6.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

هنگام حل مسائل مختلف در ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی و پزشکی، اغلب نمی توان بلافاصله یک رابطه عملکردی را در قالب یک فرمول ایجاد کرد که متغیرهایی را که فرآیند مورد مطالعه را توصیف می کنند، به هم متصل می کند. معمولاً باید از معادلاتی استفاده کنید که علاوه بر متغیر مستقل و تابع مجهول، مشتقات آن را نیز در بر گیرند.

تعریف.معادله ای که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول و مشتقات مرتبه های مختلف آن را به هم متصل می کند نامیده می شود دیفرانسیل.

معمولاً یک تابع ناشناخته مشخص می شود y(x)یا به سادگی y،و مشتقات آن - y", y"و غیره.

نامگذاری های دیگر نیز ممکن است، به عنوان مثال: اگر y= x(t)، سپس x"(t)، x""(t)- مشتقات آن، و تی- متغیر مستقل

تعریف.اگر تابعی به یک متغیر وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود. فرم کلی معادله دیفرانسیل معمولی:

یا

کارکرد افو fممکن است حاوی برخی از آرگومان ها نباشد، اما برای دیفرانسیل بودن معادلات، وجود یک مشتق ضروری است.

تعریف.ترتیب معادله دیفرانسیلمرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.

مثلا، x 2 y"- y= 0، y" + گناه ایکس= 0 معادلات مرتبه اول هستند و y"+ 2 y"+ 5 y= ایکس- معادله مرتبه دوم

هنگام تصمیم گیری معادلات دیفرانسیلاز عملیات ادغام استفاده می شود که با ظاهر یک ثابت دلخواه همراه است. اگر عمل ادغام اعمال شود nبار، پس بدیهی است که راه حل شامل خواهد شد nثابت های دلخواه

6.2. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

فرم کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اولبا بیان مشخص می شود

معادله ممکن است به صراحت شامل نباشد ایکسو y،اما لزوماً حاوی y است».

اگر بتوان معادله را به صورت

سپس یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با توجه به مشتق به دست می آوریم.

تعریف.جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول (6.3) (یا (6.4)) مجموعه ای از جواب ها است. ، جایی که با- ثابت دلخواه

نمودار حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال

دادن یک ثابت دلخواه بامقادیر مختلف، راه حل های جزئی را می توان به دست آورد. روی سطح xOyراه حل کلی خانواده ای از منحنی های انتگرال مربوط به هر راه حل خاص است.

اگر نقطه ای تعیین کنید A (x 0 , y 0)منحنی انتگرال باید از آن عبور کند، سپس، به عنوان یک قاعده، از مجموعه ای از توابع می توان یکی را مشخص کرد - یک راه حل خصوصی.

تعریف.تصمیم خصوصییک معادله دیفرانسیل حل آن است که حاوی ثابت دلخواه نباشد.

اگر یک راه حل کلی است، سپس از شرایط

می توانید یک ثابت پیدا کنید با.شرط نامیده می شود شرایط آغازین.

مشکل یافتن یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل (6.3) یا (6.4) که شرط اولیه را برآورده کند. در تماس گرفت مشکل کوشیآیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ پاسخ در قضیه زیر آمده است.

قضیه کوشی(قضیه وجود و یکتایی یک راه حل). معادله دیفرانسیل را بگذارید y"= f(x,y)تابع f(x,y)و او

مشتق جزئی در برخی تعریف شده و مستمر است

منطقه د،حاوی یک نقطه سپس در منطقه Dوجود دارد

تنها راه حل معادله ای که شرط اولیه را برآورده می کند در

قضیه کوشی بیان می کند که تحت شرایط خاص یک منحنی انتگرال منحصر به فرد وجود دارد y= f(x)عبور از یک نقطه نقاطی که در آن شرایط قضیه برقرار نیست

کوشی نامیده می شود خاصدر این نقاط می شکند f(x، y) یا.

یا چندین منحنی انتگرال یا هیچ یک از یک نقطه منفرد عبور نمی کنند.

تعریف.اگر راه حل (6.3)، (6.4) در شکل یافت شود f(x, y, ج)= 0، نسبت به y مجاز نیست، سپس فراخوانی می شود انتگرال کلیمعادله دیفرانسیل.

قضیه کوشی فقط وجود راه حل را تضمین می کند. از آنجایی که هیچ روش واحدی برای یافتن راه حل وجود ندارد، ما فقط برخی از انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر خواهیم گرفت که می توانند در آنها ادغام شوند. مربعات

تعریف.معادله دیفرانسیل نامیده می شود قابل ادغام در مربعات،اگر یافتن راه حل آن به ادغام توابع ختم شود.

6.2.1. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله با نامیده می شود متغیرهای قابل تفکیک،

سمت راست معادله (6.5) حاصل ضرب دو تابع است که هر کدام تنها به یک متغیر بستگی دارد.

مثلا معادله معادله ای با جداسازی است

با متغیرها
و معادله

نمی توان در فرم (6.5) نشان داد.

با توجه به اینکه ، (6.5) را در فرم بازنویسی می کنیم

از این معادله یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم که در آن دیفرانسیل ها توابعی هستند که فقط به متغیر مربوطه بستگی دارند:

ادغام ترم به ترم، داریم

جایی که C = C 2 - C 1 - ثابت دلخواه. عبارت (6.6) انتگرال کلی معادله (6.5) است.

با تقسیم هر دو طرف معادله (6.5) بر، می توانیم جواب هایی را که برای آنها، در واقع، اگر در

که بدیهی است که راه حلی برای معادله (6.5) است.

مثال 1.برای معادله ای که جواب می دهد راه حلی پیدا کنید

وضعیت: y= 6 در ایکس= 2 (y(2) = 6).

راه حل.جایگزین خواهیم کرد y"سپس . هر دو طرف را در ضرب کنید

dx،از آنجایی که در طول ادغام بیشتر ترک آن غیرممکن است dxدر مخرج:

و سپس هر دو قسمت را تقسیم بر معادله را می گیریم،

که می تواند یکپارچه شود. بیایید ادغام کنیم:

سپس ; با تقویت، y = C را دریافت می کنیم. (x + 1) - ob-

راه حل کلی

با استفاده از داده های اولیه، یک ثابت دلخواه را تعیین می کنیم و آنها را به حل کلی جایگزین می کنیم

بالاخره می رسیم y= 2 (x + 1) یک راه حل خاص است. بیایید به چند مثال دیگر از حل معادلات با متغیرهای قابل تفکیک نگاه کنیم.

مثال 2.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.با توجه به اینکه ، ما گرفتیم .

با ادغام هر دو طرف معادله، داریم

جایی که

مثال 3.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.ما هر دو طرف معادله را به عواملی تقسیم می کنیم که به متغیری بستگی دارد که با متغیر زیر علامت دیفرانسیل منطبق نیست، یعنی. و ادغام کنید. سپس می گیریم

و در نهایت

مثال 4.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.دانستن اینکه چه چیزی به دست خواهیم آورد. بخش

متغیرهای lim سپس

ادغام، دریافت می کنیم

اظهار نظر.در مثال های 1 و 2 تابع مورد نیاز است yبه صراحت بیان شده است (راه حل کلی). در مثال های 3 و 4 - به طور ضمنی (انتگرال کلی). در آینده شکل تصمیم گیری مشخص نخواهد شد.

مثال 5.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.

مثال 6.جواب معادله را پیدا کنید ، رضایت بخش

وضعیت y(e)= 1.

راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم

ضرب دو طرف معادله در dxو در ادامه، دریافت می کنیم

با ادغام هر دو طرف معادله (انتگرال سمت راست توسط قطعات گرفته می شود)، به دست می آوریم

اما با توجه به شرایط y= 1 در ایکس= ه. سپس

بیایید مقادیر یافت شده را جایگزین کنیم بابه راه حل کلی:

عبارت حاصل را حل جزئی معادله دیفرانسیل می نامند.

6.2.2. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود همگن،اگر بتوان آن را در فرم نشان داد

اجازه دهید یک الگوریتم برای حل یک معادله همگن ارائه کنیم.

1-به جای آن yسپس یک تابع جدید معرفی می کنیم و بنابراین

2. از نظر عملکرد تومعادله (6.7) شکل می گیرد

یعنی جایگزینی یک معادله همگن را به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می دهد.

3. حل معادله (6.8)، ابتدا u را پیدا می کنیم و سپس y= ux.

مثال 1.معادله را حل کنید راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم

ما جایگزین را انجام می دهیم:
سپس

جایگزین خواهیم کرد

ضرب در dx: تقسیم بر ایکسو در سپس

با ادغام هر دو طرف معادله روی متغیرهای مربوطه، داریم

یا با بازگشت به متغیرهای قدیمی، در نهایت می‌گیریم

مثال 2.معادله را حل کنید راه حل.اجازه دهید سپس

بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم x2: بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات را دوباره مرتب کنیم:

با حرکت به سمت متغیرهای قدیمی، به نتیجه نهایی می رسیم:

مثال 3.جواب معادله را پیدا کنید با توجه به اینکه

راه حل.انجام تعویض استاندارد ما گرفتیم

یا

یا

این بدان معنی است که راه حل خاص دارای فرم است مثال 4.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.

مثال 5.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.

کار مستقل

حل معادلات دیفرانسیل را با متغیرهای قابل تفکیک بیابید (1-9).

برای معادلات دیفرانسیل همگن جواب پیدا کنید (9-18).

6.2.3. برخی از کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مشکل واپاشی رادیواکتیو

سرعت واپاشی Ra (رادیوم) در هر لحظه از زمان متناسب با جرم موجود آن است. قانون واپاشی رادیواکتیو Ra را بیابید، اگر مشخص باشد که در لحظه شروع Ra وجود دارد و نیمه عمر Ra 1590 سال است.

راه حل.بگذارید در لحظه جرم Ra باشد ایکس= x(t) g، و سپس نرخ واپاشی Ra برابر است با

با توجه به شرایط مشکل

جایی که ک

با جدا کردن متغیرها در آخرین معادله و ادغام، به دست می آوریم

جایی که

برای تعیین سیاز شرط اولیه استفاده می کنیم: When .

سپس و بنابراین،

عامل تناسب کاز شرط اضافی تعیین می شود:

ما داریم

از اینجا و فرمول مورد نیاز

مشکل سرعت تولید مثل باکتری

سرعت تولید مثل باکتری ها متناسب با تعداد آنها است. در ابتدا 100 باکتری وجود داشت. در عرض 3 ساعت تعداد آنها دو برابر شد. وابستگی تعداد باکتری ها به زمان را پیدا کنید. تعداد باکتری ها در عرض 9 ساعت چند برابر می شود؟

راه حل.اجازه دهید ایکس- تعداد باکتری در یک زمان تیسپس با توجه به شرایط،

جایی که ک- ضریب تناسب

از اینجا از شرایط معلوم است که . به معنای،

از شرط اضافی . سپس

تابعی که به دنبال آن هستید:

بنابراین، هنگامی که تی= 9 ایکس= 800، یعنی در عرض 9 ساعت تعداد باکتری ها 8 برابر شد.

مشکل افزایش مقدار آنزیم

در کشت مخمر آبجو، سرعت رشد آنزیم فعال متناسب با مقدار اولیه آن است. ایکس.مقدار اولیه آنزیم آدر عرض یک ساعت دو برابر شد وابستگی را پیدا کنید

x(t).

راه حل.با شرط، معادله دیفرانسیل فرآیند دارای شکل است

از اینجا

ولی . به معنای، سی= آو سپس

همچنین شناخته شده است که

از این رو،

6.3. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

6.3.1. مفاهیم اساسی

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه دومرابطه ای است که متغیر مستقل، تابع مورد نظر و مشتق اول و دوم آن را به هم متصل می کند.

در موارد خاص، x ممکن است از معادله غایب باشد، دریا y". با این حال، یک معادله مرتبه دوم باید لزوماً حاوی y باشد." در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود:

یا، در صورت امکان، به شکل حل شده با توجه به مشتق دوم:

همانطور که در مورد یک معادله مرتبه اول، برای یک معادله مرتبه دوم می تواند راه حل های کلی و جزئی وجود داشته باشد. راه حل کلی این است:

یافتن راه حلی خاص

تحت شرایط اولیه - داده شده است

اعداد) نامیده می شود مشکل کوشیاز نظر هندسی، این بدان معنی است که ما باید منحنی انتگرال را پیدا کنیم در= y (x)،عبور از یک نقطه معین و داشتن مماس در این نقطه که است

با جهت محور مثبت همسو می شود گاو نرزاویه مشخص شده ه. (شکل 6.1). مسئله کوشی راه حل منحصر به فردی دارد اگر سمت راست معادله (6.10)، بی وقفه

ناپیوسته است و دارای مشتقات جزئی پیوسته نسبت به اوه، اوه"در برخی از محله های نقطه شروع

برای یافتن ثابت ها در یک راه حل خصوصی گنجانده شده است، سیستم باید حل شود

برنج. 6.1.منحنی انتگرال

در برخی مسائل فیزیک، نمی توان ارتباط مستقیمی بین کمیت های توصیف کننده فرآیند ایجاد کرد. اما می توان یک برابری حاوی مشتقات توابع مورد مطالعه به دست آورد. اینگونه است که معادلات دیفرانسیل و نیاز به حل آنها برای یافتن یک تابع مجهول ایجاد می شود.

این مقاله برای کسانی است که با مشکل حل یک معادله دیفرانسیل روبرو هستند که در آن تابع مجهول تابعی از یک متغیر است. ساختار نظریه به گونه ای است که با دانش صفر معادلات دیفرانسیل، می توانید از پس وظیفه خود برآیید.

هر نوع معادله دیفرانسیل با یک روش حل همراه با توضیحات دقیق و راه حل برای مثال ها و مسائل معمولی همراه است. تنها کاری که باید انجام دهید این است که نوع معادله دیفرانسیل مسئله خود را تعیین کنید، یک مثال تحلیل شده مشابه پیدا کنید و اقدامات مشابهی را انجام دهید.

برای حل موفقیت‌آمیز معادلات دیفرانسیل، به توانایی یافتن مجموعه‌ای از پاد مشتق‌ها (انتگرال‌های نامشخص) از توابع مختلف نیز نیاز دارید. در صورت لزوم توصیه می کنیم به بخش مراجعه کنید.

ابتدا انواع معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را که با توجه به مشتق قابل حل هستند در نظر می گیریم، سپس به سراغ ODE های مرتبه دوم می رویم، سپس به معادلات مرتبه بالاتر می پردازیم و با سیستم هایی خاتمه می دهیم. معادلات دیفرانسیل.

به یاد بیاورید که اگر y تابعی از آرگومان x باشد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول فرم.

