در مدرسه، بسیاری از افراد در حل انتگرال ها شکست می خورند یا با آنها مشکل دارند. این مقاله به شما کمک می کند تا آن را بفهمید، زیرا همه چیز را در آن خواهید یافت. جداول انتگرال.
انتگرالیکی از محاسبات و مفاهیم اصلی در تحلیل ریاضی است. ظهور آن ناشی از دو هدف است:
گل اول- بازیابی یک تابع با استفاده از مشتق آن.
گل دوم- محاسبه مساحت واقع در فاصله نمودار تا تابع f(x) روی خط مستقیم که در آن a بزرگتر یا مساوی x بزرگتر یا مساوی b و محور x است.
این اهداف ما را به انتگرال های معین و نامعین سوق می دهند. ارتباط بین این انتگرال ها در جستجوی خواص و محاسبه نهفته است. اما همه چیز جریان می یابد و همه چیز در طول زمان تغییر می کند، راه حل های جدیدی پیدا شد، اضافات مشخص شد، در نتیجه انتگرال های معین و نامعین را به اشکال دیگر ادغام سوق داد.
چه اتفاقی افتاده است انتگرال نامعین تو پرسیدی. این یک تابع ضد مشتق F(x) از یک متغیر x در بازه a بزرگتر از x بزرگتر از b است. هر تابع F(x) نامیده می شود، در یک بازه معین برای هر نام x، مشتق برابر است با F(x). واضح است که F(x) ضد مشتق است برای f(x) در فاصله a بزرگتر از x بزرگتر از b است. این بدان معنی است که F1(x) = F(x) + C. C - هر ثابت و پاد مشتق برای f(x) در یک بازه معین است. این بیانیهمعکوس، برای تابع f(x) - 2 ضد مشتقات فقط در ثابت تفاوت دارند. بر اساس قضیه حساب انتگرال، معلوم می شود که هر پیوسته در بازه a
انتگرال معین به عنوان یک حد در مجموع انتگرال، یا در موقعیت یک تابع معین f(x) تعریف شده در برخی از خطوط (a,b) که دارای یک F پاد مشتق بر روی آن است، به معنی تفاوت عبارات آن در انتهای یک خط مشخص می شود. F(b) - F(a).
برای نشان دادن مطالعه این موضوع، پیشنهاد می کنم ویدیو را تماشا کنید. با جزئیات می گوید و نحوه یافتن انتگرال ها را نشان می دهد.
هر جدول انتگرال به خودی خود بسیار مفید است، زیرا به حل نوع خاصی از انتگرال کمک می کند.
همه انواع ممکنلوازم التحریر و بیشتر می توانید از طریق فروشگاه آنلاین v-kant.ru خرید کنید. یا فقط لینک لوازم التحریر سامارا (http://v-kant.ru) را دنبال کنید کیفیت و قیمت ها شما را شگفت زده خواهد کرد.
فرمول های اساسی و روش های ادغام قانون ادغام یک مجموع یا تفاوت. حرکت ثابت به خارج از علامت انتگرال. روش جایگزینی متغیر فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات نمونه ای از حل یک مشکل.
چهار روش اصلی ادغام در زیر ذکر شده است.
1)
قانون ادغام یک مجموع یا تفاوت.
.
در اینجا و زیر u، v، w توابعی از متغیر ادغام x هستند.
2)
حرکت ثابت به خارج از علامت انتگرال.
فرض کنید c ثابت مستقل از x باشد. سپس می توان آن را از علامت انتگرال خارج کرد.
3)
روش جایگزینی متغیر
بیایید انتگرال نامعین را در نظر بگیریم.
اگر بتوانیم چنین تابعی را پیدا کنیم (ایکس)از x، بنابراین
,
سپس با جایگزینی متغیر t = φ(x) داریم
.
4)
فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات
,
که در آن u و v توابعی از متغیر ادغام هستند.
هدف نهایی محاسبه انتگرال های نامعین- این است که از طریق تبدیل، یک انتگرال معین را به ساده ترین انتگرال کاهش دهیم که انتگرال جدولی نامیده می شود. انتگرال های جدول از طریق توابع ابتدایی با استفاده از فرمول های شناخته شده بیان می شوند.
جدول انتگرال ها >>> را ببینید
مثال
انتگرال نامعین را محاسبه کنید
راه حل
توجه داشته باشیم که انتگرال مجموع و تفاضل سه جمله است:
، و .
اعمال روش 1
.
در مرحله بعد، توجه می کنیم که انتگرال های انتگرال های جدید در ضرایب ثابت ضرب می شوند 5, 4,
و 2
، به ترتیب. اعمال روش 2
.
در جدول انتگرال ها فرمول را پیدا می کنیم
.
با فرض n = 2
، انتگرال اول را پیدا می کنیم.
اجازه دهید انتگرال دوم را در فرم بازنویسی کنیم
.
متوجه می شویم که. سپس
بیایید از روش سوم استفاده کنیم. متغیر t = φ را تغییر می دهیم (x) = ورود x.
.
در جدول انتگرال ها فرمول را پیدا می کنیم
از آنجایی که متغیر ادغام را می توان با هر حرفی نشان داد، پس
اجازه دهید انتگرال سوم را در فرم بازنویسی کنیم
.
ما فرمول یکپارچه سازی قطعات را اعمال می کنیم.
