معادله مماس بر نمودار یک تابع

پی. رومانوف، تی. رومانوا،
مگنیتوگورسک،
منطقه چلیابینسک

معادله مماس بر نمودار یک تابع

این مقاله با حمایت مجموعه هتل ایتاکا+ منتشر شده است. هنگام اقامت در شهر کشتی سازان Severodvinsk، با مشکل یافتن مسکن موقت مواجه نخواهید شد. ، در سایت مجتمع هتلی “ITHAKA+” http://itakaplus.ru می توانید به راحتی و به سرعت آپارتمان در شهر را برای هر دوره ای با پرداخت روزانه اجاره کنید.

بر مرحله مدرنتوسعه آموزش، یکی از وظایف اصلی آن، تشکیل شخصیت خلاقانه است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان تنها در صورتی می تواند توسعه یابد که آنها به طور سیستماتیک در اصول فعالیت های تحقیقاتی درگیر شوند. زیربنای دانش آموزان برای استفاده از قدرت ها، توانایی ها و استعدادهای خلاقانه، دانش و مهارت های تمام عیار شکل می گیرد. در این راستا مشکل تشکیل نظام دانش و مهارت های پایه برای هر مبحث درس ریاضی مدرسه اهمیت کمی ندارد. در عین حال، مهارت های تمام عیار باید هدف آموزشی نه وظایف فردی، بلکه یک سیستم به دقت فکر شده از آنها باشد. در گسترده‌ترین مفهوم، یک سیستم به عنوان مجموعه‌ای از عناصر متقابل به هم پیوسته که یکپارچگی و ساختاری پایدار دارند، درک می‌شود.

بیایید تکنیکی را برای آموزش نحوه نوشتن معادله برای مماس بر نمودار یک تابع در نظر بگیریم. اساساً، تمام مشکلات یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب از یک مجموعه (بسته، خانواده) خطوط برمی‌گردد که یک نیاز خاص را برآورده می‌کنند - آنها مماس بر نمودار یک تابع خاص هستند. در این حالت، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود به دو صورت قابل تعیین است:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (مداد مرکزی خطوط).
ب) ضریب زاویه ای (پرتو موازی خطوط مستقیم).

در این راستا، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جداسازی عناصر سیستم، دو نوع مشکل را شناسایی کردیم:

1) مسائل مربوط به مماس با نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) مشکلات روی مماس داده شده توسط شیب آن.

آموزش حل مسائل مماس با استفاده از الگوریتم پیشنهادی A.G انجام شد. موردکوویچ. تفاوت اساسی آن با موارد شناخته شده در این است که ابسیسا نقطه مماس با حرف a (به جای x0) نشان داده می شود و بنابراین معادله مماس شکل می گیرد.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(مقایسه با y = f(x 0) + f "(x 0) (x – x 0)) این روش روش شناختی، به نظر ما، به دانش آموزان اجازه می دهد تا به سرعت و به راحتی درک کنند که مختصات نقطه فعلی در کجا نوشته شده است. معادله مماس کلی و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم ایجاد معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1. آبسیسا نقطه مماس را با حرف a مشخص کنید.
2. f(a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f "(a) را پیدا کنید.
4. اعداد یافت شده a، f(a)، f "(a) را در معادله مماس کلی y = f(a) = f "(a)(x – a) جایگزین کنید.

این الگوریتم را می توان بر اساس شناسایی مستقل عملیات توسط دانش آموزان و توالی اجرای آنها تدوین کرد.

تمرین نشان داده است که حل متوالی هر یک از مسائل کلیدی با استفاده از یک الگوریتم به شما امکان می دهد مهارت های نوشتن معادله مماس بر نمودار یک تابع را در مراحل توسعه دهید و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط مرجع برای اقدامات عمل می کنند. . این رویکرد مطابق با نظریه شکل گیری تدریجی اعمال ذهنی است که توسط P.Ya توسعه یافته است. گالپرین و N.F. تالیزینا.

در نوع اول وظایف، دو وظیفه کلیدی شناسایی شد:

• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار دارد (مسئله 1).
• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار ندارد (مسئله 2).

وظیفه 1. یک معادله برای مماس بر نمودار تابع بنویسید در نقطه M(3; – 2).

راه حل. نقطه M(3; – 2) یک نقطه مماس است، زیرا

1. a = 3 – آبسیسا نقطه مماس.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4، f "(3) = 5.
y = – 2 + 5 (x – 3)، y = 5x – 17 – معادله مماس.

مسئله 2. معادلات تمام مماس ها بر نمودار تابع y = – x 2 – 4x + 2 را که از نقطه M(– 3; 6) می گذرد بنویسید.

راه حل. نقطه M(- 3; 6) یک نقطه مماس نیست، زیرا f(-3) 6 (شکل 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4، f “(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – معادله مماس.

مماس از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنابراین، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a)
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4، a 2 = – 2.

اگر a = – 4 باشد، معادله مماس y = 4x + 18 است.

اگر a = – 2 باشد، معادله مماس به شکل y = 6 است.

در نوع دوم، وظایف کلیدی به شرح زیر خواهد بود:

• مماس با یک خط موازی است (مسئله 3).
• مماس در یک زاویه معین از خط داده شده عبور می کند (مسئله 4).

مسئله 3. معادلات همه مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 3x 2 + 3 موازی با خط y = 9x + 1 بنویسید.

راه حل.

1. الف – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x، f "(a) = 3a 2 - 6a.

اما، از سوی دیگر، f "(a) = 9 (شرط موازی). این بدان معنی است که ما باید معادله 3a 2 – 6a = 9 را حل کنیم. ریشه های آن a = – 1، a = 3 هستند (شکل 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - معادله مماس.

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – معادله مماس.

