یک مثلث در هندسه نشان دهنده یکی از اشکال اساسی است. از درس های قبلی می دانید که مثلث یک شکل چند ضلعی است که دارای سه زاویه و سه ضلع است.

مثلث نامیده می شود مستطیل شکل، اگر زاویه قائمه 90 درجه داشته باشد.
یک مثلث قائم الزاویه دارای دو ضلع عمود بر یکدیگر است که به آنها می گویند پاها ; سمت سوم آن نامیده می شود هیپوتنوئوس . هیپوتنوس بزرگترین ضلع این مثلث است.

• با توجه به ویژگی های عمود و مورب، هیپوتنوس از هر یک از پاها بلندتر است (اما کمتر از مجموع آنها).
• مجموع دو زاویه تند یک مثلث قائم الزاویه برابر با یک زاویه قائمه است.
• دو ارتفاع مثلث قائم الزاویه با پاهای آن منطبق است. بنابراین، یکی از چهار نقطه قابل توجه در رئوس زاویه قائم مثلث می افتد.
• مرکز محیط یک مثلث قائم الزاویه در وسط هیپوتنوز قرار دارد.
• میانه یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم به سمت هیپوتنوس کشیده شده است، شعاع دایره ای است که پیرامون این مثلث محصور شده است.

خواص و ویژگی های مثلث قائم الزاویه

من – اموال. در مثلث قائم الزاویه مجموع زوایای تند آن 90 درجه است. در مقابل ضلع بزرگتر مثلث زاویه بزرگتر و در مقابل زاویه بزرگتر ضلع بزرگتر قرار دارد. در مثلث قائم الزاویه، بزرگترین زاویه، زاویه قائمه است. اگر بزرگترین زاویه در یک مثلث بیش از 90 درجه باشد، آنگاه چنین مثلثی دیگر قائم الزاویه نخواهد بود، زیرا مجموع همه زوایا از 180 درجه تجاوز می کند. از همه اینها نتیجه می شود که هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مثلث است.

II ملک است. ساق یک مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد، برابر با نیمی از هیپوتونوس است.

III – e ملک. اگر در یک مثلث قائم الزاویه ساق برابر با نصف هیپوتنوز باشد، آنگاه زاویه ای که در مقابل این پا قرار دارد برابر با 30 درجه خواهد بود.

سطح متوسط

راست گوشه. راهنمای کامل مصور (2019)

راست گوشه. سطح اول.

در مشکلات، زاویه راست اصلا ضروری نیست - پایین سمت چپ، بنابراین باید یاد بگیرید که مثلث قائم الزاویه را در این شکل تشخیص دهید.

و در این

و در این

مثلث قائم الزاویه چه چیز خوبی دارد؟ خب...اول اینکه برای کناره هاش اسم های قشنگی داره.

به نقاشی توجه کنید!

به یاد داشته باشید و اشتباه نگیرید: دو پا وجود دارد و تنها یک هیپوتونوز وجود دارد(یک و تنها، منحصر به فرد و طولانی ترین)!

خوب، ما در مورد نام ها بحث کرده ایم، اکنون مهمترین چیز: قضیه فیثاغورث.

قضیه فیثاغورس.

این قضیه کلید حل بسیاری از مسائل مربوط به مثلث قائم الزاویه است. این توسط فیثاغورث در زمان های بسیار قدیم ثابت شد و از آن زمان تاکنون برای کسانی که آن را می شناسند سود زیادی به همراه داشته است. و بهترین چیز در مورد آن این است که ساده است.

بنابراین، قضیه فیثاغورس:

این لطیفه را به خاطر دارید: "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است!"؟

بیایید همین شلوارهای فیثاغورثی را بکشیم و به آنها نگاه کنیم.