بگذار آن را بگذاریم.
سپس
;
;
;
;
.
در مطالب قبلی، موضوع یافتن مشتق مورد توجه قرار گرفت و کاربردهای مختلف آن نشان داده شد: محاسبه شیب مماس بر یک نمودار، حل مسائل بهینه‌سازی، مطالعه توابع برای یکنواختی و مازاد. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nlimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nlimits)$
تصویر 1.
مشکل یافتن سرعت لحظه ای $v(t)$ با استفاده از مشتق در طول مسیری که قبلاً شناخته شده بود، که با تابع $s(t)$ بیان شده بود، نیز در نظر گرفته شد.
شکل 2.
مشکل معکوس نیز بسیار رایج است، زمانی که شما باید مسیر $s(t)$ را که توسط یک نقطه در زمان $t$ طی شده است، با دانستن سرعت نقطه $v(t)$ پیدا کنید. اگر به خاطر بیاوریم، سرعت لحظه ای $v(t)$ به عنوان مشتق تابع مسیر $s(t)$ پیدا می شود: $v(t)=s’(t)$. یعنی برای حل مسئله معکوس، یعنی محاسبه مسیر، باید تابعی را پیدا کنید که مشتق آن برابر با تابع سرعت باشد. اما می دانیم که مشتق مسیر سرعت است، یعنی: $s’(t) = v(t)$. سرعت برابر است با زمان شتاب: $v=at$. به راحتی می توان تعیین کرد که تابع مسیر مورد نظر به شکل: $s(t) = \frac(at^2)(2)$ باشد. اما این یک راه حل کاملاً کامل نیست. راه‌حل کامل به این شکل خواهد بود: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$، که $C$ مقداری ثابت است. این که چرا چنین است بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت. در حال حاضر، بیایید صحت راه حل پیدا شده را بررسی کنیم: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
شایان ذکر است که یافتن مسیر بر اساس سرعت، معنای فیزیکی یک پاد مشتق است.
تابع حاصل $s(t)$ ضد مشتق تابع $v(t)$ نامیده می شود. نام بسیار جالب و غیرمعمولی است، اینطور نیست. حاوی معنای بزرگی است که ماهیت این مفهوم را توضیح می دهد و به درک آن منجر می شود. متوجه خواهید شد که شامل دو کلمه "اول" و "تصویر" است. خودشان حرف می زنند. یعنی این همان تابعی است که برای مشتقی که داریم، اولیه است. و با استفاده از این مشتق به دنبال تابعی هستیم که در ابتدا، "first"، "first image" بود، یعنی ضد مشتق. گاهی اوقات به آن تابع اولیه یا ضد مشتق نیز می گویند.
همانطور که می دانیم، فرآیند یافتن مشتق، تمایز نامیده می شود. و فرآیند یافتن پاد مشتق را ادغام می نامند. عملیات ادغام معکوس عملیات تمایز است. عکس آن نیز صادق است.
تعریف.یک ضد مشتق برای یک تابع $f(x)$ در یک بازه معین، یک تابع $F(x)$ است که مشتق آن برابر با این تابع $f(x)$ برای همه $x$ از بازه مشخص شده است: $F' (x)=f (x)$.
ممکن است کسی سوالی داشته باشد: اگر در ابتدا در مورد $s(t)$ و $v(t)$ صحبت می‌کردیم، $F(x)$ و $f(x)$ از کجا آمده‌اند. واقعیت این است که $s(t)$ و $v(t)$ موارد خاصی از تعیین تابع هستند که در این مورد معنای خاصی دارند، یعنی به ترتیب تابع زمان و تابع سرعت هستند. در مورد متغیر $t$ هم همینطور است - نشان دهنده زمان است. و $f$ و $x$ به ترتیب نوع سنتی تعیین کلی یک تابع و یک متغیر هستند. ارزش توجه ویژه به نماد ضد مشتق $F(x)$ را دارد. اول از همه، دلار F$ سرمایه است. ضد مشتقات با حروف بزرگ نشان داده شده است. در مرحله دوم، حروف یکسان هستند: $F$ و $f$. یعنی برای تابع $g(x)$ ضد مشتق با $G(x)$ و برای $z(x)$ با $Z(x)$ نشان داده می شود. صرف نظر از نمادگذاری، قوانین برای یافتن یک تابع ضد مشتق همیشه یکسان است.
بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.
مثال 1.ثابت کنید که تابع $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ پاد مشتق تابع $f(x)=\cos5x$ است.
برای اثبات این موضوع از تعریف و به طور دقیق ترواقعیت این است که $F'(x)=f(x)$، و مشتق تابع $F(x)$ را پیدا کنید: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. این بدان معناست که $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ ضد مشتق $f(x)=\cos5x$ است. Q.E.D.
مثال 2.پیدا کنید کدام توابع با ضد مشتقات زیر مطابقت دارند: a) $F(z)=\tg z$; ب) $G(l) = \sin l$.
برای یافتن توابع مورد نیاز، مشتقات آنها را محاسبه می کنیم:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
ب) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
مثال 3.ضد مشتق برای $f(x)=0$ چه خواهد بود؟
بیایید از تعریف استفاده کنیم. بیایید فکر کنیم کدام تابع می تواند مشتق برابر $0$ داشته باشد. با یادآوری جدول مشتقات، متوجه می‌شویم که هر ثابتی چنین مشتقی خواهد داشت. دریافتیم که ضد مشتق مورد نظر ما این است: $F(x)=C$.