مسئله 4. معادله مماس بر نمودار تابع y = 0.5x 2 – 3x + 1 را که با زاویه 45 درجه از خط مستقیم y = 0 عبور می کند، بنویسید (شکل 4).

راه حل. از شرط f "(a) = قهوهای مایل به زرد 45 درجه، a را پیدا می کنیم: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – آبسیسا نقطه مماس.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که حل هر مشکل دیگری به حل یک یا چند مشکل کلیدی ختم می شود. دو مشکل زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس ها به سهمی y = 2x 2 – 5x – 2 را بنویسید، اگر مماس ها در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند و یکی از آنها با آبسیسا 3 با سهمی در نقطه برخورد کند (شکل 5).

راه حل. از آنجایی که ابسیسا نقطه مماس داده شده است، بخش اول راه حل به مسئله کلیدی 1 کاهش می یابد.

1. a = 3 – آبسیسه نقطه مماس یکی از اضلاع زاویه قائمه.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5، f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7 (x – 3)، y = 7x – 20 – معادله مماس اول.

اجازه دهید a – زاویه میل مماس اول. از آنجایی که مماس ها عمود هستند، پس زاویه میل مماس دوم است. از معادله y = 7x – 20 مماس اول tg داریم a = 7. بیایید پیدا کنیم

یعنی شیب مماس دوم برابر است با .

راه حل بیشتر به وظیفه کلیدی 3 می رسد.

فرض کنید B(c؛ f(c)) نقطه مماس خط دوم باشد

1. – آبسیسه نقطه مماس دوم.
2.
3.
4.
- معادله مماس دوم

توجه داشته باشید. اگر دانش‌آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود بر k 1 k 2 = – 1 را بدانند، ضریب زاویه‌ای مماس را راحت‌تر می‌توان یافت.

2. معادلات تمام مماس های مشترک بر نمودار توابع را بنویسید

راه حل. کار به یافتن آبسیسا نقاط مماس مماس های مشترک می رسد، یعنی حل مسئله کلیدی 1 به شکل کلی، ترسیم یک سیستم معادلات و سپس حل آن (شکل 6).

1. فرض کنید a آبسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع y = x 2 + x + 1 باشد.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. فرض کنید c ابسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع باشد.
2.
3. f "(c) = c.
4.

از آنجایی که مماس ها کلی هستند، پس

بنابراین y = x + 1 و y = – 3x – 3 مماس های مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده این است که دانش آموزان را برای تشخیص مستقل نوع مسئله کلیدی در هنگام حل مسائل پیچیده تری که نیاز به مهارت های تحقیقاتی خاصی دارند (توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، ارائه یک فرضیه و غیره) تشخیص دهند. چنین وظایفی شامل هر وظیفه ای است که وظیفه کلیدی به عنوان یک جزء در آن گنجانده شده است. اجازه دهید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) یافتن تابعی از خانواده مماس های آن را در نظر بگیریم.

3. برای کدام b و c خطوط y = x و y = – 2x مماس بر نمودار تابع y = x 2 + bx + c هستند؟

راه حل.

فرض کنید t ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = x با سهمی y = x 2 + bx + c باشد. p ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = – 2x با سهمی y = x 2 + bx + c است. سپس معادله مماس y = x به صورت y = (2t + b)x + c – t 2 و معادله مماس y = – 2x به شکل y = (2p + b)x + c – p 2 خواهد بود. .

بیایید یک سیستم معادلات بسازیم و حل کنیم

پاسخ:

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

1. معادلات مماس های رسم شده بر نمودار تابع y = 2x 2 – 4x + 3 را در نقاط تقاطع نمودار با خط y = x + 3 بنویسید.

پاسخ: y = – 4x + 3، y = 6x – 9.5.

2. مماس ترسیم شده به نمودار تابع y = x 2 – ax در نقطه نمودار با آبسیسا x 0 = 1 برای چه مقادیری از نقطه M(2; 3) عبور می کند؟

پاسخ: a = 0.5.

3. خط مستقیم y = px – 5 برای چه مقادیری منحنی y = 3x 2 – 4x – 2 را لمس می کند؟

پاسخ: p 1 = – 10، p 2 = 2.

4. تمام نقاط مشترک نمودار تابع y = 3x – x 3 و مماس ترسیم شده به این نمودار را از طریق نقطه P(0; 16) بیابید.

پاسخ: الف (2؛ – 2)، ب(– 4؛ 52).

5. کوتاه ترین فاصله بین سهمی y = x 2 + 6x + 10 و خط مستقیم را بیابید.

پاسخ:

6. در منحنی y = x 2 – x + 1، نقطه ای را پیدا کنید که مماس نمودار با خط مستقیم y – 3x + 1 = 0 موازی است.

پاسخ: م(2؛ 3).

7. معادله مماس بر نمودار تابع y = x 2 + 2x – را بنویسید | 4x |، که آن را در دو نقطه لمس می کند. یک نقاشی بکشید.

پاسخ: y = 2x – 4.

8. ثابت کنید که خط y = 2x – 1 منحنی y = x 4 + 3x 2 + 2x را قطع نمی کند. فاصله بین نزدیکترین نقاط آنها را پیدا کنید.

پاسخ:

9. در سهمی y = x 2، دو نقطه با ابسیسا x 1 = 1، x 2 = 3 گرفته می شود. یک سکانس از این نقاط کشیده می شود. مماس بر آن در چه نقطه ای از سهمی موازی با مقطع خواهد بود؟ معادلات سکانت و مماس را بنویسید.

پاسخ: y = 4x – 3 – معادله سکانس; y = 4x – 4 – معادله مماس.

10. زاویه q را پیدا کنید بین مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 که در نقاط با ابسیساهای 0 و 1 رسم شده است.

پاسخ: q = 45 درجه.

