس از مرگ (1862)، او تا حدی تحقیقات K. Gauss در مورد هندسه داخلی سطوح را پیش بینی کرد. اویلر همچنین به مسائل خاصی از توپولوژی پرداخت و مثلاً یک قضیه مهم در مورد چندوجهی محدب را اثبات کرد. اویلر ریاضیدان اغلب به عنوان یک "ماشین حساب" درخشان شناخته می شود. در واقع، او استاد بی‌نظیری در محاسبات و تبدیل‌های رسمی بود؛ در آثار او، فرمول‌های ریاضی و نمادهای بسیاری دریافت شد. ظاهر مدرن(به عنوان مثال، او صاحب نماد e و π است). با این حال، اویلر همچنین تعدادی ایده عمیق را وارد علم کرد که اکنون کاملاً اثبات شده است و به عنوان نمونه ای از عمق نفوذ در موضوع تحقیق است.

به گفته پی لاپلاس، اویلر معلم ریاضیدانان دوم بود نیمی از قرن هجدهم V.

DIRICHLET پیتر گوستاو

(دورن، اکنون آلمان، 1805 - گوتینگن، همان، 1859)

او در پاریس تحصیل کرد و روابط دوستانه ای با ریاضیدانان برجسته به ویژه با فوریه برقرار کرد. پس از دریافت درجه علمیاستاد دانشگاه های برسلاو (1826 - 1828)، برلین (1828 - 1855) و گوتینگن بود، جایی که پس از مرگ دانشمند کارل فردریش گاوس، رئیس بخش ریاضیات شد. برجسته ترین سهم او در علم مربوط به نظریه اعداد است، در درجه اول مطالعه سری ها. این به او اجازه داد تا نظریه سری ارائه شده توسط فوریه را توسعه دهد. نسخه خود را از اثبات قضیه فرما ایجاد کرد، از توابع تحلیلی برای حل مسائل حسابی استفاده کرد و معیارهای همگرایی را برای سری ها معرفی کرد. او در زمینه تحلیل ریاضی، تعریف و مفهوم تابع را در این زمینه بهبود بخشید مکانیک نظریتمرکز بر مطالعه پایداری سیستم ها و مفهوم نیوتن از پتانسیل.

چبیشف پافنوتی لوویچ

ریاضیدان روسی، مؤسس مدرسه علمی سنت پترزبورگ، آکادمیسین آکادمی علوم سن پترزبورگ (1856). آثار چبیشف پایه و اساس توسعه بسیاری از شاخه های جدید ریاضیات را گذاشت.

بیش‌ترین آثار چبیشف در زمینه تحلیل ریاضی است. به طور خاص، پایان نامه ای برای حق سخنرانی به او اختصاص داده شد، که در آن چبیشف قابلیت یکپارچگی برخی عبارات غیرمنطقی را در توابع جبری و لگاریتم مطالعه کرد. چبیشف همچنین تعدادی کار دیگر را به ادغام توابع جبری اختصاص داد. در یکی از آنها (1853)، یک قضیه معروف در مورد شرایط یکپارچگی در توابع ابتدایی یک دو جمله ای دیفرانسیل به دست آمد. یک حوزه مهم تحقیق در تجزیه و تحلیل ریاضی شامل کار او در ساخت یک نظریه کلی چند جمله ای های متعامد است. دلیل ایجاد آن درونیابی سهمی با استفاده از روش حداقل مربعات بود. تحقیقات چبیشف در مورد مسئله لحظه ها و فرمول های ربع در مجاورت همین طیف از ایده ها است. با توجه به کاهش محاسبات، چبیشف (1873) پیشنهاد کرد که فرمول های تربیعی را با ضرایب برابر در نظر بگیرد (ادغام تقریبی). تحقیق در مورد فرمول های ربع و تئوری درون یابی ارتباط نزدیکی با وظایفی داشت که در بخش توپخانه کمیته علمی نظامی برای چبیشف مطرح شده بود.

در تئوری احتمال، چبیشف با معرفی سیستماتیک اعتبار دارد متغیرهای تصادفیو ایجاد یک تکنیک جدید برای اثبات قضایای حد در نظریه احتمال - به اصطلاح. روش لحظه ها (1845، 1846، 1867، 1887). او قانون اعداد بزرگ را به شکلی بسیار کلی اثبات کرد. علاوه بر این، برهان او در سادگی و ابتدایی بودن قابل توجه است. چبیشف مطالعه شرایط همگرایی توابع توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل را به قانون عادی کامل نکرده است. با این حال، از طریق برخی از روش های چبیشف، A. A. Markov موفق به انجام این کار شد. بدون نتیجه گیری دقیق، چبیشف همچنین امکان روشن شدن این قضیه حد را در قالب بسط مجانبی تابع توزیع مجموع عبارت های مستقل در توان های n21/2، که در آن n تعداد عبارت ها است، بیان کرد. کار چبیشف در مورد نظریه احتمال، مرحله مهمی در توسعه آن است. علاوه بر این، آنها مبنایی بودند که مکتب روسی نظریه احتمال رشد کرد که در ابتدا از شاگردان مستقیم چبیشف تشکیل شده بود.

ریمان جورج فریدریگ برنهارد

(برزلنز، نیدرزاکسن، 1826 - سلاسکا، نزدیک اینترا، ایتالیا 66)

ریاضیدان آلمانی. او در سال 1846 وارد دانشگاه گوتینگن شد: او به سخنرانی‌های ک. گاوس گوش داد که بسیاری از ایده‌های او بعداً توسط او توسعه یافت. در سال‌های 1847–1849 در دانشگاه برلین سخنرانی کرد. در سال 1849 او به گوتینگن بازگشت، جایی که با همکار گاوس، فیزیکدان دبلیو وبر، که علاقه عمیقی به مسائل علوم ریاضی در او برانگیخت، نزدیک شد.