شبیه شورت نیست؟ خوب، در کدام طرف و در کجا برابر هستند؟ چرا و این شوخی از کجا آمده است؟ و این لطیفه دقیقاً با قضیه فیثاغورث یا به طور دقیق تر با روشی که فیثاغورث خود قضیه اش را صورت بندی کرد مرتبط است. و آن را اینگونه بیان کرد:

"مجموع مناطق مربع، ساخته شده بر روی پاها، برابر است مساحت مربع، ساخته شده بر روی هیپوتانوس."

آیا واقعاً کمی متفاوت به نظر می رسد؟ و بنابراین، هنگامی که فیثاغورث بیانیه قضیه خود را ترسیم کرد، این دقیقاً همان تصویری است که ظاهر شد.

در این تصویر مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با مساحت مربع بزرگ است. و برای اینکه بچه ها بهتر به یاد بیاورند که مجموع مربع های پاها برابر با مربع هیپوتونوس است، یک نفر شوخ طبع این شوخی را در مورد شلوار فیثاغورثی مطرح کرد.

چرا اکنون قضیه فیثاغورث را فرموله می کنیم؟

آیا فیثاغورث رنج کشید و در مورد مربع صحبت کرد؟

ببینید در زمان های قدیم... جبر وجود نداشت! هیچ نشانه ای و غیره وجود نداشت. هیچ کتیبه ای وجود نداشت. آیا می توانید تصور کنید چقدر وحشتناک بود که دانش آموزان بیچاره باستانی همه چیز را با کلمات به خاطر بسپارند؟؟! و ما می توانیم خوشحال باشیم که یک فرمول ساده از قضیه فیثاغورث داریم. بیایید دوباره آن را تکرار کنیم تا بهتر به خاطر بسپاریم:

الان باید راحت باشه:

مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

خوب، مهم ترین قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه بحث شده است. اگر به چگونگی اثبات آن علاقه دارید، سطوح تئوری زیر را بخوانید و حالا بیایید جلوتر برویم ... به جنگل تاریک ... مثلثات! به کلمات وحشتناک سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه.

در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته، تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت باید در مقاله مورد بررسی قرار گیرد. اما من واقعاً نمی خواهم، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، می توانید به سادگی موارد ساده زیر را پر کنید:

چرا همه چیز فقط در گوشه است؟ گوشه کجاست؟ برای درک این موضوع، باید بدانید که عبارات 1 تا 4 چگونه در کلمات نوشته می شوند. نگاه کن، بفهم و به خاطر بسپار!

1.
در واقع به نظر می رسد این است:

در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی وجود دارد که مقابل گوشه باشد، یعنی پای مخالف (برای یک زاویه)؟ البته دارند! این یک پا است!

در مورد زاویه چطور؟ با دقت نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته پا این بدان معنی است که برای زاویه، پا مجاور است، و

حالا، توجه کن! ببین چی گرفتیم:

ببین چقدر باحاله:

حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.

حالا چگونه می توانم این را با کلمات بنویسم؟ ساق نسبت به زاویه چیست؟ البته برعکس - روبروی گوشه "نهفته است". در مورد پا چطور؟ مجاور گوشه. پس ما چه داریم؟

ببینید چگونه صورت و مخرج جای خود را عوض کرده اند؟

و حالا دوباره گوشه ها و رد و بدل شد:

خلاصه

بیایید به طور خلاصه همه چیزهایی را که یاد گرفتیم بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

قضیه اصلی در مورد مثلث قائم الزاویه قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر خیلی خوب نیست، به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

این کاملاً ممکن است که قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است؟ چگونه می توانم آن را ثابت کنم؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

ببینید چقدر زیرکانه اضلاعش را به طول و طول تقسیم کردیم!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

اما در اینجا ما به چیز دیگری اشاره کردیم ، اما شما خودتان به نقاشی نگاه می کنید و فکر می کنید که چرا اینطور است.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟ درست، . در مورد یک منطقه کوچکتر چطور؟ قطعا، . مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما آنها را در یک زمان دو تا گرفتیم و با هیپوتونوس آنها را به یکدیگر تکیه دادیم. چی شد؟ دو مستطیل. این بدان معنی است که مساحت "برش ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بیایید تبدیل کنیم:

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز

کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

و بار دیگر همه اینها در قالب یک تبلت:

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

I. از دو طرف

II. توسط پا و هیپوتونوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

آ)

ب)

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مناسب" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو طرف مقابل بود.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟ به مبحث نگاهی بیندازید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی باید سه عنصر آنها برابر باشد: دو ضلع و زاویه بین آنها، دو زاویه و ضلع بین آنها یا سه ضلع. اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه فقط دو عنصر متناظر کافی است. عالیه، درسته؟

وضعیت تقریباً با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه یکسان است.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

I. در امتداد یک زاویه حاد

II. از دو طرف

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

چرا اینطور است؟

به جای مثلث قائم الزاویه، یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

و چه چیزی از این نتیجه می شود؟

پس معلوم شد که

1. - میانه:

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که برعکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

با دقت نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما فقط یک نقطه در مثلث وجود دارد که فواصل آن از هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز دایره است. پس چه اتفاقی افتاد؟

پس بیایید با این "علاوه بر ..." شروع کنیم.

بیایید نگاه کنیم و.

اما مثلث های مشابه همه زوایای برابر دارند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

چه فایده ای می توان از این شباهت «سه گانه» به دست آورد؟

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

بیایید روابط طرفین مربوطه را بنویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم اولین فرمول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:

شما باید هر دوی این فرمول ها را به خوبی به خاطر بسپارید و از یکی که راحت تر است استفاده کنید. بیایید دوباره آنها را بنویسیم

قضیه فیثاغورس:

در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها: .

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

• از دو طرف:
• توسط پا و هیپوتانوز: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مقابل: یا
• توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:

• یک گوشه حاد: یا
• از تناسب دو پا:
• از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه

• سینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:
• کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
• مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
• کتانژانت یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: .

ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.

در مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده از رأس زاویه قائمه برابر با نصف هیپوتانوس است: .

مساحت مثلث قائم الزاویه:

• از طریق پاها:

سطح متوسط

راست گوشه. راهنمای کامل مصور (2019)

راست گوشه. سطح اول.

در مشکلات، زاویه راست اصلا ضروری نیست - پایین سمت چپ، بنابراین باید یاد بگیرید که مثلث قائم الزاویه را در این شکل تشخیص دهید.

و در این

و در این

مثلث قائم الزاویه چه چیز خوبی دارد؟ خب...اول اینکه برای کناره هاش اسم های قشنگی داره.

به نقاشی توجه کنید!

به یاد داشته باشید و اشتباه نگیرید: دو پا وجود دارد و تنها یک هیپوتونوز وجود دارد(یک و تنها، منحصر به فرد و طولانی ترین)!

خوب، ما در مورد نام ها بحث کرده ایم، اکنون مهمترین چیز: قضیه فیثاغورث.

قضیه فیثاغورس.

این قضیه کلید حل بسیاری از مسائل مربوط به مثلث قائم الزاویه است. این توسط فیثاغورث در زمان های بسیار قدیم ثابت شد و از آن زمان تاکنون برای کسانی که آن را می شناسند سود زیادی به همراه داشته است. و بهترین چیز در مورد آن این است که ساده است.

بنابراین، قضیه فیثاغورس:

این لطیفه را به خاطر دارید: "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است!"؟

بیایید همین شلوارهای فیثاغورثی را بکشیم و به آنها نگاه کنیم.

شبیه شورت نیست؟ خوب، در کدام طرف و در کجا برابر هستند؟ چرا و این شوخی از کجا آمده است؟ و این لطیفه دقیقاً با قضیه فیثاغورث یا به طور دقیق تر با روشی که فیثاغورث خود قضیه اش را صورت بندی کرد مرتبط است. و آن را اینگونه بیان کرد:

"مجموع مناطق مربع، ساخته شده بر روی پاها، برابر است مساحت مربع، ساخته شده بر روی هیپوتانوس."