11. مماس بر نمودار تابع در چه نقاطی با محور Ox زاویه 135 درجه تشکیل می دهد؟

پاسخ: الف(0؛ – 1)، ب(4؛ 3).

12. در نقطه A(1؛ 8) به منحنی یک مماس رسم شده است. طول پاره مماس بین محورهای مختصات را بیابید.

پاسخ:

13. معادله تمام مماس های مشترک بر نمودارهای توابع y = x 2 – x + 1 و y = 2x 2 – x + 0.5 بنویسید.

پاسخ: y = – 3x و y = x.

14. فاصله مماس ها با نمودار تابع موازی با محور x را بیابید.

پاسخ:

15. تعیین کنید که سهمی y = x 2 + 2x – 8 محور x را در چه زوایایی قطع می کند.

پاسخ: q 1 = آرکتان 6، q 2 = آرکتان (– 6).

16. نمودار تابع تمام نقاطی را بیابید که مماس هر یک از آنها بر این نمودار، نیم محورهای مثبت مختصات را قطع می کند و بخش های مساوی را از آنها جدا می کند.

جواب: الف (– 3؛ 11).

17. خط y = 2x + 7 و سهمی y = x 2 – 1 در نقاط M و N قطع می شوند. نقطه تقاطع خطوط مماس بر سهمی را در نقاط M و N پیدا کنید.

پاسخ: K(1; – 9).

18. خط y = 9x + b برای چه مقادیری بر نمودار تابع y = x 3 – 3x + 15 مماس است؟

پاسخ 1؛ 31.

19. خط راست y = kx – 10 برای کدام مقادیر k فقط یک نقطه مشترک با نمودار تابع y = 2x 2 + 3x – 2 دارد؟ برای مقادیر یافت شده k، مختصات نقطه را تعیین کنید.

پاسخ: k 1 = – 5، A(– 2; 0); k 2 = 11، B(2; 12).

20. مماس رسم شده به نمودار تابع y = bx 3 – 2x 2 – 4 برای چه مقادیری از b از نقطه M(1; 8) می گذرد؟

پاسخ: b = – 3.

21. سهمی با راس در محور Ox خطی را که از نقاط A(1; 2) و B(2; 4) در نقطه B می گذرد لمس می کند. معادله سهمی را بیابید.

پاسخ:

22. سهمی y = x 2 + kx + 1 در چه مقداری از ضریب k با محور Ox برخورد می کند؟

پاسخ: k = d 2.

23. زوایای بین خط مستقیم y = x + 2 و منحنی y = 2x 2 + 4x – 3 را بیابید.

29. فاصله مماس ها با نمودار تابع و مولدها را با جهت مثبت محور Ox در زاویه 45 درجه بیابید.

پاسخ:

30. مکان رئوس تمام سهمی های شکل y = x 2 + ax + b مماس بر خط y = 4x – 1 را بیابید.

پاسخ: خط مستقیم y = 4x + 3.

ادبیات

1. Zvavich L.I.، Shlyapochnik L.Ya.، Chinkina M.V. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: 3600 مشکل برای دانش آموزان مدرسه و کسانی که وارد دانشگاه می شوند. - م.، باستارد، 1999.
2. Mordkovich A. سمینار چهار برای معلمان جوان. موضوع: کاربردهای مشتق. – م.، «ریاضی»، شماره 21/94.
3. شکل گیری دانش و مهارت بر اساس نظریه جذب تدریجی کنش های ذهنی. / اد. P.Ya. گالپرینا، N.F. تالیزینا. - M.، دانشگاه دولتی مسکو، 1968.

اجازه دهید تابع f داده شود که در نقطه ای x 0 مشتق متناهی f (x 0) دارد. سپس خط مستقیمی که از نقطه (x 0 ؛ f (x 0)) که دارای ضریب زاویه ای f '(x 0) می گذرد مماس نامیده می شود.

اگر مشتق در نقطه x 0 وجود نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ دو گزینه وجود دارد:

1. مماس با نمودار نیز وجود ندارد. یک مثال کلاسیک تابع y = |x | است در نقطه (0; 0).
2. مماس عمودی می شود. این درست است، برای مثال، برای تابع y = arcsin x در نقطه (1؛ π /2).

معادله مماس

هر خط مستقیم غیر عمودی با معادله ای به شکل y = kx + b داده می شود، که در آن k شیب است. مماس نیز از این قاعده مستثنی نیست و برای ایجاد معادله آن در نقطه ای x 0 کافی است مقدار تابع و مشتق را در این نقطه بدانیم.

بنابراین، اجازه دهید یک تابع y = f (x) داده شود که دارای مشتق y = f '(x) در قطعه است. سپس در هر نقطه x 0 ∈ (a ; b) می توان یک مماس به نمودار این تابع رسم کرد که با معادله به دست می آید:

y = f’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

در اینجا f '(x 0) مقدار مشتق در نقطه x 0 است و f (x 0) مقدار خود تابع است.

وظیفه. با توجه به تابع y = x 3 . معادله ای برای مماس بر نمودار این تابع در نقطه x 0 = 2 بنویسید.

معادله مماس: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). نقطه x 0 = 2 به ما داده می شود، اما مقادیر f (x 0) و f '(x 0) باید محاسبه شوند.

ابتدا مقدار تابع را پیدا می کنیم. اینجا همه چیز آسان است: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
حالا بیایید مشتق را پیدا کنیم: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
x 0 = 2 را به مشتق جایگزین می کنیم: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
در مجموع بدست می آوریم: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
این معادله مماس است.

وظیفه. معادله ای برای مماس بر نمودار تابع f (x) = 2sin x + 5 در نقطه x 0 = π /2 بنویسید.