او در سال 1851 از پایان نامه دکترای خود با عنوان "مبانی نظریه عمومی توابع یک متغیر مختلط" دفاع کرد. از سال 1854، privatedozent، از 1857، استاد دانشگاه گوتینگن.

آثار ریمان داشته است نفوذ بزرگبرای توسعه ریاضیات 2 نیمی از قرن 19 V. و در قرن بیستم. ریمان در پایان نامه دکترای خود، پایه و اساس جهت هندسی نظریه توابع تحلیلی را بنا نهاد. او سطوح موسوم به ریمان را که در مطالعه توابع چند ارزشی مهم هستند، معرفی کرد، نظریه نگاشتهای منسجم را توسعه داد و در ارتباط با این، ایده های اساسی توپولوژی را ارائه کرد، شرایط وجود توابع تحلیلی را مطالعه کرد. داخل دامنه ها انواع مختلف(به اصطلاح اصل دیریکله) و غیره. روش های توسعه یافته توسط ریمان به طور گسترده ای در کارهای بعدی او در مورد تئوری توابع جبری و انتگرال ها، در مورد نظریه تحلیلی معادلات دیفرانسیل (به ویژه، معادلات تعریف کننده توابع فوق هندسی)، در مورد استفاده شد. نظریه اعداد تحلیلی (به عنوان مثال، ریمان ارتباط بین توزیع اعداد اول و ویژگی های تابع ζ، به ویژه با توزیع صفرهای آن در منطقه پیچیده را نشان داد - به اصطلاح فرضیه ریمان، که اعتبار آن هنوز ثابت نشده است) و غیره

ریمان در تعدادی از آثار، تجزیه پذیری توابع را به سری های مثلثاتی مطالعه کرد و در ارتباط با این موضوع، شرایط لازم و کافی را برای یکپارچگی به معنای ریمانی تعیین کرد که برای نظریه مجموعه ها و توابع یک متغیر واقعی مهم بود. ریمان همچنین روش هایی را برای ادغام معادلات دیفرانسیل جزئی (به عنوان مثال، با استفاده از به اصطلاح ثابت های ریمان و تابع ریمان) پیشنهاد کرد.

ریمان در سخنرانی معروف خود در سال 1854 "درباره فرضیه هایی که زیربنای هندسه هستند" (1867)، ایده ای کلی از فضای ریاضی (به قول او "منیفولدها") از جمله فضاهای عملکردی و توپولوژیکی ارائه کرد. او در اینجا هندسه را به معنای وسیع مطالعه منیفولدهای n بعدی پیوسته، یعنی مجموعه‌ای از هر جسم همگن در نظر گرفت و با تعمیم نتایج گاوس بر هندسه داخلی یک سطح، به دست آورد. مفهوم کلیعنصر خطی (دیفرانسیل فاصله بین نقاط منیفولد) که به این ترتیب فضاهای فینسلر نامیده می شود. ریمان با تفصیل بیشتری فضاهای به اصطلاح ریمانی را بررسی کرد و فضاهای اقلیدسی، لوباچفسکی و هندسه بیضوی ریمانی را که با نوع خاصی از عنصر خطی مشخص می شود، تعمیم داد و دکترین انحنای آنها را توسعه داد. ریمان با بحث درباره کاربرد ایده‌های خود در فضای فیزیکی، سؤال «علل ویژگی‌های متریک» آن را مطرح کرد، گویی آنچه را که در نظریه نسبیت عام انجام شده است، پیش‌بینی می‌کند.

ایده ها و روش های پیشنهاد شده توسط ریمان مسیرهای جدیدی را در توسعه ریاضیات باز کرد و در مکانیک و نظریه نسبیت عام کاربرد پیدا کرد. این دانشمند در سال 1866 بر اثر بیماری سل درگذشت.

عدد اولیک عدد طبیعی (عدد صحیح مثبت) است که بدون باقیمانده فقط بر دو عدد طبیعی بخش پذیر است: به خود و به خودی خود. به عبارت دیگر، یک عدد اول دقیقاً دو مقسوم علیه طبیعی دارد: و خود عدد.

طبق تعریف، مجموعه همه مقسوم‌کننده‌های یک عدد اول دو عنصری است، یعنی. یک مجموعه را نشان می دهد.

مجموعه تمام اعداد اول با نماد نشان داده می شود. بنابراین با توجه به تعریف مجموعه اعداد اول می توان نوشت: .

دنباله اعداد اول به صورت زیر است:

قضیه اساسی حساب

قضیه اساسی حساببیان می کند که هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به عنوان حاصل ضرب اعداد اول و به روشی منحصر به فرد، تا مرتبه عوامل نمایش داد. بنابراین، اعداد اول "بلوک های سازنده" ابتدایی مجموعه اعداد طبیعی هستند.

گسترش عدد طبیعی title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} ابتدایی:

عدد اول کجاست و . برای مثال، بسط متعارف یک عدد طبیعی به این صورت است: .

به نمایش یک عدد طبیعی به عنوان حاصل ضرب اعداد اول نیز گفته می شود فاکتورسازی یک عدد.

خواص اعداد اول

غربال اراتوستن

یکی از معروف ترین الگوریتم ها برای جستجو و تشخیص اعداد اول است غربال اراتوستن. بنابراین این الگوریتم به نام ریاضیدان یونانی اراتوستنس سیرنه که نویسنده الگوریتم محسوب می شود، نامگذاری شد.

برای یافتن تمام اعداد اول کوچکتر از یک عدد معین، به روش اراتوستن، مراحل زیر را دنبال کنید:

مرحله 1.تمام اعداد طبیعی از دو تا را بنویسید. .
گام 2.اختصاص دهید مقدار متغیر، یعنی مقداری برابر با کوچکترین عدد اول است.
مرحله 3.در لیست تمام اعداد از به آن مضرب هستند، یعنی اعداد: .
مرحله 4.اولین عدد غیر متقاطع را در لیست بزرگتر از پیدا کنید و مقدار این عدد را به یک متغیر اختصاص دهید.
مرحله 5.مراحل 3 و 4 را تا رسیدن به عدد تکرار کنید.