بیایید چند نمونه از چنین کنترل از راه دور را یادداشت کنیم .

معادلات دیفرانسیل را می توان با توجه به مشتق با تقسیم هر دو طرف تساوی بر f(x) حل کرد. در این حالت به معادله ای می رسیم که معادل معادله اصلی برای f(x) ≠ 0 خواهد بود. نمونه هایی از این ODE ها هستند.

اگر مقادیری از آرگومان x وجود داشته باشد که توابع f(x) و g(x) به طور همزمان ناپدید شوند، راه حل های اضافی ظاهر می شوند. راه حل های اضافی معادله x داده شده هر تابعی است که برای این مقادیر آرگومان تعریف شده است. نمونه هایی از این معادلات دیفرانسیل عبارتند از:

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

LDE با ضرایب ثابت یک نوع بسیار رایج از معادلات دیفرانسیل است. راه حل آنها به خصوص دشوار نیست. ابتدا ریشه های معادله مشخصه پیدا می شود . برای p و q مختلف، سه حالت ممکن است: ریشه های معادله مشخصه می توانند واقعی و متفاوت، واقعی و منطبق باشند. یا مزدوج های پیچیده بسته به مقادیر ریشه های معادله مشخصه، جواب کلی معادله دیفرانسیل به صورت نوشته می شود. ، یا ، یا به ترتیب.

به عنوان مثال، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید. ریشه معادله مشخصه آن k 1 = -3 و k 2 = 0 است. ریشه ها واقعی و متفاوت هستند، بنابراین، راه حل کلی یک LODE با ضرایب ثابت شکل دارد


معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

جواب کلی یک LDDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت y به صورت مجموع جواب کلی LDDE مربوطه جستجو می شود. و یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن اصلی، یعنی . پاراگراف قبلی به یافتن یک جواب کلی برای معادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت اختصاص دارد. و یک راه حل خاص یا با روش ضرایب نامعین برای شکل خاصی از تابع f(x) در سمت راست معادله اصلی یا با روش تغییر ضرایب دلخواه تعیین می شود.

به عنوان نمونه هایی از LDDE های مرتبه دوم با ضرایب ثابت، ما ارائه می دهیم


برای درک نظریه و آشنایی با حل های دقیق مثال ها، ما در صفحه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت را به شما پیشنهاد می کنیم.

معادلات دیفرانسیل همگن خطی (LODE) و معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی (LNDEs) مرتبه دوم.

یک مورد خاص از معادلات دیفرانسیل از این نوع LODE و LDDE با ضرایب ثابت هستند.

جواب کلی LODE در یک بخش معین با ترکیب خطی دو راه حل جزئی مستقل خطی y 1 و y 2 این معادله نشان داده می شود، یعنی: .

مشکل اصلی دقیقاً در یافتن راه حل های جزئی مستقل خطی برای یک معادله دیفرانسیل از این نوع نهفته است. به طور معمول، راه حل های خاص از سیستم های زیر با توابع مستقل خطی انتخاب می شوند:


با این حال، راه حل های خاص همیشه در این فرم ارائه نمی شود.

نمونه ای از LOD است .

راه‌حل کلی LDDE به شکل جستجو می‌شود، که در آن راه‌حل کلی LDDE مربوطه است، و راه‌حل خاص معادله دیفرانسیل اصلی است. ما فقط در مورد یافتن آن صحبت کردیم، اما می توان آن را با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین کرد.

مثالی از LNDU می توان ارائه داد .

معادلات دیفرانسیل مرتبه های بالاتر

معادلات دیفرانسیل که امکان کاهش نظم را فراهم می کند.

ترتیب معادلات دیفرانسیل که تابع مورد نظر و مشتقات آن تا مرتبه k-1 را ندارد، می توان با جایگزین کردن به n-k کاهش داد.

در این حالت معادله دیفرانسیل اصلی به . پس از یافتن جواب آن p(x)، باقی می ماند که به جایگزین برگردیم و تابع مجهول y را تعیین کنیم.

مثلا معادله دیفرانسیل پس از جایگزینی به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک تبدیل می شود و ترتیب آن از سوم به اول کاهش می یابد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها
معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازد. به نظر می رسد معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان امری بازدارنده و دشوار است. اووووو... معادلات دیفرانسیل، چطور میتونم از این همه جان سالم به در ببرم؟!

این نظر و این نگرش اساساً اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل - ساده و حتی سرگرم کننده است. برای یادگیری نحوه حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ برای مطالعه موفقیت آمیز دیفیوزها، باید در ادغام و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع تقریباً مسلط شده است! هر چه انتگرال ها بیشتر باشد انواع مختلفشما می دانید چگونه تصمیم بگیرید - خیلی بهتر. چرا؟ شما باید خیلی ادغام کنید. و متمایز کردن. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر

در 95 درصد موارد در تست ها 3 نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول وجود دارد: معادلات قابل تفکیککه در این درس به آن خواهیم پرداخت؛ معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی. برای کسانی که شروع به مطالعه دیفیوزرها می کنند، به شما توصیه می کنم که درس ها را دقیقاً به این ترتیب بخوانید و پس از مطالعه دو مقاله اول، تثبیت مهارت های خود در یک کارگاه اضافی ضرری ندارد - معادلات کاهش به همگن.

حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات دیفرانسیل کل، معادلات برنولی و برخی دیگر. مهمترین دو نوع آخر معادلات در مجموع دیفرانسیل هستند، زیرا من علاوه بر این معادله دیفرانسیل مواد جدید – ادغام جزئی.

اگر فقط یک یا دو روز فرصت دارید، آن برای آماده سازی فوق العاده سریعوجود دارد دوره رعد اسادر قالب pdf

بنابراین، نشانه ها تنظیم شده اند - بیایید برویم:

ابتدا معادلات جبری معمول را به یاد می آوریم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال: . حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ این یعنی پیدا کردن مجموعه ای از اعداد، که این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان متوجه شد که معادله کودکان یک ریشه دارد: . فقط برای سرگرمی، بیایید ریشه پیدا شده را بررسی کرده و در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

دیفیوزرها تقریباً به همین شکل طراحی شده اند!

معادله دیفرانسیل سفارش اولبه طور کلی شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع: .

در برخی از معادلات مرتبه اول ممکن است "x" و/یا "y" وجود نداشته باشد، اما این مهم نیست - مهمبرای رفتن به اتاق کنترل بودمشتق اول، و نداشتمشتقات مرتبه بالاتر – و غیره

یعنی چی؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن مجموعه ای از تمام توابع، که این معادله را برآورده می کند. چنین مجموعه ای از توابع اغلب دارای شکل (- یک ثابت دلخواه) است که نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

مهمات کامل از کجا شروع کنیم راه حل?

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. ما نام دست و پا گیر را به یاد می آوریم، که احتمالاً بسیاری از شما مضحک و غیر ضروری به نظر می رسید. این چیزی است که در دیفیوزرها حاکم است!

در مرحله دوم، ببینیم آیا امکان پذیر است یا خیر متغیرهای جداگانه؟تفکیک متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "یونانی ها"، آ در سمت راستسازمان دادن فقط "X". تقسیم بندی متغیرها با استفاده از دستکاری های "مدرسه" انجام می شود: قرار دادن آنها در داخل پرانتز، انتقال اصطلاحات از قسمتی به قسمت دیگر با تغییر علامت، انتقال عوامل از بخشی به قسمت بر اساس قاعده تناسب و غیره.