این بار ما هر عمل را با جزئیات شرح نمی دهیم - ما فقط مراحل کلیدی را نشان می دهیم. ما داریم:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

معادله مماس:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

در مورد دوم، خط مستقیم معلوم شد که افقی است، زیرا ضریب زاویه ای آن k = 0. هیچ مشکلی در این مورد وجود ندارد - ما فقط به یک نقطه افراطی برخورد کردیم.

Y = f(x) و اگر در این نقطه بتوان یک مماس به نمودار تابع رسم کرد که بر محور آبسیسا عمود نیست، ضریب زاویه ای مماس برابر با f"(a) است. برای مثال، در § 33 مشخص شد که نمودار تابع y = sin x (سینوسوئید) در مبدا یک زاویه 45 درجه با محور x تشکیل می دهد (به طور دقیق تر، مماس بر محور). نمودار در مبدأ با جهت مثبت محور x زاویه 45 درجه ایجاد می کند، و در مثال 5 § 33 نقطه بر اساس جدول داده شده یافت شد. کارکرد، که در آن مماس موازی با محور x است. در مثال 2 از § 33، معادله ای برای مماس بر نمودار تابع y = x 2 در نقطه x = 1 ترسیم شده است (به طور دقیق تر، در نقطه (1; 1)، اما اغلب فقط مقدار آبسیسا است. نشان داد، با این اعتقاد که اگر مقدار آبسیسا مشخص باشد، آنگاه مقدار ارتین را می توان از معادله y = f(x) پیدا کرد. در این بخش الگوریتمی را برای ایجاد معادله مماس بر نمودار هر تابع ایجاد خواهیم کرد.

اجازه دهید تابع y = f(x) و نقطه M (a; f(a)) داده شود و همچنین مشخص است که f"(a) وجود دارد. اجازه دهید معادله ای برای مماس بر نمودار a بسازیم. تابع داده شده در یک نقطه معین، این معادله مانند معادله هر خط مستقیمی است که با محور مختصات موازی نیست، به شکل y = kx+m است، بنابراین وظیفه یافتن مقادیر ضرایب k و m است.

هیچ مشکلی با ضریب زاویه ای k وجود ندارد: می دانیم که k = f "(a). برای محاسبه مقدار m، از این واقعیت استفاده می کنیم که خط مستقیم مورد نظر از نقطه M(a; f (a)) عبور می کند. این بدان معنی است که اگر نقطه مختصات M را در معادله خط مستقیم قرار دهیم، برابری صحیح را بدست می آوریم: f(a) = ka+m، که از آن می یابیم که m = f(a) - ka.
باقی مانده است که مقادیر یافت شده ضرایب کیت را جایگزین کنیم معادلهسر راست:

معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x) را در نقطه x=a به دست آورده ایم.
اگر بگو
با جایگزینی مقادیر یافت شده a = 1، f(a) = 1 f"(a) = 2 در معادله (1)، به دست می آوریم: y = 1+2 (x-f)، یعنی y = 2x-1.
این نتیجه را با نتیجه به دست آمده در مثال 2 از § 33 مقایسه کنید. طبیعتاً همین اتفاق افتاد.
بیایید یک معادله برای مماس بر نمودار تابع y = tan x در مبدا ایجاد کنیم. ما داریم: این به معنای cos x f"(0) = 1 است. با جایگزینی مقادیر یافت شده a = 0، f(a) = 0، f"(a) = 1 در معادله (1)، به دست می آوریم: y = x.
به همین دلیل است که ما مماس را در § 15 (نگاه کنید به شکل 62) از طریق مبدأ مختصات در زاویه 45 درجه نسبت به محور آبسیسا رسم کردیم.
هنگام حل این مثال های نسبتاً ساده، ما در واقع از الگوریتم خاصی استفاده کردیم که در فرمول (1) موجود است. بیایید این الگوریتم را صریح کنیم.

الگوریتم توسعه یک معادله برای مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1) ابسیسا نقطه مماس را با حرف الف مشخص کنید.
2) 1 (الف) را محاسبه کنید.
3) f"(x) را پیدا کنید و f"(a) را محاسبه کنید.
4) اعداد a، f(a)، (a) را در فرمول (1) جایگزین کنید.

مثال 1.معادله ای برای مماس بر نمودار تابع در نقطه x=1 بنویسید.
بیایید با در نظر گرفتن این که در این مثال از الگوریتم استفاده کنیم

در شکل 126 یک هذلولی نشان داده شده است، یک خط مستقیم y = 2 ساخته شده است.
ترسیم محاسبات فوق را تأیید می کند: در واقع، خط y = 2 هذلولی را در نقطه (1؛ 1) لمس می کند.

پاسخ: y = 2- x.
مثال 2.یک مماس بر نمودار تابع رسم کنید تا با خط y = 4x - 5 موازی شود.
اجازه دهید فرمول مسئله را روشن کنیم. لازمه «رسم مماس» معمولاً به معنای «تشکیل معادله مماس» است. این منطقی است، زیرا اگر شخصی بتواند معادله ای برای مماس ایجاد کند، بعید است با استفاده از معادله آن، در ساخت یک خط مستقیم روی صفحه مختصات مشکل داشته باشد.
بیایید از الگوریتم برای ترکیب معادله مماس استفاده کنیم، با توجه به این که در این مثال، بر خلاف مثال قبلی، ابهام وجود دارد: آبسیسا نقطه مماس به صراحت نشان داده نشده است.
بیایید اینگونه فکر کنیم. مماس مورد نظر باید موازی با خط مستقیم y = 4x-5 باشد. دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که شیب آنها برابر باشد. این بدان معنی است که ضریب زاویه ای مماس باید برابر با ضریب زاویه ای خط مستقیم داده شده باشد: بنابراین، می توانیم مقدار a را از معادله f"(a) = 4 پیدا کنیم.
ما داریم:
از معادله این بدان معنی است که دو مماس وجود دارد که شرایط مسئله را برآورده می کند: یکی در نقطه با آبسیسا 2، دیگری در نقطه با آبسیسا -2.
حالا می توانید الگوریتم را دنبال کنید.