فرآیند اعمال الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

تمام اعداد تلاقی نشده باقیمانده در لیست در پایان فرآیند اعمال الگوریتم، مجموعه اعداد اول از تا خواهد بود.

حدس گلدباخ

جلد کتاب عمو پتروس و فرضیه گلدباخ

با وجود این واقعیت که اعداد اول برای مدت طولانی توسط ریاضیدانان مورد مطالعه قرار گرفته اند، بسیاری از مسائل مرتبط امروزه حل نشده باقی مانده اند. یکی از معروف ترین مشکلات حل نشده این است فرضیه گلدباخ، که به صورت زیر فرموله شده است:

• آیا این درست است که هر عدد زوج بزرگتر از دو را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نشان داد (فرضیه باینری گلدباخ)؟
• آیا این درست است که هر عدد فرد بزرگتر از 5 را می توان به صورت مجموع نشان داد؟ سه سادهاعداد (فرضیه سه تایی گلدباخ)؟

باید گفت که فرضیه گلدباخ سه تایی یک مورد خاص از فرضیه گلدباخ دوتایی است یا به قول ریاضیدانان فرضیه گلدباخ سه تایی ضعیفتر از فرضیه گلدباخ دوتایی است.

حدس گلدباخ در سال 2000 به لطف یک ترفند بازاریابی تبلیغاتی توسط شرکت های انتشاراتی Bloomsbury USA (ایالات متحده آمریکا) و Faber و Faber (بریتانیا) به طور گسترده در خارج از جامعه ریاضی شناخته شد. این مؤسسات انتشاراتی که کتاب «عمو پتروس و حدس گلدباخ» را منتشر کرده بودند، قول دادند که ظرف 2 سال از تاریخ انتشار کتاب، به هرکسی که فرضیه گلدباخ را ثابت کند، یک میلیون دلار جایزه بپردازند. گاهی اوقات جایزه ذکر شده از سوی ناشران با جوایز حل مشکلات جایزه هزاره اشتباه گرفته می شود. اشتباه نکنید، فرضیه گلدباخ توسط موسسه Clay به عنوان "چالش هزاره" طبقه بندی نشده است، اگرچه ارتباط نزدیکی با فرضیه ریمان- یکی از "چالش های هزاره".

کتاب «اعداد اول. راه طولانی تا بی نهایت"

جلد کتاب «دنیای ریاضیات. اعداد اول. راه طولانی تا بی نهایت"

علاوه بر این، خواندن یک کتاب علمی عامه پسند را توصیه می کنم که در حاشیه آن آمده است: «جستجوی اعداد اول یکی از متناقض ترین مسائل در ریاضیات است. دانشمندان چندین هزار سال است که در تلاش برای حل آن هستند، اما، با نسخه‌ها و فرضیه‌های جدید، این معما هنوز حل نشده باقی مانده است. ظاهر اعداد اول تابع هیچ سیستمی نیست: آنها به طور خود به خود در مجموعه اعداد طبیعی ظاهر می شوند و تمام تلاش های ریاضیدانان برای شناسایی الگوها در دنباله خود را نادیده می گیرند. این کتاب به خواننده این امکان را می دهد که سیر تکامل مفاهیم علمی را از دوران باستان تا امروز ردیابی کند و جالب ترین نظریه های جستجوی اعداد اول را معرفی کند.

علاوه بر این، ابتدای فصل دوم این کتاب را نقل می‌کنم: «اعداد اول یکی از موضوعات مهمی هستند که ما را به ابتدای ریاضیات بازمی‌گردانند و سپس در مسیری با پیچیدگی فزاینده، ما را به خط مقدم هدایت می‌کنند. علم مدرن. بنابراین، ردیابی تاریخچه جالب و پیچیده نظریه اعداد اول بسیار مفید خواهد بود: دقیقاً چگونه توسعه یافت، دقیقاً چگونه حقایق و حقایقی که اکنون به طور کلی پذیرفته شده اند جمع آوری شدند. در این فصل خواهیم دید که چگونه نسل‌هایی از ریاضیدانان اعداد طبیعی را در جستجوی قاعده‌ای که ظاهر اعداد اول را پیش‌بینی می‌کند، به دقت مطالعه کردند - قاعده‌ای که با پیشرفت جست‌وجو به طور فزاینده‌ای مبهم می‌شد. ما همچنین به طور مفصل به بافت تاریخی نگاه خواهیم کرد: شرایطی که ریاضیدانان تحت آن کار می کردند و میزان کار آنها شامل اعمال عرفانی و نیمه مذهبی است که کاملاً با روش های علمی مورد استفاده در زمان ما متفاوت است. با این وجود، به آرامی و به سختی، زمینه برای دیدگاه‌های جدیدی فراهم شد که الهام‌بخش فرما و اویلر در قرن‌های 17 و 18 بودند.

اعداد متفاوت هستند: طبیعی، گویا، گویا، اعداد صحیح و کسری، مثبت و منفی، مختلط و اول، فرد و زوج، واقعی و غیره. از این مقاله می توانید بفهمید که اعداد اول چیست.

به چه اعدادی در انگلیسی "ساده" می گویند؟

خیلی اوقات، دانش آموزان نمی دانند چگونه به یکی از ساده ترین سؤالات ریاضیات در نگاه اول پاسخ دهند، در مورد اینکه عدد اول چیست. آنها اغلب اعداد اول را با اعداد طبیعی اشتباه می گیرند (یعنی اعدادی که مردم هنگام شمارش اشیا استفاده می کنند، در حالی که در برخی منابع با صفر و در برخی دیگر با یک شروع می شوند). اما اینها دو مفهوم کاملا متفاوت هستند. اعداد اول اعداد طبیعی هستند، یعنی اعداد صحیح و مثبت که بزرگتر از یک هستند و فقط 2 مقسوم علیه طبیعی دارند. علاوه بر این، یکی از این مقسوم‌گیرنده‌ها عدد داده شده است و دومی یک است. به عنوان مثال، سه عدد اول است زیرا نمی توان آن را بدون باقیمانده بر عدد دیگری غیر از خودش و یک تقسیم کرد.