دیفرانسیل و ضریب کامل و شرکت کننده فعال در خصومت ها هستند. در مثال مورد بررسی، متغیرها به راحتی با کنار زدن عوامل بر اساس قاعده تناسب از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا می شوند. در سمت چپ فقط "Y" وجود دارد، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعد - ادغام معادله دیفرانسیل. ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو طرف قرار می دهیم:

البته باید انتگرال بگیریم. در این مورد آنها به صورت جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم (از آنجایی که ثابت + ثابت همچنان با یک ثابت دیگر برابر است). در بیشتر موارد در سمت راست قرار می گیرد.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "y" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل. یعنی این یک انتگرال کلی است.

پاسخ در این فرم کاملا قابل قبول است، اما آیا گزینه بهتری وجود دارد؟ بیایید برای بدست آوردن تلاش کنیم تصمیم مشترک.

لطفا، تکنیک اول را به خاطر بسپار، بسیار رایج است و اغلب در کارهای عملی استفاده می شود: اگر لگاریتمی پس از ادغام در سمت راست ظاهر شود، در بسیاری از موارد (اما نه همیشه!) توصیه می شود ثابت را زیر لگاریتم بنویسید..

به این معنا که، بجایمدخل ها معمولا نوشته می شوند .

چرا این لازم است؟ و به منظور سهولت در بیان "بازی". استفاده از خاصیت لگاریتم . در این مورد:

اکنون لگاریتم ها و ماژول ها را می توان حذف کرد:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

پاسخ: تصمیم مشترک: .

بررسی پاسخ به بسیاری از معادلات دیفرانسیل نسبتاً آسان است. در مورد ما، این به سادگی انجام می شود، ما راه حل پیدا شده را می گیریم و آن را متمایز می کنیم:

سپس مشتق را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل کلی معادله را برآورده می کند، این همان چیزی است که باید بررسی شود.

با دادن مقادیر مختلف ثابت، می توانید تعداد نامتناهی بدست آورید راه حل های خصوصیمعادله دیفرانسیل. واضح است که هر یک از توابع، و غیره. معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

گاهی اوقات راه حل کلی نامیده می شود خانواده توابع. در این مثال، راه حل کلی - این یک خانواده است توابع خطییا بهتر است بگوییم خانواده ای با تناسب مستقیم.

پس از بررسی کامل مثال اول، مناسب است به چندین سوال ساده در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهیم:

1)در این مثال توانستیم متغیرها را از هم جدا کنیم. آیا می توان این کار را همیشه انجام داد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات، متغیرها قابل تفکیک نیستند. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگن، ابتدا باید آن را تعویض کنید. در انواع دیگر معادلات، برای مثال، در یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول، باید از تکنیک های مختلفو روش هایی برای یافتن یک راه حل کلی. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک که در درس اول در نظر می گیریم - ساده ترین نوعمعادلات دیفرانسیل.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه به راحتی می توان معادله ای "فانتزی" به دست آورد که قابل ادغام نباشد. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. دالامبر و کوشی تضمین می‌کنند... ...اوه، کمان‌مور. برای اینکه الان زیاد بخوانم، تقریباً «از دنیای دیگر» را اضافه کردم.

3) در این مثال راه حلی به شکل یک انتگرال کلی به دست آوردیم . آیا همیشه می توان از یک انتگرال کلی یک راه حل کلی پیدا کرد، یعنی «y» را به صراحت بیان کرد؟نه همیشه نه مثلا: . خوب، چگونه می توانید "یونانی" را در اینجا بیان کنید؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

4) ... شاید فعلا همین کافی باشد. در اولین مثالی که با آن مواجه شدیم یکی دیگه نکته مهم ، اما برای اینکه "دومیک ها" را با بهمنی از اطلاعات جدید پوشش ندهم، آن را تا درس بعدی می گذارم.

ما عجله نخواهیم کرد یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر:

مثال 2

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند

راه حل: با توجه به شرایط، باید پیدا کنید راه حل خصوصی DE که یک شرط اولیه معین را برآورده می کند. به این صورت بندی سوال نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید گیج شود، نکته اصلی این است که مشتق اول را دارد.

مشتق را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

بدیهی است که متغیرها را می توان از هم جدا کرد، پسران به چپ، دختران به راست:

بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا من یک ثابت را با یک ستاره رسم کردم، واقعیت این است که خیلی زود به یک ثابت دیگر تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (y را به صراحت بیان کنید). بیایید چیزهای خوب قدیمی مدرسه را به یاد بیاوریم: . در این مورد:

ثابت موجود در اندیکاتور به نوعی نامطلوب به نظر می رسد، بنابراین معمولاً به زمین منتقل می شود. در جزئیات، به این صورت است که اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی درجه، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر یک ثابت است، پس مقداری هم ثابت است، بیایید آن را با حرف دوباره طراحی کنیم:

به یاد داشته باشید "تخریب" یک ثابت است تکنیک دوم، که اغلب در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

بنابراین، راه حل کلی این است: . این یک خانواده خوب از توابع نمایی است.

در مرحله نهایی، باید راه حل خاصی را پیدا کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم ساده است.

تکلیف چیست؟ نیاز به برداشتن چنینمقدار ثابت به طوری که شرط برآورده شود.

می توان آن را به روش های مختلف قالب بندی کرد، اما این احتمالا واضح ترین راه خواهد بود. در جواب کلی، به جای «X» یک صفر و به جای «Y» دو را جایگزین می کنیم:



به این معنا که،

نسخه طراحی استاندارد:

اکنون مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

پاسخ: راه حل خصوصی:

بیایید بررسی کنیم. بررسی راه حل خصوصی شامل دو مرحله است:

ابتدا باید بررسی کنید که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "X" یک صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، شما واقعاً یک دو دریافت کردید، یعنی شرط اولیه برآورده شده است.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص حاصل را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

معادله اصلی را جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاص به درستی پیدا شد.

بیایید به سراغ مثال های معنادارتری برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ما ارزیابی می کنیم که آیا امکان جداسازی متغیرها وجود دارد؟ می توان. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و ضرایب را طبق قاعده تناسب انتقال می دهیم:

متغیرها از هم جدا هستند، بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

باید به شما هشدار بدهم، روز قیامت نزدیک است. اگر خوب درس نخوانده اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرده اید، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها مسلط شوید.

انتگرال سمت چپ را می توان به راحتی پیدا کرد ادغام توابع مثلثاتیسال گذشته:

در سمت راست ما یک لگاریتم داریم و طبق اولین توصیه فنی من، ثابت نیز باید زیر لگاریتم نوشته شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما فقط لگاریتم داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. با استفاده از خواص شناخته شدهلگاریتم ها را تا حد امکان "بسته بندی" می کنیم. من آن را با جزئیات کامل می نویسم:

بسته بندی تمام شده است تا به طرز وحشیانه ای پاره شود:

آیا می توان "بازی" را بیان کرد؟ می توان. لازم است هر دو قسمت مربع شود.

اما شما نیازی به انجام این کار ندارید.

نکته فنی سوم:اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی لازم است که به یک قدرت بالا برود یا ریشه داشته باشد، پس در بیشتر مواردباید از این اقدامات خودداری کنید و پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی بگذارید. واقعیت این است که راه حل کلی به سادگی وحشتناک به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم و سایر زباله ها.