راه حل به دست آمده را می توان به صورت هندسی و فیزیکی توضیح داد. از نظر هندسی به این معنی است که مماس بر گراف $y=F(x)$ در هر نقطه از این نمودار افقی است و بنابراین با محور $Ox$ منطبق است. از نظر فیزیکی با این واقعیت توضیح داده می شود که نقطه ای با سرعتی برابر با صفر در جای خود باقی می ماند، یعنی مسیری که طی کرده است بدون تغییر است. بر این اساس می توانیم قضیه زیر را فرموله کنیم.
قضیه. (نشانه ثبات توابع). اگر در یک بازه $F'(x) = 0$ باشد، تابع $F(x)$ در این بازه ثابت است.
مثال 4.تعیین کنید کدام توابع ضد مشتقات a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ هستند. ب) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; ج) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; د) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$، که $a$ یک عدد است.
با استفاده از تعریف ضد مشتق، نتیجه می گیریم که برای حل این مشکل باید مشتقات توابع ضد مشتق را محاسبه کنیم. هنگام محاسبه، به یاد داشته باشید که مشتق یک ثابت، یعنی هر عددی، برابر با صفر است.
الف) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
ب) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
ج) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
د) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.
ما چه می بینیم؟ چندین توابع مختلف ابتدایی یک تابع هستند. این نشان می‌دهد که هر تابعی دارای بی‌نهایت پاد مشتق‌ها است، و آنها به شکل $F(x) + C$ هستند که $C$ یک ثابت دلخواه است. یعنی عملیات ادغام بر خلاف عملیات تمایز چند ارزشی است. بر این اساس، اجازه دهید قضیه ای را فرموله کنیم که ویژگی اصلی ضد مشتقات را توصیف می کند.
قضیه. (خاصیت اصلی ضد مشتقات). اجازه دهید توابع $F_1$ و $F_2$ ضد مشتقات تابع $f(x)$ در یک بازه زمانی باشند. سپس برای همه مقادیر از این بازه برابری زیر صادق است: $F_2=F_1+C$ که $C$ مقداری ثابت است.
واقعیت وجود تعداد نامتناهی از ضد مشتقات را می توان به صورت هندسی تفسیر کرد. با استفاده از ترجمه موازی در امتداد محور $Oy$، می توان نمودارهای هر دو ضد مشتق را برای $f(x)$ از یکدیگر بدست آورد. این هست معنای هندسیضد مشتق
توجه به این نکته بسیار مهم است که با انتخاب ثابت $C$ می توانید اطمینان حاصل کنید که نمودار ضد مشتق از نقطه خاصی عبور می کند.
شکل 3.
مثال 5.یک پاد مشتق برای تابع $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ پیدا کنید که نمودار آن از نقطه $(3; 1)$ می گذرد.
بیایید ابتدا همه ضد مشتقات را برای $f(x)$ پیدا کنیم: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
سپس یک عدد C پیدا می کنیم که نمودار $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ از نقطه $(3; 1)$ عبور می کند. برای انجام این کار، مختصات نقطه را در معادله نمودار جایگزین کرده و آن را با $C$ حل می کنیم:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
ما یک نمودار $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ به دست آوردیم که با ضد مشتق $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ مطابقت دارد.
جدول آنتی مشتقات
جدولی از فرمول ها برای یافتن مشتقات ضد مشتقات را می توان با استفاده از فرمول های یافتن مشتقات گردآوری کرد.
| کارکرد | ضد مشتقات |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $ax+C$ |
| $x^n، n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x، a>0، a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
شما می توانید صحت جدول را به روش زیر بررسی کنید: برای هر مجموعه از آنتی مشتق ها که در ستون سمت راست قرار دارند، مشتق را پیدا کنید که منجر به توابع مربوطه در ستون سمت چپ می شود.
برخی از قوانین برای یافتن ضد مشتقات
همانطور که می دانید، بسیاری از توابع بیشتر هستند ظاهر پیچیده، به جای مواردی که در جدول ضد مشتقات نشان داده شده است، و می تواند هر ترکیب دلخواه از مجموع و محصول توابع از این جدول را نشان دهد. و در اینجا این سؤال مطرح می شود: چگونه می توان ضد مشتقات چنین توابعی را محاسبه کرد. برای مثال، از جدول می‌دانیم که چگونه ضد مشتق‌های $x^3$، $\sin x$ و $10$ را محاسبه کنیم. برای مثال، چگونه می توان ضد مشتق $x^3-10\sin x$ را محاسبه کرد؟ با نگاهی به آینده، شایان ذکر است که برابر با $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ خواهد بود.
1. اگر $F(x)$ ضد مشتق برای $f(x)$، $G(x)$ برای $g(x)$ باشد، پس برای $f(x)+g(x)$ ضد مشتق خواهد بود. برابر با $ F(x)+G(x)$.
2. اگر $F(x)$ یک پاد مشتق برای $f(x)$ و $a$ یک ثابت باشد، آنگاه برای $af(x)$ ضد مشتق $aF(x)$ است.
3. اگر برای $f(x)$ پاد مشتق $F(x)$ باشد، $a$ و $b$ ثابت هستند، آنگاه $\frac(1)(a) F(ax+b)$ ضد مشتق است. برای $f (ax+b)$.