اعداد مرکب

نقطه مقابل اعداد اول اعداد مرکب است. آنها همچنین طبیعی هستند، همچنین بزرگتر از یک هستند، اما نه دو، بلکه تعداد بیشتری مقسوم علیه دارند. بنابراین مثلاً اعداد 4، 6، 8، 9 و غیره طبیعی، مرکب هستند، اما اعداد اول نیستند. همانطور که می بینید، اینها اکثراً اعداد زوج هستند، اما نه همه. اما "دو" یک عدد زوج و "عدد اول" در یک سری از اعداد اول است.

دنباله

برای ساخت یک سری اعداد اول، لازم است از بین تمام اعداد طبیعی، با در نظر گرفتن تعریف آنها، انتخاب کنید، یعنی باید بر اساس تضاد عمل کنید. لازم است هر یک از اعداد طبیعی مثبت را بررسی کنیم تا ببینیم آیا بیش از دو مقسوم علیه دارد یا خیر. بیایید سعی کنیم یک سری (دنباله) بسازیم که از اعداد اول تشکیل شده باشد. این لیست با دو شروع می شود و پس از آن سه می شود، زیرا فقط بر خودش و یک تقسیم می شود. عدد چهار را در نظر بگیرید. آیا مقسوم علیه های دیگری به جز چهار و یک دارد؟ بله، آن عدد 2 است. پس چهار عدد اول نیست. پنج نیز اول است (به هیچ عدد دیگری به جز 1 و 5 بخش پذیر نیست) اما شش قابل بخش است. و به طور کلی، اگر تمام اعداد زوج را دنبال کنید، متوجه خواهید شد که به جز "دو"، هیچ یک از آنها اول نیستند. از این نتیجه می گیریم که اعداد زوج به جز دو عدد اول نیستند. یک کشف دیگر: همه اعدادی که بر سه بخش پذیرند، به جز خود سه، چه زوج و چه فرد، نیز اول نیستند (6، 9، 12، 15، 18، 21، 24، 27، و غیره). همین امر در مورد اعدادی که بر پنج و هفت بخش پذیر هستند نیز صدق می کند. همه کثرت آنها نیز ساده نیست. بیایید خلاصه کنیم. بنابراین، اعداد تک رقمی ساده شامل همه اعداد فرد به جز یک و نه می شود و زوج «دو» اعداد زوج هستند. خود ده ها (10، 20،... 40 و ...) ساده نیستند. اعداد اول دو رقمی، سه رقمی و غیره را می توان بر اساس اصول فوق تعیین کرد: اگر مقسوم علیه دیگری جز خود و یک نداشته باشند.

نظریه هایی در مورد خواص اعداد اول

علمی وجود دارد که خواص اعداد صحیح از جمله اعداد اول را مطالعه می کند. این شاخه ای از ریاضیات است که به آن بالاتر می گویند. او علاوه بر ویژگی های اعداد صحیح، به اعداد جبری، ماورایی و توابع نیز می پردازد. با ریشه های مختلفمربوط به حساب این اعداد است. در این مطالعات علاوه بر روش های ابتدایی و جبری، از روش های تحلیلی و هندسی نیز استفاده می شود. به طور خاص، "نظریه اعداد" به مطالعه اعداد اول می پردازد.

اعداد اول "بلوک های سازنده" اعداد طبیعی هستند

در حساب یک قضیه ای به نام قضیه بنیادی وجود دارد. بر اساس آن، هر عدد طبیعی به جز یک عدد را می توان به صورت حاصلضرب نشان داد که عوامل آن اعداد اول هستند و ترتیب عوامل منحصر به فرد است، یعنی روش نمایش منحصر به فرد است. به آن فاکتورگیری یک عدد طبیعی به عوامل اول گفته می شود. نام دیگری برای این فرآیند وجود دارد - فاکتورسازی اعداد. بر این اساس می توان اعداد اول را نامید. مواد و مصالح ساختمانی"، "بلوک" برای ساخت اعداد طبیعی.

اعداد اول را جستجو کنید تست های سادگی

بسیاری از دانشمندان از زمان‌های مختلف سعی کردند اصولی (سیستم‌هایی) برای یافتن فهرستی از اعداد اول بیابند. علم سیستم هایی به نام غربال اتکین، غربال ساندارتام و غربال اراتوستن را می شناسد. با این حال، آنها هیچ نتیجه قابل توجهی تولید نمی کنند و از یک آزمایش ساده برای یافتن اعداد اول استفاده می شود. ریاضی دانان الگوریتم هایی نیز ایجاد کردند. آنها را معمولاً تست های اولیه می نامند. به عنوان مثال، تستی وجود دارد که توسط رابین و میلر توسعه یافته است. توسط رمزنگاران استفاده می شود. آزمون Kayal-Agrawal-Sasquena نیز وجود دارد. با این حال، با وجود دقت کافی، محاسبه آن بسیار دشوار است، که از اهمیت عملی آن می کاهد.