مثال 3.از نقطه (0؛ 1) مماس بر نمودار تابع رسم کنید
بیایید از الگوریتم برای ترکیب معادله مماس استفاده کنیم، با توجه به این که در این مثال، توجه داشته باشید که در اینجا، مانند مثال 2، ابسیسا نقطه مماس به صراحت نشان داده نشده است. با این وجود، ما از الگوریتم پیروی می کنیم.

طبق شرط، مماس از نقطه (0؛ 1) عبور می کند. با جایگزینی مقادیر x = 0، y = 1 به معادله (2)، به دست می آوریم:
همانطور که می بینید، در این مثال، تنها در مرحله چهارم الگوریتم موفق شدیم آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنیم. با جایگزینی مقدار a =4 به معادله (2)، به دست می آوریم:

در شکل 127 یک تصویر هندسی از مثال در نظر گرفته شده را ارائه می دهد: نموداری از تابع رسم شده است.

در § 32 اشاره کردیم که برای یک تابع y = f(x) که مشتق در نقطه ثابت x دارد، برابری تقریبی معتبر است:

برای راحتی استدلال بیشتر، اجازه دهید نماد را تغییر دهیم: به جای x، a را می نویسیم، به جای x می نویسیم و بر این اساس، به جای x می نویسیم. سپس برابری تقریبی نوشته شده در بالا به شکل زیر در می آید:

حالا به انجیر نگاه کنید. 128. یک مماس به نمودار تابع y = f(x) در نقطه M رسم می شود (a; f (a)). نقطه x روی محور x نزدیک a مشخص شده است. واضح است که f(x) ترتیب نمودار تابع در نقطه مشخص شده x است. f(a) + f"(a) (x-a) چیست؟ این مرتبه مماس مربوط به همان نقطه x است - فرمول (1) را ببینید. معنای برابری تقریبی (3) چیست؟ واقعیت که برای محاسبه مقدار تقریبی تابع، مقدار مماس را در نظر بگیرید.

مثال 4.مقدار تقریبی عبارت عددی 1.02 7 را بیابید.
ما در مورد یافتن مقدار تابع y = x 7 در نقطه x = 1.02 صحبت می کنیم. اجازه دهید از فرمول (3) با در نظر گرفتن این مثال استفاده کنیم
در نتیجه دریافت می کنیم:

اگر از ماشین حساب استفاده کنیم، به دست می آید: 1.02 7 = 1.148685667...
همانطور که می بینید، دقت تقریبی کاملا قابل قبول است.
پاسخ: 1,02 7 =1,14.

A.G. موردکوویچ جبر کلاس دهم

برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین، ریاضیات در مدرسه دانلود

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین کارها و تمرین ها کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، کوئست ها سوالات بحث تکلیف سوالات بلاغی از دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و اضافی فرهنگ لغات اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی

این مقاله توضیح مفصلی از تعاریف، معنای هندسی مشتق با نمادهای گرافیکی ارائه می دهد. معادله یک خط مماس با مثال در نظر گرفته می شود، معادلات یک منحنی مماس به مرتبه 2 پیدا می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

زاویه تمایل خط مستقیم y = k x + b را زاویه α می گویند که از جهت مثبت محور x به خط مستقیم y = k x + b در جهت مثبت اندازه گیری می شود.

در شکل، جهت x با یک فلش سبز و یک کمان سبز و زاویه تمایل با یک قوس قرمز نشان داده شده است. خط آبی به خط مستقیم اشاره دارد.

تعریف 2

شیب خط مستقیم y = k x + b را ضریب عددی k می نامند.

ضریب زاویه ای برابر است با مماس خط مستقیم، به عبارت دیگر k = t g α.

• زاویه میل یک خط مستقیم فقط در صورتی برابر 0 است که حدود x موازی و شیب آن برابر با صفر باشد، زیرا مماس صفر برابر با 0 است. این به این معنی است که شکل معادله y = b خواهد بود.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b تند باشد، شرایط 0 برقرار است.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается عدد مثبت، زیرا مقدار مماس شرط tg α > 0 را برآورده می کند و در نمودار افزایش می یابد.
• اگر α = π 2، آنگاه محل خط عمود بر x است. تساوی با x = c مشخص می شود و مقدار c یک عدد واقعی است.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b مبهم باشد، آنگاه با شرایط π 2 مطابقت دارد.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает معنی منفی، و نمودار در حال کاهش است.

تعریف 3

سکانت خطی است که از 2 نقطه تابع f (x) می گذرد. به عبارت دیگر، سکانت یک خط مستقیم است که از میان هر دو نقطه در نمودار یک تابع مشخص کشیده می شود.

شکل نشان می دهد که A B یک سکونت است، و f (x) یک منحنی سیاه است، α یک قوس قرمز است، که زاویه تمایل سکانس را نشان می دهد.

وقتی ضریب زاویه ای یک خط مستقیم برابر با مماس زاویه میل باشد، واضح است که مماس یک مثلث قائم الزاویه A B C را می توان با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور پیدا کرد.

تعریف 4

ما یک فرمول برای یافتن سکانس فرم دریافت می کنیم:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، که در آن ابسیساهای نقاط A و B مقادیر x A، x B، و f (x A)، f (x هستند. ب) توابع مقادیر در این نقاط هستند.