آیا واقعاً کمی متفاوت به نظر می رسد؟ و بنابراین، هنگامی که فیثاغورث بیانیه قضیه خود را ترسیم کرد، این دقیقاً همان تصویری است که ظاهر شد.

در این تصویر مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با مساحت مربع بزرگ است. و برای اینکه بچه ها بهتر به یاد بیاورند که مجموع مربع های پاها برابر با مربع هیپوتونوس است، یک نفر شوخ طبع این شوخی را در مورد شلوار فیثاغورثی مطرح کرد.

چرا اکنون قضیه فیثاغورث را فرموله می کنیم؟

آیا فیثاغورث رنج کشید و در مورد مربع صحبت کرد؟

ببینید در زمان های قدیم... جبر وجود نداشت! هیچ نشانه ای و غیره وجود نداشت. هیچ کتیبه ای وجود نداشت. آیا می توانید تصور کنید چقدر وحشتناک بود که دانش آموزان بیچاره باستانی همه چیز را با کلمات به خاطر بسپارند؟؟! و ما می توانیم خوشحال باشیم که یک فرمول ساده از قضیه فیثاغورث داریم. بیایید دوباره آن را تکرار کنیم تا بهتر به خاطر بسپاریم:

الان باید راحت باشه:

مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

خوب، مهم ترین قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه بحث شده است. اگر به چگونگی اثبات آن علاقه دارید، سطوح تئوری زیر را بخوانید و حالا بیایید جلوتر برویم ... به جنگل تاریک ... مثلثات! به کلمات وحشتناک سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه.

در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته، تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت باید در مقاله مورد بررسی قرار گیرد. اما من واقعاً نمی خواهم، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، می توانید به سادگی موارد ساده زیر را پر کنید:

چرا همه چیز فقط در گوشه است؟ گوشه کجاست؟ برای درک این موضوع، باید بدانید که عبارات 1 تا 4 چگونه در کلمات نوشته می شوند. نگاه کن، بفهم و به خاطر بسپار!

1.
در واقع به نظر می رسد این است:

در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی وجود دارد که مقابل گوشه باشد، یعنی پای مخالف (برای یک زاویه)؟ البته دارند! این یک پا است!

در مورد زاویه چطور؟ با دقت نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته پا این بدان معنی است که برای زاویه، پا مجاور است، و

حالا، توجه کن! ببین چی گرفتیم:

ببین چقدر باحاله:

حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.

حالا چگونه می توانم این را با کلمات بنویسم؟ ساق نسبت به زاویه چیست؟ البته برعکس - روبروی گوشه "نهفته است". در مورد پا چطور؟ مجاور گوشه. پس ما چه داریم؟

ببینید چگونه صورت و مخرج جای خود را عوض کرده اند؟

و حالا دوباره گوشه ها و رد و بدل شد:

خلاصه

بیایید به طور خلاصه همه چیزهایی را که یاد گرفتیم بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

قضیه اصلی در مورد مثلث قائم الزاویه قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر خیلی خوب نیست، به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

این کاملاً ممکن است که قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است؟ چگونه می توانم آن را ثابت کنم؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

ببینید چقدر زیرکانه اضلاعش را به طول و طول تقسیم کردیم!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

اما در اینجا ما به چیز دیگری اشاره کردیم ، اما شما خودتان به نقاشی نگاه می کنید و فکر می کنید که چرا اینطور است.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟ درست، . در مورد یک منطقه کوچکتر چطور؟ قطعا، . مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما آنها را در یک زمان دو تا گرفتیم و با هیپوتونوس آنها را به یکدیگر تکیه دادیم. چی شد؟ دو مستطیل. این بدان معنی است که مساحت "برش ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بیایید تبدیل کنیم:

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز

کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

و بار دیگر همه اینها در قالب یک تبلت:

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

I. از دو طرف

II. توسط پا و هیپوتونوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

آ)

ب)

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مناسب" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو طرف مقابل بود.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟ به مبحث نگاهی بیندازید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی باید سه عنصر آنها برابر باشد: دو ضلع و زاویه بین آنها، دو زاویه و ضلع بین آنها یا سه ضلع. اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه فقط دو عنصر متناظر کافی است. عالیه، درسته؟

وضعیت تقریباً با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه یکسان است.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

I. در امتداد یک زاویه حاد

II. از دو طرف

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

چرا اینطور است؟

به جای مثلث قائم الزاویه، یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

و چه چیزی از این نتیجه می شود؟

پس معلوم شد که

1. - میانه:

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که برعکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

با دقت نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما فقط یک نقطه در مثلث وجود دارد که فواصل آن از هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز دایره است. پس چه اتفاقی افتاد؟

پس بیایید با این "علاوه بر ..." شروع کنیم.

بیایید نگاه کنیم و.

اما مثلث های مشابه همه زوایای برابر دارند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

چه فایده ای می توان از این شباهت «سه گانه» به دست آورد؟

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

بیایید روابط طرفین مربوطه را بنویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم اولین فرمول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:

شما باید هر دوی این فرمول ها را به خوبی به خاطر بسپارید و از یکی که راحت تر است استفاده کنید. بیایید دوباره آنها را بنویسیم

قضیه فیثاغورس:

در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها: .

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

• از دو طرف:
• توسط پا و هیپوتانوز: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مقابل: یا
• توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:

• یک گوشه حاد: یا
• از تناسب دو پا:
• از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه

• سینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:
• کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
• مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
• کتانژانت یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: .

ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.

در مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده از رأس زاویه قائمه برابر با نصف هیپوتانوس است: .

مساحت مثلث قائم الزاویه:

• از طریق پاها:

حل مسائل هندسی نیاز به دانش زیادی دارد. یکی از تعاریف اساسی این علم، مثلث قائم الزاویه است.

این مفهوم به معنای متشکل از سه زاویه و

اضلاع، با یکی از زوایای اندازه گیری 90 درجه. ضلع هایی که یک زاویه قائمه را تشکیل می دهند، ساق و ضلع سوم که در مقابل آن قرار دارد، هیپوتنوس نامیده می شود.

اگر پاهای چنین شکلی با هم برابر باشند به آن مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین می گویند. در این صورت عضویت در دو وجود دارد که به این معنی است که خواص هر دو گروه رعایت می شود. بیاد داشته باشیم که زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین کاملاً همیشه برابر است، بنابراین زوایای تند چنین شکلی شامل 45 درجه خواهد بود.

وجود یکی از ویژگی های زیر به ما اجازه می دهد که بگوییم یک مثلث قائم الزاویه با دیگری برابر است:

1. اضلاع دو مثلث مساوی است.
2. ارقام دارای هیپوتنوز یکسان و یکی از پاها هستند.
3. هیپوتنوز و هر یک از زوایای حاد برابر هستند.
4. شرط برابری ساق و زاویه حاد برقرار است.

مساحت یک مثلث قائم الزاویه به راحتی هم با استفاده از فرمول های استاندارد و هم به عنوان مقداری برابر با نصف حاصلضرب پاهای آن محاسبه می شود.

در یک مثلث قائم الزاویه روابط زیر مشاهده می شود:

1. ساق چیزی بیش از میانگین متناسب با هیپوتنوز و برآمدگی آن بر روی آن نیست.
2. اگر دایره ای را در اطراف یک مثلث قائم الزاویه توصیف کنید، مرکز آن در وسط هیپوتانوس خواهد بود.
3. ارتفاع رسم شده از زاویه قائم، میانگین متناسب با برآمدگی های پایه های مثلث بر روی هیپوتانوس آن است.

نکته جالب این است که مهم نیست مثلث قائم الزاویه چیست، این خصوصیات همیشه رعایت می شوند.

قضیه فیثاغورس

علاوه بر ویژگی های فوق، مثلث های قائم الزاویه با شرایط زیر مشخص می شوند:

این قضیه به نام موسس آن - قضیه فیثاغورث - نامگذاری شده است. او این رابطه را زمانی کشف کرد که در حال مطالعه خواص مربع های ساخته شده بر روی آنها بود

برای اثبات قضیه یک مثلث ABC می سازیم که ساق های آن را a و b و فرض را با c نشان می دهیم. در ادامه دو مربع می سازیم. برای یکی، ضلع هیپوتونوس و برای دیگری مجموع دو پا خواهد بود.

سپس مساحت مربع اول را به دو صورت می توان یافت: به صورت مجموع مساحت های چهار مثلث ABC و مربع دوم یا به عنوان مربع ضلع؛ طبیعتاً این نسبت ها برابر خواهند بود. به این معنا که:

با 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2، عبارت حاصل را تبدیل می کنیم:

c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

در نتیجه به دست می آوریم: c 2 = a 2 + b 2

بدین ترتیب، شکل هندسییک مثلث قائم الزاویه نه تنها با تمام ویژگی های مثلث مطابقت دارد. وجود یک زاویه راست منجر به این واقعیت می شود که شکل دارای روابط منحصر به فرد دیگری است. مطالعه آنها نه تنها در علم، بلکه در زمینه نیز مفید خواهد بود زندگی روزمره، از آنجایی که چنین شکلی به عنوان مثلث قائم الزاویه در همه جا یافت می شود.

تعریف.راست گوشه -مثلثی که یکی از زوایای آن قائم است (برابر).

مثلث قائم الزاویه یک حالت خاص از یک مثلث معمولی است. بنابراین، تمام خواص مثلث های معمولی برای مثلث های قائم الزاویه حفظ می شود. اما به دلیل وجود زاویه قائمه، برخی ویژگی های خاص نیز وجود دارد.

عناوین رایج (شکل 1):

- زاویه راست;

- هیپوتنوئوس;

- پاها;

.

برنج. 1.

باویژگی های مثلث قائم الزاویه.

ملک 1. مجموع زاویه ها و مثلث قائم الزاویه برابر است با .

اثبات. به یاد بیاورید که مجموع زوایای هر مثلث برابر است با . با در نظر گرفتن این واقعیت که، در می یابیم که مجموع دو زاویه باقیمانده برابر است با

ملک 2. در یک مثلث قائم الزاویه هیپوتنوئوسبیشتر از هر کدام پاها(بزرگترین طرف است).

اثبات. به یاد بیاورید که در یک مثلث، ضلع بزرگتر در مقابل زاویه بزرگتر قرار دارد (و بالعکس). از خاصیت 1 که در بالا ثابت شد، نتیجه می شود که مجموع زاویه ها و یک مثلث قائم الزاویه برابر است با . از آنجایی که زاویه یک مثلث نمی تواند برابر با 0 باشد، بنابراین هر یک از آنها کمتر از . این به این معنی است که بزرگترین است، به این معنی که بزرگترین ضلع مثلث در مقابل آن قرار دارد. این بدان معنی است که هیپوتانوس طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه است، یعنی: .

ملک 3. در مثلث قائم الزاویه، هیپوتنوز کمتر از مجموع پاها است.

اثبات. اگر به یاد بیاوریم این خاصیت آشکار می شود نابرابری مثلث.

نابرابری مثلثی

در هر مثلثی مجموع هر دو ضلع بزرگتر از ضلع سوم است.

خاصیت 3 بلافاصله از این نابرابری ناشی می شود.

توجه داشته باشید:علیرغم این واقعیت که هر یک از پاها به طور جداگانه کوچکتر از هیپوتنوز هستند، مجموع آنها بیشتر است. در یک مثال عددی به نظر می رسد این است:، اما.

V:

علامت اول (در 2 طرف و زاویه بین آنها):اگر مثلث ها دارای دو ضلع و زاویه بین آنها مساوی باشند، این مثلث ها متجانس هستند.

علامت دوم (کنار و دو زاویه مجاور):اگر مثلث ها دارای ضلع های مساوی و دو زاویه مجاور یک ضلع معین باشند، این مثلث ها همسو هستند. توجه داشته باشید:با استفاده از ثابت و مساوی بودن مجموع زوایای مثلث، به راحتی می توان ثابت کرد که شرط «پایبندی» زوایا ضروری نیست، یعنی علامت در صورت بندی زیر صادق خواهد بود: «... ضلع و دو زاویه برابرند، پس...».

علامت سوم (از 3 طرف):اگر هر سه ضلع مثلث ها با هم برابر باشند، این مثلث ها متجانس هستند.

به طور طبیعی، تمام این علائم برای مثلث های قائم الزاویه صادق است. با این حال، مثلث های قائم الزاویه یک ویژگی مهم دارند - آنها همیشه یک جفت زاویه راست برابر دارند. بنابراین، این علائم برای آنها ساده شده است. بنابراین، اجازه دهید علائم برابری مثلث های قائم الزاویه را فرموله کنیم:

علامت اول (از دو طرف):اگر مثلث های قائم الزاویه دارای دو پاهای مساوی باشند، این مثلث ها با یکدیگر برابر هستند (شکل 2).

داده شده:

برنج. 2. تصویر اولین علامت برابری مثلث های قائم الزاویه

ثابت كردن:

اثبات:در مثلث های قائم الزاویه: . به این معنی که می توانیم از اولین علامت برابری مثلث ها (در 2 ضلع و زاویه بین آنها) استفاده کنیم و به دست آوریم: .

2علامت -ام (از نظر پا و زاویه):اگر پايه و زاويه حاد يك مثلث قائم الزاويه با ساق و زاويه حاد مثلث قائم الزاويه ديگر برابر باشد، اين مثلث‌ها همخوان هستند (شكل 3).

داده شده:

برنج. 3. تصویر علامت دوم برابری مثلث های قائم الزاویه

ثابت كردن:

اثبات:اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که این واقعیت است که زوایای مجاور به پاهای مساوی، اساسی نیست. در واقع، مجموع زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه (با خاصیت 1) برابر است با . این بدان معناست که اگر یک جفت از این زاویه ها مساوی باشد، دیگری برابر است (چون مجموع آنها یکسان است).

اثبات این ویژگی به استفاده برمی گردد دومین علامت تساوی مثلث ها(در 2 گوشه و یک طرف). در واقع، طبق شرایط، پاها و یک جفت زاویه مجاور برابر هستند. اما جفت دوم زوایای مجاور از زوایا تشکیل شده است . به این معنی که می توانیم از معیار دوم برای تساوی مثلث ها استفاده کنیم و به دست آوریم: .

علامت سوم (از نظر هیپوتانوز و زاویه):اگر هیپوتانوس و زاویه حاد یک مثلث قائم الزاویه برابر با زاویه تند و تند مثلث قائم الزاویه دیگر باشد، آنگاه چنین مثلث هایی همسو هستند (شکل 4).

داده شده:

برنج. 4. تصویر سومین علامت تساوی قائم الزاویه ها

ثابت كردن:

اثبات:برای اثبات این علامت می توانید بلافاصله استفاده کنید دومین علامت تساوی مثلث ها- در یک ضلع و دو زاویه (به طور دقیق تر، یک نتیجه، که بیان می کند که زاویه ها نباید مجاور ضلع باشند). در واقع، با توجه به شرط:،، و از خواص مثلث های قائم الزاویه نتیجه می شود که . به این معنی که می توانیم از معیار دوم برای تساوی مثلث ها استفاده کنیم و به دست آوریم: .

علامت چهارم (از طریق هیپوتنوز و پا):اگر هيپوتنوز و پايه يك مثلث قائم الزاويه به ترتيب با هيپوتنوز و پايه مثلث قائم الزاويه ديگر برابر باشند، آنگاه اين مثلثها با يكديگر برابرند (شكل 5).

داده شده:

برنج. 5. تصویر چهارمین علامت تساوی قائم الزاویه ها

ثابت كردن:

اثبات:برای اثبات این معیار از ملاک تساوی مثلث ها استفاده می کنیم که در درس گذشته آن را فرموله و ثابت کردیم، یعنی: اگر مثلث ها دو ضلع مساوی و زاویه بزرگتر داشته باشند، این مثلث ها مساوی هستند. در واقع، طبق شرط ما دو ضلع مساوی داریم. علاوه بر این، با توجه به خاصیت مثلث های قائم الزاویه: . باید ثابت کنیم که زاویه قائمه بزرگترین در مثلث است. بیایید فرض کنیم که اینطور نیست، یعنی حداقل باید یک زاویه بیشتر از . اما در این صورت مجموع زوایای مثلث از قبل بیشتر خواهد شد. اما این غیر ممکن است، به این معنی که چنین زاویه ای نمی تواند در یک مثلث وجود داشته باشد. این بدان معناست که زاویه قائمه بزرگترین در یک مثلث قائم الزاویه است. این بدان معنی است که می توانید از علامت فرموله شده در بالا استفاده کنید و دریافت کنید: .

اجازه دهید اکنون یک ویژگی دیگر را فرموله کنیم که فقط مشخصه مثلث های قائم الزاویه است.

ویژگی

پایی که در مقابل زاویه داخل قرار دارد 2 برابر کوچکتر از هیپوتنوز است(شکل 6).

داده شده:

برنج. 6.

ثابت كردن:AB

اثبات:بیایید یک ساختار اضافی انجام دهیم: خط مستقیم را فراتر از نقطه به قسمتی برابر با امتداد دهید. بیایید یک نکته را بگیریم. از آنجایی که زوایا و مجاور هم هستند، مجموع آنها برابر است با . از آن پس زاویه .

پس مثلث قائم الزاویه (در دو ضلع: - کلی، - با ساخت) - اولین علامت برابری مثلث های قائم الزاویه.

از تساوی مثلث ها نتیجه می شود که همه عناصر متناظر با هم برابر هستند. به معنای، . جایی که: . به علاوه (از تساوی همان مثلث ها). این بدان معناست که مثلث متساوی الساقین است (چون زوایای قاعده آن مساوی است) اما مثلث متساوی الساقین که یکی از زوایای آن برابر است متساوی الاضلاع است. از این، به ویژه، این نتیجه می شود .

خاصیت پایی که در مقابل زاویه ای قرار گرفته است

شایان ذکر است که گزاره مخالف نیز صادق است: اگر در یک مثلث قائم الزاویه هیپوتنوس دو برابر اندازه یکی از پاها باشد، زاویه حاد مقابل این پا برابر است با .

توجه داشته باشید: امضا کردنبه این معنی که اگر هر جمله ای درست باشد، آن مثلث قائم الزاویه است. یعنی این ویژگی به شما امکان می دهد یک مثلث قائم الزاویه را شناسایی کنید.

مهم است که علامت را با آن اشتباه نگیرید ویژگی- یعنی اگر مثلث قائم الزاویه باشد دارای خواص زیر است ... غالباً علائم و خصوصیات متقابل معکوس هستند اما نه همیشه. مثلاً خاصیت مثلث متساوی الاضلاع: مثلث متساوی الاضلاع دارای زاویه است. اما این علامت مثلث متساوی الاضلاع نخواهد بود، زیرا هر مثلثی که دارای زاویه نیست، متساوی الاضلاع است.