بنابراین پاسخ را به صورت انتگرال کلی می نویسیم. ارائه آن به شکل، یعنی در سمت راست، در صورت امکان، فقط یک ثابت باقی بماند، عمل خوبی در نظر گرفته می شود. انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

پاسخ:انتگرال عمومی:

! توجه داشته باشید: انتگرال کلی هر معادله ای را می توان به بیش از یک روش نوشت. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشته باشد، این بدان معنا نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

بررسی انتگرال کلی نیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که بتوانیم پیدا کنیم مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است. بیایید پاسخ را متمایز کنیم:

هر دو عبارت را در ضرب می کنیم:

و تقسیم بر:

معادله دیفرانسیل اصلی دقیقا به دست آمده است، یعنی انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

یادآوری می کنم که الگوریتم شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل کلی؛
2) یافتن راه حل خاص مورد نیاز.

بررسی نیز در دو مرحله انجام می شود (نمونه در مثال شماره 2 را ببینید)، شما باید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که یک راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 5

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل پیدا کنید ، ارضای شرایط اولیه. بررسی را انجام دهید.

راه حل:ابتدا بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم این معادله از قبل شامل دیفرانسیل های آماده است و بنابراین، راه حل ساده شده است. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست آمده است آیا می توان راه حل کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می توان. لگاریتم ها را از دو طرف آویزان می کنیم. از آنجایی که آنها مثبت هستند، علائم مدول غیر ضروری هستند:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین، راه حل کلی این است:

بیایید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم.
در جواب کلی به جای «X» صفر و به جای «Y» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا شرط اولیه برآورده شده است:
- همه چیز خوب است.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده اصلا معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. یافتن مشتق:

بیایید به معادله اصلی نگاه کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

اجازه دهید راه حل خاص یافت شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

روش دوم بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله بیایید مشتق را بیان کنیم، برای انجام این کار، تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و به DE تبدیل شده، راه حل جزئی به دست آمده و مشتق یافت شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

حل معادله دیفرانسیل پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی ارائه دهید.

این مثالی است برای حل خودتان، راه حل کامل و در پایان درس پاسخ دهید.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک چه مشکلاتی در کمین است؟

1) همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای "قوری") که می توان متغیرها را از هم جدا کرد. در نظر بگیریم مثال شرطی: . در اینجا باید فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و ریشه ها را جدا کنید: . مشخص است که در مرحله بعد چه باید کرد.

2) مشکلات با خود ادغام. انتگرال ها اغلب ساده ترین نیستند و در صورت وجود نقص در مهارت های یافتن انتگرال نامعین، سپس با بسیاری از دیفیوزرها مشکل خواهد بود. علاوه بر این، منطق "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، پس حداقل بگذارید انتگرال ها پیچیده تر شوند" در بین کامپایلرهای مجموعه ها و کتابچه های آموزشی رایج است.

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه متوجه شده‌اند، ثابت در معادلات دیفرانسیل را می‌توان کاملاً آزادانه مدیریت کرد و برخی از تبدیل‌ها همیشه برای یک مبتدی واضح نیست. بیایید به مثال شرطی دیگری نگاه کنیم: . توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: . ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: . بله، و از آنجایی که یک لگاریتم در سمت راست وجود دارد، توصیه می شود ثابت را به شکل ثابت دیگری بازنویسی کنید: .

مشکل این است که آنها اغلب با ایندکس ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. در نتیجه، رکورد تصمیم به شکل زیر است:

چه نوع بدعتی؟ اشتباهاتی در آنجا وجود دارد! به طور دقیق، بله. با این حال، از نظر ماهوی، هیچ خطایی وجود ندارد، زیرا در نتیجه تبدیل یک ثابت متغیر، همچنان یک ثابت متغیر به دست می آید.

یا مثال دیگر، فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علامت هر عبارت را تغییر دهید: . به طور رسمی، اشتباه دیگری در اینجا وجود دارد - باید در سمت راست نوشته شود. اما به طور غیر رسمی گفته می شود که "منهای ce" هنوز یک ثابت است ( که می تواند به همین راحتی هر معنایی داشته باشد!)، بنابراین قرار دادن "منهای" منطقی نیست و می توانید از همان حرف استفاده کنید.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد بی دقت اجتناب کنم، و همچنان هنگام تبدیل آنها، شاخص های مختلفی را به ثابت ها اختصاص می دهم.

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل بررسی را انجام دهید.

راه حل:این معادله امکان جداسازی متغیرها را فراهم می کند. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید ادغام کنیم:

لازم نیست ثابت را در اینجا به عنوان لگاریتم تعریف کنیم، زیرا هیچ چیز مفیدی از این کار حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

با ضرب هر دو جمله در کسری خلاص می شویم:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خاص برای DE پیدا کنید.
,

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تنها نکته این است که در اینجا شما یک انتگرال کلی دریافت خواهید کرد، و به عبارت صحیح تر، باید برای یافتن راه حل خاصی تلاش کنید، بلکه انتگرال جزئی. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