بدیهی است که ضریب زاویه ای سکانت با استفاده از برابری k = f (x B) - f (x A) x B - x A یا k = f (x A) - f (x B) x A - x B تعیین می شود. ، و معادله باید به صورت y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) یا
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

سکانت نمودار را از نظر بصری به 3 قسمت تقسیم می کند: سمت چپ نقطه A، از A به B، به سمت راست B. شکل زیر نشان می دهد که سه سکانس وجود دارد که همزمان در نظر گرفته می شوند، یعنی با استفاده از یک تنظیم شده اند. معادله مشابه

با تعریف، مشخص است که خط مستقیم و مقطع آن در این مورد منطبق است.

یک سکانت می تواند نمودار یک تابع معین را چندین بار قطع کند. اگر معادله ای به شکل y = 0 برای یک سکانت وجود داشته باشد، تعداد نقاط تقاطع با سینوسی بی نهایت است.

تعریف 5

مماس بر نمودار تابع f (x) در نقطه x 0 ; f (x 0) خط مستقیمی است که از نقطه معین x 0 می گذرد. f (x 0)، با حضور قطعه ای که مقادیر x زیادی نزدیک به x 0 دارد.

مثال 1

بیایید نگاه دقیق تری به مثال زیر بیندازیم. سپس مشخص می شود که خطی که با تابع y = x + 1 تعریف می شود، مماس بر y = 2 x در نقطه با مختصات (1؛ 2) در نظر گرفته می شود. برای وضوح، لازم است نمودارهایی با مقادیر نزدیک به (1؛ 2) در نظر گرفته شود. تابع y = 2 x به رنگ سیاه نشان داده شده است، خط آبی خط مماس و نقطه قرمز نقطه تقاطع است.

بدیهی است که y = 2 x با خط y = x + 1 ادغام می شود.

برای تعیین مماس، ما باید رفتار مماس A B را در نظر بگیریم، زیرا نقطه B به طور بی نهایت به نقطه A نزدیک می شود.

مقطع A B که با خط آبی نشان داده می شود، به سمت موقعیت مماس خود میل می کند و زاویه میل سکنت α شروع به گرایش به زاویه میل خود مماس α x می کند.

تعریف 6

مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A به عنوان موقعیت محدود کننده A B در نظر گرفته می شود زیرا B به A تمایل دارد، یعنی B → A.

حال بیایید به بررسی معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه بپردازیم.

بیایید به در نظر گرفتن سکانس A B برای تابع f (x)، که در آن A و B با مختصات x 0، f (x 0) و x 0 + ∆ x، f (x 0 + ∆ x)، و ∆ x است حرکت کنیم. به عنوان افزایش استدلال نشان داده شده است. اکنون تابع به شکل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) خواهد بود. برای وضوح، بیایید یک مثال از یک نقاشی ارائه دهیم.

بیایید نتیجه را در نظر بگیریم راست گوشه A B C. از تعریف مماس برای حل استفاده می کنیم، یعنی رابطه ∆ y ∆ x = t g α را بدست می آوریم. از تعریف مماس چنین بر می آید که lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . طبق قاعده مشتق در یک نقطه، مشتق f (x) در نقطه x 0 را حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند، جایی که ∆ x → 0 است. سپس آن را f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x نشان می‌دهیم.

نتیجه می شود که f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، که در آن k x به عنوان شیب مماس نشان داده می شود.

یعنی متوجه می‌شویم که f' (x) می‌تواند در نقطه x 0 وجود داشته باشد، و مانند مماس بر یک نمودار معین از تابع در نقطه مماس برابر با x 0، f 0 (x 0)، جایی که مقدار شیب مماس در نقطه برابر با مشتق در نقطه x 0 است. سپس دریافت می کنیم که k x = f " (x 0).

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه این است که مفهوم وجود مماس بر نمودار را در همان نقطه می دهد.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم روی صفحه باید ضریب زاویه ای با نقطه ای که از آن می گذرد داشته باشیم. نماد آن در تقاطع x 0 در نظر گرفته می شود.

معادله مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه x 0، f 0 (x 0) به شکل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) است.

این بدان معنی است که مقدار نهایی مشتق f "(x 0) می تواند موقعیت مماس را تعیین کند، یعنی به صورت عمودی، lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 - را تعیین می کند. 0 f "(x) = ∞ یا اصلاً در شرایط lim x → x 0 + 0 f" (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) .

مکان مماس به مقدار ضریب زاویه ای آن بستگی دارد k x = f "(x 0). هنگامی که با محور o x موازی باشد، به دست می آوریم که k k = 0، زمانی که موازی با o y - k x = ∞، و شکل معادله مماس x = x 0 با k x > 0 افزایش می یابد، با k x کاهش می یابد< 0 .

مثال 2

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 در نقطه ای با مختصات (1؛ 3) تهیه کنید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. متوجه می‌شویم که نقطه‌ای با مختصات مشخص شده توسط شرط (1؛ 3) یک نقطه مماس است، سپس x 0 = - 1، f (x 0) = - 3 است.

لازم است مشتق را در نقطه ای با مقدار - 1 پیدا کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

مقدار f' (x) در نقطه مماس، شیب مماس است که برابر با مماس شیب است.

سپس k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

نتیجه می شود که α x = a r c t g 3 3 = π 6

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

برای وضوح، مثالی را در یک تصویر گرافیکی می آوریم.

رنگ سیاه برای نمودار تابع اصلی استفاده می شود، رنگ ابی– تصویر مماس، نقطه قرمز – نقطه مماس. شکل سمت راست نمای بزرگ شده را نشان می دهد.

مثال 3

وجود مماس بر نمودار یک تابع معین را تعیین کنید
y = 3 · x - 1 5 + 1 در نقطه با مختصات (1 ; 1) . معادله بنویسید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که دامنه تعریف یک تابع معین، مجموعه تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته شود.