آیا مجموعه اعداد اول محدودیتی دارد؟

اقلیدس دانشمند یونان باستان در کتاب خود به نام "عناصر" نوشته است که مجموعه اعداد اول بی نهایت است. او این را گفت: «بیایید یک لحظه تصور کنیم که اعداد اول حدی دارند. سپس آنها را در یکدیگر ضرب می کنیم و یکی را به حاصل ضرب اضافه می کنیم. عددی که در نتیجه این اعمال ساده به دست می آید را نمی توان بر هیچ یک از سری اعداد اول تقسیم کرد، زیرا باقیمانده همیشه یک خواهد بود. این بدان معنی است که یک عدد دیگر وجود دارد که هنوز در لیست اعداد اول گنجانده نشده است. بنابراین فرض ما درست نیست و این مجموعه نمی تواند حدی داشته باشد. علاوه بر اثبات اقلیدس، فرمول مدرن تری وجود دارد که توسط ریاضیدان سوئیسی قرن هجدهم، لئونارد اویلر ارائه شده است. بر اساس آن، مجموع متقابل مجموع n عدد اول به طور نامحدود با افزایش عدد n رشد می کند. و در اینجا فرمول قضیه در مورد توزیع اعداد اول است: (n) به صورت n/ln (n) رشد می کند.

بزرگترین عدد اول چیست؟

همان لئونارد اویلر توانست بزرگترین عدد اول زمان خود را بیابد. این 2 31 - 1 = 2147483647 است. با این حال، تا سال 2013، یکی دیگر از دقیق ترین بزرگترین در لیست اعداد اول محاسبه شد - 2 57885161 - 1. این عدد مرسن نامیده می شود. این شامل حدود 17 میلیون رقم اعشاری است. همانطور که می بینید، تعداد کشف شده توسط یک دانشمند قرن هجدهم چندین برابر کمتر از این است. باید اینطور می شد، زیرا اویلر این محاسبه را به صورت دستی انجام می داد، در حالی که هم عصر ما احتمالاً توسط یک رایانه کمک می کرد. علاوه بر این، این تعداد در دانشکده ریاضیات در یکی از دپارتمان های آمریکا به دست آمد. اعدادی که به نام این دانشمند نامگذاری شده اند، از آزمون ابتدایی Luc-Lemaire عبور می کنند. با این حال، علم نمی خواهد در اینجا متوقف شود. بنیاد Electronic Frontier Foundation که در سال 1990 در ایالات متحده آمریکا (EFF) تأسیس شد، برای یافتن اعداد اول بزرگ یک جایزه پولی در نظر گرفته است. و اگر تا سال 2013 این جایزه به دانشمندانی تعلق می گرفت که آنها را از بین 1 و 10 میلیون پیدا می کردند. اعداد اعشاری، امروز این رقم از 100 میلیون به 1 میلیارد رسیده است. جوایز از 150 تا 250 هزار دلار آمریکا متغیر است.

نام اعداد اول خاص

اعدادی که به لطف الگوریتم های ایجاد شده توسط دانشمندان خاص پیدا شده و آزمون سادگی را گذرانده اند، خاص نامیده می شوند. در اینجا به برخی از آنها اشاره می کنیم:

1. مرسن.

4. کالن.

6. میلز و همکاران.

سادگی این اعداد که به نام دانشمندان فوق نامگذاری شده اند، با استفاده از تست های زیر مشخص می شود:

1. لوک لمر.

2. پپینا.

3. رایزل.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge و دیگران.

علم مدرن به همین جا ختم نمی شود و احتمالا در آینده ای نزدیک جهان نام کسانی را که توانسته اند با یافتن بزرگترین عدد اول برنده جایزه 250 هزار دلاری شوند، یاد بگیرد.

در این مقاله به بررسی خواهیم پرداخت اعداد اول و مرکب. ابتدا تعاریفی از اعداد اول و مرکب ارائه می کنیم و مثال هایی هم می زنیم. پس از این ما ثابت خواهیم کرد که تعداد بی نهایت اعداد اول وجود دارد. در مرحله بعد، جدولی از اعداد اول را یادداشت می کنیم و روش هایی را برای تهیه جدول اعداد اول با توجه به روشی به نام غربال اراتوستن در نظر می گیریم. در خاتمه، ما نکات اصلی را که باید هنگام اثبات اول یا مرکب بودن یک عدد مورد توجه قرار گیرد، برجسته خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

اعداد اول و مرکب - تعاریف و مثالها

مفاهیم اعداد اول و اعداد مرکب به اعدادی اطلاق می شود که بزرگتر از یک هستند. چنین اعداد صحیح بسته به تعداد مقسوم علیه های مثبت خود به اعداد اول و مرکب تقسیم می شوند. بنابراین برای درک تعاریف اعداد اول و مرکب، باید درک خوبی از مقسوم علیه ها و مضرب ها داشته باشید.

تعریف.

اعداد اولاعداد صحیح، واحدهای بزرگی هستند که فقط دو مقسوم علیه مثبت دارند، یعنی خودشان و 1.

تعریف.

اعداد مرکباعداد صحیح، بزرگ هستند که حداقل سه مقسوم علیه مثبت دارند.

به طور جداگانه، توجه می کنیم که عدد 1 برای اعداد اول یا مرکب اعمال نمی شود. واحد فقط یک مقسوم علیه مثبت دارد که خود عدد 1 است. این عدد 1 را از سایر اعداد صحیح مثبت که حداقل دو مقسوم علیه مثبت دارند متمایز می کند.

با توجه به اینکه اعداد صحیح مثبت هستند و یکی فقط یک مقسوم علیه مثبت دارد، می‌توانیم فرمول‌بندی‌های دیگری از تعاریف بیان شده از اعداد اول و مرکب ارائه دهیم.

تعریف.

اعداد اولاعداد طبیعی هستند که فقط دو مقسوم علیه مثبت دارند.

تعریف.

اعداد مرکباعداد طبیعی هستند که بیش از دو مقسوم علیه مثبت دارند.

توجه داشته باشید که هر عدد صحیح مثبت بزرگتر از یک عدد اول یا ترکیبی است. به عبارت دیگر، یک عدد صحیح وجود ندارد که نه اول باشد و نه مرکب. این از خاصیت بخش پذیری نتیجه می گیرد که بیان می کند اعداد 1 و a همیشه مقسوم علیه هر عدد صحیح a هستند.

با توجه به اطلاعات پاراگراف قبل می توان تعریف زیر را از اعداد مرکب ارائه داد.