کاربرد

حل معادلات دیفرانسیل آنلاین در وب سایت برای دانش آموزان برای ادغام مطالبی که پوشش داده اند. و مهارت های عملی خود را آموزش دهید. معادلات دیفرانسیل آنلاین Difurs آنلاین، حل ریاضیات آنلاین. راه حل های گام به گام برای مسائل ریاضی آنلاین. ترتیب یا درجه یک معادله دیفرانسیل بالاترین مرتبه مشتقات موجود در آن است. معادلات دیفرانسیل آنلاین فرآیند حل معادله دیفرانسیل را یکپارچه سازی می نامند. مشکل ادغام یک معادله دیفرانسیل در صورتی حل شده در نظر گرفته می شود که یافتن یک تابع مجهول را بتوان به ربع رساند، صرف نظر از اینکه انتگرال حاصل به شکل نهایی بر حسب توابع شناخته شده بیان شود یا خیر. حل گام به گام معادلات دیفرانسیل آنلاین. تمام معادلات دیفرانسیل را می توان به معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) تقسیم کرد که فقط شامل توابع (و مشتقات آنها) یک آرگومان می شود و معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) که در آن توابع ورودی به متغیرهای زیادی بستگی دارند. معادلات دیفرانسیل آنلاین همچنین معادلات دیفرانسیل تصادفی (SDEs) شامل فرآیندهای تصادفی وجود دارد. حل گام به گام معادلات دیفرانسیل آنلاین. بسته به ترکیب مشتقات، توابع و متغیرهای مستقل، معادلات دیفرانسیل به خطی و غیرخطی با ضرایب ثابت یا متغیر، همگن یا ناهمگن تقسیم می‌شوند. با توجه به اهمیت کاربردها، معادلات دیفرانسیل جزئی شبه خطی (خطی نسبت به مشتقات بالاتر) در یک کلاس جداگانه طبقه بندی می شوند. حل معادلات دیفرانسیل به دو راه حل کلی و جزئی تقسیم می شود. معادلات دیفرانسیل آنلاین راه‌حل‌های کلی شامل ثابت‌های نامشخص و برای معادلات دیفرانسیل جزئی، توابع دلخواه متغیرهای مستقل است که می‌توان از آنها پالایش کرد. شرایط اضافیانتگرال گیری (شرایط اولیه برای معادلات دیفرانسیل معمولی، شرایط اولیه و مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی). حل گام به گام معادلات دیفرانسیل آنلاین. پس از تعیین نوع ثابت های مشخص شده و توابع تعریف نشدهتصمیمات خصوصی می شوند جستجو برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی منجر به ایجاد کلاسی از توابع ویژه شد - توابعی که اغلب در برنامه هایی با آن مواجه می شوند که نمی توانند از طریق توابع ابتدایی شناخته شده بیان شوند. معادلات دیفرانسیل آنلاین خصوصیات آنها به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفت، جداول مقادیر گردآوری شد، ارتباطات متقابل تعیین شد و غیره. مجموعه اعداد برشماری قابل مطالعه است. بهترین پاسخ برای مشکل داده شده. نحوه یافتن بردار خروجی به منطقه همگرایی در مورد معادلات دیفرانسیل، به عنوان تقریب اول، بدون یافتن حد بالایی یافت شده. انتخاب برای افزایش توابع ریاضی بدیهی است. یک روش مترقی بالاتر از سطح تحقیق وجود دارد. تراز کردن شرایط اولیه مسئله با حل معادلات دیفرانسیل به شما کمک می کند تا یک مقدار انتخاب شده منحصر به فرد را پیدا کنید. ممکن است او بتواند بلافاصله ناشناخته را شناسایی کند. معادلات دیفرانسیل خطی مانند مثال قبلی برای تعیین راه حل برای یک مسئله ریاضی، پاسخ به یک مسئله خاص در یک بازه زمانی مشخص هستند. نگهداری از روش تحقیق به صورت محلی تعیین نشده است. این خواهد بود که برای هر دانش آموز یک مثال پیدا می شود و راه حل معادلات دیفرانسیل توسط شخصی که به مسئول تعیین می شود حداقل از دو مقدار تعیین می شود. تابعی با مقدار کلی در یک بخش خاص بگیرید و هشدار دهید که در امتداد کدام محور شکسته خواهد شد. با مطالعه آنلاین معادلات دیفرانسیل، می توان بدون ابهام نشان داد که نتیجه چقدر مهم است، در صورتی که با شرایط اولیه فراهم شده باشد. برش یک ناحیه از یک تعریف تابع غیرممکن است، زیرا هیچ تعریفی برای کار به صورت محلی وجود ندارد. پس از پیدا شدن از یک سیستم معادلات، پاسخ شامل یک متغیر محاسبه شده در است به معنای کلی، اما طبیعتاً حل معادله دیفرانسیل به صورت آنلاین بدون این عمل برای تعیین شرط مذکور امکان پذیر خواهد بود. در کنار فاصله بخش می توانید ببینید که چگونه حل معادلات دیفرانسیل آنلاین می تواند نتیجه تحقیق را در لحظه قطع دانش دانش آموزان در جهت مثبت پیش ببرد. بهترین ها همیشه از یک رویکرد عمومی پذیرفته شده در تجارت ناشی نمی شوند. در سطح 2x، بررسی تمام معادلات دیفرانسیل خطی لازم در یک نمایش طبیعی مفید است، اما توانایی محاسبه مقدار عددی منجر به بهبود دانش خواهد شد. بر اساس هر روشی در ریاضیات، معادلات دیفرانسیل وجود دارد که در عبارات اساساً متفاوتی مانند همگن یا مختلط ارائه می شوند. بعد از خرج کردن تحلیل کلیبا بررسی تابع، مشخص خواهد شد که حل دیفرانسیل ها به عنوان مجموعه ای از احتمالات نشان دهنده یک خطای آشکار در مقادیر است. حقیقت در آن در فضای بالای خطوط آبسیسا نهفته است. معادلات دیفرانسیل خطی در جایی از حوزه تعریف تابع مختلط، در نقطه ای از تعریف آن، قادر خواهند بود پاسخ را به صورت تحلیلی ارائه دهند. یعنی در نمای کلیبه عنوان جوهر با تغییر متغیر هیچ چیز تغییر نمی کند. با این حال، باید با علاقه خاصی به پاسخ نگاه کنید. در اصل، ماشین حساب در پایان رابطه را تغییر می دهد، یعنی چگونه حل معادلات دیفرانسیل متناسب با مقدار جهانی است و در محدوده راه حل مورد نظر تعیین می شود. در برخی موارد، هشدار خطای گسترده اجتناب ناپذیر است. پیاده سازی آنلاین معادلات دیفرانسیل ایده کلیدر مورد کار، اما در پایان باید در اسرع وقت ارائه دهید جنبه های مثبت محصول برداری. در ریاضیات، موارد سوء برداشت در نظریه اعداد غیر معمول نیست. چک حتما لازم خواهد بود. طبیعتاً بهتر است این حق را به متخصصان رشته خود بدهید و آنها به شما کمک می کنند تا معادله دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید زیرا تجربه آنها عظیم و مثبت است. تفاوت در سطوح و مساحت شکل ها به حدی است که حل معادلات دیفرانسیل آنلاین نیست که به شما امکان دیدن را می دهد، اما مجموعه اجسام غیر متقاطع به گونه ای است که خط موازی با محور است. در نتیجه، می توانید دو برابر مقادیر بیشتری دریافت کنید. در حالی که صریح نیست، درک ما از صحت نمادگذاری رسمی شامل معادلات دیفرانسیل خطی هم در ناحیه مشاهده و هم در رابطه با برآورد بیش از حد عمدی کیفیت نتیجه است. یک بحث میزگرد در مورد یک موضوع مورد علاقه برای همه دانش آموزان چندین بار بررسی می شود. در طول مطالعه دوره کامل سخنرانی ها، در صورتی که با حقیقت مغایرت نداشته باشد، توجه دقیق خود را بر معادلات دیفرانسیل و حوزه های مرتبط با مطالعه علمی متمرکز خواهیم کرد. در ابتدای سفر می توان از بسیاری از مراحل اجتناب کرد. اگر حل معادلات دیفرانسیل هنوز اساساً چیز جدیدی برای دانش آموزان است، آنگاه کهنه به هیچ وجه فراموش نمی شود، بلکه به سمت آینده پیش می رود. سرعت بالاتوسعه. در ابتدا، شرایط برای مسئله در ریاضیات متفاوت است، اما این در پاراگراف سمت راست نشان داده شده است. پس از گذشت زمان مشخص شده توسط تعریف، امکان یک نتیجه وابسته متناسب در سطوح مختلف حرکت بردار را نمی توان حذف کرد. چنین مورد ساده ای را می توان به همان روشی که معادلات دیفرانسیل خطی در یک ماشین حساب به صورت کلی توصیف می شود اصلاح کرد، سریعتر خواهد بود و افست محاسبات منجر به نظر اشتباه نمی شود. تنها پنج موردی که بر اساس تئوری نام‌گذاری شده‌اند، می‌توانند مرزهای اتفاقی را که در حال وقوع است جابجا کنند. راه حل معادلات دیفرانسیل ما به شما کمک می کند تا به صورت دستی مقدار را در اعداد در اولین مراحل تجزیه فضای تابع محاسبه کنید. در مکان های مناسب باید نقطه تماس چهار خط را نشان داد معنی کلی. اما اگر مجبور باشید کار را جابجا کنید، آنگاه معادل سازی پیچیدگی آسان خواهد بود. اطلاعات اولیه برای ثبت نام کافی است پای مجاورو معادلات دیفرانسیل آنلاین به صورت تراز چپ و سطح یک طرفه به سمت روتور برداری است. بالاتر از حد بالا، مقادیر عددی فراتر از شرایط تعیین شده امکان پذیر است. می توان فرمول ریاضی را در نظر گرفت و معادله دیفرانسیل را به صورت آنلاین با استفاده از سه مجهول در مقدار کلی نسبت حل کرد. روش محاسبه محلی معتبر شناخته می شود. سیستم مختصات در حرکت نسبی هواپیما مستطیل شکل است. راه‌حل کلی معادلات دیفرانسیل آنلاین به ما اجازه می‌دهد تا بدون ابهام نتیجه‌گیری به نفع یک اجرای محاسباتی از طریق تعاریف ماتریسی در کل خط مستقیم واقع در بالای نمودار یک تابع مشخص شده به صراحت بگیریم. اگر بردار حرکت را به نقطه تماس سه نیمکره اعمال کنید، راه حل به وضوح قابل مشاهده است. استوانه با چرخش مستطیل به دور ضلع به دست می آید و معادلات دیفرانسیل خطی قادر خواهند بود جهت حرکت نقطه را با توجه به عبارات داده شده از قانون حرکت آن نشان دهند. داده های اولیه صحیح است و مشکل در ریاضیات تحت یک شرط ساده قابل تعویض است. با این حال، به دلیل شرایط، به دلیل پیچیدگی زیرکار مطرح شده، معادلات دیفرانسیل فرآیند محاسبه فضاهای عددی را در سطح فضای سه بعدی ساده می کند. اثبات خلاف آن آسان است، اما می توان مانند مثال ارائه شده از آن اجتناب کرد. در ریاضیات عالی نکات زیر ارائه می شود: وقتی مسئله ای به شکل ساده شده تقلیل می یابد، باید بیشترین تلاش ممکن از سوی دانش آموزان برای آن به کار گرفته شود. خطوطی که روی یکدیگر قرار گرفته اند در نظر گرفته می شوند. در مورد حل دیفرانسیل ها همچنان مزیت روش مذکور در خط منحنی از سر گرفته می شود. اگر ابتدا چیزی را تشخیص دادید که آن چیزی نیست که نیاز دارید، پس فرمول ریاضییک مقدار جدید برای عبارت ایجاد می کند. هدف، رویکرد بهینه برای حل وظایف تعیین شده توسط استاد است. شما نباید فرض کنید که معادلات دیفرانسیل خطی به شکل ساده شده از نتیجه مورد انتظار فراتر خواهد رفت. سه بردار را روی یک سطح کاملاً فشرده قرار می دهیم. متعامد به یکدیگر بیایید محصول را محاسبه کنیم. بیایید اضافه را انجام دهیم بیشترنمادها و تمام عبارات به دست آمده را بنویسید توابع متغیر. تناسبی وجود دارد. چندین عمل قبل از پایان محاسبات به حل معادلات دیفرانسیل بلافاصله پاسخ روشنی نمی دهد، اما فقط پس از سپری شدن زمان اختصاص داده شده در امتداد محور y. در سمت چپ نقطه ناپیوستگی، که به طور ضمنی از تابع مشخص شده است، یک محور متعامد به بهترین بردار افزایشی رسم می کنیم و معادلات دیفرانسیل آنلاین را در امتداد کوچکترین مقدار مرزی سطح پایین جسم ریاضی قرار می دهیم. آرگومان اضافی را در ناحیه شکست تابع اضافه می کنیم. در سمت راست نقاطی که خط منحنی قرار دارد، فرمول هایی که برای کاهش به مخرج مشترک نوشته ایم به شما کمک می کند معادله دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. ما تنها رویکرد صحیحی را اتخاذ خواهیم کرد که مشکلات حل نشده را از تئوری تا عملی روشن می کند، در حالت کلی به طور واضح. خطوط در جهت مختصات نقاط داده شده هرگز موقعیت انتهایی مربع را نمی‌بندند، اما حل معادلات دیفرانسیل به صورت آنلاین به دانش‌آموزان، ما و تازه‌کاران این رشته در مطالعه ریاضی کمک می‌کند. ما در مورد امکان جایگزینی یک آرگومان مقدار در تمام خطوط مهم یک فیلد صحبت می کنیم. در اصل، همانطور که انتظار می رود، معادلات دیفرانسیل خطی ما چیزی هستند که در یک مفهوم واحد از معنای داده شده جدا شده اند. برای کمک به دانش آموزان، یکی از بهترین ماشین حساب در میان خدمات مشابه است. تمام دوره ها را بگذرانید و بهترین را برای خود انتخاب کنید.

=

I. معادلات دیفرانسیل معمولی

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک متغیر مستقل را به هم مرتبط می کند ایکس، تابع مورد نیاز است yو مشتقات یا دیفرانسیل های آن.

معادله دیفرانسیل به صورت نمادین به صورت زیر نوشته می شود:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y,y,.., y (n))=0

اگر تابع مورد نیاز به یک متغیر مستقل وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود.

حل یک معادله دیفرانسیلتابعی نامیده می شود که این معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیلترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله است

مثال ها.

1. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید

جواب این معادله تابع y = 5 ln x است. در واقع، جایگزینی y"در معادله، هویت را دریافت می کنیم.

و این بدان معنی است که تابع y = 5 ln x– راه حلی برای این معادله دیفرانسیل است.

2. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظر بگیرید y" - 5y" +6y = 0. تابع جواب این معادله است.

واقعا، .

با جایگزینی این عبارات در معادله، به دست می آوریم: , – هویت.

و این بدان معنی است که تابع راه حل این معادله دیفرانسیل است.

ادغام معادلات دیفرانسیلفرآیند یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل است.

حل کلی معادله دیفرانسیلتابع فرم نامیده می شود ، که به اندازه ترتیب معادله شامل ثابت دلخواه مستقل است.

حل جزئی معادله دیفرانسیلراه حلی است که از یک راه حل کلی برای مقادیر مختلف عددی ثابت های دلخواه بدست می آید. مقادیر ثابت دلخواه در مقادیر اولیه معینی از آرگومان و تابع یافت می شود.

نمودار یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال.

مثال ها

1. یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول پیدا کنید

xdx + ydy = 0، اگر y= 4 در ایکس = 3.

راه حل. با ادغام هر دو طرف معادله، به دست می آوریم

اظهار نظر. یک ثابت دلخواه C که در نتیجه ادغام به دست می آید را می توان به هر شکلی که برای تبدیل های بعدی مناسب است نشان داد. در این مورد، با در نظر گرفتن معادله متعارف یک دایره، نشان دادن یک ثابت دلخواه C به شکل راحت است.

- حل کلی معادله دیفرانسیل.

حل خاص معادله راضی کننده است شرایط اولیه y = 4 در ایکس = 3 از کلی با جایگزین کردن شرایط اولیه به راه حل کلی پیدا می شود: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

با جایگزینی C=5 به جواب کلی، دریافت می کنیم x 2 +y 2 = 5 2 .

این یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل است که از یک راه حل کلی در شرایط اولیه مشخص به دست می آید.

2. جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید

راه حل این معادله هر تابعی از شکل است که در آن C یک ثابت دلخواه است. در واقع، با جایگزینی در معادلات، به دست می آوریم: , .

در نتیجه، این معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است، زیرا برای مقادیر مختلف ثابت C، تساوی راه حل های متفاوتی را برای معادله تعیین می کند.

به عنوان مثال، با جایگزینی مستقیم می توانید تأیید کنید که توابع راه حل های معادله هستند.

مسئله ای که در آن باید راه حل خاصی برای معادله پیدا کنید y" = f(x,y)ارضای شرایط اولیه y (x 0) = y 0، مسئله کوشی نامیده می شود.

حل معادله y" = f(x,y)، ارضای شرایط اولیه، y (x 0) = y 0، راه حلی برای مشکل کوشی نامیده می شود.

راه حل مسئله کوشی معنای هندسی ساده ای دارد. در واقع، با توجه به این تعاریف، مشکل کوشی را حل کنید y" = f(x,y)با توجه به اینکه y (x 0) = y 0، یعنی پیدا کردن منحنی انتگرال معادله y" = f(x,y)که از یک نقطه معین می گذرد M 0 (x 0,y 0).

II. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

2.1. مفاهیم اساسی

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله ای از فرم است F(x,y,y") = 0.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول مشتق اول را شامل می شود و مشتقات مرتبه بالاتر را شامل نمی شود.

معادله y" = f(x,y)معادله مرتبه اول حل شده با توجه به مشتق نامیده می شود.

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابعی از فرم است که شامل یک ثابت دلخواه است.

مثال.یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید.

راه حل این معادله تابع است.

در واقع، با جایگزینی این معادله با مقدار آن، دریافت می کنیم

به این معنا که 3x=3x

بنابراین، تابع یک راه حل کلی برای معادله برای هر ثابت C است.

راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنید که شرط اولیه را برآورده کند y(1)=1جایگزینی شرایط اولیه x = 1، y = 1به حل کلی معادله، از کجا می‌رسیم C=0.

بنابراین، با جایگزین کردن مقدار حاصل در این معادله، یک راه حل خاص از یک راه حل کلی به دست می آوریم C=0- راه حل خصوصی

2.2. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک معادله ای به شکل زیر است: y"=f(x)g(y)یا از طریق دیفرانسیل، که در آن f(x)و g(y)- توابع مشخص شده

برای آن ها y، که برای آن، معادله y"=f(x)g(y)معادل معادله است، که در آن متغیر yفقط در سمت چپ وجود دارد و متغیر x فقط در سمت راست است. آنها می گویند: «در معادله y"=f(x)g(yبیایید متغیرها را از هم جدا کنیم."

معادله فرم معادله متغیر جدا شده نامیده می شود.

ادغام دو طرف معادله توسط ایکس، ما گرفتیم G(y) = F(x) + Cجواب کلی معادله است که در آن G(y)و F(x)- برخی از ضد مشتقات، به ترتیب، از توابع و f(x), سیثابت دلخواه

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

مثال 1

معادله را حل کنید y" = xy

راه حل. مشتق از یک تابع y"آن را جایگزین کنید

بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم

بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم:

مثال 2

2 سال" = 1- 3x 2، اگر y 0 = 3در x 0 = 1

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را در دیفرانسیل تصور کنیم. برای این کار این معادله را در فرم بازنویسی می کنیم از اینجا

با ادغام هر دو طرف آخرین برابری، متوجه می شویم

جایگزینی مقادیر اولیه x 0 = 1، y 0 = 3ما پیدا خواهیم کرد با 9=1-1+سی، یعنی C = 9.

بنابراین، انتگرال جزئی مورد نیاز خواهد بود یا

مثال 3

برای منحنی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید M(2;-3)و داشتن مماس با ضریب زاویه ای

راه حل. با توجه به شرایط

این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. با تقسیم متغیرها به دست می آید:

با ادغام هر دو طرف معادله، بدست می آوریم:

با استفاده از شرایط اولیه، x = 2و y = - 3ما پیدا خواهیم کرد سی:

بنابراین معادله مورد نیاز شکل دارد

2.3. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است y" = f(x)y + g(x)

جایی که f(x)و g(x)- برخی از توابع مشخص شده

اگر g(x)=0سپس معادله دیفرانسیل خطی همگن نامیده می شود و به شکل زیر است: y" = f(x)y

اگر پس معادله y" = f(x)y + g(x)ناهمگن نامیده می شود.

حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی y" = f(x)yبا فرمول: Where با- ثابت دلخواه

به ویژه، اگر C=0،سپس راه حل است y = 0اگر یک معادله همگن خطی دارای شکل باشد y" = کیجایی که کمقداری ثابت است، سپس حل کلی آن به شکل زیر است: .

حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y" = f(x)y + g(x)با فرمول داده می شود ,

آن ها برابر است با مجموع جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه و جواب خاص این معادله.

برای یک معادله ناهمگن خطی شکل y" = kx + b,

جایی که کو ب- برخی از اعداد و یک راه حل خاص یک تابع ثابت خواهد بود. بنابراین، راه حل کلی شکل دارد.

مثال. معادله را حل کنید y" + 2y +3 = 0

راه حل. بیایید معادله را به شکل نمایش دهیم y" = -2y - 3جایی که k = -2، b= -3راه حل کلی با فرمول ارائه می شود.

بنابراین، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

2.4. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش برنولی

یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول y" = f(x)y + g(x)به حل دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده با استفاده از جایگزینی کاهش می یابد y=uv، جایی که توو v- توابع ناشناخته از ایکس. این روش حل را روش برنولی می نامند.

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

y" = f(x)y + g(x)

1. جایگزینی را وارد کنید y=uv.

2. این برابری را متمایز کنید y" = u"v + uv"

3. جایگزین yو y"در این معادله: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)یا u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. عبارات معادله را طوری گروه بندی کنید که توآن را از پرانتز خارج کنید:

5. از براکت، با برابر کردن آن با صفر، تابع را پیدا کنید

این یک معادله قابل تفکیک است:

بیایید متغیرها را تقسیم کنیم و بدست آوریم:

جایی که . .

6. مقدار حاصل را جایگزین کنید vبه معادله (از مرحله 4):

و تابع را پیدا کنید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است:

7- راه حل کلی را به شکل زیر بنویسید: ، یعنی .

مثال 1

یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنید y" = -2y +3 = 0اگر y=1در x = 0

راه حل. بیایید آن را با استفاده از جایگزینی حل کنیم y=uv،.y" = u"v + uv"

جایگزین کردن yو y"به این معادله می رسیم

با گروه بندی جمله های دوم و سوم در سمت چپ معادله، عامل مشترک را خارج می کنیم تو خارج از پرانتز

عبارت داخل پرانتز را با صفر برابر می کنیم و با حل معادله حاصل، تابع را پیدا می کنیم v = v(x)

معادله ای با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم. بیایید هر دو طرف این معادله را ادغام کنیم: تابع را پیدا کنید v:

بیایید مقدار حاصل را جایگزین کنیم vدر معادله به دست می آوریم:

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم: بیایید تابع را پیدا کنیم u = u(x,c) بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم: اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند y = 1در x = 0:

III. معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

3.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معادله ای است که مشتقات آن بالاتر از مرتبه دوم نباشد. در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود: F(x،y،y،y") = 0

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تابعی از شکل است که شامل دو ثابت دلخواه است. ج 1و ج 2.

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، راه حلی است که از یک جواب کلی برای مقادیر معینی از ثابت های دلخواه به دست می آید. ج 1و ج 2.

3.2. معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابتمعادله فرم نامیده می شود y" + py" +qy = 0، جایی که پو q- مقادیر ثابت

الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

1. معادله دیفرانسیل را به شکل زیر بنویسید: y" + py" +qy = 0.

2. معادله مشخصه آن را ایجاد کنید، نشان دهید y"از طریق r 2, y"از طریق r, yدر 1: r 2 + pr + q = 0