بیایید به سراغ یافتن مشتق برویم

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

اگر x 0 = 1، آنگاه f' (x) تعریف نشده است، اما حدود به صورت lim x نوشته می شود → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ، که به معنی وجود مماس عمودی در نقطه (1؛ 1).

پاسخ:معادله به شکل x = 1 است که در آن زاویه تمایل برابر با π 2 خواهد بود.

برای وضوح، بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم.

مثال 4

نقاط روی نمودار تابع y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 را پیدا کنید، جایی که

1. هیچ مماس وجود ندارد.
2. مماس موازی x است.
3. مماس با خط y = 8 5 x + 4 موازی است.

راه حل

توجه به محدوده تعریف ضروری است. با شرط، داریم که تابع بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. ما ماژول را گسترش می دهیم و سیستم را با فواصل x ∈ - ∞ حل می کنیم. 2 و [ - 2 ; + ∞). ما آن را دریافت می کنیم

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176، x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

لازم است که عملکرد را متمایز کنیم. ما آن را داریم

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

وقتی x = − 2 باشد، مشتق وجود ندارد زیرا حدود یک طرفه در آن نقطه برابر نیستند:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ما مقدار تابع را در نقطه x = - 2 محاسبه می کنیم، جایی که به آن می رسیم

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، یعنی مماس در نقطه ( - 2؛ - 2) وجود نخواهد داشت.
2. وقتی شیب صفر باشد مماس موازی با x است. سپس k x = t g α x = f "(x 0). یعنی زمانی که مشتق تابع آن را صفر می کند، باید مقادیر چنین x را پیدا کرد. یعنی مقادیر f '. (x) نقاط مماس خواهند بود، جایی که مماس با x موازی است.

وقتی x ∈ - ∞ ; - 2، سپس - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، و برای x ∈ (- 2; + ∞) 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 می گیریم.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

مقادیر تابع مربوطه را محاسبه کنید

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

از این رو - 5; 8 5، - 4; 4 3، 1; 8 5، 3; 4 3 به عنوان نقاط مورد نیاز نمودار تابع در نظر گرفته می شوند.

در نظر بگیریم تصویر گرافیکیراه حل ها

خط سیاه نمودار تابع و نقاط قرمز نقاط مماس هستند.

1. هنگامی که خطوط موازی هستند، ضرایب زاویه ای برابر است. سپس باید نقاطی را در نمودار تابع جستجو کنید که شیب برابر با مقدار 8 5 باشد. برای انجام این کار، باید معادله ای به شکل y "(x) = 8 5 حل کنید. سپس، اگر x ∈ - ∞؛ - 2، به دست می آوریم که - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، و اگر x ∈ (- 2 ; + ∞)، آنگاه 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

معادله اول ریشه ندارد، زیرا متمایز کننده است کمتر از صفر. بیایید آن را بنویسیم

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

پس معادله دیگر دو ریشه واقعی دارد

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

بیایید به سراغ یافتن مقادیر تابع برویم. ما آن را دریافت می کنیم

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

امتیاز با مقادیر - 1؛ 4 15، 5; 8 3 نقاطی هستند که در آنها مماس ها با خط y = 8 5 x + 4 موازی هستند.

پاسخ:خط سیاه - نمودار تابع، خط قرمز - نمودار y = 8 5 x + 4، خط آبی - مماس در نقاط - 1. 4 15، 5; 8 3.

ممکن است تعداد نامتناهی مماس برای توابع داده شده وجود داشته باشد.

مثال 5

معادلات تمام مماس های موجود تابع y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 را بنویسید که عمود بر خط مستقیم y = - 2 x + 1 2 قرار دارند.

راه حل

برای تدوین معادله مماس، باید ضریب و مختصات نقطه مماس را بر اساس شرط عمود بودن خطوط پیدا کرد. تعریف به شرح زیر است: حاصل ضرب ضرایب زاویه ای که بر خطوط مستقیم عمود هستند برابر با - 1 است، یعنی به صورت k x · k ⊥ = - 1 نوشته می شود. از شرطی که داریم که ضریب زاویه ای عمود بر خط قرار دارد و برابر با k ⊥ = - 2 است، سپس k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 است.

اکنون باید مختصات نقاط لمسی را پیدا کنید. شما باید x و سپس مقدار آن را برای یک تابع مشخص پیدا کنید. توجه داشته باشید که از معنای هندسی مشتق در نقطه
x 0 به دست می آوریم که k x = y "(x 0). از این برابری مقادیر x را برای نقاط تماس پیدا می کنیم.

ما آن را دریافت می کنیم

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

این معادله مثلثاتیبرای محاسبه مختصات نقاط مماس استفاده خواهد شد.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk یا x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z مجموعه ای از اعداد صحیح است.

x نقاط تماس پیدا شده است. اکنون باید به جستجوی مقادیر y بروید:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 یا y 0 = - 4 5 + 1 3

از این نتیجه می گیریم که 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 نقاط مماس هستند.

پاسخ:معادلات لازم به صورت نوشته خواهد شد

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، k ∈ Z

برای نمایش بصری، یک تابع و یک مماس را روی یک خط مختصات در نظر بگیرید.

شکل نشان می دهد که تابع در بازه [-10; 10 ]، جایی که خط سیاه نمودار تابع است، خطوط آبی مماس هستند که عمود بر خط داده شده به شکل y = - 2 x + 1 2 قرار دارند. نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

معادلات متعارف منحنی های مرتبه 2 توابع تک مقداری نیستند. معادلات مماس برای آنها بر اساس طرح های شناخته شده جمع آوری شده است.

مماس بر دایره

برای تعریف دایره ای با مرکز در نقطه x c e n t e r ; y c e n t e r و شعاع R، فرمول x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 را اعمال کنید.