با استفاده از قوانین به دست آمده می توانیم جدول ضد مشتقات را گسترش دهیم.
| کارکرد | ضد مشتقات |
| $(ax+b)^n، n\ne1، a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b)، a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b)، a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b)، a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b)، a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
مثال 5.آنتی مشتق ها را پیدا کنید:
الف) $\displaystyle 4x^3+10x^7$؛
ب) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
ج) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
د) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
ب) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
ج) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
د) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
در این صفحه خواهید یافت:
1. در واقع، جدول ضد مشتقات - می توان آن را دانلود کرد فرمت PDFو چاپ کنید؛
2. ویدئو در مورد نحوه استفاده از این جدول.
3. دسته ای از مثال های محاسبه ضد مشتق از کتاب های درسی و تست های مختلف.
در خود ویدیو، ما بسیاری از مشکلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که در آن شما باید ضد مشتقات توابع را محاسبه کنید، اغلب بسیار پیچیده هستند، اما مهمتر از همه، آنها توابع قدرت نیستند. تمام توابع خلاصه شده در جدول پیشنهادی در بالا، مانند مشتقات، باید به طور خلاصه شناخته شوند. بدون آنها، مطالعه بیشتر انتگرال ها و کاربرد آنها برای حل مسائل عملی غیرممکن است.
امروز ما به مطالعه ضد مشتقات ادامه می دهیم و به کمی بیشتر می رویم موضوع پیچیده. اگر دفعه قبل فقط به ضد مشتق‌های توابع قدرت و ساختارهای کمی پیچیده‌تر نگاه کردیم، امروز به مثلثات و موارد دیگر خواهیم پرداخت.
همانطور که در درس گذشته گفتم، ضد مشتقات، بر خلاف مشتقات، هرگز با استفاده از قوانین استاندارد "کاملا" حل نمی شوند. علاوه بر این، خبر بد این است که بر خلاف مشتق، ممکن است ضد مشتق اصلاً در نظر گرفته نشود. اگر یک تابع کاملا تصادفی بنویسیم و سعی کنیم مشتق آن را پیدا کنیم، با احتمال بسیار بالا موفق خواهیم شد، اما ضد مشتق تقریباً هرگز در این مورد محاسبه نخواهد شد. اما یک خبر خوب وجود دارد: دسته نسبتاً بزرگی از توابع به نام توابع ابتدایی وجود دارد که محاسبه ضد مشتقات آن بسیار آسان است. و تمام ساختارهای پیچیده‌تر دیگری که در انواع تست‌ها، تست‌ها و امتحانات مستقل داده می‌شوند، در واقع از این توابع ابتدایی از طریق جمع، تفریق و سایر اقدامات ساده تشکیل شده‌اند. نمونه های اولیه چنین توابعی مدت هاست که محاسبه و در جداول ویژه جمع آوری شده اند. این توابع و جداول هستند که امروز با آنها کار خواهیم کرد.
اما ما مانند همیشه با یک تکرار شروع می کنیم: بیایید به یاد بیاوریم که ضد مشتق چیست، چرا تعداد بی نهایت آنها وجود دارد و چگونه آنها را تعریف کنیم. فرم کلی. برای انجام این کار، من دو مشکل ساده را انتخاب کردم.
حل مثال های آسان
مثال شماره 1
اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ و به طور کلی وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ بلافاصله به ما اشاره می کند که ضد مشتق مورد نیاز تابع مربوط به مثلثات است. و در واقع، اگر به جدول نگاه کنیم، متوجه خواهیم شد که $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ چیزی بیش از $\text(arctg)x$ نیست. پس بیایید آن را بنویسیم:
برای پیدا کردن، باید موارد زیر را یادداشت کنید:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
مثال شماره 2
در اینجا ما نیز در مورد صحبت می کنیم توابع مثلثاتی. اگر به جدول نگاه کنیم، در واقع، این چیزی است که اتفاق می افتد:
ما باید در بین کل مجموعه ضد مشتقات موردی را پیدا کنیم که از نقطه مشخص شده عبور می کند:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
در نهایت آن را بنویسیم:
ساده است. تنها مشکل این است که به منظور شمارش ضد مشتقات توابع ساده، باید جدول آنتی مشتق ها را یاد بگیرید. با این حال، پس از مطالعه جدول مشتق برای شما، فکر می کنم این مشکلی نخواهد داشت.
حل مسائل حاوی تابع نمایی
برای شروع، بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:
\[((e)^(x))\به ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
بیایید ببینیم که این همه در عمل چگونه کار می کند.
مثال شماره 1
اگر به محتویات براکت ها نگاه کنیم، متوجه می شویم که در جدول آنتی مشتق ها چنین عبارتی وجود ندارد که $((e)^(x))$ در یک مربع باشد، بنابراین این مربع باید گسترش یابد. برای این کار از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می کنیم:
بیایید پاد مشتق را برای هر یک از اصطلاحات پیدا کنیم:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
حالا بیایید تمام اصطلاحات را در یک عبارت جمع کنیم و آنتی مشتق کلی را بدست آوریم:
مثال شماره 2
این بار درجه بزرگتر است، بنابراین فرمول ضرب اختصاری بسیار پیچیده خواهد بود. پس بیایید پرانتزها را باز کنیم:
حالا بیایید سعی کنیم ضد مشتق فرمول خود را از این ساختار بگیریم:
همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی در ضد مشتقات تابع نمایی وجود ندارد. همه آنها از طریق جداول محاسبه می شوند، اما دانش آموزان با دقت احتمالا متوجه خواهند شد که ضد مشتق $((e)^(2x))$ بسیار نزدیکتر به $((e)^(x))$ است تا $((a) )^(x))$. بنابراین، شاید قانون خاصی وجود داشته باشد که با دانستن ضد مشتق $((e)^(x))$، اجازه می دهد $((e)^(2x))$ را پیدا کنید؟ بله، چنین قانونی وجود دارد. و علاوه بر این، بخشی جدایی ناپذیر از کار با جدول ضد مشتقات است. اکنون با استفاده از همان عباراتی که به عنوان مثال با آنها کار کردیم، آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
قوانین کار با جدول ضد مشتقات
بیایید دوباره تابع خود را بنویسیم:
در مورد قبلی از فرمول زیر برای حل استفاده کردیم:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
اما اکنون اجازه دهید این کار را کمی متفاوت انجام دهیم: به یاد بیاوریم که بر چه مبنایی $((e)^(x))\ به ((e)^(x))$. همانطور که قبلاً گفتم، چون مشتق $((e)^(x))$ چیزی بیش از $((e)^(x))$ نیست، بنابراین ضد مشتق آن برابر با همان $((e) ^ خواهد بود. (x)) دلار. اما مشکل این است که ما $((e)^(2x))$ و $((e)^(-2x))$ داریم. حالا بیایید سعی کنیم مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا کنیم:
\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \راست))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
بیایید دوباره ساختمان را بازنویسی کنیم:
\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac((((e)^(2x)))(2) \راست))^(\prime ))\]
این بدان معنی است که وقتی ما ضد مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا می کنیم، به شکل زیر می رسیم:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
همانطور که می بینید، ما همان نتیجه قبلی را گرفتیم، اما از فرمول برای پیدا کردن $((a)^(x))$ استفاده نکردیم. اکنون ممکن است احمقانه به نظر برسد: چرا وقتی یک فرمول استاندارد وجود دارد محاسبات را پیچیده کنیم؟ با این حال، در عبارات کمی پیچیده تر خواهید دید که این تکنیک بسیار موثر است، به عنوان مثال. استفاده از مشتقات برای یافتن ضد مشتقات.
به عنوان یک گرم کردن، بیایید ضد مشتق $((e)^(2x))$ را به روشی مشابه پیدا کنیم:
\[((\left(((e)^(-2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \راست)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \راست))^(\prime ))\]
هنگام محاسبه، ساخت ما به صورت زیر نوشته می شود:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
ما دقیقاً همان نتیجه را گرفتیم، اما مسیر دیگری را در پیش گرفتیم. این مسیری است که اکنون برای ما کمی پیچیده تر به نظر می رسد، در آینده برای محاسبه آنتی مشتق های پیچیده تر و استفاده از جداول موثرتر خواهد بود.
توجه داشته باشید! این خیلی نکته مهم: ضد مشتقات، مانند مشتقات، به طرق مختلف قابل شمارش هستند. با این حال، اگر همه محاسبات و محاسبات برابر باشند، پاسخ یکسان خواهد بود. ما به تازگی این را با مثال $((e)^(-2x))$ مشاهده کردیم - از یک طرف، ما این ضد مشتق را "راست از طریق" محاسبه کردیم، با استفاده از تعریف و محاسبه آن با استفاده از تبدیل، از سوی دیگر، ما به یاد آوردیم که $ ((e)^(-2x))$ را می توان به صورت $((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))$ نشان داد و فقط پس از آن استفاده کردیم ضد مشتق برای تابع $( (a)^(x))$. با این حال، پس از تمام تحولات، نتیجه همان بود که انتظار می رفت.
و اکنون که همه اینها را فهمیدیم، وقت آن است که به چیز مهمتری برویم. اکنون ما دو ساختار ساده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، اما تکنیکی که در هنگام حل آنها استفاده می شود، ابزار قدرتمندتر و مفیدتر از "اجرا کردن" بین پاد مشتق های همسایه از جدول است.
حل مسئله: پیدا کردن پاد مشتق یک تابع
مثال شماره 1
بیایید مقدار موجود در اعداد را به سه کسر جداگانه تقسیم کنیم:
این یک انتقال نسبتاً طبیعی و قابل درک است - اکثر دانش آموزان با آن مشکلی ندارند. بیایید عبارت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
حالا بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:
در مورد ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:
برای خلاص شدن از شر همه این کسرهای سه طبقه، پیشنهاد می کنم موارد زیر را انجام دهید:
مثال شماره 2
بر خلاف کسر قبلی، مخرج یک حاصل ضرب نیست، بلکه یک جمع است. در این صورت دیگر نمی توانیم کسر خود را به مجموع چند تقسیم کنیم کسرهای ساده، اما باید سعی کنید به نحوی مطمئن شوید که صورتگر تقریباً همان عبارت مخرج را دارد. در این مورد، انجام آن بسیار ساده است:
این نماد، که در زبان ریاضی به آن "جمع صفر" می گویند، به ما امکان می دهد دوباره کسر را به دو قسمت تقسیم کنیم:
حالا بیایید آنچه را که دنبالش بودیم پیدا کنیم:
تمام محاسبات همین است. علیرغم پیچیدگی ظاهری بیشتر نسبت به مشکل قبلی، مقدار محاسبات حتی کمتر بود.
تفاوت های ظریف راه حل
و اینجاست که مشکل اصلی کار با ضد مشتقات جدولی نهفته است، این به ویژه در کار دوم قابل توجه است. واقعیت این است که برای انتخاب برخی از عناصری که به راحتی از طریق جدول محاسبه می شوند، باید بدانیم دقیقاً به دنبال چه چیزی هستیم و در جستجوی این عناصر است که کل محاسبه ضد مشتقات را تشکیل می دهد.
به عبارت دیگر، فقط به خاطر سپردن جدول ضد مشتقات کافی نیست - شما باید بتوانید چیزی را ببینید که هنوز وجود ندارد، اما منظور نویسنده و گردآورنده این مشکل چیست. به همین دلیل است که بسیاری از ریاضیدانان، معلمان و استادان دائماً استدلال می کنند: "مصرف ضد مشتقات یا ادغام چیست - آیا این فقط یک ابزار است یا یک هنر واقعی است؟" در واقع، به نظر شخصی من، یکپارچگی اصلاً یک هنر نیست - هیچ چیز عالی در آن وجود ندارد، فقط تمرین است و تمرین بیشتر. و برای تمرین، بیایید سه مثال جدی دیگر را حل کنیم.
ما در عمل یکپارچه سازی را آموزش می دهیم
وظیفه شماره 1
بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
بیایید موارد زیر را بنویسیم:
مشکل شماره 2
بیایید آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
کل ضد مشتق برابر خواهد بود با:
وظیفه شماره 3
دشواری این کار این است که بر خلاف توابع قبلی در بالا، هیچ متغیری $x$ وجود ندارد، i.e. ما نمی‌دانیم چه چیزی را اضافه یا کم کنیم تا حداقل چیزی شبیه آنچه در زیر آمده است به دست آوریم. با این حال، در واقع، این عبارت حتی ساده تر از هر یک از عبارات قبلی در نظر گرفته می شود، زیرا این تابع را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
اکنون ممکن است بپرسید: چرا این توابع برابر هستند؟ بیایید بررسی کنیم:
بیایید دوباره آن را بازنویسی کنیم:
بیایید بیان خود را کمی تغییر دهیم:
و وقتی همه اینها را برای شاگردانم توضیح می‌دهم، تقریباً همیشه همین مشکل پیش می‌آید: با تابع اول همه چیز کم و بیش روشن است، با عملکرد دوم نیز می‌توانید با شانس یا تمرین آن را بفهمید، اما چه نوع آگاهی جایگزینی دارید. برای حل مثال سوم باید داشته باشید؟ در واقع، نترس. تکنیکی که ما هنگام محاسبه آخرین ضد مشتق استفاده کردیم "تجزیه یک تابع به ساده ترین آن" نامیده می شود و این یک تکنیک بسیار جدی است و یک درس ویدیویی جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.
در همین حال، من پیشنهاد می کنم به آنچه که اخیراً مطالعه کردیم، یعنی به توابع نمایی برگردیم و مشکلات محتوای آنها را تا حدودی پیچیده کنیم.
مسائل پیچیده تر برای حل توابع نمایی ضد مشتق
وظیفه شماره 1
بیایید به موارد زیر توجه کنیم:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \راست))^(x))=((10)^(x) )\]
برای یافتن ضد مشتق این عبارت، به سادگی از فرمول استاندارد - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ استفاده کنید.
در مورد ما، ضد مشتق به این صورت خواهد بود:
البته، در مقایسه با طرحی که به تازگی حل کرده ایم، این طرح ساده تر به نظر می رسد.
مشکل شماره 2
باز هم، به راحتی می توان فهمید که این تابع را می توان به راحتی به دو عبارت جداگانه تقسیم کرد - دو کسر جداگانه. بیایید بازنویسی کنیم:
باقی مانده است که ضد مشتق هر یک از این اصطلاحات را با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا پیدا کنیم:
با وجود پیچیدگی زیاد ظاهری توابع نماییدر مقایسه با نیروها، حجم کلی محاسبات و محاسبات بسیار ساده تر بود.
البته، برای دانش‌آموزان آگاه، آنچه که اخیراً مورد بحث قرار گرفتیم (مخصوصاً در پس زمینه آنچه قبلاً بحث کردیم) ممکن است عباراتی ابتدایی به نظر برسد. با این حال، هنگام انتخاب این دو مشکل برای درس ویدیویی امروز، هدفم این نبود که تکنیک پیچیده و پیچیده دیگری را به شما بگویم - تنها چیزی که می‌خواستم به شما نشان دهم این است که از استفاده از تکنیک‌های جبر استاندارد برای تبدیل توابع اصلی نترسید. .
استفاده از تکنیک "مخفی"
در پایان ، می خواهم به تکنیک جالب دیگری نگاه کنم که از یک طرف فراتر از آنچه که امروز عمدتاً مورد بحث قرار گرفتیم است ، اما از طرف دیگر ، اولاً اصلاً پیچیده نیست ، یعنی. حتی دانش‌آموزان مبتدی نیز می‌توانند به آن تسلط پیدا کنند، و ثانیاً، اغلب در انواع آزمون‌ها و کارهای مستقل یافت می‌شود، یعنی. آگاهی از آن علاوه بر آگاهی از جدول آنتی مشتقات بسیار مفید خواهد بود.
وظیفه شماره 1
بدیهی است که ما چیزی بسیار شبیه به تابع قدرت داریم. در این صورت باید چکار کنیم؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم: $x-5$ تفاوت زیادی با $x$ ندارد - آنها فقط $-5$ را اضافه کردند. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \راست))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
بیایید سعی کنیم مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$ را پیدا کنیم:
\[((\left(((\left(x-5 \راست))^(5)) \راست))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست))^(4))\]
این دلالت می کنه که:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ درست))^(\prime ))\]
چنین مقداری در جدول وجود ندارد، بنابراین ما اکنون این فرمول را خودمان با استفاده از فرمول استاندارد ضد مشتق استخراج کرده ایم تابع توان. جواب را اینگونه بنویسیم:
مشکل شماره 2
بسیاری از دانش آموزانی که به راه حل اول نگاه می کنند ممکن است فکر کنند که همه چیز بسیار ساده است: فقط $x$ را در تابع power با یک عبارت خطی جایگزین کنید، و همه چیز در جای خود قرار می گیرد. متأسفانه همه چیز به این سادگی نیست و اکنون این را خواهیم دید.
با قیاس با عبارت اول، موارد زیر را می نویسیم:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \راست))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \راست))^(9)\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9)\]
با بازگشت به مشتق خود، می توانیم بنویسیم:
\[((\left(((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \راست) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \راست))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \راست))^(10)))(-30) \راست))^(\prime ))\]
این بلافاصله به شرح زیر است:
تفاوت های ظریف راه حل
لطفاً توجه داشته باشید: اگر بار گذشته اساساً چیزی تغییر نکرده است ، در مورد دوم به جای -10 دلار ، -30 دلار ظاهر می شود. تفاوت بین -10 دلار و -30 دلار چیست؟ بدیهی است که با ضریب 3- دلار. سوال: از کجا آمده است؟ اگر دقت کنید، می بینید که در نتیجه محاسبه مشتق یک تابع مختلط گرفته شده است - ضریبی که برابر با $x$ بود در ضد مشتق زیر ظاهر می شود. این خیلی قانون مهم، که در ابتدا قصد نداشتم در آموزش ویدیویی امروز به آن بپردازم، اما بدون آن ارائه آنتی مشتقات جدولی ناقص بود.
پس بیایید دوباره این کار را انجام دهیم. اجازه دهید تابع قدرت اصلی ما وجود داشته باشد:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
حال به جای $x$، عبارت $kx+b$ را جایگزین می کنیم. آن وقت چه خواهد شد؟ باید موارد زیر را پیدا کنیم:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k)\]
بر چه اساسی این ادعا را داریم؟ بسیار ساده. بیایید مشتق ساختار نوشته شده در بالا را پیدا کنیم:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \راست))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k) \راست))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \راست))^ (n))\cdot k=((\چپ(kx+b \راست))^(n))\]
این همان عبارتی است که در ابتدا وجود داشت. بنابراین، این فرمول نیز صحیح است و می توان از آن برای تکمیل جدول ضد مشتقات استفاده کرد یا بهتر است به سادگی کل جدول را حفظ کرد.
نتیجه گیری از تکنیک "راز:
- هر دو تابعی که اکنون به آنها نگاه کردیم، در واقع می‌توانند با گسترش درجه‌ها به پاد مشتق‌های نشان‌داده‌شده در جدول تقلیل یابند، اما اگر بتوانیم کم و بیش به نحوی با درجه چهارم کنار بیاییم، آنگاه حتی درجه نهم را هم در نظر نمی‌گیرم. جرات کرد فاش کرد
- اگر بخواهیم اختیارات را گسترش دهیم، حجم محاسباتی به دست می آید که کار سادهبه اندازه کافی از ما وام می گرفت تعداد زیادی اززمان.
- به همین دلیل است که چنین مسائلی که حاوی عبارات خطی هستند، نیازی به حل "سرسخت" ندارند. به محض اینکه با یک پاد مشتق روبرو شدید که فقط با وجود عبارت $kx+b$ در داخل آن با نمونه موجود در جدول تفاوت دارد، فوراً فرمول نوشته شده در بالا را به خاطر بسپارید، آن را با آنتی مشتق جدول خود جایگزین کنید، و همه چیز بسیار خوب خواهد شد. سریع تر و راحت تر
طبیعتاً به دلیل پیچیدگی و جدی بودن این تکنیک، بارها در درس های ویدیویی آینده به بررسی آن باز خواهیم گشت، اما این برای امروز تمام است. امیدوارم این درس واقعا به آن دسته از دانش‌آموزانی که می‌خواهند آنتی‌مشتق‌ها و ادغام را درک کنند، کمک کند.
یادگیری ادغام کار سختی نیست. برای انجام این کار، فقط باید یک سری قوانین خاص و نسبتاً کوچک را یاد بگیرید و نوعی غریزه را توسعه دهید. البته یادگیری قواعد و فرمول ها آسان است، اما درک اینکه کجا و چه زمانی باید این یا آن قاعده ادغام یا تمایز را اعمال کرد، بسیار دشوار است. این در واقع توانایی ادغام است.
1. ضد مشتق. انتگرال نامعین.
فرض بر این است که در زمان خواندن این مقاله، خواننده قبلاً مهارت های تمایز (یعنی یافتن مشتقات) را دارد.
تعریف 1.1:اگر تساوی برقرار باشد تابعی را پاد مشتق تابع می نامند:
نظرات:> تأکید در کلمه «اولیه» به دو صورت قابل انجام است: اول Oفیگوراتیو یا نمونه اولیه آدانستن
خاصیت 1:اگر تابعی پاد مشتق یک تابع باشد، آن تابع نیز پاد مشتق یک تابع است.
اثبات:اجازه دهید این را از تعریف یک ضد مشتق ثابت کنیم. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:
ترم اول در تعریف 1.1برابر است و جمله دوم مشتق ثابت است که برابر با 0 است.
.
خلاصه کنید. بیایید ابتدا و انتهای زنجیره برابری ها را بنویسیم: 
بنابراین، مشتق یک تابع برابر است، و بنابراین، طبق تعریف، ضد مشتق آن است. ملک ثابت شده است.
تعریف 1.2:انتگرال نامعین یک تابع کل مجموعه پاد مشتق های این تابع است. این به صورت زیر نشان داده شده است: 
.
بیایید نام هر بخش از رکورد را با جزئیات بررسی کنیم:
- تعیین کلی انتگرال،
- بیان یکپارچه (انتگرال)، تابع قابل ادغام.
یک دیفرانسیل است، و عبارت بعد از حرف، در این حالت، متغیر یکپارچه سازی نامیده می شود.
نظرات: کلید واژه هادر این تعریف - "کل انبوه". آن ها اگر در آینده این "به علاوه C" در پاسخ نوشته نشود، امتحان کننده حق دارد این تکلیف را حساب نکند، زیرا لازم است کل مجموعه ضد مشتقات را پیدا کنیم، و اگر C وجود نداشته باشد، تنها یک مورد پیدا می شود.
نتیجه:برای بررسی اینکه آیا انتگرال به درستی محاسبه شده است، لازم است مشتق نتیجه را پیدا کنید. باید با انتگرال منطبق باشد.
مثال:
ورزش:انتگرال نامعین را محاسبه و بررسی کنید.
راه حل:
نحوه محاسبه این انتگرال در این مورد مهم نیست. بیایید فرض کنیم که این یک مکاشفه از بالا است. وظیفه ما این است که نشان دهیم وحی ما را فریب نداده است و این از طریق راستی آزمایی قابل انجام است.
معاینه:
هنگام تفکیک نتیجه، یک انتگرال به دست آوردیم، به این معنی که انتگرال به درستی محاسبه شده است.
2. شروع. جدول انتگرال ها
برای ادغام، لازم نیست هر بار تابعی که مشتق آن برابر با انتگرال داده شده است را به خاطر بسپارید (یعنی مستقیماً از تعریف انتگرال استفاده کنید). هر مجموعه ای از مسائل یا کتاب درسی آنالیز ریاضی شامل فهرستی از ویژگی های انتگرال ها و جدولی از ساده ترین انتگرال ها است.
بیایید خواص را فهرست کنیم.
خواص:
1.
انتگرال دیفرانسیل برابر با متغیر انتگرال است.
2. ، جایی که یک ثابت است.
ضریب ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد.
3.
انتگرال یک مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها (اگر تعداد جمله ها محدود باشد).
جدول انتگرال ها:
1.  |
10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18.  |
اغلب، وظیفه کاهش انتگرال مورد مطالعه به جدولی با استفاده از ویژگی ها و فرمول ها است.
مثال:
[بیایید از خاصیت سوم انتگرال ها استفاده کنیم و آن را به صورت مجموع سه انتگرال بنویسیم.]
[بیایید از خاصیت دوم استفاده کنیم و ثابت ها را فراتر از علامت یکپارچه سازی حرکت دهیم.]
[ در انتگرال اول از انتگرال جدول شماره 1 (n=2) استفاده می کنیم، در دومی از همان فرمول استفاده می کنیم، اما n=1، و برای انتگرال سوم می توانیم از همان انتگرال جدول استفاده کنیم، اما با n=0 یا اولین ویژگی ]
.
بیایید با تمایز بررسی کنیم:
انتگرال اولیه به دست آمد، بنابراین، ادغام بدون خطا انجام شد (و اضافه کردن یک ثابت دلخواه C حتی فراموش نشد).
انتگرال های جدول را باید از روی قلب به یک دلیل ساده یاد گرفت - تا بدانیم برای چه چیزی تلاش کنیم، یعنی. هدف از تبدیل یک عبارت داده شده را بدانید.
در اینجا چند نمونه دیگر وجود دارد:
1) 
2) 
3) 
وظایف برای راه حل مستقل:
تمرین 1.انتگرال نامعین را محاسبه کنید:
+ نمایش/پنهان کردن راهنمایی شماره 1.
1) از خاصیت سوم استفاده کنید و این انتگرال را به صورت مجموع سه انتگرال نشان دهید.
+ نمایش/پنهان کردن نکته شماره 2.
+ نمایش/پنهان کردن نکته شماره 3.
3) برای دو عبارت اول از انتگرال جدولی اول و برای سومین انتگرال جدولی دوم استفاده کنید.
+ نمایش/پنهان کردن راه حل و پاسخ.
4) راه حل: 
پاسخ: 