تعریف.

اعداد طبیعی که اول نیستند نامیده می شوند کامپوزیت.

بدهیم نمونه هایی از اعداد اول و مرکب.

نمونه هایی از اعداد ترکیبی عبارتند از 6، 63، 121 و 6697. این بیانیه نیز نیاز به توضیح دارد. عدد 6 علاوه بر مقسوم علیه های مثبت 1 و 6، دارای مقسوم علیه های 2 و 3 نیز می باشد، زیرا 6 = 2 3 است، بنابراین 6 واقعاً یک عدد ترکیبی است. فاکتورهای مثبت 63 اعداد 1، 3، 7، 9، 21 و 63 هستند. عدد 121 برابر است با حاصلضرب 11·11 پس مقسوم علیه مثبت آن 1، 11 و 121 است. و عدد 6697 مرکب است زیرا مقسوم علیه مثبت آن علاوه بر 1 و 6697 اعداد 37 و 181 نیز هستند.

در خاتمه این نکته، مایلم به این نکته نیز توجه کنم که اعداد اول و اعداد همزمان اول از یک چیز دور هستند.

جدول اعداد اول

اعداد اول برای سهولت استفاده بیشتر در جدولی به نام جدول اعداد اول ثبت می شوند. در زیر آمده است جدول اعداد اولتا 1000.

یک سوال منطقی مطرح می شود: "چرا جدول اعداد اول را فقط تا 1000 پر کردیم، آیا نمی توان جدولی از همه اعداد اول موجود ایجاد کرد"؟

ابتدا به بخش اول این سوال پاسخ می دهیم. برای اکثر مسائلی که نیاز به استفاده از اعداد اول دارند، اعداد اول در داخل هزار کافی خواهند بود. در موارد دیگر، به احتمال زیاد، شما باید به برخی از راه حل های خاص متوسل شوید. اگرچه ما مطمئناً می توانیم جدولی از اعداد اول تا یک عدد صحیح محدود مثبت دلخواه بزرگ ایجاد کنیم، خواه 10000 یا 1000000000 باشد، در پاراگراف بعدی در مورد روش هایی برای ایجاد جداول اعداد اول صحبت خواهیم کرد، به ویژه، ما به یک روش نگاه خواهیم کرد. تماس گرفت.

حال بیایید به امکان (یا بهتر بگوییم، عدم امکان) گردآوری جدولی از تمام اعداد اول موجود نگاه کنیم. ما نمی‌توانیم جدولی از همه اعداد اول بسازیم زیرا تعداد بی‌نهایت اعداد اول وجود دارد. آخرین گزاره یک قضیه است که بعد از قضیه کمکی زیر ثابت خواهیم کرد.

قضیه.

کوچکترین مقسوم علیه مثبت غیر از 1 عدد طبیعی بزرگتر از یک عدد اول است.

اثبات

اجازه دهید a یک عدد طبیعی بزرگتر از یک و b کوچکترین مقسوم علیه مثبت عددی غیر از یک است. اجازه دهید ثابت کنیم که b یک عدد اول است.

فرض کنید b یک عدد مرکب است. سپس یک مقسوم علیه عدد b وجود دارد (بیایید آن را b 1 نشان دهیم) که با هر دو 1 و b متفاوت است. اگر این را نیز در نظر بگیریم که قدر مطلق تقسیم کننده از قدر مطلق سود تجاوز نمی کند (این را از ویژگی های تقسیم پذیری می دانیم)، شرط 1 باید برآورده شود.

از آنجایی که عدد a بر اساس شرط بر b بخش پذیر است و ما گفتیم که b بر b 1 بخش پذیر است، مفهوم بخش پذیری به ما اجازه می دهد تا در مورد وجود اعداد صحیح q و q 1 صحبت کنیم به طوری که a=b q و b=b 1 q 1، از آنجا a= b 1 ·(q 1 ·q) . نتیجه می شود که حاصل ضرب دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، سپس تساوی a=b 1 ·(q 1 ·q) نشان می دهد که b 1 مقسوم علیه عدد a است. با در نظر گرفتن نابرابری های فوق 1

اکنون می توانیم ثابت کنیم که تعداد بی نهایت اعداد اول وجود دارد.

قضیه.

تعداد بی نهایت عدد اول وجود دارد.

اثبات

بیایید فرض کنیم که اینطور نیست. یعنی فرض کنید که فقط n عدد اول وجود دارد و این اعداد اول p 1، p 2، ...، p n هستند. اجازه دهید نشان دهیم که همیشه می‌توانیم یک عدد اول متفاوت از موارد نشان‌داده شده پیدا کنیم.

عدد p را برابر با p 1 ·p 2 ·…·p n +1 در نظر بگیرید. واضح است که این عدد با هر یک از اعداد اول p 1، p 2، ...، p n متفاوت است. اگر عدد p اول باشد، قضیه ثابت می شود. اگر این عدد مرکب باشد، به موجب قضیه قبلی یک مقسوم علیه اول این عدد وجود دارد (آن را p n+1 نشان می دهیم). اجازه دهید نشان دهیم که این مقسوم علیه با هیچ یک از اعداد p 1، p 2، ...، p n منطبق نیست.

اگر اینطور نبود، با توجه به خصوصیات تقسیم پذیری، حاصل ضرب p 1 · p 2 · ... · p n بر p n + 1 تقسیم می شود. اما عدد p بر p n+1 نیز بخش پذیر است که برابر با مجموع p 1 ·p 2 ·…·p n +1 است. نتیجه این است که p n+1 باید جمله دوم این مجموع را که برابر با یک است تقسیم کند، اما این غیر ممکن است.

بنابراین، ثابت شده است که همیشه می توان یک عدد اول جدید پیدا کرد که در میان هیچ تعدادی از اعداد اول از پیش تعیین شده قرار نگیرد. بنابراین تعداد بی نهایت اعداد اول وجود دارد.

بنابراین، با توجه به بی نهایت بودن تعداد اعداد اول، هنگام جمع آوری جداول اعداد اول، همیشه خود را از بالا به یک عدد محدود می کنید، معمولاً 100، 1000، 10000 و غیره.

غربال اراتوستن

اکنون روش های ایجاد جداول اعداد اول را مورد بحث قرار خواهیم داد. فرض کنید باید جدولی از اعداد اول تا 100 بسازیم.

بدیهی ترین روش برای حل این مشکل، بررسی متوالی اعداد صحیح مثبت است که از 2 شروع می شود و به 100 ختم می شود، برای وجود مقسوم علیه مثبت بزرگتر از 1 و کوچکتر از عدد مورد آزمایش (از ویژگی های تقسیم پذیری که می دانیم). که قدر مطلق مقسوم علیه از قدر مطلق سود، غیر صفر تجاوز نمی کند). اگر چنین مقسوم‌کننده‌ای یافت نشد، عدد مورد آزمایش اول است و در جدول اعداد اول وارد می‌شود. اگر چنین مقسوم‌کننده‌ای یافت شود، عدد مورد آزمایش مرکب است و در جدول اعداد اول وارد نمی‌شود. پس از این، انتقال به عدد بعدی وجود دارد که به طور مشابه برای وجود یک مقسوم‌کننده بررسی می‌شود.

بیایید چند مرحله اول را شرح دهیم.

با شماره 2 شروع می کنیم. عدد 2 جز 1 و 2 مقسوم علیه مثبت ندارد. بنابراین ساده است، بنابراین آن را در جدول اعداد اول وارد می کنیم. در اینجا باید گفت که 2 کوچکترین عدد اول است. بریم سراغ شماره 3. مقسوم علیه احتمالی آن غیر از 1 و 3 عدد 2 است. اما 3 بر 2 بخش پذیر نیست، بنابراین، 3 یک عدد اول است و همچنین باید در جدول اعداد اول گنجانده شود. بریم سراغ شماره 4. مقسوم علیه های مثبت آن به غیر از 1 و 4 می توانند اعداد 2 و 3 باشند، آنها را بررسی می کنیم. عدد 4 بر 2 بخش پذیر است، بنابراین عدد 4 ترکیبی است و نیازی به درج در جدول اعداد اول نیست. لطفا توجه داشته باشید که 4 کوچکترین عدد ترکیبی است. بریم سراغ شماره 5. بررسی می کنیم که آیا حداقل یکی از اعداد 2، 3، 4 مقسوم علیه آن است یا خیر. از آنجایی که 5 بر 2، 3 یا 4 بخش پذیر نیست، اول است و باید در جدول اعداد اول نوشته شود. سپس انتقال به اعداد 6، 7 و غیره تا 100 وجود دارد.

این رویکرد برای تهیه جدول اعداد اول بسیار ایده آل است. به هر طریقی، او حق وجود دارد. توجه داشته باشید که با این روش ساخت جدول اعداد صحیح می توانید از معیارهای تقسیم پذیری استفاده کنید که روند یافتن مقسوم علیه ها را کمی تسریع می کند.

راه راحت تری برای ایجاد جدولی از اعداد اول وجود دارد که نامیده می شود. کلمه "الک" موجود در نام تصادفی نیست، زیرا اقدامات این روش، به عنوان مثال، به "الک کردن" اعداد کامل و واحدهای بزرگ از طریق غربال اراتوستن کمک می کند تا اعداد ساده را از کامپوزیت جدا کنند.

بیایید غربال اراتوستن را در هنگام تهیه جدولی از اعداد اول تا 50 نشان دهیم.

ابتدا اعداد 2، 3، 4، ...، 50 را به ترتیب یادداشت کنید.

اولین عدد نوشته شده، 2، عدد اول است. حال از شماره 2 به ترتیب دو عدد به سمت راست حرکت می کنیم و این اعداد را خط می زنیم تا به انتهای جدول اعداد در حال تدوین برسیم. با این کار تمام اعدادی که مضرب دو هستند خط می کشد.

اولین عددی که بعد از 2 خط خورده نیست 3 است. این عدد اول است. اکنون از شماره 3 به ترتیب با سه عدد به سمت راست حرکت می کنیم (با در نظر گرفتن اعداد خط خورده قبلی) و آنها را خط می زنیم. با این کار تمام اعدادی که مضرب سه هستند خط می کشد.

اولین عددی که بعد از 3 خط خورده نیست 5 است. این عدد اول است. اکنون از عدد 5 به طور مداوم با 5 عدد به سمت راست حرکت می کنیم (اعدادی را که قبلا خط زده شده اند نیز در نظر می گیریم) و آنها را خط می زنیم. با این کار تمام اعدادی که مضرب پنج هستند خط می کشد.

در مرحله بعد، اعدادی را که مضرب 7 هستند، سپس مضرب های 11 و ... خط می زنیم. این فرآیند زمانی به پایان می رسد که اعداد دیگری برای خط زدن وجود نداشته باشد. در زیر جدول کامل اعداد اول تا 50 که با استفاده از غربال اراتوستن به دست آمده است را مشاهده می کنید. همه اعداد ضربدری نشده اول هستند و همه اعداد خط خورده ترکیبی هستند.

بیایید همچنین یک قضیه را فرموله و اثبات کنیم که روند تهیه جدول اعداد اول را با استفاده از غربال اراتوستن سرعت می بخشد.

قضیه.

کوچکترین مقسوم علیه مثبت یک عدد مرکب a که با یک متفاوت است تجاوز نمی کند، کجا از a است.

اثبات

اجازه دهید با حرف b کوچکترین مقسوم علیه یک عدد مرکب a را که با یک متفاوت است نشان دهیم (عدد b اول است، همانطور که از قضیه اثبات شده در همان ابتدای پاراگراف قبل آمده است). سپس یک عدد صحیح q وجود دارد که a=b·q (در اینجا q یک عدد صحیح مثبت است که از قواعد ضرب اعداد صحیح ناشی می شود) و (برای b>q شرط اینکه b کمترین مقسوم علیه a باشد نقض می شود. ، زیرا q به دلیل تساوی a=q·b نیز مقسوم علیه عدد a است. با ضرب هر دو طرف نابرابری در یک مثبت و یک عدد صحیح بزرگتر از یک (ما مجاز به انجام این کار)، به دست می آوریم، که از آن و .

قضیه اثبات شده در مورد غربال اراتوستن به ما چه می دهد؟

اولاً، خط زدن اعداد مرکب که مضرب عدد اول b هستند، باید با عددی مساوی شروع شود (این از نابرابری حاصل می شود). به عنوان مثال، خط زدن اعدادی که مضرب دو هستند باید با عدد 4، مضرب های سه با عدد 9، مضرب های پنج با عدد 25 و غیره شروع شود.

ثانیاً، جمع‌آوری جدولی از اعداد اول تا عدد n با استفاده از غربال اراتوستن را می‌توان کامل در نظر گرفت که همه اعداد مرکب که مضرب اعداد اول هستند از . در مثال ما، n=50 (از آنجایی که ما جدولی از اعداد اول تا 50 می سازیم) و بنابراین، غربال اراتوستن باید تمام اعداد مرکب را که مضرب اعداد اول 2، 3، 5 و 7 هستند حذف کند. از جذر حسابی 50 تجاوز نکند. یعنی دیگر نیازی به جستجو و خط زدن اعدادی که مضرب اعداد اول 11، 13، 17، 19، 23 و غیره تا 47 هستند، نداریم، زیرا آنها قبلاً به عنوان مضربی از اعداد اول کوچکتر 2 خط زده می شوند. ، 3، 5 و 7.

این عدد اول است یا مرکب؟

برخی از کارها مستلزم یافتن اینکه آیا یک عدد معین اول است یا مرکب است. به طور کلی، این کار بسیار ساده نیست، به خصوص برای اعدادی که نوشته آنها از تعداد قابل توجهی کاراکتر تشکیل شده است. در بیشتر موارد، شما باید به دنبال راه های خاصی برای حل آن باشید. با این حال، سعی می کنیم برای موارد ساده به قطار فکر جهت دهیم.

البته، می‌توانید از آزمون‌های بخش‌پذیری برای اثبات ترکیبی بودن یک عدد استفاده کنید. برای مثال، اگر آزمایشی از بخش پذیری نشان دهد که یک عدد معین بر عدد صحیح مثبت بزرگتر از یک بخش پذیر است، آنگاه عدد اصلی مرکب است.

مثال.

ثابت کنید که 898,989,898,989,898,989 یک عدد ترکیبی است.

راه حل.

مجموع ارقام این عدد 9·8+9·9=9·17 است. از آنجایی که عدد برابر با 9·17 بر 9 بخش پذیر است، پس با بخش پذیری بر 9 می توان گفت که عدد اصلی نیز بر 9 بخش پذیر است. بنابراین کامپوزیت است.

اشکال قابل توجه این رویکرد این است که معیارهای تقسیم پذیری به شخص اجازه نمی دهد اول بودن یک عدد را اثبات کند. بنابراین، هنگام آزمایش یک عدد برای دیدن اول یا مرکب بودن آن، باید کارها را متفاوت انجام دهید.

منطقی ترین روش این است که تمام مقسوم علیه های ممکن یک عدد معین را امتحان کنید. اگر هیچ یک از مقسوم‌گیرنده‌های ممکن، مقسوم‌گیرنده واقعی یک عدد معین نباشد، این عدد اول خواهد بود، در غیر این صورت مرکب خواهد بود. از قضایای اثبات‌شده در پاراگراف قبل، چنین برمی‌آید که مقسوم‌کننده‌های یک عدد معین a را باید در بین اعداد اول که بیشتر از آن نباشد جستجو کرد. بنابراین، یک عدد معین a را می توان به صورت متوالی بر اعداد اول (که به راحتی از جدول اعداد اول گرفته می شود) تقسیم کرد، و سعی کرد مقسوم علیه عدد a را پیدا کند. اگر مقسوم علیه پیدا شود، عدد a مرکب است. اگر در بین اعداد اولی که بیشتر از عدد a نیستند، مقسوم علیه عدد a وجود نداشته باشد، عدد a اول است.

مثال.

عدد 11 723 ساده یا مرکب؟

راه حل.

بیایید دریابیم مقسوم‌کننده‌های عدد 11723 تا چه عددی اول می‌توانند باشند. برای انجام این کار، بیایید ارزیابی کنیم.

کاملا واضح است که ، از 200 2 = 40000 و 11723<40 000 (при необходимости смотрите статью مقایسه اعداد). بنابراین، ضرایب اول احتمالی 11723 کمتر از 200 است. این کار ما را بسیار ساده تر می کند. اگر ما این را نمی دانستیم، باید تمام اعداد اول را نه تا 200، بلکه تا عدد 11723 مرور کنیم.

در صورت تمایل می توانید با دقت بیشتری ارزیابی کنید. از آنجایی که 108 2 = 11,664 و 109 2 = 11,881، سپس 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . بنابراین، هر یک از اعداد اول کوچکتر از 109 به طور بالقوه ضریب اول عدد داده شده 11723 است.

اکنون عدد 11723 را به ترتیب به اعداد اول 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، تقسیم می کنیم. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . اگر عدد 11723 بر یکی از اعداد اول نوشته شده تقسیم شود مرکب خواهد بود. اگر بر هیچ یک از اعداد اول نوشته شده بخش پذیر نباشد، عدد اصلی اول است.

ما این روند یکنواخت و یکنواخت تقسیم را توصیف نمی کنیم. بیایید بلافاصله بگوییم که 11723