این برابری را می توان به صورت اتحاد دو تابع نوشت:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

تابع اول همانطور که در شکل نشان داده شده است در بالا و تابع دوم در پایین قرار دارد.

برای جمع آوری معادله یک دایره در نقطه x 0; y 0 که در نیم دایره بالا یا پایین قرار دارد، باید معادله نمودار یک تابع به شکل y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r یا y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + را پیدا کنید. y c e n t e r در نقطه مشخص شده.

وقتی در نقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; مماس های y c e n t e r - R را می توان با معادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R و در نقاط x c e n t e r + R به دست داد. y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r موازی با o y خواهد بود، سپس معادلاتی به شکل x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R به دست می آوریم.

مماس بر بیضی

وقتی مرکز بیضی در x c e n t e r باشد. y c e n t e r با نیم محورهای a و b ، سپس می توان آن را با استفاده از معادله x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 مشخص کرد.

یک بیضی و یک دایره را می توان با ترکیب دو تابع، یعنی نیمه بیضی بالا و پایین نشان داد. سپس آن را دریافت می کنیم

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

اگر مماس ها در راس های بیضی قرار داشته باشند، آنگاه حدود x یا حدود y موازی هستند. در زیر، برای وضوح، شکل را در نظر بگیرید.

مثال 6

معادله مماس بر بیضی x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 در نقاطی با مقادیر x برابر با x = 2 بنویسید.

راه حل

لازم است نقاط مماس مطابق با مقدار x = 2 را پیدا کنید. معادله موجود بیضی را جایگزین می کنیم و آن را پیدا می کنیم

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = 5 ± 3 2 + 5

سپس 2 ؛ 5 3 2 + 5 و 2; - 5 3 2 + 5 نقاط مماسی هستند که به نیمه بیضی بالا و پایین تعلق دارند.

بیایید به سراغ یافتن و حل معادله بیضی نسبت به y برویم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

بدیهی است که نیمه بیضی بالایی با استفاده از تابعی به شکل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 و نیمه بیضی پایینی y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 مشخص می شود.

بیایید از یک الگوریتم استاندارد برای ایجاد یک معادله برای مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه استفاده کنیم. اجازه دهید بنویسیم که معادله مماس اول در نقطه 2. 5 3 2 + 5 شبیه خواهد بود

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

متوجه می شویم که معادله مماس دوم با مقداری در نقطه است
2 ; - 5 3 2 + 5 شکل می گیرد

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

از نظر گرافیکی، مماس ها به صورت زیر تعیین می شوند:

مماس بر هذلولی

هنگامی که یک هذلول مرکز x c e n t e r باشد. y c e n t e r و رئوس x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r ، نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 صورت می گیرد، اگر با رئوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , سپس با استفاده از نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 مشخص می شود .

هذلولی را می توان به صورت دو تابع ترکیبی از فرم نشان داد

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r یا y = b a · (x - x c e n t e r · 2 + a 2 - a r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

در حالت اول داریم که مماس ها موازی y هستند و در حالت دوم موازی x هستند.

نتیجه این است که برای یافتن معادله مماس بر هذلولی، باید مشخص شود که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است. برای تعیین این، لازم است معادلات را جایگزین کرده و هویت را بررسی کنید.

مثال 7

معادله ای برای مماس بر هذلولی x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 در نقطه 7 بنویسید. - 3 3 - 3 .

راه حل

لازم است رکورد راه حل برای یافتن هذلولی با استفاده از 2 تابع تبدیل شود. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

لازم است مشخص شود که یک نقطه معین با مختصات 7 به کدام تابع تعلق دارد. - 3 3 - 3 .

بدیهی است که برای بررسی تابع اول y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 لازم است، سپس نقطه متعلق به نمودار نیست، از آنجایی که برابری برقرار نیست.

برای تابع دوم داریم که y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، یعنی نقطه متعلق به نمودار داده شده است. از اینجا باید شیب را پیدا کنید.

ما آن را دریافت می کنیم

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

پاسخ:معادله مماس را می توان به صورت نمایش داد

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

به وضوح به این صورت نشان داده شده است:

مماس بر سهمی

برای ایجاد یک معادله برای مماس به سهمی y = a x 2 + b x + c در نقطه x 0, y (x 0)، باید از یک الگوریتم استاندارد استفاده کنید، سپس معادله به شکل y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) چنین مماس در راس موازی با x است.

شما باید سهمی x = a y 2 + b y + c را به عنوان اتحاد دو تابع تعریف کنید. بنابراین، باید معادله y را حل کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

به صورت گرافیکی به صورت:

برای اینکه بفهمید یک نقطه x 0، y (x 0) متعلق به یک تابع است یا خیر، طبق الگوریتم استاندارد به آرامی عمل کنید. چنین مماس موازی با o y نسبت به سهمی خواهد بود.

مثال 8

معادله مماس بر نمودار x - 2 y 2 - 5 y + 3 را وقتی که زاویه مماس 150 درجه داریم بنویسید.

راه حل

حل را با نمایش سهمی به عنوان دو تابع آغاز می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

مقدار شیب برابر با مقدار مشتق در نقطه x 0 این تابع و برابر با مماس زاویه شیب است.

ما گرفتیم:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 درجه = - 1 3

از اینجا مقدار x را برای نقاط تماس تعیین می کنیم.

تابع اول به صورت نوشته خواهد شد

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

بدیهی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، زیرا ما یک مقدار منفی دریافت کردیم. نتیجه می گیریم که هیچ مماس با زاویه 150 درجه برای چنین تابعی وجود ندارد.

تابع دوم به صورت نوشته خواهد شد

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ما داریم که نقاط تماس 23 4 ; - 5 + 3 4 .

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

بیایید آن را به صورت گرافیکی به این صورت به تصویر بکشیم:

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید